RING ARMENDARIZ

ABSTRAK RING ARMENDARIZ

Oleh TRI HANDONO

Misalkan R ring komutatif dan R[x] ring polinomial. Suatu ring R dikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial f(x) = ∑₌₀ � ,g(x) = ∑ ₌₀ � ∈ R[x] dimana , ∈ R sedemikian sehingga jika f(x)g(x) = 0 maka = 0 untuk setiap i dan j. Akan dikaji beberapa ring yang memenuhi sifat Armendariz. Jika R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz. Selanjutnya, jika diketahui R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz, maka struktur ring R  R/A adalah Armendariz dengan operasi pergandaan (a,̅)(b, ̅) = (ab,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅). Ring + R  R/A juga merupakan ring Armendariz jika R dan R/A merupakan ring reduced.

RING ARMENDARIZ

Oleh

Tri Handono

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir pada tanggal 25 April 1990 di Desa Sindang Sari, Kecamatan Tanjung Bintang, Lampung Selatan. Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, dari Bapak Slamet dan Ibu Paini.

Pendidikan dasar diselesaikan di SD Swasta Sejahtera III Desa Sindang Sari Tanjung Bintang pada tahun 2002. Pendidikan menengah pertama diselesaikan di SMP Swasta Sejahtera III Desa Sindang Sari Tanjung Bintang pada tahun 2005. Pendidikan menengah kejuruan teknik pemesinan diselesaikan di SMK N 2 Bandar Lampung pada tahun 2008.

Penulis menjadi mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung pada tahun 2008 melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota biro dana dan usaha pada periode 2009-2010 dan sebagai staf ahli bendahara umum pada periode 2010-2011. Penulis juga aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa Fakultas Natural sebagai kepala kaderisasi pada periode 2011-2012. Sebagai salah satu mata kuliah wajib, pada tahun 2011 penulis melaksanakan kerja praktek di PT. PLN wilayah Lampung.

motto

perjuangan itu

akan sejajar dengan hasil

Aku melihat air menjadi rusak karena diam bertahan.

Jika mengalir menjadi jernih, jika tidak kan keruh

menggenang

(Imam syafii)

Ku persembahkan karya kecilku ini kepada

Ibu Bapak dan Mas Ali serta keluarga

Judul : Ring Armendariz

Nama Mahasiswa : Tri Handono

Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031059

Jurusan : Matematika S1

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing

Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. Fitriani, S.Si., M.Sc.

NIP. 1980020620031 1 003 NIP. 19840627 200604 2 001

2. Mengetahui Ketua Jurusan Matematika

Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. NIP. 19620704 198803 1 002

RING ARMENDARIZ

(Skripsi)

Oleh TRI HANDONO

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

ABSTRAK RING ARMENDARIZ

Oleh TRI HANDONO

Misalkan R ring komutatif dan R[x] ring polinomial. Suatu ring R dikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial f(x) = ∑₌₀ � ,g(x) = ∑ ₌₀ � ∈ R[x] dimana , ∈ R sedemikian sehingga jika f(x)g(x) = 0 maka = 0 untuk setiap i dan j. Akan dikaji beberapa ring yang memenuhi sifat Armendariz. Jika R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz. Selanjutnya, jika diketahui R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz, maka struktur ring R  R/A adalah Armendariz dengan operasi pergandaan (a,̅)(b, ̅) = (ab,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅). Ring + R  R/A juga merupakan ring Armendariz jika R dan R/A merupakan ring reduced.

RING ARMENDARIZ

Oleh

Tri Handono

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

Judul : Ring Armendariz

Nama Mahasiswa : Tri Handono

Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031059

Jurusan : Matematika S1

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing

Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. Fitriani, S.Si., M.Sc.

NIP. 1980020620031 1 003 NIP. 19840627 200604 2 001

2. Mengetahui Ketua Jurusan Matematika

Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. NIP. 19620704 198803 1 002

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. ...

Sekretaris : Fitriani, S.Si., M.Sc. ...

Penguji

Bukan Pembimbing : Amanto, S.Si., M.Si. ...

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP. 19690530 199512 1 001

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir pada tanggal 25 April 1990 di Desa Sindang Sari, Kecamatan Tanjung Bintang, Lampung Selatan. Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, dari Bapak Slamet dan Ibu Paini.

Pendidikan dasar diselesaikan di SD Swasta Sejahtera III Desa Sindang Sari Tanjung Bintang pada tahun 2002. Pendidikan menengah pertama diselesaikan di SMP Swasta Sejahtera III Desa Sindang Sari Tanjung Bintang pada tahun 2005. Pendidikan menengah kejuruan teknik pemesinan diselesaikan di SMK N 2 Bandar Lampung pada tahun 2008.

Penulis menjadi mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung pada tahun 2008 melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota biro dana dan usaha pada periode 2009-2010 dan sebagai staf ahli bendahara umum pada periode 2010-2011. Penulis juga aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa Fakultas Natural sebagai kepala kaderisasi pada periode 2011-2012. Sebagai salah satu mata kuliah wajib, pada tahun 2011 penulis melaksanakan kerja praktek di PT. PLN wilayah Lampung.

motto

perjuangan itu

akan sejajar dengan hasil

Aku melihat air menjadi rusak karena diam

bertahan. Jika mengalir menjadi jernih, jika tidak

kan keruh menggenang

(Imam syafii)

Ku persembahkan karya kecilku ini

kepada Ibu Bapak dan Mas Ali serta

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpakan rahmat dan hidayah Nya sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Nabi Allah, Nabi Muhammad SAW.

Skripsi dengan judul “Ring Armendariz” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.

Dapat diselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1.

Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing utama atas kesediaan waktunya memberikan bimbingan, ilmu, motivasi dan arahannya.

2.

Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing kedua atas kesediaan waktunya memberikan bimbingan, ilmu, saran dan kritiknya.

3.

Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembahas atas ilmu, masukan, saran dan kritiknya. 4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D., selaku ketua jurusan matematika FMIPA

Universitas Lampung.

5. Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembimbing akademik.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen dan karyawan jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.

8. Ibu, Bapak, mas Ali dan dek Riska serta keluarga tercinta atas perjuangan, do’a dan dukungannya.

9. Sahabat-sahabat eksotic atas kebersamaan selama ini.

10. Teman-teman pengurus Himatika dan pengurus UKMF Natural atas dukungannya. 11. Teman angkatan Made dan Yudhi atas bantuan selama ini.

