Solusi Persamaan Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan Transformasi Similaritas.
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER NONLINIER KUINTIK
DENGAN KOEFISIEN BERGANTUNG VARIABEL
BERDASARKAN TRANSFORMASI SIMILARITAS
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Persamaan
Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan
Transformasi Similaritas adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Habib Muhammad Zapar Sidiq
NIM G74110017
ABSTRAK
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ. Solusi Persamaan Schrodinger
Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan
Transformasi Similaritas. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS.
Persamaan Schrodinger Nonlinier (NLS) merupakan salah satu persamaan
yang paling banyak muncul dalam cabang-cabang fisika, diantaranya seperti Optik
Nonlinier, Fisika Nuklir dan Bose-Einstein Kondensat (BECs). Maka dari itu,
pengembangan persamaan ini akan sangat berguna untuk menambah
pembendaharaan pengetahuan. Penelitian ini bertujuan untuk menemukan solusi
persamaan NLS kuintik dengan menggunakan metode transformasi similaritas.
Solusi yang didapat akan menambah pembendaharaan pengetahuan khususnya
untuk menejemen soliton.
Kata kunci : Kuintik, menejemen soliton, NLS, transformasi similaritas
ABSTRACT
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ. Solution of Nonlinear Schroedinger
(NLS) Quintic Equation with Coefficient Depend a Variable Building on The
Similarity Transformation. Supervised by HUSIN ALATAS.
Nonlinear Schroedinger (NLS) equation is one of more equations what often
appear in many branches of physics, like NL optics, nuclear physics, and BoseEinstein condensates(BECs). So, development of this equation will more useful for
increase knowledge properties. This research intent on find solution of NLS quintic
equation by use of similarity transformation. The solution what we found will
increase knowledge properties especially on soliton management.
Keywords: NLS, quintic , similarity transformation, soliton management
SOLUSI PERSAMAAN SCHROEDINGER NONLINIER KUINTIK
DENGAN KOEFISIEN BERGANTUNG VARIABEL
BERDASARKAN TRANSFORMASI SIMILARITAS
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga skripsi penulis yang berjudul “Solusi Persamaan Schroedinger
Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan
Transformasi Similaritas” ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam semoga
tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW. skripsi ini dibuat untuk memenuhi
salah satu syarat mendapatkan gelar sarjana di departemen Fisika IPB.
Penulis selalu percaya bahwa dalam setiap kejadian apapun yang terjadi,
maka pastilah selalu ada campur tangan-Nya, termasuk mengapa topik ini yang
akhirnya menjadi topik penelitian penulis. Walapun sebenarnya bidang matematika
bukanlah bidang yang sangat penulis kuasai, namun cukup kiranya rasa takjub
terhadap matematika yang konon rumit tapi indah itu membuat penulis
memberanikan diri untuk mulai menyelaminya lagi setelah beberapa kali benci
dengan ilmu yang satu ini.
Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Dr. Husin Alatas sebagai guru, dosen dan pembimbing yang telah banyak
memberikan bimbingan, motivasi, saran dan inspirasi yang luar biasa bagi
penulis.
2. Kepala Departemen Fisika IPB Bapak Dr. Akhiruddin, seluruh dosen pengajar
khususnya pak Drs. Indro, staf khususnya pak Yani dan karyawan di Departemen
Fisika FMIPA IPB yang telah memberikan nuansa kekeluargaan selama penulis
di Departemen Fisika IPB.
3. Kedua orang tua tercinta Abah dan Mamah atas semua yang telah diberikan pada
penulis, terutama cinta yang begitu tulusnya, serta untuk ke-7 orang adik penulis,
Muhajir, Faqih, Ali, Bagir, Yahya, Nayla dan Nazifah yang telah memberikan
semangatnya setiap kali penulis butuhkan.
4. Keluarga besar Fisika IPB khususnya angkatan 48 yang setelah ini akan sangat
penulis rindukan.
5. Keluarga besar Darul Falah dan Salamul Falah
6. Guru-guru penulis yang mudah-mudahan jasanya yang luar biasa kepada penulis
dibalas oleh Allah SWT.
7. Sahabat-sahabat penulis yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu yang
tentunya telah mewarnai sebagian hidup penulis, tanpanya penulis bukanlah
siapa-siapa.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, maka kritik
dan saran yang membangun sangat penulis harapkan.
Bogor, Juli 2015
Habib MZS
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
Manfaat Penelitian
1
Ruang Lingkup Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
3
Tempat dan Waktu Penelitian
3
Alat
3
Prosedur Penelitian
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Substitusi Transformasi Similaritas
5
Menentukan Variabel-Variabel � �, � , � �, � dan � �, �
6
Potensial V(z,x)
7
Faktor Nonlinieritas g(z,x)
8
Analisis
8
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
Diagram alur transformasi similaritas
Grafik intensitas soliton untuk n=1 dan � =
Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=1 dan � = �
4 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-1 dan � = �
5 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=2 dan � = �
6 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-2 dan � = �
7 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=3 dan � = �
8 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-3 dan � = �
9 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=4 dan � = �
10 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-4 dan � = �
5
9
10
11
12
13
14
15
16
17
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Persamaan Schrodinger nonlinier (NLS) merupakan salah satu model
persamaan yang sangat penting. Persamaan ini muncul dalam banyak cabang fisika
seperti Optik Nonlinier, Fisika Nuklir dan Bose-Einstein Kondensat (BECs). Dalam
Optik Nonlinier, persamaan NLS menggambarkan perambatan pulsa pada fiber
optik. Pada BECs, NLS menggambarkan kondensasi fungsi gelombang.1 Namun
sifatnya yang nonlinier menyebabkan solusi persamaan ini menjadi sulit untuk
didapatkan, salah satunya kerena solusi persamaan NLS tersebut tidak prinsip
superposisi linier. Ada hal menarik dari sifat solusinya, yaitu kestabilan yang sangat
tinggi. Solusi inilah yang akhirnya dikenal sebagai solusi soliton.2
Transformasi similaritas merupakan salah satu metode yang baik dalam
memecahkan solusi persamaan NLS, khususnya di bidang Optik Nonlinier. W.P.
Zhong dkk.1 telah menggunakannya untuk memecahkan lebih dari satu persamaan
NLS di bidang optik.
Di dalam penelitian ini, penulis meneliti tentang “Solusi Persamaan
Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel
Menggunakan Transformasi Similaritas”, yang pada akhirnya dapat digunakan
untuk menggambarkan berbagai jenis aplikasi fisika dan menambah
perbendaharaan pengetahuan di bidang NLS.
Perumusan Masalah
Berbekal latar belakang di atas, penelitian ini memiliki perumusan masalah:
Bagaimana cara memodifikasi persamaan NLS kuintik yang koefisiennya
bergantung variabel menggunakan transformasi similaritas? Hal apakah yang dapat
disimpulkan dari solusi yang didapat?
Tujuan Penelitian
Menentukan solusi persamaan NLS kuintik yang koefisiennya bergantung
variabel dengan menggunakan transformasi similaritas.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah mendapatkan solusi NLS kuintik yang
dapat menjadi perbendaharaan pengetahuan untuk menejemen soliton atau
dinamika lainnya yang identik dengan persamaan NLS kuintik.
Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini melingkupi penurunan persamaan NLS kuintik guna
mendapatkan solusi eksak secara matematis menggunakan metode similaritas dan
menganilisis hal-hal unik dari solusi yang didapat.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan NLS
Ada beberapa bentuk persamaan NLS yang telah dirumuskan oleh para
pendahulu. 3,4,5,6,7,8 Salah satu persamaannya adalah persamaan NLS kuadratik yang
ditunjukkan oleh Persamaan (1).1
�
��
��
� �
+
��
+ � �, � |�| � +
�, � � =
(1)
dengan � �, � ) merupakan fungsi gelombang optik, � merupakan dimensi
koordinat sepanjang arah perambatan dan � merupakan variabel spasial melintang.
Fungsi � �, � merupakan sebuah koefisien variabel nonlinier dan
�, �
merupakan potensial eksternal dari persamaan NLS.
Transformasi Similaritas
Transformasi similaritas merupakan metode matematis yang digunakan
untuk mengubah suatu persamaan yang bergantung pada variabel bebas menjadi
persamaan yang bergantung variabel tak bebas.1,5
Mengacu dari Daftar Pustaka 1, transformasi similaritas untuk memecahkan
persamaan NLS kuadratik ditunjukkan oleh Persamaan (2).
� �, � = � �, �
�� �,�
[� �, � ]
(2)
dengan � �, � merupakan amplitudo soliton dan � �, � merupakan fase real dari
soliton. � merupakan fungsi gelombang pada persamaan NLS standar yang
ditunjukkan oleh Persamaan (3).
�
��
��
+
�
�
� �
��
+ | |
=
(3)
dengan mensubstitusikan Persamaan (2) ke Persamaan (1), maka variabel-variabel
pada Persamaan (2) dan (3) akan didapatkan. Persamaan-persamaan yang
didapatkan itu ditunjukkan oleh Persamaan (4) sampai (8).1
+ � ��
�� = −
� ��
��
��
�
=
�, � = �� +
�
=
(4)
(5)
(6)
���
�
+ �� + ��
(7)
3
�� = ��
(8)
merupakan nilai eigen dari Persamaan (3). Kemudian untuk langkah
analisis selanjutnya bisa dilihat di Daftar Pustaka 1.
Dalam penelitian ini penulis akan menggunakan cara yang hampir sama
dengan penyelesaian persamaan kuadratik yang ada dalam Daftar Pustaka 1 dengan
sedikit modifikasi matematis yang sekiranya diperlukan dalam penyelesaian NLS
kuintik.
Solusi NLS Kuintik Standar
Salah satu bentuk persamaan dan solusi NLS kuintik standar ditunjukkan
oleh Persamaan (9), (10), (11) dan (12).9
�
�
��
+�
�
�
[ , �] =
=
=
�� − �� ��
+ | |
4
�
� �
�
−�� �
=
(9)
√sec� √
− �� �
(10)
(11)
�
(12)
�
dengan �� dan �� adalah parameter konstan.
METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Mulai
bulan Maret 2015 sampai bulan Agustus 2015.
Alat
Alat yang digunakan pada penelitian ini adalah literatur dan komputer yang
dilengkapi software Maple 13 untuk simulasi hasil penurunan analitik.
Prosedur Penelitian
Studi Pustaka
Studi pustaka dilakukan terlebih dahulu secara mendalam tentang hal-hal
yang berhubungan dengan penelitian ini yaitu persamaan diferensial parsial
4
nonlinier, persamaan Schrodinger nonlinier dan transformasi similaritas. Studi
pustaka ini dilakukan sepanjang penelitian berlangsung.
Substitusi Transformasi Similaritas
Prosedur ini dilakukan untuk mendapatkan hubungan antara variabel bebas
dan variabel tak bebas. Tujuannya adalah untuk mendefinisikan variabel-variabel
tak bebas yang ada di solusi similaritas terhadap variabel bebas.
Variabel bebas yang kita miliki adalah � �� � yang merupakan ruang
spasial. Pada penelitian ini untuk sementara tidak akan didefinisikan variabel bebas
� �� � secara fisis. Pada penurunan persamaan ini kita secara murni akan
menggunakan metode-metode matematis untuk mendapatkan solusi yang bersifat
umum.
Variabel tak bebas yang terdapat dalam penelitian ini adalah � �, � yang
merupakan bentuk solusi NLS kuintik, � �, � merupakan variabel yang
menyebabkan persamaan ini berbentuk nonlinier (faktor nonlinearitas), �, �
merupakan potensial eksternal pada NLS kuintik, [� �, � ] merupakan solusi
NLS kuintik standar yang solusinya telah didapatkan oleh peneliti sebelumnya dan
� �, � , � �, � , � �, � merupakan variabel-variabel yang berhubungan dengan
persamaan NLS kuintik standar.
Alur dari metode transformasi similaritas dapat dilihat pada Gambar 1.
Persamaan transformasi similaritas disubstitusikan ke persamaan NLS. Hasil dari
substitusi tersebut adalah persamaan-persamaan implisit dari variabel-variabel tak
bebasnya. Dengan menurunkan persamaan-persamaan ini, maka akan didapatkan
solusi dari NLS.
Analisis
Solusi dari sebuah persamaan yang berbentuk nonlinier pastilah sangat
banyak sekali. Oleh karena itu, dalam hal menganalisis solusi yang didapat, pada
penelitian ini terbatas hanya menganalisis salah satu solusi yang unik dari solusi
umum yang telah didapatkan pada prosedur sebelumnya. Prosedur ini juga dibantu
oleh software Maple 13 untuk membuat grafik-grafik yang dapat menggambarkan
dinamika solusi yang akan dianalisis. Tujuan akhir dari prosedur ini adalah
mendapatkan suatu gambaran salah satu dinamika yang unik dari solusi persamaan
NLS kuintik. Selain itu akan di-analisis pula pengaruh potensial dan faktor
nonlinieritas terhadap solusi. Lalu setelah itu, akan dicari fenomena fisika apakah
yang identik dengan solusi dinamika yang didapatkan.
5
Gambar 1 Diagram alur transformasi similaritas
HASIL DAN PEMBAHASAN
Substitusi Transformasi Similaritas
Bentuk dari transformasi similaritas yang akan digunakan dapat dilihat pada
Persamaan (3), sedangkan persamaan NLS kuintik yang akan dicari solusinya
dengan menggunakan transformasi similaritas diperlihatkan oleh Persamaan (13).
�
��
��
+
� �
��
+ � �, � |�| � +
�, � � =
(13)
Langkah pertama dari metode transformasi similaritas yaitu
mensubstitusikan Persamaan (3) ke Persamaan (13).
Dengan mentaati aturan-aturan matematika, khususnya bidang kalkulus
persamaan diferensial parsial maka akan diperoleh persamaan-persamaan implisit
dari � �, � , � �, � dan � �, � . Selain itu akan diperoleh pula persamaan
potensial dan faktor nonlinieritasnya. Persamaan-persamaan yang didapatkan dari
hasil substitusi Persamaan (3) ke Persamaan (13) ternyata sama dengan hasil yang
didapatkan dalam kasus NLS kubik yaitu Persamaan (4) sampai (7), sedangkan
untuk Persamaan (8)-nya menjadi seperti Persamaan (14). Penurunan lebih
lengkapnya dapat di lihat pada Lampiran (Persamaan (31) sampai (61)):
6
�� = ��
(14)
Pada Persamaan (7), merupakan nilai eigen dari persamaan NLS kuintik
standar yang bentuknya seperti Persamaan (15).
�
��
��
� �
+
��
+ | |
=
(15)
Solusi dari Persamaan (15) telah ditemukan oleh para peneliti seperti yang
ditunjukkan oleh Persamaan (9) sampai (12). Dengan membandingkan Persamaan
(9) dengan Persamaan (15) maka kita akan mendapatkan solusi untuk Persamaan
(15) seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (16).
