KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK.
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG
MORREY KLASIK
SKRIPSI
diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Konsentrasi Analisis
oleh
SAHAT P. NAINGGOLAN
NIM 1102359
DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2015
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA
RUANG MORREY KLASIK
Oleh
Sahat P. Nainggolan
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana
Sains pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Sahat P. Nainggolan 2015
Universitas Pendidikan Indonesia
Februari 2015
Hak Cipta dilindungi oleh undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhnya atau sebagian, dengan dicetak
ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa izin dari penulis
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
Oleh :
Sahat P. Nainggolan
Karateristik Operator Integral Fraksional Pada Ruang Morrey Klasik
2015
Keterbatasan operator integral fraksional �� pada ℝ pertama kali diperkenalkan oleh
Hardy G.H dan Littlewood J.E (1928). Dalam pembuktiannya, Hardy dan Littlewood
menggunakan operator (fungsi) maksimal yang kemudian dikenal dengan ketaksamaan
Hardy−Littlewood. Selanjutnya mereka membuktikan bahwa �� terbatas dari ruang Lebesgue
1
1
�
� ℝ� ke ruang � ℝ� dengan 0 ≤ � ≤ � dan − = . Pada tahun 1938, seorang ahli
�
matematika bernama C.B. Morrey memperkenalkan salah satu ruang yaitu ruang Morrey
yang dinotasikan dengan � , ℝ� . Dalam tulisan ini dibahas sifat-sifat ruang Morrey dan
sifat keterbatasan �� pada ruang Morrey klasik dengan memanfaatkan operator maksimal
Hardy−Littlewood.
Kata Kunci : Keterbatasan, Operator Integral Fraksional, Operator maksimal
Hardy−Littlewood, Ketaksamaan Minskowski, Ketaksamaan Hölder, Ruang Lebesgue,
Ruang Morrey, Ruang Morrey Klasik.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRACT
By:
Sahat P. Nainggolan
Characterizations for the Fraksional Integral Operator on Classic Morrey Spaces
2015
The boundedness of fractional integral operator �� on ℝ was introduced for the first time
by Hardy G.H and Littlewood J.E (1928). In their evidence proof, Hardy and Littlewood used
maximal operator that later known Hardy-Littlewood inequation. They proved that �� was
limited from the Lebesgue’s space � ℝ� to the space � ℝ� with 0 ≤ � ≤ � and
1
1
�
− = �. In 1938, a mathematician C.B Morrey introduced one of space, namely the
Morrey’s space with notation � , ℝ� . This paper will elaborate the Morrey’s space and the
boundedness of �� toward the classic Morrey’s space by benefitted the Hardy-Littlewodd
maximal operator.
Keywords: Boundedness, Fractional Integral Operator, the maximal operator of HardyLittewood, Minskowski inequation, Holder inequation, Lebesgue’s space, Morrey’s space,
the classic Morreys’s space.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada tahun 1886 , Marcell Riesz memperkenalkan salah satu operator fungsi yang
dikenal dengan operator integral fraksional �� yaitu :
Misalkan � fungsi bernilai real pada ℝ . Untuk suatu,
operator integral fraksional � � didefinisikan sebagai berikut:
�� �
�
ℝ� | − |
=∫
−�
< � < � dan
∈ℝ ,
�
Selanjutnya operator integral fraksional ini sering dikenal sebagai potenstial
Riesz. Permasalahan yang diteliti terkait dengan operator integral fraksional diatas
adalah masalah keterbatasan. Sebagaimana diketahui, operator � dari ruang
ruang
dikatakan terbatas, jika terdapat
‖ ‖ dengan ‖ : ‖ menotasikan norma
>
ke
sedemikian sehingga ‖� : ‖ ≤
di ruang
dikatakan terbatas di ruang , jika � terbatas dari ruang
. Selanjutnya operator �
ke ruang .
