Operator integral fraksional dan ketaksamaan olsen di ruang tak homogen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM: 20106006
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di
ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti
halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga
akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.
Kata kunci: Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue
tak homogen, Ruang Morrey tak homogen yang diperumum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS
AND OLSEN’S INEQUALITIES
ON NON-HOMOGENEOUS SPACES
By
Herry Pribawanto Suryawan
NIM: 20106006
In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on nonhomogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous Morrey
spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a growth
measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.
Key words: Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous
Lebesgue spaces, Generalized non-homogeneous Morrey spaces
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
TESIS
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Magister dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN
NIM : 20106006
Program Studi Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di
ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti
halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga
akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.
Kata kunci: Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue
tak homogen, Ruang Morrey tak homogen yang diperumum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS
AND OLSEN’S INEQUALITIES
ON NON-HOMOGENEOUS SPACES
By
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on
non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous
Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a
growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.
Key words: Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous
Lebesgue spaces, Generalized non-homogeneous Morrey spaces
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
Program Studi Matematika
Institut Teknologi Bandung
Bandung,
Februari 2008
Telah diperiksa dan disetujui oleh
Pembimbing
Prof. Dr. Hendra Gunawan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
Tesis Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI
yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan
seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin
Direktur Program Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Tuhan adalah gembalaku, takkan kekurangan aku. Ia membaringkan aku di
padang yang berumput hijau, Ia membimbing aku ke air yang tenang;
Ia menyegarkan jiwaku. Ia menuntun aku di jalan yang benar oleh karena
namaNya. Sekalipun aku berjalan dalam lembah kekelaman aku tidak takut
bahaya, sebab Engkau besertaku; gadaMu dan tongkatMu, itulah yang
menghibur aku. Engkau menyediakan hidangan bagiku, di hadapan lawanku;
Engkau mengurapi kepalaku dengan minyak; pialaku penuh melimpah.
Kebajikan dan kemurahan belaka akan mengikuti aku, seumur hidupku;
dan aku akan diam dalam rumah TUHAN sepanjang masa.
(MAZMUR 23: 1-6)
Untuk Mama dan seluruh keluargaku
dan untuk mengenang Papa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kata Pengantar
Segala puji syukur, hormat, dan kemuliaan untuk Tuhan Yesus Kristus, atas
kasih dan tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Banyak hal
terjadi selama penulis menempuh studi dan menulis tesis ini, namun penulis
menyadari semua itu merupakan bagian dari rencana Tuhan yang indah untuk
hidup penulis.
Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa tesis ini
tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan moral, material, dan doa dari
berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis menyampaikan terima kasih kepada:
(1) Prof. Dr. Hendra Gunawan, yang telah berkenan dengan sabar membimbing penulis, memberikan ilmu, ide, saran, teguran, dan perhatian
yang sangat berharga bagi penulis.
(2) Dr. Wono Setya Budhi dan Dr. Yudi Soeharyadi, yang telah berkenan menjadi penguji pada ujian tesis ini dan memberikan masukan yang
sangat berarti.
(3) Dr.
Irawati dan Dr.
Hilda Assiyatun sebagai wali akademik, yang
telah memberikan pengarahan kepada penulis selama menempuh program magister di Institut Teknologi Bandung.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
(4) Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika ITB, yang telah
membagikan ilmu dan pengalamannya yang sangat berharga. Khususnya
penulis mengucapkan terimakasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan,
Dr. Wono Setya Budhi, Dr. Jalina Widjaya, Dr. Irawati, Dr. M. Intan
Detiena, Dra. Muliana H. Arinardi, M.Si, Prof. Dr. Edy Soewono, Dr.
Oki Neswan, dan Dr. Achmad Muchlis.
(5) Yayasan Sanata Dharma dan Universitas Sanata Dharma, yang telah
memberikan beasiswa dan kemudahan, sehingga penulis dapat menempuh pendidikan di ITB dengan baik dan lancar.
(6) Rekan-rekan di ITB dan di USD, atas dukungan dan perhatiannya kepada penulis. Secara khusus penulis ingin berterimakasih kepada Ibu
Dra. Idha Sihwaningrum, M.Sc, rekan satu bimbingan, yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini melalui diskusi, ide, saran,
dan perhatiannya.
(7) Mama Yuniati, kakak-kakakku, dan seluruh keluargaku atas doa, perhatian, dan kasih sayangnya kepada penulis.
(8) Sahabatku dalam suka dan duka, Anton Wardaya, yang tidak pernah
bosan membagikan kasih Allah, dukungan, doa, dan bantuan kepada
penulis.
(9) Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini terselesaikan dengan baik, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca.
Bandung, Januari 2008
Penulis
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Daftar Isi
Abstrak
ii
Abstract
iii
Halaman Pengesahan
iv
Pedoman Penggunaan Tesis
v
Halaman Persembahan
vi
Kata Pengantar
vii
Daftar Isi
ix
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak Homogen
7
2.1
Keterbatasan Operator M n di Ruang Lp (µ) . . . . . . . . . . .
2.2
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Lebesgue Tak Homogen . . 15
ix
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.3
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Morrey Tak Homogen yang
Diperumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen
27
3.1
Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2
Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ (µ) . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Kesimpulan
32
Daftar Pustaka
33
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 1
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang Masalah
Salah satu objek kajian dalam Analisis Fourier adalah operator integral. Di
dalam tesis ini akan dipelajari salah satu operator integral yang dikenal sebagai
operator integral fraksional atau sering juga disebut potensial Riesz. Operator
ini pertama kali dipelajari oleh Hardy, Littlewood, dan Sobolev pada sekitar
tahun 1930. Operator ini dapat diperoleh melalui transformasi Fourier dari
operator Laplace (lihat Stein [13] hal. 117 atau Lieb and Loss [9] hal. 123).
Untuk fungsi f yang terdefinisi pada Rd dan α ∈ R dengan 0 < α < d, operator
integal fraksional (orde α) Iα didefinisikan sebagai
Z
1
f (y)
dy
Iα f (x) :=
γ(α) Rd |x − y|d−α
dengan
γ(α) =
Γ( d−α
)
2
d
2α π 2 Γ( α2 )
.
