Kajian bias metode area-specific jackknife dan bias metode weighted jackknife dalam pendugaan area kecil untuk respon poisson dengan pendekatan bayes

KAJIAN BIAS METODE AREA-SPECIFIC JACKKNIFE DAN
BIAS METODE WEIGHTED JACKKNIFE DALAM
PENDUGAAN AREA KECIL UNTUK RESPON POISSON
DENGAN PENDEKATAN BAYES

WIDIARTI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakaan bahwa tesis Kajian Bias Metode Area-specific
Jackknife dan Bias Metode Weighted Jackknife dalam Pendugaan Area Kecil
untuk Respon Poisson dengan Pendekatan Bayes adalah karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Mei 2011
Widiarti
NIM G151080081

ABSTRACT
WIDIARTI. A Study of Area-specific and Weighted Biases of Jackknife
Methods in Small Area Estimation for Poisson Responses Using Bayesian
Approach. Supervised by KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO and ANANG
KURNIA.
Small area estimation is a method to estimate parameters in a subpopulation
with small sample size. The method is based on indirect estimation using the
strength of the surrounding area and data sources outside the area to obtain
statistic with edequate precision. Empirical Bayes (EB) method can be used to
obtain estimates of small area parameters. In this paper the method was used to
handle count data responses. The quality of an estimate can be measured by mean
squared error (MSE). Wan (1999) proposed a weighted jackknife method for
finding MSE of EB and showed that weighted jackknife methods have desirable
asymptotic properties. The concept of this method is to put weights using hat
matrix of auxiliary variables. Rao (2003) proposed a modification of jackknife

method described in Jiang et al. (2002). This method leads to a computationally
simpler jackknife estimator with an area-specific leading term. In the simulation
study for Poisson responses, the relative bias of the area-specific jackknife
estimator has been shown as the best MSE estimator in small number of areas for
Poisson-Gamma model. For Poisson-Lognormal model, the relative bias of the
weighted jackknife estimator has been shown as the best MSE estimator. Finnaly,
this method was applied to estimate small area mean squared errors in disease
mapping problems.
Keywords : MSE, area-specific
responses, relative bias

jackknife,

weighted

jackknife,

Poisson

RINGKASAN

WIDIARTI. Kajian Bias Metode Area-specific Jackknife dan Bias Metode
Weighted Jackknife dalam Pendugaan Area Kecil untuk Respon Poisson dengan
Pendekatan Bayes. Dibimbing oleh KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO dan
ANANG KURNIA.
Pendugaan area kecil merupakan suatu metode untuk menduga parameter
pada suatu subpopulasi dengan ukuran contoh kecil. Metode yang dikembangkan
dalam pendugaan area kecil adalah metode pendugaan tidak langsung dengan
memanfaatkan kekuatan area di sekitarnya dan sumber data di luar area. Tujuan
dari metode pendugaan ini adalah untuk meningkatkan keefektifan ukuran contoh
dan menurunkan keragaman dugaan parameter.
Kualitas suatu penduga dapat dievaluasi melalui beberapa kriteria, salah
satunya adalah kriteria Kuadrat Tengah Galat (KTG). KTG merupakan suatu
besaran untuk mengukur keragaman penduga area kecil. Beberapa penelitian yang
membahas tentang metode pendugaan KTG adalah Prasad dan Rao (1990), Wan
(1999), Chen (2001), Jiang et al (2002), Rao (2003), Lahiri dan Maiti (2006),
serta Chen dan Lahiri (2008).
Wan (1999) memperkenalkan metode weighted jackknife yang merupakan
pengembangan dari metode jackknife sebelumnya. Dalam metode ini pembobotan
dilakukan menggunakan hat matriks dari peubah penyerta. Metode jackknife
lainnya adalah Rao (2003) yang dikenal sebagai metode area-specific jackknife.

Metode ini menggunakan ragam dari sebaran posterior sebagai pendekatan bagi
nilai dugaan KTG. Dari segi perhitungan, metode ini lebih mudah dan sederhana
karena tidak perlu mencari nilai harapan dari ragam sebaran posterior yang secara
analitik terkadang sulit untuk dilakukan.
Selain KTG, terdapat kriteria lain yang dapat digunakan untuk menilai
kualitas dari suatu penduga. Kriteria tersebut adalah bias relatif. Penelitian terkait
bias relatif dari metode jackknife dilakukan oleh Chen dan Lahiri (2008) serta
Lohr dan Rao (2009). Evaluasi bias relatif metode weighted jackknife yang telah
dilakukan oleh Chen dan Lahiri (2008) adalah untuk pendugaan area kecil dengan
peubah respon kontinu yang mengaplikasikan EBLUP dalam pendugaan
parameter. Sedangkan Lohr dan Rao (2009) melakukan evaluasi bias relatif
metode area-specific jackknife untuk pendugaan area kecil dengan peubah respon
biner yang mengaplikasikan EB dalam pendugaan parameternya. Evaluasi bias
relatif metode weighted jackknife dan area-specific jackknife untuk pendugaan
area kecil dengan peubah respon diskrit khususnya Poisson belum banyak
dibahas.
Tujuan penelitian ini yaitu mengkaji bias relatif metode weighted jackknife
dan metode area-specific jackknife dalam pendugaan area kecil dengan peubah
respon Poisson dengan pendekatan Bayes. Selain itu hasil penelitian ini
diharapkan akan melengkapi hasil-hasil penelitian tentang bias KTG seperti telah

disebutkan sebelumnya.
Data yang digunakan untuk mengevaluasi bias relatif metode weighted
jackknife dan metode area-specific jackknife adalah data yang dibangkitkan dari
simulasi dan data sekunder yang diperoleh dari Stren dan Cressie (2000). Model
dasar yang digunakan dalam simulasi ini adalah model berbasis area dua level

yang diperkenalkan oleh Fay dan Herriot. Pembangkitan data dalam simulasi
didasarkan pada model Poisson-Gamma dan model Poisson-Lognormal dengan
peubah penyerta. Simulasi dirancang untuk mengetahui bias relatif dari metode
weighted jackknife dan metode area-specific jackknife. Penetapan m = 10, m = 30
dan m = 50 sebagai representasi jumlah area yang berukuran kecil, sedang dan
besar sedangkan ragam antar area 0.1, 0.5 dan 1 mencerminkan ragam antar area
kecil, sedang dan besar.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa metode area-specific jackknife
merupakan metode penduga KTG terbaik pada model Poisson-Gamma khususnya
untuk jumlah area yang kecil. Sedangkan pada model Poisson-Lognormal metode
weighted jackknife merupakan metode penduga KTG terbaik untuk ragam antar
area yang kecil. Nilai rata-rata bias relatif yang besar menunjukkan bahwa nilainilai dugaan bagi KTG berbeda jauh dari nilai yang sebenarnya. Sehingga
pendugaan KTG dengan kedua metode jackknife ini akan menghasilkan penduga
dengan presisi yang rendah.