Keterbatasan suatu operator adalah sifat yang diharapkan untuk dipenuhi, karena
sifat ini membawa kepada kondisi yang menarik untuk diteliti. Misalnya ketika
bekerja dengan persamaan diferensial atau persamaan integral, keterbatasan suatu
operator dapat memberikan pemahaman akan fenomena fisis tertentu. Sementara itu
pada bidang komputasi, pengerjaan komputasi akan jauh lebih mudah jika bekerja
dengan suatu operator yang terbatas.
Untuk pertama kalinya keterbatasan operator integral fraksional pada ℝ
dibuktikan oleh Hardy G.H dan Littlewood J.E (1928). Dalam pembuktiannya, Hardy
dan Littlewood menggunakan operator (fungsi) maksimal yang kemudian dikenal
dengan ketaksamaan Hardy−Littlewood.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Selanjutnya keterbatasan operator integral fraksional �� dibuktikan oleh mereka
ℝ
pada salah satu ruang homogen yaitu dari ruang Lebesgue
≤ � ≤ � dan
dengan
1
1
�
− = . Hubungan
dan
ℝ
ke ruang
selalu digunakan dalam
pembuktian keterbatasan operator integral fraksional. Selanjutnya, pada tahun 1930
keterbatasannya di ruang Lebesgue itu disempurnakan oleh Sobolev, sehingga hasil
penting
yang
didapatkannya
itu
disebut
sebagai
ketaksamaan
Hardy−Littlewood−Sobolev. Beberapa tahun setelah itu, pada tahun 1937 N. Wiener
kembali memperkenalkan operator maksimal, namun untuk kasus ruang Euclid yang
lebih tinggi dimensinya.
Pada
tahun
1938,
seorang
ahli
matematika
bernama
C.B.
Morrey
memperkenalkan salah satu ruang yang terkenal sampai saat ini yaitu ruang Morrey
yang dinotasikan dengan
,
ℝ
(Lina, 2013 hal 1). Ruang ini banyak dijumpai
ketika mempelajari operator Schodinger dan teori potensial dimana ruang Morrey
tersebut
merupakan
perluasan
Hardy−Littlewood−Sobolev,
dari
keterbatasan
ruang
operator
Lebesgue.
integral
Setelah
fraksional
��
dikembangkan lagi oleh D.R. Adams pada ruang Morrey. Hasil ini kemudian
dibuktikan kembali oleh Chiarenza−Frasca dengan menggunakan ketaksamaan
Fefferman−Stein. Chiarenza−Frasca berhasil membuktikan keterbatasan operator
integral fraksional dari ruang Morrey
,
ℝ
ke ruang
,
ℝ .
Berdasarkan uraian diatas, pada tulisan ini dibahas, apakah operator integral
fraksional memiliki sifat keterbatasan yang sama pada ruang fungsi sebelumnya yaitu
ruang Lebesgue
ℝ . Selanjutnya syarat apa saja yang harus dipenuhi agar
operator integral fraksional tersebut terbatas pada ruang Morrey tersebut.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan diatas, maka yang
menjadi masalah utama dalam skripsi ini adalah bagaimana karakteristik operator
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
integral fraksional pada ruang Morrey. Secara khusus, permasalahan tersebut
dirumuskan sebagai berikut :
1. Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada ruang Morrey?
2. Sifat-sifat keterbatasan apa saja yang berlaku pada operator integral fraksional
di ruang Morrey?
1.3 Batasan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang dan rumusan masalah, terlihat bahwa
banyak hal menarik yang dapat diteliti, namun penulis membatasi hanya pada
sifat-sifat yang berlaku pada ruang Morrey dan keterbatasan operator integral
fraksional pada ruang Morrey.
1.4 Tujuan Penelitian
Secara khusus, penelitian ini bertujuan untuk mencari karakteristik operator
integral fraksional di ruang Morrey yaitu dengan cara mengkaji lebih dalam
tentang :
1. Sifat-sifat yang berlaku pada ruang Morrey
2. Sifat keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey klasik
1.5 Manfaat Penelitian
Melalui penelitian ini diharapkan memberikan kontribusi yang berarti baik
bagi pengembangan matematika, bagi penulis, bagi mahasiswa lainnya bahkan
bagi peneliti lainnya.