Notasi Lp menyatakan ruang Lebesgue, yaitu ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi
terukur f sehingga kf kLp < ∞ dengan
µZ
¶ p1
p
,
|f (y)| dy
kf kLp =
Rd
1
1≤p0 r
B(x,r)
di Lp,λ (lihat Chiarenza and Frasca [1]).
Dalam penelitian sepuluh tahun terakhir telah diperlihatkan bahwa kondisi
doubling di dalam analisis Fourier bukanlah hal yang esensial tapi dapat diganti
dengan kondisi growth. Hal inilah yang memotivasi munculnya pengertian
ruang tak homogen (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5], Garcia-Cuerva and
Gatto [4], dan Nazarov, et al. [10]). Ruang tak homogen adalah ruang Rd
yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif µ yang memenuhi kondisi
growth. Ini berbeda dengan ruang homogen yang dilengkapi dengan ukuran
yang memenuhi kondisi doubling. Diberikan kubus dengan panjang sisi l, Q(l)
di Rd , maka ukuran µ pada Rd dikatakan memenuhi kondisi doubling apabila
untuk terdapat C > 0 sehingga
µ(Q(2l)) ≤ C µ(Q(l)).
Sementara itu ukuran µ dikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila
terdapat C > 0 sehingga
µ(Q(l)) ≤ C ln
untuk suatu n ∈ R dengan 0 < n ≤ d.
Dengan menggunakan pengertian ukuran growth tersebut di atas dapat didefinisikan ruang Lebesgue tak homogen serta ruang Morrey tak homogen yang
3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
diperumum. Ruang Lebesgue tak homogen Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang
kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga kf kLp (µ) < ∞, dengan
kf kLp (µ) =
µZ
Rd
¶ p1
|f (y)| dµ(y) ,
p
dan
©
ª
kf kL∞ (µ) = ess sup |f (x)| : x ∈ Rd .
©
ª
Di sini ess sup |f (x)| : x ∈ Rd menyatakan batas atas terkecil esensial dari
|f |. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lploc (µ), adalah ruang kelas-kelas
ekuivalen f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd berlaku
Z
|f (y)|p dµ(y) < ∞
K
dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ (µ) didefinisikan sebagai
ruang dari semua fungsi f ∈ Lploc (µ) sehingga
kf kMp,φ (µ)
1
:= sup
r>0 φ(r)
µ
1
rn
Z
Q(x,r)
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
0 r
n
Z
|f (y)| dµ(y).
Q(x,r)
Khususnya akan dibuktikan bahwa M n terbatas di Lp (µ), yakni terdapat C > 0
sehingga
kM n f kLp (µ) ≤ C kf kLp (µ) ,
untuk p > 1.
Catat bahwa untuk n = d diperoleh M n = M yaitu operator maksimal HardyLittlewood klasik.
1.2
Tujuan Penulisan
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue
tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Selanjutnya
untuk suatu fungsi W yang terdefinisi pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan
operator W Iα di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Hasil penulisan tesis ini diharapkan
dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai keterbatasan operator Iαn
serta ketaksamaan Olsen di ruang tak homogen, khususnya Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
1.3
Sistematika Penulisan
Sistematika dari tesis ini adalah sebagai berikut.
Bab 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, tinjauan pustaka, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.
Pada bab 2 dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Subbab pertama
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
memberikan bukti keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood M n di
ruang Lp (µ). Subbab kedua membahas keterbatasan operator Iαn di ruang
Lebesgue tak homogen dengan memanfaatkan keterbatasan operator M n di
ruang tersebut. Sementara pada subbab ketiga akan dibuktikan keterbatasan
operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum.
Bab 3 menyajikan hasil yaitu ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
Pada subbab pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ). Selanjutnya pada subbab kedua dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ (µ).
Bab 4 merupakan kesimpulan yang memberikan penegasan tentang hasil temuan yang diperoleh dari fakta yang telah dibicarakan pada bab-bab sebelumnya.
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 2
Keterbatasan Operator Integral
Fraksional di Ruang Tak
Homogen
2.1
Keterbatasan Operator M n di Ruang Lp(µ)
Pada bagian ini akan dibahas operator maksimal M n , khususnya akan diperlihatkan bahwa M n bersifat terbatas di ruang Lp (µ). Hasil ini cukup penting
karena akan dipergunakan dalam pembuktian keterbatasan operator Iαn dari
Lp (µ) ke Lq (µ) untuk suatu q > p.
Dalam hal ukuran Lebesgue, sifat invarian terhadap translasi dan sifat dilasi
merupakan alat yang sangat baik dalam pengembangan Analisis Fourier. Suatu perluasan dari hal ini adalah konsep ruang tipe homogen, yaitu ruang
kuasi-metrik yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif yang memenuhi kondisi doubling, artinya untuk setiap kubus Q, ukuran dari kubus yang
didilasi dua kali, 2Q, didominasi oleh ukuran kubus semula (lihat Krantz [8]).
Penelitian dalam beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa kondisi dou-
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
bling bukanlah hal yang esensial yaitu banyak hasil dalam Analisis Fourier
yang tetap berlaku ketika kondisi doubling diganti dengan kondisi growth. Misalnya pada F. Nazarov, et al. [10] mengenalkan ruang tak homogen sebagai
ruang metrik—termasuk Rd —yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif
yang memenuhi kondisi growth.
Diberikan kubus Q ⊂ Rd dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Ukuran Borel tak negatif µ pada Rd dikatakan memenuhi kondisi growth
(orde n) apabila terdapat konstanta C > 0 sehingga
µ(Q) ≤ C ln
dengan l = l(Q) menyatakan panjang sisi kubus Q dan n bilangan real tertentu dengan 0 < n ≤ d. Karena ukuran suatu kubus didominasi oleh panjang
sisinya dipangkatkan n, maka ukuran growth (orde n) sering juga disebut sebagai ukuran berdimensi-n. Untuk suatu k > 0, kQ menyatakan kubus yang
sepusat (konsentris) dengan kubus Q tetapi panjang sisinya adalah k kali panjang sisi kubus Q, yaitu l(kQ) = k l(Q). Lebih lanjut, Q(x, r) menyatakan
kubus yang berpusat di x dan berjari-jari r. Dalam hal ini yang dimaksud
dengan jari-jari kubus adalah setengah panjang sisinya. Untuk selanjutnya di
dalam seluruh tesis ini, C merupakan konstanta positif yang tidak perlu sama
dari satu baris ke baris yang lainnya.
Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel tak negatif
pada Rd yang memenuhi kondisi growth
orde n dan 1 ≤ p < ∞. Ingat
kembali ruang Lebesgue tak homogen Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang kelaskelas ekuivalen f sehingga kf kLp (µ) < ∞, dengan
µZ
¶ p1
p
kf kLp (µ) =
|f (y)| dµ(y) ,
Rd
dan
©
ª
kf kL∞ (µ) = ess sup |f (x)| : x ∈ Rd .
8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ª
©
Di sini ess sup |f (x)| : x ∈ Rd menyatakan batas atas terkecil esensial dari
|f |, yakni
©
ª
ess sup |f (x)| : x ∈ Rd = inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M a.e. − µ pada Rd }.
Dua buah fungsi f dan g di Lp (µ) dikatakan ekuivalen jika f = g hampir di
mana-mana.
Selanjutnya, ingat fungsi maksimal Hardy-Littlewood
Z
1
n
M f (x) = sup n
|f (y)| dµ(y).
r>0 r
Q(x,r)
Dalam hal ini M n disebut sebagai operator maksimal. Terdapat pendefinisian
lain untuk fungsi maksimal yang dikenal sebagai fungsi maksimal tak terpusat
yaitu
Z
1
Muc f (x) = sup n
Q∋x l
|f (y)| dµ(y).
Q
Akan diperlihatkan bahwa fungsi maksimal setara titik demi titik (pointwise
equivalent) dengan fungsi maksimal tak terpusat. Untuk setiap x ∈ Rd ,
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) = 1 n
|f (y)| dµ(y)
rn Q(x,r)
( 2 l) Q(x,r)
Z
2n
= n
|f (y)| dµ(y)
l Q(x,r)
Z
1
n
|f (y)| dµ(y).
≤ 2 sup n
Q∋x l
Q
Jadi diperoleh
1
sup n
r>0 r
Z
1
|f (y)| dµ(y) ≤ 2 sup n
Q∋x l
Q(x,r)
n
Z
|f (y)| dµ(y).
Q
Dengan kata lain
M n f (x) ≤ 2n Muc f (x).
Di lain pihak,
1
ln
Z
1
|f (y)| dµ(y) ≤ n
r
Q
Z
9
Q(x,r)
|f (y)| dµ(y)
(2.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
≤ sup n
r>0 r
Z
|f (y)| dµ(y).
Q(x,r)
Hubungan ini berlaku untuk setiap kubus Q dengan panjang sisi l, sehingga
diperoleh
1
sup n
Q∋x l
Z
1
|f (y)| dµ(y) ≤ sup n
r>0 r
Q
Z
|f (y)| dµ(y).
Q(x,r)
Dengan kata lain,
Muc f (x) ≤ M n f (x).
(2.2)
Dengan demikian dari (2.1) dan (2.2) diperoleh
Muc f (x) ≤ M n f (x) ≤ 2n Muc f (x),
untuk setiap x ∈ Rd .
Untuk membuktikan keterbatasan operator M n di Lp (µ) terlebih dahulu diberikan pengertian operator tipe lemah dan tipe kuat serta teorema interpolasi
Marcinkiewicz. Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran dan T operator dari
Lp (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y . Operator T merupakan operator tipe
lemah (p, q), q < ∞ jika untuk setiap λ > 0 berlaku
¶
µ
Ckf kLp (X,µ) q
ν {y ∈ Y : |T f (y)| > λ} ≤
.
λ
dan T merupakan operator tipe lemah (p, ∞) jika T merupakan operator terbatas dari Lp (X, µ) ke L∞ (Y, ν). Operator T merupakan operator tipe kuat
(p, q) jika T terbatas dari Lp (X, µ) ke Lq (Y, ν), yakni terdapat C > 0 sehingga
kT f kLq (Y,ν) ≤ C kf kLp (X,µ) .
Catat bahwa jika T adalah operator tipe kuat (p, q), maka T tipe lemah (p, q).
Misalkan T suatu operator tipe kuat (p, q). Tulis Eλ = {y ∈ Y : |T f (y)| > λ}
maka
¯
¯
¶
µ
kT f kqLq (Y,ν)
¯ T f (x) ¯q
Ckf kLp (X,µ) q
¯
¯
ν(Eλ ) =
dν ≤
.
≤
¯ λ ¯ dν ≤
λq
λ
Eλ
Eλ
Z
Z
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi T operator tipe lemah (p, q).
Didefinisikan Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) sebagai ruang semua fungsi f sehingga
f = f1 +f2 dengan f1 ∈ Lp1 (X, µ) dan f2 ∈ Lp2 (X, µ). Misalkan p1 < p2 , maka
berlaku Lp (X, µ) ⊂ Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) untuk setiap p dengan p1 ≤ p ≤ p2 .
Untuk melihat hal ini, ambil sebarang f ∈ Lp (X, µ) dan k suatu konstanta
positif. Tulis
f (x)
f1 (x) =
0
dan
f (x)
f2 (x) =
0
jika |f (x)| > k
jika |f (x)| ≤ k
jika |f (x)| ≤ k
jika |f (x)| > k.
Maka diperoleh
Z
Z
Z
p1
p
p1 −p
p1 −p
|f (x)|p dµ
|f1 (x)| dµ =
|f1 (x)| |f1 (x)|
dµ ≤ k
X
dan juga
Z
X
X
p2
|f2 (x)|
dµ =
X
Z
p2 −p
p
|f2 (x)| |f2 (x)|
dµ ≤ k
p2 −p
Z
|f (x)|p dµ.
X
X
Jadi f1 ∈ Lp1 (X, µ) dan f2 ∈ Lp2 (X, µ) sehingga f ∈ Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ).
Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian keterbatasan
operator maksimal di ruang Lebesgue tak homogen. Bukti lengkap teorema
ini dapat dilihat pada Duoandikoetxea [2] hal. 29, atau Krantz [8] hal 319,
atau Stein [13] hal 21.
