Dinamika Soliton DNA Kuintik dengan Koefisien Dispersi dan Nonlinearitas Bergantung Ruang Berdasarkan Prinsip Variasi

DINAMIKA SOLITON DNA KUINTIK DENGAN KOEFISIEN
DISPERSI DAN NONLINEARITAS BERGANTUNG RUANG
BERDASARKAN PRINSIP VARIASI

CASSANDRA MUTIARA

DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi yang berjudul Dinamika Soliton
DNA Kuintik dengan Koefisien Dispersi dan Nonlinearitas Bergantung
Ruang Berdasarkan Prinsip Variasi adalah benar karya saya di bawah
bikbingan Dr. Husin Alatas, S. Si, M. Si dan belum pernah diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2013

Cassandra Mutiara
G74090049

ABSTRAK
CASSANDRA MUTIARA. Dinamika Soliton DNA Kuintik dengan Koefisien
Dispersi dan Nonlinearitas Bergantung Ruang Berdasarkan Prinsip Variasi.
Dibimbing oleh HUSIN ALATAS.
Deoxyribonucleic Acid (DNA) adalah salah satu biomolekul yang paling
penting dalam sel dan mempunyai fungsi yang sangat penting dalam mentransfer
informasi genetik. Struktur double helix DNA sangat kompleks yang berhubungan
dengan proses biologis seperti pada proses transkripsi DNA. Pada awal proses
tersebut terjadi denaturasi gelembung yang merupakan proses dengan amplitudo
kecil, selama dapat merambat sepanjang untai yang memungkinkan pembukaan
ikatan hidrogen dan pembentukan gelombang denaturasi. Tujuan penelitian ini
adalah untuk menggambarkan mekanisme denaturasi gelembung pada DNA
dengan amplitudo yang besar yang dinyatakan dalam persamaan QNLS dimana

koefisien dispersi dan nonlinearitas bergantung ruang dengan prinsip variasi.
Profil-profil yang ditinjau menunjukan adanya pergerakan untai DNA kearah
kanan dan pertambahan kecepatan jika mengalami efek dispersi yang lebih besar,
sedangkan jika diberi pengaruh nonlinearitas yang semakin besar maka
melibatkan sedikit nukleotida tetapi tidak mempengaruhi kecepatan untai DNA itu
sendiri.
Kata kunci: denaturasi gelembung, dispersi, DNA, nonlinearitas, QNLS

ABSTRACT
CASSANDRA MUTIARA. Dynamics Of Quintic DNA Soliton With The
Coefficient Of Dispersion And Nonlinearity Dependent Spaces Based On The
Principle Of Variation. Supervised by HUSIN ALATAS.
Deoxyribonucleic acid is one of the most important biomolecules in the cell
and has an important function in transferring genetic information. The double
helix structure in DNA is indeed very complex especially when it is related to the
biological process such as DNA transcription. In the initial process of
transcription, the bubbling denaturation, a process with small amplitude will keep
continuing as far as the denaturation process keeps propagating along the DNA
strain which then allows the denaturation of the hydrogen bond and the forming of
the denaturation wave, occured. The aim of this research is to describe the

mechanism of bubling denaturation in DNA with the great amplitude which is
stated in the QNLS equation in which the dispersion and nonlinearity coefficient
dependent spaces based on the principle of variation. The profiles examined, show
the increasing of velocity of DNA strain if the dispersion effect is larger. If the
nonlinearity increases, then the DNA denaturation comprises only a few of
nucleotides, but does not affect the velocity of the DNA strain itself.
Keywords: bubble denaturation, dispertion, DNA, nonlinearity, QNLS

DINAMIKA SOLITON DNA KUINTIK DENGAN KOEFISIEN
DISPERSI DAN NONLINEARITAS BERGANTUNG RUANG
BERDASARKAN PRINSIP VARIASI

CASSANDRA MUTIARA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika

DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

Judul
Nama
NIM

: Dinamika Soliton DNA Kuintik dengan Koefisien Dispersi dan
Nonlinearitas Bergantung Ruang Berdasarkan Prinsip Variasi
: Cassandra Mutiara
: G74090049

Disetujui oleh

Dr. Husin Alatas, S. Si, M.Si
Pembimbing

Diketahui oleh

Dr. Akhiruddin Maddu
Ketua Departemen Fisika IPB

Tanggal Lulus:

KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat dan kasih karunia yang
diberikan-Nya, akhirnya penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan
judul “Dinamika Soliton DNA Kuintik dengan Koefisien Dispersi dan
Nonlinearitas Bergantung Ruang Berdasarkan Prinsip Variasi”.
Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Kedua orang tuaku tercinta, Bapak Kisman dan Ibu Yanti Chandra, Ci
Grace, dede Agnes, Ie Okta, dan keluarga besar Cen serta ko Junius yang
selalu memberikan doa, nasehat, dan motivasi kepada penulis,
2. Bapak Dr. Husin Alatas sebagai dosen pembimbing skripsi,
3. Bapak Mahfuddin Zuhri, M.Si selaku pembimbing akademik serta semua
dosen dan staff Departemen Fisika,
4. Rekan kerja terkasih Nurul Huda, teman seperjuangan Upri, Nadia, Firda,

Robi, Made, Rady, Pak komti Zas, teman-teman 46 lainnya, senior-senior
angkatan 44 dan 45, yang telah saling mengingatkan dan memberikan
semangat.
5. Ci Erni, Stella, Irena, Irma, kakak tik-tik, dan keluarga besar “Family
House” yang selalu menemani belajar bersama, serta ko Ali yang juga
ikut memberikan motivasi untuk menyelesaikan skripsi ini dengan cepat.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Oleh
karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diperlukan bagi
penulis. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semuanya. Damai sejahtera dan kasih
karunia Tuhan Yang Maha Esa selalu menyertai kita semua. Amin.
Bogor, April 2013
Cassandra Mutiara

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................... i
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................... ii
PENDAHULUAN ................................................................................................. 1
Latar Belakang ........................................................................................... 1
Perumusan Masalah ................................................................................... 2

Tujuan Penelitian ....................................................................................... 2
Manfaat Penelitian ..................................................................................... 2
Ruang Lingkup Penelitian ......................................................................... 2
TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................................... 2
Struktur DNA............................................................................................. 2
Proses Replikasi dan Transkripsi DNA ..................................................... 3
Denaturasi Gelembung .............................................................................. 5
Gelombang Soliton DNA Model PBD ...................................................... 5
Persamaan QNLS..................................................................................... 10
METODE ………………………………………………………………………..10
Waktu dan Tempat ................................................................................... 10
Alat dan Bahan ........................................................................................ 10
Studi Pustaka ........................................................................................... 10
Penurunan Solusi Secara Analitik ........................................................... 11
Analisa Hasil Perhitungan Analitik ......................................................... 11
HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 11
Solusi Variasional Persamaan QNLS Ideal ............................................. 11
Solusi Varisional Persamaan QNLS Pertubatif ....................................... 13
Analisa Hasil Perhitungan ....................................................................... 15
SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................. 22