Penelitian terkait bias relatif yang dilakukan oleh Chen dan Lahiri (2008)
adalah mengevaluasi penerapan metode weighted jackknife dengan ekspansi deret
Taylor, metode Chen-Lahiri, metode Prasad-Rao, serta metode Jiang-Lahiri-Wan
dalam pendugaan KTG pada pendugaan area kecil dengan metode EBLUP.
Sementara Lohr dan Rao (2009) melakukan evaluasi bias relatif dari metode
jackknife pada pendugaan area kecil dengan model Beta-Binomial. Hasilnya
menunjukkan bahwa metode pendugaan KTG yang diperkenalkan oleh Chen dan
Lahiri (2008) yaitu metode weighted jackknife dengan ekspansi deret Taylor
memberikan rata-rata bias relatif yang lebih kecil dibandingkan metode lainnya.
Kajian lebih lanjut terkait penerapan metode ini dalam pendugaan KTG pada
pendugaan area kecil dengan respon Poisson masih diperlukan.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa metode area-specific jackknife
merupakan metode penduga KTG terbaik pada model Poisson-Gamma sedangkan
metode weighted jackknife merupakan metode penduga KTG terbaik pada model
Poisson-Lognormal. Pada kasus Poisson-Gamma, penyelesaian analitik dari
ragam sebaran posteriornya diketahui, sedangkan pada kasus Poisson-Lognormal
penyelesaikan secara analitiknya tidak dapat dilakukan. Dengan demikian,
pendugaan KTG untuk resiko relatif penyakit kanker bibir di Skotlandia akan
dilakukan dengan metode area-specific jackknife dengan model Poisson-Gamma.
Selain itu, akan diterapkan metode weighted jackknife dengan ekspansi deret

Taylor sebagai perbandingan. Hasil pendugaan KTG menunjukkan bahwa nilainilai dugaan KTG metode area-specific jackknife selalu lebih kecil dibandingkan
metode weighted jackknife dengan ekspansi deret Taylor. Hal ini disebabkan
pendekatan model yang digunakan kedua metode ini berbeda. Metode areaspecific jackknife menggunakan model Poisson-Gamma sebagai pendekatan
sebaran dari data kanker bibir di Skotlandia. Sedangkan metode weighted
jackknife dengan ekspansi deret Taylor mengasumsikan data kanker bibir tersebut
menyebar normal. Dengan demikian, perlu kajian lebih lanjut terkait penerapan
metode weighted jackknife dengan ekspansi deret Taylor pada kasus data dengan
respon berupa data cacahan.

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar bagi IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

KAJIAN BIAS METODE AREA-SPECIFIC JACKKNIFE DAN

BIAS METODE WEIGHTED JACKKNIFE DALAM
PENDUGAAN AREA KECIL UNTUK RESPON POISSON
DENGAN PENDEKATAN BAYES

WIDIARTI

Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

Judul Tesis : Kajian Bias Metode Area-specific Jackknife dan Bias Metode
Weighted Jackknife dalam Pendugaan Area Kecil untuk Respon
Poisson dengan Pendekatan Bayes
Nama

: Widiarti
NRP
: G151080081

Disetujui
Komisi Pembimbing

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Ketua

Dr. Anang Kurnia
Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Statistika

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr.Ir. Erfiani, M.Si.

Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

Tanggal Ujian: 30 Mei 2011

Tanggal Lulus:

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si.

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat
dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul karya ilmiah
ini adalah “Kajian Bias Metode Area-specific Jackknife dan Bias Metode
Weighted Jackknife dalam Pendugaan Area Kecil untuk Respon Poisson dengan
Pendekatan Bayes”.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof. Dr. Ir. Khairil A.
Notodiputro, MS selaku pembimbing I dan Bapak Dr. Anang Kurnia selaku
pembimbing II, terima kasih atas bimbingan, saran dan waktunya. Disamping itu
penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si.
selaku penguji luar komisi pada ujian tesis dan seluruh staf Program Studi

Statistika.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada bapak, mamak, serta
seluruh keluarga atas do’a, dukungan dan kasih sayangnya. Terima kasih kepada
teman-teman Statistika dan Statistika Terapan angkatan 2008 atas bantuan dan
kebersamaannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Mei 2011

Widiarti

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Patoman, Lampung pada tanggal 2 Mei 1980 sebagai
anak kedua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Bapak Tirto Utomo dan Ibu
Sukarni.
Penulis menyelesaikan pendidikan SLTA di SMKN 1 Gading Rejo pada
tahun 1998 dan melanjutkan perkuliahan di jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan lulus pada
tahun 2003.
Penulis bekerja sebagai Staf Pengajar di Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung sejak tahun 2005.
Pada tahun yang sama penulis menikah dengan Alm. Rizal Saleh, ST dan kini
dikarunia Allah dua orang puteri bernama Tazkia Farra Saleha dan Tsamara
Tsabita Saleha.

DAFTAR ISI
Halaman

DAFTAR TABEL ........................................................................................ xii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................ xiv
PENDAHULUAN
Latar Belakang.....................................................................................
Tujuan Penelitian .................................................................................

1
3

TINJAUAN PUSTAKA
Model Dasar Pendugaan Area Kecil .................................................... 5
Model Poisson-Gamma ........................................................................ 6
Model Poisson-Lognormal ................................................................... 8
Metode Jackknife ................................................................................. 11
Metode Weighted Jackknife ..................................................... 11
Metode Area-specific Jackknife ............................................... 12
METODOLOGI PENELITIAN
Data ....................................................................................................
Metode Penelitian ................................................................................
Simulasi untuk Model Poisson-Gamma ...............................................
Simulasi untuk Model Poisson-Lognormal ...........................................
Data Penyakit Kanker Bibir .................................................................

15
15
16
17
18

HASIL DAN PEMBAHASAN
Simulasi ............................................................................................... 19
Hasil Penelitian sebelumnya ................................................................ 20
Data Penyakit Kanker Bibir di Skotlandia ............................................ 21
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan ............................................................................................. 25
Saran ................................................................................................... 25
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 27
LAMPIRAN ................................................................................................ 29

DAFTAR TABEL
Halaman
1
2

Kuadrat Tengah Galat dari model Poisson-Gamma dan PoissonLognormal masing-masing untuk metode weighted jackknife dan areaspecific jackknife ................................................................................. 13
Rata-rata bias relatif metode jackknife untuk Model Poisson-Gamma
dan Poisson-Lognormal dalam persen .................................................. 19

3

Perbandingan hasil rata-rata bias relatif Chen dan Lahiri (2008), Lohr
dan Rao (2009), Widiarti (2011) dalam persen ..................................... 21

4

Statistika deskriptif data kanker bibir di Skotlandia ............................. 22

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1

Perbandingan nilai-nilai dugaan KTG .................................................. 24

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1

Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 10
dan alpha = 1 ........................................................................................ 29

2

Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 30
dan alpha = 1 ........................................................................................ 29

3

Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 50
dan alpha = 1 ........................................................................................ 30

4

Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 10
dan alpha = 0.5 ..................................................................................... 31
Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 30
dan alpha = 0.5 ..................................................................................... 31

5
6

Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 50
dan alpha = 0.5 ..................................................................................... 32