Teorema 2.1. (Teorema interpolasi Marcinkiewicz). Diketahui (X, µ)
dan (Y, ν) ruang ukuran, 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ dan T operator sublinear dari
Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y , yang merupakan tipe
lemah (p1 , p1 ) dan juga merupakan tipe lemah (p2 , p2 ). Maka operator T merupakan tipe kuat (p, p) untuk sebarang p dengan p1 < p < p2 .
11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema selanjutnya menyatakan keterbatasan operator M n di ruang Lp (µ).
Pembuktian teorema ini melibatkan lema cover Vitali yang buktinya dapat
dilihat pada Jones [7] hal. 448 atau Stein [13] hal. 9.
Lema 2.2. (Lema cover Vitali). Diketahui {Q1 , Q2 , . . . , Qk , . . .} koleksi
kubus di Rd . Maka ada subkoleksi terhitung kubus {Q̃1 , Q̃2 , . . . , Q̃j , . . .} sehingga
1. Q̃j saling lepas sepasang-sepasang, dan
2. berlaku
[
Qk ⊆
Ã
[
j
k
3Q̃j
!
Teorema 2.3. Operator maksimal M n memenuhi
Z
ª C
©
d
n
|f (x)| dµ(x)
µ x ∈ R : M f (x) > λ ≤
λ Rd
dan
kM n f kL∞ (µ) ≤ Ckf kL∞ (µ) .
Bukti. Ambil f ∈ L1 (µ) dan didefinisikan
©
ª
Eλ = x ∈ Rd : M n f (x) > λ .
Jika x ∈ Eλ , yaitu x ∈ Rd dan M n f (x) > λ, maka terdapat rx > 0 sehingga
Z
1
|f (y)| dµ(y) > λ.
rxn Q(x,rx )
Lema cover Vitali memberikan koleksi kubus yang saling lepas sepasang- sepasang {Q(xj , rj )}j , dengan xj ∈ Eλ dan rj = rxj , sehingga
Eλ ⊂
[
Q(x, rx ) ⊂
[
j
x∈Eλ
12
Q(xj , 3rj ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi diperoleh
µ(Eλ ) ≤
X
µ(Q(xj , 3rj ))
j
≤ 3n
X
rjn
j
X1Z
≤C
|f (y)| dµ(y)
λ Q(xj ,rj )
j
Z
CX
≤
|f (y)| dµ(y)
λ j Q(xj ,rj )
Z
C
|f (y)| dµ(y).
≤
λ Rd
Di sini kita menggunakan fakta bahwa kubus-kubus Q(xj , rj ) saling lepas
sepasang-sepasang. Jadi terbukti
C
µ x ∈ R : M f (x) > λ ≤
λ
©
d
n
ª
Z
|f (x)| dµ(x).
Rd
Untuk bagian selanjutnya, apabila diambil sebarang x ∈ Rd dan kubus Q ⊂ Rd
yang berpusat di x dan berjari-jari r, maka
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) ≤ n
ess sup |f (y)| dµ(y)
rn Q(x,r)
r Q(x,r)
Z
1
kf kL∞ (µ) dµ(y)
≤ n
r Q(x,r)
Z
1
dµ(y)
= kf kL∞ (µ) n
r Q(x,r)
1
= kf kL∞ (µ) n µ(Q)
r
≤ Ckf kL∞ (µ) .
Akibatnya
1
sup n
r>0 r
atau berarti
Z
|f (y)| dµ(y) ≤ Ckf kL∞ (µ)
Q(x,r)
kM n f kL∞ (µ) ≤ Ckf kL∞ (µ) .
13
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Akibat 2.4. Operator maksimal M n terbatas di Lp (µ) untuk 1 < p < ∞ .
Bukti. Untuk mendapatkan keterbatasan operator maksimal M n dari Lp (µ)
ke Lp (µ) cukup dengan menerapkan teorema interpolasi Marcinkiewicz pada
dua hasil di dalam Teorema 2.3. Catat bahwa M n merupakan suatu operator
sublinear. Ambil sebarang f, g ∈ Lp (µ), 1 < p < ∞, maka
Z
1
n
M (f + g)(x) = sup n
|(f + g)(y)| dµ(y)
r>0 r
Q(x,r)
Z
1
≤ sup n
(|f (y)| + |g(y)|) dµ(y)
r>0 r
Q(x,r)
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) + sup n
|g(y)| dµ(y)
≤ sup n
r>0 r
r>0 r
Q(x,r)
Q(x,r)
= M n f (x) + M n g(x)
dan juga
Z
1
|(k.f )(y)| dµ(y)
M (k.f )(x) = sup n
r>0 r
Q(x,r)
Z
1
|k||f (y)| dµ(y)
= sup n
r>0 r
Q(x,r)
Z
1
= |k| sup n
|f (y)| dµ(y)
r>0 r
Q(x,r)
n
= |k|M n f (x).
Karena diketahui juga bahwa M n merupakan tipe lemah (1, 1) dan juga tipe
lemah (∞, ∞), maka menurut teorema interpolasi Marcinkiewicz, operator M n
bertipe kuat (p, p) untuk 1 < p < ∞, yaitu berlaku
kM n f kLp (µ) ≤ Ckf kLp (µ) .
Dengan kata lain terbukti bahwa operator maksimal M n terbatas di Lp (µ)
untuk 1 < p < ∞.
14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.2
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Lebesgue Tak Homogen
Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke
Lq (µ) untuk suatu q > p. Ingat kembali definisi operator integral fraksional
di ruang tak homogen sebagai berikut. Untuk 0 < α < n ≤ d dan α, n ∈ R,
operator integral fraksional (orde α) adalah
Z
f (y)
n
Iα f (x) =
dµ(y)
n−α
Rd |x − y|
dengan f ∈ L∞ (µ) fungsi dengan tumpuan kompak.
Pertama perlu dilihat bahwa operator Iαn ini terdefinisi dengan baik. Kernel dari operator integral ini bersifat singular pada diagonal x = y, namun
demikian berlaku
Z
∞ Z
X
f (y)
1
∞ (µ)
dµ(y)
≤
kf
k
dµ(y)
L
n−α
n−α
−k−1 ≤|x−y| p.
