Metode Prediksi Tak bias Linear Terbaik dan Bayes Berhirarki untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space

METODE PREDIKSI TAK-BIAS LINEAR

TERBAIK DAN BAYES BERHIRARKI UNTUK

PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN

MODEL

STATE SPACE

KUSMAN SADIK

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI DISERTASI

DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa disertasi yang berjudul ‘Metode Prediksi Tak-bias Linear Terbaik dan Bayes Berhirarki untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space’ adalah hasil karya saya sendiri dengan arahan komisi pembimbing dan belum pernah diajukan kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya penulis lain telah dicantumkan di dalam teks dan Daftar Pustaka disertasi ini.

Bogor, November 2009

Kusman Sadik NIM. G161050021

ABSTRACT

KUSMAN SADIK. Best Linear Unbiased Prediction and Hierarchical Bayes

Methods for Small Area Estimation Using State Space Models. Under guidance of

KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO, BUDI SUSETYO, and I WAYAN MANGKU.

There have been two main topics developed by statisticians in a survey, i.e. sampling techniques and estimation methods. The current issues are estimation methods related to estimation of a particular domain having small size of samples or, in more extreme cases, there is no sample available for direct estimation. Sample survey data provide effective reliable estimators of totals and means for large area and domains. But it is recognized that the usual direct survey estimator for a parameter of small area, have unacceptably large standard errors, due to the circumstance of small sample size in the area. The most commonly used models for this case, usually in small area estimation, are based on generalized linear mixed models. Some time happened that some surveys are carried out periodically so that the estimation could be improved by incorporating both the area and time random effects. In this dissertation we propose a state space model which accounts for the two random effects and is based on two equations, namely transition equation and measurement equation. Based on an evaluation criterion, the proposed hierarchical Bayes estimator turns out to be superior to both estimated best linear unbiased prediction (BLUP) and the direct survey estimator. The posterior variances which measure accuracy of the hierarchical Bayes estimates are always smaller than the corresponding variances of the BLUP and the direct survey estimates.

Keywords: Generalized linear mixed model, hierarchical Bayes, best linear

unbiased prediction, prior and posterior function, generalized variance function, block diagonal covariance, state space model.

RINGKASAN

KUSMAN SADIK. Metode Prediksi Tak-bias Linear Terbaik dan Bayes Berhirarki untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space. Dibimbing oleh KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO, BUDI SUSETYO, dan I WAYAN MANGKU.

Terkait dengan persoalan survei, ada dua topik utama yang menjadi perhatian para statistisi selama tahun-tahun terakhir ini. Topik tersebut menyangkut persoalan pengembangan teknik penarikan contoh dan pengembangan metodologi pendugaan parameter pupulasi. Sebagaimana diketahui, pada umumnya survei rutin yang dilakukan oleh pemerintah suatu negara didesain untuk memperoleh statistik nasional. Artinya, survei semacam ini didesain untuk inferensia bagi daerah yang luas.

Persoalan muncul ketika dari survei seperti ini ingin diperoleh informasi untuk area yang lebih kecil, misalnya informasi pada level propinsi, kabupaten, bahkan mungkin level kecamatan. Ukuran contoh pada level area tersebut biasanya sangat kecil sehingga statistik yang diperoleh akan memiliki ragam yang besar. Bahkan bisa saja pendugaan tidak dapat dilakukan karena area tersebut tidak terpilih menjadi contoh dalam survei. Oleh karena itu dikembangkan metode pendugaan parameter yang dapat mengatasi hal ini. Metode tersebut dikenal dengan metode pendugaan area kecil (small area estimation, SAE).

Berbagai metode pendugaan area kecil telah dikembangkan khususnya menyangkut metode yang berbasis model. Area kecil tersebut didefinisikan sebagai himpunan bagian dari populasi dimana suatu peubah menjadi perhatian. Pendekatan klasik untuk menduga parameter area kecil didasarkan pada aplikasi model desain penarikan contoh (design-based) yang dikenal sebagai pendugaan langsung (direct estimation). Namun, metode pendugaan langsung pada sub-populasi tidak memiliki presisi yang memadai karena kecilnya jumlah contoh yang digunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Oleh karena itu dikembangkan metode pendugaan secara tidak langsung (indirect estimation) di suatu area yang relatif kecil dalam percontohan survei.

Tujuan tulisan ini adalah untuk mengkaji konsep dan sifat-sifat statistik pada model campuran linear terampat (generalized linear mixed model) untuk SAE serta mengkaji konsep dan sifat-sifat statistik model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu berdasarkan model state spacemelalui pendekatan kemungkinan maksimum dan Bayes berhirarki.

Nilai tengah pada area kecil dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari pengaruh tetap dan pengaruh acak. Prediksi tak-bias linear terbaik (best linear

unbiased prediction) dilakukan dengan cara meminimumkan fungsi kuadrat

linear terbaik (PTLT) memiliki kuadrat tengah galat (KTG) yang paling kecil diantara semua penduga tidak bias linear. Metode kemungkinan maksimum terkendala (restricted maximum likelihood) dapat digunakan untuk menduga komponen ragam atau koragam. Penggunaan komponen dugaan ini dalam penduga PTLT akan diperoleh penduga secara dua tahap sebagai PTLT empirik atau PTLTE.

Penerapan metode pendugaan tidak langsung pada area kecil untuk data Susenas menunjukkan bahwa nilai akar kuadrat tengah galatnya (AKTG) lebih kecil dibandingkan dengan AKTG pada metode pendugaan langsung. Sementara pada data deret waktu (time series data) Susenas, AKTG lebih kecil pada metode pemodelan area kecil PTLTE deret waktu dibandingkan dengan AKTG pada metode PTLTE data penampang melintang (cross-sectional data). Ini menunjukkan bahwa pengaruh acak area dan waktu maupun pengaruh sintetik vektor kovariat berfungsi memperbaiki hasil pendugaan metode PTLTE yang hanya didasarkan pada data survei pada satu tahun saja.

Berdasarkan data simulasi dapat diketahui bahwa nilai akar kuadrat tengah galat relatif (AKTGR) metode PTLTE deret waktu cenderung jauh mengecil dibandingkan dengan nilai AKTGR metode PTLTEnon-time seriespada waktuT

dan korelasi diri  yang sama-sama besar. Artinya, pengaruh pengamatan antar waktu yang diakibatkan oleh banyaknya waktu T dan korelasi diri  dapat memperbaiki pendugaan parameter pada area kecil yang diindikasikan dengan menurunnya nilai AKTGR tersebut.

Metode PTLT pada SAE memerlukan banyak kondisi tertentu yang harus dipenuhi, diantaranya adalah pengasumsian bahwa parameter peubah tetap dan ragam penarikan contohnya adalah konstanta atau tidak memiliki fungsi sebaran tertentu. Padahal kenyataannya, sangat dimungkinkan parameter tersebut bukan suatu konstanta, melainkan memiliki suatu fungsi sebaran tertentu. Metode Bayes dapat digunakan untuk mengatasi persoalan tersebut. Sehingga motode Bayes lebih fleksibel daripada metode PTLT yang memerlukan berbagai kondisi tertentu.

Penerapan pada data deret waktu Susenas, diketahui bahwa nilai AKTG lebih kecil pada metode pemodelan area kecil Bayes berhirarki dibandingkan dengan AKTG pada metode PTLTE. Hal ini mengindikasikan bahwa metode Bayes berhirarki lebih baik daripada PTLTE dalam menurunkan AKTG. Penurunan AKTG ini sebagai akibat adanya penguraian komponen ragam yang terdapat di dalam model, termasuk komponen ragam yang diakibatkan oleh fluktuasi tingkat pengeluaran perkapita antar tahun.

Berdasarkan kajian analitik pada model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu, penduga PTLT yang berbasis pada metode kemungkinan maksimum terbatas dan penduga Bayes berhirarki sama-sama bersifat tidak bias. Namun, resiko atau KTG yang dihasilkan penduga Bayes lebih kecil daripada penduga PTLT, artinya dalam hal ini penduga Bayes lebih baik daripada penduga PTLT.

@ Hak Cipta Milik Institut Pertanian Bogor (IPB), Tahun 2009 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber:

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

2. Dilarang mengumumkan atau memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

METODE PREDIKSI TAK-BIAS LINEAR TERBAIK

DAN BAYES BERHIRARKI UNTUK PENDUGAAN

AREA KECIL BERDASARKAN

MODEL

STATE SPACE

KUSMAN SADIK

Disertasi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor

pada

Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tertutup, 30 Oktober 2009

1. Prof. Dr. Ir. Aunuddin, MSc. (Dosen Dept. Statistika IPB) 2. Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc. (Dosen Dept. Statistika IPB)

Penguji Luar Komisi pada Ujian Terbuka, 23 November 2009

1. Dr. Bambang Heru Santosa, MEc. (Badan Pusat Statistik, Jakarta) 2. Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS. (Dosen Dept. Statistika IPB)

Judul Disertasi : Metode Prediksi Tak-bias Linear Terbaik dan Bayes Berhirarki untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan ModelState Space

Nama Mahasiswa : Kusman Sadik

NIM : G161050021

Program Studi : Statistika

Disetujui, Komisi Pembimbing

Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS Ketua

Dr. Ir. Budi Susetyo, MS Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc

Anggota Anggota

Diketahui,

Ketua Program Studi Statistika, Dekan Sekolah Pascasarjana IPB,

Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan hidayah-Nyalah akhirnya disertasi ini dapat diselesaikan.

Selama pelaksanaan penelitian dan penyelesaian tulisan ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak diantaranya adalah Komisi Pembimbing, seluruh dosen dan karyawan Departemen Statistika FMIPA IPB, seluruh staf dan karyawan Sekolah Pascasarjana IPB, peneliti dan karyawan di BPS Jakarta, dosen dan karyawan di Joint Program in Survey Methodology

(JPSM) University of Maryland Amerika Serikat, keluarga, dan berbagai pihak yang tidak dapat penulis sebutkan semuanya. Dengan segala keterbatasan dan kekurangannya, akhirnya disertasi yang berjudul “Metode Prediksi Tak-bias Linear Terbaik dan Bayes Berhirarki untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan ModelState Space” dapat diselesaikan dengan baik.

Pada kesempatan ini, secara khusus penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, Bapak Dr. Ir. Budi Susetyo, dan Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberikan arahan, saran, dan bimbingan.

2. Bapak Prof. Dr. Ir. Aunuddin dan Bapak Dr. Ir. Aji Hamim Wigena selaku penguji luar komisi pada saat Ujian Tertutup.

3. Bapak Dr. Bambang Heru Santosa, MEc dan Ibu Dr. Ir. Anik Djuraidah selaku penguji luar komisi pada saat Ujian Terbuka.