7

Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 10
dan alpha = 0.1 ..................................................................................... 33
Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 30
dan alpha = 0.1 ..................................................................................... 33

8
9

Bias relatif metode jackknife pada model Poisson-Gamma untuk m = 50
dan alpha = 0.1 ..................................................................................... 34

10

Penduga resiko relatif data penyakit kanker bibir di Skotlandia ............ 35

11

Penduga KTG bagi resiko relatif data penyakit kanker bibir di
Skotlandia ............................................................................................ 36

12

Program R untuk data simulasi yang menyebar Poisson-Gamma dan
Poisson-Lognormal .............................................................................. 37

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendugaan area kecil merupakan suatu metode untuk menduga parameter
pada suatu subpopulasi dengan ukuran contoh kecil. Metode yang dikembangkan
dalam pendugaan area kecil adalah metode pendugaan tidak langsung dengan
memanfaatkan kekuatan area di sekitarnya dan sumber data di luar area. Tujuan
dari metode pendugaan ini adalah untuk meningkatkan keefektifan ukuran contoh
dan menurunkan keragaman dugaan parameter.
Berbagai metode pendugaan tidak langsung telah dikembangkan untuk
memperoleh penduga bagi area kecil. Metode yang sering digunakan adalah
prediksi takbias linier terbaik empirik (Empirical Best Linear Unbiased
Prediction, EBLUP), Bayes empirik (Empirical Bayes, EB), dan Bayes
berhierarki (Hierarchical Bayes , HB).
Kualitas suatu penduga dapat dievaluasi melalui beberapa kriteria, salah
satunya adalah kriteria Kuadrat Tengah Galat (KTG). KTG merupakan suatu
besaran untuk mengukur keragaman penduga area kecil. Beberapa penelitian yang
membahas tentang metode pendugaan KTG adalah Prasad dan Rao (1990), Wan
(1999), Chen (2001), Jiang et al (2002), Rao (2003), Lahiri dan Maiti (2006),
serta Chen dan Lahiri (2008). Prasad dan Rao (1990) mengembangkan metode
delta untuk menduga KTG pada model linier campuran normal yang mengambil
bentuk model Fay-Herriot. Metode ini diterapkan pada pendugaan dengan
menggunakan metode EBLUP. Perbaikan terhadap metode pendugaan KTG juga
dilakukan oleh Lahiri dan Maiti (2006) yang memperkenalkan teknik baru yang
menghasilkan penduga KTG yang nonnegative.
Metode pendugaan KTG lainnya adalah metode jackknife. Konsep jackknife
pertama kali diperkenalkan oleh Quenouille (1949) dengan tujuan untuk
mengoreksi bias dugaan. Wan (1999) memperkenalkan metode weighted jackknife
yang merupakan pengembangan dari metode jackknife sebelumnya. Dalam
metode ini pembobotan dilakukan menggunakan hat matriks dari peubah
penyerta. Metode jackknife lainnya adalah Rao (2003) yang dikenal sebagai
metode area-specific jackknife. Metode ini menggunakan ragam dari sebaran

posterior sebagai pendekatan bagi nilai dugaan KTG. Dari segi perhitungan,
metode ini lebih mudah dan sederhana karena tidak perlu mencari nilai harapan
dari ragam sebaran posterior yang secara analitik terkadang sulit untuk dilakukan.
Selain KTG, terdapat kriteria lain yang dapat digunakan untuk menilai
kualitas dari suatu penduga. Kriteria tersebut adalah bias relatif. Secara asimtotik,
bias relatif metode area-specific jackknife dan metode weighted jackknife adalah
m-1(Chen 2001, Lohr & Rao 2009), dimana m merupakan jumlah area.
Penelitian terkait bias relatif dari metode jackknife dilakukan oleh Chen dan
Lahiri (2008) yang mengevaluasi penerapan metode weighted jackknife dengan
ekspansi deret Taylor menggunakan pendekatan metode EBLUP. Hasil dari
penelitian ini menunjukkan bahwa metode weighted jackknife dengan ekspansi
deret Taylor merupakan metode penduga KTG terbaik jika pendugaan bagi ragam
antar area dilakukan dengan ANOVA. Penelitian lainnya dilakukan oleh Lohr dan
Rao (2009) yang melakukan evaluasi bias relatif dari metode jackknife pada
pendugaan area kecil dari model Beta-Binomial. Hasil penelitian ini menunjukkan
bahwa bias relatif dari metode area-specific jackknife lebih kecil dibandingkan
bias relatif dari metode jackknife Jiang et al (2002).
Salah satu penerapan pendugaan area kecil adalah pada kasus pemetaan
penyakit dengan respon berupa data cacahan. Ukuran contoh yang kecil menjadi
masalah yang sering dihadapi. Kondisi ini menyebabkan penerapan pendugaan
secara langsung untuk menduga resiko relatif terjangkit suatu penyakit pada area
tertentu menjadi tidak dapat diandalkan. Metode alternatif yang dapat digunakan
untuk menangani masalah ini adalah metode pendugaan tidak langsung dengan
pendekatan EB.
Model Poisson merupakan model peluang baku untuk data cacahan namun
dalam keadaan tertentu rataan dan ragamnya tidak sama, yaitu pada saat terjadi
overdispersi. Oleh karena itu dikembangkan formula Poisson yang memuat
parameter tambahan untuk mengakomodasi kelebihan ragam dari pengamatan dan
dikenal sebagai model Poisson campuran. Model Poisson-Gamma dan model
Poisson-Lognormal merupakan model Poisson campuran yang sering diterapkan
pada kasus pemetaan penyakit.

Penelitian mengenai pendugaan area kecil pada pemetaan penyakit dengan
model Poisson-Gamma diantaranya dilakukan oleh Wakefield (2007), Kisminatini
(2007) dan Lohr dan Rao (2009). Selain menggunakan model Poisson-Gamma,
Lohr dan Rao (2009) juga menerapkan model Poisson-Lognormal dalam
pendugaan resiko relatif penyakit kanker bibir di Skotlandia. Pada model PoissonLognormal, sebaran posterior dari model ini tidak dapat diketahui secara analitik.
Sehingga diperlukan komputasi numerik untuk mendapatkan nilai dugaan bagi
resiko relatifnya.
Evaluasi bias relatif metode weighted jackknife yang telah dilakukan oleh
Chen dan Lahiri (2008) adalah untuk pendugaan area kecil dengan peubah respon
kontinu yang mengaplikasikan EBLUP dalam pendugaan parameter. Sedangkan
Lohr dan Rao (2009) melakukan evaluasi bias relatif metode area-specific
jackknife untuk pendugaan area kecil dengan peubah respon biner yang
mengaplikasikan EB dalam pendugaan parameternya. Evaluasi bias relatif metode
weighted jackknife dan area-specific jackknife untuk pendugaan area kecil dengan
peubah respon diskrit khususnya Poisson belum banyak dibahas. Sehingga
penelitian ini akan membahas bias relatif dari kedua metode jackknife tersebut
untuk pendugaan area kecil dengan peubah respon Poisson dengan pendekatan
Bayes sebagai metode pendugaan parameternya. Selain itu hasil penelitian ini
diharapkan akan melengkapi hasil-hasil penelitian tentang bias KTG seperti telah
disebutkan sebelumnya.
Tujuan
Penelitian ini bertujuan mengkaji bias relatif metode weighted jackknife dan
metode area-specific jackknife dalam pendugaan area kecil dengan peubah respon
Poisson dengan pendekatan Bayes.

