2
Dari data BPS kota Surakarta hasil per hektar HH dipengaruhi oleh Luas Tanam Akhir LTA dan Luas Panen LP. Menurut Web 2 Luas Tanam Akhir merupakan luas
tanaman yang ada pada saat pencatatan data tidak termasuk tanaman bibit yang digunakan. Luas Panen merupakan luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup
umur termasuk tanaman padi yang gagal panen. Sedangkan Hasil per Hektar HH adalah hasil gabah basah yang diperoleh pada saat panen untuk satu hektar sawah.
Pemrograman non linear khususnya pemrograman kuadratik merupakan masalah optimasi yang fungsi tujuannya melibatkan fungsi kuadrat dan mempunyai kendala berupa
pertidaksamaan linear maupun non linear web 1. Pada penelitian ini pemrograman kuadratik digunakan untuk menentukan periode tanam yang baik, karena fungsi kuadratik
merupakan fungsi cekung sehingga dijamin bahwa sebarang maksimum lokal pada daerah konveks layak akan merupakan suatu maksimum global dalam daerah tersebut Perresini, dkk
1998. Telah banyak penelitian tentang optimasi non linear yang penyelesaiannya
menggunakan pemrograman kuadratik. Loqman, dkk 2013 menggunakan pemrograman kuadratik untuk penjadwalan pekerja pada suatu perusahaan. Gharibi 2012 mengangkat
masalah pemrograman kuadratik yang di aplikasikan dalam ilmu komputer dan komunikasi kemudian diselesaikan dengan linearisasi 0-1. Selain itu ada juga penelitian oleh Bhowmik,
dkk 2000 masalah pemrograman integer diubah ke pemrograman kuadratik dan diselesaikan dengan teknik heuristik.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui periode tanam yang paling baik berdasarkan hasil panen yang maksimal. Data yang digunakan adalah data padi sawah pada
tahun 1992-2012 yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik BPS Surakarta. Ada 3 kali Periode tanam dalam satu tahun sehingga setiap periode akan dibuat satu fungsi tujuan.
Pengolahan data menggunakan MATLAB 7.0.
B. Dasar Teori
1. Pemrograman Kuadratik
Menurut Peressini, dkk 1998 optimasi program kuadratik merupakan masalah konveks fungsi tujuan merupakan fungsi konveks, sehingga penyusunan fungsi tujuannya analog
dengan penyusunan fungsi tujuan untuk masalah konveks. Bentuk umum dari masalah pemrograman kuadratik:
Minimalkan = + . +
1 2
. 1
3
dengan kendala �
, i = 1,2,..,k 2
� = , i=k+1,...,m 3
4 Q= matriks koefisien fungsi tujuan
= vektor koefisien fungsi tujuan = konstanta pada fungsi tujuan
= vektor variabel keputusan A = matiks koefisien fungsi kendala
= vektor nilai sebelah kanan pada kendala Untuk menyelesaikan pemrograman kuadratik, maka perlu menyusun fungsi tujuan dalam
hal ini fungsi tujuan kuadratik. Perlu diperkenalkan variabel yang digunakan yaitu
i
x
= data ke- i variabel 1 dalam satuan ha.
i
y
= data ke- i variabel 2 dalam satuan ha.
i
S
= data ke- i variabel 3 dalam satuan ton. i = 1,2,...,n; n= banyaknya data
Menurut Perresini,dkk1998 diasumsikan bahwa setiap data
, ,
i i
i
y x
S
memenuhi
, ,
i i
i
y x
S
=
6 5
4 3
2 2
2 1
i i
i i
i i
y x
y x
y x
5 � = parameter fungsi tujuan, j = 1,2,..6
Untuk menentukan parameter persamaan 5 dengan metode kuadrat terkecil, perlu meminimalkan fungsi residu yaitu
= min
,
−
, �
2
= min
,
− ,
2
6 atau minimalkan
2 1
6 5
4 3
2 2
2 1
n i
i i
i i
i i
i
y x
y x
y x
S R
7 R minimal dapat terjadi jika dipenuhi
R
dan masing-masing derivatif parsialnya ada.
� ��
= 0; j=1,2,...6 Untuk j=1 berlaku
� ��
1
= 0 sehingga:
2
2 2
1 6
5 4
3 2
2 2
1
i
n i
i i
i i
i i
i
x y
x y
x y
x S
Meminimalkan R sama artinya dengan menyelesaikan sistem persamaan linear
w v
A
a
8
4
dimana
� =
4 2 2
3 2
2 4
3 3
3 2 2
3 2
2 2
3 2
2 2
3 2
2 2
3 2
2 2
2 2
� 8a
w
=
T i
i i
i i
i i
i i
i i
i
S S
y S
x S
y x
S y
S x
2 2
8b
T a
v
6 5
4 3
2 1
8c Menurut Perresini, dkk 1998 menyelesaikan sistem persamaan linear pada
persamaan 8 terdapat banyak cara, diantaranya Dekomposisi LU dan Iterasi Gauss Seidel. Kedua metode tersebut kemungkinan mempunyai banyak penyelesaian dari sistem persamaan
tersebut. Solusi
a
v
dari persamaan 8 diperoleh dengan
�
= �
−1
9 Untuk membuktikan
a
v
ada dan terbaik ada 4 cara, yaitu: 1.