4. Seluruh dosen dan karyawan Departemen Statistika FMIPA IPB yang telah menjadi teman diskusi, memberikan saran, dan dorongan moril. 5. Seluruh dosen dan karyawan Sekolah Pascasarjana IPB yang telah

memberikan layanan pengajaran dan administrasi yang baik.

6. Para peneliti dan karyawan di BPS Jakarta yang banyak membantu memberikan data dan penjelasannya terkait data Susenas dan Podes.

7. Prof. Partha Lahiri, yang telah memberikan arahan dan pengajaran terkait konsep teori dan metodologi Small Area Estimation selama penulis melaksanakan Program Sandwich di Joint Program in Survey

Methodology, University of Maryland, Amerika Serikat.

8. Direktorat Pendidikan Tinggi, yang telah memberikan berbagai bantuan biaya pendidikan dan penelitian.

9. Seluruh anggota keluarga penulis, yang senantiasa memberikan dorongan semangat dan doa yang ikhlas.

10. Serta berbagai pihak lain yang tidak dapat penulis sebutkan seluruhnya secara satu persatu.

Akhir kalam, dengan segala kerendahan hati, penulis menyadari bahwa disertasi ini masih jauh dari kesempurnaan. Namun demikian, penulis berharap tulisan ini dapat bermanfaat bagi mereka yang memerlukannya.Aamiin.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sumenep pada tanggal 12 September 1969, sebagai anak kedua dari pasangan Muhammad Durri (alm) dan Siti Ahmadiyah (almh). Pendidikan sarjana ditempuh di Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB), lulus pada tahun 1995. Pada tahun 1996 penulis diterima di Program Magister Statistika pada Program Pascasarjana IPB, dan menyelesaikannya pada tahun 1999. Pada tahun 2005 penulis mendapat kesempatan untuk mengikuti Program Doktor pada Program Studi Statistika, Sekolah Pasacasarjana IPB, dengan beasiswa pendidikan (BPPS) diperoleh dari Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi, Depdiknas RI. Pada tahun 2008, penulis mengikuti Program Sandwich ke University of Maryland, Amerika Serikat, untuk mengikuti kuliah dan melakukan penelitian terkait dengan metode pendugaan area kecil yang menjadi fokus dalam disertasi ini.

Pada saat ini penulis bekerja sebagai dosen pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, IPB. Penulis menikah dengan Kurniawati Rahmi Wijaya, S.Si dan telah dikaruniai tiga orang anak, yaitu Firyali Rahmani Shidqi, Muhammad Sayyidurrahman Ash Shidqi, dan Radhwa Rahmaniyah Ash Shidqi.

Selama mengikuti program S3, penulis telah mempresentasikan beberapa karya ilmiah dalam seminar nasional dan internasional, dan sebagiannya dipublikasikan dalam jurnal ilmiah nasional. Karya-karya ilmiah tersebut adalah:

1. Sadik, K. and Notodiputro, K.A. 2009.Hierarchical Bayes Estimation Using Time Series and Cross-sectional Data : A Case of

Per-capita Expenditure in Indonesia. Conference of Small Area

Estimation, 29 Juni – 01 Juli 2009, Elche, Spanyol.

2. Sadik, K. 2008. Hierarchical Bayes Approach in Small Area

Estimation. Makalah Seminar Reguler di Joint Program in

Survey Methodology, University of Maryland, USA. Oktober,

2008.

3. Sadik, K., Notodiputro, K.A., Susetyo, B., Mangku, I.W. 2008. Small Area Estimation With Time and Area Effects Using A Dynamic

Linear Model. The 3rd International Conference on Mathematics and Statistics (ICoMS-3). Institut Pertanian Bogor, Indonesia, 5-6 August 2008.

4. Sadik, K. and Notodiputro, K.A. 2007. A State Space Model in Small

Area Estimation. The 9th Islamic Countries Conference on

Statistical Sciences 2007 (ICCS-IX), Kuala Lumpur: 12-14 December 2007.

5. Sadik, K. dan Notodiputro, K.A. 2007. Model State Space pada GLMM untuk Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation). Prosiding pada Seminar Nasional Statistika: 24 Mei 2007, Unisba – Bandung.

6. Sadik, K. dan Notodiputro, K.A. 2006. Pendekatan P-Spline

M-Quantile dalam Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation).

Jurnal Matematika Aplikasi dan Pembelajaran, Vol. 5 No.2 Jilid 1, p:142-147, Universitas Negeri Jakarta, Jakarta.

7. Sadik, K. dan Notodiputro, K.A. 2006. Small Area Estimation with

Time and Area Effects Using Two Stage Estimation. Proceeding

at the First International Conference on Mathematics and Statistics, MSMSSEA, 19-21 June 2006, Bandung.

8. Sadik, K., Notodiputro, K.A., Susetyo, B., Mangku, I.W. 2006. Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation) Berdasarkan Model yang Mengandung Langkah Acak (Random Walk). Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Konferda IndoMS wilayah Jabar & Banten, 22 April 2006, Jurusan Matematika UNPAD, Bandung.

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL ... xvii

DAFTAR GAMBAR ... xviii

DAFTAR LAMPIRAN ... xix

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan Penelitian ... 3

1.3. Ruang Lingkup ... 3

1.4. Kebaruan /Novelty ... 4

II. TINJAUAN METODE PENDUGAAN AREA KECIL ... 5

2.1. Pendahuluan ... 5

2.1.1. Keuntungan dan Keterbatasan Penarikan Contoh ... 6

2.1.2. Validitas, Reliabilitas, dan Keakuratan ... 6

2.1.3. Pendugaan Ukuran Contoh ... 7

2.2. Perkembangan Metode SAE ... 9

2.2.1. Metode Pendugaan Tidak Langsung untuk Area Kecil ... 12

2.2.2. Pendekatan Model Campuran Linear Terampat ... 14

2.2.3. Pengaruh Penarikan Contoh pada Pendugaan Tidak Langsung ... 16

2.3. Metode SAE dan ModelState Space ... 23

2.4. Statistik Area Kecil untuk Data BPS ... 23

2.4.1. Jenis Data yang Dikumpulkan ... 24

2.4.2. Rancangan Penarikan Contoh Susenas ... 25

2.4.3. Pendugaan Data Rumah Tangga ... 27

2.4.4. Persoalan Ukuran Contoh pada Susenas ... 28

III. METODE PREDIKSI TAK-BIAS LINEAR TERBAIK UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN MODELSTATE SPACE…… . ... 31

3.1. Pendahuluan ... 31

3.3. ModelState Spacepada Pendugaan Area Kecil ... 41

3.4. Pendugaan Parameter Model dengan KMT ... 44

3.4.1. Penduga Tak-bias Linear Terbaik (PTLT) ... 44

3.4.2. Penduga Dua Tahap ... 46

3.5. Pendekatan Orde Kedua untuk KTG ... 48

3.6. Evaluasi terhadap Penduga KTG ... 51

3.7. Penerapan pada Data Susenas dan Simulasi ... 59

3.7.1. Data Susenas ... 59

3.7.2. Data Simulasi ... 64

3.8. Simpulan ... 66

IV. METODE BAYES BERHIRARKI UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN MODELSTATE SPACE... 68

4.1. Pendahuluan ... 68

4.2. Metode Bayes Empirik ... 68

4.3. Metode Bayes Berhirarki ... 73

4.3.1. Kasus2_ Diketahui ... 76

4.3.2. Kasus2_ Tidak Diketahui ... 77

4.4. Bayes Berhirarki untuk ModelState Space ... 78

4.5. Penduga Bagi KTG ... 85

4.6. Metode GibbsSampling ... 89

4.7. Penerapan pada Data Susenas dan Simulasi ... 90

4.7.1. Data Susenas ... 90

4.7.2. Data Simulasi ... 96

4.8. Simpulan ... 101

V. PEMBAHASAN UMUM ... 103

5.1. Pendahuluan ... 103

5.2. Keunggulan Metode Bayes daripada Metode PTLT pada Model SAE Secara Analitik ... 104

5.3. Hasil Studi Kasus pada Data ... 107

5.4. Lesson Learned ... 112

VI. SIMPULAN DAN SARAN ... 113

6.1. Simpulan ... 113

DAFTAR PUSTAKA ... 116 DAFTAR ISTILAH DAN SINGKATAN ... 121 LAMPIRAN ... 122

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1. Perbandingan Antara Ukuran Contoh Susenas 2005 (n) dengan

JumlahnMinimum pada Batas d = 0.01. ... 28 Tabel 3.1. Perbandingan Antara Metode Pendugaan Langsung dengan

Metode Pendugaan Tidak Langsung untuk Rata-rata Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah),

Susenas 2005 Wilayah Kota Bogor ... 61 Tabel 3.2. Perbandingan Antara Metode PTLTE Penampang Melintang

dengan Metode PTLTE Deret Waktu untuk Data Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah),

Susenas Wilayah Kota Bogor ... 62 Tabel 3.3. Nilai Rata-rata Bias Relatif Mutlak (BRM) pada Metode

PTLTE Penampang Melintang dan Metode PTLTE Deret

Waktu untuk Data Simulasi ... 64 Tabel 3.4. Nilai Rata-rata AKTGR pada Metode PTLTE Penampang

Melintang dan Metode PTLTE Deret Waktu untuk Data

Simulasi ... 65 Tabel 4.1. Perbandingan Antara Metode PTLTE dengan Metode Bayes

Berhirarki Model 1 pada Data Deret Waktu Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah),

Susenas Wilayah Kota Bogor ... 92 Tabel 4.2. Perbandingan Antara Metode Bayes Berhirarki Model 1

dengan Model 2 pada Data Deret Waktu Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah), Susenas Wilayah

Kota Bogor ... 94 Tabel 4.3. Nilai Rata-rata Bias Relatif Mutlak (BRM) pada Metode Bayes

Berhirarki Model 1 dengan Model 2 untuk Data Simulasi ... 97 Tabel 4.4. Nilai Rata-rata AKTGR pada Metode Bayes Berhirarki Model

1 dengan Model 2 untuk Data Simulasi ... 98 Tabel 5.1. Perbandingan KTG dan AKTG Antara Metode PTLT dengan

Bayes Berhirarki pada Data Deret waktu Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah), Susenas Wilayah

Kota Bogor ... 109 Tabel 5.2. Perbandingan KTG dan AKTG Antara Metode PTLT dengan

Bayes Berhirarki pada Data Deret waktu Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah), Susenas Wilayah

