Analisa Disparitas Pendapatan dengan Menggunakan Koefisien Gini dan Indeks Williamson
ANALISA DISPARITAS PENDAPATAN DENGAN
MENGGUNAKAN KOEFISIEN GINI DAN INDEKS
WILLIAMSON
WAWAN BUDIARTO
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisa Disparitas
Pendapatan dengan Menggunakan Koefisien Gini dan Indeks Williamson adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Wawan Budiarto
NIM G551100091
RINGKASAN
WAWAN BUDIARTO. Analisa Disparitas Pendapatan dengan Menggunakan
Koefisien Gini dan Indeks Williamson. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan
PAIAN SIANTURI.
Salah satu pengukuran keberhasilan dari pertumbuhan pembangunan adalah
tingkat kesejahteraan daerah. Indikator yang sering digunakan untuk mengukur
tingkat kesejahteraan daerah adalah pendapatan total atau Produk Domestik
Regional Bruto (PDRB) maupun pendapatan per kapita. Indikator lainnya adalah
disparitas pendapatan pada suatu daerah yang diukur dengan menggunakan
Koefisien Gini (KG) dan Indeks Williamson (IW).
KG dan IW adalah salah satu alat pengukuran tingkat disparitas pendapatan
antar daerah atau antar penduduk. Pada pengukuran KG dan IW membutuhkan
data persentase penduduk, persentase kumulatif penduduk, persentase kumulatif
total pendapatan, PDRB, dan jumlah penduduk keseluruhan.
Terdapat 8 indikator dalam pengukuran tingkat kesejahteraan dan
pemerataan ekonomi yaitu: PDRB, laju inflasi, PDRB perkapita, KG, pemeratan
pendapatan versi Bank Dunia, IW, persentase garis kemiskinan dan angka
kriminalitas.
Namun demikian penggunaan KG dan IW sebagai indikator kemajuan
pembangunan belum banyak digunakan dibandingkan dengan PDRB maupun laju
inflasi. Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan tujuan dari penelitian ini
adalah menganalisis KG dan IW.
Hasil dari penelitian ini adalah ukuran disparitas pendapatan KG secara
analitik maupun numerik dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 memberikan hasil
sama yaitu 0.3333. Sedangkan ukuran disparitas IW secara numerik diperoleh
sebesar 0.5773.
Dalam simulasi ini menggunakan data bangkitan secara acak dan ditambah
error dari sebaran normal baku dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1 dimana
1 = 0.001*N(0,1) diperoleh rata-rata nilai KG 0.3312 pada selang kepercayaan
95% diperoleh 0.3300 < KG < 0.3323 dan rata-rata nilai IW 0.5916 pada selang
kepercayaan 95% diperoleh 0.5894 < IW < 0.5937.
Sedangkan hasil simulasi dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 2 dimana
2 = 0.002*N(0,1) rata-rata nilai KG 0.3288 pada selang kepercayaan 95%
diperoleh 0.3263 < KG < 0.3313 dan rata-rata nilai IW 0.6290 pada selang
kepercayaan 95% diperoleh 0.6239 < IW < 0.6340 sehingga nilai IW lebih peka
dibanding nilai KG.
Aplikasi kedua rumus disparitas pendapatan kab/kota di Jawa Barat tahun
2010 diperoleh KG 26.04% dan IW 55.20%, sehingga disparitas pendapatan antar
kab/kota di Jawa Barat menurut KG adalah rendah, sedangkan menurut IW adalah
tinggi.
Kata kunci: Koefisien Gini, Indeks Williamson, Simulasi
SUMMARY
WAWAN BUDIARTO. Analysis of Disparity Income Using Gini Coefficient and
Index Williamson. Supervised by HADI SUMARNO and PAIAN SIANTURI.
One of measurements of the success of the development is the growth rate
of regional welfare. Indicators which are often used to measure the level of
welfare are the total income or Gross Domestic Product (GDP) and per capita
income. Another indicator is the disparity income of using Gini Coefficient (KG)
and Williamson Index (IW).
In the same area and the same time, the measurement of KG and IW give
the difference. Therefore, the author is interested in doing research on KG and IW
both in mathematical modeling and simulation.
There are 8 indicators in measuring levels of well-being and economic
equality, namely: GDP, inflation rate, GDP per capita, KG, income distribution
version of the World Bank, IW, the percentage of the poverty line and the crime
rates.
However, the use of KG and IW as indicators of the progress of
construction are not widely used compared to GDP and the inflation rate.
Based on the above background, the formulation of the purpose of this study
is to analyze KG and IW.
The results of this study is to measure of disparity income by analysis and
simulation models. The value of IW is more sensitive than KG. According to the
analysis of the model if the cumulative percentage of income y relation to the
cumulative percentage of the population of x is y = x2 then the value KG = 0.3333
and the value of IW = 0.5773. At the 95% confidence interval with error
0.001*N(0,1) the average values of KG are within 0.3300 < KG < 0.3323 and the
value of 0.5894 < IW < 0.5937. At the 95% confidence interval with error
0.002*N(0,1) the average values of KG are within 0.3263 < KG < 0.3313 and the
value of 0.6239 < IW < 0.6340. Based on simulation using error the value of KG
obtained was found closer to the real value . However, this pattern was not
appecied for the IW.
Application of income disparity formula cities in West Java in 2010 found
that KG 26.04% and IW 55.20%, so the income disparity among cities in West
Java by KG is low, while IW is high.
Keyword: Gini Coefficient, Williamson Index, Simulation
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISA DISPARITAS PENDAPATAN DENGAN
MENGGUNAKAN KOEFISIEN GINI DAN INDEKS
WILLIAMSON
WAWAN BUDIARTO
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S.
Judul Tesis : Analisa Disparitas Pendapatan dengan Menggunakan Koefisien
Gini dan Indeks Williamson
Nama
: Wawan Budiarto
NIM
: G551100091
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S
Ketua
Dr. Drs. Paian Sianturi
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Jaharuddin, M.S
Dr. Ir. Dahrul Syah, MSc.Agr
Tanggal Ujian:
16 Juli 2014
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2012 ini ialah model
disparitas, dengan judul Analisa Disparitas Pendapatan dengan Menggunakan
Koefisien Gini dan Indeks Williamson.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno,M.S dan
Bapak Dr. Drs. Paian Sianturi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, istri, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Wawan Budiarto
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
9
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Ruang Lingkup Penelitian
2 TINJAUAN PUSTAKA
1
1
2
2
2
2
Kurva Lorenz
Koefisien Gini
Indeks Williamson
Simulasi Monte Carlo
3 METODE
2
2
3
4
4
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Studi Literatur Awal
Penjelasan Fungsi Lorenz
Penurunan Rumus Koefisien Gini
Penurunan Rumus Indeks Williamson
Analisis Model Koefisien Gini dan Indeks Williamson
Simulasi Model Koefisien Gini dan Indeks Williamson
Penggunaan Rumus Disparitas dengan Data Kependudukan
5 SIMPULAN
4
5
5
8
8
9
12
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
DAFTAR TABEL
1. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2
2. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1 pada
pengulangan pertama
3. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 + 1
4. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 2 pada
pengulangan pertama
5. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 + 2
6. Nilai rata-rata KG dan IW
7. Persentase kepekaan nilai KG dan IW
8. Data jumlah penduduk dan pendapatan Jawa Barat tahun 2010
9. Koefisien Gini pendapatan Jawa Barat tahun 2010
10. Data PDRB Atas Harga Berlaku Jawa Barat tahun 2010
11. Indeks Wiliamson pendapatan Jawa Barat tahun 2010
9
10
10
11
12
12
12
13
14
15
16
DAFTAR GAMBAR
1. Hubungan Koefisien Gini dengan kurva Lorenz
2. Kurva dan fungsi Lorenz
3. Kurva Lorenz yang dipartisi segitiga dan persegipanjang
4. Kurva Lorenz yang dipartisi trapesium
5. Kurva Lorenz pendapatan Jawa Barat tahun 2010
3
5
6
7
13
DAFTAR LAMPIRAN
1. Nilai KG dengan kurva Lorenz y = x2
19
2
2. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x + 1 pada pengulangan kedua
20
3. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan ketiga
21
4. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan keempat
22
2
5. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x + 1 pada pengulangan kelima
23
6. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan keenam
24
7. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan ketujuh
25
2
8. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x + 1 pada pengulangan kedelapan 26
9. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan kesembilan 27
10. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan kesepuluh 28
11. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan kesebelas 29
12. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan keduabelas 30
13. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan ketigabelas 31
14. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
keempatbelas
15. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
kelimabelas
16. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
keenambelas
17. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
ketujuhbelas
18. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
kedelapanbelas
19. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
kesembilanbelas
20. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
keduapuluh
21. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kedua
22. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketiga
23. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keempat
24. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kelima
25. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keenam
26. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketujuh
27. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kedelapan
28. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kesembilan
29. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kesepuluh
30. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kesebelas
31. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keduabelas
32. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketigabelas
33. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keempatbelas
34. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kelimabelas
35. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keenambelas
36. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketujuhbelas
pada pengulangan
32
pada pengulangan
33
pada pengulangan
34
pada pengulangan
35
pada pengulangan
36
pada pengulangan
37
pada pengulangan
38
pada pengulangan
39
pada pengulangan
40
pada pengulangan
41
pada pengulangan
42
pada pengulangan
43
pada pengulangan
44
pada pengulangan
45
pada pengulangan
46
pada pengulangan
47
pada pengulangan
48
pada pengulangan
49
pada pengulangan
50
pada pengulangan
51
pada pengulangan
52
pada pengulangan
53
pada pengulangan
54
37. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2 pada pengulangan
kedelapan belas
38. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2 pada pengulangan
kesembilan belas
39. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2 pada pengulangan
kedua puluh
55
56
57
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pembangunan dalam lingkup negara tidak selalu berlangsung sistemik. Beberapa
daerah mencapai pertumbuhan pembangunan secara cepat, sementara beberapa daerah
lain mengalami pertumbuhan pembangunan yang lambat. Setiap daerah tidak
mengalami kemajuan yang sama disebabkan kurangnya sumber daya yang dimiliki,
adanya kecenderungan peranan investor memilih daerah perkotaan yang telah memiliki
fasilitas seperti prasarana perhubungan, jaringan listrik, jaringan telekomunikasi,
perbankan, asuransi, juga tenaga kerja yang profesional, disamping itu juga adanya
ketimpangan redistribusi pembagian pendapatan dari Pemerintah Pusat kepada
Pemerintah Daerah.