1. Memperluas dan memperdalam pengetahuan tentang materi ruang Morrey
khususnya tentang operator integral fraksional yang terbatas di ruang Morrey
2. Memberikan inspirasi bagi mahasiswa dan peneliti lainnya agar tertarik
membahas dan meneliti lebih dalam tentang ruang Morrey dan karakteristik
operator integral fraksional
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3. Memperkaya hasil temuan khususnya tentang ruang fungsi yang berguna
sebagai bacaan ataupun pedoman bagi mahasiswa pada mata kuliah integral
atau ruang fungsi ataupun kalangan lain yang membutuhkan.
1.6 Sistematika Penulisan
Skripsi ini terbagi menjadi empat bab.
BAB 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah,
rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penulisan, dan
sistematika penulisan.
BAB 2 berisi landasan teori sebagai konsep dasar untuk pembahasan bab
selanjutnya, yaitu pemaparan definisi dan teorema yang diperlukan untuk
meneliti, diantaranya yaitu keterbatasan pada bilangan real, barisan bilangan dan
kekonvergenannya, kekontinuan fungsi, barisan fungsi, fungsi konveks,
himpunan dan fungsi terukur, integral Lebesgue, ruang Banach, pertidaksamaan
Hölder−Minskowski.
BAB 3 merupakan isi dari pengkajian, diawali dengan membahas ruang
Lebesgue
ℝ , ruang Lebesgue lokal
� �
ℝ , ruang Morrey
,
ℝ , ruang
Morrey klasik ℳ ℝ , sifat-sifat ruang Morrey klasik ℳ ℝ , operator
integral, operator maksimal Hardy−Littlewood
, operator integral fraksional �� ,
membahas keterbatasan �� pada ruang Lebesgue
ℝ , serta yang terakhir
membahas keterbatasan �� pada ruang Morrey klasik ℳ ℝ .
BAB 4 merupakan bab penutup dari skripsi ini yang berisi kesimpulan
pengkajian dan saran.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
MORREY KLASIK
SKRIPSI
diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Konsentrasi Analisis
oleh
SAHAT P. NAINGGOLAN
NIM 1102359
DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2015
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA
RUANG MORREY KLASIK
Oleh
Sahat P. Nainggolan
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana
Sains pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Sahat P. Nainggolan 2015
Universitas Pendidikan Indonesia
Februari 2015
Hak Cipta dilindungi oleh undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhnya atau sebagian, dengan dicetak
ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa izin dari penulis
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
Oleh :
Sahat P. Nainggolan
Karateristik Operator Integral Fraksional Pada Ruang Morrey Klasik
2015
Keterbatasan operator integral fraksional �� pada ℝ pertama kali diperkenalkan oleh
Hardy G.H dan Littlewood J.E (1928). Dalam pembuktiannya, Hardy dan Littlewood
menggunakan operator (fungsi) maksimal yang kemudian dikenal dengan ketaksamaan
Hardy−Littlewood. Selanjutnya mereka membuktikan bahwa �� terbatas dari ruang Lebesgue
1
1
�
� ℝ� ke ruang � ℝ� dengan 0 ≤ � ≤ � dan − = . Pada tahun 1938, seorang ahli
�
matematika bernama C.B. Morrey memperkenalkan salah satu ruang yaitu ruang Morrey
yang dinotasikan dengan � , ℝ� . Dalam tulisan ini dibahas sifat-sifat ruang Morrey dan
sifat keterbatasan �� pada ruang Morrey klasik dengan memanfaatkan operator maksimal
Hardy−Littlewood.