Teorema 2.6. Diberikan 0 < α < n.
1. Operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk 1 ≤ p <
2. Jika
1
q
n
α
dan
1
q
= p1 − αn .
= 1 − αn , maka berlaku
©
ª
d
µ x ∈ R : |Iα f (x)| > λ ≤
µ
C kf kL1 (µ)
λ
¶q
.
Bukti.
1. Dari Ketaksamaan Hedberg diperoleh
pα
pα
|Iαn f (x)| ≤ Ckf kLnp (µ) M n f (x)1− n
yang berakibat
µZ
Rd
|Iαn f (x)|q
µZ
¶ 1q
pα
n
≤ Ckf kLp (µ)
dµ(x)
n
q (1− pα
n )
n
p
n
p
|M f (x)|
Rd
pα
n
Lp (µ)
= Ckf k
pα
n
Lp (µ)
= Ckf k
pα
µZ
|M f (x)| dµ(x)
Rd
µZ
|M f (x)| dµ(x)
Rd
p
= Ckf kLnp (µ) kM n f kLq p (µ)
18
¶ 1q
dµ(x)
¶ 1q
¶ p1 pq
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
p
pα
≤ Ckf kLnp (µ) kf kLq p (µ)
pα
+p
= Ckf kLnp (µ)q
= Ckf kLp (µ) .
Jadi berlaku
kIαn f kLq (µ) ≤ Ckf kLp (µ) .
Dengan kata lain terbukti Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ).
2. Untuk p = 1, Ketaksamaan Hedberg memberikan
α
α
|Iαn f (x)| ≤ Ckf kLn1 (µ) M n f (x)1− n
α
1
= Ckf kLn1 (µ) M n f (x) q .
Menggunakan fakta bahwa M n merupakan operator tipe lemah (1, 1), diperoleh
q
ª
©
λ
µ x ∈ Rd : |Iα f (x)| > λ ≤ µ x ∈ Rd : M n f (x) >
α
Ckf kLn1 (µ)
q
α
Z
n
C kf kL1 (µ)
≤
|f (x)| dµ(x)
λ
Rd
q
α
C kf kLn1 (µ)
kf kL1 (µ)
=
λ
µ
¶
C kf kL1 (µ) q
=
.
λ
Ini merupakan ketaksamaan yang ingin dibuktikan.
2.3
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Morrey Tak Homogen yang Diperumum
Pada bagian ini akan dibuktikan keterbatasan operator Iαn dari Mp,φ (µ) ke
Mq,ψ (µ) untuk suatu q ≥ p serta fungsi φ dan ψ yang memenuhi kondisi
19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tertentu. Terlebih dahulu akan diingat kembali mengenai ruang Morrey tak
homogen yang diperumum.
Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel pada Rd yang
memenuhi kondisi growth dan 1 ≤ p < ∞. Ruang Lebesgue tak homogen
lokal, Lploc (µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga
untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd berlaku
Z
|f (y)|p dµ(y) < ∞.
K
Khususnya jika f ∈ L1loc (µ) maka f disebut fungsi yang terintegral-µ secara
lokal di Rd . Jelas bahwa Lp (µ) ⊂ Lploc (µ) untuk 1 ≤ p < ∞ (lihat Jones [7]).
Pada Gunawan and Eridani [6], diperkenalkan pengertian ruang Morrey yang
diperumum. Terilhami oleh hal tersebut, selanjutnya akan didefinisikan pengertian ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Misalkan diketahui fungsi
φ : (0, ∞) → (0, ∞) merupakan fungsi yang memenuhi kondisi doubling, yaitu
terdapat C > 0 sehingga
1
φ(s)
≤
≤ C,
C
φ(t)
apabila
1
2
≤
s
t
≤ 2. Pertama perhatikan bahwa untuk setiap fungsi φ yang
memenuhi kondisi doubling berlaku
Z 2k+1 r
φ(t)
dt ∼ φ(2k r)
t
2k r
untuk setiap bilangan bulat k dan r > 0. Hal ini dapat dilihat sebagai berikut.
Karena φ memenuhi kondisi doubling maka terdapat C > 0 sehingga
φ(t)
1
≤
≤C
C
φ(2k r)
apabila t ∈ [2k r, 2k+1 r]. Jadi
1
φ(2k r) ≤ φ(t) ≤ Cφ(2k r),
C
yang berarti
1 φ(2k r)
φ(t)
φ(2k r)
≤
≤
C
.
C 2k r
t
2k r
20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan mengintegralkan ketaksamaan ini pada [2k r, 2k+1 r] yaitu
Z 2k+1 r
Z 2k+1 r
Z 2k+1 r
φ(t)
1 φ(2k r)
φ(2k r)
C
dt
≤
dt
≤
dt
C 2k r
t
2k r
2k r
2k r
2k r
maka diperoleh
k
K1 φ(2 r) ≤
Z
2k+1 r
2k r
φ(t)
dt ≤ K2 φ(2k r)
t
dengan K1 dan K2 konstanta positif. Dengan demikian, disimpulkan untuk
setiap bilangan bulat k dan r > 0 berlaku
Z 2k+1 r
φ(t)
dt ∼ φ(2k r).
t
2k r
Untuk 1 ≤ p < ∞ dan fungsi φ seperti tersebut di atas, ruang Morrey tak
homogen yang diperumum Mp,φ (µ) didefinisikan sebagai ruang dari semua
fungsi f ∈ Lploc (µ) sehingga
kf kMp,φ (µ)
µ
1
:= sup
r>0 φ(r)
1
rn
Z
Q(x,r)
¶ p1
0 suatu fungsi konstan maka didapat
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
M∞,φ (µ) = L∞ (µ). Jadi ruang Morrey tak homogen yang diperumum terkait
dengan suatu fungsi tak naik φ(t) sehingga φ(t) → ∞ untuk t → 0.
Sekarang akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang
Morrey tak homogen yang diperumum.
Teorema 2.8. Misalkan fungsi φ memenuhi kondisi doubling dan untuk setiap
r > 0 berlaku
Z
∞
tα−1 φ(t) dt ≤ Crα φ(r),
r
serta fungsi ψ memenuhi rα φ(r) ≤ C1 ψ(r) untuk setiap r, dengan C1 tidak
bergantung pada r. Maka, untuk 1 ≤ p <
n
α
dan
1
q
=
1
p
− αn , terdapat C > 0
sehingga berlaku
kIαn f kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) .