Salah satu pengukuran keberhasilan pertumbuhan pembangunan adalah tingkat
kesejahteraan daerah. Indikator yang sering digunakan untuk mengukur tingkat
kesejahteraan daerah adalah pendapatan total atau Produk Domestik Regional Bruto
(PDRB) maupun pendapatan per kapita. Indikator lainnya adalah ketimpangan distribusi
(disparitas) pendapatan pada suatu daerah yang diukur dengan menggunakan Koefisien
Gini (KG) dan Indeks Williamson (IW).
Menurut Prayitno (1996), penggunaan KG dan IW untuk mengukur tingkat
kesejahteraan dan pemerataan ekonomi sebenarnya sudah lama dipakai oleh berbagai
negara di dunia. Pada tahun 1974, Michael menggunakan KG untuk mengukur tingkat
disparitas pendapatan di negara-negara berkembang. Di Indonesia pengukuran
disparitas pendapatan diprakarsai oleh R.M.Sundrum pada tahun 1973. Dia
memperkirakan besarnya KG Indonesia untuk tahun 1964-1965 sebesar 0.389 yang
didasarkan data pengeluaran konsumsi masyarakat.
Menurut Menteri Dalam Negeri (2010), dalam Peraturan Menteri Dalam Negeri
No 54 Tahun 2010 tentang Tata Cara Pengolahan Data dan Informasi Perencanaan
Pembangunan Daerah, ada 8 indikator dalam pengukuran tingkat kesejahteraan dan
pemerataan ekonomi yaitu: PDRB, laju inflasi, PDRB perkapita, KG, pemeratan
pendapatan versi Bank Dunia, IW, persentase garis kemiskinan dan angka kriminalitas.
Perumusan Masalah
Aturan penggunaan KG dan IW tersebut sampai sekarang belum dapat banyak
digunakan dibanding dengan PDRB maupun laju inflasi dalam pengukuran tingkat
kesejahteraan penduduk.
Pengukuran disparitas pendapatan membutuhkan data persentase penduduk,
persentase kumulatif penduduk, persentase kumulatif total pendapatan, PDRB Atas
Harga yang Berlaku dan jumlah penduduk keseluruhan. Pada suatu daerah yang sama
dan waktu yang sama, hasil pengukuran KG dan pengukuran IW memberikan hasil
yang sangat berbeda. Oleh karena itu, penulis tertarik melakukan penelitian tentang KG
dan IW membatasinya pada bentuk pemodelan rumusan keduanya secara analisis dan
simulasi.
2
Tujuan Penelitian
1.
2.
3.
Tujuan dari penelitian ini adalah :
menganalisa pemodelan rumus Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
simulasi data hasil pembangkitan menggunakan rumus Koefisien Gini dan Indeks
Wiliamson.
menghitung Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson dengan data penduduk aktual.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan suatu gambaran disparitas
pendapatan dengan menggunakan Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson untuk
pengukuran tingkat kesejahteraan.
Ruang Lingkup Penelitian
Ruang lingkup penelitian ini untuk mengkaji Koefisien Gini dan Indeks
Wiliamson secara analisis maupun simulasi.
TINJAUAN PUSTAKA
Kurva Lorenz
Kurva Lorenz, yaitu suatu kurva yang memperlihatkan hubungan kuantitatif
antara persentase kumulatif pendapatan dengan persentase kumulatif populasi penduduk
selama waktu tertentu. Bentuk kurva Lorenz menunjukkan derajat ketidakmerataan
dalam distribusi pendapatan. Semakin dekat kurva Lorenz dengan garis diagonal 450
atau garis kemerataan, maka semakin merata distribusi pendapatan (Perkin et al. 2001).
Fungsi Lorenz didefinisikan sebagai fungsi L:[0,1] dengan y = pendapatan
setiap penduduk, z = quantil pendapatan, F(z) = proporsi penduduk dengan pendapatan
y ≤ z, f(z) = F’(z) adalah fungsi kepekatan peluang, f(y)dy proporsi penduduk dengan
adalah rata-rata pendapatan.
pendapatan pada interval [y, y + dy], dan ̅ ∫
Sehingga Fungsi Lorenz didefinisikan :
P = F(z)
(Groth 2008)
∫
(1)
̅
Koefisien Gini
Koefisien Gini (KG) adalah ukuran disparitas pendapatan penduduk yang pertama
kali dikembangkan oleh statistikawan Italia Corrado Gini. KG dinyatakan dalam bentuk
rasio yang nilainya antara 0 dan 1. Pada Gambar 1, secara matematis KG adalah
perbandingan luas antara daerah yang terletak di antara garis diagonal dan kurva Lorenz
(ditandai A) dengan luas segitiga (ditandai A dan B ) sehingga
3
Gambar 1 Hubungan Koefisien Gini dengan Kurva Lorenz
Jika persentase kumulatif pendapatan per kapita penduduk ke-i (Yi), persentase
kumulatif jumlah penduduk ke-i (Xi) maka rumus KG sebagai berikut:
∑
(2)
Formula KG dapat juga dituliskan sebagai berikut:
̅ [∑
]
(3)
di mana n jumlah total penduduk, dan rata-rata pendapatan per penduduk ( ̅ ).
Menurut Permendagri No 54 Tahun 2010 bahwa Kriteria KG adalah :
{
Indeks Williamson
Indeks Williamson (IW) adalah ukuran disparitas pendapatan antar daerah yang
pertama kali dikembangkan oleh Jeffrey G Williamson. Pada tahun 1965, Williamson
meneliti hubungan disparitas daerah dengan tingkat pembangunan ekonomi. IW dapat
dipergunakan untuk mengetahui ketimpangan pembangunan antar kab/kota yang terjadi
di suatu provinsi (Sjafrizal 2008). Formula Indeks Williamson dapat dituliskan :
√∑
̅
(4)
di mana ri menunjukkan PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku di daerah i, ̅
adalah rata-rata PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku daerah sedangkan xi jumlah
penduduk di daerah i dan n jumlah penduduk daerah keseluruhan.
Menurut Permendagri No 54 tahun 2010 bahwa Kriteria IW adalah :
̅
{
4
Simulasi Monte Carlo
Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku
sistem fisika, matematika dan bidang terapan lainnya, juga memiliki aplikasi yang
beragam mulai dari perhitungan termodinamika kuantum isotherm hingga perancangan
aerodinamika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit.
Algoritma Monte Carlo memerlukan pengulangan (repetisi) dan perhitungan yang
kompleks, sehingga metode ini pada umumnya dilakukan menggunakan komputer dan
memakai berbagai teknik simulasi komputer.
Simulasi Monte Carlo dikenal juga dengan istilah sampling simulation atau Monte
Carlo Sampling Technique. Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak
perubahan input dan resiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan
data sampling yang telah ada.
Penggunaaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan
hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkitan bilangan acak, yang
jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang
menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik (Wong 2001).
METODE
1.
2.
3.
4.
Beberapa tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini akan dibahas pada bab ini.
Menjelaskan kedua rumus disparitas, menganalisis faktor-faktor yang diperhitungkan
dalam kedua rumus tersebut, hubungan antar faktor dan makna dari rumus tersebut.
Simulasi mulai dari membangkitkan data, menganalisis kedua model dan
membandingkan hasil analisis.
Menganalisis kepekaan nilai dari kedua rumus disparitas.
Mengaplikasikan kedua rumus disparitas dengan data aktual yaitu data penduduk
Jawa Barat tahun 2010.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Studi Literatur Awal
Hasil studi literatur awal diperoleh beberapa rumusan tentang KG dan IW yang
dipergunakan oleh beberapa peneliti disparitas kesejahteraan penduduk. Jumlah rumus
KG yang dipilih sebanyak dua rumus dan satu rumus IW. Pemilihan rumus ini
berdasarkan sering dipakainya rumus tersebut oleh banyak peneliti.
Penjelasan Fungsi Lorenz
Berdasarkan Gambar 2 kurva Lorenz adalah grafik (P, L(P)) yang selalu di bawah
adalah
diagonal OC. Misalkan, n jumlah penduduk keseluruhan, Y = ∫
5
pendapatan dalam suatu daerah, ̅
̅
adalah
. Jika ̅
̅
∫
∫
∫
adalah rata-rata pendapatan sehingga
, maka total kumulatif pendapatan sampai dengan z
Sehingga
̅
̅
⁄
⁄
fungsi Lorenz L:[0,1] dapat didefinisikan P = F(x)
∫
̅
̅
̅
. Oleh karena itu
∫
(Groth 2008).
Gambar 2 Kurva dan fungsi Lorenz
Penurunan Rumus Koefisien Gini
Berdasarkan definisi
dan
maka diperoleh :
atau
Berdasarkan Gambar 1 dan Gambar 3 diperoleh :
A = (1
(Luas segitiga Ti + persegipanjang Ri)
(5)
∑
Sedangkan
∑
(6)
∑
∑
∑
, dan
, karena Y0 = 0
∑
∑
maka ∑
dengan demikian persamaan (6) dapat ditulis:
∑
∑
∑
6
∑
∑
Gambar 3 Kurva Lorenz yang dipartisi segitiga dan persegipanjang
Berdasarkan persamaan (5), bahwa
∑
∑
, maka diperoleh :
rumus KG(1) terbukti.
