Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta
SOLUSI SEMI ANALITIK PERSAMAAN SCHRöDINGER
DARI OSILATOR HARMONIK DAN ANHARMONIK YANG
DIPENGARUHI POTENSIAL DELTA
BIMA MAHA PUTRA
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Semi Analitik
Persamaan Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang
Dipengaruhi Potensial Delta adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2014
Bima Maha Putra
NIM G74100015
ABSTRAK
BIMA MAHA PUTRA. Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari
Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta.
Dibimbing oleh TONY IBNU SUMARYADA dan SIDIKRUBADI
PRAMUDITO.
Dalam penelitian ini akan dibuat pemodelan sederhana perubahan partikel
dari BCS ke BEC dalam dimensi ruang. Penjelasan perubahan partikel dari BCS
ke BEC akan dimodelkan pada osilator harmonik ataupun osilator anharmonik
yang dipengaruhi potensial delta dan konstanta pasangan (g) sehingga proses
perubahan partikel dapat dikaji di dimensi ruang. Tujuan dari penelitian ini adalah
mengkaji perubahan fungsi eigen dan nilai eigen dari osilator harmonik dan
osilator anharmonik akibat pengaruhi potensial delta pada beberapa nilai g. Hasil
yang didapat adalah pada keadaan dasar, kenaikan nilai g akan membuat fungsi
eigennya terlokalisir di titik kesetimbangannya dan nilai eigennya turun. Pada
tingkat energi yang lain, kenaikan nilai g akan mengubah fungsi eigennya dan
menurunkan nilai eigennya sampai ke suatu titik saturasinya dengan pengecualian
fungsi eigen osilator harmonik di tingkat ganjil. Selain itu pada osilator
anharmonik, penggunaan g diatas nilai tertentu dapat memunculkan nilai eigen
dan fungsi eigen yang baru.
Kata kunci:
potensial Morse
fungsi eigen, nilai eigen, osilator harmonik, potensial delta,
ABSTRACT
BIMA MAHA PUTRA. Semi-Analytical Solution of Schrödinger Equation of
Harmonic and Anharmonic Oscillator with Influence of Delta Potential.
Supervised by TONY IBNU SUMARYADA and SIDIKRUBADI PRAMUDITO.
In this research a simple modeling will be made for BCS to the BEC
crossover so it can be observed in dimension of space. Explanation of BCS to the
BEC crossover will be modeled on the harmonic oscillator or anharmonik
oscillator which influenced by delta potential and pairing constant (g) so the
particles can be studied in dimensions of space . The purpose of this study is to
observed the changes in the eigenfunctions and eigenvalues of the harmonic
oscillator and the anharmonik oscillator due the influence of delta potensial on
several g values . The results obtained in the ground state are the increase in the g
values will make the eigenfunction localized at the point of equilibrium and it’s
eigenvalues will drop. In other energy levels , increase in the g values will drop
the eigenfunctions and eigenvalues to a saturation point with exception at odd
level of the harmonic oscillator eigenfunction. Futhermore, in anharmonic
oscillator, usage of g over a certain values can bring new eigenvalues and
eigenfunctions.
Keywords : delta potential, eigenfunctions, eigenvalues, harmonic oscillator,
Morse potential
SOLUSI SEMI ANALITIK PERSAMAAN SCHRöDINGER
DARI OSILATOR HARMONIK DAN ANHARMONIK YANG
DIPENGARUHI POTENSIAL DELTA
BIMA MAHA PUTRA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari Osilator
Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta
Nama
: Bima Maha Putra
NIM
: G74100015
Disetujui oleh
Dr Tony Ibnu Sumaryada
Pembimbing I
Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu
Ketua Departemen
Disetujui tanggal :
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan pada Allah SWT yang telah
memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat
menyelesaikan penelitian dengan judul “Solusi Semi Analitik Persamaan
Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial
Delta” sebagai salah satu syarat kelulusan program sarjana di Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telah
membantu pnulis dalam menyelesaikan usulan penelitian ini. Pihak-pihak tersebut
adalah:
1. Bapak Dr Tony Ibnu Sumaryada dan Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
selaku pembimbing skripsi yang telah membantu penulis dalam
mendalami materi penelitian yang dikerjakan penulis,
2. Segenap staf pengajar, tata usaha dan staf laboratorium di Departemen
Fisika IPB yang telah banyak membantu selama masa perkuliahan dan
menjadi teman curhat penulis selama penulisan penelitian ini,
3. Kedua orang tua, kakak, dan semua keluarga besar yang selalu
memberikan doa, nasehat, semangat, motivasi, dan logistik kepada penulis,
4. Kepada Anggi, Nofi, Lutfi, Risya, Rudy, dan pihak lainnya yang tidak
mungkin disebutkan semua atas semangat dan bantuannya selama
penulisan ini,
5. Kepada saudara Nugraha Wanda Sanjaya karena terus mengingatkan dan
menyuruh saya untuk menyelesaikan skripsi saya.
Penulis menyadari bahwa penelitian ini masih tidak sempurna, karena itu,
kritik dan saran dari berbagai pihak sangat diharapkan demi kemajuan penelitian
ini. Penulis berharap penelitian ini dapat membuka jalan baru untuk penelitian
fisika partikel di Indonesia dan di dunia.
Bogor, April 2014
Bima Maha Putra
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR TABEL
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
Perumusan Masalah
1
Hipotesis
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Fungsi Delta Dirac dan Potensial Delta
2
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
2
Osilator Harmonik
3
Osilator Anharmonik dengan Potensial Morse
4
Algoritme Numerov
6
Shooting Method
6
METODE
7
Waktu dan Tempat Penelitian
7
Alat
7
Metode Penelitian
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
10
Penurunan Rumus Persamaan Schödinger yang Dipengaruhi Potensial Delta 10
Grafik Hubungan
dan Energi Vibrasional
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional
KESIMPULAN DAN SARAN
12
15
25
Kesimpulan
25
Saran
26
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
27
RIWAYAT HIDUP
30
DAFTAR GAMBAR
Model partikel:
Energi potensial osilator harmonik
Fungsi eigen dari osilator harmonik keadaan dasar dan tingkat pertama6
Contoh energi potensial Morse
Skematik Shooting Method
Plot g Vs E pada Osilator Harmonik
Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 2.5
Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 5
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 0
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 0
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 2
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5, n = 2
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 2, g =45
Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 2.5g = 10000
Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 5g = 10000
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5
3
4
4
5
7
12
13
14
15
16
16
18
19
19
22
23
23
24
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Harmonik ..................................... 17
Tabel 2 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Anharmonik ................................. 21
Tabel 3 Nilai Energi Numerik dan Analitik pada g ekstrim ............................. 22
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Bose-Einstein condensate (BEC) adalah salah satu kajian dalam gas
kuantum. Atom-atom seperti 1H, 7Li, 23Na, 39K, 41K, 52Cr, 85Rb, 87Rb, 133Cs, 170Yb,
174
Yb, dan 4He* adalah atom-atom yang memiliki karakteristik untuk menjadi
BEC pada suhu dingin yang ekstrim. BEC memiliki keuntungan dalam kajian
kuantum karena sifat-sifat kuantumnya dapat teramati secara mikroskopik. Pada
fermion terdapat teori pasangan Cooper (Cooper Pairing) yang dikembangkan
oleh Bardeen, Cooper, dan Schrieffer (BCS)1 yang pada kondisi tertentu berubah
menjadi BEC. Perubahan partikel dari BCS ke BEC ini dipengaruhi oleh interaksi
antar pasangan pada BCS. Jika interaksi antar pasangan atom pada BCS diperkuat,
maka kedua atom ini akan menjadi molekul BEC yang terikat kuat2.
Selama ini kajian perubahan partikel dari BCS ke BEC terpusat pada
dimensi momentum. Pada penelitian ini, kajian perubahan dari BCS ke BEC akan
dimodelkan secara sederhana pada dimensi ruang satu dimensi. Pasangan atom
dimodelkan sebagai dua atom yang terhubung oleh pegas yang juga dipengaruhi
oleh interaksi antar pasangan atom. Interaksi ini mempengaruhi titik
keseimbangan pada sistem dan dimodelkan sebagai sumur potensial Dirac.
Ikatan antar atom dalam molekul diatomik bersifat elastis yang
mengakibatkan atom-atom penyusunnya tidak berada pada posisi yang tetap
melainkan bervibrasi di sekitar titik kesetimbangan. Model yang digunakan untuk
menjelaskan vibrasi molekul ini adalah osilator harmonik dengan potensial pegas
dan osilator anharmonik dengan potensial Morse. Potensial pegas dipilih karena
dapat memodelkan perilaku molekul diatomik secara sederhana dan banyak
digunakan dalam penelitian awal. Potensial Morse digunakan karena merupakan
model potensial yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku vibrasi suatu
molekul antar atom. Model merupakan pendekatan yang baik untuk struktur
vibrasi dari molekul pada osilator anharmonik kuantum, karena secara eksplisit
mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu
molekul3.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui, membandingkan, dan
menggambar perubahan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem osilator
harmonik dan anharmonik akibat pengaruh perubahan konstanta pasangan
(pairing constant) .
Perumusan Masalah
1.
Perumusan masalah dari penelitian ini adalah:
Bagaimana pengaruh konstanta pasangan (pairing constant) terhadap
perubahan tingkat energi osilator harmonik dan anharmonik?
2
2.
3.
Bagaimana pengaruh konstanta pasangan (pairing constant) terhadap
perubahan fungsi gelombang osilator harmonik dan anharmonik?
Bagaimana perbedaan fungsi gelombang antara gelombang harmonik dan
anharmonik pada tingkat energi rendah dan energi tinggi saat dipengaruhi
konstanta pasangan (pairing constant).
Hipotesis
Semakin besar nilai kontanta pasangan (pairing constant) spektrum energi
dari osilator harmonik dan anharmonik akan semakin rendah sedangkan fungsi
gelombangnya akan semakin terlokalisir.
TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi Delta Dirac dan Potensial Delta
adalah fungsi yang unik, Fungsi ini bernilai
Fungsi delta Dirac
, dan memiliki luas sebesar
nol pada
, menuju tak hingga saat
1. Fungsi ini sangat berguna dalam fisika teori, contohnya pada elektrodinamika
kerapatan muatan pada muatan titik mengikuti fungsi delta4. Fungsi delta Dirac
dapat ditulis5:
{
dengan nilai integral:
(2.1)
(2.2)
∫
Potensial delta adalah potensial yang diturunkan dari fungsi delta Dirac
. Potensial ini bernilai nol di seluruh titik kecuali satu titik. Potensial delta
dapat ditulis:
(2.3)
dengan adalah kontsanta pasangan (pairing constant). Jika potensial merupakan
sumur potensial Dirac, maka bernilai positif.
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
Persamaan Schrödinger bebas waktu dapat ditulis sebagai:
(2.4)
dengan:
:
:
:
:
Konstanta Planck per
Massa partikel
Fungsi gelombang
Energi Potensial
3
:
Tingkat energi dari
Pada model dua partikel yang dihubungkan oleh pegas, massa partikel yang
terlibat diganti dengan massa tereduksi dan adalah distorsi jarak antara dua
(a)
(b)
Gambar 1 Model partikel:
(a) Model partikel berpasangan
(b) Model Partikel Tereduksi
partikel pada panjang ikatan kesetimbangan.
Pada sistem ini, nilai eigen dari persamaan adalah nilai energi vibrasional dua
partikel.
Osilator Harmonik
Osilator harmonik adalah model sederhana dari vibrasi antara dua partikel
yang dihubungkan oleh pegas dengan konstanta . Model ini banyak digunakan
pada fisika klasik seperti pada molekul diatomik. Pada osilator harmonik, energi
potensial dari sistem dirumuskan sebagai.
(2.5)
Sehingga Hamiltoniannya
(2.6)
dengan
√ adalah frekuensi osilasi,
adalah momentum dan adalah nilai
konstanta pegas yang berkaitan4 6 7.
Untuk osilator harmonik dari sistem kuantum energi vibrasionalnya
dirumuskan sebagai :
(2.7)
dengan
(
)
adalah bilangan kuantum vibrasional yang nilainya
.
4
Gambar 2 Energi potensial osilator harmonik8
Fungsi Eigen yang bersesuian dengan nilai eigen dari sistem ini adalah4:
dengan
√
⁄
(√
)
(2.8)
adalah Polinominal Hermit yang dirumuskan9:
Osilator Anharmonik dengan Potensial Morse
(
)
(2.9)
Potensial Morse merupakan model potensial yang digunakan untuk
Gambar 3
Fungsi eigen dari osilator harmonik keadaan dasar dan
tingkat pertama6
menjelaskan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom atau partikel. Model
ini merupakan pendekatan yang baik untuk struktur vibrasi dari molekul pada
osilator anharmonik kuantum, karena secara eksplisit mencakup efek pemutusan
ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu molekul.
Potensial Morse dinyatakan secara empiris oleh P.M. Morse dalam
persamaan10:
5
(2.10)
(
)
dengan
adalah energi disosiasi yang diukur dari posisi kesetimbangan,
adalah posisi keseimbangan molekul, dan
adalah konstanta untuk setiap
molekul tertentu dan dapat dikatakan konstanta untuk menentukan kesempitan
atau kelengkungan dari sumur potensial. Hamiltonian dari sistem ini adalah:
(
(2.11)
)
Energi vibrasional untuk pendekatan osilator anharmonik ini adalah:
dengan
,
(
)
(
(2.12)
)
adalah bilangan kuantum vibrasional yang nilainya
nomor gelombang harmonik vibrasi dan
adalah kontanta
√
anharmonik. dengan
adalah frekuensi. Konstanta anharmonik
nilainya selalu lebih kecil dibandingkan frekuensi osilasi
dan selalu bernilai
positif11. Berbeda dengan osilator harmonik, nilai eigen pada osilator anharmonik
terbatas dengan
dicari dengan membandingkan dengan .
Fungsi Eigen yang bersesuian dengan nilai eigen dari sistem ini adalah13:
dengan
(
)
(
adalah nilai bulat terbesar dari
,
)
,
(
Gambar 4 Contoh energi potensial Morse12
)
(2.13)
adalah konstanta
6
normalisasi yang dirumuskan13:
∑
dan
(2.14)
adalah fungsi Laguerre yang dirumuskan14:
(2.15)
∑
Algoritma Numerov
Dalam fisika, banyak perumusan penting dapat ditulis dalam bentuk
persamaan linier orde kedua:
(2.16)
dengan
adalah ketidak homogenan dan
fungsi real. Saat
positif
maka solusi persamaan homogen akan berosilasi dengan bilangan gelombang
sedangkan saat
negatif solusi akan berubah secara eksponensial dengan laju
. Algoritma Numerov adalah metode simple dan efisien untuk
mengintegralkan persamaan orde kedua dengan tetap berbentuk persamaan (2.16).
Persamaan umum metode Numerov adalah:
(
)
(2.17)
dengan adalah error lokal. Saat
dan
, maka sistem
merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu. Dengan menyederhanakan error
lokal = 0 dan
maka solusi metode numerov untuk
persamaan Schrödinger bebas waktu adalah:
(2.18)
Skema dari Numerov ini lebih efisien dari Runge-Kutta orde 4 karena hanya
memerlukan perhitungan dan juga lebih tinggi satu orde dari Runge-Kutta15.
Shooting Method
Shooting Method adalah analisis numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah nilai batas menggunakan metode iterasi numerik untuk
mencapai nilai yang diinginkan. Prinsip metode shooting adalah pada salah satu
7
titik yang memenuhi syarat batas fungsi integrasi yang sesuai “ditembakan”ke
batas yang lain. Perbedaan hasil yang didapat pada ujung yang lain dengan syarat
batasnya akan digunakan untuk mengatur kondisi awal. Hal ini dilakukan sampai
kedua titik ujung memenuhi syarat batas.16
METODE
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi
Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Syarat batas
yang
diinginkan
Syarat batas
yang
diperlukan
Gambar 5 Skematik Shooting Method16
Pertanian Bogor dan dilaksanakan pada bulan September 2013 sampai bulan April
2014.
Alat
Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah alat tulis (berupa
kertas, buku tulis, pena, dan pensil), Laptop ASUS A43SJ dengan piranti lunak
Windows 7 Ultimate 32-bit, MATLAB R2008b, dan Microsoft Office 2010.
Metode Penelitian
Studi Pustaka
Penelitian ini dimulai dengan studi pustaka tentang penurunan matematik
dari osilator harmonik dan anharmonik, potensial delta, metode Numerov,
Shooting Method, dan fungsi matematik lainnya yang berkaitan. Tahap ini
merupakan penelusuran tinjauan pustaka untuk mendalami materi penelitian.
9
Menggambar Fungsi Gelombang dan Menetukan Energi Vibrasional
Fungsi gelombang akan dicari menggunakan shooting method. Referensi
Mulai
Menetukan fungsi yang ingin dicari.
(harmonik atau anharmonik)
dan variable terkait (De,xe,ω ℏ)
Inisiasi E0, xmin, xmax
sebagai dasar inputan
Jalankan
Shooting Method
Gambar fungsi gelombang dengan
nilai energi E = E0. Apa nilai fungsi
yang terakhir (positif atau negatif)
Gambar Fungsi Gelombang dengan
energi E, Apa nilai Akhir fungsi?
Tambahkan E dengan nilai dE
Tidak
Tidak
Apakah nilai akhir fungsi sekarang
sama dengan fungsi sebelumnya?
Iya
Ubah dE menjadi
��
Apakah dE < minimumdE
Iya
Fungsi gelombang eigen
dan nilai eiegen didapat
yang digunakan untuk mencari fungsi gelombang yang sesuai adalah nilai analitik
dari energi vibrasional osilator yang diteliti tanpa dipengaruhi oleh konstanta
pasangan. Shooting method pada penelitian ini memiliki algoritma sebagai
berikut:
10
Nilai E0 adalah nilai yang medekati nilai energi eigen analitik tanpa
pengaruh konstanta pasangan (E0 tidak boleh sama dengan energi eigen analitik).
Nilai xmin dan xmax dicari dengan trial and error tetapi untuk dugaan awal dapat
menggunakan nilai diluar titik perpotongan potensial dengan nilai eigen yang
digunakan. Jika fungsi yang dihasilkan oleh metode ini tidak sesuai dengan syarat
batas, maka nilai inputan awal harus ada yang diubah. Syarat batas untuk fungsi
eigen adalah:
nilai dari
dibuat sangat kecil yaitu
.
Fungsi yang didapat akan memiliki nilai energi eigen yang terkait. Nilai
eigen yang didapat nantinya akan dibandingkan dengan hasil analitik dan dilihat
ketepatannya. Fungsi eigen sendiri dapat memberikan informasi sifat gelombang
saat dipengaruhi oleh konstanta pasangan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penurunan Rumus Persamaan Schödinger yang Dipengaruhi Potensial Delta
Diketahui bahwa Hamiltonian dari osilator yang ditambahkan potensial
delta adalah:
(4.1)
Diketahui dari persamaan dasar:
Fungsi gelombang umum dapat dikembangkan menjadi ∑
fungsi Hamiltonian dapat ditulis:
∑
∑
∑
sehingga
(4.2)
Dengan
adalah fungsi gelombang osilator terkait nilai eigen ke n.
Kalikan hamiltonian ini dengan
di ruas kiri dan integralkan, maka akan
didapat:
∫
∑
diketahui
∫
∑
∫
, maka turunan rumus tersebut adalah:
∑
(4.3)
11
rumuskan
∑
∑
∑
(4.4)
. lalu cari solusi dari
, yaitu:
(4.5)
kita dapat menulis ulang rumus:
∑
∑
(4.6)
sehingga didapat:
∑
(4.7)
rumus (4.7) ini dapat berlaku baik untuk osilator harmonik dan osilator
anharmonik dengan catatan
pada osilator harmonik, dan
pada
osilator anharmonik.
Osilator Harmonik
Menggunakan
dan
, persamaan (2.8) menjadi:
√
(4.8)
√
untuk k ganjil dan
untuk nilai
, maka
dengan menggunakan indentitas faktorial
.
dan
maka persamaan (4.7) dapat ditulis ulang menjadi:
untuk k ganjil
√
untuk k genap
(4.9)
(4.10)
Karena
untuk k ganjil, maka dapat disimpulkan nilai
tidak
berpengaruh pada energi eigen ganjil. Untuk k genap, dengan mensubtitusi
persamaan (4.7) dengan persamaan (2.7) dan (4.9) didapatkan hubungan g dengan
E yaitu:
12
√
∑
(4.11)
Osilator Anharmonik
Pada osilator anharmonik bernilai 0 sehingga
, dan
, persamaan (2.13) menjadi:
dengan nilai
(
√
√
)
(
Pada penelitian ini nilai
komputasi.
Grafik Hubungan
)
(4.12)
. Dengan mensubtitusi persamaan (4.7)
dengan persamaan (2.12), (4.12), dan
yaitu:
( ) ∑
. Menggunakan
didapatkan hubungan g dengan E
(
(
)
(4.13)
)
akan dicari secara manual menggunakan
dan Energi Vibrasional
Osilator Harmonik
Dengan menggunakan program MATALAB, persamaan (4.11) dapat digambar
dan menghasilkan grafik berikut:
Gambar 6 Plot g Vs E pada Osilator
Harmonik
13
Dari grafik tersebut terlihat pada keadaan dasar (ground state) kenaikan
nilai g akan menyebabkan energi eigen turun ke nilai negatif secara exponensial.
Hal ini dapat diartikan keadaaan dasar terkondensasi pada nilai g yang besar.
Untuk keadaan pada keadaan genap, kenaikan nilai konstanta pasangan
menyebabkan energi eigen menurun dan untuk nilai g yang sangat besar sekali,
energi eigen akan turun satu level. Perubahan energi ini menunjukan bahwa untuk
g bernilai positif, penggunaan potensial delta dan konstanta pasangan menurunkan
energi eigen sistem dan energi akan menurun sampai nilai saturasinya yaitu nilai
eigen satu tingkat dibawahnya. Selain itu, titik belok dari grafik ini selalu terjadi
di g = 0 pada semua tingkat energi genap. Untuk g bernilai negatif, potensial delta
dan konstanta pasangan menaikan energi eigen sistem dan energi akan naik
sampai nilai saturasinya yaitu nilai eigen diatasnya. Untuk keadaan ganjil,
konstanta pasangan tidak mempengaruhi energi eigen untuk setiap nilai g. Secara
analitik, hal ini terjadi karena pada tingkat energi ganjil, fungsi eigen bernilai 0
pada x = 0 dan potensial delta yang berada di x = 0 tidak akan mempengaruhi
fungsi gelombang.
Osilator Anharmonik
Dengan menggunakan program MATALAB, persamaan (4.13) dapat
digambar dan menghasilkan grafik berikut:
Gambar 7 Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 2.5
14
Gambar 8 Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 5
Dari kedua grafik tersebut dapat ditarik beberapa kesimpulan. Pada
keadaan dasar, kenaikan nilai g dapat menurunkan energi eigen dimulai dengan
penurunan secara exponensial dan dilanjutkan dengan penurunan secara linier.
Hal ini dapat diartikan keadaaan dasar terkondensasi pada nilai g yang besar.
Berbeda dengan osilator harmonik, nilai g dapat mempengaruhi keadaan ganjil
maupun keadaan genap. Dari grafik ini dapat terlihat selain pada keadaan dasar,
kenaikan nilai g akan menyebabkan energi eigen turun dan pada g yang besar,
energi akan tersaturasi pada energi tertentu yang nilainya berada diatas nilai
energi pada keadaan dibawahnya. Pengaruh nilai g terhadap penurunan energi
eigen tidaklah sama pada setiap tingkat energi yang. Pada De = 5 (gambar 8) nilai
g berpengaruh lebih kecil pada tingkat energi kedua dibandingkan tingkat energi
ketiga. Kemungkinan hal ini disebabkan karena pada x = 0, simpangan gelombang
tidak dalam keadaan puncaknya ( ̇
) dan potensial delta tidak menurunkan
energi secara maksimal. Perbedaan nilai simpangan gelombang pada x = 0 dan
pengaruhnya pada energi yang diturunkan oleh potensial delta akan dibahas pada
pembahasan fungsi gelombang. Grafik juga menunjukan bahwa titik belok fungsi
g vs. E tidak selalu berada pada g = 0 dan berubah secara acak. Perbedaan De
mempengaruhi banyaknya tingkat energi eigen, titik belok sistem, dan nilai eigen
saturasinya. Secara analitik, perubahan pola grafik dipengaruhi fungsi Laguerre.
Pada grafik, nilai E yang melebihi nilai De tidak mungkin ada sehingga dapat
dihilangkan dari grafik. Penggambaran tetap dilakukan hanya untuk
menggambarkan persamaan (4.13).
15
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional
Fungsi gelombang yang digambar adalah fungsi gelombang harmonik dan
anharmonik dengan menggunakan shooting method. Nilai energi eigen yang
didapat dari shooting mehod akan dibandingkan dengan hasil numerik.
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional Osilator Harmonik
Fungsi gelombang yang dicari adalah fungsi gelombang pada keadaan dasar,
pertama dan kedua. Keadaan dasar dipilih karena memiliki karakteristik yang
berbeda dengan tingkat yang lain. Keadaan pertama dipilih untuk mewakili
keadaan ganjil dan keadaan kedua dipilih untuk mewakili keadaan genap.
Gambar 9 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 0
16
Gambar 10 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
Gambar 11 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
17
Dari ketiga grafik tersebut dapat diambil kesimpulan. Pada keadaan dasar
(gambar 9), kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang menyempit
dan terpusat di x = 0. Kenaikan g menyebabkan partikel semakin terkondensasi
dan kedua partikel hanya berosilasi di dekat titik kesetimbangannya. Untuk
keadaan pertama (gambar 10), keempat grafik saling berhimpit. Ini membuktikan
bahwa perubahan nilai g tidak akan mempengaruhi fungsi gelombang. Fungsi
gelombang keadaan pertama ini juga dapat mewakilkan seluruh fungsi gelombang
keadaan ganjil sehingga dapat ditarik kesimpulan pada keadaan ganjil, nilai g
tidak mempengaruhi pada fungsi gelombang. Untuk keadaan kedua (gambar 11),
kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang semakin mendekati titik
kesetimbangannya (x = 0). Selain itu simpangan gelombang di titik
kesetimbangannya akan semakin rendah dan semakin lancip. Fungsi gelombang
pada tingkat kedua ini dapat mewakilkan seluruh fungsi gelombang pada tingkat
genap karena memiliki sifat yang sama.
Perbandingan energi dari shooting method dengan hasil perhitungan
numerik adalah sebagai berikut:
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n
0
1
2
g
xmin
xmax
Enumerik
0.0
-5.0
5.0
0.5000
0.5
-5.0
5.0
0.1556
1.0
-5.0
5.0
-0.3424
1.5
-5.0
5.0
-1.0327
0.0
-5.0
5.0
1.5000
0.5
-5.0
5.0
1.5000
1.0
-5.0
5.0
1.5000
1.5
-5.0
5.0
1.5000
0.0
-5.0
5.0
2.5000
0.5
-5.0
5.0
2.3573
1.0
-5.0
5.0
2.2208
1.5
-5.0
5.0
2.1017
Tabel 1 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Harmonik
Eanalitik
0.5000
0.1560
-0.3398
-1.0248
1.5000
1.5000
1.5000
1.5000
2.5000
2.3575
2.2214
2.1028
Nilai xmin dan xmax adalah inputan aw al pada shooting method dan Enumerik
adalah nilai energi yang didapat dari shooting method. Dari tabel tersebut dapat
disimpulkan bahwa nilai hasil numerik mendekati hasil dari analitik. Untuk
tingkat energi dasar, perbedaan nilainya lebih tinggi. Pada nilai g yang besar,
selisih nilai numerik dan analitik semakin tinggi. Untuk tingkat pertama, nilai
energi eigen yang didapat sama dan tidak mengalami perubahan untuk setiap nilai
g. Untuk tingkat genap, nilai energi akan semakin turun untuk kenaikan nilai g.
Perbedaan nilai kemungkinan besar terjadi karena keterbatasan komputasi dan
galat yang timbul terjadi akibat ketidaksempurnaan fungsi yang digunakan dalam
komputasi.
18
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional Osilator Anharmonik
Fungsi gelombang yang ditampilkan pada pembahasan ini hanyalah fungsi
gelombang dari De = 5,n = 0; De = 5, n = 2; dan De = 2.5, n = 2. Nilai ini dipilih
karena dianggap dapat mewakilkan perbedaan pengaruh nilai g pada fungsi
gelombang pada osilator anharmonik. Fungsi gelombang pada De dan tingkat
energi yang lain akan diberikan pada lampiran.
Gambar 12 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 0
19
Gambar 13 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 2
Gambar 14 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5, n = 2
20
Dari ketiga grafik itu dapat disimpulkan beberapa hal. Pada keadaan dasar
(gambar 12), peningkatan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang meruncing
di x= 0 seperti hanya pada osilator harmonik tetapi sebaran fungsi gelombangnya
sedikit berbeda. Pada osilator anharmonik, bentuk kurva sisi kiri titik
kesetimbangan lebih curam dibandingkan pada sisi kanan titik kesetimbangan.
Selain itu pada g = 0, titik puncak simpangan gelombang tidak berada pada titik
kesetimbangannya, melainkan sedikit bergeser ke kanan. Hal ini terjadi karena
pada potensial Morse, bentuk potensial pada sisi kiri dan sisi kanan titik
kesetimbangan tidak sama sehingga sisi kiri titik kesetimbangan lebih sempit
dibandingkan sisi kanan. Sifat ini terjadi pada semua nilai De dimana pada g yang
besar bentuk kurva akan meruncing di x = 0.
Berbeda dengan osilator harmonik, perubahan kurva akibat nilai g dapat
terjadi di keadaan energi ganjil maupun keadaan energi genap. Bentuk perubahan
kurva berbeda di setiap keadaan tetapi secara umum mereka memiliki sifat yang
sama. Pada gambar 13 terlihat peningkatan nilai g akan menyebabkan kurva
bergeser mendekati titik kesetimbangannya. Selain itu kurva sisi kiri titik
kesetimbangan akan mengalami peningkatan sedangkan sisi kanan titik
kesetimbangan akan mengalami penurunan. Hasil yang berbeda didapat dari
gambar 14 yaitu saat nilai g ditingkatkan, kurva sisi kiri titik kesetimbangan akan
mengalami penurunan sedangkan sisi kanan titik kesetimbangan akan mengalami
peningkatan. Pada gambar 13, fungsi gelombang berada di.y negatif saat x = 0 dan
penurunan nilai terjadi pada sisi kanan titik kesetimbangan sedangkan pada
gambar 14, fungsi gelombang berada di.y positif saat x = 0 sehingga penurunan
nilai terjadi pada sisi kiri titik kesetimbangan. Dapat ditarik kesimpulan bahwa
perbedaan sisi yang mengalami kenaikan nilai atau penurunan nilai dipengaruhi
nilai fungsi gelombangnya pada x = 0. Selain itu dapat terlihat nilai g lebih
berpengaruh pada gambar 13 yang perubahan fungsi gelombangnya lebih terlihat
dibandingkan gambar 14 untuk nilai g yang sama. Besar kecilnya pengaruh nilai g
dapat diduga dari besarnya peluang gelombang saat x = 0. Jika pada x = 0,
peluang gelombang bernilai maksimum (titik puncak) maka pengaruh g akan
maksimal dan jika pada x = 0, simpangan gelombang berada pada nilai minimum
(
) maka g tidak berpengaruh pada fungsi gelombang. Sifat ini terjadi pada
setiap keadaan energi selain keadaan dasar pada setiap nilai De.
Perbedaan energi vibrasional shooting method dan analitik diberikan pada
tabel berikut:
21
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
De
2.5
5
7.5
n
g
xmin
xmax
Enumerik
0.0
-4.0
6.0
0.4750
0.5
-4.0
6.0
0.1519
0
1.0
-4.0
6.0
-0.3391
1.5
-4.0
6.0
-1.0291
0.0
-4.0
8.0
1.2750
0.5
-4.0
8.0
1.2134
1
1.0
-4.0
8.0
1.1695
1.5
-4.0
8.0
1.1393
0.0
-4.0
10.0
1.8750
0.5
-4.0
10.0
1.8731
2
1.0
-4.0
10.0
1.8714
1.5
-4.0
10.0
1.8698
0.0
-4.0
6.0
0.4875
0.5
-4.0
6.0
0.1537
0
1.0
-4.0
6.0
-0.3408
1.5
-4.0
6.0
-1.0309
0.0
-4.0
6.0
1.3875
0.5
-4.0
6.0
1.3460
1
1.0
-4.0
6.0
1.3129
1.5
-4.0
6.0
1.2874
0.0
-4.0
8.0
2.1875
0.5
-4.0
8.0
2.1720
2
1.0
-4.0
8.0
2.1544
1.5
-4.0
8.0
2.1352
0.0
-4.0
4.0
0.4917
0.5
-4.0
4.0
0.1544
0
1.0
-4.0
4.0
-0.3413
1.5
-4.0
4.0
-1.0315
0.0
-4.0
6.0
1.4250
0.5
-4.0
6.0
1.3944
1
1.0
-4.0
6.0
1.3686
1.5
-4.0
6.0
1.3475
0.0
-4.0
7.0
2.2917
0.5
-4.0
7.0
2.2504
2
1.0
-4.0
7.0
2.2046
1.5
-4.0
7.0
2.1579
Tabel 2 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Anharmonik
Eanalitik
0.4750
0.2042
-0.0907
-0.3983
1.2750
1.2220
1.1914
1.1724
1.8750
1.8734
1.8724
1.8718
0.4875
0.1912
-0.1544
-0.5362
1.3875
1.3499
1.3241
1.3061
2.1875
2.1738
2.1615
2.1507
0.4917
0.1850
-0.1852
-0.6076
1.4250
1.3967
1.3757
1.3600
2.2917
2.2541
2.2190
2.1878
Hasil yang didapat menunjukan bahwa pada g = 0 nilai energi numerik sama
dengan nilai analitik. Peningkatan nilai g akan menyebabkan peningkatan selisih
energi numerik dan analitik dan dapat disimpulkan hasil numerik menjadi tidak
22
akurat pada nilai g yang tinggi. Selain itu, kenaikan nilai g menyebabkan
penurunan nilai energi eigen pada setiap tingkat. Hal ini sesuai dengan hipotesis
awal.
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional pada Nilai g Ekstrim
Pada osilator harmonik keadaan genap, dapat terlihat bahwa pada g yang
sangat besar, nilai energi eigennya akan turun satu level di bawahnya. Dapat
disimpulkan bahwa pada nilai g yang sangat besar, terdapat bentuk gelombang
saturasinya. Pada subbab ini akan diperlihatkan bentuk gelombang pada g ekstrim
(g bernilai positif). Fungsi gelombang ang dipilih adalah gelombang osilator
harmonik keadaan kedua, osilator anharmonik De = 2.5 keadaan kedua, dan
osilator harmonik De = 5 keadaan kedua. Keadaan dasar tidak dipilih karena
bedasarkan gambar 9 dan gambar 12, jika g sangat besar maka kurva akan
berbentuk delta Dirac dan metode komputasi tidak efektif untuk membuat fungsi
ini. Keadaan ganjil osilator harmonik tidak dipilih karena g terbukti tidak
berpengaruh pada kurva dan keadaan kedua osilator harmonik dapat mewakili
keadaan genap. Nilai De dan keadaan kedua pada osilator anharmonik dipilih
karena dapat mewakilkan sebagian besar bentuk gelombang di osilator
anharmonik.
No.
1
2
3
De
2.5
5
n
g
xmin
xmax
Enumerik
Eanalitik g ∞
40.0
-4.0
4.0
1.5253
1.5000
2
10000.0
-4.0
10.0
1.8443
1.8681
10000.0
-4.0
6.0
1.8681
2.0398
Tabel 3 Nilai Energi Numerik dan Analitik pada g ekstrim
Gambar 15 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 2, g =45
23
Gambar 16 Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 2.5g = 10000
Gambar 17 Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 5g = 10000
24
Hasil diatas merupakan hasil dari fungsi gelombang pada nilai g yang
ekstrim. Pada osilator harmonik keadaan kedua, dapat terlihat simpangan
gelombang pada x = 0 memiliki nilai yang mendekati 0 dan fungsi gelombang itu
memiliki fungsi peluang ( ) yang sama. Selain itu dapat diperkirakan pada g
yang lebih besar lagi ada kemungkinan gelombang akan menjadi fungsi
gelombang keadaan pertama tetapi hal ini tidak bisa dibuktikan menggunakan
komputasi ini. Perbandingan antara nilai eigen analitik dan numerik tidak berbeda
jauh. Karena komputasi hanya bisa membuat grafik pada g = 45.
Pada osilator anharmonik, terlihat pada g ekstrim fungsi gelombang hanya
terbentuk di sisi kanan titik kesetimbangan ataupun di sisi kiri titik
kesetimbangan. Hal ini menandakan fungsi gelombang hanya dapat ditemukan di
sisi kanan ataupun sisi kiri titik kesetimbangan saat g ekstrim. Pergerakan partikel
akan terbatasi di titik kesetimbangannya dan secara umum puncak tertinggi fungsi
gelombang akan cenderung mendekati titik kesetimbangan. Peluang
ditemukannya partikel di titik kesetimbangan akan selalu bernilai nol fungsi
gelombang akan kehilangan sebagian puncaknya. Nilai eigen yang didapat dari
perhitungan numerik dan analitik berbeda signifikan. Hasil oleh metode numerik
menunjukan nilai eigen tersaturasi ke angka yang berbeda dengan metode analitik
yang digunakan.
Munculnya Fungsi Eigen Baru
Pada subbab sebelumnya diketahui terjadi perbedaan hasil yang signifikan
pada metode numerik dan analitik pada osilator anharmonik. Setelah beberapa kali
pengujian diketahui terdapat sifat baru yang muncul pada keadaan energi tertinggi
di osilator anharmonik. Pada nilai g tertentu, akan muncul fungsi gelombang yang
baru yaitu dengan nilai energi diatas energi eigen tertingginya tetapi masih
dibawah nilai De-nya. Nilai De yang digunakan untuk penggambaran adalah 2.5.
Gambar 18 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5
25
Fungsi gelombang ini memiliki nilai energi eigen sebesar 2.4985 dengan
jumlah puncak sebanyak 6. Dari fungsi gelombang tersebut dapat ditarik
kesimpulan bahwa grafik tersebut bukanlah fungsi gelombang pada keadaan
tertinggi di De = 2.5. Secara teoritik fungsi gelombang tertinggi yang dapat
dihasilkan pada De = 2.5 hanyalah pada keadaan energi keempat yang memiliki 5
puncak gelombang dengan energi eigen 2.4750 tanpa dipengaruhi g. Fungsi
gelombang baru ini memiliki nilai eigen dibawah nilai De (sebesar 2.5) tetapi
berada diatas nilai eigen maksimal (2.470) dan memiliki puncak lebih banyak satu
puncak dibandingkan banyak puncak maksimalnya (sebanyak 5) sehingga dapat
disimpulkan fungsi gelombang berada pada keadaan kelima. Hal ini membuktikan
pengunaan potensial pada nilai g tertentu akan memunculkan fungsi eigen baru
pada gelombang anharmonik. Selain itu apabila nilai g terlalu kecil, maka fungsi
eigen baru ini tidak akan terbentuk.
Sebelumnya fungsi analitik yang telah diturunkan tidak dapat memberikan
kurva penurunan energi eigen pada osilator anharmonik dengan tepat. Hipotesis
yang dapat diberikan dari perbedaan ini adalah terdapat sebuah fungsi eigen baru
(
) yang akan mempengaruhi persamaan (4.13) Persamaan ini harus
ditambahkan nilai (
) yang dipengaruhi nilai
dan g. Diharapkan
pada penelitian selanjutnya penurunan rumus ini dapat dijelaskan
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Potensial delta dan konstanta pasangan (g) dapat menurunkan nilai energi
eigen dari fungsi gelombang baik gelombang harmonik maupun gelombang
anharmonik dengan potensial Morse selain osilator harmonik keadaan ganjil. Pada
osilator harmonik tingkat ganjil, nilai g tidak akan mempengaruh energi eigen
sistem. Pada keadaan dasar baik osilator harmonik maupun osilator anharmonik,
kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang semakin terpusat pada x =
0. Pada osilator harmonik keadaan ganjil, nilai g tidak akan mempengaruhi fungsi
gelombang. Hal ini dapat dikaitkan dengan perubahan suatu sistem dari BCS ke
BEC dimana ikatan BEC yang bersifat kuat ditunjukan dengan penyempitan
fungsi gelombang ke satu titik. Pada keadaan genap, kenaikan nilai g akan
menggeser fungsi gelombang ke titik keseimbangannya. Pada gelombang
anharmonik, selain keadaan dasar, kenaikan nilai g akan menyebabkan simpangan
gelombang di sisi kanan ataupun di sisi kiri titik keseimbangan turun dan sisi
lainnya naik. Pada keadaan dasar, energi eigen akan turun seiring kenaikan nilai g.
Untuk keadaan energi lainnya, energi eigen akan turun ke nilai saturasinya apabila
nilai g dinaikan dengan pengecualian osilator harmonik keadaan ganjil. Selain itu
potensial delta dan nilai g dapat memunculkan fungsi eigen baru pada potensial
anharmonik.
26
Saran
Diperlukan pengkajian khusus untuk mengetahui nilai fungsi yang muncul
akibat potensial delta dan nilai g sehingga perumusan hubungan antara g dan E
dapat dimodifikasi. Selain itu, disarankan untuk menggunakan metode komputasi
yang lebih akurat sehingga kurva yang didapat pada nilai g yang ekstrim dapat
dikomputasikan. Penggunaan nilai potensial delta dapat dimodifikasi pada titik
selain titik kesetimbangannya ataupun berubah menurut tingakatan fungsi
gelombangnya.
DAFTAR PUSTAKA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Bardeen, J., Cooper, L. N., & Schrieffer, J. R. 1957. Microscopic Theory
of Superconductivity. Physical Review 106 , 162–164
Pethick, C., & Smith, H. 2008. Bose-Einstein Condensation in Dilute
Gases. Cambridge: Cambridge University Press.
Lima, E. F., & Hornos, J. E. 2005. Matrix Elements for the Morse
Potential Under an External Field. Journal of Physics B: Atomic,
Molecular and Optical Physics , 815-825.
Griffiths, D. J. 1995. Introduction to Quantum Mechanics. New Jersey:
Prentice Hall, Inc.
Dirac, P. 1958. Principles of Quantum Mechanics 4th Edition. Oxford:
Clarendon Press.
Gasiorowicz, S. 2003. Quantum Physics. New Jersey: John Wiley & Sons,
Inc.
Sakurai, J. J., & Napolitano, J. 1994. Modern Quantum Mechanics. San
Fransisco: Pearson Education, Inc.
Nave, R. Quantum Harmonic Oscillator. [internet] [diacu 2014 Februari
22]. Tersedia dari: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum
/hosc.html
Spiegel, M. R., Lipschutz, S., & Liu, J. 2009. Schaum's Outlines
Mathematical Handbook of Formulas and Table. New York: McGrawHill Companies, Inc.
Morse, P. M. 1929. Phys. Rev. 34 , 57-64
Barrow, G. M. 1962. Introduction to Molecular Spectroscopy. New York:
McGraw-Hill Book Company, Inc.
Schlick, T., & Pesikin, C. S. 1989. Can Classical Equations Simulate
Quantum-Mechanical Behavior? A Molecular Dynamics Investigation of a
Diatomic Molecule with a Morse Potential. Communications on Pure and
Applied Mathematics, Vol. XLII , 1141-1163
Jensen, R. H. Wavefunctions of the Morse Potential. internet] [diacu 2014
Februari 22]. Tersedia dari: http://www.consol.ca/downloads/MathCad/
Morse.pdf
Heirs, M. C. 1990. Generalizations of Classical Laguerre Polinominals
and Some q-Analogues. Baarn: Cordon Art.
Koonin, S. E., & Meredith, D. C.. 1990. Computational Physics Fortran
Version Westview Press
Press, M. P, et all. 2007. Numerical Recipes The Art of Science Computing.
Cambridge: Cambridge University Press.
27
LAMPIRAN
Lampiran 1: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 2.5, n = 0
(b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 2.5, n = 1
(a)
(b)
28
Lampiran 2: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 5.0, n = 1
(b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 0
(a)
(b)
29
Lampiran 3: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 1
(b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 2
(a)
(b)
30
RIWAYAT HIDUP
Penulis yang bernama Bima Maha Putra dilahirkan
di Jakarta pada tanggal 09 Oktober 1992. Penulis adalah
anak kedua dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Drs
Benny Budianto dan Ibu Dra Rochila Klana Djuwita.
Penulis menyelesaikan studi di SMA Negeri 3 Kota
Tangerang Selatan tahun 2010 dan dan pada tahun yang
sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor
(IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI) dan diterima di Departemen Fisika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengajar di bimbingan
Gemilang Excellent pada tahun 2011 sampai dengan tahun 2013 pada bidang
Pengantar Matematika, Kalkulus I, dan Fisika dan pernah menjadi asisten mata
kuliah Sensor dan Tranduser tahun ajaran 2013/2014,. Penulis juga merupakan
calon mahasiswa berprestasi departemen fisika tahun ajaran 2012/2013 dan
2013/2014. Selain bidang keilmuan, penulis juga aktif dalam bidang seni salah
satunya sebagai salah satu pemeran dan penulis cerita dalam drama musikal fisika
dan pernah mendapatkan juara pada tahun 2012 untuk bidang dramus se-fakultas
MIPA IPB. Prestasi penulis pada bidang keilmuan adalah pernah mengikuti OSN
Pertamina tingkat provinsi tahun 2012 di Bandung dan Olimpiade Nasional MIPA
tingkat kopertis tahun 2012, 2013 , dan 2014 di Jakarta untuk bidang keilmuan
fisika. Penulis juga mendapatkan Honorable Mantion pada Olimpiade Nasional
MIPA Tingkat Nasional tahun 2013 di Yogyakarta pada bidang keilmuan fisika.
DARI OSILATOR HARMONIK DAN ANHARMONIK YANG
DIPENGARUHI POTENSIAL DELTA
BIMA MAHA PUTRA
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Semi Analitik
Persamaan Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang
Dipengaruhi Potensial Delta adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2014
Bima Maha Putra
NIM G74100015
ABSTRAK
BIMA MAHA PUTRA. Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari
Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta.
Dibimbing oleh TONY IBNU SUMARYADA dan SIDIKRUBADI
PRAMUDITO.
Dalam penelitian ini akan dibuat pemodelan sederhana perubahan partikel
dari BCS ke BEC dalam dimensi ruang. Penjelasan perubahan partikel dari BCS
ke BEC akan dimodelkan pada osilator harmonik ataupun osilator anharmonik
yang dipengaruhi potensial delta dan konstanta pasangan (g) sehingga proses
perubahan partikel dapat dikaji di dimensi ruang. Tujuan dari penelitian ini adalah
mengkaji perubahan fungsi eigen dan nilai eigen dari osilator harmonik dan
osilator anharmonik akibat pengaruhi potensial delta pada beberapa nilai g. Hasil
yang didapat adalah pada keadaan dasar, kenaikan nilai g akan membuat fungsi
eigennya terlokalisir di titik kesetimbangannya dan nilai eigennya turun. Pada
tingkat energi yang lain, kenaikan nilai g akan mengubah fungsi eigennya dan
menurunkan nilai eigennya sampai ke suatu titik saturasinya dengan pengecualian
fungsi eigen osilator harmonik di tingkat ganjil. Selain itu pada osilator
anharmonik, penggunaan g diatas nilai tertentu dapat memunculkan nilai eigen
dan fungsi eigen yang baru.
Kata kunci:
potensial Morse
fungsi eigen, nilai eigen, osilator harmonik, potensial delta,
ABSTRACT
BIMA MAHA PUTRA. Semi-Analytical Solution of Schrödinger Equation of
Harmonic and Anharmonic Oscillator with Influence of Delta Potential.
Supervised by TONY IBNU SUMARYADA and SIDIKRUBADI PRAMUDITO.
In this research a simple modeling will be made for BCS to the BEC
crossover so it can be observed in dimension of space. Explanation of BCS to the
BEC crossover will be modeled on the harmonic oscillator or anharmonik
oscillator which influenced by delta potential and pairing constant (g) so the
particles can be studied in dimensions of space . The purpose of this study is to
observed the changes in the eigenfunctions and eigenvalues of the harmonic
oscillator and the anharmonik oscillator due the influence of delta potensial on
several g values . The results obtained in the ground state are the increase in the g
values will make the eigenfunction localized at the point of equilibrium and it’s
eigenvalues will drop. In other energy levels , increase in the g values will drop
the eigenfunctions and eigenvalues to a saturation point with exception at odd
level of the harmonic oscillator eigenfunction. Futhermore, in anharmonic
oscillator, usage of g over a certain values can bring new eigenvalues and
eigenfunctions.
Keywords : delta potential, eigenfunctions, eigenvalues, harmonic oscillator,
Morse potential
SOLUSI SEMI ANALITIK PERSAMAAN SCHRöDINGER
DARI OSILATOR HARMONIK DAN ANHARMONIK YANG
DIPENGARUHI POTENSIAL DELTA
BIMA MAHA PUTRA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Solusi Semi Analitik Persamaan Schrödinger dari Osilator
Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial Delta
Nama
: Bima Maha Putra
NIM
: G74100015
Disetujui oleh
Dr Tony Ibnu Sumaryada
Pembimbing I
Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu
Ketua Departemen
Disetujui tanggal :
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan pada Allah SWT yang telah
memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat
menyelesaikan penelitian dengan judul “Solusi Semi Analitik Persamaan
Schrödinger dari Osilator Harmonik dan Anharmonik yang Dipengaruhi Potensial
Delta” sebagai salah satu syarat kelulusan program sarjana di Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telah
membantu pnulis dalam menyelesaikan usulan penelitian ini. Pihak-pihak tersebut
adalah:
1. Bapak Dr Tony Ibnu Sumaryada dan Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
selaku pembimbing skripsi yang telah membantu penulis dalam
mendalami materi penelitian yang dikerjakan penulis,
2. Segenap staf pengajar, tata usaha dan staf laboratorium di Departemen
Fisika IPB yang telah banyak membantu selama masa perkuliahan dan
menjadi teman curhat penulis selama penulisan penelitian ini,
3. Kedua orang tua, kakak, dan semua keluarga besar yang selalu
memberikan doa, nasehat, semangat, motivasi, dan logistik kepada penulis,
4. Kepada Anggi, Nofi, Lutfi, Risya, Rudy, dan pihak lainnya yang tidak
mungkin disebutkan semua atas semangat dan bantuannya selama
penulisan ini,
5. Kepada saudara Nugraha Wanda Sanjaya karena terus mengingatkan dan
menyuruh saya untuk menyelesaikan skripsi saya.
Penulis menyadari bahwa penelitian ini masih tidak sempurna, karena itu,
kritik dan saran dari berbagai pihak sangat diharapkan demi kemajuan penelitian
ini. Penulis berharap penelitian ini dapat membuka jalan baru untuk penelitian
fisika partikel di Indonesia dan di dunia.
Bogor, April 2014
Bima Maha Putra
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR TABEL
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
Perumusan Masalah
1
Hipotesis
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Fungsi Delta Dirac dan Potensial Delta
2
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
2
Osilator Harmonik
3
Osilator Anharmonik dengan Potensial Morse
4
Algoritme Numerov
6
Shooting Method
6
METODE
7
Waktu dan Tempat Penelitian
7
Alat
7
Metode Penelitian
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
10
Penurunan Rumus Persamaan Schödinger yang Dipengaruhi Potensial Delta 10
Grafik Hubungan
dan Energi Vibrasional
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional
KESIMPULAN DAN SARAN
12
15
25
Kesimpulan
25
Saran
26
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
27
RIWAYAT HIDUP
30
DAFTAR GAMBAR
Model partikel:
Energi potensial osilator harmonik
Fungsi eigen dari osilator harmonik keadaan dasar dan tingkat pertama6
Contoh energi potensial Morse
Skematik Shooting Method
Plot g Vs E pada Osilator Harmonik
Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 2.5
Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 5
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 0
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 0
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 2
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5, n = 2
Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 2, g =45
Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 2.5g = 10000
Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 5g = 10000
Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5
3
4
4
5
7
12
13
14
15
16
16
18
19
19
22
23
23
24
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Harmonik ..................................... 17
Tabel 2 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Anharmonik ................................. 21
Tabel 3 Nilai Energi Numerik dan Analitik pada g ekstrim ............................. 22
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Bose-Einstein condensate (BEC) adalah salah satu kajian dalam gas
kuantum. Atom-atom seperti 1H, 7Li, 23Na, 39K, 41K, 52Cr, 85Rb, 87Rb, 133Cs, 170Yb,
174
Yb, dan 4He* adalah atom-atom yang memiliki karakteristik untuk menjadi
BEC pada suhu dingin yang ekstrim. BEC memiliki keuntungan dalam kajian
kuantum karena sifat-sifat kuantumnya dapat teramati secara mikroskopik. Pada
fermion terdapat teori pasangan Cooper (Cooper Pairing) yang dikembangkan
oleh Bardeen, Cooper, dan Schrieffer (BCS)1 yang pada kondisi tertentu berubah
menjadi BEC. Perubahan partikel dari BCS ke BEC ini dipengaruhi oleh interaksi
antar pasangan pada BCS. Jika interaksi antar pasangan atom pada BCS diperkuat,
maka kedua atom ini akan menjadi molekul BEC yang terikat kuat2.
Selama ini kajian perubahan partikel dari BCS ke BEC terpusat pada
dimensi momentum. Pada penelitian ini, kajian perubahan dari BCS ke BEC akan
dimodelkan secara sederhana pada dimensi ruang satu dimensi. Pasangan atom
dimodelkan sebagai dua atom yang terhubung oleh pegas yang juga dipengaruhi
oleh interaksi antar pasangan atom. Interaksi ini mempengaruhi titik
keseimbangan pada sistem dan dimodelkan sebagai sumur potensial Dirac.
Ikatan antar atom dalam molekul diatomik bersifat elastis yang
mengakibatkan atom-atom penyusunnya tidak berada pada posisi yang tetap
melainkan bervibrasi di sekitar titik kesetimbangan. Model yang digunakan untuk
menjelaskan vibrasi molekul ini adalah osilator harmonik dengan potensial pegas
dan osilator anharmonik dengan potensial Morse. Potensial pegas dipilih karena
dapat memodelkan perilaku molekul diatomik secara sederhana dan banyak
digunakan dalam penelitian awal. Potensial Morse digunakan karena merupakan
model potensial yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku vibrasi suatu
molekul antar atom. Model merupakan pendekatan yang baik untuk struktur
vibrasi dari molekul pada osilator anharmonik kuantum, karena secara eksplisit
mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu
molekul3.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui, membandingkan, dan
menggambar perubahan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem osilator
harmonik dan anharmonik akibat pengaruh perubahan konstanta pasangan
(pairing constant) .
Perumusan Masalah
1.
Perumusan masalah dari penelitian ini adalah:
Bagaimana pengaruh konstanta pasangan (pairing constant) terhadap
perubahan tingkat energi osilator harmonik dan anharmonik?
2
2.
3.
Bagaimana pengaruh konstanta pasangan (pairing constant) terhadap
perubahan fungsi gelombang osilator harmonik dan anharmonik?
Bagaimana perbedaan fungsi gelombang antara gelombang harmonik dan
anharmonik pada tingkat energi rendah dan energi tinggi saat dipengaruhi
konstanta pasangan (pairing constant).
Hipotesis
Semakin besar nilai kontanta pasangan (pairing constant) spektrum energi
dari osilator harmonik dan anharmonik akan semakin rendah sedangkan fungsi
gelombangnya akan semakin terlokalisir.
TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi Delta Dirac dan Potensial Delta
adalah fungsi yang unik, Fungsi ini bernilai
Fungsi delta Dirac
, dan memiliki luas sebesar
nol pada
, menuju tak hingga saat
1. Fungsi ini sangat berguna dalam fisika teori, contohnya pada elektrodinamika
kerapatan muatan pada muatan titik mengikuti fungsi delta4. Fungsi delta Dirac
dapat ditulis5:
{
dengan nilai integral:
(2.1)
(2.2)
∫
Potensial delta adalah potensial yang diturunkan dari fungsi delta Dirac
. Potensial ini bernilai nol di seluruh titik kecuali satu titik. Potensial delta
dapat ditulis:
(2.3)
dengan adalah kontsanta pasangan (pairing constant). Jika potensial merupakan
sumur potensial Dirac, maka bernilai positif.
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
Persamaan Schrödinger bebas waktu dapat ditulis sebagai:
(2.4)
dengan:
:
:
:
:
Konstanta Planck per
Massa partikel
Fungsi gelombang
Energi Potensial
3
:
Tingkat energi dari
Pada model dua partikel yang dihubungkan oleh pegas, massa partikel yang
terlibat diganti dengan massa tereduksi dan adalah distorsi jarak antara dua
(a)
(b)
Gambar 1 Model partikel:
(a) Model partikel berpasangan
(b) Model Partikel Tereduksi
partikel pada panjang ikatan kesetimbangan.
Pada sistem ini, nilai eigen dari persamaan adalah nilai energi vibrasional dua
partikel.
Osilator Harmonik
Osilator harmonik adalah model sederhana dari vibrasi antara dua partikel
yang dihubungkan oleh pegas dengan konstanta . Model ini banyak digunakan
pada fisika klasik seperti pada molekul diatomik. Pada osilator harmonik, energi
potensial dari sistem dirumuskan sebagai.
(2.5)
Sehingga Hamiltoniannya
(2.6)
dengan
√ adalah frekuensi osilasi,
adalah momentum dan adalah nilai
konstanta pegas yang berkaitan4 6 7.
Untuk osilator harmonik dari sistem kuantum energi vibrasionalnya
dirumuskan sebagai :
(2.7)
dengan
(
)
adalah bilangan kuantum vibrasional yang nilainya
.
4
Gambar 2 Energi potensial osilator harmonik8
Fungsi Eigen yang bersesuian dengan nilai eigen dari sistem ini adalah4:
dengan
√
⁄
(√
)
(2.8)
adalah Polinominal Hermit yang dirumuskan9:
Osilator Anharmonik dengan Potensial Morse
(
)
(2.9)
Potensial Morse merupakan model potensial yang digunakan untuk
Gambar 3
Fungsi eigen dari osilator harmonik keadaan dasar dan
tingkat pertama6
menjelaskan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom atau partikel. Model
ini merupakan pendekatan yang baik untuk struktur vibrasi dari molekul pada
osilator anharmonik kuantum, karena secara eksplisit mencakup efek pemutusan
ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu molekul.
Potensial Morse dinyatakan secara empiris oleh P.M. Morse dalam
persamaan10:
5
(2.10)
(
)
dengan
adalah energi disosiasi yang diukur dari posisi kesetimbangan,
adalah posisi keseimbangan molekul, dan
adalah konstanta untuk setiap
molekul tertentu dan dapat dikatakan konstanta untuk menentukan kesempitan
atau kelengkungan dari sumur potensial. Hamiltonian dari sistem ini adalah:
(
(2.11)
)
Energi vibrasional untuk pendekatan osilator anharmonik ini adalah:
dengan
,
(
)
(
(2.12)
)
adalah bilangan kuantum vibrasional yang nilainya
nomor gelombang harmonik vibrasi dan
adalah kontanta
√
anharmonik. dengan
adalah frekuensi. Konstanta anharmonik
nilainya selalu lebih kecil dibandingkan frekuensi osilasi
dan selalu bernilai
positif11. Berbeda dengan osilator harmonik, nilai eigen pada osilator anharmonik
terbatas dengan
dicari dengan membandingkan dengan .
Fungsi Eigen yang bersesuian dengan nilai eigen dari sistem ini adalah13:
dengan
(
)
(
adalah nilai bulat terbesar dari
,
)
,
(
Gambar 4 Contoh energi potensial Morse12
)
(2.13)
adalah konstanta
6
normalisasi yang dirumuskan13:
∑
dan
(2.14)
adalah fungsi Laguerre yang dirumuskan14:
(2.15)
∑
Algoritma Numerov
Dalam fisika, banyak perumusan penting dapat ditulis dalam bentuk
persamaan linier orde kedua:
(2.16)
dengan
adalah ketidak homogenan dan
fungsi real. Saat
positif
maka solusi persamaan homogen akan berosilasi dengan bilangan gelombang
sedangkan saat
negatif solusi akan berubah secara eksponensial dengan laju
. Algoritma Numerov adalah metode simple dan efisien untuk
mengintegralkan persamaan orde kedua dengan tetap berbentuk persamaan (2.16).
Persamaan umum metode Numerov adalah:
(
)
(2.17)
dengan adalah error lokal. Saat
dan
, maka sistem
merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu. Dengan menyederhanakan error
lokal = 0 dan
maka solusi metode numerov untuk
persamaan Schrödinger bebas waktu adalah:
(2.18)
Skema dari Numerov ini lebih efisien dari Runge-Kutta orde 4 karena hanya
memerlukan perhitungan dan juga lebih tinggi satu orde dari Runge-Kutta15.
Shooting Method
Shooting Method adalah analisis numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah nilai batas menggunakan metode iterasi numerik untuk
mencapai nilai yang diinginkan. Prinsip metode shooting adalah pada salah satu
7
titik yang memenuhi syarat batas fungsi integrasi yang sesuai “ditembakan”ke
batas yang lain. Perbedaan hasil yang didapat pada ujung yang lain dengan syarat
batasnya akan digunakan untuk mengatur kondisi awal. Hal ini dilakukan sampai
kedua titik ujung memenuhi syarat batas.16
METODE
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi
Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Syarat batas
yang
diinginkan
Syarat batas
yang
diperlukan
Gambar 5 Skematik Shooting Method16
Pertanian Bogor dan dilaksanakan pada bulan September 2013 sampai bulan April
2014.
Alat
Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah alat tulis (berupa
kertas, buku tulis, pena, dan pensil), Laptop ASUS A43SJ dengan piranti lunak
Windows 7 Ultimate 32-bit, MATLAB R2008b, dan Microsoft Office 2010.
Metode Penelitian
Studi Pustaka
Penelitian ini dimulai dengan studi pustaka tentang penurunan matematik
dari osilator harmonik dan anharmonik, potensial delta, metode Numerov,
Shooting Method, dan fungsi matematik lainnya yang berkaitan. Tahap ini
merupakan penelusuran tinjauan pustaka untuk mendalami materi penelitian.
9
Menggambar Fungsi Gelombang dan Menetukan Energi Vibrasional
Fungsi gelombang akan dicari menggunakan shooting method. Referensi
Mulai
Menetukan fungsi yang ingin dicari.
(harmonik atau anharmonik)
dan variable terkait (De,xe,ω ℏ)
Inisiasi E0, xmin, xmax
sebagai dasar inputan
Jalankan
Shooting Method
Gambar fungsi gelombang dengan
nilai energi E = E0. Apa nilai fungsi
yang terakhir (positif atau negatif)
Gambar Fungsi Gelombang dengan
energi E, Apa nilai Akhir fungsi?
Tambahkan E dengan nilai dE
Tidak
Tidak
Apakah nilai akhir fungsi sekarang
sama dengan fungsi sebelumnya?
Iya
Ubah dE menjadi
��
Apakah dE < minimumdE
Iya
Fungsi gelombang eigen
dan nilai eiegen didapat
yang digunakan untuk mencari fungsi gelombang yang sesuai adalah nilai analitik
dari energi vibrasional osilator yang diteliti tanpa dipengaruhi oleh konstanta
pasangan. Shooting method pada penelitian ini memiliki algoritma sebagai
berikut:
10
Nilai E0 adalah nilai yang medekati nilai energi eigen analitik tanpa
pengaruh konstanta pasangan (E0 tidak boleh sama dengan energi eigen analitik).
Nilai xmin dan xmax dicari dengan trial and error tetapi untuk dugaan awal dapat
menggunakan nilai diluar titik perpotongan potensial dengan nilai eigen yang
digunakan. Jika fungsi yang dihasilkan oleh metode ini tidak sesuai dengan syarat
batas, maka nilai inputan awal harus ada yang diubah. Syarat batas untuk fungsi
eigen adalah:
nilai dari
dibuat sangat kecil yaitu
.
Fungsi yang didapat akan memiliki nilai energi eigen yang terkait. Nilai
eigen yang didapat nantinya akan dibandingkan dengan hasil analitik dan dilihat
ketepatannya. Fungsi eigen sendiri dapat memberikan informasi sifat gelombang
saat dipengaruhi oleh konstanta pasangan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penurunan Rumus Persamaan Schödinger yang Dipengaruhi Potensial Delta
Diketahui bahwa Hamiltonian dari osilator yang ditambahkan potensial
delta adalah:
(4.1)
Diketahui dari persamaan dasar:
Fungsi gelombang umum dapat dikembangkan menjadi ∑
fungsi Hamiltonian dapat ditulis:
∑
∑
∑
sehingga
(4.2)
Dengan
adalah fungsi gelombang osilator terkait nilai eigen ke n.
Kalikan hamiltonian ini dengan
di ruas kiri dan integralkan, maka akan
didapat:
∫
∑
diketahui
∫
∑
∫
, maka turunan rumus tersebut adalah:
∑
(4.3)
11
rumuskan
∑
∑
∑
(4.4)
. lalu cari solusi dari
, yaitu:
(4.5)
kita dapat menulis ulang rumus:
∑
∑
(4.6)
sehingga didapat:
∑
(4.7)
rumus (4.7) ini dapat berlaku baik untuk osilator harmonik dan osilator
anharmonik dengan catatan
pada osilator harmonik, dan
pada
osilator anharmonik.
Osilator Harmonik
Menggunakan
dan
, persamaan (2.8) menjadi:
√
(4.8)
√
untuk k ganjil dan
untuk nilai
, maka
dengan menggunakan indentitas faktorial
.
dan
maka persamaan (4.7) dapat ditulis ulang menjadi:
untuk k ganjil
√
untuk k genap
(4.9)
(4.10)
Karena
untuk k ganjil, maka dapat disimpulkan nilai
tidak
berpengaruh pada energi eigen ganjil. Untuk k genap, dengan mensubtitusi
persamaan (4.7) dengan persamaan (2.7) dan (4.9) didapatkan hubungan g dengan
E yaitu:
12
√
∑
(4.11)
Osilator Anharmonik
Pada osilator anharmonik bernilai 0 sehingga
, dan
, persamaan (2.13) menjadi:
dengan nilai
(
√
√
)
(
Pada penelitian ini nilai
komputasi.
Grafik Hubungan
)
(4.12)
. Dengan mensubtitusi persamaan (4.7)
dengan persamaan (2.12), (4.12), dan
yaitu:
( ) ∑
. Menggunakan
didapatkan hubungan g dengan E
(
(
)
(4.13)
)
akan dicari secara manual menggunakan
dan Energi Vibrasional
Osilator Harmonik
Dengan menggunakan program MATALAB, persamaan (4.11) dapat digambar
dan menghasilkan grafik berikut:
Gambar 6 Plot g Vs E pada Osilator
Harmonik
13
Dari grafik tersebut terlihat pada keadaan dasar (ground state) kenaikan
nilai g akan menyebabkan energi eigen turun ke nilai negatif secara exponensial.
Hal ini dapat diartikan keadaaan dasar terkondensasi pada nilai g yang besar.
Untuk keadaan pada keadaan genap, kenaikan nilai konstanta pasangan
menyebabkan energi eigen menurun dan untuk nilai g yang sangat besar sekali,
energi eigen akan turun satu level. Perubahan energi ini menunjukan bahwa untuk
g bernilai positif, penggunaan potensial delta dan konstanta pasangan menurunkan
energi eigen sistem dan energi akan menurun sampai nilai saturasinya yaitu nilai
eigen satu tingkat dibawahnya. Selain itu, titik belok dari grafik ini selalu terjadi
di g = 0 pada semua tingkat energi genap. Untuk g bernilai negatif, potensial delta
dan konstanta pasangan menaikan energi eigen sistem dan energi akan naik
sampai nilai saturasinya yaitu nilai eigen diatasnya. Untuk keadaan ganjil,
konstanta pasangan tidak mempengaruhi energi eigen untuk setiap nilai g. Secara
analitik, hal ini terjadi karena pada tingkat energi ganjil, fungsi eigen bernilai 0
pada x = 0 dan potensial delta yang berada di x = 0 tidak akan mempengaruhi
fungsi gelombang.
Osilator Anharmonik
Dengan menggunakan program MATALAB, persamaan (4.13) dapat
digambar dan menghasilkan grafik berikut:
Gambar 7 Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 2.5
14
Gambar 8 Plot g Vs E pada Osilator Anharmonik dengan De = 5
Dari kedua grafik tersebut dapat ditarik beberapa kesimpulan. Pada
keadaan dasar, kenaikan nilai g dapat menurunkan energi eigen dimulai dengan
penurunan secara exponensial dan dilanjutkan dengan penurunan secara linier.
Hal ini dapat diartikan keadaaan dasar terkondensasi pada nilai g yang besar.
Berbeda dengan osilator harmonik, nilai g dapat mempengaruhi keadaan ganjil
maupun keadaan genap. Dari grafik ini dapat terlihat selain pada keadaan dasar,
kenaikan nilai g akan menyebabkan energi eigen turun dan pada g yang besar,
energi akan tersaturasi pada energi tertentu yang nilainya berada diatas nilai
energi pada keadaan dibawahnya. Pengaruh nilai g terhadap penurunan energi
eigen tidaklah sama pada setiap tingkat energi yang. Pada De = 5 (gambar 8) nilai
g berpengaruh lebih kecil pada tingkat energi kedua dibandingkan tingkat energi
ketiga. Kemungkinan hal ini disebabkan karena pada x = 0, simpangan gelombang
tidak dalam keadaan puncaknya ( ̇
) dan potensial delta tidak menurunkan
energi secara maksimal. Perbedaan nilai simpangan gelombang pada x = 0 dan
pengaruhnya pada energi yang diturunkan oleh potensial delta akan dibahas pada
pembahasan fungsi gelombang. Grafik juga menunjukan bahwa titik belok fungsi
g vs. E tidak selalu berada pada g = 0 dan berubah secara acak. Perbedaan De
mempengaruhi banyaknya tingkat energi eigen, titik belok sistem, dan nilai eigen
saturasinya. Secara analitik, perubahan pola grafik dipengaruhi fungsi Laguerre.
Pada grafik, nilai E yang melebihi nilai De tidak mungkin ada sehingga dapat
dihilangkan dari grafik. Penggambaran tetap dilakukan hanya untuk
menggambarkan persamaan (4.13).
15
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional
Fungsi gelombang yang digambar adalah fungsi gelombang harmonik dan
anharmonik dengan menggunakan shooting method. Nilai energi eigen yang
didapat dari shooting mehod akan dibandingkan dengan hasil numerik.
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional Osilator Harmonik
Fungsi gelombang yang dicari adalah fungsi gelombang pada keadaan dasar,
pertama dan kedua. Keadaan dasar dipilih karena memiliki karakteristik yang
berbeda dengan tingkat yang lain. Keadaan pertama dipilih untuk mewakili
keadaan ganjil dan keadaan kedua dipilih untuk mewakili keadaan genap.
Gambar 9 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 0
16
Gambar 10 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
Gambar 11 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 1
17
Dari ketiga grafik tersebut dapat diambil kesimpulan. Pada keadaan dasar
(gambar 9), kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang menyempit
dan terpusat di x = 0. Kenaikan g menyebabkan partikel semakin terkondensasi
dan kedua partikel hanya berosilasi di dekat titik kesetimbangannya. Untuk
keadaan pertama (gambar 10), keempat grafik saling berhimpit. Ini membuktikan
bahwa perubahan nilai g tidak akan mempengaruhi fungsi gelombang. Fungsi
gelombang keadaan pertama ini juga dapat mewakilkan seluruh fungsi gelombang
keadaan ganjil sehingga dapat ditarik kesimpulan pada keadaan ganjil, nilai g
tidak mempengaruhi pada fungsi gelombang. Untuk keadaan kedua (gambar 11),
kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang semakin mendekati titik
kesetimbangannya (x = 0). Selain itu simpangan gelombang di titik
kesetimbangannya akan semakin rendah dan semakin lancip. Fungsi gelombang
pada tingkat kedua ini dapat mewakilkan seluruh fungsi gelombang pada tingkat
genap karena memiliki sifat yang sama.
Perbandingan energi dari shooting method dengan hasil perhitungan
numerik adalah sebagai berikut:
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n
0
1
2
g
xmin
xmax
Enumerik
0.0
-5.0
5.0
0.5000
0.5
-5.0
5.0
0.1556
1.0
-5.0
5.0
-0.3424
1.5
-5.0
5.0
-1.0327
0.0
-5.0
5.0
1.5000
0.5
-5.0
5.0
1.5000
1.0
-5.0
5.0
1.5000
1.5
-5.0
5.0
1.5000
0.0
-5.0
5.0
2.5000
0.5
-5.0
5.0
2.3573
1.0
-5.0
5.0
2.2208
1.5
-5.0
5.0
2.1017
Tabel 1 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Harmonik
Eanalitik
0.5000
0.1560
-0.3398
-1.0248
1.5000
1.5000
1.5000
1.5000
2.5000
2.3575
2.2214
2.1028
Nilai xmin dan xmax adalah inputan aw al pada shooting method dan Enumerik
adalah nilai energi yang didapat dari shooting method. Dari tabel tersebut dapat
disimpulkan bahwa nilai hasil numerik mendekati hasil dari analitik. Untuk
tingkat energi dasar, perbedaan nilainya lebih tinggi. Pada nilai g yang besar,
selisih nilai numerik dan analitik semakin tinggi. Untuk tingkat pertama, nilai
energi eigen yang didapat sama dan tidak mengalami perubahan untuk setiap nilai
g. Untuk tingkat genap, nilai energi akan semakin turun untuk kenaikan nilai g.
Perbedaan nilai kemungkinan besar terjadi karena keterbatasan komputasi dan
galat yang timbul terjadi akibat ketidaksempurnaan fungsi yang digunakan dalam
komputasi.
18
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional Osilator Anharmonik
Fungsi gelombang yang ditampilkan pada pembahasan ini hanyalah fungsi
gelombang dari De = 5,n = 0; De = 5, n = 2; dan De = 2.5, n = 2. Nilai ini dipilih
karena dianggap dapat mewakilkan perbedaan pengaruh nilai g pada fungsi
gelombang pada osilator anharmonik. Fungsi gelombang pada De dan tingkat
energi yang lain akan diberikan pada lampiran.
Gambar 12 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 0
19
Gambar 13 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 5, n = 2
Gambar 14 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5, n = 2
20
Dari ketiga grafik itu dapat disimpulkan beberapa hal. Pada keadaan dasar
(gambar 12), peningkatan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang meruncing
di x= 0 seperti hanya pada osilator harmonik tetapi sebaran fungsi gelombangnya
sedikit berbeda. Pada osilator anharmonik, bentuk kurva sisi kiri titik
kesetimbangan lebih curam dibandingkan pada sisi kanan titik kesetimbangan.
Selain itu pada g = 0, titik puncak simpangan gelombang tidak berada pada titik
kesetimbangannya, melainkan sedikit bergeser ke kanan. Hal ini terjadi karena
pada potensial Morse, bentuk potensial pada sisi kiri dan sisi kanan titik
kesetimbangan tidak sama sehingga sisi kiri titik kesetimbangan lebih sempit
dibandingkan sisi kanan. Sifat ini terjadi pada semua nilai De dimana pada g yang
besar bentuk kurva akan meruncing di x = 0.
Berbeda dengan osilator harmonik, perubahan kurva akibat nilai g dapat
terjadi di keadaan energi ganjil maupun keadaan energi genap. Bentuk perubahan
kurva berbeda di setiap keadaan tetapi secara umum mereka memiliki sifat yang
sama. Pada gambar 13 terlihat peningkatan nilai g akan menyebabkan kurva
bergeser mendekati titik kesetimbangannya. Selain itu kurva sisi kiri titik
kesetimbangan akan mengalami peningkatan sedangkan sisi kanan titik
kesetimbangan akan mengalami penurunan. Hasil yang berbeda didapat dari
gambar 14 yaitu saat nilai g ditingkatkan, kurva sisi kiri titik kesetimbangan akan
mengalami penurunan sedangkan sisi kanan titik kesetimbangan akan mengalami
peningkatan. Pada gambar 13, fungsi gelombang berada di.y negatif saat x = 0 dan
penurunan nilai terjadi pada sisi kanan titik kesetimbangan sedangkan pada
gambar 14, fungsi gelombang berada di.y positif saat x = 0 sehingga penurunan
nilai terjadi pada sisi kiri titik kesetimbangan. Dapat ditarik kesimpulan bahwa
perbedaan sisi yang mengalami kenaikan nilai atau penurunan nilai dipengaruhi
nilai fungsi gelombangnya pada x = 0. Selain itu dapat terlihat nilai g lebih
berpengaruh pada gambar 13 yang perubahan fungsi gelombangnya lebih terlihat
dibandingkan gambar 14 untuk nilai g yang sama. Besar kecilnya pengaruh nilai g
dapat diduga dari besarnya peluang gelombang saat x = 0. Jika pada x = 0,
peluang gelombang bernilai maksimum (titik puncak) maka pengaruh g akan
maksimal dan jika pada x = 0, simpangan gelombang berada pada nilai minimum
(
) maka g tidak berpengaruh pada fungsi gelombang. Sifat ini terjadi pada
setiap keadaan energi selain keadaan dasar pada setiap nilai De.
Perbedaan energi vibrasional shooting method dan analitik diberikan pada
tabel berikut:
21
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
De
2.5
5
7.5
n
g
xmin
xmax
Enumerik
0.0
-4.0
6.0
0.4750
0.5
-4.0
6.0
0.1519
0
1.0
-4.0
6.0
-0.3391
1.5
-4.0
6.0
-1.0291
0.0
-4.0
8.0
1.2750
0.5
-4.0
8.0
1.2134
1
1.0
-4.0
8.0
1.1695
1.5
-4.0
8.0
1.1393
0.0
-4.0
10.0
1.8750
0.5
-4.0
10.0
1.8731
2
1.0
-4.0
10.0
1.8714
1.5
-4.0
10.0
1.8698
0.0
-4.0
6.0
0.4875
0.5
-4.0
6.0
0.1537
0
1.0
-4.0
6.0
-0.3408
1.5
-4.0
6.0
-1.0309
0.0
-4.0
6.0
1.3875
0.5
-4.0
6.0
1.3460
1
1.0
-4.0
6.0
1.3129
1.5
-4.0
6.0
1.2874
0.0
-4.0
8.0
2.1875
0.5
-4.0
8.0
2.1720
2
1.0
-4.0
8.0
2.1544
1.5
-4.0
8.0
2.1352
0.0
-4.0
4.0
0.4917
0.5
-4.0
4.0
0.1544
0
1.0
-4.0
4.0
-0.3413
1.5
-4.0
4.0
-1.0315
0.0
-4.0
6.0
1.4250
0.5
-4.0
6.0
1.3944
1
1.0
-4.0
6.0
1.3686
1.5
-4.0
6.0
1.3475
0.0
-4.0
7.0
2.2917
0.5
-4.0
7.0
2.2504
2
1.0
-4.0
7.0
2.2046
1.5
-4.0
7.0
2.1579
Tabel 2 Perbandingan Nilai Eigen Osilator Anharmonik
Eanalitik
0.4750
0.2042
-0.0907
-0.3983
1.2750
1.2220
1.1914
1.1724
1.8750
1.8734
1.8724
1.8718
0.4875
0.1912
-0.1544
-0.5362
1.3875
1.3499
1.3241
1.3061
2.1875
2.1738
2.1615
2.1507
0.4917
0.1850
-0.1852
-0.6076
1.4250
1.3967
1.3757
1.3600
2.2917
2.2541
2.2190
2.1878
Hasil yang didapat menunjukan bahwa pada g = 0 nilai energi numerik sama
dengan nilai analitik. Peningkatan nilai g akan menyebabkan peningkatan selisih
energi numerik dan analitik dan dapat disimpulkan hasil numerik menjadi tidak
22
akurat pada nilai g yang tinggi. Selain itu, kenaikan nilai g menyebabkan
penurunan nilai energi eigen pada setiap tingkat. Hal ini sesuai dengan hipotesis
awal.