Bukti. Untuk a ∈ Rd dan r > 0, tulis Q = Q(a, r) dan Q̃ = Q(a, 2r) dan
f = f1 + f2 = f χQ̃ + f χQ̃c .
Karena
kf1 kLp (µ) =
µZ
¶ p1
|f1 (x)| dµ(x)
p
Rd
=
µZ
¶ p1
|f (x)| dµ(x)
p
Q̃
1
= (2r) φ(r)
φ(r)
n
p
n
p
µ
1
(2r)n
Z
Q̃
¶ p1
|f (x)| dµ(x)
≤ C(2r) φ(r)kf kMp,φ (µ)
< ∞,
maka f1 ∈ Lp (µ). Selanjutnya untuk x ∈ Q
µZ
Q
|Iαn f1 (x)|q
¶ 1q
≤ kIαn f1 kLq (µ)
dµ(x)
23
p
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
≤ C kf1 kLp (µ)
n
≤ C (2r) p φ(r) kf kMp,φ (µ) ,
sehingga diperoleh
µ
1
rn
Z
|Iαn f1 (x)|q
Q
dµ(x)
¶ 1q
n
n
≤ Cr p − q φ(r)kf kMp,φ (µ)
≤ Crα φ(r)kf kMp,φ (µ)
≤ CC1 ψ(r)kf kMp,φ (µ)
atau
1
ψ(r)
µ
1
rn
Akibatnya
Z
Q
¶ 1q
|Iαn f1 (x)|q dµ(x)
≤ Ckf kMp,φ (µ) .
kIαn f1 kMq,ψ (µ) ≤ Ckf kMp,φ (µ) .
(2.3)
Selanjutnya diperoleh estimasi untuk Iαn f2 sebagai berikut.
Z
|f (y)|
n
dµ(y)
|Iα f2 (x)| ≤
n−α
Q̃c |x − y|
Z
|f (y)|
dµ(y)
≤
n−α
|x−y|≥r |x − y|
∞ Z
X
|f (y)|
≤
dµ(y)
n−α
k
k+1 r |x − y|
k=0 2 r≤|x−y|≤2
Z
∞
X
1
≤
|f (y)| dµ(y)
(2k r)n−α Q(a,2k+1 r)
k=0
µ
¶
Z
∞
X
1
k α
=
|f (y)| dµ(y) .
(2 r)
k r)n
(2
k+1 r)
Q(a,2
k=0
Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder, diperoleh
µ
1
k
(2 r)n
Z
Q(a,2k+1 r)
¶ p1
Z
1
|f (y)| dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
Z
1
.
dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
¶ µ
|f (y)| dµ(y) ≤
24
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi berlaku
|Iαn f2 (x)|
≤C
∞
X
k
α
(2 r)
k=0
µ
Z
1
(2k+1 r)n
=C
∞
X
µ
1
(2k+1 r)n
Q(a,2k+1 r)
k
(2 r)
α
µ
Z
Q(a,2k+1 r)
¶1− p1
dµ(y)
Z
1
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
µ(Q(a, 2k+1 r))
(2k+1 r)n
µ
¶ p1
Z
∞
X
1
k α
≤C
(2 r)
|f (y)| dµ(y)
(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r)
k=0
k=0
≤C
∞
X
(2k r)α φ(2k+1 r)kf kMp,φ (µ)
k=0
≤ Ckf kMp,φ (µ)
∞
X
(2k r)α φ(2k r).
k=0
Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka
k
α
k
(2 r) φ(2 r) ∼
Z
2k+1 r
2k r
sehingga
∞ Z
X
k=0
Jadi berlaku
tα φ(t)
dt =
t
2k+1 r
α−1
t
φ(t) dt =
2k r
|Iαn f2 (x)|
Z
∞
Z
∞
Z
2k+1 r
tα−1 φ(t) dt
2k r
tα−1 φ(t) dt.
r
≤ Ckf kMp,φ (µ)
tα−1 φ(t) dt
r
≤ Crα φ(r)kf kMp,φ (µ) .
Maka diperoleh
µ
1
rn
Z
Q
|Iαn f2 (x)|q
µZ
¶ 1q
¶ 1q
α− n
dµ(x)
dµ(x)
≤ Cr q φ(r) kf kMp,φ (µ)
Q
= Cr
α− n
p
25
1
φ(r) kf kMp,φ (µ) (µ(Q)) q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
≤ Crα φ(r) kf kMp,φ (µ)
≤ Cψ(r) kf kMp,φ (µ)
atau
1
ψ(r)
µ
1
rn
Z
Q
¶ 1q
|Iαn f2 (x)|q dµ(x)
≤ C kf kMp,φ (µ) .
Akibatnya
kIαn f2 kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) .
(2.4)
Dengan demikian dari (2.4), (2.5), dan ketaksamaan Minkowski diperoleh
kIαn f kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) .
Ini berarti bahwa operator Iαn terbatas dari Mp,φ (µ) ke Mq,ψ (µ).
26
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 3
Ketaksamaan Olsen di Ruang
Tak Homogen
3.1
Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp(µ)
Pada bab ini akan dibahas ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
Untuk suatu untuk suatu fungsi W pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan
operator W Iα di ruang Lp (µ) dan di ruang Mp,φ (µ). Pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) yang buktinya cukup sederhana, yaitu dengan
memanfaatkan keterbatasan operator Iαn dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk q =
Teorema 3.1. (Ketaksamaan Olsen) Untuk 1 ≤ p <
n
α
np
.
n−αp
berlaku
kW Iαn f kLp (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kLp (µ)
n
yaitu W Iαn terbatas di Lp (µ), apabila W ∈ L α (µ).