Berdasarkan Gambar 4, maka diperoleh:
qi = kumulatif pendapatan =
pi = kumulatif jumlah penduduk =
q0 = p0 = 0 dan pn = qn = 1
Sedangkan berdasarkan Gambar 1 dan Gambar 4 diperoleh bahwa:
∑
Sehingga berdasarkan persamaan (5), maka diperoleh:
∑
⁄
∑
Berdasarkan Gambar 4 diambil misal n = 3 maka diperoleh :
= 0;
(7)
7
;
;
;
= 0;
;
;
dengan mensubtitusikan ke persamaan (7), maka diperoleh :
(
[
[
)
]
(
)]
(8)
[
]
(9)
dengan memanipulasi aljabar persamaan (8) dan persamaan (9) sehingga diperoleh :
[ (
[
[(
[
]
[
]
)
]
]
sehingga secara umum diperoleh:
̅ [∑
)
]
] rumus KG(2) terbukti.
Gambar 4 Kurva Lorenz yang dipartisi trapesium
8
Berdasarkan persamaan (2) dan Gambar 1 diperoleh bahwa semakin kurva
Lorenz melengkung ke bawah, menjauhi garis diagonal, maka disparitas pendapatan
antar penduduk semakin besar. Sebaliknya jika kurva Lorenz semakin mendekati garis
diagonal maka disparitas pendapatan penduduk semakin merata.
Penurunan Rumus Indeks Wiliamson
Indeks Wiliamson (IW) diturunkan dari koefisien varians (C). Jika ada
sekumpulan data ri menunjukkan PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku di daerah
i, ̅ adalah rata-rata PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku daerah maka nilai
∑
̅ dengan demikian koefisien
varians dari data tersebut adalah
√
√ ∑
̅
.
variansnya adalah
̅
̅
Dalam kasus penduduk perdaerah (kelompok), yang masing-masing daerah
mempunyai jumlah penduduk xi, maka IW = C dapat ditulis sebagai berikut :
√∑
̅
̅
Berdasarkan rumus IW persamaan (4) tersebut bahwa nilai IW suatu daerah
dipengaruhi oleh perubahan nilai pendapatan suatu penduduk.
Pada penelitian ini data yang dipakai adalah PDRB per kapita Atas Dasar Harga
Berlaku karena IW yang dicari adalah IW antar daerah dan asumsi kondisi antar daerah
tersebut homogen.
Analisis Model Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
Pada penelitian ini rumus yang dipakai Koefisien Gini (KG) hanya persamaan (2)
yaitu KG(1). Sedangkan persamaan (3) tidak dipakai karena persamaan (3) yaitu KG(2)
merupakan penjabaran dari persamaan (2).
Dalam analisis model ini dimisalkan kurva Lorenz y = x2, dengan asumsi
hubungan antara persentase kumulatif pendapatan per kapita penduduk ke-i (Yi),
persentase kumulatif jumlah penduduk ke-i (Xi) fungsi polynomial kuadrat, maka
diperoleh :
1. Berdasarkan kurva fungsi Lorenz persamaan(1) diperoleh nilai KG = 0.3333.
Pembuktian nilai KG tersebut ada pada Lampiran 1.
2. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh nilai KG = 0.3333 dan IW = 0.5773.
Sehingga analisis secara grafik maupun secara rumus memberikan hasil yang
sama untuk nilai KG dan berbeda untuk nilai IW.
9
n = 100
0.001
0.005
0.013
0.025
0.041
.
.
.
.
19.013
19.405
19.801
= 0.6667
(yi-ȳ)2*xi/n
(10-7)
(10-3)
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
% Kumulatif
Pendapatan(Yi)
0.0001
0.0004
0.0009
0.0016
0.0025
.
.
.
.
0.9604
0.9801
1.0000
xi
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
.
.
.
.
0.98
0.99
1.00
ri=yi
(10-2)
1
2
3
4
5
.
.
.
.
98
99
100
% Kumulatif
Penduduk(Xi)
No
Tabel 1. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
.
.
.
.
1.95
1.97
1.99
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
.
.
.
.
0.01
0.01
0.01
9.801
9.409
9.025
8.649
8.281
.
.
.
.
9.025
9.409
9.801
̅
Keterangan: xi = Xi+1 Xi = proporsi penduduk ke-i ; yi= Yi+1 Yi ; ȳ=
= 3.33x10-5
∑
Berdasarkan Tabel 1 nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2
diperoleh nilai KG = 1 0.6667 = 0.3333 dan nilai IW = √
Simulasi Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
Simulasi KG dan IW dengan Fungsi Kurva Lorenz y = x2 +
Batasan rentangan nilai KG dan IW dapat diperoleh dengan cara simulasi kedua
rumus disparitas tersebut dengan data pendapatan penduduk yang dibangkitkan secara
acak dan ditambah error () dari sebaran normal baku. Pada penelitian ini dipilih 2 error
() yaitu 1 dan 2, dimana 1 = 0.001 * N(0,1) dan 2 = 0.002 * N(0,1) untuk melihat
kepekaan dari nilai KG dan IW.
Berikut ini akan ditampilkan pada Tabel 2 dan Tabel 3 salah satu contoh hasil
analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + dimana 1 = 0.001 * N(0,1)
dan 2 = 0.002 * N(0,1). Hasil simulasi lengkap dari 20 kali ulangan diberikan pada
lampiran 2 40.
10
0.6672
1.5390
3.0091
5.0106
5.7584
.
.
.
1902.8
1942.5
1981.6
= 0.6694
n = 100
̅
(yi-ȳ)2*xi/n
(10-7)
0.000667
0.000872
0.002137
0.002873
0.002885
.
.
.
0.962027
0.980486
1.001100
xi/n
% Kumulatif
Pendapatan(Yi)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
.
.
.
0.98
0.99
1.00
ri=yi
(10-2)
% Kumulatif
Penduduk(Xi)
1
2
3
4
5
.
.
.
98
99
100
(10-5)
No
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
Tabel 2. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan
pertama
0.000667
0.000204
0.001266
0.000736
0.000012
.
.
.
0.021205
0.018459
0.020614
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
.
.
.
0.01
0.01
0.01
8.7305
9.6170
7.6478
8.6032
9.9976
.
.
.
12.5360
7.1370
11.2420
1.001x10-2
= 3.4625x10-5
Berdasarkan Tabel 2 nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1
dimana 1 = 0.001 * N(0,1) diperoleh nilai KG = 1 0.6694 = 0.3306 dan nilai
IW=
√
0.5884.
Rekapitulasi dari data nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1
dimana 1 = 0.001 * N(0,1) dengan 20 kali ulangan yang diberikan pada lampiran 2
sampai lampiran 20 diberikan pada Tabel 3 sebagai berikut:
Tabel 3. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 + 1
Random ke
KG
IW
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.3306
0.3261
0.3332
0.3286
0.3332
0.3298
0.3333
0.3322
0.3333
0.3335
0.3296
0.3335
0.3329
0.5884
0.5821
0.5931
0.5924
0.5888
0.5910
0.5945
0.5898
0.5973
0.5951
0.5858
0.5974
0.5945
11
Random ke
KG
IW
14
15
16
17
18
19
20
0.3318
0.3334
0.3292
0.3334
0.3247
0.3333
0.3280
0.5893
0.6010
0.5882
0.5910
0.5851
0.5989
0.5876
0.3312
0.0027
0.5916
0.0049
Rata-rata
Std Deviasi
Berdasarkan data dari Tabel 3 maka nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz
y = x + 1 dimana 1 = 0.001 * N(0,1) pada selang kepercayaan 95%. Z0.025 = 1.96.
diperoleh 0.3300 < KG < 0.3323 dan 0.5894 < IW < 0.5937.
2
5.0507
14.601
19.556
20.120
21.745
.
.
.
1919.1
1960.8
2000.2
0.005051
0.004500
0.000455
0.000109
0.001516
.
.
.
0.020215
0.021523
0.017880
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
.
.
.
0.01
0.01
0.01
= 0.6870
n = 100
̅
1.009x10-2
(yi-ȳ)2*xi/n
(10-7)
xi/n
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
% Kumulatif
Pendapatan(Yi)
0.005051
0.009551
0.010005
0.010115
0.011631
.
.
.
0.969639
0.991162
1.009042
ri=yi
(10-2)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
.
.
.
0.98
0.99
1.00
(10-5)
1
2
3
4
5
.
.
.
98
99
100
% Kumulatif
Penduduk(Xi)
No
Tabel 4. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 +2 pada pengulangan
pertama
2.5399
3.1253
9.2844
9.9621
7.3526
.
.
.
10.251
13.070
6.0675
= 3.7762x10-5
Berdasarkan Tabel 4 nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz fungsi kurva
Lorenz y = x2 + 2 dimana 2 = 0.002 * N(0,1) diperoleh nilai KG = 1 0.6870 = 0.3129
dan nilai IW =
√
0.6145.
12
Rekapitulasi nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 2 dengan 20
kali ulangan pada lampiran 21 39 diberikan pada Tabel 5 sebagai berikut:
Tabel 5. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 +2
Random ke
KG
IW
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Rata-rata
Std Deviasi
0.3129
0.3223
0.3315
0.3307
0.3247
0.3326
0.3286
0.3294
0.3331
0.3330
0.3384
0.3319
0.3245
0.3333
0.3268
0.3254
0.3337
0.3233
0.3307
0.3298
0.6145
0.6292
0.6235
0.6297
0.6392
0.6379
0.6200
0.6282
0.6286
0.6271
0.6303
0.6177
0.6309
0.6237
0.6151
0.6124
0.6431
0.6456
0.6588
0.6246
0.3288
0.0056
0.6290
0.0115
Berdasarkan data dari Tabel 5. maka nilai KG dan IW dengan fungsi kurva
Lorenz y = x2 + 2 dimana 2 = 0.002 * N(0,1) pada selang kepercayaan 95%.
Z0.025=1.96. diperoleh nilai 0.3263 < KG < 0.3313 dan 0.6239 < IW < 0.6340.