Fungsi Gelombang dan Energi Vibrasional pada Nilai g Ekstrim
Pada osilator harmonik keadaan genap, dapat terlihat bahwa pada g yang
sangat besar, nilai energi eigennya akan turun satu level di bawahnya. Dapat
disimpulkan bahwa pada nilai g yang sangat besar, terdapat bentuk gelombang
saturasinya. Pada subbab ini akan diperlihatkan bentuk gelombang pada g ekstrim
(g bernilai positif). Fungsi gelombang ang dipilih adalah gelombang osilator
harmonik keadaan kedua, osilator anharmonik De = 2.5 keadaan kedua, dan
osilator harmonik De = 5 keadaan kedua. Keadaan dasar tidak dipilih karena
bedasarkan gambar 9 dan gambar 12, jika g sangat besar maka kurva akan
berbentuk delta Dirac dan metode komputasi tidak efektif untuk membuat fungsi
ini. Keadaan ganjil osilator harmonik tidak dipilih karena g terbukti tidak
berpengaruh pada kurva dan keadaan kedua osilator harmonik dapat mewakili
keadaan genap. Nilai De dan keadaan kedua pada osilator anharmonik dipilih
karena dapat mewakilkan sebagian besar bentuk gelombang di osilator
anharmonik.
No.
1
2
3
De
2.5
5
n
g
xmin
xmax
Enumerik
Eanalitik g ∞
40.0
-4.0
4.0
1.5253
1.5000
2
10000.0
-4.0
10.0
1.8443
1.8681
10000.0
-4.0
6.0
1.8681
2.0398
Tabel 3 Nilai Energi Numerik dan Analitik pada g ekstrim
Gambar 15 Fungsi Gelombang Harmonik pada n = 2, g =45
23
Gambar 16 Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 2.5g = 10000
Gambar 17 Fungsi Gelombang Anharmonik pada n = 2, De = 5g = 10000
24
Hasil diatas merupakan hasil dari fungsi gelombang pada nilai g yang
ekstrim. Pada osilator harmonik keadaan kedua, dapat terlihat simpangan
gelombang pada x = 0 memiliki nilai yang mendekati 0 dan fungsi gelombang itu
memiliki fungsi peluang ( ) yang sama. Selain itu dapat diperkirakan pada g
yang lebih besar lagi ada kemungkinan gelombang akan menjadi fungsi
gelombang keadaan pertama tetapi hal ini tidak bisa dibuktikan menggunakan
komputasi ini. Perbandingan antara nilai eigen analitik dan numerik tidak berbeda
jauh. Karena komputasi hanya bisa membuat grafik pada g = 45.
Pada osilator anharmonik, terlihat pada g ekstrim fungsi gelombang hanya
terbentuk di sisi kanan titik kesetimbangan ataupun di sisi kiri titik
kesetimbangan. Hal ini menandakan fungsi gelombang hanya dapat ditemukan di
sisi kanan ataupun sisi kiri titik kesetimbangan saat g ekstrim. Pergerakan partikel
akan terbatasi di titik kesetimbangannya dan secara umum puncak tertinggi fungsi
gelombang akan cenderung mendekati titik kesetimbangan. Peluang
ditemukannya partikel di titik kesetimbangan akan selalu bernilai nol fungsi
gelombang akan kehilangan sebagian puncaknya. Nilai eigen yang didapat dari
perhitungan numerik dan analitik berbeda signifikan. Hasil oleh metode numerik
menunjukan nilai eigen tersaturasi ke angka yang berbeda dengan metode analitik
yang digunakan.
Munculnya Fungsi Eigen Baru
Pada subbab sebelumnya diketahui terjadi perbedaan hasil yang signifikan
pada metode numerik dan analitik pada osilator anharmonik. Setelah beberapa kali
pengujian diketahui terdapat sifat baru yang muncul pada keadaan energi tertinggi
di osilator anharmonik. Pada nilai g tertentu, akan muncul fungsi gelombang yang
baru yaitu dengan nilai energi diatas energi eigen tertingginya tetapi masih
dibawah nilai De-nya. Nilai De yang digunakan untuk penggambaran adalah 2.5.
Gambar 18 Fungsi Gelombang Anharmonik pada De = 2.5
25
Fungsi gelombang ini memiliki nilai energi eigen sebesar 2.4985 dengan
jumlah puncak sebanyak 6. Dari fungsi gelombang tersebut dapat ditarik
kesimpulan bahwa grafik tersebut bukanlah fungsi gelombang pada keadaan
tertinggi di De = 2.5. Secara teoritik fungsi gelombang tertinggi yang dapat
dihasilkan pada De = 2.5 hanyalah pada keadaan energi keempat yang memiliki 5
puncak gelombang dengan energi eigen 2.4750 tanpa dipengaruhi g. Fungsi
gelombang baru ini memiliki nilai eigen dibawah nilai De (sebesar 2.5) tetapi
berada diatas nilai eigen maksimal (2.470) dan memiliki puncak lebih banyak satu
puncak dibandingkan banyak puncak maksimalnya (sebanyak 5) sehingga dapat
disimpulkan fungsi gelombang berada pada keadaan kelima. Hal ini membuktikan
pengunaan potensial pada nilai g tertentu akan memunculkan fungsi eigen baru
pada gelombang anharmonik. Selain itu apabila nilai g terlalu kecil, maka fungsi
eigen baru ini tidak akan terbentuk.
Sebelumnya fungsi analitik yang telah diturunkan tidak dapat memberikan
kurva penurunan energi eigen pada osilator anharmonik dengan tepat. Hipotesis
yang dapat diberikan dari perbedaan ini adalah terdapat sebuah fungsi eigen baru
(
) yang akan mempengaruhi persamaan (4.13) Persamaan ini harus
ditambahkan nilai (
) yang dipengaruhi nilai
dan g. Diharapkan
pada penelitian selanjutnya penurunan rumus ini dapat dijelaskan
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Potensial delta dan konstanta pasangan (g) dapat menurunkan nilai energi
eigen dari fungsi gelombang baik gelombang harmonik maupun gelombang
anharmonik dengan potensial Morse selain osilator harmonik keadaan ganjil. Pada
osilator harmonik tingkat ganjil, nilai g tidak akan mempengaruh energi eigen
sistem. Pada keadaan dasar baik osilator harmonik maupun osilator anharmonik,
kenaikan nilai g akan menyebabkan fungsi gelombang semakin terpusat pada x =
0. Pada osilator harmonik keadaan ganjil, nilai g tidak akan mempengaruhi fungsi
gelombang. Hal ini dapat dikaitkan dengan perubahan suatu sistem dari BCS ke
BEC dimana ikatan BEC yang bersifat kuat ditunjukan dengan penyempitan
fungsi gelombang ke satu titik. Pada keadaan genap, kenaikan nilai g akan
menggeser fungsi gelombang ke titik keseimbangannya. Pada gelombang
anharmonik, selain keadaan dasar, kenaikan nilai g akan menyebabkan simpangan
gelombang di sisi kanan ataupun di sisi kiri titik keseimbangan turun dan sisi
lainnya naik. Pada keadaan dasar, energi eigen akan turun seiring kenaikan nilai g.
Untuk keadaan energi lainnya, energi eigen akan turun ke nilai saturasinya apabila
nilai g dinaikan dengan pengecualian osilator harmonik keadaan ganjil. Selain itu
potensial delta dan nilai g dapat memunculkan fungsi eigen baru pada potensial
anharmonik.
26
Saran
Diperlukan pengkajian khusus untuk mengetahui nilai fungsi yang muncul
akibat potensial delta dan nilai g sehingga perumusan hubungan antara g dan E
dapat dimodifikasi. Selain itu, disarankan untuk menggunakan metode komputasi
yang lebih akurat sehingga kurva yang didapat pada nilai g yang ekstrim dapat
dikomputasikan. Penggunaan nilai potensial delta dapat dimodifikasi pada titik
selain titik kesetimbangannya ataupun berubah menurut tingakatan fungsi
gelombangnya.
DAFTAR PUSTAKA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Bardeen, J., Cooper, L. N., & Schrieffer, J. R. 1957. Microscopic Theory
of Superconductivity. Physical Review 106 , 162–164
Pethick, C., & Smith, H. 2008. Bose-Einstein Condensation in Dilute
Gases. Cambridge: Cambridge University Press.
Lima, E. F., & Hornos, J. E. 2005. Matrix Elements for the Morse
Potential Under an External Field. Journal of Physics B: Atomic,
Molecular and Optical Physics , 815-825.
Griffiths, D. J. 1995. Introduction to Quantum Mechanics. New Jersey:
Prentice Hall, Inc.
Dirac, P. 1958. Principles of Quantum Mechanics 4th Edition. Oxford:
Clarendon Press.
Gasiorowicz, S. 2003. Quantum Physics. New Jersey: John Wiley & Sons,
Inc.
Sakurai, J. J., & Napolitano, J. 1994. Modern Quantum Mechanics. San
Fransisco: Pearson Education, Inc.
Nave, R. Quantum Harmonic Oscillator. [internet] [diacu 2014 Februari
22]. Tersedia dari: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum
/hosc.html
Spiegel, M. R., Lipschutz, S., & Liu, J. 2009. Schaum's Outlines
Mathematical Handbook of Formulas and Table. New York: McGrawHill Companies, Inc.
Morse, P. M. 1929. Phys. Rev. 34 , 57-64
Barrow, G. M. 1962. Introduction to Molecular Spectroscopy. New York:
McGraw-Hill Book Company, Inc.
Schlick, T., & Pesikin, C. S. 1989. Can Classical Equations Simulate
Quantum-Mechanical Behavior? A Molecular Dynamics Investigation of a
Diatomic Molecule with a Morse Potential. Communications on Pure and
Applied Mathematics, Vol. XLII , 1141-1163
Jensen, R. H. Wavefunctions of the Morse Potential. internet] [diacu 2014
Februari 22]. Tersedia dari: http://www.consol.ca/downloads/MathCad/
Morse.pdf
Heirs, M. C. 1990. Generalizations of Classical Laguerre Polinominals
and Some q-Analogues. Baarn: Cordon Art.
Koonin, S. E., & Meredith, D. C.. 1990. Computational Physics Fortran
Version Westview Press
Press, M. P, et all. 2007. Numerical Recipes The Art of Science Computing.
Cambridge: Cambridge University Press.
27
LAMPIRAN
Lampiran 1: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 2.5, n = 0
(b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 2.5, n = 1
(a)
(b)
28
Lampiran 2: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 5.0, n = 1
(b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 0
(a)
(b)
29
Lampiran 3: (a) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 1
(b) Fungsi gelombang anharmonik pada De = 7.5, n = 2
(a)
(b)
30
RIWAYAT HIDUP
Penulis yang bernama Bima Maha Putra dilahirkan
di Jakarta pada tanggal 09 Oktober 1992. Penulis adalah
anak kedua dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Drs
Benny Budianto dan Ibu Dra Rochila Klana Djuwita.
Penulis menyelesaikan studi di SMA Negeri 3 Kota
Tangerang Selatan tahun 2010 dan dan pada tahun yang
sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor
(IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI) dan diterima di Departemen Fisika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengajar di bimbingan
Gemilang Excellent pada tahun 2011 sampai dengan tahun 2013 pada bidang
Pengantar Matematika, Kalkulus I, dan Fisika dan pernah menjadi asisten mata
kuliah Sensor dan Tranduser tahun ajaran 2013/2014,. Penulis juga merupakan
calon mahasiswa berprestasi departemen fisika tahun ajaran 2012/2013 dan
2013/2014. Selain bidang keilmuan, penulis juga aktif dalam bidang seni salah
satunya sebagai salah satu pemeran dan penulis cerita dalam drama musikal fisika
dan pernah mendapatkan juara pada tahun 2012 untuk bidang dramus se-fakultas
MIPA IPB. Prestasi penulis pada bidang keilmuan adalah pernah mengikuti OSN
Pertamina tingkat provinsi tahun 2012 di Bandung dan Olimpiade Nasional MIPA
tingkat kopertis tahun 2012, 2013 , dan 2014 di Jakarta untuk bidang keilmuan
fisika. Penulis juga mendapatkan Honorable Mantion pada Olimpiade Nasional
MIPA Tingkat Nasional tahun 2013 di Yogyakarta pada bidang keilmuan fisika.