Kota Bogor ... 110 Tabel 5.3. Nilai Rata-rata AKTGR pada Metode PTLTE dan Bayes

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Diagram Alur Metode Penarikan Contoh Susenas ... 27 Gambar 3.1. Plot Antara AKTG Penduga Langsung dengan AKTG Hasil

Metode PTLTE Data Penampang Melintang ... 62 Gambar 3.2. Plot Antara AKTG Metode PTLTE Penampang Melintang

dengan AKTG Metode PTLTE Deret Waktu ... 63 Gambar 4.1. Plot Antara AKTG Metode PTLTE dengan AKTG Metode

Bayes Berhirarki Model 1 ... 93 Gambar 4.2. Plot Antara AKTG Metode Bayes Berhirarki Model 1 dan

Model 2 ... 95 Gambar 4.3. Karakteristik Penduga Parameter Peubah Tetap (Fixed) 0

untuk Metode Bayes Berhirarki Model 1 dan Model 2 ... 98 Gambar 4.4. Karakteristik Penduga Parameter Peubah Tetap (Fixed) 1

untuk Metode Bayes Berhirarki Model 1 dan Model 2 ... 99 Gambar 4.5. Karakteristik Penduga Parameter Peubah Tetap (Fixed) 2

untuk Metode Bayes Berhirarki Model 1 dan Model 2 ... 99 Gambar 4.6. Karakteristik Penduga Parameter Peubah Tetap (Fixed) 3

untuk Metode Bayes Berhirarki Model 1 dan Model 2 ... 100 Gambar 4.7. Karakteristik Penduga Parameter Peubah Tetap (Fixed) 4

untuk Metode Bayes Berhirarki Model 1 dan Model 2 ... 100 Gambar 4.8. Karakteristik Penduga Parameter Peubah Tetap (Fixed) 5

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Program R untuk Bayes Berhirarki Model 1 ... 123 Lampiran 2. Program R untuk Bayes Berhirarki Model 2 ... 128 Lampiran 3. Program R untuk Simulasi Data ... 134 Lampiran 4. Perbandingan Antara Metode Pendugaan Langsung dengan

Metode Pendugaan Tidak Langsung untuk Rata-rata Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah),

Susenas 2005 Wilayah Kota Bogor ... 139 Lampiran 5. Perbandingan Antara Metode PTLTE Penampang Melintang

dengan Metode PTLTE Deret Waktu untuk Data Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah),

Susenas Wilayah Kota Bogor ... 141 Lampiran 6. Perbandingan Antara Metode PTLTE dengan Metode Bayes

Berhirarki Model 1 pada Data Deret Waktu Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah),

Susenas Wilayah Kota Bogor ... 143 Lampiran 7. Perbandingan Antara Metode Bayes Berhirarki Model 1

dengan Model 2 pada Data Deret Waktu Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah), Susenas Wilayah

Kota Bogor ... 145 Lampiran 8. Perbandingan KTG dan AKTG Antara Metode PTLT dengan

Bayes Berhirarki pada Data Deret Waktu Tingkat Pengeluaran Perkapita Perbulan (dalam Ribuan Rupiah),

Susenas Wilayah Kota Bogor ... 147 Lampiran 9. Metode Pendugaan Langsung yang digunakan oleh BPS

BAB I

1.

Pendahuluan

1.1. Latar Belakang

Survei merupakan salah satu bagian penting dari proses pengambilan keputusan yang berbasis pada data. Karena itu, survei sering dilakukan secara rutin baik di lembaga penelitian swasta maupun negeri. Terkait dengan persoalan survei tersebut, ada dua topik utama yang menjadi perhatian para statistisi pada tahun-tahun terakhir ini. Topik tersebut menyangkut persoalan pengembangan teknik penarikan contoh dan pengembangan metodologi pendugaan parameter populasi untuk area dengan contoh kecil.

Survei rutin yang dilakukan oleh pemerintah suatu negara, umumnya didesain untuk memperoleh statistik nasional. Artinya, survei semacam ini didesain untuk inferensia bagi daerah yang luas. Persoalan muncul ketika dari survei seperti ini ingin diperoleh informasi untuk area yang lebih kecil, misalnya informasi pada level propinsi, kabupaten, bahkan mungkin level kecamatan. Ukuran contoh pada level area tersebut biasanya sangat kecil sehingga statistik yang diperoleh akan memiliki ragam yang besar. Bahkan bisa saja pendugaan tidak dapat dilakukan karena area tersebut tidak terpilih menjadi contoh dalam survei. Oleh karena itu dikembangkan metode pendugaan parameter yang dapat mengatasi hal ini. Metode tersebut dikenal dengan metode pendugaan area kecil

(small area estimation,SAE).

Statistik area kecil semacam itu telah menjadi perhatian para statistisi dunia secara sangat serius sejak sepuluh tahun terakhir ini (misalnya Ghosh and Rao, 1994; Chand dan Alexander, 1995; You dan Rao, 2000; Rao, 2003; Russo et.al., 2005; Chambers dan Chandra, 2006; Lahiri, 2008). Berbagai metode SAE telah dikembangkan khususnya menyangkut metode yang berbasis model. Area kecil tersebut didefinisikan sebagai himpunan bagian dari populasi dimana suatu peubah menjadi perhatian. Pendekatan klasik untuk menduga parameter area kecil

didasarkan pada aplikasi model desain penarikan contoh (design-based) yang dikenal sebagai pendugaan langsung (direct estimation). Namun, metode pendugaan langsung pada sub-populasi tidak memiliki presisi yang memadai karena kecilnya jumlah contoh yang digunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Oleh karena itu dikembangkan metode pendugaan secara tidak langsung

(indirect estimation) di suatu area yang relatif kecil dalam percontohan survei

(Lahiri dan Rao, 1995; Russoet al, 2005)

Menurut Lahiri (2008), metode pendugaan tidak langsung pada area kecil pada dasarnya memanfaatkan kekuatan area sekitarnya (neighbouring areas) dan sumber data di luar area yang statistiknya ingin diperoleh. Dalam hal ini, model dikembangkan dengan asumsi bahwa keragaman didalam area kecil peubah respon dapat diterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaian pada informasi penyerta (auxiliary) yang berupa pengaruh tetap, sedangkan keragaman specifik area kecil diasumsikan dapat diterangkan oleh informasi tambahan yang berupa pengaruh acak area.

Meningkatnya kebutuhan terhadap metode SAE saat ini terjadi seiring dengan meningkatnya kebutuhan pemerintah dan para pengguna statistik (termasuk dunia bisnis) terhadap informasi yang lebih rinci, cepat, dan handal, tidak saja untuk lingkup negara tetapi pada lingkup yang lebih kecil seperti provinsi, kabupaten, bahkan kecamatan atau kelurahan. Di Indonesia pentingnya statistik area kecil semakin dirasakan seiring dengan era otonomi daerah dimana sistem ketatanegaraan bergeser dari sistem sentralisasi ke sistem desentralisasi. Pada sistem desentralisasi pemerintah daerah memiliki kewenangan yang lebih besar untuk mengatur dirinya sendiri. Kebutuhan statistik pada level kabupaten, dengan demikian, menjadi keniscayaan sebagai dasar bagi pemerintah daerah untuk menyusun sistem perencanaan, pemantauan dan penilaian pembangunan daerah atau kebijakan penting lainnya.

Menurut Sadik et al (2006, 2008), model pendugaan parameter area kecil akan sangat membantu khususnya dalam menyediakan kebutuhan data dan informasi yang akurat untuk kebutuhan daerah di Indonesia seperti level propinsi, kabupaten/kota atau bahkan kecamatan dengan memanfaatkan keakuratan data BPS pada level nasional, tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk

mengumpulkan data sendiri. Dengan demikian, secara nasional akan cukup banyak biaya yang bisa dihemat sehingga dapat dialokasikan untuk pembiayaan pembangunan lainnya.

1.2. Tujuan Penelitian

Secara umum tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji sifat-sifat statistik pada:

a. Model campuran linear terampat (generalized linear mixed model) sebagai model dasar SAE.

b. Model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu (state

space) melalui pendekatan prediksi tak-bias linear terbaik (best linear

unbiased prediction).

c. Model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu (state

space) melalui pendekatan Bayes berhirarki.

1.3. Ruang Lingkup

Fokus penelitian ini adalah kajian terhadap metode SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu berdasarkan model state space. Pendekatan yang digunakan untuk pendugaan parameter model tersebut adalah metode prediksi tak-bias linear terbaik (PTLT) dan Bayes berhirarki. Penelaahan terhadap konsep dan sifat-sifat statistik model dilakukan secara analitik dan empirik.

Pada Bab II dibahas tinjauan metode SAE secara umum mencakup perkembangan metode SAE, metode pendugaan tidak langsung pada area kecil, pendekatan model campuran linear terampat (MCLT) pada SAE, pengaruh penarikan contoh pada pendugaan tidak langsung, serta persoalan statistik area kecil pada data Badan Pusat Statistik (BPS). Sementara kajian tentang metode PTLT pada pendugaan area kecil berdasarkan model state space dipaparkan pada Bab III yang mencakup pendekatan MCLT pada model SAE dengan pengaruh acak area dan waktu, metode PTLT, pendekatan kuadrat tengah galat / KTG

(mean square error / MSE) dengan orde kedua, evaluasi terhadap penduga KTG,

Metode Bayes berhirarki pada pendugaan area kecil berdasarkan model

state space dibahas pada Bab IV. Pembahasan tersebut mencakup konsep metode

Bayes empirik dan berhirarki, pendekatan Bayes berhirarki pada model state

space, penduga bagi KTG, metode Gibbssampling, serta studi kasus penerapan

pada data Susenas dan data simulasi. Pembahasan umum pada Bab V bertujuan untuk membandingkan sifat-sifat statistik model SAE state space antara metode PTLT dengan metode Bayes berhirarki baik secara empirik maupun analitik. Sementara Bab VI memaparkan simpulan dari penelitian secara keseluruhan dan saran untuk penelitian selanjutnya khususnya menyangkut hal-hal keterbatasan pada penelitian ini.

1.4. Kebaruan /Novelty

Pemikiran tentang SAE yang berbasis pada model telah mendapatkan perhatian para statistisi dunia hingga saat ini khususnya setelah JNK Rao (2003) mengeluarkan buku tentang SAE. Buku tersebut merupakan buku pertama yang membahas tentang pendugaan area kecil dengan cara mengkompilasi beberapa hasil penelitian yang telah dipublikasikan di berbagai jurnal ilmiah internasional. Sampai saat ini banyak dilakukan konferensi statistika internasional terkait dengan pengembangan metode pendugaan area kecil tersebut.