Simpulan .................................................................................................. 22
Saran ........................................................................................................ 23
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 23
LAMPIRAN ……………………………………………………………………..25
RIWAYAT HIDUP ............................................................................................... 52

DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. (a) Rangkaian kimiawi basa nitrogen pada DNA (b) Struktur DNA
double helix lengkap ............................................................................ 3
Gambar 2. (a) stuktur double helix DNA saat terjadi replikasi (b) replikasi
semikonservatif .................................................................................... 3
Gambar 3. Proses Transkripsi DNA........................................................................ 4
Gambar 4. Representasi grafis model pegas sederhana untuk untai DNA2 ............ 5
Gambar 5. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA ideal pada saat =
0.1, A1 = 1, P = 20, dan R = 20 (a) Plot F terhadap S pada t = 0 (b)
Profil soliton DNA tampak atas (c) Profil soliton DNA dalam tiga
dimensi............................................................................................... 16
Gambar 6. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA ideal pada saat =
0.1, A1 = 1; dimana grafik merah menunjukan grafik pada saat P = 20
R = 20, grafik biru pada saat P = 100 R = 20, dan grafik hijau pada

saat P = 20 R = 100............................................................................ 16
Gambar 7. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 1 pada saat
= 0.1, A1 = 1 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 20 (b) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F terhadap S
pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas pada P =
100, R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F terhadap S,
dimana grafik berwarna merah menunjukan grafik pada saat P = 20 R
= 20, grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik hijau pada saat P
= 20 R = 100 ...................................................................................... 18
Gambar 8. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 2 pada saat
= 0.1, A1 = 1, c = 50, j = 150 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R =
20 (b) Profil soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F
terhadap S pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas
pada P = 100, R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f)
Profil soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F
terhadap S, dimana grafik berwarna merah menunjukan grafik pada
saat P = 20 R = 20, grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik
hijau pada saat P = 20 R = 100 .......................................................... 19
Gambar 9. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 3 pada saat

= 0.1, A1 = 1 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 20 (b) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F terhadap S
pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas pada P =
100, R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F terhadap S,
dimana grafik berwarna merah menunjukan grafik pada saat P = 20 R
= 20, grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik hijau pada saat P
= 20 R = 100 ...................................................................................... 20
Gambar 10. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 4 pada saat
= 0.1, A1 = 1 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 20 (b) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F terhadap S
pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas pada P =

100, R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F terhadap S,
dimana grafik berwarna merah menunjukan grafik pada saat P = 20 R
= 20, grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik hijau pada saat P
= 20 R = 100 ...................................................................................... 22

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A. Solusi Variasional Persamaan QNLS Ideal...................................... 26
Lampiran B. Solusi Variasional Persamaan QNLS Pertubatif .............................. 29
Lampiran C. Program Analisa Persamaan QNLS Ideal ........................................ 46
Lampiran D. Program Analisa Persamaan QNLS Kasus 1 ................................... 47
Lampiran E. Program Analisa Persamaan QNLS Kasus 2 .................................... 48
Lampiran F. Program Analisa Persamaan QNLS Kasus 3 .................................... 49
Lampiran G. Program Analisa Persamaan QNLS Kasus 4 ................................... 50

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang
Soliton adalah gelombang nonlinear berbentuk gelombang soliter (sebuah
paket gelombang atau pulsa) yang mempertahankan bentuknya dan menjalar
dengan kecepatan konstan. Soliton disebabkan oleh efek nonlinear dan efek
dispersif dalam medium. Efek dispersif merujuk pada hubungan dispersi,
hubungan antara frekuensi dan kecepatan gelombang dalam medium.
Dalam istilah yang lebih teknis, dapat dikatakan bahwa soliton merupakan
solusi klasik persamaan diferensial parsial nonlinear yang memiliki energi total
berhingga, terlokalisasi dalam ruang, bersifat stabil dan tidak menyebar. Ketika
mengalami interaksi, soliton dapat mempertahankan cirinya dengan kecepatan dan
bentuk yang sama, yakni bersifat stabil.
Gejala soliton muncul dalam berbagai bidang sains, salah satunya adalah
biofisika pada Deoxyribonucleic Acid (DNA). Penemuan mengenai struktur
double helix DNA tidak diragukan lagi sebagai salah satu penemuan yang paling
penting dalam sejarah ilmu pengetahuan1. DNA adalah salah satu biomolekul
yang paling penting dalam sel dan mempunyai fungsi yang sangat penting dalam
mentransfer informasi genetik. Struktur double helix DNA sangat kompleks yang
berhubungan dengan proses biologis seperti pada proses transkripsi DNA. Proses
tersebut (denaturasi) merupakan proses dengan amplitudo kecil, selama dapat
merambat sepanjang untai yang memungkinkan pembukaan ikatan hidrogen dan
pembentukan gelombang denaturasi.2
Usaha untuk menjelaskannya pertama kali dilakukan oleh Englander et al 1,
dan kemudian dimodifikasi oleh banyak peneliti dengan keakuratan yang
meningkat. Pada model-model tersebut, pergerakan torsi DNA dianggap
bertanggung jawab penuh terhadap proses pembukaan DNA. Pada sisi yang lain,
Peyrard dan Bishop1 telah mengembangkan model yang sederhana dengan
menitikberatkan pada perambatan pembukaan pasangan basa terlokalisasi dikenal
sebagai bubble denaturasi (gelembung denaturasi), yang terjadi akibat pergerakan
transversal (peregangan) dari setiap untaian pada arah ikatan hidrogen. Kemudian,
Dauxois2 menyisipkan pasangan (coupling) helicoidal diantara setiap untaian ke
dalam model. Helicoidal ini atau yang dikenal sebagai model Peyrard-BishopDauxois (PBD).2
Model PBD dapat menampung keberadaan gelombang soliton. Persamaan
gelombang soliton yang sampai saat ini sudah diinvestigasikan untuk mempelajari
dinamika dari pembukaan DNA dengan amplitudo yang lebih besar belum pernah
melebihi orde 4. Sehingga peneliti sebelumnya memasukan konteks orde ke-5 ini
yang dikenal sebagai Persamaan Quintic Nonlinear Schrodinger (QNLS) dengan
menggunakan ekspansi Taylor, dimana koefisien dispersi dan nonlinearitasnya
masih berupa konstanta.
Berdasarkan fakta ini, penelitian yang sekarang ini mendiskusikan solusi
persamaan QNLS dengan koefisien dispersi dan nonlinearitas bergantung runag
berdasarkan prinsip variasi.

2
Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang ditinjau dalam tugas akhir ini meliputi pemecahan
persamaan QNLS akibat pengaruh koefisien dispersi (P) dan nonlinearitas (R)
yang tidak bergantung ruang dan bergantung ruang dengan berbagai profil P(S)
dan R(S) berdasarkan prinsip variasi.