Kata Kunci : Keterbatasan, Operator Integral Fraksional, Operator maksimal
Hardy−Littlewood, Ketaksamaan Minskowski, Ketaksamaan Hölder, Ruang Lebesgue,
Ruang Morrey, Ruang Morrey Klasik.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRACT
By:
Sahat P. Nainggolan
Characterizations for the Fraksional Integral Operator on Classic Morrey Spaces
2015
The boundedness of fractional integral operator �� on ℝ was introduced for the first time
by Hardy G.H and Littlewood J.E (1928). In their evidence proof, Hardy and Littlewood used
maximal operator that later known Hardy-Littlewood inequation. They proved that �� was
limited from the Lebesgue’s space � ℝ� to the space � ℝ� with 0 ≤ � ≤ � and
1
1
�
− = �. In 1938, a mathematician C.B Morrey introduced one of space, namely the
Morrey’s space with notation � , ℝ� . This paper will elaborate the Morrey’s space and the
boundedness of �� toward the classic Morrey’s space by benefitted the Hardy-Littlewodd
maximal operator.
Keywords: Boundedness, Fractional Integral Operator, the maximal operator of HardyLittewood, Minskowski inequation, Holder inequation, Lebesgue’s space, Morrey’s space,
the classic Morreys’s space.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada tahun 1886 , Marcell Riesz memperkenalkan salah satu operator fungsi yang
dikenal dengan operator integral fraksional �� yaitu :
Misalkan � fungsi bernilai real pada ℝ . Untuk suatu,
operator integral fraksional � � didefinisikan sebagai berikut:
�� �
�
ℝ� | − |
=∫
−�
< � < � dan
∈ℝ ,
�
Selanjutnya operator integral fraksional ini sering dikenal sebagai potenstial
Riesz. Permasalahan yang diteliti terkait dengan operator integral fraksional diatas
adalah masalah keterbatasan. Sebagaimana diketahui, operator � dari ruang
ruang
dikatakan terbatas, jika terdapat
‖ ‖ dengan ‖ : ‖ menotasikan norma
>
ke
sedemikian sehingga ‖� : ‖ ≤
di ruang
dikatakan terbatas di ruang , jika � terbatas dari ruang
. Selanjutnya operator �
ke ruang .
Keterbatasan suatu operator adalah sifat yang diharapkan untuk dipenuhi, karena
sifat ini membawa kepada kondisi yang menarik untuk diteliti. Misalnya ketika
bekerja dengan persamaan diferensial atau persamaan integral, keterbatasan suatu
operator dapat memberikan pemahaman akan fenomena fisis tertentu. Sementara itu
pada bidang komputasi, pengerjaan komputasi akan jauh lebih mudah jika bekerja
dengan suatu operator yang terbatas.
Untuk pertama kalinya keterbatasan operator integral fraksional pada ℝ
dibuktikan oleh Hardy G.H dan Littlewood J.E (1928). Dalam pembuktiannya, Hardy
dan Littlewood menggunakan operator (fungsi) maksimal yang kemudian dikenal
dengan ketaksamaan Hardy−Littlewood.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Selanjutnya keterbatasan operator integral fraksional �� dibuktikan oleh mereka
ℝ
pada salah satu ruang homogen yaitu dari ruang Lebesgue
≤ � ≤ � dan
dengan
1
1
�
− = . Hubungan
dan
ℝ
ke ruang
selalu digunakan dalam
pembuktian keterbatasan operator integral fraksional. Selanjutnya, pada tahun 1930
keterbatasannya di ruang Lebesgue itu disempurnakan oleh Sobolev, sehingga hasil
penting
yang
didapatkannya
itu
disebut
sebagai
ketaksamaan
Hardy−Littlewood−Sobolev. Beberapa tahun setelah itu, pada tahun 1937 N. Wiener
kembali memperkenalkan operator maksimal, namun untuk kasus ruang Euclid yang
lebih tinggi dimensinya.
Pada
tahun
1938,
seorang
ahli
matematika
bernama
C.B.
Morrey
memperkenalkan salah satu ruang yang terkenal sampai saat ini yaitu ruang Morrey
yang dinotasikan dengan
,
ℝ
(Lina, 2013 hal 1). Ruang ini banyak dijumpai
ketika mempelajari operator Schodinger dan teori potensial dimana ruang Morrey
tersebut
merupakan
perluasan
Hardy−Littlewood−Sobolev,
dari
keterbatasan
ruang
operator
Lebesgue.
integral
Setelah
fraksional
��
dikembangkan lagi oleh D.R. Adams pada ruang Morrey. Hasil ini kemudian
dibuktikan kembali oleh Chiarenza−Frasca dengan menggunakan ketaksamaan
Fefferman−Stein. Chiarenza−Frasca berhasil membuktikan keterbatasan operator
integral fraksional dari ruang Morrey
,
ℝ
ke ruang
,
ℝ .
