Estimasi Bias Menggunakan Bootstrap dan Jackknife

ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
TESIS Oleh SAFRINA SEMBIRING 127021030/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh SAFRINA SEMBIRING
127021030/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
: Safrina Sembiring : 127021030 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 22 Desember 2014

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 22 Desember 2014
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si

2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 22 Desember 2014 Penulis,
Safrina Sembiring
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Penelitian ini membahas mengenai masalah estimasi bias menggunakan bootstrap dan Jackknife. Pada model ini diasumsikan tentang seberapa besar ukuran sampel yang digunakan untuk memperkirakan nilai bias dan standar error. Metode bootstrap dan jackknife merupakan teknik nonparametrik dan resampling yang digunakan untuk menaksir nilai bias dan mengetahui tingkat kesalahannya (standar error) dengan mengambil suatu sampel dari data yang dilakukan secara berulang-ulang dan menghilangkan sebuah data dan mengulanginya sebanyak sampel yang ada sehingga diperoleh estimasi bias dan standar error yang semakin kecil dengan tujuan dapat membandingkan hasil dari metode bootstrap dan jackknife mana yang mendapatkan nilai bias dan standar error yang paling kecil dengan mengambil sampel. Metode bootstrap dan jackknife yang dikenalkan disini menggunakan program R untuk mencari nilai bias dan nilai standar errornya. Hasil yang didapat dalam penelitian ini, metode bootstrap merupakan metode yang efisien dibandingkan dengan metode Jackknife dalam berbagai kondisi data, hal ini didukung dengan kecilnya tingkat standar error dan nilai biasnya yang dihasilkan.
Kata kunci : Estimasi bias, Bootstrap, Jackknife
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT This study discusses the problem of bias estimation using bootstrap and jackknife. In this model it is assumed about how big the size of the sample used to estimate the value of the bias and standard error. Bootstrap and jackknife method is nonparametric and resampling techniques are used to assess and determine the value of the bias error rate (standard error) by taking a sample of the data that is done repeatedly and removes a sample of the data, and repeat it as much as existing in order to obtain estimates of bias and standard error gets smaller with the aim to compare the results from bootstrap and jackknife methods which are getting value bias and standard error of the smallest by taking samples. Bootstrap and jackknife methods are introduced here using the R program to find the value of the bias and standard error values. The results obtained in this study, the bootstrap method is an efficient method compared with the jackknife method under various conditions of the data, it is supported by the small standard level error and bias in the resulting value.
Keyword : Estimation biased, Bootstrap, Jackknife
iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada :
Ibunda tercinta Drs. Satty Sinukaban dan Ayahanda Alm. M. Yakup Sembiring yang selalu memberikan suport dan semangat serta mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada kakakku Irma Salviana Sembiring M.Pd, Nurmasitah Sembiring S.Pd dan Almeyda Sembiring yang telah memberikan semangat dan dukungan selama penulisan tesis ini.
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM &H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara dan selaku pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
iv
Universitas Sumatera Utara

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 genap (Ratna, Enny, Pak hariyanto, Ferdinan, Melda, Rektor, Amsal, Siti, Metri, Puji, Jaka, Wina, ira) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, 22 Desember 2014 Penulis,
Safrina Sembiring
v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Safrina Sembiring dilahirkan di Medan pada tanggal 26 November 1985 dari pasangan Ayahanda Alm. M. Yakup Sembiring & Ibu Drs. Satty Sinukaban. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar Negeri 104188 Sunggal pada tahun 1997, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Muhammadiyah 47 Sunggal pada tahun 2000, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 3 Binjai tahun 2003. Pada 2004 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Islam Sumatera Utara Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan Jurusan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus 2008. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metodologi Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Metode Bootstrap 2.1.1 Batasan metode bootstrap
2.2 Metode Jackknife 2.3 Jumlah Replikasi Bootstrap dan Jackknife BAB 3 ESTIMASI BIAS DENGAN MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
3.1 Estimasi Bias 3.2 Estimasi Bias dalam Metode Bootstrap 3.3 Pembentukan Sampel Bootstrap

Halaman i ii
iii iv vi vii
1
1 3 3 3 4
5
5 7 7 8
10
10 11 12

vii
Universitas Sumatera Utara

3.4 Estimasi Bias dalam Jackknife

14

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

15

4.1 Standar Error 4.1.1 Estimasi standar error bootstrap
4.2 Resample dalam Bootstrap 4.3 Standar Error dan Resample Jackknife 4.4 Program R 4.5 Pada contoh ini, program R akan digunakan untuk menaksir nilai
bias dan standar error menggunakan bootstrap dan jackknife 4.5.1 Menghitung bias dan standar error menggunakan bootstrap 4.5.2 Pengolahan dengan program R dalam bootstrap 4.5.3 Grafik menggunakan program R dalam bootstrap 4.5.4 Hasil dan pembahasan dengan program R dalam bootstrap 4.6 Menghitung Nilai Bias dan Standar Error menggunakan Jackknife 4.6.1 Grafik menggunakan program R dalam jackknife 4.6.2 Tabel perbandingan hasil nilai bootstrap dan jackknife