12. Adik tingkat jurusan matematika angkatan 2009, 2010, 2011 dan 2012. 13. Seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Hanya Allah SWT yang akan membalas semuanya. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, sangat diharapkan kritik dan saran yang membangun dari berbagai pihak. Akhir kata, penulis mohon maaf atas kekurangan dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Amin.

Bandar Lampung, Oktober 2012 Penulis

Tri Handono

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu matematika murni adalah aljabar. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis, aljabar dibagi menjadi dua periode waktu. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad 19 disebut aljabar klasik, sedangkan aljabar sesudah abad 19 disebut aljabar modern atau aljabar abstrak. Aljabar klasik mempunyai karakteristik bahwa setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Misalkan bilangan bulat, bilangan real, atau bilangan kompleks. Selanjutnya, pada awal abad 19 simbol-simbol tersebut dapat berupa apa saja sehingga disebut aljabar modern atau aljabar abstrak. Jadi, perbedaan antara aljabar klasik dan aljabar abstrak terletak pada pengertian simbol, yaitu pada aljabar klasik simbol-simbol mempunyai pengertian suatu bilangan, sedangkan pada aljabar abstrak simbol-simbol mempunyai pengertian bisa apa saja.

Struktur aljabar adalah himpunan atau beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau beberapa operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Salah satu contoh struktur aljabar adalah ring. Ring adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan dua operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu.

2

Ring polinomial dibentuk dari perluasan suatu ring. Ring polinomial merupakan suatu himpunan yang berisi polinomial-polinomial yang dilengkapi dua operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Suatu ring R komutatif dikatakan Armendariz jika pergandaan dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring R menghasilkan nol, maka mengakibatkan koefisiennya nol. Ring yang mempunyai sifat Armendariz dikatakan ring Armendariz. Ide awal mengenai ring Armendariz diperkenalkan oleh Rege dan Chawcharia pada tahun 1997 dan pemilihan nama ring Armendariz tersebut berdasarkan atas nama orang yang menemukan yaitu Efraim P. Armendariz pada tahun 1973. Pada penelitian ini, akan dikaji ring dan beberapa struktur ring yang yang mempunyai sifat Armendariz.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari skripsi ini adalah mengkaji sifat-sifat ring Armendariz, diantaranya :

a). Karakterisasi ring faktor R/A merupakan ring Armendariz. b). Syarat perlu ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz.

c). Karakterisasi ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz terkait dengan sifat ring reduced.

1.3 Manfaat Penelitian

Melalui penelitian ini diharapkan menambah pengetahuan tentang aljabar abstrak, khususnya ring Armendariz.

3

II. LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh.

Berikut ini akan diberikan notasi dan definisi operasi biner yang akan digunakan pada teori ring.

Definisi 2.1 Operasi Biner

Diberikan himpunan S ≠∅. Suatu operasi biner ∗ pada himpunan S adalah suatu aturan yang mengawankan setiap pasangan berurutan (a,b) ∈ S x S dengan tepat satu elemen S.

∗ : S x S → S

(a,b) ↦ (a ∗ b) ∈ S (Gilbert dan Nicholson, 2004). Contoh :

Penjumlahan biasa “+” dan perkalian biasa “•” pada himpunan bilangan real ℝ adalah operasi biner.

Selanjutnya akan diberikan konsep ring dan sifat-sifat ring serta contoh-contohnya.

4

Definisi 2.2 Ring

Diberikan R himpunan sebarang tak kosong, + dan • adalah sebarang dua operasi pada R. Himpunan < R,+, •> dikatakan ring jika memenuhi sifat :

1. Terhadap operasi penjumlahan +,

a) Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlaku a + b ∈ R.

b) Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c). c) Mempunyai elemen identitas, yaitu terdapat 0 ∈ R, sedemikian sehingga

untuk setiap a ∈ R berlaku 0 + a = a + 0 = a.

d) Elemen invers, yaitu untuk setiap a ∈ R, terdapat -a ∈ R sedemikian sehingga berlaku a + -a = -a + a = 0.

e) Komutatif, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlaku a + b = b + a. Berdasarkan aksioma tersebut, maka < R,+ > merupakan grup abelian. 2. Terhadap operasi pergandaan •,

a) Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlaku a • b ∈ R.

b) Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a • b) • c = a • (b • c). 3. Pada operasi penjumlahan + dan pergandaan •,

a) Distribusi kanan, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku a • (b + c) = (a • b) + (a • c). b) Distribusi kiri, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku

(a + b) • c = (a • c) + (b • c) (Herstein, 1996). Contoh :

Diberikan himpunan S = {� ∈ |� ≠ − }. Selanjutnya didefinisikan dua operasi pada S, ∗ dan • yaitu a ∗ b = a + b + ab dan a • b = 0, untuk setiap a,b ∈ S.

5

Akan ditunjukkan < S, ∗, • > ring. 1. Terhadap operasi ∗,

(i) Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ S berlaku a ∗ b ∈ S. Bukti :

Diketahui a ∗ b = a + b + ab. Andaikan a ∗ b = -1. ⇔ a + b + ab = -1

⇔ a + ab = -1- b

⇔ a (1 + b) = - (1+ b), b ≠ 0 ⇔ a = -1, kontradiksi.

Jadi pengandaian salah, yang benar a + b + ab ≠ -1, dengan kata lain a ∗ b ∈ S.

(ii) Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ S berlaku (a ∗ b) ∗ c= a ∗ (b ∗ c). Bukti :

(a ∗ b) ∗ c = (a + b + ab) ∗ c

= (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c

= a + b + ab + c + ac + bc + abc

= a + b + c + bc + ab + ac + abc = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc)

= a ∗ (b∗ c).

(iii)Mempunyai elemen identitas, yaitu terdapat y ∈ S sedemikian sehingga untuk setiap a ∈ S berlaku y ∗ a = a ∗ y = a.

Bukti :

Misalkan y elemen identitas untuk ∗ dari S, maka : ⇔ y ∗ a = a

6

⇔ y + a + ya = a ⇔ a + y(1 + a) = a ⇔ y(1 + a) = 0

y = 0 atau (1 + a) = 0.