TINJAUAN PUSTAKA

Model Dasar Pendugaan Area Kecil
Area kecil didefinisikan sebagai himpunan bagian dari populasi yang ukuran
contohnya kecil dimana suatu peubah menjadi perhatian. Pendekatan klasik untuk
menduga parameter area kecil didasarkan pada aplikasi model desain penarikan
contoh yang dikenal sebagai pendugaan langsung. Metode pendugaan ini tidak
memiliki presisi yang memadai karena ukuran contoh yang digunakan untuk
memperoleh dugaan tersebut kecil. Oleh karena itu dikembangkan metode
pendugaan secara tidak langsung dengan memanfaatkan kekuatan area
disekitarnya dan sumber data di luar area yang statistiknya ingin diperoleh.
Terdapat dua model penghubung dalam pendugaan tidak langsung yaitu
model penghubung implisit dan eksplisit (Rao 2003). Model penghubung ini
digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area kecil lainnya. Model
penghubung implisit digunakan pada pendugaan yang didasarkan oleh desain
penarikan contoh. Model ini menghasilkan penduga yang mempunyai ragam
desain yang relatif kecil dibandingkan dengan penduga langsung. Dalam model
penghubung implisit, dikenal tiga metode yaitu sintetik, komposit, dan JamesStein. Metode sintetik menghasilkan penduga sintetik yang diperoleh dari survei
contoh area besar yang digunakan untuk memperoleh penduga tidak langsung area
kecil dengan asumsi bahwa area kecil tersebut memiliki karakteristik yang sama
dengan area besarnya. Metode komposit menghasilkan penduga komposit yang
merupakan rata-rata terboboti dari penduga langsung dan penduga tidak langsung.
Pendugaan James-Stein merupakan pendugaan komposit dengan menggunakan
pembobotan umum. Model penghubung eksplisit adalah suatu model yang
memasukkan pengaruh acak area kecil dan peubah penyerta dalam model. Model
ini selanjutnya dikenal sebagai model area kecil.
Dua ide utama yang digunakan untuk mengembangkan model pendugaan
area kecil adalah asumsi bahwa keragaman peubah respon di dalam area kecil
dapat diterangkan seluruhnya oleh keragaman faktor-faktor yang diketahui atau
dikenal sebagai model pengaruh tetap dan asumsi keragaman spesifik area kecil
tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan atau dikenal sebagai pengaruh

acak area kecil (Kurnia 2009). Model pengaruh campuran (mixed models)
merupakan gabungan dari kedua asumsi tersebut. Salah satu sifat menarik dari
model campuran adalah kemampuannya dalam menduga kombinasi linear dari
pengaruh tetap dan pengaruh acak. Fay dan Herriot (1979) menggunakan model
pengaruh campuran untuk menduga rata-rata pendapatan subpopulasi di Amerika
Serikat. Model Fay-Herriot ini kemudian menjadi dasar bagi pengembangan
pemodelan area kecil.
Model linier campuran lainnya adalah metode EBLUP, EB, dan HB yang
mencakup banyak penggunaan pada pendugaan area kecil. Kurnia dan
Notodiputro (2006) mengaplikasikan metode EBLUP untuk menduga pengeluaran
rumah tangga di propinsi Jawa Barat. Ranalli et al (2007) melakukan pendugaan
angka pengangguran pada subprovinsi di Italia. Peneliti yang mengkaji penerapan
metode HB pada area kecil yaitu Datta dan Lahiri (1995), He dan Sun (2000), dan
You dan Rao (2003).
Menurut Rao (2003), metode EB merupakan metode yang cocok digunakan
dalam menangani data biner dan data cacahan pada pendugaan area kecil.
Pendugaan dan inferensi pada pendekatan EB didasarkan pada sebaran posterior
yang parameternya diduga dari data. Secara ringkas, tahapan metode EB dalam
konteks pendugaan area kecil yaitu:
1. mendapatkan fungsi kepekatan peluang posterior dari parameter area kecil
yang menjadi perhatian
2. menduga parameter model dari fungsi kepekatan peluang marjinal
3. menggunakan fungsi kepekatan peluang posterior dugaan untuk membuat
inferensi parameter area kecil yang menjadi perhatian.
Metode EB umumnya diterapkan pada pemetaan penyakit dengan data
cacahan. Beberapa penelitian yang menerapkan metode EB pada pemetaan
penyakit yaitu Wakefield (2007), Kismiantini (2007), serta Lohr dan Rao (2009).
Model Poisson-Gamma
Model Poisson-Gamma merupakan model Poisson campuran dan dapat
digunakan untuk mengatasi masalah overdispersi. Model ini dapat dituliskan
sebagai:

Level 1 : y i | θ i ~ Poisson(ei θ i )
Level 2 : θ i ~ Gamma (α, β) , i = 1, 2, 3, . . . , m
dengan yi menyatakan banyaknya pengamatan suatu kasus pada area ke-i, ei
adalah nilai harapan banyaknya suatu kasus pada area ke-i, θi adalah resiko relatif
area ke-i yang tidak diketahui dan m menyatakan jumlah area, sedangkan α dan β
merupakan parameter yang belum diketahui. Level pertama diasumsikan
ind

iid

bahwa y i ~ Poisson(ei θ i ) dan level kedua diasumsikan bahwa θ i ~ Gamma( α, β) .
Model Poisson-Gamma dengan peubah penyerta diperkenalkan oleh
Wakefield (2007). Model ini dapat dituliskan:
ind

Level 1 : y i ~ Poisson(ei i θ i )
iid

Level2 : θ i ~ Gamma (α,1 / α)
dengan

i

=

(1)

exp( x i , β) menyatakan model regresi,
T

merupakan vektor peubah penyerta dan β
koefisien
m(y i | β,α )

regresi.

Sebaran

ei
Γ(y i α)
Γ(α)yi ! e i i

yi

y i | β,α

ei

i

yang menyebar Binomial Negatif

α

E y i | β, α

dengan rata-rata dan ragam masing-masing adalah

Var y i | β, α

E y i | β, α 1

adalah

α

α

α

(x1i , x 2i ,...., x pi )

(β1 , β 2 ,..., β p ) T merupakan vektor

marjinal

i

T

xi

y i | β, α / α

ei

i

dan

e i i (1 e i i /α) .

