hazrul Menolak Kematian dengan Matematika 2001

OpnI LEPAS

ffiffiffi

Wt

ematianatau berpisahnyajiwaupaya mengeluar'
dariraga seorangmanusiame- kan bakatmatemaan yangha- tika. Sejarah marupakankeniscaya
rusterjadipada setiapmanusia. tematika mencatat
Tapi kematianmengunjungimanusiater- salahsatuteorimayang tak tematika lahir dari
kadangpada keadaan-keadaan
lndonesiadi upaya untuk menolak kematianyang
terduga.Seorangmahasiswa
naik pe-sa- sudah diperkirakan bakal terjadi yaitu:
yang
liburan,
sedang
Amerika
ikut
meninggal
bersa- MasalahJosephus.

tiba{iba
wat Boeing,
MasalahJosephus padamasaperang
ma penumpangyanglain karenapesawat
yang ditumpangi ditabrakkan pembaiak Yahudi'Romawi sekitar abad pertama
besarke salahsatumenarakemb4rWTCdi New masehidi Eropaterjadipembantaian
'
yang
Yahudi'
penduduk
beragama
York.SeorangmahasiswaUbayamening- besaran
gal di seputir kampusnyasendirioleh Pada masa itu, terkenallahseorangahli
orang-orangyanginginmerampassepeda seiarahyang bernamaFlavius Josephus
motoinya.Seoranghakimagungdiberon- yang beragamaYahudi. Ahli sejarah ini
dongdengansenjataapi di atasmobilnya bisa bertahan hidup bahkan menjadi
oleh serombonganorangyangtidak dike- terkenalpadamasaini berkatkemampuan
nal sewaktupulangdari kantornya.Atau malematikayang terpendamdan muncul
seorangrektorlAlN di NangroeAceh Da- pada saat yang dibutuhkan.Pada suatu
russalammeninggalsaat setelahsebutir kejadian,Josephusdan 40 orang rekan

dalamguadan
terperangkap
pelurubersarangdi kepalanyayangditem- seaga-manya
bakkanolehorangyangtidakdikenal,iuga dikepung oleh prajurit-prajuritRomawi.
Mereka sepakat daripada menygrah,
setelahpulangdarikantornya.
Bagaimanakalaukematianmengunju- ditangkap,disiksa,dan kemudiandibunuh
ngi minusia dengan jadwalyang ditentu- oleh parapraiurit Romawi, lebihbaikmeApa reaksi reka semuabunuhdiri.Caranyadengan
kin atau bisa diperkirakan?
Beragam membentuklingkaran,menghitungsearah
menghadapinya?
manusiauntuk
reaksiyang dilakukanmanusia unluk jarum jam dan membunuhsetiaporang
menghadapikematianyangsudahberada kedua darihitunganpertamasampaitidak
di debanmata.Adayangpasrah,ada yang ada satu orangpunyang tertinggal Jomempersiapkandiri berupa bekaFbpkal sephus bersamadenganseorangtemanberupa amal kebajikanseperti yang di- nya yang laintidak setujudengan bunuh
-amanatkan
oleh semuaagama-agamadi diri yangsia-siatersebut.Tapi dalam sidunia.Ada yangberusahamenundajatuh tuasi darurattersebutmerekaharus loyal
tempo kematiandenganberbagaiupaya, padakelompoksambil mencariakaluntuk
menolakdatang' menghindariposisi dibunuh beramaiatauadayangberusaha
nya kematian.Mungkinkahmenolakda- ramai selelahhitungankematiandimulai.

Sebagaicontoh,posisikumpulanorang
tangnyakematian.
Upaya-upayauntuk menolakkematian yang melingkardisebutlingkaran kemaakan datangmenjelangbisadilakukande- tian.Misakanterdapatn orangdalam lingngancara apa saja,tak terkecualidengan karankematian dan seliaporang kedua

d i b u n u hs e h
tinggal satu
yang tersisa.
Karan
'10
1x[ n =
gambar
sebagaiberikut:

12

Gambarlingkarankematianuntuk

Urutan orang yangdibunuh

d ,a9n,Y a n g

2,4,6,8,10,3,7,1
lah 5. Jadidalamkasusini masalah
dihadapiJosephusadalah
bilanganyangtersisaJ {n) (J
gnlr1 n =10,
dariJosephus).
= 5 untukn yangkecil bilanganJ (n)
dicaridenganmudahdan dibuat
tabelsebaoaiberikut:
TabelbilanganJosephus
dari 1 sampai10

Dengansedikitkemampuan
perolehuntujn bilangangenapn
diperolehrumusuntukJ (n),
J(n)=j(2m)=2J(m)-1,m>