Tujuan Penelitian
Studi ini bertujuan untuk menyelesaikan dinamika soliton persamaan QNLS
akibat pengaruh koefisien dispersi (P) dan nonlinearitas (R) yang tidak bergantung
ruang dan bergantung ruang dengan berbagai profil P(S) dan R(S) berdasarkan
prinsip variasi, sehingga dapat menerangkan mekanisme denaturasi terhadap
gelombang soliton DNA.

Manfaat Penelitian
Studi ini bermanfaat untuk memberikan pengetahuan tentang dinamika
soliton DNA kuintik dan aplikasinya terhadap mekanisme denaturasi DNA bagi
kepentingan pengembangan sains.

Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini dibatasi dengan persamaan QNLS dimana koefisien dispersi
(P) dan nonlinearitas (R) merupakan koefisien yang bergantung ruang dengan
berbagai profil P(S) dan R(S).

TINJAUAN PUSTAKA

Struktur DNA
DNA pada dasarnya merupakan struktur kompleks yang terdiri dari dua
untaian polimer yang linear dari nukleotida, dimana setiap untai terdiri atas gula,
basa purin [adenin (A) dan guanin (G)], basa pirimidin [timin (T) dan sitosin (S)],
dan fosfat2. Setiap adenine dalan untai DNA berkaitan dengan timin yang terdapat
pada untai yang lain oleh dua ikatan hidrogen, sedangkan sitosin saling
melengkapi dengan guanine oleh tiga ikatan hidrogen3. Dua untai polinukleotida
ini terhubung dengan ikatan hidrogen yang lemah sehingga mudah putus oleh
pemanasan. Keadaan tersebut dinamakan denaturasi DNA. Dinamika pembukaan

3
pasangan basa atau proses denaturasi terjadi karena adanya perambatan energi
pada DNA , adanya pengaruh enzim helikase dan suasana alkali1,3.

(a)
(b)
3
Gambar 1. (a) Rangkaian kimiawi basa nitrogen pada DNA (b) Struktur DNA
double helix lengkap4
DNA memiliki beberapa fungsi, yaitu sebagai pembawa informasi genetik
dari suatu generasi ke generasi lainnya, mengontrol aktivitas dalam sel,
menentukan proses pembentukan protein (sintesis protein), dan membentuk
RNA3.

Proses Replikasi dan Transkripsi DNA
DNA sebagai pembawa informasi genetik dapat berfungsi sebagai
heterokatalis dan autokatalis. Heterokatalis artinya DNA dapat menyintesis
molekul lain seperti membentuk RNA, sedangkan autokatalis artinya DNA
mampu membentuk atau memperbanyak dirinya sendiri.
Fungsi DNA sebagai autokatalitik dilakukan melalui proses replikasi. Proses
replikasi DNA merupakan proses dimana untai DNA sebagai template untuk
menghasilkan DNA baru melalui reaksi hidrolisis oleh enzim helikase sehingga
terbentuk dua untai tunggal mononukleotida. Replikasi DNA dikatakan
semikonservatif jika masing-masing untai DNA berlaku sebagai template untuk
sintesa untai baru, dua molekul DNA baru akan dihasilkan, masing-masing
dengan satu untai baru dan satu untai lama dengan bantuan enzim polimerase5.

(a)

(b)

Gambar 2. (a) stuktur double helix DNA saat terjadi replikasi6 (b) replikasi
Semikonservatif7

4
Setelah proses replikasi, sel membelah dan salinan DNA ini diwariskan ke
sel-sel anak. Tetapi banyak perubahan gen yang diwariskan kepada sel anak yang
terjadi melalui rekombinasi (pertukaran gen dan kromosom) dan mutasi (akibat
perubahan pada DNA). Ekspresi gen didalam sel memerlukan dua proses,
transkripsi dan translasi. DNA mengalami transkripsi untuk menghasilkan asam
ribonukleat (RNA) dan kemudian melalui proses translasi akan menyintesis
protein8. Informasi genetik pada DNA berupa kode-kode sandi atau kode genetik.
Grup nukleotida yang spesifik untuk satu asam amino disebut kode atau kodon.
Kodon terdiri dari kodon singlet, duplet, dan triplet.
Transkripsi adalah proses pembentukan RNA dengan DNA sebagai
modelnya. RNA mengandung gula D-ribosa, basa nitrogen pirin (adenin [A] dan
guanin [G]), basa nitrogen pirimidin (sitosin [S] dan urasil [U]), dan senyawa
fosfat. Ketika terjadi proses transkripsi, RNA akan disintesis mulai dari ujung 5’
ke ujung 3’ sehingga untai RNA komplementer (yang merupakan pasangan DNA
template) dibentuk secara antiparalel terhadap untai DNA dengan bantuan enzim
RNA polimerase. Semua gen direkam pada molekul RNA yang memiliki panjang
kurang lebih sama dengan DNA template.

Gambar 3. Proses Transkripsi DNA9
Transkripsi terjadi dalam tiga tahap, yakni inisiasi, elongasi, dan terminasi.
Pada tahap insiasi, RNA polimerase menempel pada promoter, yakni urutan basa
nitrogen khusus pada DNA yang dapat memberikan sinyal inisiasi transkripsi.
Untai DNA yang digunakan pada proses perekaman gen hanya satu buah,
dinamakan untai sense. Tahap elongasi ditunjukan oleh aktivitas RNA polimerase
yang bergerak sepanjang untai DNA sehingga dihasilkan untai RNA yang
mengandung urutan basa nitrogen pertama sebagai hasil perekaman (leader
sequence). Perekemanan tersebut menghasilkan tiga puluh buah basa nitrogen
yang diikat oleh suatu senyawa kimia pada ujung 5’RNA. Senyawa kimia tersebut
berfungsi sebagai penutup (chemical cap) yang memberikan sinyal insisiasi pada
tahap translasi dan mencegah terjadinya degradasi RNA. Ketika memasuki tahap

5
terminasi, proses perekaman (transkripsi) berhenti dan molekul RNA yang baru
akan terpisah dari DNA template. Akhirnya dihasilkan produk transkripsi yang
lengkap dinamakan mRNA.3

Denaturasi Gelembung
Denaturasi gelembung terjadi bersamaan dengan proses transkripsi DNA
(gambar 3). Sebelum RNA polimerase bergerak, enzim restriksi endonuklease
(RNE) berperan dalam proses awal ini. Enzim RNE mengenai kodon triplet basa
nitrogen sehingga terjadi pembukaan ikatan hidrogen pada untai DNA. Enzim
RNE mempunyai sisi aktif yang mengakibatkan terjadinya fase transisi dimana
enzim tersebut akan terikat sementara dengan kodon triplet yang menandakan
lokasi terjadinya pembukaan ikatan hidrogen tersebut. Namun, enzim RNE juga
dapat menyetabilkan pembukaan ikatan hidrogen yang terjadi oleh ikatan
hidrogen juga dengan posisi yang berbeda, yaitu antara enzim dan basa
nitrogennya. Pembukaan untaian yang diikuti dengan penutupan kembali untaian
DNA inilah yang dikenal sebagai denaturasi gelembung (bubble denaturation).

