PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSONGAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM (EXPECTATION MAXIMIZATION)

PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA

MENGGUNAKAN ALGORITMA EM (EXPECTATION MAXIMIZATION)

(Skripsi)

Oleh

NURASHRI PARTASIWI 0817031042

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2012

ABSTRAK

PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA

MENGGUNAKAN ALGORITMA EM (EXPECTATION MAXIMIZATION)

Oleh

NURASHRI PARTASIWI

Model poisson merupakan model peluang diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu dan memiliki rata-rata dan varians yang sama, tetapi pada kenyataannya, sering terjadi varians dari variabel responnya lebih besar daripada rata-ratanya atau overdispersi. Overdispersi akan membawa konsekuensi pada nilai penduga bagi galat baku yang lebih kecil (under estimate) yang selanjutnya dapat mengakibatkan kesalahan pada inferensia bagi parameternya. Salah satu cara untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menambahkan informasi yaitu dengan sebaran prior, salah satunya gamma. Dengan demikian, model poisson berubah menjadi model dua tahap, yaitu model Poisson-Gamma. Dalam kasus model poisson-gamma salah satu penduga tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga salah satu cara yang digunakan yaitu solusi numerik dengan teknik iteratif seperti metode Newton-Raphson. Dalam penelitian ini akan menduga parameter, metode yang akan digunakan adalah Algoritma EM (Expectation Maximization).

Kata kunci: Model Poisson-Gamma, Overdispersi, Algoritma EM (Expectation Maximization).

ABSTRACT

ESTIMATION OF THE PARAMETERS OF POISSON-GAMMA MODEL USING THE EM (EXPECTATION MAXIMIZATION) ALGORITHM

By

NURASHRI PARTASIWI

Poisson model is a discrete probability distribution that express the probability of a given number of events occurring in a specific interval of time and in has same average rate and variance, however in fact, it often happens that variance of response can be greater than the average rate or overdispersion. Overdispersion will bring consequences on the expected value for the smaller standard error (under estimate) which turns out errors on inference for those parameters. There is a way to overcome this problem which is with adding information with the prior distribution, it could be gamma. Thus, poisson model turns into a two-stage model, poisson-gamma model. In this case, one parameter of poisson-gamma model can’t be solved analitically, so the way that can be used is numerical solution such as the newton-raphson method. This research would have estimated the parameters, the method that will be used is EM (Expectation Maximization) algorithm.

Keyword: Poisson-Gamma Model, Overdispersion, EM (Expectation Maximization) Algorithm.

PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA

MENGGUNAKAN ALGORITMA EM (EXPECTATION MAXIMIZATION)

Oleh

Nurashri Partasiwi 0817031042

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2012

Judul Skripsi : PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM (EXPECTATION MAXIMIZATION)

Nama Mahasiswa : Nurashri Partasiwi Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031042

Program Studi : Matematika S1

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing

Dian Kurniasari, M.Sc. Widiarti, M.Si

NIP 19690305 199603 2 001 NIP 19800502 200501 2 003

2. Mengetahui Ketua Jurusan Matematika

Tiryono Ruby, Ph.D. NIP 19620704 198803 1 002

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 06 April 1991 dan adalah anak pertama dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Drs. Partono, M.Pd dan Ibu Dra. Nurlaila, serta adik kandung penulis bernama Balya Kretarta.

Penulis mengawali pendidikan Taman Kanak-kanak di TK Al-Azhar pada tahun 1995-1996, Sekolah Dasar di SD Alzhar 1 pada tahun 1996-2002, kemudian pendidikan menengah di Madrasah Tsanawiyah Negeri 2 (MTsN 2) Bandar Lampung pada tahun 2002-2005, dan pendidikan lanjutan di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1 Model) Bandar Lampung pada tahun 2005-2008.

Pada tahun 2008 penulis melanjutkan pendidikan Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Penulis aktif dalam beberapa organisasi, yaitu menjadi anggota Generasi Muda Matematika (GEMATIKA) pada tahun 2008, menjadi anggota bidang eksternal Panitia Khusus (PANSUS) pemilihan gubernur dan wakil gubernur FMIPA UNILA pada tahun 2009, menjabat sebagai anggota kesekretariatan (KESTARI) Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) pada tahun 2009, menjabat sebagai anggota kesekretariatan (KESTARI) BEM FMIPA pada tahun 2009, dan menjabat sebagai sekretaris kesekretariatan (KESTARI) Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) pada tahun 2010.

vi Penulis mengikuti Karya Wisata Ilmiah (KWI) pada tahun 2009 di Pagelaran Kabupaten Pringsewu, sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat. Penulis menyelesaikan mata kuliah wajib Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang dilaksanakan pada 01 Juli 2011 – 10 Agustus 2011 di Desa Gisting Jaya Kecamatan Negara Batin Kabupaten Way Kanan, dan melaksanakan Kerja Praktik (KP) pada tahun 2012 di Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung.

MOTTO:

Diam adalah emas.

Sabar dan ikhlas adalah kunci sukses.

PERSEMBAHAN

Persembahan kecil untuk yang tercinta, terkasih dan tersayang, ibu dan bapak yang selalu mendoakan dengan tulus, memberikan nasehat dan dorongan moril materil, dan kasih sayang yang tak terkira, dan adik yang selalu memberikan motivasi, serta kekasih hati yang memberikan semangat tersendiri. Semoga dapat memberikan banyak manfaat, amiin.

SANWANCANA

Alhamdulillahi robbil ’alamin, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah serta nikmat yang tak kurang-kurangnya kepada penulis dan tak lupa shalawat serta salam yang selalu tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita sehingga dapat terselesaikannya Skripsi yang berjudul “Pendugaan Parameter Model Poisson-Gamma Menggunakan Algoritma EM (Expectation Maximization)”.

Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah membantu, baik dalam memberikan bimbingan maupun saran sehingga skripsi ini dapat terselesaikan tepat waktu. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang selalu membimbing penulis dalam penyelesaian skripsi dan selaku pembimbing akademik yang selalu membimbing penulis semasa kuliah sampai sekarang. 2. Ibu Dian Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang selalu

membimbing, memberikan saran kritik bagi penulis selama penyelesaian skripsi.

3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku dosen penguji yang telah menguji penulis dan memberikan saran dalam penyelesaian skripsi.

x

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Amanto, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung

yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Ibu, Bapak dan Adik Balya tercinta yang selalu memberi dorongan dan motivasi agar dapat terselesaikannya skripsi ini.

9. Sahabat penulis wiwid, ida, selvi, wiwik, mia, ivip, septi, andre, noven, edo, yayat, rendi, edi, fajri, teman-teman Exotic (Matematika 08), dan adek-adek matematika angkatan 2009 dan 2010, serta akma, bang shan, chandra, dll terimakasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.

10. Gayoh Fajri Kuswara yang telah menjadi semangat tersendiri bagi penulis. 11. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu

persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak jauh dari kesempurnaan, akan tetapi semoga skripsi ini dapat berguna dan memberikan manfaat bagi kita semua. Amiin.

Bandar Lampung, 12 November 2012 Penulis,

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Model poisson merupakan model peluang diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu, rata-rata kejadian diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Model poisson dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu. Model poisson memiliki rata-rata dan varians yang sama, tetapi pada kenyataannya, sering terjadi varians dari variabel responnya lebih besar daripada rata-ratanya atau overdispersi.

Kondisi overdispersi dapat terjadi karena adanya sumber keragaman yang tidak teramati. Overdispersi juga akan membawa konsekuensi pada nilai penduga bagi galat baku yang lebih kecil (under estimate) yang selanjutnya dapat mengakibatkan kesalahan pada inferensia bagi parameternya. Salah satu cara untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menambahkan informasi yaitu dengan sebaran prior. Sebaran gamma merupakan sebaran yang dapat dipilih sebagai prior. Dengan demikian, model poisson berubah menjadi model dua tahap, yaitu model Poisson-Gamma.

2 Statistik inferensia salah satunya meliputi pendugaan parameter. Beberapa metode pendugaan parameter yaitu metode momen dan metode kemungkinan maksimum. Pendugaan parameter dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum tidak bisa dilakukan secara langsung karena ada data yang tidak teramati sehingga perlu algoritma EM (Expectation Maximization) yang digunakan untuk data tidak teramati. Prinsip dasarnya algoritma EM digunakan untuk data tidak lengkap dengan cara memaksimumkan nilai harapan ke fungsi kemungkinannya.

Dalam kasus model poisson-gamma salah satu penduga tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga salah satu cara yang digunakan yaitu solusi numerik dengan teknik iteratif seperti metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson sering digunakan karena kesederhanaannya dan mempunyai konvergensi yang cepat. Dalam penelitian ini penulis tertarik untuk menduga parameter model poisson-gamma dengan menggunakan algoritm EM (Expectation Maximization).

1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada pendugaan parameter model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization).

3 1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menduga parameter model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization).

1.4 Manfaat Penelitian

Beberapa manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mendapatkan pembuktian secara analitik nilai penduga parameter dari model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization).

2. Mendapatkan penjelasan dari analisis hasil pendugaan parameter model poisson-gamma.

II. LANDASAN TEORI

Peubah acak X(s) merupakan sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota sєS (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah peubah acak diskrit, yaitu banyaknya nilai-nilai yang mungkin dari X (X adalah peubah acak) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung. Dalam peubah acak diskrit, nilai-nilai yang mungkin merupakan bilangan bulat. Kemudian dapat menghitung nilai peluang dari masing-masing nilai peubah acak tersebut, apabila nilai peluang dari peubah acak tersebut mempunyai persyaratan tertentu maka nilai peluang tersebut dinamakan fungsi peluang. Distribusi yang mempunyai bentuk fungsi peluang dari peubah acak diskrit disebut distribusi khusus diskrit, yaitu salah satunya adalah distribusi poisson atau model poisson.

2.1 Model Poisson

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk:

p(x) = P(X = x) =

! ; x = 0,1,2,3, (2.1)

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson adalah sebagai berikut:

5

2. =

3. M (t) = ( ); t . (Nar Herrhyanto dan Tuti Gantini, 2009).

2.2 Metode Bayes

Misalkan x , x , , x merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang berbentuk f(x , x , , x | ) dan sebaran dari peubah acak yaitu ( )(sebaran prior).

Langkah-langkah untuk menentukan penduga bayes bagi adalah:

1. Menentukan fungsi kepekatan peluang bersama dari x , x , , x dengan f(x , x , , x )yang didefinisikan sebagai berikut:

f(x , x , , x , ) = f(x , x , , x | ). ( ) (2.2) 2. Menentukan sebaran marginal yang diperoleh dengan mengintegralkan

fungsi kepekatan peluang bersama sebagai berikut:

m(x , x , , x ) = f(x , x , , x | ). ( ) d (2.3) 3. Menentukan sebaran posterior atau fungsi kemungkinan sebagai berikut:

f( |x , x , , x ) = ( , , , , )_{( , , , )} (2.4) (John E Freund dan Gary A Simon, 1999).

2.3 Model Poisson-Gamma

Model poisson-gamma merupakan model poisson campuran yang menggunakan prior gamma sebagai alternatif untuk menyelesaikan masalah overdispersi. Model poisson-gamma dapat ditulis sebagai:

6 ~ Gamma ( , ), i = 1,2,

Misalkanx , x , , x sampel acak dengan fungsi peluang:

f(x , x , , x | ) = _! ; x = 0,1, (2.5)

Dengan sebaran prior fungsi densitas gamma:

( ) = _{( )( )} ; 0 < (2.6)

Maka didapatkan fungsi bersama model poisson-gamma sebagai berikut: f(x , x , , x , ) =

! . ( )( ) (2.7)

Sebaran marginal diperoleh dengan mengintegralkan fungsi bersama sebagai berikut:

m(x , x , , x ) = _{( )( )}

! (x + )

( )

(2.8)

Dengan demikian fungsi kemungkinan model poisson-gamma adalah:

f( |x , x , , x ) = ( )

( )

(2.9)

(Michalis K. Titsias, 2012).

2.4 Algoritma EM (Expectation Maximization)

Algoritma EM merupakan metode untuk pendugaan parameter dari fungsi kemungkinan pada data tidak teramati, terutama digunakan untuk sebaran campuran karena ada data tidak teramati. Ada dua tahap dalam menggunakan algoritma EM, yaitu tahap E (Expectation) dan tahap M (Maximization). Dalam tahap E yaitu mencari nilai harapan penduga parameter dan tahap M yaitu memaksimumkan nilai harapan ke fungsi kemungkinan.

7 MisalnyaY = (X , Z )adalah data lengkap, dimana X data yang teramati dan Z data yang tidak teramati. Sehingga pada tahap E dari iterasi ke-(k+1), nilai harapan loglikelihood dari model data lengkap dapat dihitung dengan rumus | ( ) = E log p(Y| ) |X, ( ) dengan menggunakan sebaran bersyarat f Y|X, ( ) . Pada tahap M nilai | ( ) dimaksimumkan terhadap , dimana merupakan penduga parameter tertentu. Ketika model data lengkap berasal dari keluarga eksponensial, maka tahap E dihitung nilai harapan bersyarat dari statistik cukupnya.

Nilai-nilai data yang tidak teramati dalam sebaran campuran adalah realisasi dari dimana adalah parameter yang tidak teramati untuk setiap X . Sehingga pada tahap E, perlu menghitung nilai harapan bersyarat dari fungsi (tidak teramati) dan memaksimumkan fungsi kemungkinan dari model data lengkap yang direduksi dari sebaran campuran.

Beberapa tahap untuk mencari nilai penduga kemungkinan maksimum dengan algoritma EM, yaitu:

1. Pada tahap E, menggunakan nilai dugaan terakhir atau saat ini ( ) dari iterasi ke-k, kemudian hitung nilai pseudo (samaran) = ( )|X, ( ) _{, dimana = 1, , , = 1, , ketika (. )}

adalah fungsi sebaran tertentu dan adalah nilai penduga.

2. Pada tahap M, menggunakan nilai pseudo dari tahap E untuk memaksimumkan kemungkinan dari sebaran campuran dan diperoleh nilai terbaru dari yaitu ( ) dari iterasi ke-(k+1).

8 3. Ketika selisih ( ) dan ( ) kurang dari suatu bilangan yang sangat

kecil maka iterasi akan berhenti, jika tidak iterasi berlanjut ke tahap E. (Dempster AP, 1977).

2.5 Metode Newton-Raphson

Kebanyakan persoalan model matematika dalam bentuk yang rumit tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi eksak. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi dari persoalan model matematika tersebut masih dapat diselesaikan dengan menggunakan metode numerik.

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan dengan iterasi. Diantara semua metode akar, metode Newton-Raphsonlah yang paling terkenal dan paling banayak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karna tingkat konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson yaitu:

1. Penurunan rumus metode Newton-Raphson secara geometri

Misalf(x) = 0 adalah suatu persamaan yang mempunyai akarxdanfdapat dideferensialkan, sehingga y = f(x) memiliki garis singgung di setiap titik pada kurva fungsinya. Perhatikan grafik berikut ini:

9 Gambar 2.1 Grafik pendekatan metode Newton-Raphson.

Dari gambar 1, gradient garis singgung dixradalah:

= ′_{( ) = =} ( ) ₌ ( ) _(2.10)

Sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah:

= _′( )

( ), ′( ) 0 (2.11)

2. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan deret Taylor Uraikan ( )disekitar ke dalam deret Taylor:

( ) = ( ) + ( ) ′_{( ) +}( ) ′′_{( ), < <}

(2.12)

Apabila deret tersebut dipotong sampai orde ke-2 maka persamaannya akan menjadi:

( ) ( ) + ( ) ′_{( ) (2.13)}

Dan karena persoalan mencari akar,f(xr+1) = 0 sehingga:

( ) = ( ) + ( ) ′_{( ) = 0 (2.14)}

Y=f(x) Tangent line

xn

Xn+1

10 atau

= _′( )_{( )}, ′_{( ) 0 (2.15)}

yang merupakan rumus metode Newton-Raphson.

Kondisi berhenti iterasi Newton-Raphson adalah apabila | | < atau bila menggunakan galat relative hampiran | | < , dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan.

Gambar 2.2 Diagram alir mode iterasi Newton-Raphson (Rinaldi Munir, 2003).

xn= xn+1

Selesai ya

Apakahf(xn+1) kecil ?

Hitungxn+1danf(xn+1) Pilih nilai awal Xnsembarang

III. METODE PENELITIAN

3.1 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data kanker bibir di skotlandia yang diambil dari Stren dan Cressie (2000). Data ini berupa banyaknya penderita kanker bibir yang tercatat selama 6 tahun dari tahun 1975 sampai 1980 pada 56 distrik di skotlandia. Data lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.

3.2 Metode Penelitian

Beberapa langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: langkah pertama, yaitu menduga parameter model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization) yaitu pada tahap E (Expectation) menentukan nilai pseudo dengan mencari nilai harapan dari sebaran posterior atau fungsi kemungkinan model poisson-gamma dan menentukan nilai harapan ✁✄ dari sebaran prior gamma dengan parameter

✂☎✆dan✝☎

✝ ✞

.

Pada tahap M (Maximization) memaksimumkan fungsi kemungkinan dari sebaran prior gamma yang menggunakan nilai pseudo ✟ tahap E, menduga parameter α _{model poisson-gamma dengan menggunakan metode}

Newton-12 Raphson dengan bantuan software Mathlab, menduga parameter ✠ model poisson-gamma yang diperoleh dari turunan pertama dari logaritma natural

L( , ) terhadap yang harus sama dengan 0, dan menduga parameter θ

model poisson-gamma yang diperoleh dari nilai harapan sebaran posterior atau fungsi kemungkinan model poisson-gamma.

Langkah kedua, yaitu melakukan analisis dengan mendesign program pendugaan parameter θ dan α _{secara iteratif dari model poisson-gamma} dengan bantuan software Mathlab yang diaplikasikan pada data berupa banyaknya penderita kanker bibir yang tercatat selama 6 tahun dari tahun 1975 sampai 1980 pada 56 distrik di skotlandia.

Berikut langkah-langkah penelitian jika digambarkan dalam bentuk diagram alir :

Mulai

Menduga parameter model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization)

Membangun program macro untuk mendapatkan penduga parameter θ dan α secara iteratif

Selesai

V. KESIMPULAN

Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Pada analisis pendugaan parameter dan model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization), semakin besar nilai awal dan yang diberikan maka nilai dugaan juga akan semakin besar, sedangkan semakin besar nilai awal dan yang diberikan maka nilai dugaan akan semakin kecil.

2. Pada analisis pendugaan parameter θ model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization), semakin besar nilai awal dan semakin kecil nilai awal , maka nilai dugaan akan semakin kecil. Dan sebaliknya, semakin kecil nilai awal dan semakin besar nilai awal , makanilai dugaan akan semakin besar.

8 3. Ketika selisih ( ) dan ( ) kurang dari suatu bilangan yang sangat

kecil maka iterasi akan berhenti, jika tidak iterasi berlanjut ke tahap E. (Dempster AP, 1977).

2.5 Metode Newton-Raphson

Kebanyakan persoalan model matematika dalam bentuk yang rumit tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi eksak. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi dari persoalan model matematika tersebut masih dapat diselesaikan dengan menggunakan metode numerik.

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan dengan iterasi. Diantara semua metode akar, metode Newton-Raphsonlah yang paling terkenal dan paling banayak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karna tingkat konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson yaitu:

1. Penurunan rumus metode Newton-Raphson secara geometri

Misalf(x) = 0 adalah suatu persamaan yang mempunyai akarxdanfdapat dideferensialkan, sehingga y = f(x) memiliki garis singgung di setiap titik pada kurva fungsinya. Perhatikan grafik berikut ini:

9 Gambar 2.1 Grafik pendekatan metode Newton-Raphson.

Dari gambar 1, gradient garis singgung dixradalah:

= ′_{( ) = =} ( ) ₌ ( ) _(2.10)

Sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah: = _′( )

( ), ′( ) 0 (2.11)

2. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan deret Taylor Uraikan ( )disekitar ke dalam deret Taylor:

( ) = ( ) + ( ) ′_{( ) +}( ) ′′_{( ), < <}

(2.12)

Apabila deret tersebut dipotong sampai orde ke-2 maka persamaannya akan menjadi:

( ) ( ) + ( ) ′_{( ) (2.13)}

Dan karena persoalan mencari akar,f(xr+1) = 0 sehingga:

( ) = ( ) + ( ) ′_{( ) = 0 (2.14)}

Y=f(x) Tangent line

xn Xn+1

10 atau

= _′( )_{( )}, ′_{( ) 0 (2.15)}

yang merupakan rumus metode Newton-Raphson.

Kondisi berhenti iterasi Newton-Raphson adalah apabila | | < atau bila menggunakan galat relative hampiran | | < , dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan.

Gambar 2.2 Diagram alir mode iterasi Newton-Raphson (Rinaldi Munir, 2003).

xn= xn+1

Selesai ya

Apakahf(xn+1) kecil ?

Hitungxn+1danf(xn+1) Pilih nilai awal Xnsembarang

III. METODE PENELITIAN

3.1 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data kanker bibir di skotlandia yang diambil dari Stren dan Cressie (2000). Data ini berupa banyaknya penderita kanker bibir yang tercatat selama 6 tahun dari tahun 1975 sampai 1980 pada 56 distrik di skotlandia. Data lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.

3.2 Metode Penelitian

Beberapa langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: langkah pertama, yaitu menduga parameter model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization) yaitu pada tahap E (Expectation) menentukan nilai pseudo dengan mencari nilai harapan dari sebaran posterior atau fungsi kemungkinan model poisson-gamma dan menentukan nilai harapan ✁✄ dari sebaran prior gamma dengan parameter

✂☎✆dan✝☎

✝ ✞

.

Pada tahap M (Maximization) memaksimumkan fungsi kemungkinan dari sebaran prior gamma yang menggunakan nilai pseudo ✟ tahap E, menduga

Newton-12

Raphson dengan bantuan software Mathlab, menduga parameter ✠ model

poisson-gamma yang diperoleh dari turunan pertama dari logaritma natural

L( , ) terhadap yang harus sama dengan 0, dan menduga parameter θ

model poisson-gamma yang diperoleh dari nilai harapan sebaran posterior atau fungsi kemungkinan model poisson-gamma.

Langkah kedua, yaitu melakukan analisis dengan mendesign program pendugaan parameter θ dan α _{secara iteratif dari model poisson-gamma} dengan bantuan software Mathlab yang diaplikasikan pada data berupa banyaknya penderita kanker bibir yang tercatat selama 6 tahun dari tahun 1975 sampai 1980 pada 56 distrik di skotlandia.

Berikut langkah-langkah penelitian jika digambarkan dalam bentuk diagram alir :

Mulai

Menduga parameter model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization)

Membangun program macro untuk mendapatkan penduga parameter θ dan α secara iteratif

Selesai

V. KESIMPULAN

Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Pada analisis pendugaan parameter dan model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization), semakin besar nilai awal dan yang diberikan maka nilai dugaan juga akan semakin besar, sedangkan semakin besar nilai awal dan yang diberikan maka nilai dugaan akan semakin kecil.

2. Pada analisis pendugaan parameter θ model poisson-gamma dengan menggunakan algoritma EM (Expectation Maximization), semakin besar nilai awal dan semakin kecil nilai awal , maka nilai dugaan akan semakin kecil. Dan sebaliknya, semakin kecil nilai awal dan semakin besar nilai awal , makanilai dugaan akan semakin besar.