� −� �
� �, � , � =
dan
dengan
4
�� �−� �
√sec� √
−
�−
�
(16)
merupakan parameter yang nilainya konstan.
Menentukan Variabel-Variabel � �, � , � �, � dan � �, �
Dari Persamaan (6) akan diketahui bahwa nilai dari � �� adalah fungsi dari
� karena turunan terhadap variabel x-nya adalah nol. Dengan menetapkan fungsi
tersebut sebagai � (z), maka Persamaan (6) akan menjadi Persamaan (17).
�
� =�
(17)
�
Lalu substitusi Persamaan (5) dan (17) ke Persamaan (4) akan menghasilkan
Persamaan (18) sampai (21).
��� �� +�� ���
��
��� �� +�� ���
��
−��� =
��
�� �
=
��
�
��
�
=
��
�
= −���
(18)
(19)
(20)
(21)
Langkah selanjutnya adalah memecahkan Persamaan (21) untuk
mendapatkan nilai dari � �, � dan � �, � .
Dengan mengintegralkan Persamaan (21), akan diperoleh Persamaan (22).
��
��
=
��
�
�+
(22)
7
Misalkan � �, � seperti Persamaan (23).
� �, � = �� � �
(23)
dengan � ∈ �. Maka dengan mensubstitusikan Persamaan (23) ke Persamaan (22)
akan diperoleh Persamaan (24) dan (25).
=
(24)
�� = −
��
�
�
(25)
Lalu jika Persamaan (25) di-integralkan, maka akan diperoleh Persamaan
(26):
�=−
��
�
� +�
(26)
dengan � merupakan konstanta real.
Selanjutnya adalah mencari nilai � �, � dengan cara mensubstitusikan
Persamaan (23) ke Persamaan (17), maka akan diperoleh Persamaan (27).
�=
√�
�
−
�
�
−
�
(27)
Sejauh ini telah diperoleh nilai � �, � , � �, � dan � �, � dan secara tidak
langsung telah diperoleh pula solusi umum dari persamaan NLS kuintik. Dengan
mensubstitusikan Persamaan (16), (26) dan (27) ke Persamaan (13), maka akan
diperoleh solusi umum dari persamaan NLS kuintik yaitu seperti yang ditunjukkan
oleh Persamaan (28).
� �, � =
�
�
√
�
−
�
�
−
−�
��
�
�
−�
(� −� � ) 4
�� �� � � −� �
√sec� √
−
�� � � −
�
(28)
Potensial V(z,x)
Dengan mensubstitusi Persamaan (23), (26) dan (27) ke Persamaan (7) maka
akan didapatkan nilai �, � seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (29).
= � (
��
�
−
���
�
)+
( −� )
8�
+�
� ��
�−
(29)
8
Faktor Nonlinieritas g(z,x)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (23) dan (27) ke Persamaan (14) maka
akan diperoleh faktor nonlinieritas yang harus dipenuhi oleh persamaan NLS
kuintik ini seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (30).
�=�
�
�+
�
�−
(30)
Analisis
Pada penelitian ini telah diperoleh solusi persamaan NLS kuintik yang
ditunjukkan oleh Persamaan (28). Potensial dan faktor nonlinieritas yang harus
dipenuhi ditunjukan oleh Persamaan (29) dan Persamaan (30). Dengan ketiga
persamaan tersebut, dapat di-analisis berbagai dinamika yang mungkin terjadi.
Persamaan diferensial nonlinier berbeda dengan persamaan diferensial
linier. Persamaan diferensial nonlinier memiliki solusi yang sangat banyak seperti
yang kita lihat pada Persamaan (28), dengan memilih harga n � ∈ ℝ yang
berbeda, akan diperoleh berbagai macam solusi yang berbeda.
Dalam bagian analisis ini akan diturunkan beberapa persamaan khusus dari
Persamaan (28) untuk melihat beberapa fenomena nonlinier, khususnya tentang
soliton, karena tak dapat dipungkiri pada penelitian-penelitian sebelumnya terlihat
jelas bahwa persamaan NLS cenderung berhubungan erat dengan dinamika soliton.
1,2,3,5,9
Solusi persamaan NLS dipengaruhi oleh potensial dan faktor
nonlinieritasnya. Adapun untuk kasus NLS kuintik pada penelitian ini, akan dianalisis beberapa solusi khusus berdasarkan indeks n-nya. Konstanta-konstanta
yang terdapat pada solusi umum ditentukan sedemikian rupa sehingga
=
, = , � = � �� � = untuk mempermudah penurunan solusi khususnya.
Adapun grafik dari beberapa solusi khusus tersebut dapat dilihat pada Gambar 2
sampai Gambar 10. Dari grafik-grafik tersebut akan di-analisis pengaruh dari
potensial dan faktor nonlinieritas terhadap solusi.
Jika dibandingkan Gambar 3 sampai Gambar 10, akan terlihat bahwa hanya
ada satu jenis potensial yaitu potensial kuadratik di sekitar z=0. Sedangkan pada
Gambar 2 potensialnya adalah nol. Ada perbedaan yang menonjol antara solusi
yang tidak dipengaruhi potensial (potensialnya nol) dengan solusi yang dipengaruhi
potensial. Perbedaannya adalah solusi yang tidak dipengaruhi potensial merambat
ke berbagai arah sedangkan solusi yang dipengaruhi potensial cenderung berada di
sekitar potensial tersebut. Kita dapat menyatakan bahwa potensial ini seperti
mengikat solusi untuk berada di sekitarnya.
Selanjutnya adalah analisis faktor nonlinieritasnya. Gambar 3, Gambar 5,
Gambar 7 dan Gambar 9 memperlihatkan jenis faktor nonlinieritas yang nilai
mutlaknya semakin besar seiring menjauhi titik (z=0,x=0). Solusi yang dihasilkan
dari jenis nonlinieritas seperti ini adalah solusi yang terlokalisasi di sekitar titik
(0,0) atau dapat disebut juga soliton. Sedangkan Gambar 4, Gambar 6, Gambar 8
dan Gambar 10 memperlihatkan jenis nonlinieritas yang terlokalisasi di sekitar titik
(0,0). Solusi yang dihasilkan dari jenis nonlinieritas seperti ini adalah solusi yang
9
tidak terlokalisasi. Maka, dapat disimpulkan bahwa faktor nonlinieritas
berpengaruh pada terlokalisasi atau tidaknya solusi.
Gambar 2 Grafik intensitas soliton untuk n=1 dan � =
10
(a)
(b)
(c)
Gambar 3 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=1 dan � = �
11
(a)
|�|
(b)
(c)
Gambar 4 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-1 dan � = �
12
(a)
(b)
(c)
Gambar 5 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=2 dan � = �
13
(a)
(b)
(c)
Gambar 6 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-2 dan � = �
14
(a)
(b)
(c)
Gambar 7 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=3 dan � = �
15
(a)
(b)
(c)
Gambar 8 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-3 dan � = �
16
(a)
(b)
(c)
Gambar 9 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=4 dan � = �
17
(a)
(b)
(c)
Gambar 10 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas
untuk n=-4 dan � = �
18
Selain pengaruh potensial dan faktor nonlinieritas terhadap solusi, grafikgrafik pada Gambar 2 sampai Gambar 10 juga dapat memperlihatkan jenis soliton
yang terdapat pada persamaan NLS kuintik. Untuk � = , soliton yang dihasilkan
adalah jenis soliton yang identik dengan kasus soliton optik. Sedangkan untuk � >
, soliton yang dihasilkan identik sengan kasus Bose-Einstein Condensate (BECs).
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pada penelitian ini telah didapatkan solusi umum untuk persamaan NLS
kuintik dengan koefisien bergantung variabel menggunakan metode transformasi
similaritas yaitu:
� �, �
=
√�
�
�
−
�
�
−
−�
−
��
� −�
�
4
�� �� � � −� �
Selain itu, untuk mendapatkan
potensialnya memenuhi:
= � (
��
�
−
���
�
)+
( −� )
8�
+�
dan faktor nonlinieritasnya sebesar:
�=�
�
�+
�
√sec� √
−
�� � � −
�
solusi di atas, maka harus dipastikan
� ��
�−
�−
Potensial mengikat solusi untuk berada di sekitarnya, sedangkan faktor
nonlinieritas melokalisasi solusi.
Untuk � = identik dengan soliton optik dan untuk � > identik dengan
BECs.
Saran
Untuk penelitian berikutnya disarankan untuk menganalisis solusi umum
NLS kuintik dengan variasi � − nya , dan menganalisis keterkaitan antara
persamaan NLS kuintik di atas dengan aplikasi yang ada serta menganalisis
potensialnya dan faktor nonlinieritasnya, karena pada penelitian ini hal-hal tersebut
belum menjadi tujuan penelitian.
19
DAFTAR PUSTAKA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Xia Y, Belić M, Zhong W,” Spatial Solitons in Nonlinear Schroedinger
Equation with Variable Nonlinearity and Quadratic External Potential.”
Acta Physica Polonica B. 8:1881-1890, 2011.
Prayitno T.B., “Karakteristik Soliton pada Persamaan Schroedinger
Nonlinear.” Fisika UIN, Jakarta,2013.
Kholil M., “Solusi Persamaan Schroedinger Nonlinier untuk
Mendeskripsikan Soliton dari Perambatan Pulsa Optik dalam Medium
Dispersif Nonlinier.” Fisika UNM, Malang, 2004.
Alatas H., “Buku Pelengkap: Dinamika Nonlinier Edisi 1.” Fisika IPB,
Bogor, 2013.
Rajaraman R., ”solitons and Instantons.” Elsevier Science Publisher B. V,
Amsterdam, Netherland, 1989.
Iskandar A.A., “Catatan Kuliah: Pengantar Fisika Nonlinier.” Fisika ITB,
Bandung, 2003.
Agrawal G.P., “Applications of Nonlinear Fiber Optics.” Elsevier Inc.,
California, USA, 2008.
Leble S. and Reichel B., “Coupled Nonlinear Schroedinger Equations in
Optics Fiber Theory.” Eur. Phys. J. Special Topics. 173:5-55, 2009.
Alatas H. And Hermanudin D.,”Semi-discrete DNA Breather in PeyrardBishop-Dauxois Model with Fifth-order-approcximation Morse Potential.”
Elsevier Inc., Indonesian, 2012.
20
LAMPIRAN
Transformasi similaritas
Persamaan NLS kuintik dapat dilihat pada Persamaan (31).
�
��
��
� �
+
��
+ � �, � |�| � +
�, � � =
(31)
Transformasi similaritas dapat dilihat pada Persamaan (32).
�� �,�
� �, � = � �, �
[� �, � ]
(32)
Substitusi Persamaan (32) ke Persamaan (31) dengan syarat bagian imajiner
dan bagian real masing-masing sama dengan nol.
1. Bagian �
�
�
�
��
��
��
��
��
��
=�
��
��
��
��
�� ��
�� ��
= �(��
=
��
�� ��
�� ��
+
+ ����
�� + �
��
�� ��
=
+
�� �� ��
(33)
�� �� ��
��
� ��
��
+�
� �� )
(34)
]
+ ���
(35)
� �
�� ��
= ��
� �
��
�� [�
=
2. Bagian
��
��
+
��
�
��
�� ��
�� ��
+
+ ����
��
(��
�� �� ��
(36)
�� �� ��
��
+�
+ ����
��
��
� ��
+�
(37)
��
� �� )
(38)
Maka akann diperoleh Persamaan (39) sampai (41).
�
��
�
��
(��
(����
����
�
��
�
��
��
��
(�
) = (���
��
� �� )
��
� ��� )
��
) = (��� ��
� �� )
= (��
��
+ ��� ��
��
��
+ �����
� ��
+ ���
+�
��
��
��
� �� )
− � ��
� ��
+�
��
(39)
��
��
+
��
(40)
+
(41)
21
3. Bagian � �, � |�| �
� �, � |�| � = �|�
��
� �, � |�| � = ��
��
� �, � |�| � = � �
| �
�
��
(42)
��
(43)
(44)
4. Bagian � �, � �
�, � � = �
��
(45)
Dari persamaan-persamaan di atas dan dengan mengubah
�
menjadi
��
��
,
serta memisahkan bagian imajiner dan bagian real-nya, maka Persamaan (31) akan
menjadi seperti berikut.
i.
Bagian Imajiner
�� + �
+ �� �� + ���� + ���
�
Lalu pisahkan bagian U dan
�:
��
��
�
=
(46)
Dari bagian U akan diperoleh Persamaan (48).
�� + �� �� + ���� =
�
�
+ � ��
Dari bagian
�
� + ��� �� =
�
�
�
(47)
=
(48)
akan diperoleh Persamaan (50).
(49)
�
�� = − ��
(50)
�
ii.
Bagian real
−��� + ���
+ ��
��
��
�
− ���
+ �
�� ��
+ �
���
� �
�
+ ��
+ � =
(51)
Untuk memecahakan Persamaan (51), cari terlebih dahulu nilai eigen untuk
�� .
22
Persamaan NLS standar ditulis seperti Persamaan (52).
�
�
Jika
+
��
=
��
=−
+ | |
�
−� �
=
(52)
, maka nilai
��
−
ditunjukkan oleh Persamaan (53).
(53)
Substitusi Persamaan (53) ke Persamaan (51), maka akan diperoleh
Persamaan (54).
−��� + ���
�
+ ��
=
��
��
�
− ���
+
−
−
5
��� + �
���
� �
�
Lalu, pisahkan bagian dari Persamaan (54) yang mengandung
Dari bagian
��
��
��
�
�
akan diperoleh Persamaan (57)
���
� �
�
+ �
�� �� + ���� =
� ��
�
=
=
+ ��
�,
dan
+
(54)
.
(55)
(56)
(57)
Dari bagian U akan diperoleh Persamaan (59).
−��� + ��� − ��� − ��� + � =
= �� −
���
�
(58)
+ �� + ��
(59)
=
(60)
Dari bagian U5 akan diperoleh persamaan (61).
− ��� + ��
�� = ��
(61)
23
RIWAYAT HIDUP
Lahir di Cianjur tepat di kaki gunung
Gede pada tanggal 19 Desember 1992 tidaklah
menjadikan penulis_Habib Muhammad Zapar
Sidiq_telah memiliki hobi naik gunung sejak
kecil. Sekurang-kurangnya ada 6 tempat
bersejarah yang pernah diukir oleh penulis
yaitu SDN Jambudipa 3, DTA Darul Falah,
SMPN 1 Warungkondang, SMAN 2 Cianjur,
Pondok Pesantren Darul Falah dan Institut
Pertanian Bogor.
Penulis adalah anak pertama dari
delapan bersaudara dari pasangan Alwi Yahya dan Ela Nuraliyah.
Penulis pernah membuat kutipan tak penting saat akhir SMA “tancapkanlah
mimpi setinggi langit lalu raihlah dengan cara tersulit”.
Saat ini penulis aktif di Majelis Syuro Darul Falah. Penulis dapat di hubungi
di [email protected].
DENGAN KOEFISIEN BERGANTUNG VARIABEL
BERDASARKAN TRANSFORMASI SIMILARITAS
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Persamaan
Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan
Transformasi Similaritas adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Habib Muhammad Zapar Sidiq
NIM G74110017
ABSTRAK
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ. Solusi Persamaan Schrodinger
Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan
Transformasi Similaritas. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS.
Persamaan Schrodinger Nonlinier (NLS) merupakan salah satu persamaan
yang paling banyak muncul dalam cabang-cabang fisika, diantaranya seperti Optik
Nonlinier, Fisika Nuklir dan Bose-Einstein Kondensat (BECs). Maka dari itu,
pengembangan persamaan ini akan sangat berguna untuk menambah
pembendaharaan pengetahuan. Penelitian ini bertujuan untuk menemukan solusi
persamaan NLS kuintik dengan menggunakan metode transformasi similaritas.
Solusi yang didapat akan menambah pembendaharaan pengetahuan khususnya
untuk menejemen soliton.
Kata kunci : Kuintik, menejemen soliton, NLS, transformasi similaritas
ABSTRACT
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ. Solution of Nonlinear Schroedinger
(NLS) Quintic Equation with Coefficient Depend a Variable Building on The
Similarity Transformation. Supervised by HUSIN ALATAS.
Nonlinear Schroedinger (NLS) equation is one of more equations what often
appear in many branches of physics, like NL optics, nuclear physics, and BoseEinstein condensates(BECs). So, development of this equation will more useful for
increase knowledge properties. This research intent on find solution of NLS quintic
equation by use of similarity transformation. The solution what we found will
increase knowledge properties especially on soliton management.
Keywords: NLS, quintic , similarity transformation, soliton management
SOLUSI PERSAMAAN SCHROEDINGER NONLINIER KUINTIK
DENGAN KOEFISIEN BERGANTUNG VARIABEL
BERDASARKAN TRANSFORMASI SIMILARITAS
HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga skripsi penulis yang berjudul “Solusi Persamaan Schroedinger
Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan
Transformasi Similaritas” ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam semoga
tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW. skripsi ini dibuat untuk memenuhi
salah satu syarat mendapatkan gelar sarjana di departemen Fisika IPB.
Penulis selalu percaya bahwa dalam setiap kejadian apapun yang terjadi,
maka pastilah selalu ada campur tangan-Nya, termasuk mengapa topik ini yang
akhirnya menjadi topik penelitian penulis. Walapun sebenarnya bidang matematika
bukanlah bidang yang sangat penulis kuasai, namun cukup kiranya rasa takjub
terhadap matematika yang konon rumit tapi indah itu membuat penulis
memberanikan diri untuk mulai menyelaminya lagi setelah beberapa kali benci
dengan ilmu yang satu ini.
Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Dr. Husin Alatas sebagai guru, dosen dan pembimbing yang telah banyak
memberikan bimbingan, motivasi, saran dan inspirasi yang luar biasa bagi
penulis.
2. Kepala Departemen Fisika IPB Bapak Dr. Akhiruddin, seluruh dosen pengajar
khususnya pak Drs. Indro, staf khususnya pak Yani dan karyawan di Departemen
Fisika FMIPA IPB yang telah memberikan nuansa kekeluargaan selama penulis
di Departemen Fisika IPB.
3. Kedua orang tua tercinta Abah dan Mamah atas semua yang telah diberikan pada
penulis, terutama cinta yang begitu tulusnya, serta untuk ke-7 orang adik penulis,
Muhajir, Faqih, Ali, Bagir, Yahya, Nayla dan Nazifah yang telah memberikan
semangatnya setiap kali penulis butuhkan.
4. Keluarga besar Fisika IPB khususnya angkatan 48 yang setelah ini akan sangat
penulis rindukan.
5. Keluarga besar Darul Falah dan Salamul Falah
6. Guru-guru penulis yang mudah-mudahan jasanya yang luar biasa kepada penulis
dibalas oleh Allah SWT.
7. Sahabat-sahabat penulis yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu yang
tentunya telah mewarnai sebagian hidup penulis, tanpanya penulis bukanlah
siapa-siapa.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, maka kritik
dan saran yang membangun sangat penulis harapkan.
Bogor, Juli 2015
Habib MZS
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
Manfaat Penelitian
1
Ruang Lingkup Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
3
Tempat dan Waktu Penelitian
3
Alat
3
Prosedur Penelitian
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Substitusi Transformasi Similaritas
5
Menentukan Variabel-Variabel � �, � , � �, � dan � �, �
6
Potensial V(z,x)
7
Faktor Nonlinieritas g(z,x)
8
Analisis
8
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
Diagram alur transformasi similaritas
Grafik intensitas soliton untuk n=1 dan � =
Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=1 dan � = �
4 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-1 dan � = �
5 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=2 dan � = �
6 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-2 dan � = �
7 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=3 dan � = �
8 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-3 dan � = �
9 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=4 dan � = �
10 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-4 dan � = �
5
9
10
11
12
13
14
15
16
17
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Persamaan Schrodinger nonlinier (NLS) merupakan salah satu model
persamaan yang sangat penting. Persamaan ini muncul dalam banyak cabang fisika
seperti Optik Nonlinier, Fisika Nuklir dan Bose-Einstein Kondensat (BECs). Dalam
Optik Nonlinier, persamaan NLS menggambarkan perambatan pulsa pada fiber
optik. Pada BECs, NLS menggambarkan kondensasi fungsi gelombang.1 Namun
sifatnya yang nonlinier menyebabkan solusi persamaan ini menjadi sulit untuk
didapatkan, salah satunya kerena solusi persamaan NLS tersebut tidak prinsip
superposisi linier. Ada hal menarik dari sifat solusinya, yaitu kestabilan yang sangat
tinggi. Solusi inilah yang akhirnya dikenal sebagai solusi soliton.2
Transformasi similaritas merupakan salah satu metode yang baik dalam
memecahkan solusi persamaan NLS, khususnya di bidang Optik Nonlinier. W.P.
Zhong dkk.1 telah menggunakannya untuk memecahkan lebih dari satu persamaan
NLS di bidang optik.
Di dalam penelitian ini, penulis meneliti tentang “Solusi Persamaan
Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel
Menggunakan Transformasi Similaritas”, yang pada akhirnya dapat digunakan
untuk menggambarkan berbagai jenis aplikasi fisika dan menambah
perbendaharaan pengetahuan di bidang NLS.
Perumusan Masalah
Berbekal latar belakang di atas, penelitian ini memiliki perumusan masalah:
Bagaimana cara memodifikasi persamaan NLS kuintik yang koefisiennya
bergantung variabel menggunakan transformasi similaritas? Hal apakah yang dapat
disimpulkan dari solusi yang didapat?
Tujuan Penelitian
Menentukan solusi persamaan NLS kuintik yang koefisiennya bergantung
variabel dengan menggunakan transformasi similaritas.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah mendapatkan solusi NLS kuintik yang
dapat menjadi perbendaharaan pengetahuan untuk menejemen soliton atau
dinamika lainnya yang identik dengan persamaan NLS kuintik.
Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini melingkupi penurunan persamaan NLS kuintik guna
mendapatkan solusi eksak secara matematis menggunakan metode similaritas dan
menganilisis hal-hal unik dari solusi yang didapat.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan NLS
Ada beberapa bentuk persamaan NLS yang telah dirumuskan oleh para
pendahulu. 3,4,5,6,7,8 Salah satu persamaannya adalah persamaan NLS kuadratik yang
ditunjukkan oleh Persamaan (1).1
�
��
��
� �
+
��
+ � �, � |�| � +
�, � � =
(1)
dengan � �, � ) merupakan fungsi gelombang optik, � merupakan dimensi
koordinat sepanjang arah perambatan dan � merupakan variabel spasial melintang.
Fungsi � �, � merupakan sebuah koefisien variabel nonlinier dan
�, �
merupakan potensial eksternal dari persamaan NLS.
Transformasi Similaritas
Transformasi similaritas merupakan metode matematis yang digunakan
untuk mengubah suatu persamaan yang bergantung pada variabel bebas menjadi
persamaan yang bergantung variabel tak bebas.1,5
Mengacu dari Daftar Pustaka 1, transformasi similaritas untuk memecahkan
persamaan NLS kuadratik ditunjukkan oleh Persamaan (2).
� �, � = � �, �
�� �,�
[� �, � ]
(2)
dengan � �, � merupakan amplitudo soliton dan � �, � merupakan fase real dari
soliton. � merupakan fungsi gelombang pada persamaan NLS standar yang
ditunjukkan oleh Persamaan (3).
�
��
��
+
�
�
� �
��
+ | |
=
(3)
dengan mensubstitusikan Persamaan (2) ke Persamaan (1), maka variabel-variabel
pada Persamaan (2) dan (3) akan didapatkan. Persamaan-persamaan yang
didapatkan itu ditunjukkan oleh Persamaan (4) sampai (8).1
+ � ��
�� = −
� ��
��
��
�
=
�, � = �� +
�
=
(4)
(5)
(6)
���
�
+ �� + ��
(7)
3
�� = ��
(8)
merupakan nilai eigen dari Persamaan (3). Kemudian untuk langkah
analisis selanjutnya bisa dilihat di Daftar Pustaka 1.
Dalam penelitian ini penulis akan menggunakan cara yang hampir sama
dengan penyelesaian persamaan kuadratik yang ada dalam Daftar Pustaka 1 dengan
sedikit modifikasi matematis yang sekiranya diperlukan dalam penyelesaian NLS
kuintik.
Solusi NLS Kuintik Standar
Salah satu bentuk persamaan dan solusi NLS kuintik standar ditunjukkan
oleh Persamaan (9), (10), (11) dan (12).9
�
�
��
+�
�
�
[ , �] =
=
=
�� − �� ��
+ | |
4
�
� �
�
−�� �
=
(9)
√sec� √
− �� �
(10)
(11)
�
(12)
�
dengan �� dan �� adalah parameter konstan.
METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Mulai
bulan Maret 2015 sampai bulan Agustus 2015.
Alat
Alat yang digunakan pada penelitian ini adalah literatur dan komputer yang
dilengkapi software Maple 13 untuk simulasi hasil penurunan analitik.
Prosedur Penelitian
Studi Pustaka
Studi pustaka dilakukan terlebih dahulu secara mendalam tentang hal-hal
yang berhubungan dengan penelitian ini yaitu persamaan diferensial parsial
4
nonlinier, persamaan Schrodinger nonlinier dan transformasi similaritas. Studi
pustaka ini dilakukan sepanjang penelitian berlangsung.
Substitusi Transformasi Similaritas
Prosedur ini dilakukan untuk mendapatkan hubungan antara variabel bebas
dan variabel tak bebas. Tujuannya adalah untuk mendefinisikan variabel-variabel
tak bebas yang ada di solusi similaritas terhadap variabel bebas.
Variabel bebas yang kita miliki adalah � �� � yang merupakan ruang
spasial. Pada penelitian ini untuk sementara tidak akan didefinisikan variabel bebas
� �� � secara fisis. Pada penurunan persamaan ini kita secara murni akan
menggunakan metode-metode matematis untuk mendapatkan solusi yang bersifat
umum.
Variabel tak bebas yang terdapat dalam penelitian ini adalah � �, � yang
merupakan bentuk solusi NLS kuintik, � �, � merupakan variabel yang
menyebabkan persamaan ini berbentuk nonlinier (faktor nonlinearitas), �, �
merupakan potensial eksternal pada NLS kuintik, [� �, � ] merupakan solusi
NLS kuintik standar yang solusinya telah didapatkan oleh peneliti sebelumnya dan
� �, � , � �, � , � �, � merupakan variabel-variabel yang berhubungan dengan
persamaan NLS kuintik standar.
Alur dari metode transformasi similaritas dapat dilihat pada Gambar 1.
Persamaan transformasi similaritas disubstitusikan ke persamaan NLS. Hasil dari
substitusi tersebut adalah persamaan-persamaan implisit dari variabel-variabel tak
bebasnya. Dengan menurunkan persamaan-persamaan ini, maka akan didapatkan
solusi dari NLS.
Analisis
Solusi dari sebuah persamaan yang berbentuk nonlinier pastilah sangat
banyak sekali. Oleh karena itu, dalam hal menganalisis solusi yang didapat, pada
penelitian ini terbatas hanya menganalisis salah satu solusi yang unik dari solusi
umum yang telah didapatkan pada prosedur sebelumnya. Prosedur ini juga dibantu
oleh software Maple 13 untuk membuat grafik-grafik yang dapat menggambarkan
dinamika solusi yang akan dianalisis. Tujuan akhir dari prosedur ini adalah
mendapatkan suatu gambaran salah satu dinamika yang unik dari solusi persamaan
NLS kuintik. Selain itu akan di-analisis pula pengaruh potensial dan faktor
nonlinieritas terhadap solusi. Lalu setelah itu, akan dicari fenomena fisika apakah
yang identik dengan solusi dinamika yang didapatkan.
5
Gambar 1 Diagram alur transformasi similaritas
HASIL DAN PEMBAHASAN
Substitusi Transformasi Similaritas
Bentuk dari transformasi similaritas yang akan digunakan dapat dilihat pada
Persamaan (3), sedangkan persamaan NLS kuintik yang akan dicari solusinya
dengan menggunakan transformasi similaritas diperlihatkan oleh Persamaan (13).
�
��
��
+
� �
��
+ � �, � |�| � +
�, � � =
(13)
Langkah pertama dari metode transformasi similaritas yaitu
mensubstitusikan Persamaan (3) ke Persamaan (13).
Dengan mentaati aturan-aturan matematika, khususnya bidang kalkulus
persamaan diferensial parsial maka akan diperoleh persamaan-persamaan implisit
dari � �, � , � �, � dan � �, � . Selain itu akan diperoleh pula persamaan
potensial dan faktor nonlinieritasnya. Persamaan-persamaan yang didapatkan dari
hasil substitusi Persamaan (3) ke Persamaan (13) ternyata sama dengan hasil yang
didapatkan dalam kasus NLS kubik yaitu Persamaan (4) sampai (7), sedangkan
untuk Persamaan (8)-nya menjadi seperti Persamaan (14). Penurunan lebih
lengkapnya dapat di lihat pada Lampiran (Persamaan (31) sampai (61)):
6
�� = ��
(14)
Pada Persamaan (7), merupakan nilai eigen dari persamaan NLS kuintik
standar yang bentuknya seperti Persamaan (15).
�
��
��
� �
+
��
+ | |
=
(15)
Solusi dari Persamaan (15) telah ditemukan oleh para peneliti seperti yang
ditunjukkan oleh Persamaan (9) sampai (12). Dengan membandingkan Persamaan
(9) dengan Persamaan (15) maka kita akan mendapatkan solusi untuk Persamaan
(15) seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (16).
� −� �
� �, � , � =
dan
dengan
4
�� �−� �
√sec� √
−
�−
�
(16)
merupakan parameter yang nilainya konstan.
Menentukan Variabel-Variabel � �, � , � �, � dan � �, �
Dari Persamaan (6) akan diketahui bahwa nilai dari � �� adalah fungsi dari
� karena turunan terhadap variabel x-nya adalah nol. Dengan menetapkan fungsi
tersebut sebagai � (z), maka Persamaan (6) akan menjadi Persamaan (17).
�
� =�
(17)
�
Lalu substitusi Persamaan (5) dan (17) ke Persamaan (4) akan menghasilkan
Persamaan (18) sampai (21).
��� �� +�� ���
��
��� �� +�� ���
��
−��� =
��
�� �
=
��
�
��
�
=
��
�
= −���
(18)
(19)
(20)
(21)
Langkah selanjutnya adalah memecahkan Persamaan (21) untuk
mendapatkan nilai dari � �, � dan � �, � .
Dengan mengintegralkan Persamaan (21), akan diperoleh Persamaan (22).
��
��
=
��
�
�+
(22)
7
Misalkan � �, � seperti Persamaan (23).
� �, � = �� � �
(23)
dengan � ∈ �. Maka dengan mensubstitusikan Persamaan (23) ke Persamaan (22)
akan diperoleh Persamaan (24) dan (25).
=
(24)
�� = −
��
�
�
(25)
Lalu jika Persamaan (25) di-integralkan, maka akan diperoleh Persamaan
(26):
�=−
��
�
� +�
(26)
dengan � merupakan konstanta real.
Selanjutnya adalah mencari nilai � �, � dengan cara mensubstitusikan
Persamaan (23) ke Persamaan (17), maka akan diperoleh Persamaan (27).
�=
√�
�
−
�
�
−
�
(27)
Sejauh ini telah diperoleh nilai � �, � , � �, � dan � �, � dan secara tidak
langsung telah diperoleh pula solusi umum dari persamaan NLS kuintik. Dengan
mensubstitusikan Persamaan (16), (26) dan (27) ke Persamaan (13), maka akan
diperoleh solusi umum dari persamaan NLS kuintik yaitu seperti yang ditunjukkan
oleh Persamaan (28).
� �, � =
�
�
√
�
−
�
�
−
−�
��
�
�
−�
(� −� � ) 4
�� �� � � −� �
√sec� √
−
�� � � −
�
(28)
Potensial V(z,x)
Dengan mensubstitusi Persamaan (23), (26) dan (27) ke Persamaan (7) maka
akan didapatkan nilai �, � seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (29).
= � (
��
�
−
���
�
)+
( −� )
8�
+�
� ��
�−
(29)
8
Faktor Nonlinieritas g(z,x)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (23) dan (27) ke Persamaan (14) maka
akan diperoleh faktor nonlinieritas yang harus dipenuhi oleh persamaan NLS
kuintik ini seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (30).
�=�
�
�+
�
�−
(30)
Analisis
Pada penelitian ini telah diperoleh solusi persamaan NLS kuintik yang
ditunjukkan oleh Persamaan (28). Potensial dan faktor nonlinieritas yang harus
dipenuhi ditunjukan oleh Persamaan (29) dan Persamaan (30). Dengan ketiga
persamaan tersebut, dapat di-analisis berbagai dinamika yang mungkin terjadi.
Persamaan diferensial nonlinier berbeda dengan persamaan diferensial
linier. Persamaan diferensial nonlinier memiliki solusi yang sangat banyak seperti
yang kita lihat pada Persamaan (28), dengan memilih harga n � ∈ ℝ yang
berbeda, akan diperoleh berbagai macam solusi yang berbeda.
Dalam bagian analisis ini akan diturunkan beberapa persamaan khusus dari
Persamaan (28) untuk melihat beberapa fenomena nonlinier, khususnya tentang
soliton, karena tak dapat dipungkiri pada penelitian-penelitian sebelumnya terlihat
jelas bahwa persamaan NLS cenderung berhubungan erat dengan dinamika soliton.
1,2,3,5,9
Solusi persamaan NLS dipengaruhi oleh potensial dan faktor
nonlinieritasnya. Adapun untuk kasus NLS kuintik pada penelitian ini, akan dianalisis beberapa solusi khusus berdasarkan indeks n-nya. Konstanta-konstanta
yang terdapat pada solusi umum ditentukan sedemikian rupa sehingga
=
, = , � = � �� � = untuk mempermudah penurunan solusi khususnya.
Adapun grafik dari beberapa solusi khusus tersebut dapat dilihat pada Gambar 2
sampai Gambar 10. Dari grafik-grafik tersebut akan di-analisis pengaruh dari
potensial dan faktor nonlinieritas terhadap solusi.
Jika dibandingkan Gambar 3 sampai Gambar 10, akan terlihat bahwa hanya
ada satu jenis potensial yaitu potensial kuadratik di sekitar z=0. Sedangkan pada
Gambar 2 potensialnya adalah nol. Ada perbedaan yang menonjol antara solusi
yang tidak dipengaruhi potensial (potensialnya nol) dengan solusi yang dipengaruhi
potensial. Perbedaannya adalah solusi yang tidak dipengaruhi potensial merambat
ke berbagai arah sedangkan solusi yang dipengaruhi potensial cenderung berada di
sekitar potensial tersebut. Kita dapat menyatakan bahwa potensial ini seperti
mengikat solusi untuk berada di sekitarnya.
Selanjutnya adalah analisis faktor nonlinieritasnya. Gambar 3, Gambar 5,
Gambar 7 dan Gambar 9 memperlihatkan jenis faktor nonlinieritas yang nilai
mutlaknya semakin besar seiring menjauhi titik (z=0,x=0). Solusi yang dihasilkan
dari jenis nonlinieritas seperti ini adalah solusi yang terlokalisasi di sekitar titik
(0,0) atau dapat disebut juga soliton. Sedangkan Gambar 4, Gambar 6, Gambar 8
dan Gambar 10 memperlihatkan jenis nonlinieritas yang terlokalisasi di sekitar titik
(0,0). Solusi yang dihasilkan dari jenis nonlinieritas seperti ini adalah solusi yang
9
tidak terlokalisasi. Maka, dapat disimpulkan bahwa faktor nonlinieritas
berpengaruh pada terlokalisasi atau tidaknya solusi.
Gambar 2 Grafik intensitas soliton untuk n=1 dan � =
10
(a)
(b)
(c)
Gambar 3 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=1 dan � = �
11
(a)
|�|
(b)
(c)
Gambar 4 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-1 dan � = �
12
(a)
(b)
(c)
Gambar 5 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=2 dan � = �
13
(a)
(b)
(c)
Gambar 6 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-2 dan � = �
14
(a)
(b)
(c)
Gambar 7 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=3 dan � = �
15
(a)
(b)
(c)
Gambar 8 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=-3 dan � = �
16
(a)
(b)
(c)
Gambar 9 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk
n=4 dan � = �
17
(a)
(b)
(c)
Gambar 10 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas
untuk n=-4 dan � = �
18
Selain pengaruh potensial dan faktor nonlinieritas terhadap solusi, grafikgrafik pada Gambar 2 sampai Gambar 10 juga dapat memperlihatkan jenis soliton
yang terdapat pada persamaan NLS kuintik. Untuk � = , soliton yang dihasilkan
adalah jenis soliton yang identik dengan kasus soliton optik. Sedangkan untuk � >
, soliton yang dihasilkan identik sengan kasus Bose-Einstein Condensate (BECs).
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pada penelitian ini telah didapatkan solusi umum untuk persamaan NLS
kuintik dengan koefisien bergantung variabel menggunakan metode transformasi
similaritas yaitu:
� �, �
=
√�
�
�
−
�
�
−
−�
−
��
� −�
�
4
�� �� � � −� �
Selain itu, untuk mendapatkan
potensialnya memenuhi:
= � (
��
�
−
���
�
)+
( −� )
8�
+�
dan faktor nonlinieritasnya sebesar:
�=�
�
�+
�
√sec� √
−
�� � � −
�
solusi di atas, maka harus dipastikan
� ��
�−
�−
Potensial mengikat solusi untuk berada di sekitarnya, sedangkan faktor
nonlinieritas melokalisasi solusi.
Untuk � = identik dengan soliton optik dan untuk � > identik dengan
BECs.
Saran
Untuk penelitian berikutnya disarankan untuk menganalisis solusi umum
NLS kuintik dengan variasi � − nya , dan menganalisis keterkaitan antara
persamaan NLS kuintik di atas dengan aplikasi yang ada serta menganalisis
potensialnya dan faktor nonlinieritasnya, karena pada penelitian ini hal-hal tersebut
belum menjadi tujuan penelitian.
19
DAFTAR PUSTAKA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Xia Y, Belić M, Zhong W,” Spatial Solitons in Nonlinear Schroedinger
Equation with Variable Nonlinearity and Quadratic External Potential.”
Acta Physica Polonica B. 8:1881-1890, 2011.
Prayitno T.B., “Karakteristik Soliton pada Persamaan Schroedinger
Nonlinear.” Fisika UIN, Jakarta,2013.
Kholil M., “Solusi Persamaan Schroedinger Nonlinier untuk
Mendeskripsikan Soliton dari Perambatan Pulsa Optik dalam Medium
Dispersif Nonlinier.” Fisika UNM, Malang, 2004.
Alatas H., “Buku Pelengkap: Dinamika Nonlinier Edisi 1.” Fisika IPB,
Bogor, 2013.
Rajaraman R., ”solitons and Instantons.” Elsevier Science Publisher B. V,
Amsterdam, Netherland, 1989.
Iskandar A.A., “Catatan Kuliah: Pengantar Fisika Nonlinier.” Fisika ITB,
Bandung, 2003.
Agrawal G.P., “Applications of Nonlinear Fiber Optics.” Elsevier Inc.,
California, USA, 2008.
Leble S. and Reichel B., “Coupled Nonlinear Schroedinger Equations in
Optics Fiber Theory.” Eur. Phys. J. Special Topics. 173:5-55, 2009.
Alatas H. And Hermanudin D.,”Semi-discrete DNA Breather in PeyrardBishop-Dauxois Model with Fifth-order-approcximation Morse Potential.”
Elsevier Inc., Indonesian, 2012.
20
LAMPIRAN
Transformasi similaritas
Persamaan NLS kuintik dapat dilihat pada Persamaan (31).
�
��
��
� �
+
��
+ � �, � |�| � +
�, � � =
(31)
Transformasi similaritas dapat dilihat pada Persamaan (32).
�� �,�
� �, � = � �, �
[� �, � ]
(32)
Substitusi Persamaan (32) ke Persamaan (31) dengan syarat bagian imajiner
dan bagian real masing-masing sama dengan nol.
1. Bagian �
�
�
�
��
��
��
��
��
��
=�
��
��
��
��
�� ��
�� ��
= �(��
=
��
�� ��
�� ��
+
+ ����
�� + �
��
�� ��
=
+
�� �� ��
(33)
�� �� ��
��
� ��
��
+�
� �� )
(34)
]
+ ���
(35)
� �
�� ��
= ��
� �
��
�� [�
=
2. Bagian
��
��
+
��
�
��
�� ��
�� ��
+
+ ����
��
(��
�� �� ��
(36)
�� �� ��
��
+�
+ ����
��
��
� ��
+�
(37)
��
� �� )
(38)
Maka akann diperoleh Persamaan (39) sampai (41).
�
��
�
��
(��
(����
����
�
��
�
��
��
��
(�
) = (���
��
� �� )
��
� ��� )
��
) = (��� ��
� �� )
= (��
��
+ ��� ��
��
��
+ �����
� ��
+ ���
+�
��
��
��
� �� )
− � ��
� ��
+�
��
(39)
��
��
+
��
(40)
+
(41)
21
3. Bagian � �, � |�| �
� �, � |�| � = �|�
��
� �, � |�| � = ��
��
� �, � |�| � = � �
| �
�
��
(42)
��
(43)
(44)
4. Bagian � �, � �
�, � � = �
��
(45)
Dari persamaan-persamaan di atas dan dengan mengubah
�
menjadi
��
��
,
serta memisahkan bagian imajiner dan bagian real-nya, maka Persamaan (31) akan
menjadi seperti berikut.
i.
Bagian Imajiner
�� + �
+ �� �� + ���� + ���
�
Lalu pisahkan bagian U dan
�:
��
��
�
=
(46)
Dari bagian U akan diperoleh Persamaan (48).
�� + �� �� + ���� =
�
�
+ � ��
Dari bagian
�
� + ��� �� =
�
�
�
(47)
=
(48)
akan diperoleh Persamaan (50).
(49)
�
�� = − ��
(50)
�
ii.
Bagian real
−��� + ���
+ ��
��
��
�
− ���
+ �
�� ��
+ �
���
� �
�
+ ��
+ � =
(51)
Untuk memecahakan Persamaan (51), cari terlebih dahulu nilai eigen untuk
�� .
22
Persamaan NLS standar ditulis seperti Persamaan (52).
�
�
Jika
+
��
=
��
=−
+ | |
�
−� �
=
(52)
, maka nilai
��
−
ditunjukkan oleh Persamaan (53).
(53)
Substitusi Persamaan (53) ke Persamaan (51), maka akan diperoleh
Persamaan (54).
−��� + ���
�
+ ��
=
��
��
�
− ���
+
−
−
5
��� + �
���
� �
�
Lalu, pisahkan bagian dari Persamaan (54) yang mengandung
Dari bagian
��
��
��
�
�
akan diperoleh Persamaan (57)
���
� �
�
+ �
�� �� + ���� =
� ��
�
=
=
+ ��
�,
dan
+
(54)
.
(55)
(56)
(57)
Dari bagian U akan diperoleh Persamaan (59).
−��� + ��� − ��� − ��� + � =
= �� −
���
�
(58)
+ �� + ��
(59)
=
(60)
Dari bagian U5 akan diperoleh persamaan (61).
− ��� + ��
�� = ��
(61)
23
RIWAYAT HIDUP
Lahir di Cianjur tepat di kaki gunung
Gede pada tanggal 19 Desember 1992 tidaklah
menjadikan penulis_Habib Muhammad Zapar
Sidiq_telah memiliki hobi naik gunung sejak
kecil. Sekurang-kurangnya ada 6 tempat
bersejarah yang pernah diukir oleh penulis
yaitu SDN Jambudipa 3, DTA Darul Falah,
SMPN 1 Warungkondang, SMAN 2 Cianjur,
Pondok Pesantren Darul Falah dan Institut
Pertanian Bogor.
Penulis adalah anak pertama dari
delapan bersaudara dari pasangan Alwi Yahya dan Ela Nuraliyah.
Penulis pernah membuat kutipan tak penting saat akhir SMA “tancapkanlah
mimpi setinggi langit lalu raihlah dengan cara tersulit”.
Saat ini penulis aktif di Majelis Syuro Darul Falah. Penulis dapat di hubungi
di [email protected].