Gelombang Soliton DNA Model PBD
Struktur DNA dimodelkan oleh James Watson dan dan Francis Crick yang
menjelaskan bagaimana DNA bekerja sebagai template untuk replikasi dan
penyaluran informasi genetik8. Bentuk B-DNA dalam model Watson-Crick
merupakan helix ganda, terdiri atas dua jalur s1 dan s2 (gambar 4) yang
dihubungkan oleh interaksi secara harmonik dengan tetanggaterdekat sepanjang
untai. Untai dipasangkan satu sama lain oleh suatu ikatan hidrogen, yang
bersesuaian untuk perpindahan transversal nukleotida.

Gambar 4. Representasi grafis model pegas sederhana untuk untai DNA10
Berdasarkan gambar 4, massa nukleotida pada DNA dan kopling k konstan
di sepanjang untai yang sama. Struktur helikoid dari untai DNA yang
menunjukkan bahwa adanya interaksi dua nukleotida yang berdekatan seperti
nukleotida n dan (n+h) serta n dan (n-h). nukleotida selanjutnya mengalami

6
perpindahan gerak transversal un dan vn dari ruang keseimbangannya di sepanjang
arah ikatan hidrogen. Perambatan energi nukleotida pada DNA tersebut diberikan
melalui Hamiltonian2
m

H ∑N {

v )

(u

[(un - vn k )

k

[ un - un-

vn - vn-

]

un - vn-k ] D[exp(-a[un - vn ]) - ]

}

(1)

Dimana un(t) dan vn(t) adalah fungsi bergantung waktu yang mempresentasikan
ruang dari nukleotida ke-n pada dua untaian. Persamaan (1) menggambarkan
pergerakan transversal dari -nukleotida pada DNA dengan mengasumsikan
mempunyai massa yang sama, k adalah konstanta harmonik helicoids untuk untai
yang sama, K adalah konstanta harmonik helicoids untuk untai yang berbeda, D
adalah kedalaman potensial Morse, dan a adalah jarak antar nukleotida pada untai
yang berbeda.Dengan mentransformasikan persamaan (1) ke koordinat pusat
massa yang mewakili gerak transversal ke dalam dan ke luar, maka akan
memudahkan menggambar gerakan dua alur, yaitu
xn

un vn

(un - vn )

dan yn

√

(2)

√

Dari transformasi ini, maka akan menghasilkan persamaan gerak DNA yang
menggambarkan gelombang linear dan gelombang nonlinear
-

-

-

k yn - yn yn-

myn

yn

-

√ aD(exp[- a√ yn ] - ) exp[- a√ yn ]

yn yn-h

h

(3a)

-

(3b)

Seperti dijelaskan sebelumnya, bahwa pergerakan DNA dengan amplitudo
yang besar akan menimbulkan efek nonlinearitas yang direpresentasikan melalui
persamaan (3b), yang kemudian ditransformasikan oleh
yn

⁄

(4)

n

Dimana
dan menerapkan ekspansi Taylor orde ke-5, didapatkan
persamaan gerak untuk
k
n

m
m

Dimana
g

(

(

a D
m

n

-

n

n h

n

-

n-

)-

n-h )

3a

a

√

3

-

g(

-

n

5a3
√

n

3
n

n

)

(5)

(6)

7
Dengan solusi pendekatan semi-diskrit diperoleh
n

nl t exp i

F

n

⁄

cc

[

F

F nl t
nl t exp i

n

cc

] O

(7)

Dengan mengasumsikan orde ⁄ pada suku sebelah kanan persamaan (7) sedikit
berbeda dengan persamaan aslinya. Pada persamaan (7) varibel
nql - t, dengan parameter l
dan q
yang
n
menyatakan jarak antara dua nukleotida yang berdekatan pada untai yang sama,
frekuensi vibrasi, dan setara dengan bilangan gelombang, sedangkan k adalah
panjang gelombang yang terkait. Fungsi Fi divariasikan untuk i = 0, 1, 2 dengan
ruang yang sama pada orde . Hal ini berbeda dengan pendekatan sebelumnya
dimana kecilnya amplitudo pada pembukaan basa dan lembutnya variasi
gelombang dalam ruang-waktu pada orde yang sama, dianggap berbeda.
Perbedaan ini akan dinyatakan dalam ekspansi Taylor orde kelima untuk
persamaan gerak DNA.
Untuk pendekatan semi-diskrit, dapat diasumsikan nl sebagai z untuk fungsi
Fi
Fi [ n h l t]

Fi

T

hl

Fi

h l

Fi

i

(8)

Dimana variabel kontinu z dan t telah ditransformasi oleh z
dan t T .
Kemudian persamaan (7) ke dalam persamaan (5) dengan mengumpulkan exp(i0)
diperoleh hubungan dari orde ⁄ :
F

|F |

(9)

dimana
-

(10)

m g

Di sisi lain, dari suku harmonik (exp[2i n ]), didapatkan hubungan F2 :
F

F

(11)

dimana
m g
[k(cos ql- )-

cos qlh

] m(

- g)

(12)

Dari persamaan dasar (9) dan (11), akan diperoleh kondisi konsisten untuk
exp(i0) dengan orde 3⁄ :
(

)

(13)

dengan hanya memfokuskan pada suku harmonic exp(i n ) dan mengabaikan efek
pada orde yang lebih tinggi, maka diperoleh persamaan:

8
F

F
T

i

T

F

k
m
{ m
-

orde

F cos ql

i l

F cos ql

g

{

F
3 (

sin ql

F

i lh

[

F

l

sin qlh

cos ql
F

lh

cos qlh

] |F | F

3

)

3

|F | F

}
(14)

}

Hubungan dispersi dapat dicari dengan menyamakan persamaan (14) dengan
:
m

[k( - cos ql)

cos ql h ]

(15)

g

Selanjutnya, didefinisikan koordinat perpindahan: S
hasil transformasi persamaan (14) adalah
l
g- m

(k sin ql - h sin qlh)

F

i

S

g

Untuk orde , sedangkan untuk orde
[

F

l
g- m (

k cos ql
)]
- h cos qlh

F
S

-i

F

-

[

gT

-

dan

3 ]|F | F

T, sehingga

(16)

diberikan oleh:
g

3 (

3

)

|F | F

(17)

Dari hubungan dispersi pada persamaan (15), diperoleh hubungan kecepatan
grup yang didefinisikan dengan g d dq, diberikan oleh:
l

g

m

(k sin ql - h sin qlh)

(18)

Dengan mudah dapat dilihat bahwa kecepatan grup (18) menghilangkan suku
sebelah kiri pada persamaan (16). Hal ini menyebabkan, melalui persamaan (12)
diperoleh kondisi konsistensi yang kedua:
3

(19)

Ini menarik karena sisi kiri pada persamaan (18) sebanding dengan koefisien “Q”
pada persamaan CNLS. Pemecahan secara simultan dari kondisi konsisten pada
persamaan (13) dan (19) diperoleh dan :
-