Rekapitulasi nilai rata-rata dan persentase kepekaan KG dan IW berdasarkan data
dari Tabel 1, Tabel 3 dan Tabel 5 diperoleh sebagai berikut :
Tabel 6. Nilai rata-rata KG dan IW
Disparitas
y = x2
Koefisien Gini
Indeks Williamson
0.3333
0.5773
Simulasi y = x2 +
= 0.001
= 0.002
0.3312
0.3288
0.5916
0.6290
Tabel 7. Persentase kepekaan nilai KG dan IW
Disparitas
y = x2
Koefisien Gini
Indeks Williamson
-
Simulasi y = x2 +
= 0.001
= 0.002
0.63%
1.35%
2.47%
8.96%
Berdasarkan Tabel 7 diperoleh bahwa nilai IW lebih peka dibandingkan nilai KG.
13
Penggunaan Rumus Disparitas dengan Data Kependudukan
Analisis Koefisien Gini Data Penduduk Jawa Barat Tahun 2010
KG dapat digunakan untuk mengukur tingkat ketidakmerataan pendapatan
masing-masing daerah (Szal 1977; Sumaryanto 1977).
Analisa model disparitas pendapatan Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
dengan data penduduk Jawa Barat tahun 2010 ini membutuhkan data jumlah penduduk
kab/kota di Jawa Barat, data Pendapatan Daerah, dan PDRB per kapita Atas Dasar
Harga Berlaku seperti terlihat data pada Tabel 8 dan Tabel 10.
Tabel 8 Data Jumlah Penduduk dan Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
Pengeluaran Daerah
Pendapatan Daerah
Kab/Kota
Jumlah Penduduk
(Ribuan)
(Ribuan)
2,446,915.06
86,991,895.45
Kota Banjar
175,157
3,106,967.27
75,458,581.46
Kota Cirebon
296,389
4,970,381.00
76,687,497.00
Kota Sukabumi
298,681
4,995,741.83
72,855,416.24
Kota Cimahi
541,177
2,890,281.53
54,621,719.12
Kota Tasikmalaya
635,464.
3,000,000.00
39,183,657.00
Purwakarta
852,521
28,625,803.27
132,416,563.33
Kota Bogor
950,334
1,271,732.00
2,986,095.00
Kuningan
1,035,589
1,752,861.09
48,522,076.74
Sumedang
1,093.602
2,145,440.00
29,215,119.00
Majalengka
1,166,473
85,170,521.00
77,988,462.00
Subang
1,465,157
5,783,860.73
25,386,679.22
Ciamis
1,532,504
11,403,784.00
82,075,421.00
Indramayu
1,663,737
15,244,156.00
177,303,956.00
Tasikmalaya
1,675,675
4,870,040.00
189,572,181.99
Kota Depok
1,738,570
7,906,849.41
23,325,865.85
Cirebon
2,067,196
4,302,683.98
184,903,461.10
Karawang
2,127,791
57,194,755.00
79,130,703.00
Cianjur
2,171,281
12,862,369.89
135,995,136.20
Kota Bekasi
2,334,871
2,550,000.00
157,656,644.49
Sukabumi
2,341,400
63,883,971.31
274,655,659.16
Kota Bandung
2,394,873
2,600,476.53
7,632,213.77
Garut
2,404,121
10,353,252.00
776,418,017.06
Bekasi
2,630,401
10,516,744.00
Bandung
4,688,827
288,986,878.14
28,588,644.00
432,323,989.00
Bogor
4,771,932
Sumber: data BPS tahun 2010
Pada penelitian ini diasumsikan bahwa keadaan kondisi kab/kota di Jawa Barat
homogen. Data pendapatan yang dipakai adalah PDRB per kapita Atas Dasar Harga
Berlaku tanpa Minyak Bumi dan Gas untuk menghindari efek dari inflasi.
Berdasarkan persamaan (2) maka diperoleh nilai KG pendapatan Jawa Barat
Tahun 2010 seperti Tabel 9.
14
.
.
Kota Bandung
Garut
Bekasi
Bandung
Bogor
10,103
36,882
17,327
23,736
13,327
.
.
.
34,241
10,334
37,077
26,117
15,466
0.004
0.011
0.018
0.030
0.045
.
.
.
0.663
0.719
0.780
0.889
1.000
0.024
0.111
0.152
0.209
0.240
.
.
.
0.789
0.813
0.901
0.963
1.000
0.004
0.007
0.007
0.013
0.015
.
.
.
0.056
0.056
0.061
0.109
0.111
0.024
0.135
0.264
0.361
0.449
.
.
.
1.497
1.602
1.715
1.865
1.963
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
(Yi+1+Yi)
.
(Xi+1-Xi)
Kota Tasikmalaya
%Kumulatif
Pendapatan (Yi)
Kota Banjar
Kota Cirebon
Kota Sukabumi
Kota Cimahi
%Kumulatif
penduduk(Xi)
Kab/Kota
PDRB
Perkapita
(Ribuan/tahun)
Tabel 9 Koefisien Gini Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
0.0001
0.0009
0.0018
0.0045
0.0066
.
.
.
0.0833
0.0895
0.1048
0.2031
0.2176
= 0.7396
Jadi KG(1) = (1- 0.7396) = 0.2604
Sehingga menurut Koefisien Gini disparitas pendapatan Jawa Barat tahun 2010
diperoleh 0.2604 atau 26.04% menunjukkan disparitas antar kabupaten/kota di Jawa
Barat rendah.
Grafik KG disparitas pendapatan Jawa Barat tahun 2010 dari Tabel 9 tersebut
dapat dilihat pada Gambar 5.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y = 0.7289x2 + 0.3241x - 0.0545
R² = 0.9897
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
Gambar 5. Kurva Lorenz Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
15
Berdasarkan persamaan (5) nilai KG pendapatan Jawa Barat dari Kurva Lorenz
pada Gambar 5 adalah 2A = ∫ [
0.7289x2 + 0.3241x - 0.0545)] = 0.2922
= 29.22%
Analisis Indeks Wiliamson Data Penduduk Jawa Barat Tahun 2010
Berdasarkan persamaan (4) dan data PDRB Atas Harga Berlaku pada Tabel 10
maka nilai Indeks Williamson (IW) dari penduduk Jawa Barat Tahun 2010 adalah
seperti pada Tabel 11.
Tabel 10 Data PDRB Atas Harga Berlaku Jawa Barat Tahun 2010
Jumlah
PDRB
PDRB perkapita
Kab/kota
Penduduk
(miliar)
(ribuan)
Bogor
4,771,932
73,801
15,465.64
Sukabumi
2,341,409
18,595
7,941.80
Cianjur
2,171,281
18,436
8,490.84
Bandung
4,688,827
63,636
13,571.83
Garut
2,404,121
24,845
10,334.34
Tasikmalaya
1,675,675
12,772
7,622.00
Ciamis
1,532,504
17,572
11,466.20
Kuningan
1,035,589
9,132
8,818.17
Cirebon
2,067,196
19,170
9,273.43
Majalengka
1,166,473
10,157
8,707.45
Sumedang
1,093,602
12,266
11,216.15
Indramayu
1,663,737
46,410
27,895.03
Subang
1,465,157
15,895
10,848.67
Purwakarta
852,521
15,957
18,717.43
Karawang
2,127,791
57,260
26,910.54
Bekasi
2,630,401
97,527
37,076.86
Kota Bogor
950,334
13,909
14,635.91
Kota Sukabumi
298,681
5,175
17,326.18
Kota Bandung
2,394,873
82,002
34,240.65
Kota Cirebon
296,389
10,931
36,880.59
Kota Bekasi
2334,871
35,679
15,280.93
Kota Depok
1,738,570
16,145
9,286.37
Kota Cimahi
541,177
12,846
23,737.15
Kota Tasikmalaya
635,464
8,469
13,327.27
Kota Banjar
175,157
1,770
10,105.22
n = 43,053,732
Sumber : data BPS tahun 2010
16
Tabel 11 Analisis Indeks Wiliamson Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
Kab/kota
xi
xi/n
ri
(
̅ )2
(
̅ )2*xi/n
569,177.51
63,085.74
Bogor
4,771,932 0.11
15,465.64
Sukabumi
2,341,409 0.05
7,941.80 68,529,970.72 3,726,893.88
Cianjur
2,171,281 0.05
8,490.84 59,741,182.29 3,012,860.63
218,181.97
Bandung
4,688,827 0.07
13,571.83 2,955,299.99
Garut
2,404,121 0.06
10,334.34 34,641,980.23 1,934,408.66
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
882,007.15
47,832.62
Kota Bekasi
2,334,871 0.05
15,280.93
Kota Depok
1,738,570 0.04
9,286.37 48,076,399.45 1,941,392.35
710,273.38
Kota Cimahi
541,177 0.01
23,737.15 56,506,318.33
123,515.31
Kota Tasikmly
635,464 0.01
13,327.27 8,368,365.33
152,121.31
Kota Banjar
175,157 0.01
10,105.22 37,391,541.40
n=43,053.732
= 81,629,650.99
̅ 16,220.08
dimana :
ri = PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku kab/kota di Jawa Barat
̅ = rata-rata PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku Jawa Barat
xi = jumlah penduduk kab/kota di Jawa Barat
n = jumlah penduduk Jawa Barat keseluruhan
Jadi nilai
√∑
̅
̅
√
Sehinggga menurut Indeks Williamson disparitas pendapatan penduduk Jawa
Barat Tahun 2010 yang diperoleh 0.5520 atau 55.20% artinya bahwa disparitas
pendapatan antar daerah kabupaten/kota di Jawa Barat tinggi.
SIMPULAN
Ukuran disparitas pendapatan Koefisian Gini (KG) secara analitik maupun
numerik dengan kurva Lorenz y = x2 memberikan hasil sama yaitu 0.3333. Sedangkan
ukuran disparitas pendapatan Indeks Wiliamson (IW) secara numerik diperoleh sebesar
nilai 0.5773.