Sebaran dan penduga EB bagi θi diperoleh dengan menggunakan teorema
Bayes (Wakefield 2007). Sebaran dari θi yaitu:

θ iyi

θ i y i β, α

Γ(yi
yang menyebar gamma (yi

α,1 (ei

i

α 1

α)

e

θ i (e i

i

α)
yi α

1
ei

i

α

α)) . Penduga Bayes bagi θi dan ragam

bagi θi masing-masing adalah θ̂ iB (α,1 / α) E(θ i | y i , α)

gi

Var(θ i | y i , α)

(y i

α)/(ei

i

(yi

α)/(ei

i

α) dan

α) 2 yang tergantung pada data area-specific

yi. KTG dari θ̂ iB yaitu KTG (θ̂ iB )

E{Var (θ i | y i , α)} k i (α,1 / α) diperoleh

secara integrasi numerik dengan menggunakan sebaran marjinal dari yi. Pada

kasus Poisson-Gamma seperti persamaan (1) penyelesaian analitik dari k i (α,1/α)
adalah:

k i (α,1 α) = E { ( θ̂ iB

θi ) 2 | α}

1 /(e i

α)

i

(2)

Dugaan parameter bagi β yaitu β̂ diperoleh dengan menyelesaikan regresi
Binomial Negatif. Sedangkan dugaan parameter bagi α diperoleh dengan metode
momen yaitu dengan menyelesaikan persamaan sebagai berikut:

E(y i | θ i )

E(y i )

y

ei

i

E(θ i ) e i

(3)

i

dan

Var(y i ) E(Var (yi | θ i )) Var (E(yi | θ i )
S 2y E (ei i θ i ) Var (ei i θ i ) e i

i

(ei

i

)2 / α

(4)

α̂ diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (3) dan (4) yaitu:
α̂

y2
S2y

y

(5)
dengan y dan S 2y masing-masing merupakan rataan dan ragam contoh terboboti.

y

ei

1
m

m

(e i /e.) y i dan

S 2y

i 1

ni

y

i i

n

i i

1 m
(y i
m 1i1

y) 2 dengan

e.

(ei /m)

i

dan

yang merupakan nilai harapan banyaknya suatu kasus pada

area ke-i.
Penduga EB bagi θi yaitu:

θ̂ iEB
dengan ˆ i

θ̂ iE β̂, α̂

e i ˆ i α̂ e i ˆ i , E RR i

ˆ i θ̂ i

(1 ˆ )E RR i

ˆ i E θi

ˆi 1

(6)

ˆi

exp x i , β̂ . E RR i
T

merupakan nilai harapan resiko relatif ke-i yang merupakan penduga tidak
langsung. Penduga langsung dari θi yaitu θ̂ i
ind

memaksimumkan fungsi peluang
persamaan (6) menjadi:

y i ˆ i e i diperoleh dengan

y i ~ Poisson(ei i θ i ) . Dengan demikian

θ̂ iEB

ˆ i ( y i ˆ i e i ) (1 ˆ ) ˆ i

θ̂ iE β̂, α̂

(7)
Selanjutnya, pendugaan bagi KTG akan dilakukan dengan menggunakan
metode

area-specific

KTG (θ̂ iEB )

E(θ̂ iB

jackknife

θ i ) 2 E(θ̂ iEB

dan

metode

weighted

jackknife

yaitu

θ̂ iB ) 2 .

Model Poisson-Lognormal
Model Poisson-Lognormal adalah model dua level yang merupakan
gabungan sebaran Poisson dengan sebaran Lognormal. Sebagai model Poisson
campuran, model ini juga dapat digunakan untuk mengatasi masalah overdispersi.
Model ini dapat dituliskan:
Level 1 : y i ~ Poisson(ei i θ i )
Level 2 : θ i ~ Lognormal( , σ 2 )
(8)
Sebaran

f(θ i | , σ 2 )

Lognormal

1
θσ 2π

memiliki

)2

(logθ i
2σ 2

exp

fungsi

kepekatan

peluang

. Dengan demikian, jika yi memiliki

sebaran Poisson (ei iθi) dimana θi merupakan nilai dari peubah acak yang
menyebar Lognormal, maka dihasilkan sebaran Poisson campuran dengan fungsi
kepadatan peluang bersyarat:

f(yi | , σ )
2

ei

yi
i

σ 2π y!

exp( e i i θ i )θ i

yi 1

exp

(logθ i
2σ 2

)2

yi menyatakan banyaknya pengamatan suatu kasus pada area ke-i, ei adalah nilai
harapan banyaknya suatu kasus pada area ke-i,
T

model regresi, x i
β

= exp( x i , β)
T

i

menyatakan

(x1i , x 2i ,...., x pi ) merupakan vektor peubah penyerta dan

(β1 , β 2 ,..., β p ) T merupakan vektor koefisien regresi dan θi adalah resiko relatif

terkena suatu kasus pada area ke-i yang nilainya tidak diketahui.
Pendugaan parameter bagi

dan σ2 diperoleh dengan menggunakan metode

momen yaitu dengan menyelesaikan persamaan sebagai berikut:

E(y i )

E(y i | θ i )

y

ei

i

E(θ i ) e i

(9)

i

dan

Var(y i ) E(Var (yi | θ i )) Var (E(yi | θ i )
S 2y E (ei i θ i ) Var (e i i θ i ) e i

i

(ei

i

)2 σ2

(10)

ˆ dan σ̂ 2 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (9) dan (10) yaitu:
y

ˆ

σ̂

2

ei

S2y

(11)
i

y

(12)

(ei i ) 2

Sebaran marjinal dari yi | ,σ2 adalah

m( y i | , σ 2 )

f(yi | , σ 2 ) dθ i
0

ei

yi
i

σ 2π y! 0

exp( e i i θ i )θ i
θi

dengan memisalkan z

2σ

yi 1

(logθ i
2σ 2

exp

)2

(13)

dθ i

dan mensubtitusikannya pada persamaan (13),

maka:

m(yi | , σ )
2

(ei i ) yi 2
2π y!

exp( e i i exp( 2σ z

)) (exp( 2σ z

)) yi exp( z 2 ) dz

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan Gauss-Hermite quadrature, yaitu
dengan

(ei i ) yi 2

f(z)

e

memandang

2π y!
z2

persamaan

tersebut

exp( e i i exp( 2σ z

sebagai

)) (exp( 2σ z

e

z2

)) yi .

f(z)dz ,

dengan

Selanjutnya

n

w i f(zi ) , dimana zi merupakan

f(z)dz diselesaikan dengan menghitung
i 1

zeros yang bersesuaian dengan H n (z)

dn
( 1) e
(e
dz n
n

z2

z2

) dan wi merupakan

pembobot yang didefinisikan sebagai w i

2 n 1 (n!) π
dengan n merupakan
(H 'n (z i )) 2

banyaknya point yang digunakan.
Penduga bagi θi dari model Poisson-Lognormal pada persamaan (8) menurut
Lohr dan Rao (2009) adalah:
θ̂ iB

h i (1, y i , , σ)
h i (0, y i , , σ)

E(θ i | y i )

(14)

dengan ragam
g i ( , σ, y i )

h i (k, y i , , σ)
diselesaikan

β̂

h i (2, y i , , σ)
h i (0, y i , , σ)

E z [exp{ e i ˆ i exp( 2σ z
dengan

) (yi

(θ̂ iB ) 2

(15)

)}] , h i (k, y i , , σ)

k)( 2σ z

Gauss-Hermite quadrature dengan ˆ i

exp x i , β̂
T

dan

(β1 , β 2 ,..., β p ) T merupakan vektor koefisien regresi.

Metode Jackknife
Metode jackknife pertama kali diperkenalkan oleh Quenouille pada tahun
1949 dengan tujuan mengoreksi bias dugaan. Metode ini merupakan metode
resampling dengan prosedurnya adalah menghapus area satu persatu. Misalkan y1,
y2, … , ym contoh acak berukuran m area, kemudian y1 dihilangkan dan dilakukan
perhitungan untuk memperoleh sebuah pendugaan. Operasi ini dilakukan
sebanyak m kali dengan menghilangkan satu area pada masing-masing tahap.
Metode Weighted Jackknife
Wan (1999) mengusulkan metode weighted jackknife yang merupakan
pengembangan dari teknik jackknife sebelumnya. Konsep dari metode ini yaitu
pembobotan dengan menggunakan hat matriks yang diperoleh dari peubah
penyerta. Penduga KTG dengan metode ini yaitu:

KTG WJi
H1i (φ̂)

h 1iWJ

m

h1iWJ

h 2iWJ

w j H 1i (φ̂ j ) H1i (φ̂)

j 1

m

h

WJ
2i

2

w j θ̂ (y i ; φ̂ j ) θ̂ (y i ; φ̂)
EB
i

j 1

EB
i

H1i (φ)

wj

1 h jj dengan h ij

x iT X T X

1

k i (α,1 / α)

x j , untuk i, j = 1, 2,..., m. H1i (φ̂ j ) dan

θ̂ iEB (yi ; φ̂ j ) masing-masing diperoleh dengan menghapus area ke-j, kemudian
menggunakan (m-1) area untuk menghitung penduga bagi φ dan penduga
bagi θ i .
Metode Area-specific Jackknife
Rao (2003) memperkenalkan metode area-specific jackknife yang
merupakan pengembangan dari metode jackknife Jiang et al (2002). Dari segi
perhitungan, metode ini lebih mudah dan sederhana karena tidak perlu mencari
nilai harapan dari ragam sebaran posterior yang secara analitik terkadang sulit
untuk dilakukan. Rao menggunakan gi sebagai pendekatan bagi

g i (φ̂, y i )

k i, yaitu

Var(θ i | y i , φ̂) . Penduga KTG metode area-specific jackknife yaitu:
KTG ASi

M̂ A1i (y i )

M̂ A1i

g i (φ̂, y i )

M̂ 2i i 1, 2, 3, ..., m
m

{g i (φ̂ ( j) , y i ) g i (φ̂, y i )}

j i

M̂ 2i

m 1
m

m

(θ̂ i(EB j)

θ̂ iEB ) 2

j 1

Secara ringkas, penduga KTG dari kedua metode jackknife pada model
Poisson-Gamma dan model Poisson-Lognormal disajikan pada Tabel 1. Pada
kasus Poisson-Gamma seperti pada persamaan (1) penyelesaian analitik dari ki
diketahui. Pada kasus Poisson-Lognormal dalam persamaan (8) penentuan ki
memerlukan perhitungan secara numerik dan cukup kompleks, sehingga pada
model Poisson-Lognormal ki akan didekati dengan gi pada persamaan (15).

Tabel 1 Kuadrat Tengah Galat dari model Poisson-Gamma dan Poisson-Lognormal masing-masing untuk metode weighted jackknife dan
area-specific jackknife
Metode
Model Poisson-Gamma
Model Poisson-Lognormal
Weighted jackknife

(e i ˆ i

m

wj
j 1
m

wj
j 1

Area-specific jackknife

m

j)

1
ˆ ( j) )

(e i ˆ i

j)

, ˆ(

j)

, yi ) g i ( ˆ , ˆ , yi )

ˆ)

m 1
m

2

m

ˆ EB ( ˆ
i

( j)

, ˆ(

j)

, yi

ˆ EB ( ˆ , ˆ , y )
i
i

2

j i

j)

ˆ i ( y i / e i ˆ i ) (1 ˆ i ) ˆ i

g i ( ˆ i , ˆ , yi )

gi ( ˆi (

, ˆ(
j)

g i ( ˆ , ˆ , yi )

KTG ASi
m

g i ( ˆ , ˆ , yi )
j ) , yi )

gi ( ˆ (

j)

, ˆ(

j)

, yi ) g i ( ˆ , ˆ , yi )

j i

j i

m 1
m

gi ( ˆ(

j i

ˆ i ( j) ( y i / e i ˆ i ( j) ) (1 ˆ i ( j) ) ˆ i (

KTG ASi
m

ˆ)

1
(e i ˆ i (

g i ( ˆ , ˆ , yi )

KTG ASi

1

KTG WJi

m

ˆ EB ( ˆ
i

j i

i(

, ˆ(
j)

j ) , yi

ˆ EB ( ˆ , ˆ , y )
i
i
i

2

m 1
m

m

ˆ EB ( ˆ
i

j i

( j)

, ˆ(

j)

, yi

ˆ EB ( ˆ , ˆ , y )
i
i

2

METODOLOGI PENELITIAN

Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini terdiri dari dua jenis, yaitu data
simulasi dan data sekunder. Pembangkitan data dalam simulasi dilakukan dengan
sebaran Poisson-Gamma dan sebaran Poisson-Lognormal dengan asumsi bahwa
data penyakit merupakan data cacahan dengan model yang sering digunakan
adalah model Poisson campuran.
Data sekunder yang digunakan adalah data kanker bibir di Skotlandia yang
diambil dari Stren dan Cressie (2000). Data ini berupa banyaknya penderita
kanker bibir yang tercatat selama 6 tahun dari 1975 sampai 1980 pada 56 distrik
(area kecil) di Skotlandia. Peubah penyerta dalam data ini yaitu persentase bekerja
pada bidang pertanian, perikanan dan kehutanan.
Metode Penelitian
Metode pendugaan KTG yang digunakan dalam penelitian ini ada dua yaitu
metode weighted jackknife dan metode area-specific jackknife. Kedua metode
jackknife ini digunakan karena secara asimtotik order biasnya adalah m-1 (Chen
2001, Lohr & Rao 2009).
Pembangkitan data dalam simulasi didasarkan pada model Poisson-Gamma
dan model Poisson-Lognormal dengan peubah penyerta. Simulasi dirancang untuk
mengetahui bias relatif dari metode weighted jackknife dan metode area-specific
jackknife dengan rancangan sebagai berikut :
(i) Jumlah

area yang

berbeda-beda, yaitu m = 10, m = 30 dan m = 50.

Penetapan m = 10, m = 30 dan m = 50 sebagai representasi jumlah area yang
berukuran kecil, sedang dan besar.
(ii) Ragam

antar area untuk model

Poisson-Gamma dan model Poisson-

Lognormal ditetapkan masing-masing 0.1, 0.5 dan 1 yang mencerminkan
ragam antar area kecil, sedang dan besar.
Ragam antar area ditetapkan demikian karena untuk nilai ragam antar area
lebih dari 1 akan menyebabkan nilai-nilai yi yang dibangkitkan dengan sebaran
Poisson akan banyak yang bernilai nol. Hal ini menyebabkan terjadinya zero-

inflated dimana hal ini tidak akan dibahas dalam penelitian ini. Sedangkan
pemilihan nilai ragam antar area kurang dari 0.1 akan menghasilkan nilai yi yang
tidak berbeda jauh.
Model dasar yang digunakan dalam simulasi ini adalah model berbasis area
dua level yang diperkenalkan oleh Fay dan Herriot. Model dua level tersebut
dapat dituliskan sebagai model campuran linier berikut:

yi

θi

εi

xi β

εi

T

i

dengan:
yi = penduga langsung area ke-i
i

= pengaruh acak antar area

x i β = pengaruh tetap
T

εi = pengaruh acak di dalam area
Parameter yang ingin diduga adalah θi, yaitu resiko relatif terkena penyakit
pada area kecil. Pendugaan KTG dilakukan dengan metode weighted jackknife
dan metode area-specific jackknife dan kemudian dievaluasi bias relatif dari
kedua metode jackknife tersebut. Simulasi ini dilakukan dengan menetapkan m =
10, 30, 50 pada setiap nilai ragam antar area untuk data yang menyebar PoissonGamma dan Poisson-Lognormal.
Simulasi untuk Model Poisson-Gamma
Level 1 : y i ~ Poisson(ei i θ i )
Level 2 : θ i ~ Gamma (α,1 / α)
Langkah-langkah:
1. Membangkitkan x i = vektor peubah penyerta dan ei = nilai harapan banyaknya
suatu penyakit pada area ke-i untuk i = 1, … , m
2. Membangkitkan θi dan yi

θ i ~ Gamma (α,1 / α) dan y i ~ Poisson(ei i θ i ) ,

= exp( x i β )
T

i

3. Menentukan β̂ dengan persamaan regresi dan menghitung ˆ i
4. Menghitung α̂ dengan rumus pada persamaan (5)
5. Menentukan penduga EB dengan rumus pada persamaan (7)

exp x i , β̂
T

6. Menentukan k i (α̂,1 α̂) = 1 /(e i ˆ i

α̂)/(ei ˆ i

α̂) dan gi = (yi

α̂) 2

7. Menghitung nilai dugaan KTG dengan metode weighted jackknife
8. Menghitung nilai dugaan KTG dengan metode area-specific jackknife
9. Menghitung
Rumus

yang

rata-rata

bias

digunakan

relatif
untuk

dari

kedua

menghitung

metode

jackknife.

rata-rata bias

relatif

(average relative bias /ARB) dari setiap metode jackknife yaitu:

ARB

100

1
m

m

RB i
i 1

1000

KTGJ ik
i 1

RB i

KTG i

1000
KTG i

KTG i

1 1000 EB
(θ̂ ik θ ik ) 2
1000 k 1

KTGJik = nilai dugaan KTG dengan metode jackknife
10. Membandingkan hasil yang diperoleh pada langkah 9.
11. Simulasi diulang sampai 1000 kali.
Simulasi untuk Model Poisson-Lognormal
Level 1 : y i ~ Poisson(ei i θ i )
Level 2 : θ i ~ Lognormal( , σ 2 )
Langkah-langkah:
1. Membangkitkan θi dan yi
log θ i ~ Normal( , σ 2 ) dan y i ~ Poisson(ei i θ i ) ,

= exp( x i β )
T

i

2. Menentukan β̂ dengan persamaan regresi dan menghitung ˆ i

exp x i , β̂
T

3. Menghitung ˆ dan σ̂ 2 masing-masing dengan persamaan (11) dan (12)
4. Menentukan penduga bagi θi dengan dengan rumus pada persamaan (14)
5. Menghitung KTG dengan metode weighted jackknife
6. Menghitung KTG dengan metode area-specific jackknife
7. Menghitung rata-rata bias relatif dari kedua

metode jackknife dengan

rumus seperti pada langkah 9 dalam simulasi Poisson-Gamma, kemudian
membandingkan hasilnya. Simulasi diulang sampai 1000 kali.

Data Penyakit Kanker Bibir
Metode pendugaan KTG terbaik yang diperoleh dari simulasi untuk model
Poisson-Gamma dan model Poisson-Lognormal diterapkan pada pendugaan KTG
data penyakit kanker bibir di Skotlandia.

Hasil

ini

kemudian

akan

dibandingkan dengan hasil pendugaan KTG dengan metode yang diperkenalkan
oleh Chen dan Lahiri (2008).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam penelitian ini telah dikembangkan metode jackknife yang secara
lengkap telah diuraikan dalam bab sebelumnya. Selanjutnya dalam bab ini akan
dijelaskan hasil simulasi dan perbandingan dengan beberapa penelitian terkait.
Simulasi
Seperti disebutkan sebelumnya bahwa model dasar yang digunakan dalam
simulasi adalah model berbasis area dua level, sehingga pembangkitan data
dilakukan dengan model Poisson-Gamma dan model Poisson-Lognormal.
Simulasi dirancang untuk mengetahui bias relatif dari metode weighted
jackknife dan metode area-specific jackknife. Simulasi diulang sampai 1000 kali.
Hasil simulasi disajikan pada Tabel 2. Dari Tabel 2 terlihat bahwa pada model
Poisson-Gamma untuk jumlah area 10, metode area-specific jackknife
memberikan rata-rata bias relatif yang lebih kecil dibandingkan metode weighted
jackknife. Hasil ini selalu konsisten pada setiap ragam antar area yang dicobakan.
Sedangkan pada jumlah area 30 dan 50, kedua metode jackknife memberikan ratarata bias relatif yang sama. Sehingga nampaknya metode area-specific jackknife
merupakan metode penduga KTG terbaik pada model Poisson-Gamma khususnya
untuk jumlah area yang kecil.
Tabel 2 Rata-rata bias relatif metode jackknife untuk model Poisson-Gamma dan
Poisson-Lognormal dalam persen
Ragam
Jumlah Model Poisson-Gamma Model Poisson-Lognormal
antar area
area
W
AS
W
AS
1
10
-26.64
-25.89
664.98
652.78
30
-91.45
-91.45
388.35
393.20
50
-95.67
-95.67
219.39
217.33
0.5
10
-3.84
-2.38
-70.47
-71.38
30
-91.23
-91.23
263.01
255.99
50
-95.32
-95.32
251.38
257.18
0.1
10
-29.58
-29.12
-88.82
-88.89
30
-90.68
-90.68
-82.82
-83.14
50
-94.99
-94.99
-52.34
-53.57
Keterangan: W = metode weighted jackknife, AS = metode area-specific
Jackknife
Selain itu nilai rata-rata bias relatif dari kedua metode jackknife selalu
bernilai negatif. Ini berarti bahwa nilai dugaan KTG dari kedua metode tersebut