Berdasarkan uraian diatas, pada tulisan ini dibahas, apakah operator integral
fraksional memiliki sifat keterbatasan yang sama pada ruang fungsi sebelumnya yaitu
ruang Lebesgue
ℝ . Selanjutnya syarat apa saja yang harus dipenuhi agar
operator integral fraksional tersebut terbatas pada ruang Morrey tersebut.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan diatas, maka yang
menjadi masalah utama dalam skripsi ini adalah bagaimana karakteristik operator
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
integral fraksional pada ruang Morrey. Secara khusus, permasalahan tersebut
dirumuskan sebagai berikut :
1. Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada ruang Morrey?
2. Sifat-sifat keterbatasan apa saja yang berlaku pada operator integral fraksional
di ruang Morrey?
1.3 Batasan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang dan rumusan masalah, terlihat bahwa
banyak hal menarik yang dapat diteliti, namun penulis membatasi hanya pada
sifat-sifat yang berlaku pada ruang Morrey dan keterbatasan operator integral
fraksional pada ruang Morrey.
1.4 Tujuan Penelitian
Secara khusus, penelitian ini bertujuan untuk mencari karakteristik operator
integral fraksional di ruang Morrey yaitu dengan cara mengkaji lebih dalam
tentang :
1. Sifat-sifat yang berlaku pada ruang Morrey
2. Sifat keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey klasik
1.5 Manfaat Penelitian
Melalui penelitian ini diharapkan memberikan kontribusi yang berarti baik
bagi pengembangan matematika, bagi penulis, bagi mahasiswa lainnya bahkan
bagi peneliti lainnya.
1. Memperluas dan memperdalam pengetahuan tentang materi ruang Morrey
khususnya tentang operator integral fraksional yang terbatas di ruang Morrey
2. Memberikan inspirasi bagi mahasiswa dan peneliti lainnya agar tertarik
membahas dan meneliti lebih dalam tentang ruang Morrey dan karakteristik
operator integral fraksional
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3. Memperkaya hasil temuan khususnya tentang ruang fungsi yang berguna
sebagai bacaan ataupun pedoman bagi mahasiswa pada mata kuliah integral
atau ruang fungsi ataupun kalangan lain yang membutuhkan.
1.6 Sistematika Penulisan
Skripsi ini terbagi menjadi empat bab.
BAB 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah,
rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penulisan, dan
sistematika penulisan.
BAB 2 berisi landasan teori sebagai konsep dasar untuk pembahasan bab
selanjutnya, yaitu pemaparan definisi dan teorema yang diperlukan untuk
meneliti, diantaranya yaitu keterbatasan pada bilangan real, barisan bilangan dan
kekonvergenannya, kekontinuan fungsi, barisan fungsi, fungsi konveks,
himpunan dan fungsi terukur, integral Lebesgue, ruang Banach, pertidaksamaan
Hölder−Minskowski.
BAB 3 merupakan isi dari pengkajian, diawali dengan membahas ruang
Lebesgue
ℝ , ruang Lebesgue lokal
� �
ℝ , ruang Morrey
,
ℝ , ruang
Morrey klasik ℳ ℝ , sifat-sifat ruang Morrey klasik ℳ ℝ , operator
integral, operator maksimal Hardy−Littlewood
, operator integral fraksional �� ,
membahas keterbatasan �� pada ruang Lebesgue
ℝ , serta yang terakhir
membahas keterbatasan �� pada ruang Morrey klasik ℳ ℝ .
BAB 4 merupakan bab penutup dari skripsi ini yang berisi kesimpulan
pengkajian dan saran.
Sahat P. Nainggolan, 2015
KARAKTERISTIK OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL PADA RUANG MORREY KLASIK
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu