29 mempunyai kompleksitasnya sebesar
4
n O
. Langkah ke-4 dibentuk sebanyak
2
n O
kali, setiap kali langkah ke-4 dijalankan,
2
n O
langkah telah dibentuk. Pada saat langkah ke-5 di bentuk setiap kali maka langkah ke-4 telah selesai
dijalankan, dan susunan dari G
ℓ
punya kompleksitas
2
n O
, secara keseluruhan kompleksitas dari langkah ke-5 adalah
4
n O
. Oleh karena itu algorithma Kuhn- Munkres punya kompleksitas sebesar
4
n O
.
4.6. Aplikasi Algoritma Kuhn Munkres dalam Bahasa Pemgrograman
4.6.1. Langkah Penyusunan Program
Penggunaan algoritma Kuhn Munkres dalam bahasa pemrograman digunakan untuk mempermudah dalam mencari matching maksimal berbobot, dengan jumlah
vertex banyak.
Algoritma Kuhn Munkres dapat diterjemahkan ke dalam bahasa pemrograman dengan menggunakan software Matlab 6.1. Dalam tulisan ini,
program diberi nama KuhnMunkres. Program ini memiliki diagram alir seperti
tampak pada Gambar 4.7, diambil dari Bondy dan Murty 1976:89, dengan perubahan pada notasi dan proses input data.
Dalam program ini, terdapat satu program utama yaitu KuhnMunkres
dan tiga function untuk mempermudah dalam pembuatan program yaitu
Matchmax , Vsingle dan Newedge. Dalam program KuhnMunkres dimulai
dengan memasukkan bobot edge yang menghubungkan dua partisi graf, dengan jumlah bobot vertex nxn. Proses input data diberikan dua pilihan yaitu
memasukkan secara manual atau dengan generate data. Setelah memilih, untuk input
data manual format input data diawali dengan tanda “[” dan diakhiri dengan “]”, antara bobot edge satu dengan yang lain masih dalam satu baris diberi tanda
“,”, sedang untuk ganti baris diberi tanda “;”. Setelah memasukkan bobot vertex, kemudian dicari bobot yang paling maksimal tiap barisnya, sehingga akan
diperoleh subgraf perentang H
ℓ
. Pada graf H
ℓ
dapat dibentuk matching maksimal
30
dengan menggunakan function Matchmax. Pilih salah satu matching maksimal
yaitu Mlx, kemudian dilakukan pengecekan apakah Mlx semua vertex-nya sudah masuk didalam matching tersebut, jika semua vertex sudah termasuk didalam Mlx
maka matching tersebut adalah matching maksimal sehingga program akan berhenti dan Mlx adalah matching maksimal berbobot. Jika semua vertex tidak
masuk dalam Mlx, maka terdapat vertex tunggal yang tidak masuk dalam Mlx,
dengan menggunakan function Vsinggle akan diperoleh vertex tunggal yang
belum masuk dalam Mlx. Langkah berikutnya adalah penyusunan pohon alternating. Penyusunan
pohon alternating dimulai dengan mendefinisikan variabel baru, yaitu S adalah vertex
anggota V
1
yang masuk dalam penyusunan pohon alternating, NS adalah vertex
anggota V
2
yang adjecent dengan anggota S, T adalah vertex anggota V
2
yang masuk dalam penyusunan pohon alternating. Langkah awal dalam penyusunan pohon alternating adalah dengan menggunakan vertex tunggal misal
1
v sebagai akar pohon alternating. Dengan definisi awal
{ }
φ ←
← T
v S
,
1
. Seperti yang tertera pada diagram alir pada Gambar 4.7, dilakukan pengecekan
apakah T
S N
G
= , jika
T S
N
G
= , maka dilakukan pelabelan baru dengan
menghitung ,
, G
m . Pelabelan baru dilakukan dengan menggunakan function
Newedge , dengan output pelabelan baru dan graf
G yang baru. Pada graf
G terdapat vertex u dalam
S N
G
\T . Jika T
S N
G
≠ , maka terdapat vertex u
dalam S
N
G
\T . Kemudian dicek apakah vertex u adalah vertex matching dalam Mlx
, jika vertex u adalah vertex matching maka terdapat vertex v, dimana uv adalah edge matching dalam Mlx. Dengan penambahan vertex u dan vertex v
dalam pohon alternating maka anggota himpunan S menjadi
{ }
S v
S →
∪ , dan
anggota himpunan T menjadi
{ }
T u
T →
∪ . Dengan penambahan anggota pada
himpunan S maka kembali pada langkah pengecekan apakah T
S N
G
= .
31
Gambar 4.7. Diagram Alir Program KuhnMunkres
∃
an M-augmenting v,u-path P
END
M is an optimal matching
START
NO : YES
Manual input nxn vertex
Generate input nxn vertex
NO :
∃
a vertex u in
T S
N
G
\
Input manual or generate
{ }
T S
v →
→ φ
, M
M →
? T
S N
G
=
Newedge
function To compute
, ,
G m
NO :
∃
an M-unsaturated vertex v in X
Vsingle function
Is X M-saturated in G
l
YES
Matchmax function
to find G
l
and matching M
G G
→ →
{ } { }
T u
T S
v S
→ ∪
→ ∪
∃
a vertex u in
T S
N
G
\
Is v M-saturated ? YES
M uv
∈ ∃
P E
M M
∆ =
32 Jika pada saat pengecekan vertex u bukan merupakan anggota vertex
matching maka terdapat lintasan augmenting dari akar pohon alternating
1
v sampai
vertex u.
Sehingga dapat
dibentuk matching
baru dengan
Ep M
P E
Mlx Mla
∪ −
= . Setelah ditemukan matching baru, kemudian
kembali pada langkah pengecekan apakah semua vertex sudah termasuk dalam matching
baru tersebut, jika semua sudah termasuk maka Mla adalah matching maksimal berbobot. Jika masih terdapat vertex tunggal maka ulangi langkah dari
pengambilan vertex tunggal sebagai akar pohon alternating sampai semua vertex termasuk dalam matching terbaru.
Penghitungan bobot maksimal dilakukan dengan menjumlahkan bobot edge
pada matching maksimal yang telah diperoleh. Listing program dapat dilihat pada halaman lampiran.
4.6.2. Analisis Hasil Pemrograman