selalu lebih kecil jika dibandingkan dengan nilai KTG sebenarnya. Nilai rata-rata
bias relatif yang besar menunjukkan bahwa kedua metode ini memberikan hasil
pendugaan yang kurang baik, karena nilai-nilai dugaannya yang berbeda jauh dari
nilai yang sebenarnya. Sehingga pendugaan KTG dengan kedua metode jackknife
ini akan menghasilkan penduga dengan presisi yang rendah.
Hasil simulasi dari model Poisson-Lognormal yang disajikan dalam Tabel 2
menunjukkan bahwa pada ragam antar area 1, metode area-specific jackknife
memberikan rata-rata bias relatif yang lebih kecil dibandingkan metode weighted
jackknife untuk jumlah area 10 dan jumlah area 50. Sebaliknya pada ragam antar
area 0.5, metode weighted jackknife memberikan rata-rata bias relatif yang lebih
kecil dibandingkan metode area-specific jackknife untuk jumlah area 10 dan
jumlah area 50. Sedangkan pada ragam antar area 0.1 metode weighted jackknife
selalu memberikan rata-rata bias relatif yang lebih kecil dibandingkan metode
area-specific jackknife. Sehingga pada model Poisson-Lognormal nampaknya
metode weighted jackknife merupakan metode penduga KTG terbaik.
Pada Tabel 2 terlihat bahwa pada model Poisson-Gamma, rata-rata bias
relatif yang dihasilkan kedua metode jackknife akan semakin besar dengan
semakin besar jumlah area. Hasil ini bertentangan dengan yang dikemukakan
oleh Chen (2001) serta Lohr dan Rao (2009) yang menyatakan bahwa secara
asimtotik bias relatif metode area-specific jackknife dan metode weighted
jackknife adalah m-1 dimana m merupakan jumlah area. Hal ini disebabkan nilainilai dugaan KTG yang dihasilkan kedua metode jackknife akan semakin kecil
dengan semakin besar jumlah area. Dengan demikian, bias dari penduga KTG
juga menjadi semakin besar. Secara lengkap nilai-nilai dugaan KTG dengan
kedua metode jackknife tersaji dalam Lampiran 1 sampai dengan Lampiran 9.
Hasil Penelitian sebelumnya
Penelitian terkait bias relatif diantaranya telah dilakukan oleh Chen dan
Lahiri (2008) serta Lohr dan Rao (2009). Chen dan Lahiri (2008) mengevaluasi
penerapan metode weighted jackknife dengan ekspansi deret Taylor, metode
Chen-Lahiri, metode Prasad-Rao, serta metode Jiang et al (2002) dalam
pendugaan KTG pada pendugaan area kecil. Chen dan Lahiri mengaplikasikan
metode EBLUP sebagai metode pendugaan bagi parameter. Simulasi dalam

penelitian ini dilakukan dengan menetapkan jumlah area m = 15, ragam antar area
= 1 dan ragam dalam area = 20. Pendugaan ragam antar area dilakukan dengan
metode ANOVA.
Lohr dan Rao (2009) melakukan evaluasi bias relatif dari metode jackknife
pada pendugaan area kecil dari model Beta-Binomial. Metode jackknife yang
dikaji adalah metode Jiang et al (2002) dan metode area-specific jackknife. Data
dalam simulasi dibangkitkan dengan menggunakan sebaran Beta-Binomial dengan
jumlah respon ni = 5 dan jumlah area m = 20. Walaupun model simulasi yang
dilakukan oleh peneliti sebelumnya berbeda dengan model di dalam penelitian ini,
tetapi dengan maksud memberikan informasi yang lebih lengkap tentang kinerja
metode jackknife, bukan untuk diperbandingkan, maka hasil-hasil tersebut
disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Rata-rata bias relatif Chen dan Lahiri (2008), Lohr dan Rao (2009),
Widiarti (2011) dalam persen
Metode
Sumber pustaka
PR
CL
JLW
AWJ
AS
W
Chen dan Lahiri (2008)
573.5
34
39
5.2
Lohr dan Rao (2009)
52
6
Widiarti (2011)
- -25.89 -26.64
Keterangan: PR = metode Prasad-Rao, CL = metode Chen-Lahiri, JLW = metode
jackknife Jiang-Lahiri-Wan, AWJ = metode approximation weighted jackknife,
AS = metode area-specific jackknife, W = metode weighted jackknife
Berdasarkan Tabel 3 terlihat bahwa metode pendugaan KTG yang
diperkenalkan oleh Chen dan Lahiri (2008) yaitu metode weighted jackknife
dengan ekspansi deret Taylor (approximation weighted jackknife) memberikan
rata-rata bias relatif yang lebih kecil dibandingkan metode lainnya. Dengan
demikian, kajian lebih lanjut terkait penerapan metode ini dalam pendugaan KTG
pada pendugaan area kecil dengan respon Poisson masih diperlukan.
Data Penyakit Kanker Bibir di Skotlandia
Metode pendugaan KTG terbaik yang diperoleh dari hasil simulasi
kemudian digunakan untuk menduga KTG penyakit kanker bibir yang tercatat
selama 6 tahun dari 1975 sampai 1980 pada 56 distrik di Skotlandia. Peubah
penyerta yang digunakan adalah persentase penduduk yang bekerja pada bidang
pertanian, perikanan dan kehutanan.

Hasil simulasi menunjukkan bahwa metode area-specific jackknife
merupakan metode penduga KTG terbaik pada model Poisson-Gamma sedangkan
metode weighted jackknife merupakan metode penduga KTG terbaik pada model
Poisson-Lognormal. Pada kasus Poisson-Gamma, penyelesaian analitik dari ki
diketahui, sedangkan pada kasus Poisson-Lognormal penyelesaikan secara
analitik dari ki tidak dapat dilakukan. Dengan demikian, pendugaan KTG untuk
resiko relatif penyakit kanker bibir di Skotlandia akan dilakukan dengan metode
area-specific jackknife dengan model Poisson-Gamma. Selain itu, akan diterapkan
metode weighted jackknife dengan ekspansi deret Taylor sebagai perbandingan.
Tabel 4 memberikan informasi tentang sebaran data kanker bibir pada 56
distrik di Skotlandia. Berdasarkan Tabel 4 diperoleh informasi bahwa ada distrik
yang tidak terjangkit penyakit kanker bibir yang dinyatakan oleh nilai minimum
penduga langsung. Besarnya resiko relatif terjangkit penyakit kanker bibir pada
pendugaan langsung dihitung dengan rumus yi/(ei

i),

sehingga apabila pada suatu

distrik tidak terdapat individu yang terjangkit penyakit kanker bibir, maka resiko
relatifnya juga bernilai nol.
Tabel 4 Statistika deskriptif data kanker bibir di Skotlandia (dalam jiwa)
Minimum Maksimum Rata-rata
Simpangan baku
Pengamatan
Harapan
Penduga langsung

0.00
1.07
0.00

39.00
88.60
6.52

9.57
9.57
1.52

7.90
13.16
1.31

Dengan metode bayes, besarnya resiko relatif terjangkit penyakit kanker
bibir merupakan penjumlahan dari resiko relatif penduga langsung dengan nilai
harapan resiko relatif, dimana nilai harapan resiko relatif merupakan penduga tak
langsung yang nilainya diperoleh dari informasi peubah penyerta yang