√

-

(20a)

9
√

-

-

(20b)

dimana
dan diberikan oleh persamaan (6). Dengan mudah dibuktikan
⁄
bahwa persamaan (20) selalu real dengan syarat
.
Dengan mengevaluasi persamaan (20) dengan persamaan (10), (12) dan
hubungan disperse (15), akan didapatkan konstanta pegas k dan K yang
dinyatakan dalam parameter ql, a, D, h, dan m:
- m
k

m g

(21a)

g

-3

[cos qlh -

cos qlh

]

(cos ql - )

(21b)

persamaan (21b) menjadi tak hingga untuk ql
. Perlu disadari bahwa
konstanta k dan K merupakan sifat internal dari struktur DNA terkait, sedangkan
bilangan gelombang q menentukan karakteristik osilasi pada pembukaan DNA.
Persamaan (21) menunjukkan bahwa keberadaan pembukaan DNA terkait dibatasi
karena nilai k dan K secara unik ditentukan oleh parameter ql, a, D, h, dan m.
berdasarkan persamaan (17), persamaan QNLS secara singkat dapat
dituliskan sebagai
i

P

S

dengan

R| |

(22)

l

P

[ (k cos ql - h cos qlh)m

R -

g

[3 (

)

3

g]

(23a)
]

(23b)

Pada point ini, sangat berguna untuk menuliskan kembali persamaan CLNS
yang sudah didapatkan sebelumnya:
i

P

S

Q| |

(24)

dimana P diberikan oleh persamaan (23a), sedangkan
Q

-

g

[

3 ]

(25)

Sudah dibuktikan bahwa koefisien Q pada CNLS (24) sebanding dengan sisi kiri
pada keadaan konsisten (19) sehingga Q=0 untuk parameter terkait, khususnya k,
K, dan ql.
Berdasarkan fakta tersebut, persamaan QNLS (22) merupakan persamaan
yang dibatasi dengan parameter-parameter terkait yang tidak dapat diselesaikan

10
oleh persamaan CNLS (24). Sama halnya dengan CNLS, QNLS juga merupakan
solusi soliton yang mempunyai karakteristik dinamik yang berbeda.

Persamaan QNLS
Persamaan QNLS dinyatakan melalui persamaan (22). Persamaan QNLS
merupakan persamaan dengan orde kelima yang diduga mempunyai keakuratan
lebih tinggi dibandingkan orde sebelumnya dan mampu menampung dinamika
denaturasi DNA. Pada persamaan (22) suku P dan R yang dimaksud merupakan
sebuah koefisien dispersi dan nonlinearitas.
Koefisien P dan R persamaan (22) masih merupakan konstanta. Pada
persamaan QNLS yang akan dibahas ini, parameter a menjadi an, artinya semua
koefisien P dan R adalah fungsi yang terkait dengan ruang yaitu P(S) dan R(S).
Profil P(S) dan R(S) yang akan dibahas merupakan kasus kontinu.

METODE

Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor mulai
bulan Juni 2012 sampai bulan April 2013.

Alat dan Bahan
Alat dan bahan yang digunakan adalah pensil, kertas, penghapus, laptop
pribadi yang dilengkapi dengan perangkat lunak Maple 15 dan MATLAB R2011a
yang bertujuan untuk mempermudah dan menganalisa hasil perhitungan serta
simulasi dari hasil perhitungan analitik.

Studi Pustaka
Studi pustaka dilakukan untuk memahami proses penyelesaian persamaan
Cubic Nonlinear Schrodinger (CNLS) dengan prinsip variasi yang menjadi acuan
dalam menyelesaikan persamaan QNLS untuk interaksi dua soliton sehingga
mempermudah mendapatkan anzats (solusi tebakan) persamaan QNLS untuk
memperoleh dinamika parameter yang terkait.

11
Penurunan Solusi Secara Analitik
Metode ini dilakukan dengan memvariasikan koefisien dispersi P(S) dan
nonlinearitas R(S) ke dalam persamaan (20) sampai persamaan (23), sehingga
diperoleh dinamika parameter soliton termodifikasi yang terkait.
Profil P(S) dan R(S) divariasikan sebanyak 8 kasus dengan :
1. P S

tanh (S dan R S

sech (S

2. P S

tanh (S dan R S

tanh (S

3. P S

{

4. P S

{

5. P S

c - S
j
S

dan R S

sech (S

c - S
j
S

dan R S

tanh (S

sech (S dan R S

sech (S

6. P S

sech (S dan R S

tanh (S

7. P S

tanh (S dan R S

sech (S

8. P S

tanh (S dan R S

tanh (S

Analisa Hasil Perhitungan Analitik
Metode ini dilakukan dengan memakai dua jenis perangkat lunak yaitu
Maple 15 dan MATLAB R2011a. Perangkat lunak Maple 15 digunakan untuk
mempermudah perhitungan integral, penurunan terhadap parameter terkait, dan
penggambaran kurva trigonometri hiperbolik, sedangkan MATLAB R2011a
digunakan untuk menganalisis dan mensimulasi sehingga menperoleh gambar
solusi persamaan QNLS soliton DNA.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Solusi Variasional Persamaan QNLS Ideal
Persamaan DNA tidak bergantung ruang dipresentasikan dalam persamaan
(22) dengan nilai konstanta R yang merupakan koefisien nonlinearitas dan
konstanta P yang merupakan koefisien dispersi. Untuk memecahkan persamaan
(22) maka diperlukan sebuah fungsi tebakan (anzats), dengan F sebagai fungsi
dari ruang (S) dan waktu ( )

12
F S

sech {A ( [S-v( ]} exp i{

A

S-w( }

(26)

dimana A1, A2, v, , dan w merupakan parameter soliton yang mewakili
amplitudo, lebar, kecepatan, bilangan, dan fase gelombang.
Sebelum menyubtitusi persamaan (26) ke persamaan (22) untuk
mendapatkan parameter dan membuktikan bahwa persamaan (26) adalah anzats
yang tepat, maka persaman (22) harus dibuktikan terlebih dahulu melalui
persamaan Euler-Lagrange:
d

Lg

d

Lg

d

x

dS

xS

-

Lg

(27)

x

dimana x mempresentasikan F atau F̅ , yang didiferensialkan terhadap ruang dan
waktu, dan Lg merupakan kerapatan Lagrangian persamaan QNLS yang diberikan
oleh
Lg

i

(FF̅ - F̅ F ) P|FS | -

R
3

|F|

(28)

Dengan menyubtitusi persamaan (28) ke persamaan (27), maka terbukti
persamaan (22) merupakan persamaan QNLS dan untuk konjugatnya. Langkah
selanjutnya adalah dengan menyubtitusi anzats pada persamaan (26) ke
persamaan (28) kemudian mengintegrasikannya terhadap ruang
L ∫- Lg dS

(29)

Diperoleh
A

L

v-w

A

P

[A

]-

R

A

(30)

Dan dengan menggunakan persamaan reduksi Euler-Lagrange untuk menentukan
lima parameter soliton termodifikasi yang terkait dengan waktu ( )
L

d

-

L

(31)

d

Dimana
A A v
dan w
Akan diperoleh hubungan antara parameter-parameter soliton yang terkait :
(32a)
v

P

w

P

A
A

(32b)
RA

(32c)

A

(32d)

konstanta

(32e)

R
3P

3

13
Substitusi kembali parameter-parameter yang didapatkan (32) untuk anzats
persamaan QNLS dan konjugatnya, artinya anzats yang digunakan sudah tepat.

Solusi Varisional Persamaan QNLS Pertubatif
Kondisi pertubatif adalah kondisi dimana perambatan soliton tersebut
mengalami gangguan (pertubasi). Dalam kondisi ini, koefisien P dan R pada
persamaan (22) merupakan koefisien yang terkait dengan ruang. Sehingga
persamaan (22) menjadi
i

F

P

F

R|F| F

S

P( -

)

F

R( -

S

)|F| F

(37)

dimana P( - )FSS R( - )|F| F merupakan suku pertubatif yang dilambangkan
dengan G.
Melalui cara yang sama pada persamaan QNLS ideal dengan
memperhitungkan suku pertubatif yang ada, maka akan didapatkan variasi
parameter-parameter soliton terkait
A

-

v

∫- {
A

P { P

v

P

∫- (

A- A3

- 3 sech3 [A (S-v)] } tanh[A (S - v)] dS

(38a)

sech[A (S - v)] tanh[A (S - v)]) (S - v)}

(38b)

RA sech3 [A (S-v)]

A

R

sech[A (S-v)]

PA

-

A

∫- {

R

A

∫- {

PA

PA

sech[A (S-v)]

- 3 sech3 [A (S-v)] } dS

RA sech3 [A (S-v)]

sech[A (S-v)]

-3 sech3 [A (S-v)] }
3

(38c)

RA sech [A (S-v)]

A

-(S-v) tanh[A (S-v)] dS

(38d)
dimana dan
tergantung pada profil P(S) dan R(S) yang diberikan.
Kasus pertama dan kedua, merupakan kasus dengan profil P(S) yang sama
yaitu tanh (S serta R(S) yang berbeda yaitu [ sech (S ] dan [ tanh (S ]. Dari
kedua kasus ini didapatkan parameter soliton terkait yaitu
(39a)
v

P

w

P

(39b)
A

(39c)

14
A

A

3P

A

(39d)

konstanta

(39e)

Kasus ketiga dengan profil R(S) [ sech (S ] sedangkan kasus keempat
dengan profil R(S) = [ tanh (S ], yang keduanya mempunyai profil P(S) yang
c - S
sama yaitu P S {
. Diperoleh parameter soliton terkait yaitu
j
S
(40a)

v

P - (c

w

A

A

(40b)
P

(c

A

j

j - 5P

A

A

A

(40c)
(40d)

konstanta

(40e)

Untuk kasus selanjutnya, profil P(S) yang memenuhi adalah [ sech (S ],
sedangkan profil R(S) [ sech (S ] untuk kasus kelima dan R(S) =
[ tanh (S ] untuk kasus keenam. Parameter soliton terkait yang diperoleh dalam
kasus ini adalah
(41a)
v

P -

w

A

A

(41b)
P

P - RA

-

(41c)

A

3P

A

A

(41d)

konstanta

(41e)

Untuk dua kasus terakhir, profil P(S) yang digunakan adalah [ tanh (S ],
sedangkan profil R(S) [ sech (S ] untuk kasus ketujuh dan R(S) =
[ tanh (S ] untuk kasus kedelapan. Dari kasus ini diperoleh parameter soliton
terkait yaitu
(42a)
v

-

w

A

(42b)
P

-

P

- RA -

A

(42c)

15
A
A

R
5 P-

A

(42d)

konstanta

(42e)

Dari perhitungan kedelapan kasus yang ditinjau, parameter-parameter
soliton terkait yang didapatkan menghasilkan parameter yang sama untuk profil
R(S) yang berbeda. Artinya, efek dispersi untuk setiap kasus lebih dominan
dibandingkan dengan efek nonlinearitasnya.

Analisa Hasil Perhitungan
Bagian ini akan membahas hasil solusi analitik dari dinamika dan interaksi
soliton DNA pada kondisi ideal dan pertubatif yang disajikan dalam bentuk grafik
dua dan tiga dimensi. Program yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan
tersebut dibuat dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diperoleh
untuk setiap kasus.
Gambaran umum dari proses denaturasi DNA merambat dari tengah hingga
ke ujung untai atas dan ujung untai bawah. Dengan bertambahnya waktu, maka
pergerakan proses ini terlihat seperti penjalaran sebuah gelombang. Karakteristik
pergerakan soliton ideal diperlihatkan pada gambar 5 dengan amplitudo yang
cukup stabil sepanjang perambatannya. Pada gambar 6, merepresentasikan
perbandingan adanya pengaruh efek dispersi dan nonlinearitas pada soliton ideal.
Pada saat efek dispersi diperbesar (gambar 6 biru), maka soliton DNA semakin
melebar, bergerak ke kanan, dan gelombang yang terbentuk lebih sedikit. Hal ini
berhubungan dengan kecepatan DNA yang semakin cepat, dimana kecepatan dan
efek dispersi berbanding lurus. Berbeda ketika efek nonlinearitas yang diperbesar
(gambar 6 merah), maka soliton DNA semakin menyempit dan terbentuk banyak
gelombang tetapi tidak mengubah kecepatan, karena efek nonlinearitas tidak
mempengaruhi kecepatan gelombang.

(a)

(b)

16

(c)
Gambar 5. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA ideal pada saat =
0.1, A1 = 1, P = 20, dan R = 20 (a) Plot F terhadap S pada t = 0 (b)
Profil soliton DNA tampak atas (c) Profil soliton DNA dalam tiga
dimensi

Gambar 6. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA ideal pada saat =
0.1, A1 = 1; dimana grafik kuning menunjukan grafik pada saat P = 20
R = 20, grafik biru pada saat P = 100 R = 20, dan grafik merah pada
saat P = 20 R = 100
Kasus pertama, dibuat melalui persamaan (39). Terlihat dari gambar 7,
untuk nilai P yang semakin besar untai DNA akan semakin lebar dan bergeser ke
arah kanan, artinya ada pertambahan kecepatan yang disebabkan oleh efek
dispersi yang semakin besar. Berbeda dengan kondisi ideal, ketika profil soliton
divariasikan terhadap R, penjalaran soliton tidak bergeser dan gelombang yang
terbentuk lebih sedikit. Suatu hal yang menarik adalah untuk koefisien
nonlinearitas yang berbeda jauh, kecepatan dan lebar gelombang soliton tetap

17
konstan tetapi mempunyai fase gelombang yang berbeda. Hal ini ditunjukkan
pada gambar 7 (g), dimana grafik merah bertumpang tindih dengan grafik kuning.

(g)

18
Gambar 7. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 1 pada saat
= 0.1, A1 = 1 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 20 (b) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F terhadap S
pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas pada P = 100,
R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f) Profil soliton
DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F terhadap S, dimana
grafik berwarna kuning menunjukan grafik pada saat P = 20 R = 20,
grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik merah pada saat P = 20
R = 100
Kasus kedua dibuat dari persamaan (40). Kasus ini merupakan kasus dimana
efek dispersi merupakan fungsi diskrit. Batas daerah yang mempengaruhi
tergantung pada konstanta c dan j. Jika nilai konstanta 24(c+j) < 45P, maka lebar
gelombang menjadi imajiner, sehingga tidak dapat dihasilkan gelombang soliton.
untuk memenuhi syarat ini, nilai c dan j yang diambil masing-masing adalah 50
dan 150. Seperti yang ditunjukkan pada gambar 8, karakteristik soliton DNA
kuintik ini akan semakin lebar jika nilai P diperbesar, sedangkan untuk nilai R
yang diperbesar maka kecepatan dan lebar gelombang konstan hanya saja terjadi
perubahan dalam fase gelombangnya dimana gelombang yang terbentuk akan
lebih sedikit.

19

(g)

Gambar 8. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 2 pada saat
= 0.1, A1 = 1, c = 50, j = 150 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 20
(b) Profil soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F
terhadap S pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas
pada P = 100, R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f)
Profil soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F
terhadap S, dimana grafik berwarna kuning menunjukan grafik pada
saat P = 20 R = 20, grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik
merah pada saat P = 20 R = 100
Kasus ketiga dibuat dari persamaan (41). Pada kasus ini juga dapat dilihat
karakteristik soliton DNA kuintik yang akan bergerak ke kanan dan bertambah
sempitnya gelombang soliton jika diberikan nilai koefisien dispersi yang semakin
besar, sedangkan untuk koefisien R tetap tidak memberikan pengaruh pada
kecepatan dan lebar gelombang, hal ini ditunjukan pada gambar 9 (g) dimana
grafik merah dan kuning saling berhimpitan.

20

(g)

Gambar 9. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 3 pada saat
= 0.1, A1 = 1 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 20 (b) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F terhadap S
pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas pada P = 100,
R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f) Profil soliton
DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F terhadap S, dimana
grafik berwarna kuning menunjukan grafik pada saat P = 20 R = 20,
grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik merah pada saat P = 20
R = 100
Kasus terakhir dibuat dari persamaan (42). Berbeda dengan kasus-kasus
sebelumnya, agar terlihat perbedaannya konstanta sigma diambil nilai sama
dengan 10. Kecepatan gelombang soliton tidak dipengaruhi oleh konstanta P dan
R, serta mempunyai nilai negatif yang menunjukan pergerakan arah gelombang
soliton ke kiri, tetapi lebar gelombang soliton ini masih dalam pengaruh koefisien
P dan R. Padatnya gelombang yang terbentuk menunjukan banyaknya nukleotida
yang terlibat dalam pembukaan untai DNA. Jika nilai P diperbesar, gelombang
soliton akan semakin melebar, sebaliknya untuk nilai R yang diperbesar
gelombang soliton akan semakin menyempit. Satu hal yang menarik perhatian
dalam kasus ini adalah fase gelombang yang dihasilkan saat P = 20 dan R = 100
(gambar 10 (g)), hampir menyerupai karakteristik gelombang soliton ideal
(gambar 6).

21

(g)

22
Gambar 10. Karakteristik solusi persamaan QNLS soliton DNA kasus 4 pada saat
= 10, A1 = 1 (a) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 20 (b) Profil
soliton DNA tampak atas pada P = 20, R = 20 (c) Plot F terhadap S
pada P = 100, R = 20 (d) Profil soliton DNA tampak atas pada P = 100,
R = 20 (e) Plot F terhadap S pada P = 20, R = 100 (f) Profil soliton
DNA tampak atas pada P = 20, R = 100 (g) Plot F terhadap S, dimana
grafik berwarna merah menunjukan grafik pada saat P = 20 R = 20,
grafik biru pada saat P =100 R = 20, dan grafik hijau pada saat P = 20
R = 100
Dapat dilihat pada gambar 5 sampai gambar 10, hasil yang diperoleh pada
gelombang soliton DNA dalam keadaan ideal maupun non-ideal memperlihatkan
amplitudo yang dicapai untuk semua gelombang dalam setiap kasus adalah sama.
Amplitudo yang konstan ini dinyatakan dalam setiap parameter untuk setiap kasus
yang didapat, dengan mengambil A1 = 1. Tampak terjadi perubahan dari keadaan
idealnya (gambar 5) setelah diberikan gangguan berupa efek dispersi dan
nonlinearitas (gambar 7-10). Gelombang soliton yang terbentuk mengalami
undulasi pada untai bawah DNA yang diberikan oleh nilai anzats negatif
(F S
). Seperti yang dijelaskan sebelumnya, bahwa efek dispersi akan
mempengaruhi frekuensi dan kecepatan gelombang. Hal ini terbukti dengan
adanya pergerakan arah ke kanan ketika efek dispersi diperbesar. Efek
nonlinearitas yang diberikan pada gelombang soliton DNA dari kondisi idealnya
tidak memberikan pengaruh yang signifikan pada kecepatan gelombangnya.
Tetapi dengan sangat jelas terlihat bahwa pemberian efek nonlinearitas akan
mempengaruhi fase gelombang. Gelombang soliton yang terbentuk lebih sedikit
dibandingkan dengan kondisi idealnya. Hal ini berarti adanya pengurangan jumlah
nukleotida dalam proses denaturasi karena penyempitan akibat efek nonlinearitas,
dimana nukleotida yang awalnya meregang terhalangi oleh efek nonlinearitas.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan
Proses denaturasi DNA adalah proses dimana terjadinya perambatan dari
ujung atas dan ujung bawah untai DNA. Pada kondisi ideal, gelombang soliton
merambat dengan amplitudo yang cukup stabil selama perambatannya, yang
diperlihatkan dengan hanya ada satu undukan sepanjang perambatanya. Ketika
diberi gangguan berupa efek dispersi dan nonlinearitas, profil soliton akan
berubah. Tampak terdapat beberapa undukan pada anzats yang diberikan. Dari
kedelapan kasus yang ditinjau, efek nonlinearitas tidak mempengaruhi parameterparameter yang dihasilkan.
Efek dispersi pada gelombang soliton ini akan mempengaruhi kecepatan dan
lebar gelombang, dimana gelombang soliton akan bergeser kearah kanan.
Sedangkan efek nonlinearitas lebih berpengaruh terhadap fase gelombang, dimana

23
gelombang soliton yang dihasilkan lebih sedikit dari pada kondisi idealnya.
Artinya, terjadi pengurangan nukleotida yang terlibat dalam proses denaturasi.