(1 + a) = 0 tidak mungkin, karena a ≠ -1.

Oleh karena itu y = 0 merupakan elemen identitas untuk ∗ dari S.

(iv) Setiap elemen dari A mempunyai invers, yaitu untuk setiap a ∈ S, terdapat x ∈ S sedemikian sehingga berlaku a ∗ x = x ∗ a = 0.

Bukti : ⇔ x ∗ a = 0 ⇔ x + a + xa = 0 ⇔ x + xa = -a ⇔ x(1 + a) = -a ⇔ x = −�

+� .

Andaikan x = -1, maka ⇔ −

+

=

-1

⇔ -a = -(1+ a) ⇔ -a = -1- a

⇔ 0 = -1, kontradiksi.

Jadi yang benar x ≠ -1. Dengan kata lain x ∈ S dan x = −�

+ �

merupakan invers untuk setiap a ∈ S.

(v) Komutatif, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlaku a ∗ b = b ∗ a. Bukti :

7

a ∗ b = a + b + ab = b + a + ba

= b ∗ a. 2. Terhadap operasi •,

(i) Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ S berlaku a • b ∈ S.

Bukti :

Diketahui a • b = 0. Karena 0 ≠-1 maka 0 ∈ S, dengan kata lain a • b ∈ S. (ii) Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a • b) • c = a• (b • c).

Bukti :

(a • b) • c = (a • b) • c = 0 • c = 0 = a • 0 = a • (b • c). 3. Pada operasi ∗ dan •,

(i) Distribusi kanan, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ S berlaku a • (b ∗ c) = (a • b) ∗ (a • c). Bukti :

a • (b ∗ c) = a • (b + c + bc) = a • b + a • c + a • (bc) = a • b + a • c + (a • b)(a • c) = (a • b) ∗ (a • c).

(ii) Distribusi kiri, yaitu untuk setiapa,b,c ∈ S berlaku (b ∗ c) • a = (b • a) ∗ (c • a).

8

Bukti :

(b ∗ c) • a = (b + c + bc) • a = b • a + c • a + (bc) • a = b • a + c • a + (b • a)(c • a) = (b • a) ∗ (c • a).

Dari aksioma di atas maka terbukti < S, ∗, • > ring. ∎

Berdasarkan Definisi 2.2 dapat diperoleh suatu ring yang mempunyai sifat sebagai berikut.

Diberikan ring < R,+, •>. Jika terhadap operasi • pada R berlaku a • b = b • a untuk setiap a,b ∈ R, maka R disebut ring komutatif (Dummit dan Foote, 2004). Contoh :

<Z, +, •> adalah ring komutatif. Contoh ring yang tidak komutatif adalah < Mn (R), +, • > yaitu ring dengan operasi penjumlahan dan pergandaan matrik yang elemennya berupa matrik berukuran nxn.

Berikut ini akan diberikan pengertian struktur ring R  S yang memenuhi karakteristik tertentu terhadap operasi binernya.

Diberikan R dan S suatu ring. Himpunan R  S = {(r,s)| ∈ dan ∈ } merupakan ring R  S dengan operasi penjumlahan dan pergandaan (r,s) + (t,u) = (r + t,s + u) dan (r,s)(t,u) = (rt,ru+st) (Rege dan Chhawchharia, 1997).

Dari konsep subgrup pada grup, akan diperkenalkan ide subring pada ring. Berikut ini definisi subring secara lengkap.

9

Definisi 2.3 Subring

Diberikan suatu ring R dan himpunan S ⊂ R dengan S ≠ ∅. Himpunan S disebut subring R jika S merupakan ring terhadap operasi yang sama pada R (Herstein, 1996).

Contoh :

Himpunan <Z, +, • > merupakan ring dan 2Z ⊂ Z. Himpunan 2Z merupakan ring terhadap operasi yang sama pada R. Oleh karena itu, 2Z adalah subring dari Z.

Akan disajikan suatu ring yang tidak mempunyai elemen pembagi nol. Berikut definisi secara lengkap.

Definisi 2.4 Daerah Integral

Suatu ring komutatif R dikatakan daerah integral jika a • b = 0 di R maka a = 0 atau b = 0 (Herstein, 1996).

Contoh :

Himpunan < R,+,•> dan himpunan < Z,+, •> adalah contoh daerah integral.

Dari konsep subgrup normal pada grup, akan diperkenalkan ide ideal pada ring, berikut definisi ideal secara lengkap.

Definisi 2.5 Ideal

Diberikan R ring dan I ⊆ R. I dikatakan ideal jika : a) I subring pada R ;

b) rI ⊆ I, untuk setiap r ∈ R ; c) Ir ⊆ I, untuk setiap r ∈ R ;

10

Catatan. Jika I ⊆ R hanya memenuhi a) dan b) maka I dikatakan ideal kiri pada R. Jika I ⊆ R hanya memenuhi a) dan c) maka I dikatakan ideal kanan pada R (Herstein, 1996).

Contoh :

Misalkan Z adalah ring dan 2Z = {2a | a ∈ Z } berisi kelipatan dari 2. Akan ditunjukkan 2Z adalah ideal pada Z.

i) 2Z subring dari Z.

Dari contoh pada Definisi 2.3 telah ditunjukkan 2Z adalah subring dari Z. ii)r2Z ⊆ 2Z, untuk setiap r ∈ Z.

Bukti :

Diberikan sebarang 2a ∈ 2Z dan sebarang r ∈ Z, maka berlaku r(2a) = (r2)a = (2r)a dan 2(ra) ∈ 2Z. Dari i) dan ii) terbukti bahwa 2Z adalah ideal pada Z. ∎

Terdapat suatu ideal yang dibangun oleh sebarang elemen pada ring dan elemen tersebut disebut elemen pembangun. Berikut ini diberikan definisi pembangun secara lengkap.

Definisi 2.6 Pembangun

Diketahui R ring komutatif dan A ideal pada R. Himpunan A = {pr | r ∈ R } suatu ideal yang dibangun suatu elemen p dan p disebut pembangun (generator) ideal A dapat ditulis � = A (Dummit dan Foote, 2004).

11

Jika semua ideal pada daerah integral dapat dinyatakan sebagai himpunan yang dibangun oleh suatu elemen maka daerah integral disebut daerah ideal utama. Berikut ini diberikan definisinya.

Definisi 2.7 Daerah Ideal Utama

Suatu daerah integral dikatakan daerah ideal utama jika untuk setiap ideal I di R berbentuk I = {� | � ∈ } untuk suatu ∈ I (Herstein, 1996).

Contoh :

Diberikan daerah integral Z. Terdapat I ⊂ Z . Karena I = { } ideal pada Z yang dibangun oleh elemen 0 dan jika I ≠ { } ideal pada Z yang berisi semua kelipatan dari a juga dibangun oleh a yaitu = aZ, maka Z disebut daerah ideal utama.

Tentang pemahaman konsep grup faktor pada grup, akan diperkenalkan ide ring faktor pada ring. Berikut ini definisi ring faktor secara lengkap.

Definisi 2.8 Ring Faktor

Jika N adalah ideal pada ring R. Himpunan R/N = {� + N | � ∈ R } merupakan ring faktor R/N dengan operasi penjumlahan dan pergandaan koset

(� + �) + (� + �) = (� + � + �) dan

(� + �)� + �) = (� � + �) (Herstein, 1996). Contoh :

Diketahui 4Z merupakan ideal pada ring Z. Dapat dibentuk himpunan Z /4Z = {a + 4Z | a ∈ Z } yang merupakan ring faktor.

12

Definisi 2.9 Ring Polinomial

Diberikan ring R. Himpunan R[x] = ∑₌₀ � , ∈ yang beranggotakan semua polinomial (suku banyak) dengan koefisien anggota ring R dalam variabel x yang merupakan ring polinomial dengan operasi penjumlahan dan pergandaan polinomial ∑ � =0 + ∑ � =0 = ∑ + � =0 ∑ � =0 . ∑ � =0 = ∑ � + = (Herstein, 1996). Contoh :

Himpunan < Z[x],+, • > dengan koefisien elemen ring Z adalah contoh ring polinomial dengan operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.

Definisi 2.10 Nilpoten

Diberikan ring R dan a ∈ R dikatakan nilpoten jika an _{= 0, untuk suatu n ∈ Z}+ (Herstein, 1996).

Contoh :

1. Diberikan ring M2(Z) dan A = [ ]. Karena A2 = 0 maka A merupakan

elemen nilpoten.

2. Diberikan ring Z8 dan karena ̅3 = 4̅2 = 6̅3 = ̅ maka {̅},{4̅},{6̅} adalah elemen nilpoten tak nol pada Z8.

13

Definisi 2.11 Ring Reduced

Suatu ring dikatakan ring reduced jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol (Herstein, 1996).

Contoh :

Ring Z6 adalah ring reduced karena tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol.

Definisi 2.12 Ring Armendariz

Suatu ring R dikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial f(x) = ∑₌₀ � , g(x) = ∑ ₌₀ � ∈ R[x] dimana , ∈ R sedemikian sehingga f(x)g(x) = 0 maka = 0 untuk setiap i dan j.

Contoh :

Diketahui suatu ring <Z6,+,•>. Diberikan sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen ring Z6.

Akan ditunjukkan ring Z6 adalah Armendariz. Bukti :

Diketahui ring Z6. Diberikan sebarang

̅(x) = _{∑=0̅ �} , ̅(x) = ∑ ₌₀̅ � ∈ Z6[x], dimana ̅, ̅ ∈ Z6 untuk setiap i dan j.

Akan ditunjukkan jika ̅(x) ̅(x) = ̅ maka ̅̅̅̅̅̅= ̅.

Diasumsikan ̅(x) ̅(x) = ̅

⇔ (̅̅̅ + ̅̅̅� +₀ ̅̅̅� + ⋯ + ̅̅̅� )(̅̅̅ + ̅ � +₀ ̅̅̅ � + ⋯ + ̅̅̅̅� ) = ̅ ⇔ (̅̅̅₀ ̅̅̅)₀ + (̅̅̅₀ ̅ +̅̅̅̅̅̅)x₀ + ⋯ + (̅̅̅₀ ̅̅̅̅ +̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ⋯ + ̅̅̅₋ ̅̅̅) ₀ � + = ̅ ⇔̅̅̅̅̅̅ +0 0 (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅0 + 0 x+ ⋯ + (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ �0 + − + ⋯ + 0 + = ̅.

14

Akibatnya 0 0

̅̅̅̅̅̅ = ̅ (3.1)

0 + 0

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ (3.2)

dan seterusnya.

Dari persamaan (3.1) didapat bahwa ̅̅̅̅̅̅ = _{0 0} ̅. Karena Z6 merupakan ring reduced maka ̅̅̅̅̅̅ = ̅. Selanjutnya perhatikan persamaan (3.2). _{0 0}

0

̅̅̅̅̅̅ +̅̅̅̅̅̅ = 0 ̅ 0 0

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ +̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ 0 0 (dikali ̅̅̅) 0 ̅ ₊ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ _{0 0} (̅̅̅̅̅̅ = ̅) _{0 0} ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅. _{0 0}

Karena (̅̅̅̅̅̅)₀ 2 = ̅̅̅̅̅̅₀̅̅̅̅̅̅ = ₀ ̅̅̅̅̅ = ̅, artinya ̅̅̅̅̅̅ adalah elemen nilpoten. ₀ Karena Z6 ring reduced maka ̅̅̅̅̅̅ = ₀ ̅. Selanjutnya subtitusikan ̅̅̅̅̅̅ = ₀ ̅ ke persamaan (3.2) sehingga diperoleh ̅̅̅̅̅̅ = ̅. ₀

Untuk persamaan selanjutnya, dengan langkah yang serupa sehingga didapat ̅̅̅̅̅̅= ̅ untuk setiap i dan j. Oleh karena itu Z6 merupakan ring Armendariz.

V. SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dari pembahasan yang telah dikaji sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa jika diketahui R daerah ideal utama dan A ideal di R maka ring faktor R/A merupakan ring Armendariz. Jika diketahui R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A Armendariz maka struktur ring R  R/A dengan operasi penjumlahan dan pergandaan khusus merupakan ring Armendariz. Dapat juga diperoleh sifat struktur ring R  R/A merupakan ring Armendariz jika R merupakan ring reduced.

5.2 Saran

Skripsi ini membahas beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz. Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mengkaji suatu struktur ring K  V memenuhi sifat Armendariz dimana V merupakan ruang vektor atas lapangan K.

17

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz.

Teorema 4.1

Jika R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz.

Bukti :

Diketahui R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R. Misalkan A = yaitu ideal A yang dibangun oleh unsur . Diberikan sebarang dua polinomial ̅(x) = ∑₌ ̅ , ̅(x) = ∑ ₌ ̅ ∈ R/A[x] dimana ̅, ̅ untuk setiap

i dan j merupakan elemen ring faktor R/A ={̅ = a + A | a ∈ R}. Akan ditunjukkan ring faktor R/A merupakan ring Armendariz dengan kata lain

jika ̅(x) ̅(x) = 0̅ maka ̅̅̅̅̅̅0̅.

Diasumsikan ̅(x) ̅(x) = 0̅

⇔ (̅̅̅ + ̅̅̅ +̅̅̅ + ⋯ + ̅̅̅ )(̅̅̅ + ̅ +̅̅̅ + ⋯ + ̅̅̅̅ ) = 0̅

⇔ (̅̅̅̅̅̅) + (̅̅̅ ̅ +̅̅̅̅̅̅)x + ⋯ + (̅̅̅̅̅̅̅+̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ⋯ + ̅̅̅₋ ̅̅̅) + = 0̅

18

Akibatnya

̅̅̅̅̅̅ = 0̅ (4.1)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = 0̅ (4.2)

+ +

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ (4.3)

dan seterusnya.

Dari persamaan (4.1) didapat bahwa ̅̅̅̅̅̅ = 0̅ dapat ditulis + � = 0 + � dimana ∈ R. Karena R daerah ideal utama, maka dapat dinyatakan sebagai = � ∈ R = A suatu elemen ideal utama yang dibangun oleh ∈ A yang mengakibatkan

+ A = 0 + A ( � + A = 0 + A

� + A = 0 + A (R komutatif)

� + A = 0 + A.

Karena ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh + A = 0 + A. Dari persamaan (4.2) didapat bahwa ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = 0̅ dapat ditulis

+ + A = 0 + A dimana + ∈ R.

+ + � = 0 + A

( + �)( + + � ) = 0 + A (dikali + A)

+ + � = 0 + A

+ + � = 0 + A

+ + � = 0 + A (R komutatif)

19 + � = 0 + A.

Karena , ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh + A = 0 + A dan + A = 0 + A. Selanjutnya subtitusikan + A = 0 + A ke persamaan (4.2) dan diperoleh + A = 0 + A. Sehingga terbukti + + A = 0 + A dengan kata lain ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = 0̅.

Dari persamaan (4.3) didapat bahwa ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + = 0̅. Dapat ditulis

+ + + A = 0 + A dimana + + ∈ R.

+ + + A = 0 + A

( + A)( + + + A) = 0 + A (dikali + A)

+ + + A = 0 + A

+ + + A = 0 + A (R komutatif)

+ + 0 + A = 0 + A ( + A = 0 + A)

+ 0 + 0 + A = 0 + A ( + A = 0 + A)

+ A = 0 + A.

Karena , ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh + A = 0 + A dan + A = 0 + A. Selanjutnya subtitusikan + A = 0 + A ke persamaan (4.3) sehingga diperoleh + + A = 0 + A. Karena R daerah ideal utama maka haruslah memenuhi sifat tertutup pada operasi penjumlahan, sehingga diperoleh

+ A = 0 + A dan + A = 0 + A. Dengan kata lain terbukti

20

Berdasarkan persamaan (4.1), (4.2), (4.3) dan dapat dilanjutkan dengan langkah yang serupa sehingga didapat ̅̅̅̅̅̅= 0̅ untuk setiap i dan j. Oleh karena itu R/A merupakan ring Armendariz. ∎

Untuk selanjutnya akan diselidiki suatu struktur ring memenuhi sifat Armendariz namun dibuktikan terlebih dahulu bahwa struktur ring memenuhi aksioma-aksioma ring.

Lemma 4.2

Diberikan R ring dan didefinisikan dua operasi pada struktur ring R ⊕ R/A maka memenuhi aksioma-aksioma ring. Dua operasi biner didefinisikan sebagai berikut:

(a,̅) + (b, ̅) = (a + b, ̅ + ̅) dan (a,̅) • (b, ̅) = ab,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ . Bukti :

Akan ditunjukkan < R ⊕ R/A, +, •> ring. 1. Terhadap operasi +,

(i) Tertutup, yaitu untuk setiap (a,̅),(b, ̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku (a,̅) + (b, ̅) ∈ R ⊕ R/A.

Bukti :

(a,̅) + (b, ̅) = (a + b, ̅ + ̅) = (a + b, ̅̅̅̅̅̅̅+ ).

Karena a + b ∈ R dan ̅̅̅̅̅̅̅+ ∈ R/A maka (a,̅) + (b, ̅) ∈ R ⊕ R/A. (ii) Asosiatif, yaitu untuk setiap (a,̅),(b, ̅),(c,̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku

21

Bukti :

((a,̅) + (b, ̅)) + (c,̅) = (a + b,̅ + ̅) + (c,̅) = (a + b,̅̅̅̅̅̅̅+ ) + (c,̅) = (a + b + c,̅̅̅̅̅̅̅ + + ̅̅̅) = (a + b + c,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + ) = (a + b + c,̅ + +̅̅̅̅̅̅̅̅) = (a,̅) + (b + c,̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) = (a,̅) + (b + c, ̅ + ̅) = (a,̅) + ((b, ̅) + (c,̅)).

(iii)Mempunyai elemen identitas, yaitu terdapat (y, ̅) ∈ R ⊕ R/A sedemikian sehingga untuk setiap (a,̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku

(y, ̅) + (a,̅) = (a,̅) + (y, ̅) = (a,̅). Bukti :

Misalkan (y, ̅) elemen identitas untuk + dari R ⊕ R/A, maka :

⇔ (y, ̅) + (a,̅) = (a,̅)

⇔ (y+a, ̅ + ̅) = (a,̅)

⇔ (y+a,̅̅̅̅̅̅̅+ ) - (a,̅) = (a,̅) - (a,̅)

⇔ (y+a-a,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ − ) - (a,̅) = (0,0̅)

⇔ (y, ̅) = (0,0̅).

Oleh karena itu (y, ̅) = (0,0̅) merupakan elemen identitas untuk + dari R ⊕ R/A.

(iv) Setiap elemen dari R ⊕ R/A mempunyai invers, yaitu untuk setiap (a,̅) ∈ R ⊕ R/A terdapat , ̅ ∈ R ⊕ R/A sedemikian sehingga

22

Bukti :

⇔ (a,̅) + , ̅ = (0,0̅)

⇔ (a + x,̅ + ̅ = (0,0̅)

⇔ (a + x,̅ + ̅ - (a,̅) = (0,0̅) - (a,̅)

⇔ (a + x -a,̅ + ̅-̅) = (-a,-̅)

⇔ (x, ̅) = (-a,-̅).

Jadi (x, ̅) = (-a,-̅) merupakan invers untuk setiap (a,̅) ∈ R ⊕ R/A. (v) Komutatif, yaitu untuk setiap (a,̅),(b, ̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku

(a,̅) + (b, ̅) = (b, ̅) + (a,̅). Bukti :

(a,̅) + (b, ̅) = a + b, ̅ ̅ = a + b, ̅̅̅̅ = b + a, ̅ ̅ = (b, ̅) + (a,̅). 2. Terhadap operasi •,

(i) Tertutup, yaitu untuk setiap (a,̅),(b, ̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku (a,̅) • (b, ̅) ∈ R ⊕ R/A.

Bukti :

(a,̅) • (b, ̅) = ab,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ .

Karena ab ∈ R dan ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ∈ R/A maka (a,̅) • (b, ̅) ∈ R ⊕ R/A. (ii) Asosiatif, yaitu untuk setiap (a,̅),(b, ̅),(c,̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku

((a,̅) • (b, ̅)) • (c,̅) = (a,̅) • ((b, ̅) • (c,̅)). Bukti :

23

= abc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + = abc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + = abc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + = (a,̅) • (bc, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) = (a,̅) • ((b, ̅) • (c,̅)). 3. Pada operasi + dan •,

(i) Distribusi kanan, yaitu untuk setiap (a,̅),(b, ̅),(c,̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku (a,̅) • ((b, ̅) + (c,̅)) = (a,̅) • (b, ̅) + (a,̅) • (c,̅).

Bukti :

(a,̅) • ((b, ̅) + (c,̅)) = (a,̅) • (b+c, ̅ ̅) = (a,̅) • (b+c,̅̅̅̅̅̅̅̅+ )

= a(b+c),̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + + = ab+ac,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + +

= ab+ac,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + + = ab+ac,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = (ab,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + (ac,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) = (a,̅) • (b, ̅) + (a,̅) • (c,̅).

(ii) Distribusi kiri, yaitu untuk setiap (a,̅), (b, ̅), (c,̅) ∈ R ⊕ R/A berlaku ((a,̅) +(b, ̅)) • (c,̅) = (a,̅) • (c,̅) + (b, ̅) • (c,̅).

Bukti :

((a,̅) + (b, ̅)) • (c,̅) = (a+b,̅+ ̅) • (c,̅) = (a+b,̅̅̅̅̅̅̅+ ) • (c,̅)

= (a+b)c,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + + = ac+bc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + +

24

= ac+bc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + + = ac+bc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = (ac,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + (bc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = (a,̅) • (c,̅) + (b, ̅) • (c,̅). Dari aksioma diatas maka terbukti < R ⊕ R/A, +, • > ring. ∎

Berikut ini akan disajikan teorema suatu struktur ring yang memenuhi sifat Armendariz.

Teorema 4.3

Diketahui R daerah integral. Jika A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz maka ring R ⊕ R/A adalah Armendariz.

Bukti :

Diketahui R adalah daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A merupakan Armendariz. Diberikan sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen ring R ⨁ R/A = {(a, ̅) | a ∈ R dan ̅∈ R/A }. Diberikan sebarang

(x) = ∑₌ , ̅ , (x) = ∑ ( , ̅ )₌ ∈ (R ⨁ R/A)[x] , dimana

, ̅ , ( , ̅ ) ∈ R ⨁ R/A untuk setiap i dan j.

Akan ditunjukkan ring R ⨁ R/A adalah Armendariz dengan kata lain jika (x) (x) = (0,0̅) = 0 maka , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ) = 0.

Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut : (x) = ( , ̅ ) dan (x) = ( , ̅̅̅ ).

25 ⇔(( , ̅ + , ̅ + , ̅ + ⋯ + , ̅ )( , ̅ + , ̅

+ , ̅ + ⋯ + ( , ̅ ) ) = 0

⇔(( , ̅ , ̅ ) + (( , ̅ , ̅ + , ̅ , ̅ ))x + ⋯ + (( , ̅ , ̅ + , ̅ ₋ , ̅ ₋ ) + ⋯ + , ̅ ) , ̅ ) + = 0

⇔ ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + (( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ))x... = 0

⇔ ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + ( + ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + + )x... = 0

⇔ + + )x+ ⋯, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ++ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + +

+ ⋯ = 0

⇔ , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + = 0. Akibatnya

= 0 (4.4)

+

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. (4.5)

Karena R adalah daerah integral maka terdapat dua kemungkinan, yaitu : a) = 0,

Jika = 0, maka dari persamaan (4.5) diperoleh :

+

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ 0̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + = 0̅ 0 +̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅.

Karena R/A adalah Armendariz, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ berakibat ̅̅̅̅̅ = 0̅ untuk setiap i dan j dan = 0 berakibat = 0 untuk setiap i. Selanjutnya dapat disimpulkan sebagai berikut :

26 , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + )

= (0 ,0 + 0̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = (0,0̅)

= 0. b) = 0,

Jika = 0, maka dari persamaan (4.5) diperoleh :

+

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅

+ 0

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅

+ 0

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅.

Karena R/A adalah Armendariz, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ berakibat ̅̅̅̅̅ = 0̅ untuk setiap i dan j dan = 0 berakibat = 0 untuk setiap j. Selanjutnya dapat disimpulkan sebagai berikut :

, ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ) = ( 0,0 + 0̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = (0,0̅)

= 0.

Dari a) dan b) terbukti bahwa , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ) = 0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz. ∎

Pada Teorema 4.3, bahwa jika R daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A merupakan Armendariz maka ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz.

27

Pembahasan selanjutnya akan dikaji karakterisasi ring reduced pada suatu struktur ring yang juga mempunyai sifat Armendariz.

Berikut ini akan disajikan terlebih dahulu beberapa lemma yang mendukung.

Lemma 4.4

Diketahui ring R reduced. Untuk setiap a,b ∈ R, ab = 0 jika dan hanya jika ba = 0.

bukti :

(⇒) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ab = 0. Akan ditunjukkan ba = 0. Andaikan ba ≠ 0, karena R ring reduced maka ba bukan elemen nilpoten yang artinya ≠ 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh = baba ≠ 0. Diketahui bahwa ab = 0 sehingga = baba = b0a = 0 yang berarti ba merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ba ≠ 0. Sehingga haruslah ba = 0.

(⇐) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ba = 0. Akan ditunjukkan ab = 0. Andaikan ab ≠ 0, karena R ring reduced maka ab bukan elemen nilpoten yang artinya ≠ 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh = abab ≠ 0. Diketahui bahwa ba = 0 sehingga = abab = a0b = 0 yang berarti ab merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ab ≠ 0. Sehingga, haruslah ab = 0. ∎

Lemma 4.5

28

Bukti :

Diketahui R ring reduced. Diberikan f(x) = ∑₌ , g(x) = ∑ ₌ ∈ R[x], dimana , ∈ R untuk setiap i dan j.

Akan ditunjukkan jika f(x)g(x) = 0 maka = 0.

Diasumsikan f(x)g(x) = 0

( + + + ⋯ + )( + + + ⋯ + ) = 0

+ ( + x + ⋯ + ( + ₋ + ⋯ . . + + = 0. Akibatnya

= 0 (4.6)

+ = 0 (4.7)

dan seterusnya.

Dari persamaan (4.6) didapat bahwa = 0. Karena R merupakan ring reduced, maka = 0. Selanjutnya perhatikan persamaan (4.7).

+ = 0 (dikali )

+ = 0 ( = 0) 0 + = 0

= 0.

Karena ( )2 = = 0 = 0, artinya adalah elemen nilpoten. Karena R ring reduced maka = 0. Selanjutnya subtitusikan = 0 ke persamaan (4.7) sehingga diperoleh = 0. Untuk persamaan selanjutnya dengan langkah yang serupa sehingga didapat = 0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu R merupakan ring Armendariz. ∎

29

Pada Lemma 4.5, tidak berlaku sebaliknya. Dengan kata lain jika diketahui R ring Armendariz maka belum tentu R ring reduced. Ring faktor Z/nZ merupakan contoh ring Armendariz tetapi bukan ring reduced.

Lemma 4.6

Jika R ring reduced maka R[x] ring reduced. Bukti :

Diketahui R ring reduced dengan kata lain berlaku = 0 untuk suatu n ∈ Z+ maka a = 0. Diberikan sebarang (x) = ∑₌ R[x] dimana ∈ R untuk setiap i.

Akan ditunjukkan jika { } = 0 maka (x) = 0 dengan kata lain = 0.

{ } = {∑

=

}

⇔ { + + + ⋯ + }

⇔ + � + ⋯ + +

⇔ 0 + 0 + ⋯ + 0 +

⇔ 0.

Karena R ring reduced maka = − = ⋯ = = 0 untuk suatu n ∈ Z+ sehingga berakibat = = ⋯ = = 0. Dengan kata lain terbukti = 0. ∎

Teorema 4.7

Jika R ring reduced dengan A ideal di R dan ring faktor R/A ring reduced, maka ring R ⨁ R/A = {(a, ̅) | a ∈ R dan ̅∈ R/A } merupakan Armendariz.

30

Bukti :

Diketahui R ring reduced dengan A ideal di R dan ring R/A juga ring reduced. diberikan sebarang (x) = ∑₌ , ̅ , (x) = ∑ ( , ̅ )₌ ∈ (R ⨁ R/A )[x] , dimana , ̅ , ( , ̅ ) ∈ R ⨁ R/A untuk setiap i dan j.

Akan ditunjukkan jika (x) (x) = 0 maka , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ) = 0. Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut :

(x) = ( , ̅ ) dan (x) = ( , ̅̅̅ ).

Diasumsikan (x) (x) = 0

⇔(( , ̅ + , ̅ + , ̅ + ⋯ + , ̅ )( , ̅ + , ̅

+ , ̅ + ⋯ + ( , ̅ ) ) = 0

⇔(( , ̅ , ̅ ) + (( , ̅ , ̅ + , ̅ , ̅ ))x + ⋯ + (( , ̅ , ̅ + , ̅ ₋ , ̅ ₋ ) + ⋯ + , ̅ ) , ̅ ) + = 0

⇔ ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + (( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ))x... = 0

⇔ ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + ( + ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + + )x... = 0

⇔ + + )x+ ⋯, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ++ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + +

+ ⋯ = 0

⇔ , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + = 0. Akibatnya

= 0 (4.8)

+

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. (4.9) Karena R ring reduced maka persamaan (4.8) berakibat = 0. Pada persamaan (4.9)

+

31 +

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅

0̅ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ( = 0) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ .

Karena (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)2 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= ̅̅̅̅̅̅̅. 0̅ ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= 0̅) = 0̅,

artinya ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ adalah elemen nilpoten dan R/A[x] adalah ring reduced maka diperoleh ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. Selanjutnya subtitusikan ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ke persamaan(4.9)sehingga diperoleh ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. Karena R Armendariz maka persamaan (4.8) dan (4.9) menghasilkan , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ) = 0. Oleh karena itu, terbukti bahwa R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz. ∎

Berdasarkan Teorema 4.7, struktur ring R ⨁ R merupakan ring Armendariz jika diambil A = 0. Berikut ini diberikan akibatnya secara lengkap.

Akibat 4.8

Diketahui R ring reduced. Jika sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen ring R ⨁ R = {(a,u) | a,u ∈ R}, maka struktur ring R ⨁ R merupakan Armendariz.

, ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + = (0 ,0 + 0̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = (0,0̅)

= 0. b) = 0,

Jika = 0, maka dari persamaan (4.5) diperoleh : +

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅

+ 0

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ + 0

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅.

Karena R/A adalah Armendariz, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ berakibat ̅̅̅̅̅ = 0̅ untuk setiap i dan j dan = 0 berakibat = 0 untuk setiap j. Selanjutnya dapat disimpulkan sebagai berikut :

, ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + = ( 0,0 + 0̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = (0,0̅)

= 0.

Dari a) dan b) terbukti bahwa , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = + 0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz. ∎

Pada Teorema 4.3, bahwa jika R daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A merupakan Armendariz maka ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz.

ring yang juga mempunyai sifat Armendariz.

Berikut ini akan disajikan terlebih dahulu beberapa lemma yang mendukung.

Lemma 4.4

Diketahui ring R reduced. Untuk setiap a,b ∈ R, ab = 0 jika dan hanya jika ba = 0.

bukti :

(⇒) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ab = 0. Akan ditunjukkan ba = 0. Andaikan ba ≠0, karena R ring reduced maka ba bukan elemen nilpoten yang artinya ≠ 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh = baba ≠ 0. Diketahui bahwa ab = 0 sehingga = baba = b0a = 0yang berarti ba merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ba ≠0. Sehingga haruslah ba = 0.

(⇐) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ba = 0. Akan ditunjukkan ab = 0. Andaikan ab ≠0, karena R ring reduced maka ab bukan elemen nilpoten yang artinya ≠ 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh = abab ≠ 0. Diketahui bahwa ba = 0sehingga = abab = a0b = 0yang berarti ab merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ab ≠0. Sehingga, haruslah ab = 0. ∎

Lemma 4.5

Bukti :

Diketahui R ring reduced. Diberikan f(x) = ∑₌ , g(x) = ∑ ₌ ∈ R[x], dimana , ∈R untuk setiap i dan j.

Akan ditunjukkan jika f(x)g(x) = 0 maka = 0.

Diasumsikan f(x)g(x) = 0

( + + + ⋯ + )( + + + ⋯ + ) = 0

+ ( + x + ⋯ + ( + ₋ + ⋯ . . + + = 0.

Akibatnya

= 0 (4.6)

+ = 0 (4.7)

dan seterusnya.

Dari persamaan (4.6) didapat bahwa = 0. Karena R merupakan ring reduced,

maka =0. Selanjutnya perhatikan persamaan (4.7).

+ = 0 (dikali ) + = 0 ( =0) 0 + = 0

= 0.

Karena ( )2 = = 0 = 0, artinya adalah elemen nilpoten. Karena R ring reduced maka = 0. Selanjutnya subtitusikan = 0 ke

persamaan (4.7) sehingga diperoleh = 0. Untuk persamaan selanjutnya dengan langkah yang serupa sehingga didapat = 0 untuk setiap i dan j. Oleh

Armendariz maka belum tentu R ring reduced. Ring faktor Z/nZ merupakan contoh ring Armendariz tetapi bukan ring reduced.

Lemma 4.6

Jika R ring reduced maka R[x] ring reduced. Bukti :

Diketahui R ring reduced dengan kata lain berlaku = 0 untuk suatu n ∈ Z+

maka a = 0. Diberikan sebarang (x) = ∑₌ R[x] dimana ∈ R untuk setiap i.

Akan ditunjukkan jika { } = 0maka (x) = 0 dengan kata lain = 0.

{ } = {∑

= }

⇔ { + + + ⋯ + }

⇔ + � + ⋯ + +

⇔ 0 + 0 + ⋯ + 0 + ⇔ 0.

Karena R ring reduced maka = − = ⋯ = = 0 untuk suatu n ∈ Z+

sehingga berakibat = = ⋯ = = 0. Dengan kata lain terbukti = 0. ∎

Teorema 4.7

Jika R ring reduced dengan A ideal di R dan ring faktor R/A ring reduced,maka ring R ⨁ R/A = {(a, ̅)| a∈R dan ̅∈R/A } merupakan Armendariz.

Bukti :

Diketahui R ring reduced dengan A ideal di R dan ring R/A juga ring reduced. diberikan sebarang (x) = ∑₌ , ̅ , (x) = ∑ ( , ̅ )₌ ∈ (R ⨁ R/A )[x] , dimana , ̅ , ( , ̅ ) ∈R ⨁ R/A untuk setiap i dan j.

Akan ditunjukkan jika (x) (x) = 0 maka , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = + 0. Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut :

(x) = ( , ̅ ) dan (x) = ( , ̅̅̅ ).

Diasumsikan (x) (x) = 0

⇔(( , ̅ + , ̅ + , ̅ + ⋯ + , ̅ )( , ̅ + , ̅ + , ̅ + ⋯ + ( , ̅ ) ) = 0

⇔(( , ̅ , ̅ ) + (( , ̅ , ̅ + , ̅ , ̅ ))x + ⋯ +

(( , ̅ , ̅ + , ̅ ₋ , ̅ ₋ ) + ⋯ + , ̅ ) , ̅ ) + = 0 ⇔ ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + + (( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + + ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅))+ x... = 0 ⇔ ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + + ( + ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)+ + + x... = 0 ⇔ + + )x+ ⋯, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ++ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + +

+ ⋯ = 0

⇔ , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + = 0. Akibatnya

= 0 (4.8)

+

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = _0̅. (4.9)

Karena R ring reduced maka persamaan (4.8) berakibat = 0. Pada persamaan (4.9)

+

0̅ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ( = 0) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ .

Karena (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)2 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= ̅̅̅̅̅̅̅. _0̅ (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= 0̅) = 0̅,

artinya ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ adalah elemen nilpoten dan R/A[x] adalah ring reduced maka diperoleh ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. Selanjutnya subtitusikan ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ke persamaan(4.9)sehingga diperoleh ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. Karena R Armendariz maka persamaan (4.8) dan (4.9) menghasilkan , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 0. + Oleh karena itu, terbukti bahwa R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz. ∎

Berdasarkan Teorema 4.7, struktur ring R ⨁ R merupakan ring Armendariz jika diambil A = 0. Berikut ini diberikan akibatnya secara lengkap.

Akibat 4.8

Diketahui R ring reduced. Jika sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen ring R ⨁ R = {(a,u) | a,u ∈ R}, maka struktur ring R ⨁ R merupakan Armendariz.