15 17 19 21 21
22 22 22 24 24 24 25 26

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

27

DAFTAR PUSTAKA

28

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Penelitian ini membahas mengenai masalah estimasi bias menggunakan bootstrap dan Jackknife. Pada model ini diasumsikan tentang seberapa besar ukuran sampel yang digunakan untuk memperkirakan nilai bias dan standar error. Metode bootstrap dan jackknife merupakan teknik nonparametrik dan resampling yang digunakan untuk menaksir nilai bias dan mengetahui tingkat kesalahannya (standar error) dengan mengambil suatu sampel dari data yang dilakukan secara berulang-ulang dan menghilangkan sebuah data dan mengulanginya sebanyak sampel yang ada sehingga diperoleh estimasi bias dan standar error yang semakin kecil dengan tujuan dapat membandingkan hasil dari metode bootstrap dan jackknife mana yang mendapatkan nilai bias dan standar error yang paling kecil dengan mengambil sampel. Metode bootstrap dan jackknife yang dikenalkan disini menggunakan program R untuk mencari nilai bias dan nilai standar errornya. Hasil yang didapat dalam penelitian ini, metode bootstrap merupakan metode yang efisien dibandingkan dengan metode Jackknife dalam berbagai kondisi data, hal ini didukung dengan kecilnya tingkat standar error dan nilai biasnya yang dihasilkan.
Kata kunci : Estimasi bias, Bootstrap, Jackknife
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT This study discusses the problem of bias estimation using bootstrap and jackknife. In this model it is assumed about how big the size of the sample used to estimate the value of the bias and standard error. Bootstrap and jackknife method is nonparametric and resampling techniques are used to assess and determine the value of the bias error rate (standard error) by taking a sample of the data that is done repeatedly and removes a sample of the data, and repeat it as much as existing in order to obtain estimates of bias and standard error gets smaller with the aim to compare the results from bootstrap and jackknife methods which are getting value bias and standard error of the smallest by taking samples. Bootstrap and jackknife methods are introduced here using the R program to find the value of the bias and standard error values. The results obtained in this study, the bootstrap method is an efficient method compared with the jackknife method under various conditions of the data, it is supported by the small standard level error and bias in the resulting value.
Keyword : Estimation biased, Bootstrap, Jackknife
iii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bootstrap dan jackknife merupakan teknik nonparametrik dan resampling yang bertujuan untuk menaksir standar error dan nilai bias, jackknife sendiri merupakan alternatif dari bootstrap. Bootstrap dan jackknife merupakan dua metode yang digunakan untuk mengestimasi suatu distribusi populasi yang tidak diketahui dengan distribusi empiris yang diperoleh dari proses penyampelan ulang. Bootstrap diperkenalkan oleh Efron pada tahun 1979. Istilah bootstrap berasal dari pull one self up by one’s bootstrap yang berarti berpijak diatas kaki sendiri, berusaha dengan data yang sedikit atau data yang tidak mempunyai asumsi apapun tentang distribusi populasinya. Efron (1979) menyatakan metode bootstrap ini merupakan suatu metode berbasis resampling data sampel dengan syarat pengembalian pada datanya dalam menyelesaikan statistik ukuran suatu sampel dengan harapan sampel tersebut mewakili data populasi sebenarnya. Biasanya ukuran resampling diambil secara ribuan kali agar dapat mewakili data populasinya. Metode bootstrap dan jackknife merupakan metode baru yang memanfaatkan kecanggihan komputer yang dapat dikatakan juga sebagai metode resampling, suatu metode pengambilan data secara random dengan pengembalian, dimana sampel hasil resampling ini disebut sampel bootstrap juga jackknife. Sedangkan menurut Shao dan Tu (1995), pada tahun 1949 menurut Quenouille telah memperkenalkan metode jackknife untuk mengestimasi bias dan standar error, dimana metode jackknife ini digunakan untuk mengambil sampel baru secara berulang dari data asli yang berukuran n dengan cara menghilangkan pengamatan ke −i dengan i = 1, 2, 3, 4, · · · , n.
Beberapa permasalahan yang sering muncul dalam estimasi parameter tak diketahui θ meliputi : estimator apa yang akan digunakan atau dipilih. Untuk menjawab permasalahan ini, perlu diselidiki standar errornya. Standar error menyatakan keakurasian estimator yang menggambarkan seberapa jauh estimator θ menyimpang dari nilai parameter θ yang sebenarnya. Sedangkan konsistensi estimator diperlukan untuk menjamin bahwa estimator θ konvergen ke parameter θ yang sebenarnya.
1
Universitas Sumatera Utara

2
Selain itu, metode bootstrap dapat digunakan pada situasi dimana asumsi standar tidak dipenuhi, misal ukuran sampel n kecil dan data tidak berdistribusi normal [Davison dan Hinkley (2006)]. Secara umum metode estimasi atau penaksiran merupakan pengukuran terhadap nilai parameternya (populasi) dari data sampel yang diketahui. Menurut Bickel dan Feedman (1981) menunjukkan bahwa distribusi bootstrap dari statistik penting seperti mean dan statistik yang menyimpulkan bahwa kedua statistik adalah asimtot. Hasil estimasi berupa nilai spesifik dari suatu statistik seperti nilai mean sampel dan varians sampel. Didalam estimasi ada namanya estimator berupa mean, sampel, varians sampel, yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter. Dalam hal ini setidaknya terdapat dua aspek yang harus diperhatikan dalam melakukan pengukuran dengan sampel yaitu sampel error dan non sampling error (bias). Sampling error menunjukkan variasi nilai pengukuran antara satu sampel dengan sampel lainnya. Sedangkan non sampling error atau disebut juga bias adalah kesalahan yang terjadi pada proses pengukuran. Non sampling error ini bisa diakibatkan oleh beberapa hal, diantaranya :
1. Bias alat yang digunakan dalam proses pengukuran yang memberikan nilai kesalahan. Misalnya adanya alat yang digunakan rusak atau tidak layak pakai.
2. Bias pengukur kesalahan akibat si pengukur (human error).
3. Bias metodologi merupakan kesalahan dalam menerapkan metodologi pengukuran yang tidak sesuai dengan karakter populasi yang akan diukur yaitu merupakan kesalahan dalam menerapkan teknik dan metode sampling.
Hardle dan Stoker (1989) menunjukkan bahwa estimator ini dapat dipergunakan dalam estimasi model indeks semi parametrik seperti yang terbatas pada variabel dependen dan model indeks-parsial. Konsep estimasi data yang bias merupakan suatu ukuran dari kebaikan estimator yang dapat dilihat dari tingkat kesalahannya. Semakin kecil tingkat kesalahannya semakin baik estimasinya.
Bootstrap dan jackknife juga digunakan untuk mengestimasi standar error estimator dan interval konfidensi dari suatu parameter populasi yang tidak diketahui. Metode bootstrap biasanya juga untuk mengatasi permasalahan dalam statistika baik masalah data yang sedikit, data yang menyimpang dari asumsinya maupun data yang tidak memiliki asumsi dalam distribusinya. Misalnya data bisa hilang secara acak, atau bisa
Universitas Sumatera Utara