Saran
Penelitian tentang dinamika pemodelan dan perambatan gelombang DNA
merupakan salah satu penelitian yang cukup menarik. Untuk pengembangan
selanjutnya ada beberapa hal yang perlu dilakukan. Metode numerik yang
digunakan sebaiknya menggunakan metode yang memiliki keakuratan yang
tinggi, sehingga dalam proses pemodelannya akan lebih cepat dan akurat. Selain
itu, pemodelan DNA dapat ditinjau dari model lain selain model PBD.
Dalam penelitian ini, profil DNA ditinjau dalam kondisi ideal dan non-ideal
akibat pengaruh efek dispersi dan nonlinearitas pada suhu konstan. Diharapkan
adanya penelitian yang akan membahas pengaruh suhu terhadap denaturasi DNA.

DAFTAR PUSTAKA
1.

2.

3.
4.

5.

6.
7.

8.

9.

Englander SW, Kalenbach NR, Heeger AJ, Krumhansl JA, dan Litwin S.
Nature Of The Open State In Long Polynucleotide Double Helices:
Possibility Of Soliton Excitations. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 77, 72227226. 1980.
Alatas H dan Hermanudin D. Semi-discrete DNA breather in PeyrardBishop-Dauxois model with fifth-orde-approximation Morse Potensial.
Chaos, Solitons & Fractals No. 9.Chaos 7191. 2012.
Karmana O. Cerdas Belajar Biologi. Jakarta: PT Grafindo Media Pratama.
2009.
Anonim. DNA Structure 2 [Internet]. Plant Celluler & Molecular Biology
At The Ohio University. Tersedia pada:
http://www.biosci.ohiostate.edu/~plantbio/osu_pcmb/pcmb_lab_resources/pcmb101_activities/dna
_protein/dna_protein_structure_2.htm
Anonim. Metabolisme DNA [Internet]. Febuari 2009 [diunduh 2013 April
13].
Tersedia
pada:
http://www.fp.unud.ac.id/biotek/wpcontent/uploads/2009/02/metabolisme-dna.pdf.
Peng XH. DNA Cross Link [Internet]. [diunduh 2013 April 26]. Tersedia
pada: http://alchemy.chem.uwm.edu/research/peng/index.html.
Riyadi W. Replikasi DNA [Internet]. 2010 Mei 8 [diunduh 2013 April 13].
Tersedia
pada:
http://sciencebiotech.net/wpcontent/uploads/2010/05/dna_replication_britannicacom.gif.
Marks DB, Marks AD, Smith CM. Biokimia Kedokteran Dasar: Sebuah
Pendekatan Klinis. Pendit BU, penerjemah; Suyono J, Sadikin V, Mandera
LI, editor: Jakarta: EGC. Terjemahan dari: Basic Medical Biochemistry: A
Clinical Approach. 1996.
Maulana P. Proses Dan Tahapan Sintesis Protein, Pengertian Replikasi,
Transkripsi DNA Dan Translasi RNA, Pembentukan Protein / Polipeptida

24

10.

11.
12.

[Internet]. 2013 Maret 5 [diunduh 2013 April 13]. Tersedia pada:
http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/03/proses-dan-tahapansintesis-protein-pengertian-transkripsi-dna-dan-translasi-rna-pembentukanpolipeptida.html.
Hermanudin D. Efek Osilasi Anharmonik Pada Soliton Deoxyribonucleic
Acid Peyrard-Bishop-Dauxois [Skripsi]. Bogor (ID): Departemen FisikaFMIPA, IPB. 2011.
Calladine CR, Drew HR, Luisi BF, Travers AA. Understanding DNA the
molecule and how it works 3rd ed. USA: Elsevier Academic Press. 2004.
Rudiyanto. Dinamika pertubasi solusi satu soliton spasial pada “kawat”
silikon fotonik nonlinier (nonlinear silicon photonic wire) [Skripsi]. Bogor
(ID): Departemen Fisika-FMIPA, IPB. 2010.

25

LAMPIRAN

26
Lampiran A. Solusi Variasional Persamaan QNLS Ideal
Persamaan kerapatan Lagrangian
i

Lg

(FF̅ - F̅ F ) P|FS | -

R
3

|F|

(1)

Dengan menyubtitusi persamaan (1) ke persamaan Euler-Lagrange
d

Lg

d

Lg

d

x

dS

xS

Lg

-

(2)

x

Dan mengambil x = F̅ maka didapatkan
d

d

i

d

Lg
F̅

d
i

Lg
F̅ S

d

dS
d

F

i

PFS - - F - R|F| F

dS
i

F PFSS

Lg
F̅

-

F R|F| F

iF PFSS R|F| F

(3)

Persamaan (3) dapat ditulis menjadi
i

F

F

P

R|F| F

S

(4)

Persamaan (4) merupakan persamaan Nonlinear Schrodinger kuintik (QNLS),
maka solusi tebakan (anzats) dari persamaan (4) adalah
F S

sech {A ( [S-v( ]} exp i{

A

Dengan memisalkan

S-w( }

sech {A ( [S-v( ]}

G {

(5)

(6a)

S-w( }

(6b)

Maka dapat dituliskan
F A

eiG

(7a)

F̅ A

e-iG

(7b)

Dengan mendeferensialkan secara parsial persamaan (7) terhadap
F

dA

F̅

dA

eiG A

d

d
d

e-iG A

d

FS

A

d

̅̅̅S
F

A

d

dS
dS

d
d

dG

eiG i A

eiG

e-iG - i A

e-iG

d
dG
d

dG

eiG i A

eiG

e-iG - i A

e-iG

dS
dG
dS

Persamaan (8) dievaluasi masing-masing sesuai suku dalam persamaan (1)

(8a)
(8b)
(8c)
(8d)

27
FF̅ - ̅FF

̅̅̅S
FS F

|FS |

FF̅

|F|

dG

- iA

d

A

3

(9a)

d
dG

A

dS

(9b)

dS

A

(9c)
dan S, agar dapat memenuhi

Persamaan (6) juga dideferensialkan terhadap
persamaan (9)

- sech {A ( [S-v( ]} tanh{A ( [S-v( ]} {A S-A v-A v}

(10a)

- sech {A ( [S-v( ]} tanh{A ( [S-v( ]} A

S

G

(10b)

S-w

(10c)

GS

(10d)

Dengan menyubtitusi persamaan (8) sampai (10) ke persamaan (1)
Lg A sech [ q v -w]
A [S - v( ]; q

Dengan

PA

[A sech

S - v; S

q

R

-A sech3

sech ]- A sech3
3

(11)

v

Integrasikan persamaan (11) terhadap S
L ∫- Lg dS
L

A

L

A

( v - w)

A

v-w

A

P

PA

[A

A

A

-A

]-

R

A

A

-

R
3

A

A

A

(12)

Substitusikan persamaan (12) ke persamaan reduksi Euler-Lagrange
L

-

d

L

(13)

d

Dimana X merupakan dinamika parameter,

A A

v dan w

Maka akan di