PEMBENTUKAN MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN PEMANENAN PADA PEMANGSA

PEMBENTUKAN MODEL MANGSA PEMANGSA
DENGAN PEMANENAN PADA PEMANGSA
Saiful Marom
Pendidikan Matematika FKIP
Universitas Pekalongan
Jalan Sriwijaya No 3 Pekalongan, Maromsaiful@yahoo.com

ABSTRAK
The Models of a predator prey with threshold harvesting on the predator is
studied in this paper. In this article has established predator prey models with preydependent functions and the repon harvesting on predator assuming given.
Kata Kunci : predator prey models, boundedness of solution, local stability

terjadi ledakan populasi sehingga akan

Pendahuluan

mengganggu kestabilan ekosistem.

Makhluk hidup didunia ini terdiri

Salah satu penyebab kepunahan

dari berbagai macam spesies sehingga
terbentuk sebuah populasi dan hidup

populasi

berdampingan bersama-sama. Makhluk

terhadap mangsa yang sangat tinggi dan

hidup didunia ini saling ketergantungan

rendahnya tingkat pertumbuhan mangsa

antara makhluk hidup yang satu dengan

atau

yang

populasi mangsa.

lainnya.

Setiap

individu

akan

adalah

rendahnya

Untuk

menjalin hubungan dengan individu yang

tingkat

populasi

pemangsaan

awal

mengendalikan

dari

populasi

lain baik dalam satu spesies ataupun

pemangsa sehingga dapat menyebabkan

dengan spesies yang lain. Ada beberapa

punahnya populasi mangsa adalah dengan

hubungan yang terjadi antara individu

melakukan pemanenan pada populasi

yang satu dengan yang lain salah satunya

pemangsa.

adalah hubungan antara mangsa dengan

mengendalikan populasi pemangsa supaya

pemangsa. Hubungan mangsa pemangsa

tidak

antara individu dengan individu yang lain

pembatasan pemanenan pada populasi

sangat erat sekali karena tanpa mangsa

pemangsa.

maka pemangsa tidak akan bisa bertahan

mencapai ambang batas pemanenan maka

hidup

pemangsa akan dilakukan pemanenan.

begitupun

sebaliknya

tanpa

pemangsa maka populasi mangsa akan
181

Sebaliknya,

punah

maka

ketika

akan

populasi

untuk

dilakukan

pemangsa

182 δELT∆, Vol. 1, No. 2, Juli 2013, hlm 115- 199

Pembentukan

Model

Mangsa

menangkap mangsa.

Pemangsa
Untuk

pemangsa memerlukan waktu untuk

mengkunstruksi

model

8. Pada populasi pemangsa dilakukan

mangsa pemangsa dengan fungsi respon

pemanenan setelah banyaknya populasi

Michaelis-Menten pada populasi mangsa

pemangsa mencapai ambang batas

dan

pemanenan.

pemangsa

dengan

dilakukan

pemanenan pada populasi pemangsa maka
diperlukan asumsi-asumsi sebagai berikut:

Model Dasar Mangsa Pemangsa

1. Dalam model ini hanya ada dua spesies

Sebelum mengkonstruksi model

yaitu mangsa (prey) dan pemangsa

mangsa dengan pemanenan pada mangsa

(predator).

maka akan terlebih dahulu diberikan

2. Persedian

makanan

untuk

mangsa

cukup.
3. Persediaan

model dasar mangsa pemangsa yaitu
Model Lotka Volterra (1926) :

makanan

pemangsa

dxˆ
ˆˆ
 rxˆ  sxy
dτ
dyˆ
ˆˆ  fyˆ
 esxy

dτ

bergantung pada populasi mangsa.
4. Populasi mangsa akan menurun pada
saat terjadinya interaksi mangsa dengan
pemangsa

karena

dikonversi

oleh

mangsa

akan

pemangsa

untuk

 3.1.2.1

kebutuhan pertumbuhannya.
5. Populasi pemangsa akan meningkat

Dalam persamaan

 3.1.2.1 ,

xˆ

pada saat terjadinya interaksi mangsa

menyatakan angka kepadatan populasi

dan pemangsa karena mangsa akan

mangsa, yˆ menyatakan angka kepadatan

dikonversi

populasi pemangsa dan τ adalah waktu.

oleh

pemangsa

untuk

Persamaan

dxˆ
dτ

pemangsa berlangsung secara acak

kepadatan

populasi

sehingga

waktu dan

kebutuhan pertumbuhannya.
6. Gerakan dan kontak mangsa dan

setiap

individu

mangsa

memiliki peluang yang sama untuk

mangsa

terhadap

dyˆ
menyatakan perubahan
dτ

kepadatan populasi pemangsa terhadap

dimangsa.
7. Dalam interaksi, mangsa merespon
kehadiran

menyatakan perubahan

pemangsa

sehingga

waktu. Konstanta r , s , e , dan f semua
bernilai positif.

Marom, Pembentukan Model Mangsa Pemangsa… 183

Model

 3.1.2.1

berdasarkan

3.1

memberikan

asumsi-asumsi

r adalah angka pertumbuhan pada

populasi mangsa, populasi mangsa

f adalah angka kematian alami pada

s adalah angka penurunan kepadatan
populasi mangsa karena terjadinya
interaksi

antara

mangsa

dan

e

adalah

angka

pertumbuhan

kepadatan populasi pemangsa karena
terjadinya interaksi antara mangsa
dan pemangsa.
5.

ˆˆ adalah lambang terjadi interaksi
xy
antara mangsa dan pemangsa.
Laju

Dalam interaksi antara populasi mangsa
respon

dari

mangsa

dan

terjadinya pencemaran lingkungan dalam
ekosistem yang menyebabkan keracunan

sehinnga model perlu dikembangkan.

model

dikembangkan

menambahkan

fungsi

dengan

logistik,

fungsi

racun, dan fungsi respon yang kelak bisa
lebih relevan dari model sebelumnya.

pemangsa.
4.

menurun.

Untuk menjawab permasalahan tersebut,

populasi pemangsa.
3.

semalanya

pada populasi mangsa dan pemangsa

tumbuh secara logistik .
2.

tidak

terdapat

pengertian bahwa:
1.

pemangsa

pertumbuhan

perkapita

Berikut akan diberikan fungsi respon
tersebut:

Fungsi Respon

sxˆ yang diperoleh dari model

 3.1.2.1

merupkan representatif dari

banyaknya

mangsa

yang

ditangkap

populasi mangsa adalah selisih dari laju

pemangsa persatuan daerah. Berdasarkan

pertumbuhan

asumsi

intrinsik

dengan

laju

7

berkurangnya populasi mangsa akibat

representatif

interaksi

bahwa

dengan

pemangsa.

Laju

dalam

3.1 ,

diperoleh

baru yang menyatakan

banyaknya

mangsa

persatuan

populasi

daerah yang ditangkap  g  z   berbanding

pemangsa merupakan pertambahan laju

lurus dengan angka penurunan kepadatan

kelahiran

populasi

pertumbuhan

perkapita

pemangsa

karena

interaksi

mangsa

karena

terjadinya

dengan mangsa dikurangi laju kematian

interaksi antara mangsa dan pemangsa

pemangsa.

 s  , kepadatan populasi mangsa  xˆ  , dan

Dalam kehidupan yang nyata saat
ini, model persamaan

 3.1.2.1

sudah

tidak relevan karena populasi mangsa
tidak selamanya meningkat atau populasi

waktu menangkap dan mengkonsumsi
mangsa yang didapat oleh pemangsa T 
sehingga dinotasikan:

184 δELT∆, Vol. 1, No. 2, Juli 2013, hlm 115- 199

ˆ
 g  z  1 sTh x   sxT

ˆ
g  z   sxT



 3.1.3.1
Lebih lanjut, waktu T

adalah

g  z
T

sxˆ



1 sTh xˆ 
sxˆ
;sTh  p
1 pxˆ 

 R  xˆ  

waktu yang diperlukan pemangsa untuk

 3.1.3.3

menangkap dan mengkonsumsi mangsa,
dinotasikan dengan:

g  z
 R  xˆ  menyatakan
T

dengan

T  Ts  Th g  z 

kepadatan mangsa yang ditangkap per
satuan waktu secara efektif dan R  xˆ 

 3.1.3.2

lebih
di mana Ts adalah waktu efektif
yang

diperlukan

untuk

menangkap

pemangsa

mengkomsumsi

mangsa yang didapat, dan Th g  z  adalah
waktu

yang

diperlukan

pemangsa

 3.1.3.2

diperoleh

Ts  T  Th g  z  sehingga fungsi waktu

dari persamaan

 3.1.3.1

menjadi lebih

relevan karena jumlah mangsa yang
ditangkap akan berbanding lurus dengan
waktu efektif yang diperlukan untuk
menangkap mangsa. Persamaan  3.1.3.1





menjadi g  z   sxˆ T  Th g  z  ,





Selanjutnya

respon

akan

diberikan

pembahasan mengenai fungsi logistik
sebagai berikut:

Fungsi Logistik
Populasi mangsa tidak selamanya
meningkat atau populasi pemangsa tidak
semalanya menurun, tetapi dapat terjadi
jika

populasi

naik

maka

angka

pertumbuhan cenderung turun. Bahkan
untuk populasi yang cukup besar, bukan
mustahil

angka pertumbuhan negatif.

Fenomena

ini

disebabkan

area

dan

fasilitas hidup terbatas atau daya dukung
lingkungan

atau

Kapasitas

Batas

(Carrying Capasity).

ˆ  sxT
ˆ hg  z
g  z   sxˆ T  Th g  z   g  z   sxT

ˆ  z   sxT
ˆ
 g  z   sTh xg

fungsi

atau Holling tipe II).

mengkonsumsi mangsa yang didapat. Dari
persamaan

dengan

bergantung mangsa (Michaelis-Menten

mangsa, Th adalah waktu rata-rata yang
diperlukan

dikenal

Misalkan dalam populasi terdapat

xˆ individu mangsa dan Kapasitas batas

Marom, Pembentukan Model Mangsa Pemangsa… 185

K . Sehingga kapasitas

dilambangkan

batas yang tersisa adalah K  xˆ individu.

penurunan kepadatan populasi karena
pengaruh kapasitas batas.

K  xˆ
bagian lingkungan
K

model mangsa pemangsa dengan fungsi

atau area yang masih bisa ditinggali.

respon Michaelis-Menten pada populasi

Bagian inilah yang sebanding dengan

mangsa dan pemangsa dengan cara model

pertumbuhan

Sehingga

dasar mangsa pemangsa Lotka Volterra

pertumbuhan

yang dimodifikasi dengan fungsi respon

Jadi masih ada

terbentuk

populasi.
persamaan

populasi perkapita sebagai berikut:

Selanjutnya, akan mengkonstruksi

Michaelis-Menten dan fungsi logistik,

dxˆ
 K  xˆ 
 rxˆ 

dτ
 K 

berikut kontruksinya:
ˆˆ
dxˆ
xˆ 
sxy

 rxˆ  1   
dτ
K  1 pxˆ


 3.1.4.1


dyˆ
nxˆ 
 yˆ   f 
 ;n  es
dτ
1 pxˆ 


Persamaan

 3.1.4.1

merupakan

 3.1.5.1

persamaan pertumbuhan logistik.
Dari

 3.1.4.1

persamaan

Dengan:

diperoleh:

xˆ menyatakan angka kepadatan

dxˆ
 K  xˆ 
 rxˆ 

dτ
 K 

dxˆ


dτ

populasi mangsa.

r 

xˆ  r  xˆ 
K 


yˆ menyatakan angka kepadatan
populasi pemangsa.
r menyatakan angka pertumbuhan

intrinsik mangsa.

 3.1.4.2
Dari

K

 3.1.4.2

persamaan

diperoleh r adalah angka pertumbuhan
populasi

mangsa

tanpa
r
K

lingkungan

dan

penurunan

populasi

pengaruh

lingkungan

pengaruh

adalah

angka

menyatakan kapasitas batas

atau daya dukung lingkungan.

s menyatakan angka penurunan
mangsa karena ditangkap pemangsa.

n menyatakan angka pertumbuhan
populasi pemangsa.
p menyatakan tingkat respon dari

mangsa

karena

yaitu

angka

mangsa saat ingin dimangsa.