Hasil penelitian data bangkitan acak dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + ratarata nilai KG 0.3312 pada selang kepercayaan 95% diperoleh 0.3300 < KG
MENGGUNAKAN KOEFISIEN GINI DAN INDEKS
WILLIAMSON
WAWAN BUDIARTO
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisa Disparitas
Pendapatan dengan Menggunakan Koefisien Gini dan Indeks Williamson adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Wawan Budiarto
NIM G551100091
RINGKASAN
WAWAN BUDIARTO. Analisa Disparitas Pendapatan dengan Menggunakan
Koefisien Gini dan Indeks Williamson. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan
PAIAN SIANTURI.
Salah satu pengukuran keberhasilan dari pertumbuhan pembangunan adalah
tingkat kesejahteraan daerah. Indikator yang sering digunakan untuk mengukur
tingkat kesejahteraan daerah adalah pendapatan total atau Produk Domestik
Regional Bruto (PDRB) maupun pendapatan per kapita. Indikator lainnya adalah
disparitas pendapatan pada suatu daerah yang diukur dengan menggunakan
Koefisien Gini (KG) dan Indeks Williamson (IW).
KG dan IW adalah salah satu alat pengukuran tingkat disparitas pendapatan
antar daerah atau antar penduduk. Pada pengukuran KG dan IW membutuhkan
data persentase penduduk, persentase kumulatif penduduk, persentase kumulatif
total pendapatan, PDRB, dan jumlah penduduk keseluruhan.
Terdapat 8 indikator dalam pengukuran tingkat kesejahteraan dan
pemerataan ekonomi yaitu: PDRB, laju inflasi, PDRB perkapita, KG, pemeratan
pendapatan versi Bank Dunia, IW, persentase garis kemiskinan dan angka
kriminalitas.
Namun demikian penggunaan KG dan IW sebagai indikator kemajuan
pembangunan belum banyak digunakan dibandingkan dengan PDRB maupun laju
inflasi. Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan tujuan dari penelitian ini
adalah menganalisis KG dan IW.
Hasil dari penelitian ini adalah ukuran disparitas pendapatan KG secara
analitik maupun numerik dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 memberikan hasil
sama yaitu 0.3333. Sedangkan ukuran disparitas IW secara numerik diperoleh
sebesar 0.5773.
Dalam simulasi ini menggunakan data bangkitan secara acak dan ditambah
error dari sebaran normal baku dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1 dimana
1 = 0.001*N(0,1) diperoleh rata-rata nilai KG 0.3312 pada selang kepercayaan
95% diperoleh 0.3300 < KG < 0.3323 dan rata-rata nilai IW 0.5916 pada selang
kepercayaan 95% diperoleh 0.5894 < IW < 0.5937.
Sedangkan hasil simulasi dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 2 dimana
2 = 0.002*N(0,1) rata-rata nilai KG 0.3288 pada selang kepercayaan 95%
diperoleh 0.3263 < KG < 0.3313 dan rata-rata nilai IW 0.6290 pada selang
kepercayaan 95% diperoleh 0.6239 < IW < 0.6340 sehingga nilai IW lebih peka
dibanding nilai KG.
Aplikasi kedua rumus disparitas pendapatan kab/kota di Jawa Barat tahun
2010 diperoleh KG 26.04% dan IW 55.20%, sehingga disparitas pendapatan antar
kab/kota di Jawa Barat menurut KG adalah rendah, sedangkan menurut IW adalah
tinggi.
Kata kunci: Koefisien Gini, Indeks Williamson, Simulasi
SUMMARY
WAWAN BUDIARTO. Analysis of Disparity Income Using Gini Coefficient and
Index Williamson. Supervised by HADI SUMARNO and PAIAN SIANTURI.
One of measurements of the success of the development is the growth rate
of regional welfare. Indicators which are often used to measure the level of
welfare are the total income or Gross Domestic Product (GDP) and per capita
income. Another indicator is the disparity income of using Gini Coefficient (KG)
and Williamson Index (IW).
In the same area and the same time, the measurement of KG and IW give
the difference. Therefore, the author is interested in doing research on KG and IW
both in mathematical modeling and simulation.
There are 8 indicators in measuring levels of well-being and economic
equality, namely: GDP, inflation rate, GDP per capita, KG, income distribution
version of the World Bank, IW, the percentage of the poverty line and the crime
rates.
However, the use of KG and IW as indicators of the progress of
construction are not widely used compared to GDP and the inflation rate.
Based on the above background, the formulation of the purpose of this study
is to analyze KG and IW.
The results of this study is to measure of disparity income by analysis and
simulation models. The value of IW is more sensitive than KG. According to the
analysis of the model if the cumulative percentage of income y relation to the
cumulative percentage of the population of x is y = x2 then the value KG = 0.3333
and the value of IW = 0.5773. At the 95% confidence interval with error
0.001*N(0,1) the average values of KG are within 0.3300 < KG < 0.3323 and the
value of 0.5894 < IW < 0.5937. At the 95% confidence interval with error
0.002*N(0,1) the average values of KG are within 0.3263 < KG < 0.3313 and the
value of 0.6239 < IW < 0.6340. Based on simulation using error the value of KG
obtained was found closer to the real value . However, this pattern was not
appecied for the IW.
Application of income disparity formula cities in West Java in 2010 found
that KG 26.04% and IW 55.20%, so the income disparity among cities in West
Java by KG is low, while IW is high.
Keyword: Gini Coefficient, Williamson Index, Simulation
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISA DISPARITAS PENDAPATAN DENGAN
MENGGUNAKAN KOEFISIEN GINI DAN INDEKS
WILLIAMSON
WAWAN BUDIARTO
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S.
Judul Tesis : Analisa Disparitas Pendapatan dengan Menggunakan Koefisien
Gini dan Indeks Williamson
Nama
: Wawan Budiarto
NIM
: G551100091
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S
Ketua
Dr. Drs. Paian Sianturi
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Jaharuddin, M.S
Dr. Ir. Dahrul Syah, MSc.Agr
Tanggal Ujian:
16 Juli 2014
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2012 ini ialah model
disparitas, dengan judul Analisa Disparitas Pendapatan dengan Menggunakan
Koefisien Gini dan Indeks Williamson.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno,M.S dan
Bapak Dr. Drs. Paian Sianturi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, istri, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Wawan Budiarto
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
9
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Ruang Lingkup Penelitian
2 TINJAUAN PUSTAKA
1
1
2
2
2
2
Kurva Lorenz
Koefisien Gini
Indeks Williamson
Simulasi Monte Carlo
3 METODE
2
2
3
4
4
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Studi Literatur Awal
Penjelasan Fungsi Lorenz
Penurunan Rumus Koefisien Gini
Penurunan Rumus Indeks Williamson
Analisis Model Koefisien Gini dan Indeks Williamson
Simulasi Model Koefisien Gini dan Indeks Williamson
Penggunaan Rumus Disparitas dengan Data Kependudukan
5 SIMPULAN
4
5
5
8
8
9
12
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
DAFTAR TABEL
1. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2
2. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1 pada
pengulangan pertama
3. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 + 1
4. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 2 pada
pengulangan pertama
5. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 + 2
6. Nilai rata-rata KG dan IW
7. Persentase kepekaan nilai KG dan IW
8. Data jumlah penduduk dan pendapatan Jawa Barat tahun 2010
9. Koefisien Gini pendapatan Jawa Barat tahun 2010
10. Data PDRB Atas Harga Berlaku Jawa Barat tahun 2010
11. Indeks Wiliamson pendapatan Jawa Barat tahun 2010
9
10
10
11
12
12
12
13
14
15
16
DAFTAR GAMBAR
1. Hubungan Koefisien Gini dengan kurva Lorenz
2. Kurva dan fungsi Lorenz
3. Kurva Lorenz yang dipartisi segitiga dan persegipanjang
4. Kurva Lorenz yang dipartisi trapesium
5. Kurva Lorenz pendapatan Jawa Barat tahun 2010
3
5
6
7
13
DAFTAR LAMPIRAN
1. Nilai KG dengan kurva Lorenz y = x2
19
2
2. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x + 1 pada pengulangan kedua
20
3. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan ketiga
21
4. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan keempat
22
2
5. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x + 1 pada pengulangan kelima
23
6. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan keenam
24
7. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan ketujuh
25
2
8. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x + 1 pada pengulangan kedelapan 26
9. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan kesembilan 27
10. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan kesepuluh 28
11. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan kesebelas 29
12. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan keduabelas 30
13. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan ketigabelas 31
14. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
keempatbelas
15. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
kelimabelas
16. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
keenambelas
17. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
ketujuhbelas
18. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
kedelapanbelas
19. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
kesembilanbelas
20. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 1
keduapuluh
21. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kedua
22. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketiga
23. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keempat
24. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kelima
25. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keenam
26. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketujuh
27. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kedelapan
28. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kesembilan
29. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kesepuluh
30. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kesebelas
31. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keduabelas
32. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketigabelas
33. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keempatbelas
34. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
kelimabelas
35. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
keenambelas
36. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2
ketujuhbelas
pada pengulangan
32
pada pengulangan
33
pada pengulangan
34
pada pengulangan
35
pada pengulangan
36
pada pengulangan
37
pada pengulangan
38
pada pengulangan
39
pada pengulangan
40
pada pengulangan
41
pada pengulangan
42
pada pengulangan
43
pada pengulangan
44
pada pengulangan
45
pada pengulangan
46
pada pengulangan
47
pada pengulangan
48
pada pengulangan
49
pada pengulangan
50
pada pengulangan
51
pada pengulangan
52
pada pengulangan
53
pada pengulangan
54
37. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2 pada pengulangan
kedelapan belas
38. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2 pada pengulangan
kesembilan belas
39. KG dan IW dengan kurva Lorenz y = x2 + 2 pada pengulangan
kedua puluh
55
56
57
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pembangunan dalam lingkup negara tidak selalu berlangsung sistemik. Beberapa
daerah mencapai pertumbuhan pembangunan secara cepat, sementara beberapa daerah
lain mengalami pertumbuhan pembangunan yang lambat. Setiap daerah tidak
mengalami kemajuan yang sama disebabkan kurangnya sumber daya yang dimiliki,
adanya kecenderungan peranan investor memilih daerah perkotaan yang telah memiliki
fasilitas seperti prasarana perhubungan, jaringan listrik, jaringan telekomunikasi,
perbankan, asuransi, juga tenaga kerja yang profesional, disamping itu juga adanya
ketimpangan redistribusi pembagian pendapatan dari Pemerintah Pusat kepada
Pemerintah Daerah.
