8 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
berikut
N =
2q +
b q
= 2q
1 +
b 1
q 1
= 2q
2 +
b 2
.. .
q n
2 =
2q n
1 +
b n
1 q
n 1
= 2q
n +
b n
; q
n
=0
;
1.1
dengan
b k
2 f0;
1g
. Selanjutnya, dalam sistem biner
N
dapat dinyatakan
Algoritma untuk mengubah bilangan
desimal ke bilangan biner
sebagai
N =
b n
b n
1 :::b
2 b
1 b
dua :
C
ONTOH
1.2.
Dengan menggunakan algoritma 1.1, diterapkan pada
N =
1454
, didapatkan
1454 =
2 727
+ 90
= 2
45 +
5 =
2 2
+ 1
727 =
2 363
+ 1
45 =
2 22
+ 1
2 =
2 1
+ 363
= 2
181 +
1 22
= 2
11 +
1 =
2 +
1; 181
= 2
90 +
1 11
= 2
5 +
1
sehingga
1454 =
10110101110 dua
, seperti contoh sebelumnya.
1.2.2 Sistem Heksadesimal
Dalam sistem heksadesimal digunakan basis perpangkatan 16 dan semua bilangan dinyatakan dengan menggunakan maksimum 16 digit yang ber-
beda, yang biasanya dinyatakan sebagai
0; 1;
2; :::;
9; A;
B ;
C ; D
; E
; F
;
dengan
A 16
= 10
,
B 16
= 11
,
C 16
= 12
,
D 16
= 13
,
E 16
= 14
, dan
F 16
= 15
. Sebagai contoh,
14C A
16 =
1 16
3 +
4 16
2 +
12 16
1 +
10 16
= 5322:
Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan heksade- simal analog dengan algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bi-
langan biner. Dalam hal ini digunakan pembagi 16. Sistem heksadesimal memiliki hubungan erat dengan sistem biner.
Konversi bilangan biner ke bilangan heksadesimal dan sebaliknya dapat Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
1.2 Penyajian Bilangan 9
dilakukan secara mudah. Untuk mengkonversi bilangan heksadesimal ke bilangan biner, ganti setiap digit dengan representasi binernya. Sebagai
contoh,
2AC 16
= 1010101100
dua ;
karena
2 16
= 10
dua ;
A 16
= 10
= 1010
dua ;
C 16
= 12
= 1100
dua :
Sebaliknya, untuk mengubah bilangan biner ke bilangan heksadesi- mal, kelompokkan setiap empat bit dari kanan ke kiri, dan ganti setiap
empat bit tersebut dengan nilai heksadesimalnya. Sebagai contoh,
1101001101 dua
= 34D
16 ;
karena
1101 dua
= 13
= D
16 ;
0100 dua
= 4
= 4
16 ;
11 dua
= 3
= 3
16 :
1.2.3 Bilangan Pecahan dan Deret
Dalam komputasi numerik, nilai-nilai pecahan dinyatakan dalam bentuk desimal. Setiap bilangan pecahan rasional
p=q
,
q 6=
, dinyatakan sebagai pecahan desimal yang terdiri atas berhingga digit atau tak berhingga digit
berulang. Berikut adalah beberapa contoh
1=2 =
0:50000000::: =
0:5 1=3
= 0:333333:::
= 0:333333
1=7 =
0:142857142857: :: =
0:142857142857
Ekspansi desimal pecahan
1=3
memuat tak berhingga digit 3 secara berulang, sedangkan ekspansi desimal pecahan
1=7
memuat beberapa digit yang diulang tak berhingga kali, yakni “142857”. Apabila ekspansi
desimal ditulis hanya sampai beberapa digit berhingga, maka digit-digit terakhir yang berulang diberi garis atas. Dalam contoh ekspansi
1=3
di atas
3
artinya digit 3 berulang tak berhingga kali, sedangkan pada
1=7
,
142857
artinya 142857 berulang tak berhingga kali. Notasi tersebut berlaku juga untuk ekspansi pecahan biner akan dijelaskan nanti.
Dalam praktek kita hanya mengambil beberapa digit untuk meng- Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
1.2 Penyajian Bilangan 11
1. Perhatikan bahwa
53 64
= 1=2
+ 1=4
+ 1=16
+ 1=64
. Oleh karena itu, dalam sistem biner
53 64
= 0:110101
dua
.
2. Perhatikan deret geometri yang konvergen ke nilai
1=2
:
1=4 +
1=8 +
1=16 +
1=32 +
1=64 +
::: =
1=2:
Jadi, dalam sistem biner
0:5
dinyatakan sebagai
0:5 =
0:111111::: dua
= 0:111111
dua =
0:1 dua
:
Dari contoh di atas, ternyata pecahan biner juga dapat memuat tak berhingga digit berulang. Cara menyingkat digit-digit yang berulang
sama dengan cara penulisan pada sistem desimal, yakni dengan memberi garis di atas digit-digit yang berulang.
Algoritma berikut dapat digunakan untuk mencari penyajian biner suatu pecahan
R 1
.
Algoritma untuk mengubah pecahan
desimal ke pecahan biner
2R =
b 1
+ F
1 b
1 =
int2R F
1 =
f r
a
2R 2F
1 =
b 2
+ F
2 b
2 =
int2F 1
F 2
= f
r a
2F
1 2F
2 =
b 3
+ F
3 b
3 =
int2F 2
F 3
= f
r a
2F
2 2F
3 =
b 4
+ F
4 b
4 =
int2F 3
F 4
= f
r a
2F
3 2F
4 =
b 5
+ F
5 b
5 =
int2F 4
F 5
= f
r a
2F
4
.. .
.. .
.. .
2F n
1 =
b n
+ F
n b
n =
int2F n
1 F
n =
f r
a
2F n
1
.. .
.. .
.. .
1.2
dengan
intx
adalah bagian bulat
x
dan
f r
a
x
adalah bagian pecahan
x
. Proses tersebut mungkin berhenti setelah langkah ke-
n
jika didapat- kan
F n
=
, mungkin berlanjut terus. Selanjutnya, representasi biner
R
adalah
R =
0:b 1
b 2
b 3
:::b n
::: dua
:
C
ONTOH
1.4.
Nyatakan pecahan
53 64
dalam bentuk pecahan biner Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
1.2 Penyajian Bilangan 13
biner dengan perpangkatan 2 akan menggeser titik koma pemisah bagian bulat dan bagian pecahan. Misalnya,
53 64
= 0:110101
dua 2
6 53
64 =
110101 dua
:
Aturan pergeseran titik tersebut benar, karena memang
53 =
110101 dua
. Silakan diperiksa
1.2.5 Notasi Ilmiah