186 δELT∆, Vol. 1, No. 2, Juli 2013, hlm 115- 199

f

menyatakan angka kematian

dx
axy
 x 1  x  
 jx 3
dt
1 mx 

pemangsa.
Selanjutnya,
pemangsa

model

dengan


dy
bx 
2
 y  d 
  ly  H ( x)
dt
1 mx  


mangsa

fungsi

respon

Michaelis-Menten pada populasi mangsa
dan pemangsa yang memiliki banyak

dengan :

parameter perlu disederhanakan supaya

0 T  y
H ( x) 
h T  y

lebih mudah untuk mencari solusi dari
permasalahan-permasalahan yang terkait.
Menurut

definisi

digunakan

yaitu

2.7,

metode

yang

Simpulan

penondimensionalan.

Jadi

diperoleh

model

mangsa

Berikut ini diberikan penondimensionalan

pemangsa dengan pemanenan sebagai

model mangsa pemangsa dengan fungsi

berikut :

respon Michaelis-Menten pada populasi

dx
axy
 x 1  x  
 jx 3
dt
1 mx 

mangsa dan pemangsa pada ekosistem


dy
bx 
2
 y  d 
  ly  H ( x)
dt
1 mx  


yaitu sebagai berikut:
dx
axy
 x 1  x  
 jx 3
dt
1
mx




dy
bx 
2
 y  d 
  ly

dt
1
mx




dengan :
0 T  y
H ( x) 
h T  y

 3.1.6.2.2
Dimana a 
, l

sK
nK
f
, b
, d
zr
r
r

iK 2
gK 2
,
, dan m  pK .

j
r
rz 2

Selanjutnya berdasarkan asumsi 8
bahwa pada model dilakukan pemanenan
pada

pemangsa

ketika

pemangsa

mencapai ambang batas pemanenan T
sehingga diperoleh :

Saran
Dengan
penulis

adanya

sehingga

mengembangkan

yang
model

keterbatasan
tertarik
ini

bisa

dengan

membahas masalah Titik keseimbangan
model,

kestabilan

global,

masalah

bifurkasi, mengembangkan model tersebut
dengan memodifikasi fungsi pemanenan,
menambahkan simulasi numerik dengan
menggunakan program lainnya sehingga

Marom, Pembentukan Model Mangsa Pemangsa… 187

bisa lebih mudah untuk melihat simulasi
numeriknya.

Daftar Pustaka
Asfaw, T. M., 2009, Dynamics of
generalized
time
dependent
predator-prey
model
with
nonlinear harvesting, Int. J. Math.
Anal. 3, 1473–1485.
Birkhoff, H. and Rota, G.C., 1989,
Ordinary Differentials Equations,
4th Edition, John Wiley & Sons,
Inc, New - York, USA.
Blanchard, P., Devaney, R.L. and Hall,
G.R.,
2006,
Differential
Equations, ThomsonBrooks/Cole,
Belmont.
Bohn, J., Rebaza, J., and Speer, K., 2011,
Continuous
Threshold
Prey
Harvesting in Predator-Prey
Models, International Journal of
Computational and Mathematical
Science., 1, 111-118.
Ginzburg, L.R., Akcakaya, H.R. and
Arditi, R., 1995, Ratio-Dependent
Predation: An Abstraction that
Works, Ecology, 76, 995-1004.

Khalil, H.K.,2002,Nonlinear Systems , 3rd
edition, Prentice Hall, New Jersey
, USA.
Leard, B., Lewis, C. and Rebaza, J., 2008,
Dynamics of
Ratio-Dependent
Predator-Prey
Models
with
Nonconstant Harvesting, Disc.
Cont. Dyn. Syst. S, 1, 303-315.
Lynch, S., 2010, Dynamical Systems with
Applications
Using
Maple,
Birkhauser, Boston.
Perko, L., 2001, Differential Equations
and Dynamical Systems .Texts in
Applied Mathematics Vol. 7,
Springer –Verlag , New – York ,
USA.
Ross, S.L., 1984, Differential Equations,
3th Edition, John Wiley & Sons,
Inc, New - York, USA.
Tu, Pierre, N.V., 1994, Dynamical System
: a intoduction with application in
Economis and Bioloogy,Springer
–Verlag , New-York, USA.
Verhulst, F.,1990,Nonlinear Differential
Equations
and
Dynamical
Systems, Springer –Verlag, NewYork, USA.
Xiao, D. and Ruan, S., 2001, Global
Dynamics of A Ratio-Dependent
Predator-PreySystem, J. Math.
Biol., 43, 268-290.