Matriks A pada persamaan 8 dikatakan invertible jika determinan dari matriks A tersebut ≠ 0. A invertibel artinya penyelesaian dari matriks A tunggal Peressini, dkk
1998. 2.
Errorresidu merupakan jarakbeda antara data aktual dengan data pendekatan dari model hasil fungsi tujuan yaitu
e =
�
−
. 100 3.
Sebagai aplikasi matriks dan norm vektor, perlu mempertimbangkan perkiraan kesalahan dengan menghitung invers matriks dan solusi dari persamaan linear. Untuk
menyelesaikan persamaan 9 = �
−1
menurut Horn Johnson 1985 dimana invers matriks A harus terdefinisi. Jika �
−1
adalah invers A yang eksak maka secara komputasi ditulis � + �
−1
, dimana E matriks error berukuran 6 x 6 yang komponen-komponennya merupakan bilangan
yang cukup kecil sehingga A+E invertible. Kemudian errornya adalah �
−1
− � + �
−1
= �
−1
− + �
−1
�
−1
�
−1
5
Akan dicari �
−1
− + �
−1
�
−1
�
−1
maka perlu menyatakan bentuk +
�
−1
�
−1
dalam bentuk lain. Analog dengan deret
1 +
−1
akan diperoleh +
�
−1
�
−1
= �
−1
− −1
+1
�
−1
� �
−1
,
∞ =0
= −1
+1
�
−1
� �
−1
,
∞ =1
jika � �
−1
� 1 Dengan
� �
−1
� adalah spektral radius nilai eigen dari matriks �
−1
�. Terdapat banyak definisi ||.|| dalam matriks, diantaranya yaitu norm Euclid, norm
maksimum, dan norm Frobenius. Dalam kasus ini yang digunakan dalam perhitungan adalah norm euclid. Contoh menghitung norm Euclid:
Misalkan dipunyai matriks � =
1 2
3 4
, perlu disusun matriks �′ yaitu �′ =
1 3
2 4
untuk mencari norm euclid = max ��
′
dengan adalah nilai eigen. Nilai eigen dari
��′ adalah 0.1 dan 29.9. Jadi norm euclid dari A adalah 29.9 = 5.47 web 3. Diasumsikan ||
�
−1
�||1, batas atas kesalahan relatif dengan menghitung invers adalah
�
−1
− �+�
−1
�
−1
�
−1
� 1
− �
−1
�
jika �
−1
� 1. Ruas kanan dikalikan
� �
sehingga
�
−1
� 1
− �
−1
� �
�
=
�
−1
� � − �
−1
� �
�
=
�
−1
� � − �
−1
� � �
� �
Didefinisikan
κ � ≡ �
−1
� jika � nonsinguler ∞ jika � singuler
10
Persamaan 10 disebut conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks
. . Persamaan dengan menjadi
�
−1
� 1− �
−1
� �
�
=
�
−1
� � − �
−1
� �
�
=
κ � �
1−
κ � �
�
�
. Jadi error relatif untuk invers matriks pada persamaan 8a terbatas tergantung dari
nilai κ� sehingga κ� tidak boleh terlalu besar.
Conditional number matriks pada MATLAB juga menggunakan persamaan 10
.
Menurut Anderson, dkk 1999 jika conditional number dibawah 67108864 maka nilai
i
dinyatakan terbaik karena error invers terbatas ke atas. Untuk menghitung conditional number digunakan perintah cond pada MATLAB.
6
4. Sifat titik kritis minimum ditunjukkan dengan tipe matriks Hessian matriks yang
disusun turunan kedua dari fungsi terhadap masing-masing variabel bebas. =
∇ ∇ = ∇ −2� + 2� � = 2� �
11 Menurut Peressini dkk 1998 titik kritis
a
v
sebagai peminimum lokal jika nilai eigen dari mariks Hessiannya bersifat positive semi definite yang artinya nilai eigen
≥ 0.
Dalam proses perhitungan agar nilai data yang digunakan tidak terlalu besar sehingga dapat membuat A singular, maka data perlu dinormalisasi yaitu dengan membagi data
masing-masing kolom dengan maksimumnya
i n
i i
i i
n i
i i
i n
i i
i
S S
S y
y y
x x
x
1 1
1
max ˆ
; max
ˆ ;
max ˆ
12
i
x ˆ
,
i
y ˆ
, dan
i
Sˆ merupakan data ternormalisasi Untuk menyelesaikan persamaan 1 dengan kendala pada persamaan 2
– 4 menurut teorema Karush Kuhn Tucker KKT perlu disusun fungsi Lagrange seperti persamaan 13
yaitu:
n i
i i
m i
i i
i
x b
Ax x
Q x
x c
a x
L
1 1
2 1
, ,
13 = pengali Lagrange untuk persamaan 2 dan 3
= pengali Lagrange untuk persamaan 4
Kondisi KKT pada persamaan 13 dapat digunakan untuk menemukan titik kritis dengan menyelesaikan sistem persamaan yang diperoleh dari
L
. Artinya mencari peminimal
x
dan parameter optimal
m
R
dan
n
R
yang memenuhi 1
i
untuk i
=1,…,k ,
j
untuk j =1,…,n .
2
T
A x
Q c
3
i i
i
b x
A
, untuk i
=1,…,m. 14
2. Model Pemrograman Kuadratik untuk Optimasi Hasil Panen Padi