3
secara acak disensor. Fungsi ini dapat diestimasi dengan parametrik dan pendekatan nonparametrik. Dalam pendekatan nonparametrik, diasumsikan sebagai fungsi yang halus atau fungsi terintegral kuadrat, sehingga fungsi tersebut dapat diestimasi dengan kernel estimator atau orthogonal estimator dan orthogonal yang biasa digunakan untuk memperkirakan sebuah metode bootstrap. Sedangkan metode jackknife pada prinsipnya dilakukan menggunakan sampling dari sampel awal x (berukuran n) yang dilakukan secara berulang dengan cara menghilangkan salah satu data sampel sehingga menghasilkan sampel-sampel jackknife.
1.2 Perumusan Masalah Perumusan konsep estimasi data yang bias merupakan suatu ukuran kebaikan estimator yang dapat dilihat dari standar error. Semakin kecil standar errornya semakin baik estimasinya. Salah satu ukuran standar error dapat dilihat dari estimasinya dan nilai bias yang dicari. Yang menjadi permasalahan pada penelitian ini adalah apakah bootstrap dan jackknife dapat dikembangkan untuk menganalisis estimasi data yang bias, sehingga dapat mengetahui nilai standar error dan nilai biasnya.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini untuk membandingkan hasil nilai standar eror dan nilai bias menggunakan bootstrap dan jackknife yang diprediksi dengan mengambil sampel.

1.4 Manfaat Penelitian Hasil yang diperoleh pada penelitian ini penting dalam menentukan hasil estimasi data, dengan nilai bias dan nilai standar error menggunakan metode bootstrap juga jackknife menggunakan bantuan dari program computer sofware R untuk memperoleh hasil yang lebih teliti dan memudahkan perhitungannya. Sehingga dengan mudah menganalisis nilai estimasi data bias dan dapat diketahui nilai standar errornya.
Universitas Sumatera Utara

4 1.5 Metodologi Penelitian Pada penelitian ini yang penulis gunakan adalah metode bootstrap dan metode jackknife dalam mencari estimasi data yang bias. Diperlukan langkah-langkah dalam penelitian ini adalah penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menetapkan sebuah metode estimator bootstrap dan jackknife apakah bootstrap dan jackknife dapat dikembangkan untuk menganalisis estimasi data yang bias, sehingga dapat diketahui sifat estimatornya dari data yang bias dengan mengambil sebuah sampel data secara acak.
2. Melakukan proses bootstrap dan jackknife menggunakan progam R. Proses bootstrap dan Jackknife untuk menaksir nilai dari standar error dan nilai biasnya.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan diperlukan pada bab 3. Yang akan dibahas dalam bab ini adalah metode bootstrap bootstrap dan metode jackknife.
2.1 Metode Bootstrap
Metode bootstrap pertama kali ditemukan oleh Efron (1979) untuk mengestimasi standar error dan selang kepercayaan. Menurut Efron dan Tibshirani (1993) metode bootstrap ini digunakan untuk mencari nilai rata-rata derivatif dari data yang bias dengan melakukan suatu resampling atau pengambilan data sampel yang dilakukan secara berulang-ulang, sehingga akan diketahui berapa besar tingkat kesalahannya (error) dengan menyatakan ukuran sampel bootstrap B sebesar 50 − 200 telah cukup untuk melakukan pendugaan terhadap standar error dengan ukuran n elemen lebih besar atau kurang dari sampel asli. Menurut Sahinler dan Topuz (2007) menyatakan bahwa bootstrap adalah teknik resampling nonparametrik yang bertujuan untuk menentukan estimasi standar error dan interval konfidensi dari parameter populasi seperti mean, rasio, median, proporsi, koefisien korelasi atau koefisien regresi tanpa menggunakan asumsi bootstrap. Menurut Efron dan Tibshirani (1993) pada metode bootstrap ini dapat dilakukan pengembalian sampel dengan pengembalian pada sampel data. Metode penyampelan disebut dengan resampling bootstrap.
Secara singkat langkah-langkah bootstrap yang dinyatakan sebagai berikut :
1. Sampel data x didefinisikan sebagai data sampel berukuran n yang terdiri dari xi = x1, x2, · · · , xn dengan xi sebagai vektor data pengamatan.
2. Sampel data x diambil secara acak dengan pengembalian sebanyak n kali. Diperoleh data sampel baru yang didefinisikan sebagai X∗. Sampel data X∗ terdiri dari anggota data asli, akan tetapi mungkin beberapa data asli tidak akan muncul, atau muncul hanya satu kali atau dua kali, tergantung dari randomisasinya.
5
Universitas Sumatera Utara

6
3. Langkah (2) dilakukan secara berulang sebanyak B sehingga didapatkan himpunan data bootstrap dengan (x∗1, x∗2, · · · , x∗B). Setiap sampel bootstrap merupakan sampel acak yang saling independen. Dimana mengestimasi standar error dengan menggunakan standar deviasi untuk bootstrap yang di replikasi sebanyak B kali.

Menurut Bennett (2009) pemanfaatan metode bootstrap untuk menentukan standar error dari estimator, dengan menentukan jumlah B sampel independen bootstrap x∗1, x∗2, · · · , x∗B dimana masing-masing sampel yang diperoleh dari x (data awal). Dan dengan mengevaluasi replikasi yang ada pada masing-masing sampel bootstrap serta dengan mengestimasi standar error dengan menggunakan standar deviasi untuk bootstrap. Adapun kelebihan bootstrap sebagai berikut :
1. Penggunaan metode statistik parametrik biasanya mensyaratkan informasi mengenai distribusi yang harus dipenuhi dan ini sulit untuk dipenuhi. Untuk mengatasi hal ini dapat digunakan metode-metode yang tidak memerlukan asumsi ketat, salah satunya metode bootstrap.
2. Metode ini dapat digunakan untuk ukuran data yang relatif kecil.
3. Teknik ini menciptakan ukuran-ukuran dari ketidakpastian dan bias, khusus nya pada estimasi parameter dari variabel-variabel yang independen dan berdistribusi identik.
4. Metode bootstrap lebih baik dari pada metode tradisional lainnya misalnya metode klasik dan bayes, karena metode bootstrap mengahasilkan panjang interval yang lebih pendek.
Adapun kelemahan metode bootstrap sebagai berikut :
1. Metode bootstrap biasanya memerlukan data bangkitan bootstrap atau resample (sample diperoleh dari pengacakan saling bebas dan dengan pemulihan dari distribusi empiris). Data bangkitan bootstrap ini sulit dicari karena memerlukan beberapa kali perhitungan yang cukup rumit dan membutuhkan ketelitian yang tinggi.
Universitas Sumatera Utara

7
2. Menduga galat baku, disarankan melakukan pengulangan sebanyak minimal 100 kali. pengulangan sebanyak 100 kali ini akan memperlama waktu dalam perhitungan.
2.1.1 Batasan metode bootstrap
Ada beberapa batasan dalam metode bootstrap seperti :
1. Pertama dan mungkin yang paling penting, sampel harus cukup besar dan diambil secara random sehingga dapat mewakili keseluruhan populasi. Sampel yang dimaksud disini mengikuti kaidah teorema limit pusat yaitu ≥ 30 karena teknik bootstrap tidak dapat mengatasi beberapa bias untuk sampel yang tidak mewakili dan dalam beberapa kasus akan memperumit masalah.
2. Kedua, bagaimanapun metode parametrik lebih baik dalam banyak kasus untuk membuat pendugaan titik (point estimation) seperti mean. Jadi prosedur bootstrap bisa menambah pendugaan titik di metode parametrik dengan menyediakan estimasi yang lebih akurat.
2.2 Metode Jackknife
Sebuah teknik resampling sederhana telah jauh digunakan sebelum metode bootstrap ditemukan, yaitu resampling jackknife. Metode jackknife pertama kali ditemukan oleh Quenouille (1949) yang digunakan untuk memperkirakan bias dari suatu estimator dengan menghapus beberapa observasi sampel. Menurut Tukey (1958) metode jackknife menjadi sesuatu yang lebih berharga karena Tukey mengemukakan pendapatnya bahwa jackknife juga dapat digunakan untuk membangun variansi dari suatu estimator. Metode jackknife ini dapat dibagi berdasarkan banyaknya data yang dihapus menjadi jackknife (Efron dan Tibshirani, 1993). Secara umum sampel jackknife dapat diperoleh melalui sampel berukuran n − d dari distribusi empiris fn(x) tanpa pengembalian, di peroleh x1J , xJ2 , · · · , xnJ−d untuk selanjutnya analisis statistik di lakukan berdasarkan pada sampel Jakknife berukuran n − d tersebut. Secara singkat langkah-langkah jackknife dapat dilihat pada grafik berikut ini :
Universitas Sumatera Utara

Berikut ini gambar skema langkah-langkah jackknife :

8

Gambar 2.1 Skema resample
2.3 Jumlah Replikasi Bootstrap dan Jackknife Replikasi bootstrap dan jackknife dari nilai statistik θ adalah nilai satistik yang dihitung dari sampel bootstrap dan jackknife
θˆ∗ = s (x∗) .
Dimana fungsi s(·) adalah fungsi yang diterapkan pada sampel bootstrap dan jackknife x∗ seperti pada halnya fungsi s(·) yang diterapkan pada sampel awal x untuk mendapatkan nilai statistik θ. Notasi (∗) menandakan bahwa keseluruhannya dilakukan dalam dunia bootstrap dan jackknife. Misalnya s(x) adalah rata-rata sampel awal x, maka s(x∗) adalah rata-rata sampel bootstrap dan jackknife yang dinyatakan dengan x∗.
Universitas Sumatera Utara

9 Menurut (Efron dan Tibshirani, 1993:52) terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan mengenai jumlah replikasi bootstrap dan jackknife, yaitu :
1. Meskipun jumlah replikasi bootstrap dan jackkknife kecil, misal B = 25, biasanya sudah cukup informatif. Tetapi dengan B = 50, sudah sangat cukup untuk memberikan suatu estimasi seF (θ) yang akurat.
2. Jumlah replikasi bootstrap dan jackknife yang besar, misalnya B = 200, biasanya tidak perlu dilakukan dalam mengestimasi standar error (jumlah replikasi bootstrap dan jackknife yang besar dilakukan dalam interval konfidensi bootstrap dan jackknife).
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 ESTIMASI BIAS DENGAN MENGGUNAKAN
BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai langkah-langkah yang dapat dijadikan sebagai landasan berpikir serta akan mempermudah dalam hal pembahasan.
3.1 Estimasi Bias
Menurut Tukey (1958) bias merupakan penyimpangan data dari garis yang lurus menjadi garis miring ke atas atau ke bawah. Kemiringan dari garis tersebut dikatakan dengan bias. Bias merupakan persoalan yang perlu diperhatikan dalam membuat perkiraan statistik. Perkiraan yang bias adalah suatu perkiraan yang cenderung menyimpang, terlalu rendah atau terlalu tinggi dari yang sebenarnya. Bias juga berarti kesalahan yang konsisiten dalam memperkirakan sebuah nilai. Bias dapat terjadi karena sifat statistiknya sendiri. Bias demikian dapat dikoreksi pada statistik yang bersangkutan. Bias dapat pula terjadi karena masalah-masalah dalam pengumpulan data. Nilai bias merupakan suatu ukuran penyimpangan dari nilai yang diperoleh dengan nilai yang sebenarnya. Nilai bias ini berguna untuk melihat tingkat ketepatan dari penduga. Dalam statika, data yang minimal dapat diartikan sebagai data yang sedikit, data yang menyimpang dari asumsi tertentu, atau bahkan data yang tidak memiliki asumsi apapun tentang distribusinya.
Ada dua tipe bias yaitu bias sampel dan bias pengukuran :

1. Bias sampel merupakan sekumpulan satuan yang dipilih untuk diukur dari kelompok yang lebih besar (populasi). Bias sampel terjadi ketika sampel yang digunakan tidak mewakili populasi atau tidak sesuai dengan pertanyaan yang diajukan. Faktor-faktor yang menyebabkan bias sampel adalah ukuran sampel dan seleksi sampel. Ukuran sampel harus cukup besar agar dipeoleh nilai rata-rata yang baik.
2. Bias pengukuran yaitu yang berurusan dengan masalah apakah metode pengumpulan data yang dipilih telah sesuai sehingga data yang dikumpulkan merupakan
10
Universitas Sumatera Utara

11
yang paling mewakili kenyataan ? Untuk mengevaluasi teknik pengumpulan data, pengukuran harus dilakukan dengan seteliti mungkin. Tidak boleh ada tambahan pada lingkungan yang dapat mempengaruhi hasil. Selain itu, eksperimen harus dirancang untuk mengisolasi pengaruh dari banyak faktor lainnya.
3.2 Estimasi Bias dalam Metode Bootstrap
Metode estimasi bootstrap digunakan untuk mengestimasi permasalahan-permasalahan dari estimasi parameter dengan sampel kecil. Selain itu metode estimasi parameter bootstrap dapat digunakan sebagai alternatif untuk mengatasi non normality pada data (Bollen, 1989). Bias dari θ sebagai estimator dari θ didefinisikan sebagai selisih antara ekspektasi dari θ dengan nilai dari θ parameter
biasF = biasf [θˆ, θ] = EF (X) − t(F ).
Bias yang besar biasanya tidak di inginkan oleh suatu estimator. Tetapi memiliki kecenderungan untuk memiliki bias yang kecil dibanding dengan standar error. Efron dan Thibshirani (1993).
Tujuan dari penggunaan metode bootstrap ini untuk mendapatkan nilai pendugaan yang sebaik-baiknya yang berasal dari data yang diambil sebagai contoh. Metode bootstrap dapat digunakan untuk mencari bias dari estimasi θ = EFb(X). Estimasi bootstrap terhadap bias didefinisikan sebagai estimasi bias F yang diperoleh dengan mensubtitusikan F pada F sehingga menjadi

biasFˆ = EFˆ(X) − t(Fˆ).

Setelah mendapatkan parameter bootstrap selanjutnya akan dihitung tingkat akurasi

parameter yang diperoleh dengan menggunakan bias dan standar deviasi dari bootstrap,

yaitu

bias∗ = βˆ∗ − βˆ.

Dengan

bias∗ : Bias dari bootstrap. β : Penduga sebenarnya. β∗ : Penduga parameter bootstrap.

Universitas Sumatera Utara

12
Menurut Efron dan Thibshirani (1993:124) metode bootstrap dapat digunakan untuk mengestimasi bias dari estimator θ = s(x) dimana estimator bootstrap untuk bias didefinisikan sebagai Bias∗, yaitu

Dengan

B
bias∗ = B−1 θˆ∗(b) − θˆ.
b=1

bias∗ : Bias dari bootstrap. B : Banyaknya replikasi bootstrap. θ∗ : Rata-rata resampel bootstrap. θ : Nilai yang ditaksir dalam bootstrap.

3.3 Pembentukan Sampel Bootstrap

Menurut Efron dan Tibshirani (1993) metode bootstrap sangat bergantung pada esti-

masi

dari

sampel

bootstrap

F

adalah

suatu

distribusi

empiris

yang

memberi

bobot

1 n

untuk setiap nilai terobservasi xi = 1, 2, · · · , n. Sampel bootstrap didefinisikan seba-

gai suatu sampel random berukuran n yang ditarik dari F , katakanlah x∗1, x2∗, · · · , xn∗ . Notasi bintang mengindikasikan bahwa x∗ bukanlah data sebenarnya pada data set

x, namun merupakan versi dari x yang telah mengalami randomisasi atau resample

(penyampelan ulang).

Adapun prinsip dasar pembentukan sampel bootstrap sebagai berikut :

1. Konstruksi fungsi distribusi empiris dari sampel yaitu Fn dengan peluang yang

sama

terambil

yaitu

1 n

untuk

masing-masing

x1, x2, · · ·

, xn.

2. Dengan Fn tetap, ambil sampel acak berukuran n dari Fn sebut, xi = 1, 2, · · · , n.

Universitas Sumatera Utara

Berikut ini gambar prinsip korespondensi bootstrap :

13

Gambar 3.1 Pinsip korespodensi bootstrap
Skema diatas merupakan penggunaan metode bootstrap dalam sampel tunggal. Pada keadaan asli, F adalah suatu distribusi probabilitas yang tidak diketahui, memberikan data x = (x1, x2, · · · , xn) dengan sampel yang diambil secara random. Dari x tersebut dapat dihitung suatu statistik θ = s(x). Pada bootstrap, F menghasilkan x∗ dengan penyampelan random, yang memberikan hasil θ∗ = s(x∗). Hanya terdapat satu nilai observasi θ, tetapi mampu menghasilkan banyak replikasi bootstrap θ∗.
Universitas Sumatera Utara

14
3.4 Estimasi Bias dalam Jackknife
Metode jackknife merupakan teknik resampling yang bertujuan untuk menentukan estimasi bias dan standar error dengan mengambil sampel baru secara berulang dari data asal yang berukuran n dengan cara menghilangkan salah satu data, karena jackknife menghapus data satu maka untuk mencari nilai estimasi bias pada jackknife adalah :

Dalam hal ini :

bias∗∗ = (n − 1)βˆ∗∗ − βˆ.

bias** : Bias dari jackknife. β : Penduga sebenarnya. n : Banyak data di jackknife.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bagian hasil dan pembahasan ini akan ditampilkan proses pengolahan data dengan model bootstrap dan jackknife untuk menghitung perbandingan nilai bias dan standar error (dengan mencari nilai rata-ratanya) dari suatu data dengan menggunakan program R.

4.1 Standar Error
Standar error dari suatu estimator atau penduga yang didefinisikan sebagai akar kuadrat positif dari ragamnya. Ini merupakan ukuran yang paling umum untuk akurasi suatu penduga/estimator. Estimasi standar error merupakan langkah awal yang sangat baik untuk berfikir kritis terhadap suatu nilai dugaan. Dalam membicarakan suatu standar error itu, akan diberikan dua macam sampel yaitu sampel yang berukuran besar dan sampel yang berukuran kecil. Standar error juga merupakan standar deviasi dari ratarata. Bila mempunyai beberapa kelompok data, misalnya tiga kelompok, maka akan mempunyai tiga buah nila rata-rata. Bila dihitung nilai standar deviasi dari tiga buah nilai rata-rata tersebut, maka nilai standar deviasi dari nilai rata-rata tersebut disebut nilai standar error. Simbol standar error untuk sampel ditulis dengan SE. Rumus menghitung nilai standar error dari mean adalah sebagai berikut :

Dimana

SE : √Sn .

SE : Standar error dari rata-rata. S : Standar deviasi. n : Jumlah observasi.

15
Universitas Sumatera Utara

Adapun rumus untuk mencari mean/rata-rata sebagai berikut :

Dengan :

mean(µ) =

X N

.

X : Data yang ada. N : Jumlah data.

Adapun rumus untuk mencari standar deviasi sebagai berikut :

16

√ S = s2 =

X − X¯ 2 n−1 .

Contoh kasus untuk mencari nilai dari standar error dari rata-rata dengan mengambil data sampel :
Tabel 4.1 Banyaknya data acak
Data acak 46555663654655656543

Dengan mencari nilai rata-rata (mean) maka mean nya = 94/20 = 4.7 dan didapatlah nilai varian dan standar deviasi sebagai berikut :

s2 =

X − X¯ 2 (n − 1) .

s2

=

(4 − 4.7)2

+···+ 20 − 1

(3 − 4.7)2 .

s2 = 0.49 + · · · + 1.69 . 19

S=

18.6 19

=

0.98.

Universitas Sumatera Utara

Sehingga nilai standar errornya menjadi :

SE

=

√s n

.

SE = √0.98 . 20

17

SE = 0.212.
4.1.1 Estimasi standar error bootstrap
Menurut Efron dan Tibshirani (1986) bagus tidaknya suatu hasil taksiran dapatlah ditinjau melalui standar errornya. Dalam konteks bootstrap, taksiran bootstrap untuk standar error dari suatu statistik θ digunakan untuk menilai apakah hasil taksiran yang diperoleh merupakan taksiran yang baik. Taksiran bootstrap untuk standar error dari θ diberikan oleh standar deviasi dari replikasi bootstrap θ. Estimasi standar error bootstrap tidak memerlukan perhitungan secara teoritis dan tidak mempermasalahkan bagaimana kemungkinan dari estimator parameter statistika yang sama dengan fungsi suatu statistik pada x data yang sesungguhnya, atau dengan kata lain yaitu θ = s(x) secara matematik.
Estimasi metode bootstrap dari sef (θ), yaitu standar error dari sebuah statistik θ adalah sebuah estimasi pengganti yang menggunakan distribusi empiris fungsi F yang belum diketahui. Secara spesifik, estimasi bootstrap dari sef (θ) adalah didefinisikan sebagai
seF (θ∗).
Dimana θ∗ estimator parameter statistik yaitu θ. Sekumpulan data dengan sejumlah sampel random bootstrap. Dengan kata lain, estimasi bootstrap dari sef (θ) didefinisikan sebagai standar error dari θ∗, disebut estimasi bootstrap nonparametrik karena berasal dari distribusi empirik F . Standar error ini mengukur keakurasian dari estimator θ∗. Estimator standar error bootstrap mungkin tidak akan mudah untuk diselesaikan. Oleh karena itu digunakan algoritma bootstrap. Algoritma bootstrap ini merupakan cara komputasi untuk mendapatkan pendekatan yang baik terhadap nilai dari standar error.

Universitas Sumatera Utara

18

Adapun algoritma bootstrap untuk mengestimasi standar error θ adalah :

1. Pilih B sampel independen bootstrap x∗1, x2∗, · · · , x∗B, dengan tiap-tiap sampel beranggotakan n data yang ditarik dengan pengambilan dari x.
2. Evaluasi replikasi bootstrap yang bersesuaian pada setiap sampel bootstrap untuk menghitung replikasi bootstrap yang berkaitan dengan sampel yaitu :
θˆ∗ (b) = s x∗b ; b = 1, 2, · · · , B.

3. Mengestimasi standar error sef (θ) dengan menggunakan standar deviasi sampel

dari B replikasi.

  B

θˆ∗ (b) − θˆ∗(.)

2

 

1 2

seB

=

b=1


(B − 1)

 .

Dalam hal ini θ∗(.) adalah

B

θˆ∗

(b) B

.

b=1

Adapun gambar ini merupakan diagram algoritma standar error bootstrap statistik θ = s(x).

Gambar 4.1 Algoritma standar error bootstrap
Universitas Sumatera Utara

keterangan gambar :

19

S E boot θ∗(b) θ∗(.) B

: Nilai taksiran standar error bootstrap. : Standar error bootstrap ke b hasil dari resampling. : Rataan untuk standar error bootstrap. : Banyaknya resampling bootstrap.

Nilai limit seB untuk B infinite adalah estimasi bootstrap ideal sef (θ) dengan
lim seB = seFˆ = seFˆ θˆ∗ .
B→∞
Kenyataan bahwa seB menghampiri seFb untuk B sejumlah infirit yang mengatakan bahwa sebuah simpangan baku populasi untuk sebanyak replikasi bertambah besar. Populasi dalam kasus ini adalah populasi nilai-nilai θ∗ = s(x∗) dimana
F → (x1∗, x2∗, · · · , xn∗ ) .
Sehingga didapatlah skema diatas merupakan algoritma untuk mengestimasi standar error dari θ = s(x) masing-masing sampel bootstrap adalah sampel random yang independen berukuran n dari F . Banyak replikasi bootstrap B untuk mengestimasi standar error biasanya antara 25 − 200.
4.2 Resample dalam Bootstrap
Sampel merupakan suatu himpunan bagian di populasi. Istilah sampel asli digunakan untuk menyebut himpunan bagian yang pertama diambil dari populasi, sebelum dilakukan resampling yaitu proses pengambilan sampel kembali dari sampel yang telah diambil dari populasi. Sedangkan istilah sampel bootstrap (resample) digunakan untuk menyebut sampel yang telah diresampling dari sampel asli. Sampel asli dilambangkan dengan :

x = {x1, · · · , xn}. n = 1, 2, 3, · · · , n.

Universitas Sumatera Utara

Dan sampel bootstrap dilambangkan dengan :

20

x∗ = {x1∗, x∗2, · · · , xB∗ }. B = 1, 2, 3, · · · , B.
Sampel bootstrap diperoleh dengan cara sampling secara random dengan pengembalian dari sampel asli. Sampling secara random dengan pengembalian berarti setelah random mengambil sebuah observasi dari sampel asli, kemudian meletakkan kembali sebelum mengambil observasi berikutnya. Sampel dengan pengembalian memungkinkan kita untuk mendapatkan jumlah data yang sama dengan ketika pertama kali melakukan sampling, dan memungkinkan satu data diambil beberapa kali.
Jumlah dari sampel bootstrap yang diseleksi bergantung pada keadaan kasus dari masing-masing perkiraan. Kadang-kadang 50 sampel bootstrap sudah cukup, seringkali 200−500 sampel bootstrap cukup bahkan untuk kasus-kasus tertentu bootstrap memerlukan ribuan sampel. Pada proses sampling bootstrap dilakukan dengan menggunkan bantuan program komputer, mengingat besarnya jumlah resampling yang bisa mencapai ribuan kali sehingga sangatlah sulit untuk melakukan perhitungan secara manual.
Berikut ini gambar Skema resample bootstrap :

Gambar 4.2 Skema resample bootstrap
Universitas Sumatera Utara

4.3 Standar Error dan Resample Jackknife sedangkan untuk mencari nilai standar error dalam jackknife :

Sˆej2

=

n

− n

1

n

(θˆ(i) − θˆ(.))2.

i=1

Adapun gambar dalam mencari resample jackknife :

21

Gambar 4.3 Skema resample jackknife
4.4 Program R
Program R pertama kali diluncurkan pada tahun 1992 oleh Ross Ihaka dan Robert Gentleman (1997) singkatan R berasal dari keduan nama tersebut yang keduanya dari the University of Auckland. Program R merupakan bahasa pemograman, sehigga tidak ada batasan bagi pengguna untuk memakai prosedur yang hanya terdapat paket-paket yang standar. R juga merupakan perangkat lunak yang digunakan untuk menganalisis data statistik dan persentasi grafik, termasuk juga dalam mencari nilai standar error dan bias dengan menggunakan metode bootstrap yang dapat dilakukan secara perulangan.
Dalam bagian ini proses penyusunan data akan di tampilkan beserta hasil dari prosesnya. Proses pengolahan data disajikan bootstrap dalam bentuk tabel dengan menggunakan program R dengan melakukan resampling sebanyak 1000 kali. Program aplikasi yang disusun menggunakan program R untuk mencari nilai standar error bootstrap dan nilai bias pada estimasi parameter dengan menambahkan resampling bootstrap, sehingga akan mendapatkan nilai standar error yang dicari.
Universitas Sumatera Utara

22
4.5 Pada contoh ini, program R akan digunakan untuk menaksir nilai bias dan standar error menggunakan bootstrap dan jackknife
4.5.1 Menghitung bias dan standar error menggunakan bootstrap Dalam kasus ini, dimisalkan data yang dimiliki untuk melakukan bootstrap dengan data banyaknya biaya penjualan barang di toko serba ada dengan mengambil sebuah sampel yang dilakukan secara acak dengan banyak data berukuran n = 20 untuk memperkirakan hasil nilai bias dan hasil dari nilai standar error dengan median sampel yang diketahui. Adapun data yang diambil misalkan sebagai berikut :
Tabel 4.2 Banyaknya biaya pada data penjualan barang di toko serba ada Data acak
46555663654655656543
4.5.2 Pengolahan dengan program R dalam bootstrap Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam menggunakan program R, buka program R, maka tampilan yang akan muncul pertama kali adalah seperti gambar, tempat dimana kita akan menuliskan condingan data yang akan diinputkan dalam jendela R console. Untuk membersihkan layar R console kita pilih edit, lalu pilih clear console atau tekan Ctrl+l pada keyboard. Kemudian program dijalankan dengan parameter inputnya dengan berulang kali dengan mengganti jumlah perulangan bootstrap, yakni 250, 500, 1000. Dengan perulangan paling sedikit 1000 kali akan memberikan hasil yang baik pada interval konfidensi tanpa harus mengasumsikan data berdistribusi normal. Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan nilai estimasi dalam menguji nilai bias dan nilai standar error menggunakan program R dengan metode bootstrap statistik sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara

23
library(boot) mydata = 5 + 1 ∗ rnorm(20) mn = f unction(mndata, i), avg = mean(mydata[i])return(avg) km = 104 tbm = 106 − 0.5 f km = 18 f m = 15 i=9 median = tbm + i ∗ ((km − f km)/f m) median = 157.1 d1 = 2 d2 = 1 modus = tbm + i ∗ (d1/(d1 + d2)) modus = 111.5 results = boot(data = mydata, statistic = mn, R = 1000) results ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP Call: boot(data = mydata, statistic = mn, R = 1000) Bootstrap Statistics :
original = t1 ∗ 5 bias = −0.125413 std.eror = 0.1936802 round(mydata) = 46555663654655656543 plot(results) Tabel 4.3 Estimasi bias dengan program R menggunakan bootstrap resample sebanyak 1000 kali.
Bias Standar Error -0.0125413 0.1936802
Universitas Sumatera Utara

4.5.3 Grafik menggunakan program R dalam bootstrap Berikut ini Histogram plot 1000 resample :

24

Gambar 4.4 Histogram plot 1000 resample
4.5.4 Hasil dan pembahasan dengan program R dalam bootstrap
Dari data yang sudah diolah, didapatlah nilai bias dan standar error dari contoh sampel yang sudah ada. Hasil data output dengan program R yang dilakukan resampel sebanyak 1000 kali memiliki median = 157.1 yang diperkirakan nilai biasnya = -0.125413 dan bootstrap perkiraan nilai standar error = 0.1936802 nilai standar error kecil sehingga semakin kecil nilai standar errornya maka semakin baik estimasinya yang dimilikinya. Hasil dapat dilihat dibawah ini: Tabel 4.4 Estimasi bias dengan program R menggunakan bootstrap resample sebanyak
1000 kali. Bias Standar Error
-0.0125413 0.1936802
4.6 Menghitung Nilai Bias dan Standar Error menggunakan Jackknife
Etimasi nilai bias dan standar error dengan jackknife dengan menggunakan data yang sama pada bootstrap. Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan nilai estimasi
Universitas Sumatera Utara

25 dalam menguji nilai bias dan nilai standar error menggunakan program R dengan metode jackknife statistik sebagai berikut :
x < −5 + 1 ∗ rnorm(20) theta < −function(x){mean(x)} results < −jackknife(x, theta) xdata < −matrix(rnorm(30), ncol = 2, ) n < −15 R = 1000 theta < −function(x, xdata){cor(xdata[x, 1], xdata[x, 2])} results < −jackknife(1 : n, theta, xdata) results $jack.se [1]0.2102777 $jack.bias [1]0.03969615 $jack.values [1]0.0874141350.0401080750.1250940300.0358677840.216169384 [6]0.0655751540.0751130690.0595412350.0279499320.036349457 [11]0.0020995330.1391785740.0846136750.039230241 − 0.014018531 $call jackknife(x = 1 : n, theta = theta, xdata) 4.6.1 Grafik menggunakan program R dalam jackknife Berikut ini histogram plot 1000 resample jackknife :
Gambar 4.5 Histogram plot 1000 resample jackknife
Universitas Sumatera Utara

26

4.6.2 Tabel perbandingan hasil nilai bootstrap dan jackknife

Bootstrap Bias Standar Error -0.125413 0.1936802

Jackknife

Bias Standar Error

0.03969615

0.2102777

Dari Tabel 4.6.2 didapatlah contoh kasus yang menggunakan bootstrap nilai biasnya sekitar -0.0125413 standar errornya adalah 0.9136802 dan pada kasus yang menggu-

nakan jackknife nilai biasnya adalah 0.03969615 dan nilai standar errornya 0.2102777. Sehingga metode bootstrap lebih baik dibandingkan metode jackknife karena nilai bias dan standar error yang didapat bootstrap lebih sedikit dibandingkan menggunakan jackknife.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dalam penelitian ini dapat disimpulkan bahwa metode bootstrap merupakan metode yang paling efisien dibandingkan metode jackknife dalam berbagai kondisi data. Hal ini didukung dengan kecilnya tingkat kesalahan (standar error) dan nilai bias yang dihasilkan dari metode bootstrap dibandingkan dengan metode jackknife. Sehingga metode bootstrap lebih baik dibandingkan dengan metode jackknife. Maka dapat disimpulkan perbandingan nilai estimasi bootstrap dengan nilai bias -0.125413 dan standar error nya 0.1936802. Sedangkan dengan jackknife menghasilkan estimasi dengan nilai bias 0.03969615 dan nilai standar errornya 0.2102777. Harapan kedepannya akan ada yang mengevaluasi penggunaan metode bootstrap dan jackknife yang digunakan untuk mengestimasi nilai bias dan nilai standar error terutama yang menggunakan sampel yang lebih besar dengan bantuan program R untuk mendapatkan hasil yang lebih lanjut.
27
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Bennett, P.J. (2009) Introduction to the Bootstrap and Robust Statistics, Winter Term, PSY. pp. 711–712.
Bickel, P. J. dan freedman, D. A. (1981) Some Asymptotic Theory For The Bootstrap, Ann. Statist. 9. pp. 1996-1217.
Bollen Kenneth A. (1989) Structural Equation With latent Variabels, Dept. Of Sociology The University of Nort Carolina, New York : Willy.
Davison, A.C. dan Hinkley, D.V (2006) Bootstrap Methods and Their Application, Cambridge University Press.
Efron, B dan Tibshirani, R (1993) Book An Introduction to the Bootstrap, Monographs On Statistics and Apllied Probability 57, New York : Chapman and Hall/CRC.
Efron, B (1979)Bootstrap Methods : Another Look At The Jackknife - Annals of Statistic, vol.7. no.1. pp. 1–26.
Efron, B. and Tibshirani, R. J (1986) Bootstrap Methods For Standar Errors, Confidence Interval and Other Measures Of Statistical Accuray. Statistical Science. 1. pp. 54– 77
Hardle, W. dan Stoker, T. M (1989) Investigating Smooth Multiple Regression By The Method of Average Derivatives, Journal of the American Statistica Association, vol : 84. no. 408. pp. 986–995.
Ross Ihaka dan Robert Gentelmen (1997) R:A Language for Data Analysis and Grahics. Sahinler, S. dan Topuz, D (2007) Bootstrap and Jackknife Resampling Algorithms for
Estimation of Regression Parameters, JAQM, no. 22. pp. 188–199. Shao, J. dan Tu, D (1995), The Jacknife and Bootstrap, Springer Verlag Inc, New York.
pp. 289 Tukey, J.W. (1958). Bias and confidence in not quite large samples. Annals of Mathe-
matical Statistics, 29, 614 Stoker,T.M (1990) Smoothing Bias in Derivative Estimation, Journal of the American
Statistical Association, pp. 90–3185. Quenouille, M. (1949). Approximate tests of correlation in time series. Journal of the
Royal Statistical Society, Soc. Series B, 11, 18-84.
28
Universitas Sumatera Utara