Penelitian yang menjadi topik dalam disertasi ini merupakan perluasan kajian SAE dari beberapa hasil kajian para statistisi dunia yang mereka publikasikan dalam jurnal ilmiah. Ada dua kebaruan yang disajikan dalam disertasi ini. Pertama adalah penjabaran dan pembuktian secara analitik terhadap sifat-sifat statistik pada model SAE yang berbasis pada modelstate space.

Kedua, kajian metode PTLT dan Bayes berhirarki untuk SAE berdasarkan model state space serta penerapannya pada data Susenas BPS merupakan kajian yang pertama kali dilakukan di Indonesia. Sehingga hasil kajian dalam disertasi ini diharapkan dapat memberikan sumbangsih pemikiran pada perkembangan perstatistikaan di Indonesia.

BAB II

2.

Tinjauan Metode Pendugaan Area Kecil

2.1. Pendahuluan

Survei digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai parameter populasi dengan mengefektifkan biaya yang tersedia. Secara lebih luas survei secara praktis tidak hanya digunakan untuk menduga total populasi tetapi juga untuk menduga keragaman subpopulasi atau domain. Domain dapat didefinisikan sebagai daerah geografik, sosio-demografi, dan sebagainya. Dalam konteks survei, penduga dikatakan langsung (direct estimator) apabila pendugaan terhadap parameter populasi di suatu domain hanya didasarkan pada data contoh yang diperoleh dari domain tersebut. Misalnya, pendugaan rata-rata tingkat pengeluaran rumah tangga perbulan di suatu kabupaten didasarkan hanya pada data survei yang diperoleh dari kabupaten tersebut. Informasi lain yang berada di luar domain kabupaten tersebut tidak diperhitungkan.

Pendugaan langsung umumnya didasarkan pada teknik penarikan contohnya

(sampling technique). Teknik semacam ini telah dikembangkan oleh Cochran

(1977), Swenson dan Wretman (1989), dan Thompson (1997). Metode yang didasarkan pada pemodelan (model-based) juga telah dikembangkan.

Survei contoh termasuk dalam kelompok non-percobaan (non-experimental) yang lazim disebut studi observasional. Tujuan utamanya adalah menduga nilai sejumlah peubah yang terdapat dalam populasi. Meskipun sejumlah hipotesis dapat diuji berdasarkan data yang diperoleh dari suatu survei, namun hal ini umumnya merupakan tujuan sekunder dalam survei (Levy dan Lemeshow, 1999).

Survei contoh dapat dikategorikan kedalam dua kelompok besar berdasarkan pada metode pemilihan contoh, yaitu contoh berpeluang (probability

samples) dan contoh tak-berpeluang (nonprobability samples). Contoh berpeluang

memiliki karakteristik bahwa setiap elemen dalam populasi diketahui peluangnya untuk terpilih sebagai contoh. Sedangkan pada contoh tak-berpeluang tidak

memiliki karakteristik ini, yaitu peluang suatu elemen dalam populasi untuk terpilih sebagai contoh tidak diketahui berapa besar peluangnya. Pada penarikan contoh berpeluang, karena setiap elemen diketahui peluangnya untuk terpilih, maka penduga tidak bias parameter populasi yang berupa fungsi linear dari pengamatan (rataan populasi, proporsi, total) dapat diformulasikan dari data contoh. Demikian juga, galat baku bagi penduga ini bisa diperoleh sehingga reliabilitas dan validitas dapat dievaluasi.

Pada survei contoh mencakup dua hal penting, yaitu perencanaan penarikan contoh (sampling plan) dan prosedur pendugaan parameter. Perencanaan penarikan contoh adalah metodologi yang digunakan untuk pemilihan contoh dari populasi. Sedangkan prosedur pendugaan parameter merupakan algoritma atau formula yang digunakan untuk memperoleh dugaan nilai populasi dari data contoh dan untuk menduga reliabilitas dari penduga tersebut (Levy and Lemeshow, 1999).

2.1.1. Keuntungan dan Keterbatasan Penarikan Contoh

Penarikan contoh memiliki beberapa keuntungan dibandingkan dengan enumerasi secara lengkap terhadap populasi, diantaranya adalah lebih ekonomis, lebih pendek jedah waktunya (time-lag), cakupannya lebih luas, dan mutu pekerjaan lebih baik karena lebih terencana (Som, 1996). Penarikan contoh memerlukan sumberdaya yang lebih baik untuk merancang dan melaksanakannya sehingga biaya per unit pengamatan adalah lebih tinggi daripada enumerasi secara lengkap. Namun total biaya untuk penarikan contoh adalah lebih kecil daripada enumerasi secara lengkap dalam suatu cakupan populasi tertentu. Demikian juga, dengan jumlah pengamatan yang lebih kecil, penarikan contoh memungkinkan untuk lebih cepat dibandingkan dengan enumerasi secara lengkap. Penarikan contoh memiliki cakupan yang lebih luas daripada enumerasi secara lengkap

2.1.2. Validitas, Reliabilitas, dan Keakuratan

Sebagaimana disebutkan sebelumnya bahwa pada contoh berpeluang, reliabilitas dan validitas penduga dapat dievaluasi. Reliabilitas (reliability) penduga parameter populasi merujuk pada bagaimana penduga tersebut dihasilkan

apabila survei yang sama dilakukan secara berulang-ulang. Apabila diasumsikan bahwa tidak ada kesalahan pengukuran dalam survei, maka reliabilitas suatu penduga parameter dapat digambarkan oleh ragam penarikan contohnya atau ekuivalen dengan galat bakunya. Sehingga penduga yang memiliki galat baku terkecil, maka penduga tersebut memiliki reliabilitas terbesar.

Validitas (validity) penduga parameter populasi (θˆ) merupakan gambaran tentang bagaimana rataan dari penduga-penduga suatu parameter yang diperoleh dari proses survei yang dilakukan secara berulang-ulang berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya (). Apabila diasumsikan bahwa tidak ada kesalahan pengukuran dalam survei, maka validitas suatu penduga parameter dapat dievaluasi dari nilai bias penduga tersebut, yaituE(- θˆ). Penduga yang memiliki bias terkecil merupakan penduga yang memiliki validitas terbesar.

Sementara keakuratan (accuray) suatu penduga menunjukkan tentang seberapa jauh penyimpangan nilai dugaan dari nilai parameter yang sebenarnya. Keakuratan suatu penduga umumnya dievaluasi berdasarkan nilai kuadrat tengah galat / KTG (mean square error / MSE) atau berdasarkan nilai akar kuadrat

tengah galat / AKTG (root mean square error/ RMSE) yaitu E(θθˆ)2 .

2.1.3. Pendugaan Ukuran Contoh

Salah satu persoalan penting dalam perancangan contoh adalah menentukan berapa besar contoh yang diperlukan untuk memperoleh penduga yang memiliki tingkat reliabilitas tertentu sesuai dengan tujuan survei. Secara umum, ukuran contoh yang lebih besar akan memberikan tingkat reliabilitas yang juga lebih besar terhadap hasil pendugaan.

Kesalahan relatif,, dalam pendugaaan parameter dapat dikontrol pada saat melakukan penarikan contoh. Pada penarikan contoh acak sederhana dapat dinyatakan bahwa

α

ξ

ˆ

     

  

  

  P

dimanaadalah nilai peluang tertentu. Sebagaimana telah dijabarkan sebelumnya bahwa ˆ dapat diasumsikan menyebar normal dengan ragamV(ˆ) yaitu

V(ˆ) = n N n N N n y N n N y N i i 2 1 2 σ ) 1 ( ) ( ) (           



_  sehingga

 =z/2 V(ˆ) = z/2

n N n N y 2 σ        .

Penyelesain untuk ukuran contohnadalah

n= _{2 2 2}

2 / 2 2 2 / 2 2 / 2 2 / ξ ψ ) ( ψ ) ( ξ σ 1 1 ξ σ N z z N Y z N Y z y y y y                               

dimana ψ_y= σ_y/ merupakan koefisien keragaman.

Sebuah pendekatan untuk menentukan ukuran contoh kadang-kadang dapat dikembangkan bila keputusan praktis dibuat dari hasil-hasil contoh. Dasar keputusan akan menjadi lebih jelas jika pendugaan contoh mempunyai kesalahan yang rendah daripada jika mempunyai kesalahan yang tinggi. Masih memungkinkan untuk menghitung masalah keuangan, kerugian l(h) yang muncul dalam sebuah keputusan dengan sebuah kasalahan dalam pendugaannya. Meskipun nilai sebenarnya dari h tidak dapat diramalkan sebelumnya, teori penarikan contoh menunjukkan bahwa untuk mendapatkan sebaran frekuensi f(h, n) dari h, yang untuk metode penarikan contoh tertentu akan tergantung pada ukuran contoh n. Dengan demikian kerugian yang diharapkan untuk ukuran contoh tertentu adalah:



 l h f h n dh n

L( ) ( ) ( , ) .

Tujuan dari pengambilan contoh adalah untuk mengurangi kerugian ini. Jika

C(n) adalah biaya dari ukuran contoh n, sebuah prosedur yang beralasan adalah dengan memilihnuntuk meminimumkan:

C(n) +L(n)

karena ini adalah total biaya yang diperlukan dalam pengambilan contoh dan dalam pembuatan keputusan berdasarkan hasil-hasil contoh. Pemilihan ukuran ( 2.2 )

contohnditentukan oleh ukuran contoh yang optimum dan tingkat ketelitian yang paling tinggi.

Sebagai alternatif, pendekatan yang sama dapat disajikan dalam keuntungan ekonomis (monetary gain) yang diperoleh dari contoh yang dimiliki, bukannya kerugian yang timbul dari kesalahan informasi contoh. Jika keuntungan keuangan yang digunakan, maka dapat dibentuk suatu harapan keuntungan G(n) dari sebuah contoh berukuran n, dengan G(n) adalah nol jika tidak ada contoh yang diambil. Berarti harus memaksimumkan

G(n) -C(n).

Aplikasi yang sangat sederhana terjadi bila fungsi kerugian,l(h), adalahh2, denganadalah konstanta, sehingga dapat dinyatakan bahwa

L(n) =E(h2).

Misalkanˆadalah penduga dari danh= ˆ - , maka

   

   



N n V

n

L y

1 1

λσ

)

ˆ

(

λ

)

(  2

jika yang digunakan adalah penarikan contoh acak sederhana. Sementara bentuk sederhana dari fungsi biaya untuk contoh adalah

C(n) =c0+c1n

dimana c0adalah biaya tetap. Berdasarkan fungsi biaya dan kerugian, nilai dari n yang meminimumkan biaya dan kerugian adalah

1 2

σ

λ

c

n y .

2.2. Perkembangan Metode SAE

Persoalan statistik area kecil telah menjadi perhatian serius para statistisi sejak 10 tahun terakhir ini, meskipun dasar pemikirannya telah dimulai jauh sebelumnya. Pendugaan karakteristik area kecil berdasarkan model pengaruh tetap merujuk pada synthetic estimator(Levy, 1971), composite estimator (Schaibleet.

al., 1977) dan prediction estimator (Holt et. al., 1979). Model pengaruh tetap menerangkan seluruh keragaman peubah respon di dalam area kecil oleh keragaman faktor-faktor yang diketahui.

Fay dan Herriot (1979) mengajukan suatu metode pemodelan untuk menduga pendapatan perkapita untuk suatu area kecil berdasarkan data survei Biro Sensus Amerika Serikat (U.S. Bureau of the Cencus). Area kecil yang dimaksudkan oleh Fay dan Herriot sama dengan Levy dan Holt di atas, yaitu suatu area survei dimana ukuran contoh pada area tersebut sangat kecil. Perbedaannya, Fay dan Herriot memasukkan pengaruh acak pada modelnya. Asumsi dasar dalam pengembangan model untuk pendugaan area kecil (SAE) tersebut adalah bahwa keragaman di dalam area kecil peubah respon dapat diterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaian pada informasi tambahan yang disebut sebagai pengaruh tetap. Asumsi lainnya adalah bahwa keragaman specifik area kecil tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan dan merupakan pengaruh acak area kecil. Gabungan dari dua asumsi tersebut membentuk model pengaruh campuran

(mixed models).

Dibandingkan dengan model pengaruh tetap, model campuran memiliki cakupan aplikasi yang lebih luas. Model Fay-Herriot tersebut menggunakan model campuran yang telah menjadi kajian para statistisi sebelumnya. Salah satu sifat yang menarik dalam model campuran adalah kemampuannya dalam menduga kombinasi linear dari pengaruh tetap dan pengaruh acak. Henderson (1949-1975) mengembangkan teknik penyelesaian model pengaruh campuran untuk memperoleh prediksi tak-bias linear terbaik / PTLT (best linear unbiased

prediction / BLUP). Metode PTLT yang dikembangkan tersebut mengasumsikan

diketahuinya ragam pengaruh acak dalam model campuran (komponen ragam). Padahal dalam prakteknya, komponen ragam tidak bisa diketahui dan harus diduga berdasarkan data. Selanjutnya, Harville (1977) melakukan kajian terhadap beberapa metode pendugaan komponen ragam, dengan memasukkan metode

maximum likelihood dan residual maximum likelihood. Penduga PTLT yang

diperoleh dengan cara terlebih dahulu menduga komponen ragamnya disebut sebagai prediksi tak-bias linear terbaik empirik / PTLTE (empirical best linear

unbiased prediction / EBLUP) seperti yang dikembangkan Harville (1990) dan

Robinson (1991).

Metode PTLTE tersebut mengasumsikan bahwa pengaruh acak memiliki sebaran normal. Schall (1991), McGilchrist dan Aisbett (1991), Breslow dan

Clayton (1993), Breslow dan Lin (1995), McGilchrist (1994), dan Marker (1999) mengembangkan PTLTE untuk model linear terampat (generalized linear models) yang pengaruh acaknya diasumsikan memiliki sebaran keluarga eksponensial. Zeger dan Karim (1991) memperkenalkan pendekatan Gibbs sampling untuk penyelesaian model campuran. Teknik komputasi Monte Carlo Expectation-Maximization dan Monte Carlo Newton-Raphson digunakan oleh McCulloch (1994 dan 1997). Sementara Datta dan Ghosh (1991), Ghosh dan Rao (1994), Pfeffermann (1999), Ghosh dan Lahiri (1987), Rao (1999, 2003), serta Chambers dan Tzavidis (2006) menggunakan model campuran untuk meningkatkan akurasi pendugaan pada kasus area kecil berdasarkan data survey atau data sensus.

Selain PTLTE, pendugaan dan inferensia pada SAE juga menggunakan Bayes empirik (empiricalBayes) dan Bayes berhirarki (hierarchicalBayes). Pada pendekatan Bayes empirik, pendugaan dan inferensia berdasarkan pada sebaran posterior yang diduga dari data. Adapun pada pendekatan Bayes berhirarki, parameter model yang tidak diketahui (termasuk komponen ragam) diperlakukan sebagai komponen acak yang masing-masing memiliki sebaran prior tertentu. Sebaran posterior untuk parameter yang menjadi perhatian diperoleh berdasarkan seluruh sebaran prior tersebut. Ghos dan Rao (1994) mengulas penggunaan Bayes berhirarki pada SAE. Deely dan Lindley (1991), Maiti (1998), Datta et al (1996, 1999) menggunakan non-informative prior untuk kasus hiperparameter pada penggunaan Bayes berhirarki. You dan Rao (2000) menggunakan Bayes berhirarki untuk menduga rataan area kecil berdasarkan model pengaruh acak. Malec et al (1999) mengembangkan model yang digunakan pada Malec et al

(1997) dengan memasukkan komponenoversampling di dalam likelihood. Farrell

et al (1997) mengembangkan model logistik campuran yang digunakan oleh

MacGibbon dan Tomberlin (1989). Moura dan Mignon (2001) lebih mengembangkan model tersebut dengan memasukkan komponen struktur korelasi spasial pada data respon biner.

Saat ini penelitian dan pengembangan metode SAE semakin meningkat semenjak JNK Rao menerbitkan buku yang berjudul ’Small Area Estimation’ pada tahun 2003, sebagai buku pertama di dunia yang membahas tentang metode SAE. Seminar dan konferensi internasional tentang SAE saat ini banyak

diselenggarakan di berbagai negara. Salah satunya diselenggarakan di Spanyol pada Juli 2009 yang dihadiri oleh berbagai statistisi dunia termasuk JNK Rao. Pada konferensi tersebut didiskusikan berbagai problem SAE termasuk aplikasinya pada data survei di berbagai negara. Perkembangan dan aplikasi metode SAE di Indonesia pada konferensi tersebut dikemukakan oleh Sadik dan Notodiputro (2009).

2.2.1. Metode Pendugaan Tidak Langsung untuk Area Kecil

Ukuran contoh pada sub-area survei terkadang berukuran kecil sehingga statistik yang diperoleh akan memiliki ragam yang besar atau bahkan pendugaan bisa saja tidak dapat dilakukan pada sub-area tertentu karena sub-area tersebut tidak terpilih menjadi contoh. Metode SAE dikembangkan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Area kecil tersebut didefinisikan sebagai himpunan bagian dari populasi dimana suatu peubah menjadi perhatian. Pendekatan klasik untuk menduga parameter area kecil didasarkan pada aplikasi model desain penarikan contoh yang menghasilkan metode pendugaan langsung (Rao, 2003; Chambers dan Chandra, 2006; Lahiri, 2008).

Informasi tambahan dapat digunakan untuk meningkatkan akurasi dan presisi suatu penduga. Pada SAE, informasi tambahan tersebut dapat berupa nilai parameter dari area kecil lain yang memiliki karakteristik serupa dengan area kecil yang menjadi perhatian, atau nilai pada waktu yang lalu, atau nilai dari peubah yang memiliki hubungan dengan peubah yang sedang diamati. Pendugaan paramater dan inferensianya yang berdasarkan pada informasi tambahan tersebut, dinamakan pendugaan tidak langsung atau model-based. Metode dengan memanfaatkan informasi tambahan tersebut secara statistik memiliki sifat penguatan (borrowing strength) dari hubungan antara nilai peubah respon dan informasi tambahan tersebut.

Asumsi dasar dalam pengembangan model untuk SAE adalah bahwa keragaman didalam area kecil peubah respon dapat diterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaian pada informasi tambahan yang disebut sebagai pengaruh tetap. Asumsi lainnya adalah bahwa keragaman specifik area kecil tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan dan merupakan pengaruh acak area

kecil. Gabungan dari dua asumsi tersebut membentuk model pengaruh campuran

(mixed models). Model pengaruh tetap menerangkan seluruh keragaman peubah

respon di dalam area kecil oleh keragaman faktor-faktor yang diketahui. Pendugaan karakteristik area kecil berdasarkan model pengaruh tetap merujuk

pada synthetic estimator (Levy, 1971), composite estimator (Schaible et. al.,

1977) dan prediction estimator (Holt et. al., 1979; Sarndal, 1984; dan Marker, 1999).

Pendugaan langsung umumnya didasarkan pada teknik penarikan contohnya. Teknik semacam ini telah dikembangkan oleh Cochran (1977), Swenson dan Wretman (1989), dan Thompson (1997). Metode yang didasarkan pada pemodelan juga telah dikembangkan, misalnya seperti yang dilakukan oleh You dan Rao (2000).

Pada pendugaan yang berbasis pada rancangan survei, pembobot rancangan

wj(s)memiliki peranan penting dalam membentuk penduga berbasis rancangan Yˆ

bagi Y. Pembobot ini tergantung pada s dan elemen j (js). Salah satu bentuk pembobot yang penting adalah wj(s)=1/j, dimana j = {s:js}p(s), j=1, 2, .., N. Apabila tidak informasi penyerta, maka penduga langsung dapat diekspresikan sebagai Yˆ= {s:js}wj(s)yj. Dalam kasus ini, rancangan tidak berbias apabila

terpenuhi{s:js}p(s)wj(s) = 1 untukj=1, 2, …, N. Pembobot ini merupakan bentuk

umum dari penduga Horvitz-Thompson (Cochran, 1977).

Pendugaan langsung ini dapat pula menggunakan informasi penyerta yang ada pada domain yang bersangkutan. Misalkan informasi penyerta dalam domain tertentu, X= (X1, …, Xp)T, tersedia dan vektorxj untukjsterobservasi, sehingga data (yj, xj) untuk setiap elemen js terobservasi. Suatu penduga yang

mengefisienkan informasi penyerta ini adalah generalized regression (GREG) yang bisa ditulis sebagai berikut:

B X

X ˆ) ˆ

(

ˆ

ˆ T

GR Y

Y   

dimana Xˆ = {s:js}wj(s)xj dan

T p

B Bˆ ,..., ˆ ) (

ˆ  ₁

B adalah solusi dari persamaan

kuadrat terkecil terboboti dari contoh, yaitu ({s:js}wj(s)xjxjT/cj)Bˆ =

{s:js}wj(s)xjyj/cjdengan cj(>0) sebagai konstanta spesifik.

Pendugaan tidak langsung dapat menggunakan pendekatan model secara umum. Misalkan diasumsikan bahwa i = g(Yi) untuk beberapa spesifikasi g(.)

dihubungkan dengan data penyerta spesifik pada area i,xi = (x1i, …, xpi)Tmelalui

suatu model linear

i=xiT+bivi, i= 1, …, m

dimana bi adalah konstanta positif yang diketahui dan  adalah vektor berukuran px1. Sedangkanvi adalah pengaruh acak spesifikasi area yang diasumsikan bebas

dan menyebar identik dengan

Em(vi) = 0 danVm(vi) =v2(0), atauviiid (0,v2).

Pendugaan tidak langsung untuk rataan populasi di area kecil i, (Yi), diperlukan

informasi mengenai penduga langsungnya yaitu Yˆ. Dengan menggunakan metode James-Stein akan diperoleh:



ˆ_i g(Yˆ) =i+ei 

ˆ_i xiT+bivi+ei, i= 1, …,m

dimana galat penarikan contoh (sampling error)eiadalah bebas dengan Ep(ei|i) = 0 danVp(ei|i) =i, atauviiid (0,v2). 2.2.2. Pendekatan Model Campuran Linear Terampat

Rao(2003) mengaitkan model-model pendugaan tidak langsung (

model-based) di atas sebagai bagian dari model campuran linear terampat / MCLT

(generalized linear mixed model/ GLMM) yang menggabungkan antara pengaruh

tetap dan pengaruh acak dalam suatu model umum. Datta dan Ghosh (1991) mengemukakan formulasi model MCLT sebagai berikut :

yP=XP+ZPv+eP.

Pada model ini v dan eP bebas dengan eP  N(0, 2P) dan v  N(0,

2

D()), dimanaP adalah matriks definit positif yang diketahui danD() adalah matriks definit positif yang strukturnya diketahui. Sedangkan XP dan ZP adalah matriks rancangan dan YP adalah vektor N x 1 dari nilai y populasi. Matriks koragam bagi v dan e masing-masing adalah G dan R. Persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai berikut:

( 2.5 )

                            * e e v * Z Z * X X * y y

yP 

dimana bagian yang ditandai asterisk (*) menunjukkan unit yang tidak tercakup dalam contoh. Vektor untuk total (Yi) pada area kecil adalah berbentukAy+Cy* denganA= m_i T_n

i 1 1



 danC= m_i T_{N n}

i i



 ₁1 dimana _im_1 A_u= blockdiag(A1, …,Am). Pada MCLT ini dilakukan pendugaan terhadap kombinasi linear dari parameter yaitu  = 1T + mTv. Rao (2003) mengemukakan bahwa untuk  tertentu yang diketahui maka penduga PTLT bagiadalah

H



~ _{= t(,y) =1}T _~

+mT~v =1T~ +mTGZTV-1(y-X~) dimana



~

= ~() = (XTV-1X)-1XTV-1y

v

~ _{= v}~_{() =GZ}T

V-1(y-X~).

Model untuk pendugaan tidak langsung, yaitu ˆ_i  xiT+ bivi +ei, i = 1,

…,m,sebenarnya merupakan kasus khusus dari model MCLT, yaitu

yi= ˆ_i, Xi=xiT, Zi=bi

dan

vi=vi, ei=ei, =(1, …,p)T

sedangkan

Gi=v2, Ri=i

sehingga

Vi=i+v2bi2 dan i=i=xiT+bivi.

Apabila persamaan pendugaan tidak langsung disubstitusikan ke dalam pendugaan MCLT akan diperoleh penduga PTLT bagiiataui yaitu:

H i



~

=xiT~ +i(ˆi -xi T_~

), dimanai=v2bi2/(i+v2bi2), dan

~ = ~(v2) =

                 





   m

i i v i

i i m

i i v i

T i i b b 1 2 2 1 1 2 2 ˆ      x x x .

Ada tiga pendekatan standar untuk SAE didasarkan pada model MCLT tersebut, yaitu PTLTE, Bayes empirik, dan Bayes berhirarki. Metode PTLTE biasanya membutuhkan metode kemungkinan maksimum terkendala / KMT ( 2.7 )

( 2.8 )

(restricted maximum likelihood / REML) untuk pendugaan parameternya yang berkaitan dengan pengaruh area acak, yang identik dengan Bayes empirik dan Bayes berhirarki dalam beberapa keadaan.

2.2.3. Pengaruh Penarikan Contoh pada Pendugaan Tidak Langsung

Sebagaimana dijabarkan di atas bahwa pada pendugaan tidak langsung, metode penarikan contoh akan mempengaruhi metode penghitungan nilai kuadrat tengah galatnya. Artinya, pada pendugaan tidak langsung juga mempertimbangkan metode pendugaan langsungnya bagi penduga parameternya maupun keragaman yang terdapat dalam penduga langsung tersebut. Pada model di atas yaitu,



ˆ_i g(Yˆ) =i+ei 

ˆ_i xiT+bivi+ei, i= 1, …,m

pengaruh penarikan contoh diperhitungkan pada komponen ei sebagai galat

penarikan contoh (sampling error) yang bebas dengan

Ep(ei|i) = 0 danVp(ei|i) =i, atauviiid (0,v2).

Pada persamaan ( 2.10 ) di atas, penduga langsung yang berbasis pada metode penarikan contoh tertentu berkontribusi pada nilai ˆ_i dan Vp(ei|i) = i.

Untuk penarikan contoh acak sederhana (simple random sampling) yang memilih

n unit dari N sehingga setiap elemen dari NCn contoh yang berbeda mempunyai

kesempatan yang sama untuk dipilih maka ˆ = y pada suatu area kecil tertentu dimana

E(y) = ( ... )

! )! (

! )! (

)! 1 (

)! 1 (

2

1 y yN

y nN

n N n n N n

N  _{  }

 



= Y

N y y

y  ... N)  ( 1 2

.

Sehingga y merupakan penduga tidak bias bagi nilai tengah populasi Y . Sedangkan  = ragam bagi y untuk area kecil tertentu yang dapat dinyatakan sebagaiE(y  Y )2, yaitu

 = V(y) =E(y  Y )2= 1₂

n N

n

[ 

  

 

  

1 1 1

N n

{(y1 Y )2+ …. + (yN Y )2}

( 2.10 )

=



    N i i Y y N nN n N 1 2 ) ( ) 1 ( = n N n N N n Y y N n N N i i 2 1 2 y σ ) 1 ( ) ( ) (           



 dimana ) 1 ( ) ( σ 1 2 2   



 N Y y N i i

y , sedangkan penduga bagi ragam y adalah

) ( ˆ 2 n s N n N y

V  y

      

pada penduga ragam bagiy tersebut,

) 1 ( ) ( 1 2 2   



 n y y s n i i

y merupakan penduga tidak

bias bagi ragam populasi σ2_y. Untuk penarikan contoh dengan pengembalian,  ragam bagi y yaitu

 = V(y) = 1₂

n _

     





  N i N j i j i i N n y y N N n y 1 2 2 2 2 ) 1 ( = 1 ) ( 1 ) ( 1 ₁ 2 1 2     





  N Y y nN N Y y nN N i i N i i = n N N y 2 σ 1        .

Pada penarikan acak contoh berlapis, populasi N unitnya dibagi ke dalam

subpopulasi, masing-masing N1, N2, ..., NL unit, dimana N N L

i 



1 , sehingga

subpopulasi ini tidak boleh tumpang tindih. Penduga langsung bagi  yaitu ˆ pada persamaan pendugaan area kecil ( 2.10 ) adalah ˆ = y_st, yaitu





  _  L h h h L h h h

st W y

N y N y 1 1

dimana Wh = Nh/N merupakan pembobot lapisan. Apabila dalam setiap lapisan

penduga contohnya, y_h, adalah tidak bias, maka y_st merupakan penduga tidak

bias bagi nilai tengah populasi Y , yaitu

( 2.13 )

( 2.14 ) ( 2.12 )

E(yst) =





         L h h h L h h

hy WY

W E

1 1

karena penduganya, y_h, adalah tidak bias pada tiap lapisan. Sementara itu, nilai tengah populasi dapat dinyatakan sebagai berikut:







    _{ }  L h h h L h h h L h N i hi Y W N Y N N y Y h 1 1 1 1

berdasarkan penjabaran di atas, maka yst merupakan penduga tidak bias bagi nilai

tengah populasi Y , karenaE(yst) = Y .

Ragam penarikan contoh  yang berkontribusi pada pendugaan area kecil di atas dapat dinyatakan sebagai ragam bagi y_st yaitu

= V(yst) = ( ) 2 ( , )

1 1 2 1 j h L h L h j j h L h h h L h h

hy W V y WWCov y y

W

V







           

Apabila penarikan contohnya dilakukan secara bebas antar lapisan yang berbeda seluruh koragam di atas sama dengan nol, sehigga

 = V(y_st) =





         L h h h L h h

hy W V y

W V 1 2 1 ) ( =



       L h h h h h h h N n N n W 1 2 2σ dimana 1 ) ( σ 1 2 2   



 h N i h hi h N Y y h .

Pada penarikan contoh sistematik yang mengambil sebuah unit secara acak dari kunit yang pertama, dan selanjutnya mengambil setiap kelipatan k, Penduga langsung bagi yaituˆ pada persamaan pendugaan area kecil ( 2.10 ) adalah ˆ =

sy

y . Pendekatan pada contoh sistematik adalah berupa penarikan contoh berkelompok dimana kelompoknya mengandung n elemen dan contohnya terdiri dari satu kelompok, sehingga dapat dianggap bahwaN = nk. Berdasarkan hal ini,

ˆ = y_sy merupakan penduga tidak bias bagi nilai tengah populasi Y untuk ( 2.15 )

Misalkanyijmenyatakan anggota ke-jdari contoh sistematik ke-i, sehinggaj

= 1, 2, . . ., n ; i = 1, 2, . . ., k, dan rata-rata contoh ke-i dinotasikan dengan

.

i

y maka adalah ragam dari ysy yaitu:

2 1 1 2 . 1 2 . 1 1 2 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( wsy sy k i n j i ij k i i k i n j ij S n k y nkV y y Y y n Y y S N          







     sehingga

 = ( sy) 1 2 ( 1)Swsy2

N n k S N N y

V    

dimana



     k i n j ij Y y N S 1 1 2 2 ) ( 1 1 dan



     k i n j i ij

wsy y y

n k S 1 1 2 . 2 ) ( ) 1 ( 1 . 2 wsy

S merupakan ragam antara unit-unit yang terletak di dalam contoh sistematik yang sama. Pembagi dari ragam ini, k(n - 1) dibentuk dengan aturan yang umum dalam analisis ragam yaitu masing-masing darik contoh memberikan (n- 1) derajat bebas pada jumlah kuadrat dalam pembilangnya.

Bentuk lain untuk  pada penarikan contoh acak berlapis ini dapat dijabarkan sebagai berikut:

 = ( ) 1 [1 ( 1) ]

2

w

sy n ρ

n S N N y

V   

       .

Pada persamaan di atas, _wadalah koefisien korelasi antara pasangan dari unit-unit yang berada dalam contoh sistematik yang sama, yaitu

2 ) ( ) )( ( Y y E Y y Y y E ρ ij iu ij w     .

Dimana pembilangnya adalah rata-rata seluruh kn(n – 1)/2 pasangan yang berlainan, dan penyebutnya keseluruhan nilai N dari yij. Karena penyebutnya

adalah (N– 1)S2/N, maka



             k i n u j iu ij

w y Y y Y

S N n ρ

1

2 ( )( )

) 1 )( 1 ( 2 .

Pada penarikan contoh acak bergerombol, penduga langsung bagiyaitu ˆ pada persamaan pendugaan area kecil ( 2.10 ) dapat dijelaskan sebagai berikut. ( 2.17 )

( 2.18 )

Misalnya yij adalah nilai yang diamati untuk elemen ke-j dalam unit atau

kelompok ke-i,danyi =



_ M

j 1yij adalah total pada kelompok ke-i, dimanai= 1, 2,

..., N dan j = 1, 2, ..., M. Apabila sebuah contoh acak sederhana kelompok berukuran n diambil dari N kelompok pada populasi dan pada masing-masing kelompok berisiMelemen. Misalkan yi menyatakan total pada kelompok ke-idan ˆ = y =



n_

i 1yi/ , sertan  adalah ragam y, yaitu  =V(y) =

1 ) (

1

2

 





_

N Y y

nN n N

n

i i

.

Karena y = My dan Y = MY , maka y merupakan penduga tidak bias

bagi Y dengan ragam sebagai berikut:

V(y) =

1 ) (

1

2

2 _







_

N Y y

nNM n N

n

i i

Misalkan bahwa setiap unit dalam populasi dapat dibagi ke dalam sejumlah unit-unit atau sub-unit yang lebih kecil. Sebuah contoh dari n unit dipilih. Jika sub-unit dalam unit yang dipilih memberikan hasil yang sama, hal ini menjadi tidak efisien untuk mengukur sebuah contoh dari sub-unit dalam setiap unit yang dipilih. Pada kondisi demikian dapat diterapkan sub-penarikan contoh atau penarikan contoh dua tahap, karena contohnya diambil dalam dua tahap. Tahap pertama memilih sebuah contoh dari unit-unit utama dan tahap kedua memilih sebuah contoh dari unit-unit tahap pertama atau sub-unit dari setiap unit utama yang terpilih.

Pada penarikan contoh dua tahap, penarikan contoh tahap pertama merupakan sebuah metode pemilihann unit. Kemudian untuk setiap unit terpilih, digunakan metode untuk memilih sejumlah tertentu subunit-subunit. Dalam mencari rata-rata dan penduga ragam, rata-ratanya harus meliputi seluruh contoh yang dapat diturunkan dengan proses dua tahap ini. Salahsatu cara penghitungan rata-ratanya adalah dengan menghitung rata-rata seluruh contoh tahap kedua yang dapat diambil dari sekumpulannunit. Kemudian dirata-ratakan seluruh pemilihan

yang mungkin dari n unit tersebut. Untuk sebuah penduga, ˆ, metode ini dapat dinyatakan sebagai

E(ˆ) =E1[E2(ˆ)].

Dimana E merupakan nilai harapan seluruh contoh, E2 meruapakan nilai harapan seluruh pemilihan yang mungkin pada tahap kedua dari sekumpulan n

unit tetap, danE1 merupakan nilai harapan seluruh pemilihan yang mungkin pada tahap pertama. Sedangkan ragam bagi ˆ dapat dinyatakan sebagai berikut:

V(ˆ) =E(ˆ)2=E1[E2(ˆ)2]

dimana

E2(ˆ)2=E2(ˆ2)2E2(ˆ) +2

= [E2(ˆ)]2+V2(ˆ)2E2(ˆ) +2 karenaE1[E2(ˆ)] =, maka

V(ˆ) =E1[E2(ˆ)]2+E1[V2(ˆ)]2 =V1[E2(ˆ)] +E1[V2(ˆ)] .

Hal serupa dapat dilanjutkan untuk penarikan contoh tiga tahap atau lebih. Misalnya, untuk penarikan contoh tiga tahap, ragam bagi ˆ dapat dinyatakan sebagai berikut:

V(ˆ) =V1{E2[E3(ˆ)]} +E1{V2[E3(ˆ)]} + E1{E2[V3(ˆ)]}.

Misalkanyijmerupakan nilai yang diperoleh untuk subunit ke-j(j= 1, 2, ..., m) pada unit utama ke-i(i= 1, 2, ...,n). Apabila n unit dan m subunit dari masing-masing unit yang telah diambil dipilih dengan penarikan contoh acak sederhana, maka nm y y n i m j ij



 

 1 1

merupakan penduga tidak bias bagi Y dengan ragam

mn S M m M n S N n N y V 2 2 2 1 ) (                 ) 1 ( ) ( dan 1 ) ( 1 2 1 2 2 1 2 2 1      







  M N Y y S N Y Y S N i i M j ij N i i

( 2.20 )

dimana S12 merupakan ragam diantara rata-rata unit utama dan S22 merupakan ragam diantara subunit-subunit dalam unit utama. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

E(y) =E1[E2(y)] =E1 Y Y

N Y n N i i n i

i 

    







1 1

1 1

V(y) =V1[E2(y)] +E1[V2(y)] karenaE2(y) =Y_i/n, maka

n S N n N y E V 2 1 2

1[ ( )] 

       .

Selanjutnya, dengan y = y_i/n dan penarikan contoh acak sederhana digunakan pada tahap kedua,

m S Mn m M y V n i i



         1 2 2 2

2( )

dimana 1 ) ( 2 1 2 2   



 M Y y S i M j ij i

merupakan ragam diantara subunit utama ke-i. Apabila dirata-ratakan seluruh contoh tahap pertama,

2 2 1 2 2 S N S N i i 



 _.

Oleh karena itu,

mn S M m M y V E 2 2 2

1[ ( )] 

      

sehingga ragam bagi y adalah

mn S M m M n S N n N y V 2 2 2 1 ) (                 .

( 2.22 )

( 2.23 )

2.3. Metode SAE dan ModelState Space

Terkait dengan SAE, terkadang beberapa survei diulang pelaksanaannya secara berkala. Untuk survei yang demikian ini pendugaan tidak langsung, seperti pendugaan tingkat pengeluaran di suatu area kecil, dapat ditingkatkan efisiensi pendugaanya dengan memasukkan pengaruh acak area dan waktu. Model state

space merupakan salah satu alternatif metode pemodelan dalam SAE dengan

memperhatikan pengaruh acak waktu (Rao dan Yu, 1994; Pfeffermann, 2002). Model state space atau disebut juga model linear dinamik (dynamic linear

model) merupakan model pendekatan umum pada model deret waktu baik untuk

peubah tunggal maupun peubah ganda (Wei, 1994). State dari suatu sistem didefinisikan sebagai gugus minimum dari informasi saat ini dan waktu sebelumnya yang mana prilaku sistem pada waktu yang akan datang dapat dideskripsikan secara lengkap melalui informasi tersebut.

Representasi state space didasarkan pada proses stokastik Markov, yaitu apabilastate saat ini diketahui maka prilaku sistem pada waktu yang akan datang bersifat bebas dengan prilaku sistem pada waktu sebelumnya. Karena itu, representasi state spacedari suatu sistem sering juga disebut sebagai representasi Markov (Zivot, 2006). Misalkan Y1t dan Y2t merupakan keluaran (output) dari suatu sistem yang masing-masing mempunyai masukan (input) X1t dan X2t. Suatu sistem dikatakan linear jika dan hanya jika kombinasi linear masukan, aX1t +

bX2t, akan menghasilkan kombinasi linear yang sama pada keluaran,aY1t + bY2t, untuk setiap konstantaadanb.

Suatu sistem dikatakan time-invariant apabila karakteristik sistem tidak berubah dari waktu ke waktu, yaitu apabila masukan Xtmenghasilkan keluaran Yt maka masukan Xt-s akan menghasilkan keluaran Yt-s. Karena itu, suatu sistem dikatakan linear time invariantjika mempunyai karakteristik kedua-duanya yaitu linear dan time-invariant. Model state space umumnya didasarkan pada model lineartime-invariantini.

2.4. Statistik Area Kecil untuk Data BPS

Pada dasarnya, survei yang dilakukan oleh BPS adalah untuk melakukan pendugaan karakteristik berbagai area termasuk diantaranya adalah area kecil.

Salah satu survei tersebut adalah Survei Sosial-Ekonomi Nasional (Susenas). Survei ini dirancang untuk mengumpulkan data sosial kependudukan yang relatif sangat luas. Data yang dikumpulkan antara lain meyangkut bidang-bidang pendidikan, kesehatan/gizi, perumahan, sosial ekonomi lainnya, kegiatan sosial budaya, konsumsi/pengeluaran dan pendapatan rumah tangga, perjalanan, dan pendapat masyarakat mengenai kesejahteraan rumah tangganya.

Ukuran contoh Susenas untuk level desa sangat kecil, sehingga muncul persoalan galat baku yang sangat besar untuk statistik pada level desa. Metode pendugaan yang digunakan oleh BPS untuk data Susenas adalah metode pendugaan langsung (direct estimation) yaitu metode pendugaan yang didasarkan pada data yang diperoleh dari suatu proses penarikan contoh di suatu area tertentu. Metode pendugaannya semata-mata didasarkan pada metode penarikan contoh yang digunakan.

Susenas dilaksanakan di seluruh propinsi di wilayah Indonesia baik di daerah perkotaan maupun pedesaan. Cakupan contoh rumah tangga terpilih Susenas 2001 – 2005 adalah rumah tangga biasa yang terletak di blok sensus biasa. Rumah tangga dalam blok sensus khusus seperti komplek militer dan sejenisnya dan rumah tangga khusus seperti asrama, penjara dan sejenisnya yang berada di blok sensus tidak dipilih dalam contoh (BPS, 2005).