WARTAUBAYA
2001
NoVEMBER

No. 85 TH.Vlll

ffiffiWHW

Untuk n bilangan ganjil atau
d i b u n u hs e h i n g g a
upayamengeluarrumus untukJ
diperoleh
tinggal satu orang =2m+1,m>/1.
kanbakatmatemaJ(n)=J(2m+1
)=2J(m)+1,m>/1
yang tersisa. Ling7- tika. Sejarah maJadi rumusuntukmasalan
karankematianuntematika mencatat
tuk n = 10 bisa di- dengann orangdanorang kedua
rI- salahsaluteorimagambarkan
adalah
lk tematikalahir dari
yang sebagaiberikut: 12
ol uDavauntuk menolak kematian
Jikan genapataun = 2m

.. . r2J(m)-1,
yaitu:
teriadi
bakal
J(n)=t2J(m)*t,jita n ganiilataun=2m+1
sudah dioerkirakan
a- MasalahJosephus.
'a
ttasatatrJosephus padamasaperang
sekitar abad pertama
Yahudi-Romawi
ak
besar)w masehidi Eropaterjadipembantaian
n =41Yaitu:
Yahudi'
=e'J(a0)=2J
o- besaranpendudukyangberagama
o)-1=2(5)-1
J(20)=2J(1
=1I

Jn p"O" masa itu. terkenallahseorangahli
1=17,danJ(4)=2J(20)+1=2(9)+1
da seiarahyang bernamaFlavius Josephus
r- yairg beragima Yahudi. Ahli seiarah ini
dantemannya
supayaJosephus
i / a 6 i s ; b e r t i n a n h i d u p b a h k a nm e n j a d i
maka mer
selamat
bisa
bersekongkol
[e- terkenalpadamasaini berkatkemampuan
padasalahsatunyapada
berada
harus
bu matematikayangterpendamdan muncul
kematianuntukn =10 sisi bilanganJ(n) dan yang lainnya
Gambarlingkaran
)a- pada saat yang dibutuhkan Pada suatu
dari belakang

Urutan oring Yang dibunuh adalah oosisi orang kedua
tlir ieiadian, Josephusdan 40 orang rekan
keduadi
jika
orang
setiap
danyangselamatada- iersisa
dalamguadan 2.4.6.8,10,3,7,1,9,
terperangkap
rn seaoa-manya
belakang
dad
yang
kedua
Yang
Bilangan
Romawi' lah 5. Jadi dalam kasusini masalah
oleh prajurit-prajurit
dike-pung
tersebutkemudiandisebutdengan

menentukan
sa
adalah
'na
Josephus
dihadapi
M e r e k as e p a k a td a r i p a d am e n y g r a n '
yang
yangtersisaJ (n) (J kependekan langanl(n). Denganperhitungan
riu- ditanqkap,disiksa.dan kemudiandibunuh bilanqan
gn1u1n =10,beraniJ (n) dikit rumit akan diPeroleh untuk
oariJosephus).
riu- olenfara pralurit Romawi,lebihbaik meyang
kecil bilanganJ (n) dapat l(n)35.Jadi supayaJosePhusdan k
= 5 untukn
Lksi reka'semuabunuhdiri.Caranyadengan
harusberada
dicari dengan mudah dan dibuat dalam nva selamat mereka
am membentuklingkalan,menghitungsearan
35.

posiske-19dan
:
jarumjam dan membunuhsetlaporang tabelsebagaiberikut
tuk 'kedua
PerhitunganJ(n)dengan
darihitunganpertamasampaitidak
rda
(.) untukn Yangbesar
n
untuk
rumus
TabelbilanganJosePhus
mo ada satu orangpunyang tertinggal Jorumus(') berkali-kali'
kan
oemakaian
10
dari I samPai
irii sepnus bersamadenganseorangtemanJ(1000000)diperlukan
untuk
tohnva

kali
di- nyayanglaintidak setuiudengan.bunuh
n 1 2 3 4 5 6 7 I 9 t 0 kaian rumus(-) sebanyak19 yang
Oi oiri yangsia-siatersebut.Tapi dalam siperhitungan
untuk mencaricara
lh tuasi daiurattersebutmerekaharusloyal
ke
efisienuntukJ(n)kerudianmemicu
5
3
1
7
1 1 3 1 3 5
oadakelompoksambilmencariakaluntuk
menariklainnya
matematika
teori
menohindariposisi dibunuh beramaimeruPaKan
masalahJosePhus
ramal setelahhitungankematiandimulai'
(dalambidang
diskrit
matematika
dilogika
dalam
kemampuan
Denqansedikit
Sebaqaicontoh.posisikumpulanorang
J(
bilangan
genapn =2m'm>/l' komputer)karena
n Oitangan
yeingm6lingkardisebutlingkarankema- oerolen-untui
menyelesaikan
berguna untuk
rumusuntukJ (n),
de- iian]Misakanterdapatn orangdalam ling- dioeroleh
diskrit'
dalammatematika
oerJamaan
J(n)=j(2m)=2J(m)-1'm>/1
ran karankematian dan setiaporang kedua

ra)

u)r

.e-

lll