Bukti. Ambil sebarang y ∈ Rd , dan selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan Hölder diperoleh
Z
Rd
|W Iαn f (y)|p
dµ(y) ≤
µZ
|W (y)|
pq
q−p
Rd
µZ
¶ q−p
q
dµ(y)
Rd
27
|Iαn f (y)|q
¶ pq
dµ(y)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan
1
q
=
1
p
− αn . Apabila diambil akar pangkat p pada kedua ruas ketak-
samaan dan dengan memperhatikan bahwa
µZ
Rd
|W Iαn f (y)|p
¶ p1 µZ
dµ(y)
≤
pq
q−p
= αn , maka didapatkan
¶ αn µZ
|W (y)| dµ(y)
n
α
Rd
Rd
|Iαn f (y)|q
¶ 1q
dµ(y)
atau
kW Iαn f kLp (µ) ≤ kW kL αn (µ) kIαn f kLq (µ) .
Karena operator integral fraksional Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk
q=
np
,
n−αp
maka didapatkan
kW Iαn f kLp (µ) ≤ kW kL αn (µ) kIαn f kLq (µ) ≤ C kW kL αn (µ) k f kLp (µ) .
3.2
Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ(µ)
Pada bagian ini akan dibuktikan perumuman Teorema 3.1 yaitu ketaksamaan
Olsen di ruang Mp,φ (µ). Bukti dari teorema ini serupa dengan bukti keterbatasan operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum (lihat
Teorema 2.8).
Teorema 3.2. (Ketaksamaan Olsen) Misalkan φ memenuhi kondisi doubling dan
Z
∞
tα−1 φ(t) dt ≤ Crα φ(r).
r
Maka, untuk 1 ≤ p <
n
α
dan
1
q
=
1
p
−
α
n
terdapat C > 0 sehingga berlaku
kW Iαn f kMp,φ (µ) ≤ CkW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ)
n
dengan W ∈ L α (µ).
Bukti. Untuk a ∈ Rd dan r > 0, tulis Q = Q(a, r), Q̃ = Q(a, 2r) dan
f = f1 + f2 = f χQ̃ + f χQ̃c .
28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi f1 ∈ Lp (µ) dan berlaku
kf1 kLp (µ) =
µZ
Rd
=
µZ
¶ p1
|f1 (y)| dµ(y)
p
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
p
Q̃
1
= (2r) φ(r)
φ(r)
n
p
n
p
µ
1
(2r)n
Z
Q̃
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
p
≤ C(2r) φ(r)kf kMp,φ (µ) .
Karena
µZ
|W Iαn f1 (y)|p
Q
¶ p1
dµ(y)
≤ kW Iαn f1 kLp (µ)
≤ kW kL αn (µ) kIαn f1 kLq (µ)
≤ C kW kL αn (µ) kf1 kLp (µ)
n
≤ C (2r) p φ(r)kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) ,
maka diperoleh
µ
¶ p1
Z
1
1
n
p
≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) ,
|W Iα f1 (y)| dµ(y)
φ(r) (2r)n Q
dan akibatnya
kW Iαn f1 kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .
Selanjutnya untuk x ∈ Q berlaku
Z
|f (y)|
n
dµ(y)
|Iα f2 (x)| ≤
n−α
Q̃c |x − y|
Z
|f (y)|
dµ(y)
≤
n−α
|x−y|≥r |x − y|
∞ Z
X
|f (y)|
≤
dµ(y)
n−α
k r≤|x−y|≤2k+1 r |x − y|
2
k=0
Z
∞
X
1
≤
|f (y)| dµ(y)
k r)n−α
(2
k+1 r)
Q(a,2
k=0
29
(3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
=
∞
X
k
α
(2 r)
k=0
µ
1
k
(2 r)n
Z
Q(a,2k+1 r)
¶
|f (y)| dµ(y) .
Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder diperoleh
µ
¶ µ
¶ p1
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) ≤
|f (y)| dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
Z
1
.
dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
Jadi berlaku
|Iαn f2 (x)|
≤C
∞
X
k
(2 r)
α
k=0
µ
Z
1
(2k+1 r)n
=C
∞
X
µ
1
(2k+1 r)n
Q(a,2k+1 r)
k
α
(2 r)
µ
Z
Q(a,2k+1 r)
¶1− p1
dµ(y)
1
Z
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
µ(Q(a, 2k+1 r))
(2k+1 r)n
¶ p1
µ
Z
∞
X
1
k α
|f (y)| dµ(y)
(2 r)
≤C
k+1 r)n
(2
k+1 r)
Q(a,2
k=0
k=0
≤C
∞
X
(2k r)α φ(2k+1 r)kf kMp,φ (µ)
k=0
≤ C kf kMp,φ (µ)
∞
X
(2k r)α φ(2k r).
k=0
Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka
Z 2k+1 r
Z 2k+1 r α
t φ(t)
k α
k
dt =
tα−1 φ(t) dt
(2 r) φ(2 r) ∼
t
k
k
2 r
2 r
sehingga
∞ Z
X
k=0
Jadi berlaku
2k+1 r
α−1
t
φ(t) dt =
2k r
|Iαn f2 (x)|
Z
∞
Z
∞
tα−1 φ(t) dt.
r
≤ C kf kMp,φ (µ)
r
30
tα−1 φ(t) dt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
≤ C rα φ(r)kf kMp,φ (µ) .
Oleh karena itu diperoleh
1
φ(r)
µ
1
rn
Z
|W Iαn f2 (x)|p
Q
α− n
p
≤ C (r)
kf kMp,φ (µ)
µZ
Q
α− n
p
≤ C (r)
kf kMp,φ (µ)
µZ
Q
α− n
p
= C (r)
n
¶ p1
dµ(x)
¶ p1
|W (x)|p dµ(x)
¶ 1q
¶ αn µZ
dµ(x)
|W (x)| dµ(x)
n
α
Q
kf kMp,φ (µ) kW kL αn (µ(Q))
1
q
n
≤ C (r)α− p + q kf kMp,φ (µ) kW kL αn
≤ C kW kL αn kf kMp,φ (µ) ,
dan akibatnya
kW Iαn f2 kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .
(3.2)
Dengan demikian dari (3.1), (3.2), dan ketaksamaan Minkowski, diperoleh
kW Iαn f kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .
31
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 4
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya diperoleh bahwa hasil
utama yang dibicarakan dalam tesis ini adalah keterbatasan operator Iαn di
ruang Morrey tak homogen yang diperumum, yang tertuang pada Teorema
2.8. Untuk membuktikan sifat ini dipergunakan hasil dari Garcia-Cuerva dan
Martell [5] yaitu operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk q =
np
,
n−αp
dan
dalam pembuktiannya keterbatasan operator maksimal M n di ruang Lp (µ)
memegang peranan yang penting. Terilhami oleh hasil Gunawan and Eridani
[6] tentang ketaksamaan Olsen di Lp dan Mp,φ , dapat dibuktikan ketaksamaan
Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Kedua hasil ini berturut-turut tertuang
di dalam Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Di sini tampak bahwa konsep kunci
dalam penurunan hasil-hasil tersebut adalah ukuran growth yang mendefinisikan ruang tak homogen Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
Semua hasil ini mengukuhkan bahwa kondisi doubling di dalam Analisis Fourier
khususnya operator integral bukanlah hal yang esensial, yaitu dapat diganti
dengan kondisi growth. Hal ini sejalan dengan hasil dari Garcia-Cuerva and
Gatto [4], Garcia-Cuerva and Martell [5], dan Nazarov et al. [10] tentang
operator integral fraksional di ruang tak homogen.
32
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Daftar Pustaka
[1] F. Chiarenza and M. Frasca (1987), ”Morrey spaces and HardyLittlewood maximal function”, Rend. Mat. 7, 273-279.
[2] J. Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Graduate Studies in Math,
29, AMS, Providence, Rhode Island.
[3] G. B. Folland (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth
and Brooks/Cole Advanced Book and Software, Pasivic Grove, California.
[4] J. Garcia-Cuerva and A. E. Gatto (2004), ”Boundedness properties of
fractional integral operators associated to non-doubling measures”, Studia Math 162, no. 3, 245-261.
[5] J. Garcia-Cuerva and J. M. Martell (2001), ”Two weight norm inequalities for maximal operators and fractional integrals on non-homogeneous
spaces”, Indiana University Mathematics Journal 50, no. 3, 1241-1280.
[6] H. Gunawan and Eridani, ”Fractional integral and generalized Olsen inequalities”, to appear in Kyungpook Math. J.
[7] F. Jones (1993), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and
Bartlett Publishers Inc., Boston-London.
33
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[8] S. G. Krantz (1999), A Panorama of Harmonic Analysis, The Carus
Mathematical Monographs, no. 27, The Mathematical Association of
America, USA.
[9] E. H. Lieb and M. Loss (1997), Analysis, Graduate Studies in Math, 14,
AMS, Providence, Rhode Island.
[10] F. Nazarov, S. Treil, and A. Volberg (1998), ”Weak type estimates
and Cotlar inequalities for Calderon- Zygmund operators on nonhomogeneous spaces”, Internat. Math. Res. Notices, no. 9, 463-487.
[11] J. Peetre (1969), ”On the theory of Lp,λ spaces”, Journal of Functional
Analysis, no. 4, 71-87.
[12] I. Sihwaningrum dan H.P. Suryawan (2008), ”Operator integral fraksional dan ketaksamaan Olsen di ruang Lebesgue tak homogen”, Makalah
dipresentasikan pada Simposium Analisis dan Aplikasinya, Universitas
Gadjah Mada, Yogyakarta.
[13] E. M. Stein (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of
Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
[14] E. M. Stein (1993), Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscilatory Integrals, Princeton University Press, Princeton,
New Jersey.
[15] C. T. Zorko (1986), ”Morrey Space”, Proceeding of the American Mathematical Society, volume 98 no. 4, 586-592.
34
ABSTRAK
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM: 20106006
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di
ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti
halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga
akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.
Kata kunci: Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue
tak homogen, Ruang Morrey tak homogen yang diperumum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS
AND OLSEN’S INEQUALITIES
ON NON-HOMOGENEOUS SPACES
By
Herry Pribawanto Suryawan
NIM: 20106006
In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on nonhomogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous Morrey
spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a growth
measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.
Key words: Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous
Lebesgue spaces, Generalized non-homogeneous Morrey spaces
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
TESIS
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Magister dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN
NIM : 20106006
Program Studi Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di
ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti
halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga
akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.
Kata kunci: Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue
tak homogen, Ruang Morrey tak homogen yang diperumum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS
AND OLSEN’S INEQUALITIES
ON NON-HOMOGENEOUS SPACES
By
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on
non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous
Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a
growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.
Key words: Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous
Lebesgue spaces, Generalized non-homogeneous Morrey spaces
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
Program Studi Matematika
Institut Teknologi Bandung
Bandung,
Februari 2008
Telah diperiksa dan disetujui oleh
Pembimbing
Prof. Dr. Hendra Gunawan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
Tesis Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI
yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan
seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin
Direktur Program Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Tuhan adalah gembalaku, takkan kekurangan aku. Ia membaringkan aku di
padang yang berumput hijau, Ia membimbing aku ke air yang tenang;
Ia menyegarkan jiwaku. Ia menuntun aku di jalan yang benar oleh karena
namaNya. Sekalipun aku berjalan dalam lembah kekelaman aku tidak takut
bahaya, sebab Engkau besertaku; gadaMu dan tongkatMu, itulah yang
menghibur aku. Engkau menyediakan hidangan bagiku, di hadapan lawanku;
Engkau mengurapi kepalaku dengan minyak; pialaku penuh melimpah.
Kebajikan dan kemurahan belaka akan mengikuti aku, seumur hidupku;
dan aku akan diam dalam rumah TUHAN sepanjang masa.
(MAZMUR 23: 1-6)
Untuk Mama dan seluruh keluargaku
dan untuk mengenang Papa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kata Pengantar
Segala puji syukur, hormat, dan kemuliaan untuk Tuhan Yesus Kristus, atas
kasih dan tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Banyak hal
terjadi selama penulis menempuh studi dan menulis tesis ini, namun penulis
menyadari semua itu merupakan bagian dari rencana Tuhan yang indah untuk
hidup penulis.
Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa tesis ini
tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan moral, material, dan doa dari
berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis menyampaikan terima kasih kepada:
(1) Prof. Dr. Hendra Gunawan, yang telah berkenan dengan sabar membimbing penulis, memberikan ilmu, ide, saran, teguran, dan perhatian
yang sangat berharga bagi penulis.
(2) