STUDI KESTABILAN MODEL SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA KASUS PEMANGSA BERGANTUNG SEPENUHNYA PADA MANGSA
ABSTRAK
STUDI KESTABILAN MODEL SISTEM MANGSA-PEMANGSA
PADA KASUS PEMANGSA BERGANTUNG SEPENUHNYA
PADA MANGSA
Oleh
FEBRY LEDYANI
Pada penelitian ini, dianalisis model matematika untuk mempelajari perilaku
hidup berdampingan dan kestabilan sistem mangsa-pemangsa. Diasumsikan
bahwa habitat mahluk hidup dibagi menjadi dua daerah yaitu daerah bebas dengan
mangsa dan pemangsa dapat hidup bersama, dan daerah perlindungan dengan
mangsa dapat hidup bebas tetapi pemangsa tidak diperbolehkan masuk ke dalam
daerah tersebut. Model matematika ini dianalisis dalam dua kasus yaitu ketika
pemangsa bergantung sepenuhnya pada mangsa, dan ketika pemangsa bergantung
sebagian pada mangsa, penelitian ini dibatasi pada kasus ketika pemangsa
bergantung sepenuhnya pada mangsa. Dilanjutkan dengan penentuan keberadaan
titik kesetimbangan dan menganalisis kestabilannya dengan menggunakan nilai
eigen. Simulasi numerik menggunakan parameter-paremeter tertentu
memperlihatkan bahwa mangsa pada daerah bebas, mangsa pada daerah
perlindungan, dan pemangsa mempunyai perilaku yang beragam dikarenakan
pemberian nilai awal masing-masing spesies yang berbeda.
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Dalam kehidupan, suatu mahluk hidup dituntut untuk senantiasa berinteraksi
dengan mahluk hidup lainnya. Pada kenyataannya interaksi yang terjadi baik antar
individu dari spesies yang sama maupun interaksi antar individu dari spesies yang
berbeda dapat berdampak positif bagi keduanya, berdampak negatif bagi
keduanya, atau berdampak negatif bagi salah satu spesies dan positif bagi spesies
lainnya, maupun tidak berdampak bagi keduanya. Jika dampak positif bagi
keduanya, interaksi keduanya disebut simbiosis, jika dampak bagi keduanya
negatif disebut persaingan, dan jika dampaknya positif bagi spesies yang satu
sedangkan bagi spesies yang lainnya negatif maka interaksi tersebut disebut
dengan mangsa-pemangsa (prey-predator).
Biosfer merupakan daerah terpenting dalam kegiatan biologi terutama untuk
perubahan dalam ekologi dan lingkungan. Hidup berdampingan dari spesies
biologi merupakan hal yang menarik dalam beberapa dekade dan telah diteliti
kepunahannya menggunakan model matematika. Banyak spesies biologi telah
punah dan banyak juga yang sedang berada di ambang kepunahan yang
disebabkan oleh beberapa pengaruh dari luar seperti eksploitasi berlebihan,
2
predasi yang berlebihan, lingkungan, populasi, tidak adanya pengelolaan habitat,
dan lain-lain. Dalam rangka untuk melindungi spesies-spesies ini dilakukan usaha
seperti pembatasan pemburuan, menciptakan daerah perlindungan, dan sebagainya
harus dilakukan untuk mengurangi interaksi antara spesies-spesies dengan
beberapa pengaruh dari luar.
Peran daerah perlindungan telah diteliti oleh beberapa peneliti, seperti Dubbey
dan kawan-kawan menganalisis model matematika untuk mempelajari dinamika
suatu sistem sumber daya perikanan dalam suatu lingkungan perairan yang terdiri
dari dua daerah yaitu daerah perikanan yang bebas dan daerah perikanan yang
dilindungi. Itu menunjukkan bahwa bahkan jika dimanfaatkan terus-menerus
perikanan pada daerah bebas, populasi ikan tidak dapat dipertahankan pada
tingkat kestabilan yang sesuai dengan habitatnya.
Model yang disajikan dalam penelitian ini akan sangat berguna dalam Taman
Nasional dimana mangsa-pemangsa hidup berdampingan. Spesies mangsa yang
harus dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa dengan menciptakan batas
buatan atau penampungan yang akan membagi habitat menjadi dua daerah yaitu
daerah bebas dan perlindungan. Masuknya pemangsa ke daerah perlindungan
dapat dibatasi oleh batas buatan yang mungkin dalam bentuk pagar sesuai dengan
ukuran spesies mangsa-pemangsa tersebut.
Dari uraian di atas, diasumsikan habitat terdiri dari dua daerah yaitu daerah bebas
dimana mangsa dan pemangsa dapat bergerak bebas dan daerah perlindungan
3
dimana mangsa dapat hidup tetapi pemangsa tidak diperbolehkan masuk ke
dalamnya. Model ini
dianalisis dalam dua kasus yaitu ketika pemangsa
bergantung sepenuhnya pada mangsa, dan ketika pemangsa bergantung sebagian
pada mangsa di daerah bebas. Pada penelitian ini akan membahas mengenai
keberadaaan kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku sistem dinamik
spesies mangsa-pemangsa.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini akan membahas mengenai keberadaaan kesetimbangan dan
analisis kestabilan perilaku sistem dinamik spesies mangsa-pemangsa tetapi
masalah hanya dibatasi pada kasus I yaitu ketika spesies pemangsa bergantung
sepenuhnya pada spesies mangsa.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengkaji model matematika untuk sistem dinamik spesies mangsa-pemangsa
2. Mengkaji keberadaan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku
sistem dinamik model tersebut di sekitar titik kesetimbangan
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah :
1. Menambah wawasan mengenai penerapan matematika dalam ilmu biologi
4
2. Memberikan pemahaman mengenai pemodelan sistem dinamik spesies
mangsa-pemangsa dan perilaku sistem dengan visualisasi komputasi
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pada penelitian ini dianalisis model matematika untuk mempelajari perilaku hidup
berdampingan dan kestabilan sistem mangsa-pemangsa. Model matematika yang
diperoleh yaitu :
Model
matematika
̂ ̂
di
atas
memiliki
tiga
kesetimbangan,
yaitu
dan ̅ ̅ ̅ ̅ . Titik kesetimbangan dapat dianalisis
dengan menggunakan matriks Jacobian dan kemudian dicari nilai eigen masingmasing titik untuk mengetahui kestabilan pada masing-masing kesetimbangan.
merupakan titik saddle (dan tidak stabil).
Pada titik kesetimbangan
Pada titik kesetimbangan
̂ ̂
, jika
̂
maka kesetimbangan
40
̂ ̂
merupakan saddle (dan tidak stabil), tetapi jika
kesetimbangan
̂ ̂
̂
maka
stabil asimtotis. Kemudian nilai-nilai eigen pada titik
kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅ sulit diperoleh untuk mengetahui kestabilannya karena
terlalu banyak parameter yang ada.
Dari simulasi numerik, terlihat pada titik kesetimbangan
̂ ̂
dengan syarat
awal mangsa pada daerah bebas dan daerah perlindungan melebihi carrying
capacity, dalam jangka waktu tertentu mangsa pada daerah bebas dan
perlindungan berkurang karena faktor kematian kemudian bergerak stabil menuju
carrying capacity, begitu juga sebaliknya dengan syarat awal mangsa pada daerah
bebas dan daerah perlindungan kurang dari carrying capacity, dalam jangka
waktu tertentu mangsa pada daerah bebas dan perlindungan bertambah karena
faktor kelahiran dan migrasi masuk kemudian bergerak stabil menuju carrying
capacity.
Pada titik kesetimbangan
̅ ̅ ̅ ̅ dengan syarat awal mangsa pada daerah
bebas lebih banyak daripada pemangsa maka kenaikan kepadatan pemangsa lebih
besar, ini terjadi karena ketersediaan makanan (mangsa) untuk pemangsa lebih
banyak, kemudian jika pemangsa yang lebih banyak dari mangsa pada daerah
bebas maka kenaikan kepadatan pemangsa lebih kecil, ini terjadi karena
ketersediaan makanan (mangsa) untuk pemangsa lebih sedikit.
Oleh karena itu, daerah perlindungan merupakan peran penting dalam ekologi dan
lingkungan. Dengan membuat daerah perlindungan dimana pemangsa tidak dapat
masuk ke dalam daerah tersebut, maka spesies mangsa dapat hidup dan tumbuh
41
tanpa adanya gangguan dari pemangsa, sehingga spesies mangsa dapat
dipertahankan pada tingkat kestabilan.
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan membahas mengenai perilaku mangsa-pemangsa
pada kasus II : Ketika spesies pemangsa bergantung sebagian pada spesies
mangsa.
STUDI KESTABILAN MODEL SISTEM MANGSA-PEMANGSA
PADA KASUS PEMANGSA BERGANTUNG SEPENUHNYA
PADA MANGSA
Oleh
FEBRY LEDYANI
Pada penelitian ini, dianalisis model matematika untuk mempelajari perilaku
hidup berdampingan dan kestabilan sistem mangsa-pemangsa. Diasumsikan
bahwa habitat mahluk hidup dibagi menjadi dua daerah yaitu daerah bebas dengan
mangsa dan pemangsa dapat hidup bersama, dan daerah perlindungan dengan
mangsa dapat hidup bebas tetapi pemangsa tidak diperbolehkan masuk ke dalam
daerah tersebut. Model matematika ini dianalisis dalam dua kasus yaitu ketika
pemangsa bergantung sepenuhnya pada mangsa, dan ketika pemangsa bergantung
sebagian pada mangsa, penelitian ini dibatasi pada kasus ketika pemangsa
bergantung sepenuhnya pada mangsa. Dilanjutkan dengan penentuan keberadaan
titik kesetimbangan dan menganalisis kestabilannya dengan menggunakan nilai
eigen. Simulasi numerik menggunakan parameter-paremeter tertentu
memperlihatkan bahwa mangsa pada daerah bebas, mangsa pada daerah
perlindungan, dan pemangsa mempunyai perilaku yang beragam dikarenakan
pemberian nilai awal masing-masing spesies yang berbeda.
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Dalam kehidupan, suatu mahluk hidup dituntut untuk senantiasa berinteraksi
dengan mahluk hidup lainnya. Pada kenyataannya interaksi yang terjadi baik antar
individu dari spesies yang sama maupun interaksi antar individu dari spesies yang
berbeda dapat berdampak positif bagi keduanya, berdampak negatif bagi
keduanya, atau berdampak negatif bagi salah satu spesies dan positif bagi spesies
lainnya, maupun tidak berdampak bagi keduanya. Jika dampak positif bagi
keduanya, interaksi keduanya disebut simbiosis, jika dampak bagi keduanya
negatif disebut persaingan, dan jika dampaknya positif bagi spesies yang satu
sedangkan bagi spesies yang lainnya negatif maka interaksi tersebut disebut
dengan mangsa-pemangsa (prey-predator).
Biosfer merupakan daerah terpenting dalam kegiatan biologi terutama untuk
perubahan dalam ekologi dan lingkungan. Hidup berdampingan dari spesies
biologi merupakan hal yang menarik dalam beberapa dekade dan telah diteliti
kepunahannya menggunakan model matematika. Banyak spesies biologi telah
punah dan banyak juga yang sedang berada di ambang kepunahan yang
disebabkan oleh beberapa pengaruh dari luar seperti eksploitasi berlebihan,
2
predasi yang berlebihan, lingkungan, populasi, tidak adanya pengelolaan habitat,
dan lain-lain. Dalam rangka untuk melindungi spesies-spesies ini dilakukan usaha
seperti pembatasan pemburuan, menciptakan daerah perlindungan, dan sebagainya
harus dilakukan untuk mengurangi interaksi antara spesies-spesies dengan
beberapa pengaruh dari luar.
Peran daerah perlindungan telah diteliti oleh beberapa peneliti, seperti Dubbey
dan kawan-kawan menganalisis model matematika untuk mempelajari dinamika
suatu sistem sumber daya perikanan dalam suatu lingkungan perairan yang terdiri
dari dua daerah yaitu daerah perikanan yang bebas dan daerah perikanan yang
dilindungi. Itu menunjukkan bahwa bahkan jika dimanfaatkan terus-menerus
perikanan pada daerah bebas, populasi ikan tidak dapat dipertahankan pada
tingkat kestabilan yang sesuai dengan habitatnya.
Model yang disajikan dalam penelitian ini akan sangat berguna dalam Taman
Nasional dimana mangsa-pemangsa hidup berdampingan. Spesies mangsa yang
harus dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa dengan menciptakan batas
buatan atau penampungan yang akan membagi habitat menjadi dua daerah yaitu
daerah bebas dan perlindungan. Masuknya pemangsa ke daerah perlindungan
dapat dibatasi oleh batas buatan yang mungkin dalam bentuk pagar sesuai dengan
ukuran spesies mangsa-pemangsa tersebut.
Dari uraian di atas, diasumsikan habitat terdiri dari dua daerah yaitu daerah bebas
dimana mangsa dan pemangsa dapat bergerak bebas dan daerah perlindungan
3
dimana mangsa dapat hidup tetapi pemangsa tidak diperbolehkan masuk ke
dalamnya. Model ini
dianalisis dalam dua kasus yaitu ketika pemangsa
bergantung sepenuhnya pada mangsa, dan ketika pemangsa bergantung sebagian
pada mangsa di daerah bebas. Pada penelitian ini akan membahas mengenai
keberadaaan kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku sistem dinamik
spesies mangsa-pemangsa.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini akan membahas mengenai keberadaaan kesetimbangan dan
analisis kestabilan perilaku sistem dinamik spesies mangsa-pemangsa tetapi
masalah hanya dibatasi pada kasus I yaitu ketika spesies pemangsa bergantung
sepenuhnya pada spesies mangsa.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengkaji model matematika untuk sistem dinamik spesies mangsa-pemangsa
2. Mengkaji keberadaan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan perilaku
sistem dinamik model tersebut di sekitar titik kesetimbangan
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah :
1. Menambah wawasan mengenai penerapan matematika dalam ilmu biologi
4
2. Memberikan pemahaman mengenai pemodelan sistem dinamik spesies
mangsa-pemangsa dan perilaku sistem dengan visualisasi komputasi
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pada penelitian ini dianalisis model matematika untuk mempelajari perilaku hidup
berdampingan dan kestabilan sistem mangsa-pemangsa. Model matematika yang
diperoleh yaitu :
Model
matematika
̂ ̂
di
atas
memiliki
tiga
kesetimbangan,
yaitu
dan ̅ ̅ ̅ ̅ . Titik kesetimbangan dapat dianalisis
dengan menggunakan matriks Jacobian dan kemudian dicari nilai eigen masingmasing titik untuk mengetahui kestabilan pada masing-masing kesetimbangan.
merupakan titik saddle (dan tidak stabil).
Pada titik kesetimbangan
Pada titik kesetimbangan
̂ ̂
, jika
̂
maka kesetimbangan
40
̂ ̂
merupakan saddle (dan tidak stabil), tetapi jika
kesetimbangan
̂ ̂
̂
maka
stabil asimtotis. Kemudian nilai-nilai eigen pada titik
kesetimbangan ̅ ̅ ̅ ̅ sulit diperoleh untuk mengetahui kestabilannya karena
terlalu banyak parameter yang ada.
Dari simulasi numerik, terlihat pada titik kesetimbangan
̂ ̂
dengan syarat
awal mangsa pada daerah bebas dan daerah perlindungan melebihi carrying
capacity, dalam jangka waktu tertentu mangsa pada daerah bebas dan
perlindungan berkurang karena faktor kematian kemudian bergerak stabil menuju
carrying capacity, begitu juga sebaliknya dengan syarat awal mangsa pada daerah
bebas dan daerah perlindungan kurang dari carrying capacity, dalam jangka
waktu tertentu mangsa pada daerah bebas dan perlindungan bertambah karena
faktor kelahiran dan migrasi masuk kemudian bergerak stabil menuju carrying
capacity.
Pada titik kesetimbangan
̅ ̅ ̅ ̅ dengan syarat awal mangsa pada daerah
bebas lebih banyak daripada pemangsa maka kenaikan kepadatan pemangsa lebih
besar, ini terjadi karena ketersediaan makanan (mangsa) untuk pemangsa lebih
banyak, kemudian jika pemangsa yang lebih banyak dari mangsa pada daerah
bebas maka kenaikan kepadatan pemangsa lebih kecil, ini terjadi karena
ketersediaan makanan (mangsa) untuk pemangsa lebih sedikit.
Oleh karena itu, daerah perlindungan merupakan peran penting dalam ekologi dan
lingkungan. Dengan membuat daerah perlindungan dimana pemangsa tidak dapat
masuk ke dalam daerah tersebut, maka spesies mangsa dapat hidup dan tumbuh
41
tanpa adanya gangguan dari pemangsa, sehingga spesies mangsa dapat
dipertahankan pada tingkat kestabilan.
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan membahas mengenai perilaku mangsa-pemangsa
pada kasus II : Ketika spesies pemangsa bergantung sebagian pada spesies
mangsa.