SIMULASI MODEL SISTEM DINAMIK POLUSI AIR DI SUNGAI MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
ABSTRAK
SIMULASI MODEL SISTEM DINAMIK POLUSI AIR DI SUNGAI
MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
Oleh
Renzika Paranesa
Kajian model sistem dinamik polusi air di sungai sudah banyak dikaji oleh
Beltrami (1997). Dalam penelitian ini, dibahas kajian penyelesaian solusi analitik
untuk kasus syarat batas konsentrasi polutan di hulu diberikan konstan.
Selanjutnya, disimulasikan perilaku solusi model tersebut dengan menggunakan
metode beda hingga untuk beberapa nilai laju alir polutan yang berbeda.
Diperoleh hasil bahwa semakin rendah laju alir polutan mengalir maka polutan
lebih cepat habis. Sebaliknya, jika semakin tinggi laju alir polutan mengalir maka
polutan lebih lama habis.
Kata Kunci : Sistem Dinamik, Model Matematika, Solusi Analitik, Simulasi
Numerik, Metode Beda Hingga, Polusi air di Sungai
V. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Hasil penelitian simulasi model sistem dinamik polusi air di sungai menggunakan metode
beda hingga ini dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Pada model matematika polusi air di sungai didapat persamaan dasar sebagai berikut :
2. Dengan menjabarkan persamaan dasar maka didapat solusi analitik dari polusi air di
sungai sebagai berikut :
Memperlihatkan faktor eksponensial ini menunjukkan bahwa kepadatan polutan
berkurang disebabkan oleh aksi bakteri pengurai yang menguraikan polutan selama
mengalir di sungai.
3. Perilaku polutan yang mengalir di sungai dapat dilihat dengan simulasi numerik.
Simulasi numerik didapat dengan mendiskritisasikan model matematikanya dengan
menggunakan metode beda hingga. Simulasi numerik ini memakai nilai
beragam.
Dengan
yang
yang berbeda-beda, dapat dilihat lama atau cepat kepadatan
polutan terurai. Dengan demikian, terlihat bahwa kepadatan polutan pada laju alir
yang lebih rendah, kepadatan polutan lebih cepat menuju nol (habis).
Hal ini
dimungkinkan karena semakin lambat laju alir polutan, maka waktu bakteri pada
polutan semakin lama.
Sehingga polutan lebih banyak yang terurai.
Dengan
demikian, sebelum mencapai ujung sungai polutan sudah habis. Ketika polutan sudah
habis maka sungai menjadi bersih.
5.2 Saran
Penelitian polusi air di sungai ini dapat dilanjutkan dengan memisalkan model yang lain pada
kajian model matematika polusi air di sungai yang terdapat pada buku Beltrami (1997).
Model ini memisalkan polutan memerlukan oksigen dalam penguraiannya. Ketika polutan
berkurang, oksigen habis. Misalkan
di dalam sungai.
adalah kepadatan untuk menghancurkan oksigen
adalah nilai maksimum, yang bergantung dengan suhu
tersebut digunakan untuk mengetahui perbaikan kuantitas.
. Asumsi
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrik-pabrik dan
kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk ke dalam sungai dan
langsung tercampur dengan air sungai.
Sungai merupakan salah satu sumber daya air alami yang harus dijaga dari pengaruh air
limbah atau polutan, yang berarti kualitas air sungai harus diamankan dari pencemaran yang
berasal dari limbah industri, limbah pertanian dan kotoran manusia atau kotoran binatang.
Dan dengan meningkatnya beban air limbah yang dibuang ke sungai yang semakin lama
semakin meningkat, maka upaya pengawasan dan monitoring kualitas air sungai juga perlu
semakin ditingkatkan. Namun pada kenyataannya, pengawasan dan monitoring kualitas air
masih ditemui nilai konsentrasi polutan hasil monitoring masih di atas ambang batas
maksimal yang diperbolehkan.
Mengingat pentingnya kualitas air yang baik untuk setiap waktu, diperlukan suatu model
matematika untuk memprediksi kualitas air pada waktu yang akan datang.
Model
matematika tersebut bergantung dengan keadaan sungai dan polutan yang masuk di sungai.
Salah satunya adalah model matematika polusi air di sungai telah banyak dibahas oleh
Beltrami (1997).
Oleh karena itu, penulis tertarik untuk mengkaji model matematika dan solusi analitik dari
model sistem dinamik polusi air di sungai dengan syarat batas yang ditentukan. Selanjutnya
akan dilihat perilaku polutan yang mengalir di sungai saat waktu
dengan simulasi
komputasi menggunakan metode beda hingga.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini dibatasi pada pembahasan masalah nilai batas model polusi air di sungai
dengan syarat batas konsentrasi polutan yang masuk di hulu adalah konstan,
dengan
dalam hal ini diberikan
.
{
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. mengkaji model matematika dari model sistem dinamik polusi di sungai.
2. menjabarkan solusi analitik dari pemodelan sistem dinamik polusi di sungai
dengan syarat batas tertentu.
3. mensimulasikan perilaku model terhadap menggunakan metode beda hingga.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah :
1. untuk menambah wawasan mengenai penerapan matematika dalam ilmu biologi.
2. untuk memprediksi perilaku masalah polusi di sungai terhadap waktu dengan simulasi
numerik menggunakan metode beda hingga.
SIMULASI MODEL SISTEM DINAMIK POLUSI AIR DI SUNGAI
MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
Oleh
Renzika Paranesa
Kajian model sistem dinamik polusi air di sungai sudah banyak dikaji oleh
Beltrami (1997). Dalam penelitian ini, dibahas kajian penyelesaian solusi analitik
untuk kasus syarat batas konsentrasi polutan di hulu diberikan konstan.
Selanjutnya, disimulasikan perilaku solusi model tersebut dengan menggunakan
metode beda hingga untuk beberapa nilai laju alir polutan yang berbeda.
Diperoleh hasil bahwa semakin rendah laju alir polutan mengalir maka polutan
lebih cepat habis. Sebaliknya, jika semakin tinggi laju alir polutan mengalir maka
polutan lebih lama habis.
Kata Kunci : Sistem Dinamik, Model Matematika, Solusi Analitik, Simulasi
Numerik, Metode Beda Hingga, Polusi air di Sungai
V. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Hasil penelitian simulasi model sistem dinamik polusi air di sungai menggunakan metode
beda hingga ini dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Pada model matematika polusi air di sungai didapat persamaan dasar sebagai berikut :
2. Dengan menjabarkan persamaan dasar maka didapat solusi analitik dari polusi air di
sungai sebagai berikut :
Memperlihatkan faktor eksponensial ini menunjukkan bahwa kepadatan polutan
berkurang disebabkan oleh aksi bakteri pengurai yang menguraikan polutan selama
mengalir di sungai.
3. Perilaku polutan yang mengalir di sungai dapat dilihat dengan simulasi numerik.
Simulasi numerik didapat dengan mendiskritisasikan model matematikanya dengan
menggunakan metode beda hingga. Simulasi numerik ini memakai nilai
beragam.
Dengan
yang
yang berbeda-beda, dapat dilihat lama atau cepat kepadatan
polutan terurai. Dengan demikian, terlihat bahwa kepadatan polutan pada laju alir
yang lebih rendah, kepadatan polutan lebih cepat menuju nol (habis).
Hal ini
dimungkinkan karena semakin lambat laju alir polutan, maka waktu bakteri pada
polutan semakin lama.
Sehingga polutan lebih banyak yang terurai.
Dengan
demikian, sebelum mencapai ujung sungai polutan sudah habis. Ketika polutan sudah
habis maka sungai menjadi bersih.
5.2 Saran
Penelitian polusi air di sungai ini dapat dilanjutkan dengan memisalkan model yang lain pada
kajian model matematika polusi air di sungai yang terdapat pada buku Beltrami (1997).
Model ini memisalkan polutan memerlukan oksigen dalam penguraiannya. Ketika polutan
berkurang, oksigen habis. Misalkan
di dalam sungai.
adalah kepadatan untuk menghancurkan oksigen
adalah nilai maksimum, yang bergantung dengan suhu
tersebut digunakan untuk mengetahui perbaikan kuantitas.
. Asumsi
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrik-pabrik dan
kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk ke dalam sungai dan
langsung tercampur dengan air sungai.
Sungai merupakan salah satu sumber daya air alami yang harus dijaga dari pengaruh air
limbah atau polutan, yang berarti kualitas air sungai harus diamankan dari pencemaran yang
berasal dari limbah industri, limbah pertanian dan kotoran manusia atau kotoran binatang.
Dan dengan meningkatnya beban air limbah yang dibuang ke sungai yang semakin lama
semakin meningkat, maka upaya pengawasan dan monitoring kualitas air sungai juga perlu
semakin ditingkatkan. Namun pada kenyataannya, pengawasan dan monitoring kualitas air
masih ditemui nilai konsentrasi polutan hasil monitoring masih di atas ambang batas
maksimal yang diperbolehkan.
Mengingat pentingnya kualitas air yang baik untuk setiap waktu, diperlukan suatu model
matematika untuk memprediksi kualitas air pada waktu yang akan datang.
Model
matematika tersebut bergantung dengan keadaan sungai dan polutan yang masuk di sungai.
Salah satunya adalah model matematika polusi air di sungai telah banyak dibahas oleh
Beltrami (1997).
Oleh karena itu, penulis tertarik untuk mengkaji model matematika dan solusi analitik dari
model sistem dinamik polusi air di sungai dengan syarat batas yang ditentukan. Selanjutnya
akan dilihat perilaku polutan yang mengalir di sungai saat waktu
dengan simulasi
komputasi menggunakan metode beda hingga.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini dibatasi pada pembahasan masalah nilai batas model polusi air di sungai
dengan syarat batas konsentrasi polutan yang masuk di hulu adalah konstan,
dengan
dalam hal ini diberikan
.
{
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. mengkaji model matematika dari model sistem dinamik polusi di sungai.
2. menjabarkan solusi analitik dari pemodelan sistem dinamik polusi di sungai
dengan syarat batas tertentu.
3. mensimulasikan perilaku model terhadap menggunakan metode beda hingga.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah :
1. untuk menambah wawasan mengenai penerapan matematika dalam ilmu biologi.
2. untuk memprediksi perilaku masalah polusi di sungai terhadap waktu dengan simulasi
numerik menggunakan metode beda hingga.