Salah satu pengukuran keberhasilan pertumbuhan pembangunan adalah tingkat
kesejahteraan daerah. Indikator yang sering digunakan untuk mengukur tingkat
kesejahteraan daerah adalah pendapatan total atau Produk Domestik Regional Bruto
(PDRB) maupun pendapatan per kapita. Indikator lainnya adalah ketimpangan distribusi
(disparitas) pendapatan pada suatu daerah yang diukur dengan menggunakan Koefisien
Gini (KG) dan Indeks Williamson (IW).
Menurut Prayitno (1996), penggunaan KG dan IW untuk mengukur tingkat
kesejahteraan dan pemerataan ekonomi sebenarnya sudah lama dipakai oleh berbagai
negara di dunia. Pada tahun 1974, Michael menggunakan KG untuk mengukur tingkat
disparitas pendapatan di negara-negara berkembang. Di Indonesia pengukuran
disparitas pendapatan diprakarsai oleh R.M.Sundrum pada tahun 1973. Dia
memperkirakan besarnya KG Indonesia untuk tahun 1964-1965 sebesar 0.389 yang
didasarkan data pengeluaran konsumsi masyarakat.
Menurut Menteri Dalam Negeri (2010), dalam Peraturan Menteri Dalam Negeri
No 54 Tahun 2010 tentang Tata Cara Pengolahan Data dan Informasi Perencanaan
Pembangunan Daerah, ada 8 indikator dalam pengukuran tingkat kesejahteraan dan
pemerataan ekonomi yaitu: PDRB, laju inflasi, PDRB perkapita, KG, pemeratan
pendapatan versi Bank Dunia, IW, persentase garis kemiskinan dan angka kriminalitas.
Perumusan Masalah
Aturan penggunaan KG dan IW tersebut sampai sekarang belum dapat banyak
digunakan dibanding dengan PDRB maupun laju inflasi dalam pengukuran tingkat
kesejahteraan penduduk.
Pengukuran disparitas pendapatan membutuhkan data persentase penduduk,
persentase kumulatif penduduk, persentase kumulatif total pendapatan, PDRB Atas
Harga yang Berlaku dan jumlah penduduk keseluruhan. Pada suatu daerah yang sama
dan waktu yang sama, hasil pengukuran KG dan pengukuran IW memberikan hasil
yang sangat berbeda. Oleh karena itu, penulis tertarik melakukan penelitian tentang KG
dan IW membatasinya pada bentuk pemodelan rumusan keduanya secara analisis dan
simulasi.
2
Tujuan Penelitian
1.
2.
3.
Tujuan dari penelitian ini adalah :
menganalisa pemodelan rumus Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
simulasi data hasil pembangkitan menggunakan rumus Koefisien Gini dan Indeks
Wiliamson.
menghitung Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson dengan data penduduk aktual.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan suatu gambaran disparitas
pendapatan dengan menggunakan Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson untuk
pengukuran tingkat kesejahteraan.
Ruang Lingkup Penelitian
Ruang lingkup penelitian ini untuk mengkaji Koefisien Gini dan Indeks
Wiliamson secara analisis maupun simulasi.
TINJAUAN PUSTAKA
Kurva Lorenz
Kurva Lorenz, yaitu suatu kurva yang memperlihatkan hubungan kuantitatif
antara persentase kumulatif pendapatan dengan persentase kumulatif populasi penduduk
selama waktu tertentu. Bentuk kurva Lorenz menunjukkan derajat ketidakmerataan
dalam distribusi pendapatan. Semakin dekat kurva Lorenz dengan garis diagonal 450
atau garis kemerataan, maka semakin merata distribusi pendapatan (Perkin et al. 2001).
Fungsi Lorenz didefinisikan sebagai fungsi L:[0,1] dengan y = pendapatan
setiap penduduk, z = quantil pendapatan, F(z) = proporsi penduduk dengan pendapatan
y ≤ z, f(z) = F’(z) adalah fungsi kepekatan peluang, f(y)dy proporsi penduduk dengan
adalah rata-rata pendapatan.
pendapatan pada interval [y, y + dy], dan ̅ ∫
Sehingga Fungsi Lorenz didefinisikan :
P = F(z)
(Groth 2008)
∫
(1)
̅
Koefisien Gini
Koefisien Gini (KG) adalah ukuran disparitas pendapatan penduduk yang pertama
kali dikembangkan oleh statistikawan Italia Corrado Gini. KG dinyatakan dalam bentuk
rasio yang nilainya antara 0 dan 1. Pada Gambar 1, secara matematis KG adalah
perbandingan luas antara daerah yang terletak di antara garis diagonal dan kurva Lorenz
(ditandai A) dengan luas segitiga (ditandai A dan B ) sehingga
3
Gambar 1 Hubungan Koefisien Gini dengan Kurva Lorenz
Jika persentase kumulatif pendapatan per kapita penduduk ke-i (Yi), persentase
kumulatif jumlah penduduk ke-i (Xi) maka rumus KG sebagai berikut:
∑
(2)
Formula KG dapat juga dituliskan sebagai berikut:
̅ [∑
]
(3)
di mana n jumlah total penduduk, dan rata-rata pendapatan per penduduk ( ̅ ).
Menurut Permendagri No 54 Tahun 2010 bahwa Kriteria KG adalah :
{
Indeks Williamson
Indeks Williamson (IW) adalah ukuran disparitas pendapatan antar daerah yang
pertama kali dikembangkan oleh Jeffrey G Williamson. Pada tahun 1965, Williamson
meneliti hubungan disparitas daerah dengan tingkat pembangunan ekonomi. IW dapat
dipergunakan untuk mengetahui ketimpangan pembangunan antar kab/kota yang terjadi
di suatu provinsi (Sjafrizal 2008). Formula Indeks Williamson dapat dituliskan :
√∑
̅
(4)
di mana ri menunjukkan PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku di daerah i, ̅
adalah rata-rata PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku daerah sedangkan xi jumlah
penduduk di daerah i dan n jumlah penduduk daerah keseluruhan.
Menurut Permendagri No 54 tahun 2010 bahwa Kriteria IW adalah :
̅
{
4
Simulasi Monte Carlo
Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku
sistem fisika, matematika dan bidang terapan lainnya, juga memiliki aplikasi yang
beragam mulai dari perhitungan termodinamika kuantum isotherm hingga perancangan
aerodinamika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit.
Algoritma Monte Carlo memerlukan pengulangan (repetisi) dan perhitungan yang
kompleks, sehingga metode ini pada umumnya dilakukan menggunakan komputer dan
memakai berbagai teknik simulasi komputer.
Simulasi Monte Carlo dikenal juga dengan istilah sampling simulation atau Monte
Carlo Sampling Technique. Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak
perubahan input dan resiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan
data sampling yang telah ada.
Penggunaaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan
hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkitan bilangan acak, yang
jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang
menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik (Wong 2001).
METODE
1.
2.
3.
4.
Beberapa tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini akan dibahas pada bab ini.
Menjelaskan kedua rumus disparitas, menganalisis faktor-faktor yang diperhitungkan
dalam kedua rumus tersebut, hubungan antar faktor dan makna dari rumus tersebut.
Simulasi mulai dari membangkitkan data, menganalisis kedua model dan
membandingkan hasil analisis.
Menganalisis kepekaan nilai dari kedua rumus disparitas.
Mengaplikasikan kedua rumus disparitas dengan data aktual yaitu data penduduk
Jawa Barat tahun 2010.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Studi Literatur Awal
Hasil studi literatur awal diperoleh beberapa rumusan tentang KG dan IW yang
dipergunakan oleh beberapa peneliti disparitas kesejahteraan penduduk. Jumlah rumus
KG yang dipilih sebanyak dua rumus dan satu rumus IW. Pemilihan rumus ini
berdasarkan sering dipakainya rumus tersebut oleh banyak peneliti.
Penjelasan Fungsi Lorenz
Berdasarkan Gambar 2 kurva Lorenz adalah grafik (P, L(P)) yang selalu di bawah
adalah
diagonal OC. Misalkan, n jumlah penduduk keseluruhan, Y = ∫
5
pendapatan dalam suatu daerah, ̅
̅
adalah
. Jika ̅
̅
∫
∫
∫
adalah rata-rata pendapatan sehingga
, maka total kumulatif pendapatan sampai dengan z
Sehingga
̅
̅
⁄
⁄
fungsi Lorenz L:[0,1] dapat didefinisikan P = F(x)
∫
̅
̅
̅
. Oleh karena itu
∫
(Groth 2008).
Gambar 2 Kurva dan fungsi Lorenz
Penurunan Rumus Koefisien Gini
Berdasarkan definisi
dan
maka diperoleh :
atau
Berdasarkan Gambar 1 dan Gambar 3 diperoleh :
A = (1
(Luas segitiga Ti + persegipanjang Ri)
(5)
∑
Sedangkan
∑
(6)
∑
∑
∑
, dan
, karena Y0 = 0
∑
∑
maka ∑
dengan demikian persamaan (6) dapat ditulis:
∑
∑
∑
6
∑
∑
Gambar 3 Kurva Lorenz yang dipartisi segitiga dan persegipanjang
Berdasarkan persamaan (5), bahwa
∑
∑
, maka diperoleh :
rumus KG(1) terbukti.
Berdasarkan Gambar 4, maka diperoleh:
qi = kumulatif pendapatan =
pi = kumulatif jumlah penduduk =
q0 = p0 = 0 dan pn = qn = 1
Sedangkan berdasarkan Gambar 1 dan Gambar 4 diperoleh bahwa:
∑
Sehingga berdasarkan persamaan (5), maka diperoleh:
∑
⁄
∑
Berdasarkan Gambar 4 diambil misal n = 3 maka diperoleh :
= 0;
(7)
7
;
;
;
= 0;
;
;
dengan mensubtitusikan ke persamaan (7), maka diperoleh :
(
[
[
)
]
(
)]
(8)
[
]
(9)
dengan memanipulasi aljabar persamaan (8) dan persamaan (9) sehingga diperoleh :
[ (
[
[(
[
]
[
]
)
]
]
sehingga secara umum diperoleh:
̅ [∑
)
]
] rumus KG(2) terbukti.
Gambar 4 Kurva Lorenz yang dipartisi trapesium
8
Berdasarkan persamaan (2) dan Gambar 1 diperoleh bahwa semakin kurva
Lorenz melengkung ke bawah, menjauhi garis diagonal, maka disparitas pendapatan
antar penduduk semakin besar. Sebaliknya jika kurva Lorenz semakin mendekati garis
diagonal maka disparitas pendapatan penduduk semakin merata.
Penurunan Rumus Indeks Wiliamson
Indeks Wiliamson (IW) diturunkan dari koefisien varians (C). Jika ada
sekumpulan data ri menunjukkan PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku di daerah
i, ̅ adalah rata-rata PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku daerah maka nilai
∑
̅ dengan demikian koefisien
varians dari data tersebut adalah
√
√ ∑
̅
.
variansnya adalah
̅
̅
Dalam kasus penduduk perdaerah (kelompok), yang masing-masing daerah
mempunyai jumlah penduduk xi, maka IW = C dapat ditulis sebagai berikut :
√∑
̅
̅
Berdasarkan rumus IW persamaan (4) tersebut bahwa nilai IW suatu daerah
dipengaruhi oleh perubahan nilai pendapatan suatu penduduk.
Pada penelitian ini data yang dipakai adalah PDRB per kapita Atas Dasar Harga
Berlaku karena IW yang dicari adalah IW antar daerah dan asumsi kondisi antar daerah
tersebut homogen.
Analisis Model Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
Pada penelitian ini rumus yang dipakai Koefisien Gini (KG) hanya persamaan (2)
yaitu KG(1). Sedangkan persamaan (3) tidak dipakai karena persamaan (3) yaitu KG(2)
merupakan penjabaran dari persamaan (2).
Dalam analisis model ini dimisalkan kurva Lorenz y = x2, dengan asumsi
hubungan antara persentase kumulatif pendapatan per kapita penduduk ke-i (Yi),
persentase kumulatif jumlah penduduk ke-i (Xi) fungsi polynomial kuadrat, maka
diperoleh :
1. Berdasarkan kurva fungsi Lorenz persamaan(1) diperoleh nilai KG = 0.3333.
Pembuktian nilai KG tersebut ada pada Lampiran 1.
2. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh nilai KG = 0.3333 dan IW = 0.5773.
Sehingga analisis secara grafik maupun secara rumus memberikan hasil yang
sama untuk nilai KG dan berbeda untuk nilai IW.
9
n = 100
0.001
0.005
0.013
0.025
0.041
.
.
.
.
19.013
19.405
19.801
= 0.6667
(yi-ȳ)2*xi/n
(10-7)
(10-3)
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
% Kumulatif
Pendapatan(Yi)
0.0001
0.0004
0.0009
0.0016
0.0025
.
.
.
.
0.9604
0.9801
1.0000
xi
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
.
.
.
.
0.98
0.99
1.00
ri=yi
(10-2)
1
2
3
4
5
.
.
.
.
98
99
100
% Kumulatif
Penduduk(Xi)
No
Tabel 1. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
.
.
.
.
1.95
1.97
1.99
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
.
.
.
.
0.01
0.01
0.01
9.801
9.409
9.025
8.649
8.281
.
.
.
.
9.025
9.409
9.801
̅
Keterangan: xi = Xi+1 Xi = proporsi penduduk ke-i ; yi= Yi+1 Yi ; ȳ=
= 3.33x10-5
∑
Berdasarkan Tabel 1 nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2
diperoleh nilai KG = 1 0.6667 = 0.3333 dan nilai IW = √
Simulasi Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
Simulasi KG dan IW dengan Fungsi Kurva Lorenz y = x2 +
Batasan rentangan nilai KG dan IW dapat diperoleh dengan cara simulasi kedua
rumus disparitas tersebut dengan data pendapatan penduduk yang dibangkitkan secara
acak dan ditambah error () dari sebaran normal baku. Pada penelitian ini dipilih 2 error
() yaitu 1 dan 2, dimana 1 = 0.001 * N(0,1) dan 2 = 0.002 * N(0,1) untuk melihat
kepekaan dari nilai KG dan IW.
Berikut ini akan ditampilkan pada Tabel 2 dan Tabel 3 salah satu contoh hasil
analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + dimana 1 = 0.001 * N(0,1)
dan 2 = 0.002 * N(0,1). Hasil simulasi lengkap dari 20 kali ulangan diberikan pada
lampiran 2 40.
10
0.6672
1.5390
3.0091
5.0106
5.7584
.
.
.
1902.8
1942.5
1981.6
= 0.6694
n = 100
̅
(yi-ȳ)2*xi/n
(10-7)
0.000667
0.000872
0.002137
0.002873
0.002885
.
.
.
0.962027
0.980486
1.001100
xi/n
% Kumulatif
Pendapatan(Yi)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
.
.
.
0.98
0.99
1.00
ri=yi
(10-2)
% Kumulatif
Penduduk(Xi)
1
2
3
4
5
.
.
.
98
99
100
(10-5)
No
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
Tabel 2. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1 pada pengulangan
pertama
0.000667
0.000204
0.001266
0.000736
0.000012
.
.
.
0.021205
0.018459
0.020614
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
.
.
.
0.01
0.01
0.01
8.7305
9.6170
7.6478
8.6032
9.9976
.
.
.
12.5360
7.1370
11.2420
1.001x10-2
= 3.4625x10-5
Berdasarkan Tabel 2 nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1
dimana 1 = 0.001 * N(0,1) diperoleh nilai KG = 1 0.6694 = 0.3306 dan nilai
IW=
√
0.5884.
Rekapitulasi dari data nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 1
dimana 1 = 0.001 * N(0,1) dengan 20 kali ulangan yang diberikan pada lampiran 2
sampai lampiran 20 diberikan pada Tabel 3 sebagai berikut:
Tabel 3. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 + 1
Random ke
KG
IW
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.3306
0.3261
0.3332
0.3286
0.3332
0.3298
0.3333
0.3322
0.3333
0.3335
0.3296
0.3335
0.3329
0.5884
0.5821
0.5931
0.5924
0.5888
0.5910
0.5945
0.5898
0.5973
0.5951
0.5858
0.5974
0.5945
11
Random ke
KG
IW
14
15
16
17
18
19
20
0.3318
0.3334
0.3292
0.3334
0.3247
0.3333
0.3280
0.5893
0.6010
0.5882
0.5910
0.5851
0.5989
0.5876
0.3312
0.0027
0.5916
0.0049
Rata-rata
Std Deviasi
Berdasarkan data dari Tabel 3 maka nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz
y = x + 1 dimana 1 = 0.001 * N(0,1) pada selang kepercayaan 95%. Z0.025 = 1.96.
diperoleh 0.3300 < KG < 0.3323 dan 0.5894 < IW < 0.5937.
2
5.0507
14.601
19.556
20.120
21.745
.
.
.
1919.1
1960.8
2000.2
0.005051
0.004500
0.000455
0.000109
0.001516
.
.
.
0.020215
0.021523
0.017880
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
.
.
.
0.01
0.01
0.01
= 0.6870
n = 100
̅
1.009x10-2
(yi-ȳ)2*xi/n
(10-7)
xi/n
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
% Kumulatif
Pendapatan(Yi)
0.005051
0.009551
0.010005
0.010115
0.011631
.
.
.
0.969639
0.991162
1.009042
ri=yi
(10-2)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
.
.
.
0.98
0.99
1.00
(10-5)
1
2
3
4
5
.
.
.
98
99
100
% Kumulatif
Penduduk(Xi)
No
Tabel 4. Analisis KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 +2 pada pengulangan
pertama
2.5399
3.1253
9.2844
9.9621
7.3526
.
.
.
10.251
13.070
6.0675
= 3.7762x10-5
Berdasarkan Tabel 4 nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz fungsi kurva
Lorenz y = x2 + 2 dimana 2 = 0.002 * N(0,1) diperoleh nilai KG = 1 0.6870 = 0.3129
dan nilai IW =
√
0.6145.
12
Rekapitulasi nilai KG dan IW dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + 2 dengan 20
kali ulangan pada lampiran 21 39 diberikan pada Tabel 5 sebagai berikut:
Tabel 5. Nilai KG dan IW dengan fungsi y = x2 +2
Random ke
KG
IW
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Rata-rata
Std Deviasi
0.3129
0.3223
0.3315
0.3307
0.3247
0.3326
0.3286
0.3294
0.3331
0.3330
0.3384
0.3319
0.3245
0.3333
0.3268
0.3254
0.3337
0.3233
0.3307
0.3298
0.6145
0.6292
0.6235
0.6297
0.6392
0.6379
0.6200
0.6282
0.6286
0.6271
0.6303
0.6177
0.6309
0.6237
0.6151
0.6124
0.6431
0.6456
0.6588
0.6246
0.3288
0.0056
0.6290
0.0115
Berdasarkan data dari Tabel 5. maka nilai KG dan IW dengan fungsi kurva
Lorenz y = x2 + 2 dimana 2 = 0.002 * N(0,1) pada selang kepercayaan 95%.
Z0.025=1.96. diperoleh nilai 0.3263 < KG < 0.3313 dan 0.6239 < IW < 0.6340.
Rekapitulasi nilai rata-rata dan persentase kepekaan KG dan IW berdasarkan data
dari Tabel 1, Tabel 3 dan Tabel 5 diperoleh sebagai berikut :
Tabel 6. Nilai rata-rata KG dan IW
Disparitas
y = x2
Koefisien Gini
Indeks Williamson
0.3333
0.5773
Simulasi y = x2 +
= 0.001
= 0.002
0.3312
0.3288
0.5916
0.6290
Tabel 7. Persentase kepekaan nilai KG dan IW
Disparitas
y = x2
Koefisien Gini
Indeks Williamson
-
Simulasi y = x2 +
= 0.001
= 0.002
0.63%
1.35%
2.47%
8.96%
Berdasarkan Tabel 7 diperoleh bahwa nilai IW lebih peka dibandingkan nilai KG.
13
Penggunaan Rumus Disparitas dengan Data Kependudukan
Analisis Koefisien Gini Data Penduduk Jawa Barat Tahun 2010
KG dapat digunakan untuk mengukur tingkat ketidakmerataan pendapatan
masing-masing daerah (Szal 1977; Sumaryanto 1977).
Analisa model disparitas pendapatan Koefisien Gini dan Indeks Wiliamson
dengan data penduduk Jawa Barat tahun 2010 ini membutuhkan data jumlah penduduk
kab/kota di Jawa Barat, data Pendapatan Daerah, dan PDRB per kapita Atas Dasar
Harga Berlaku seperti terlihat data pada Tabel 8 dan Tabel 10.
Tabel 8 Data Jumlah Penduduk dan Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
Pengeluaran Daerah
Pendapatan Daerah
Kab/Kota
Jumlah Penduduk
(Ribuan)
(Ribuan)
2,446,915.06
86,991,895.45
Kota Banjar
175,157
3,106,967.27
75,458,581.46
Kota Cirebon
296,389
4,970,381.00
76,687,497.00
Kota Sukabumi
298,681
4,995,741.83
72,855,416.24
Kota Cimahi
541,177
2,890,281.53
54,621,719.12
Kota Tasikmalaya
635,464.
3,000,000.00
39,183,657.00
Purwakarta
852,521
28,625,803.27
132,416,563.33
Kota Bogor
950,334
1,271,732.00
2,986,095.00
Kuningan
1,035,589
1,752,861.09
48,522,076.74
Sumedang
1,093.602
2,145,440.00
29,215,119.00
Majalengka
1,166,473
85,170,521.00
77,988,462.00
Subang
1,465,157
5,783,860.73
25,386,679.22
Ciamis
1,532,504
11,403,784.00
82,075,421.00
Indramayu
1,663,737
15,244,156.00
177,303,956.00
Tasikmalaya
1,675,675
4,870,040.00
189,572,181.99
Kota Depok
1,738,570
7,906,849.41
23,325,865.85
Cirebon
2,067,196
4,302,683.98
184,903,461.10
Karawang
2,127,791
57,194,755.00
79,130,703.00
Cianjur
2,171,281
12,862,369.89
135,995,136.20
Kota Bekasi
2,334,871
2,550,000.00
157,656,644.49
Sukabumi
2,341,400
63,883,971.31
274,655,659.16
Kota Bandung
2,394,873
2,600,476.53
7,632,213.77
Garut
2,404,121
10,353,252.00
776,418,017.06
Bekasi
2,630,401
10,516,744.00
Bandung
4,688,827
288,986,878.14
28,588,644.00
432,323,989.00
Bogor
4,771,932
Sumber: data BPS tahun 2010
Pada penelitian ini diasumsikan bahwa keadaan kondisi kab/kota di Jawa Barat
homogen. Data pendapatan yang dipakai adalah PDRB per kapita Atas Dasar Harga
Berlaku tanpa Minyak Bumi dan Gas untuk menghindari efek dari inflasi.
Berdasarkan persamaan (2) maka diperoleh nilai KG pendapatan Jawa Barat
Tahun 2010 seperti Tabel 9.
14
.
.
Kota Bandung
Garut
Bekasi
Bandung
Bogor
10,103
36,882
17,327
23,736
13,327
.
.
.
34,241
10,334
37,077
26,117
15,466
0.004
0.011
0.018
0.030
0.045
.
.
.
0.663
0.719
0.780
0.889
1.000
0.024
0.111
0.152
0.209
0.240
.
.
.
0.789
0.813
0.901
0.963
1.000
0.004
0.007
0.007
0.013
0.015
.
.
.
0.056
0.056
0.061
0.109
0.111
0.024
0.135
0.264
0.361
0.449
.
.
.
1.497
1.602
1.715
1.865
1.963
(Xi+1-Xi)* (Yi+1+Yi)
(Yi+1+Yi)
.
(Xi+1-Xi)
Kota Tasikmalaya
%Kumulatif
Pendapatan (Yi)
Kota Banjar
Kota Cirebon
Kota Sukabumi
Kota Cimahi
%Kumulatif
penduduk(Xi)
Kab/Kota
PDRB
Perkapita
(Ribuan/tahun)
Tabel 9 Koefisien Gini Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
0.0001
0.0009
0.0018
0.0045
0.0066
.
.
.
0.0833
0.0895
0.1048
0.2031
0.2176
= 0.7396
Jadi KG(1) = (1- 0.7396) = 0.2604
Sehingga menurut Koefisien Gini disparitas pendapatan Jawa Barat tahun 2010
diperoleh 0.2604 atau 26.04% menunjukkan disparitas antar kabupaten/kota di Jawa
Barat rendah.
Grafik KG disparitas pendapatan Jawa Barat tahun 2010 dari Tabel 9 tersebut
dapat dilihat pada Gambar 5.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y = 0.7289x2 + 0.3241x - 0.0545
R² = 0.9897
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
Gambar 5. Kurva Lorenz Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
15
Berdasarkan persamaan (5) nilai KG pendapatan Jawa Barat dari Kurva Lorenz
pada Gambar 5 adalah 2A = ∫ [
0.7289x2 + 0.3241x - 0.0545)] = 0.2922
= 29.22%
Analisis Indeks Wiliamson Data Penduduk Jawa Barat Tahun 2010
Berdasarkan persamaan (4) dan data PDRB Atas Harga Berlaku pada Tabel 10
maka nilai Indeks Williamson (IW) dari penduduk Jawa Barat Tahun 2010 adalah
seperti pada Tabel 11.
Tabel 10 Data PDRB Atas Harga Berlaku Jawa Barat Tahun 2010
Jumlah
PDRB
PDRB perkapita
Kab/kota
Penduduk
(miliar)
(ribuan)
Bogor
4,771,932
73,801
15,465.64
Sukabumi
2,341,409
18,595
7,941.80
Cianjur
2,171,281
18,436
8,490.84
Bandung
4,688,827
63,636
13,571.83
Garut
2,404,121
24,845
10,334.34
Tasikmalaya
1,675,675
12,772
7,622.00
Ciamis
1,532,504
17,572
11,466.20
Kuningan
1,035,589
9,132
8,818.17
Cirebon
2,067,196
19,170
9,273.43
Majalengka
1,166,473
10,157
8,707.45
Sumedang
1,093,602
12,266
11,216.15
Indramayu
1,663,737
46,410
27,895.03
Subang
1,465,157
15,895
10,848.67
Purwakarta
852,521
15,957
18,717.43
Karawang
2,127,791
57,260
26,910.54
Bekasi
2,630,401
97,527
37,076.86
Kota Bogor
950,334
13,909
14,635.91
Kota Sukabumi
298,681
5,175
17,326.18
Kota Bandung
2,394,873
82,002
34,240.65
Kota Cirebon
296,389
10,931
36,880.59
Kota Bekasi
2334,871
35,679
15,280.93
Kota Depok
1,738,570
16,145
9,286.37
Kota Cimahi
541,177
12,846
23,737.15
Kota Tasikmalaya
635,464
8,469
13,327.27
Kota Banjar
175,157
1,770
10,105.22
n = 43,053,732
Sumber : data BPS tahun 2010
16
Tabel 11 Analisis Indeks Wiliamson Pendapatan Jawa Barat Tahun 2010
Kab/kota
xi
xi/n
ri
(
̅ )2
(
̅ )2*xi/n
569,177.51
63,085.74
Bogor
4,771,932 0.11
15,465.64
Sukabumi
2,341,409 0.05
7,941.80 68,529,970.72 3,726,893.88
Cianjur
2,171,281 0.05
8,490.84 59,741,182.29 3,012,860.63
218,181.97
Bandung
4,688,827 0.07
13,571.83 2,955,299.99
Garut
2,404,121 0.06
10,334.34 34,641,980.23 1,934,408.66
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
882,007.15
47,832.62
Kota Bekasi
2,334,871 0.05
15,280.93
Kota Depok
1,738,570 0.04
9,286.37 48,076,399.45 1,941,392.35
710,273.38
Kota Cimahi
541,177 0.01
23,737.15 56,506,318.33
123,515.31
Kota Tasikmly
635,464 0.01
13,327.27 8,368,365.33
152,121.31
Kota Banjar
175,157 0.01
10,105.22 37,391,541.40
n=43,053.732
= 81,629,650.99
̅ 16,220.08
dimana :
ri = PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku kab/kota di Jawa Barat
̅ = rata-rata PDRB per kapita Atas Dasar Harga Berlaku Jawa Barat
xi = jumlah penduduk kab/kota di Jawa Barat
n = jumlah penduduk Jawa Barat keseluruhan
Jadi nilai
√∑
̅
̅
√
Sehinggga menurut Indeks Williamson disparitas pendapatan penduduk Jawa
Barat Tahun 2010 yang diperoleh 0.5520 atau 55.20% artinya bahwa disparitas
pendapatan antar daerah kabupaten/kota di Jawa Barat tinggi.
SIMPULAN
Ukuran disparitas pendapatan Koefisian Gini (KG) secara analitik maupun
numerik dengan kurva Lorenz y = x2 memberikan hasil sama yaitu 0.3333. Sedangkan
ukuran disparitas pendapatan Indeks Wiliamson (IW) secara numerik diperoleh sebesar
nilai 0.5773.
Hasil penelitian data bangkitan acak dengan fungsi kurva Lorenz y = x2 + ratarata nilai KG 0.3312 pada selang kepercayaan 95% diperoleh 0.3300 < KG