2.4.1. Jenis Data yang Dikumpulkan

Data yang dikumpulkan dalam Susenas terbagi atas 2 kelompok data, yaitu data Kor dan data Modul.

 Data Kor merupakan data yang mencakup keterangan pokok rumah tangga dan anggota rumah tangga, yang dikumpulkan setiap tahun. Data Kor Susenas disajikan sampai tingkat kabupaten/kota. Keterangan rumah tangga yang tergabung dalam kuesioner Kor Susenas 2001 – 2005 tidak berbeda dengan tahun-tahun sebelumnya, antara lain :

a. Keterangan umum anggota rumah tangga yaitu nama, hubungan dengan kepala rumah tangga, jenis kelamin, umur, status perkawinan, tindak kejahatan yang dialami, dan perjalanan;

PTLTE BB-1 BB-2

No Area Kecil - Desa _{KTG AKTG KTG AKTG KTG AKTG}

33 Pasirkuda 1163.4 34.1 461.8 21.5 256.7 16.0

34 Pasirjaya 395.3 19.9 146.6 12.1 59.8 7.7

35 Gunungbatu 524.9 22.9 255.0 16.0 279.0 16.7

36 Loji 1197.8 34.6 714.7 26.7 525.2 22.9

37 Menteng 830.8 28.8 714.3 26.7 451.7 21.3

38 Cilendek Barat 526.2 22.9 431.9 20.8 209.8 14.5 39 Sindangbarang 1728.5 41.6 812.2 28.5 979.5 31.3

40 Margajaya 1101.9 33.2 410.6 20.3 480.7 21.9

41 Situgede 676.0 26.0 495.0 22.2 340.1 18.4

42 Bubulak 806.1 28.4 369.1 19.2 212.8 14.6

43 Curugmekar 1224.6 35.0 879.0 29.6 964.7 31.1

44 Curug 1171.5 34.2 454.3 21.3 460.5 21.5

45 Kedungwaringin 512.7 22.6 383.3 19.6 265.6 16.3

46 Kedungjaya 1078.4 32.8 442.7 21.0 281.7 16.8

47 Kebonpedes 363.1 19.1 147.5 12.1 80.4 9.0

48 Tanahsareal 852.6 29.2 507.1 22.5 305.0 17.5

49 Kedungbadak 1368.9 37.0 1171.0 34.2 994.7 31.5

50 Sukaresmi 840.7 29.0 694.1 26.3 720.2 26.8

51 Cibadak 1348.5 36.7 1229.7 35.1 954.8 30.9

52 Kayumanis 746.6 27.3 422.6 20.6 489.3 22.1

53 Mekarwangi 870.8 29.5 836.8 28.9 860.6 29.3

54 Kencana 590.9 24.3 274.9 16.6 131.3 11.5

Lampiran 9. Metode Pendugaan Langsung yang digunakan oleh BPS untuk Data Susenas (BPS, 2005).

Metode pendugaan yang digunakan dalam Susenas menggunakan metode secara langsung (direct estimate) dan penduga rasio dengan rasio jumlah rumah tangga untuk mengestimasi karakteristik rumah tangga dan rasio penduduk untuk mengestimasi karakteristik penduduk. Dugaan untuk karakteristik y dalam suatu kabupaten/kota di daerah perkotaan dan daerah pedesaan adalah dengan menggunakan rumus metode sampling dua tahap (apabila 3 tahap dilakukan pemilihan sub blok, formula disesuaikan).

Pendugaan Data Rumah Tanga

a. Daerah Perkotaan

Dugaan nilai rata-rata karakteristikyadalah



 

 bu

i j ij

u

ku y

b y

1 16

1 16

1 Dugaan nilai total karakteristikyadalah

ku ku

ku

P

y

Y

ˆ



ˆ



di mana,

ku

y = dugaan nilai rata-rata karakteristik ydi kabupaten/kotakdaerahu.

ku

Yˆ = dugaan nilai total karakteristikydi kabupaten/kotakdaerahu.

ij

y = nilai karakteristik pada rumah tangga terpilih ke-j di blok sensus terpilih ke-i.

u

b = banyaknya blok sensus terpilih di kabupaten/kotakdaerahu.

ku

Pˆ = perkiraan jumlah rumah tangga di kabupaten/kotakdaerahu.

b. Daerah Pedesaan

Dugaan nilai rata-rata karakteristikyadalah



 

 br

i j

ij r

kr y

b y

1 16

1 16

1

Dugaan nilai total karakteristikyadalah

y

P

Y

ˆ



ˆ



di mana,

kr y

= dugaan nilai rata-rata karakteristik y di kabupaten/kota k daerah r.

kr Yˆ

= dugaan nilai total karakteristik y di kabupaten/kota k daerah r.

ij y

= nilai karakteristik pada rumah tangga terpilih ke-j di blok sensus terpilih ke-i.

r

b _{= banyaknya blok sensus terpilih di kabupaten/kota k daerah r.} kr

Pˆ

= perkiraan jumlah rumah tangga di kabupaten/kotakdaerahr. Perkiraan nilai rata-rata karakteristik y di kabupaten/kota k daerah u dan r

adalah

kr ku

kr ku r

u k

P P

Y Y y _{( ) ˆ}ˆ _ˆˆ

  



Perkiraan nilai total karakteristik y di kabupaten/kota k daerah perkotaan (Yˆ_ku) dan pedesaan (Yˆ_kr) adalah

kr ku r u

k Y Y

Yˆ_{(  )}  ˆ  ˆ

Perkiraan nilai total karakteristik y di tingkat propinsi daerah perkotaan (Yˆ_pu) atau pedesaan (Yˆ_pr) dihitung dengan rumus:







T

k ku pu

Y

Y

1

ˆ

ˆ

_dan

_



 T k

kr pr Y Y

1 ˆ ˆ

di mana,T= banyaknya kabupaten/kota di propinsip.

Perkiraan nilai total karakteristik y di tingkat propinsi daerah perkotaan (Yˆpu) dan pedesaan (Yˆpr) adalah

pr pu r

u

p

Y

Y

Y

ˆ

_{(  )}



ˆ



ˆ

Perkiraan nilai rata-rata karakteristiky di tingkat propinsi daerah perkotaan (u) dan perdesaan (r) adalah

pr pu

pr pu r

u p

P P

Y Y y

ˆ ˆ

ˆ ˆ ) (

  



Perkiraan nilai total karakteristik y di tingkat nasional dihitung dengan rumus





  

L

p

pr pu r

u

n Y Y

Y

1 )

( (ˆ ˆ )

ˆ

di mana,L= banyaknya propinsi di Indonesia.

Perkiraan nilai rata-rata karakteristik y di tingkat nasional dihitung dengan cara

) (

) ( )

(

ˆ

ˆ

r u n

r u n r u n

P

Y

y

  



di mana, Pˆ_n(ur)adalah perkiraan jumlah rumah tangga di Indonesia daerah perkotaan dan pedesaan.

Pendugaan Data Individu

a. Daerah Perkotaan

Dugaan nilai rata-rata karakteristikyadalah







  

 bu

i

a

h ijk

j ij

u

ku y

a b

y

1 1

16

1 1 16

1

Dugaan nilai total karakteristikyadalah ku ku ku

Q

ˆ

y

Y

ˆ





di mana,

ku y

= dugaan nilai rata-rata karakteristik y di kabupaten/kota k daerah u.

ku Yˆ

= dugaan nilai total karakteristik y di kabupaten/kota k daerah u.

ij y

= nilai karakteristik pada rumah tangga terpilih ke-j di blok sensus terpilih ke-i.

u b

= banyaknya blok sensus terpilih di kabupaten/kota k daerah u.

ij a

= banyaknya individu (ART) di rumah tangga terpilih ke-j di blok sensus terpilih ke-i.

ku

Qˆ _{= perkiraan jumlah rumah tangga di kabupaten/kota k daerah u.}

b. Daerah Pedesaan







  

 br

i

a

j ijh j ij

r

kr y

a b

y

1 1

16

1 1 16

1

Dugaan nilai total karakteristikyadalah

kr kr kr

P

y

Y

ˆ



ˆ



di mana,

kr y

= dugaan nilai rata-rata karakteristik y di kabupaten/kota k daerah r.

kr Yˆ

= dugaan nilai total karakteristik y di kabupaten/kota k daerah r.

ijh y

= nilai karakteristik pada rumah tangga terpilih ke-j di blok sensus terpilih ke-i.

r

b _{= banyaknya blok sensus terpilih di kabupaten/kota k daerah r.} ij

a

= banyaknya individu (ART) di rumah tangga terpilih ke-j di blok sensus terpilih ke-i.

kr

Qˆ _{= perkiraan jumlah rumah tangga di kabupaten/kota k daerah r.}

Perkiraan nilai rata-rata karakteristik y di kabupaten/kota k daerah u dan r

adalah

kr ku

kr ku r

u k

P

P

Y

Y

y

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

) (









Perkiraan nilai total karakteristik y di kabupaten/kota k daerah perkotaan (Yˆ_ku) dan pedesaan (Yˆ_kr) adalah

kr ku r u

k Y Y

Yˆ_{(  )}  ˆ  ˆ

Perkiraan nilai total karakteristik y di tingkat propinsi daerah perkotaan (Yˆ_pu) atau pedesaan (Yˆ_pr) dihitung dengan rumus:







T

k ku pu

Y

Y

1

ˆ

ˆ

_dan

_





T k

kr pr

Y

Y

1

ˆ

ˆ

di mana,T= banyaknya kabupaten/kota di propinsip.

Perkiraan nilai total karakteristik y di tingkat propinsi daerah perkotaan (Yˆ_pu) dan pedesaan (Yˆ_pr) adalah

pr pu r

u

p Y Y

Perkiraan nilai rata-rata karakteristiky di tingkat propinsi daerah perkotaan (u) dan perdesaan (r) adalah

pr pu

pr pu ) r u ( p

Qˆ Qˆ

Yˆ Yˆ y

   

Perkiraan nilai total karakteristik y di tingkat nasional dihitung dengan rumus





  

L

p

pr pu r

u

n Y Y

Y

1 )

( (ˆ ˆ )

ˆ

di mana,L= banyaknya propinsi di Indonesia.

Perkiraan nilai rata-rata karakteristik y di tingkat nasional dihitung dengan cara

) r u ( n

) r u ( n ) r u ( n

Qˆ Yˆ y

   

di mana, Qˆn(ur) _{adalah perkiraan jumlah rumah tangga di Indonesia daerah}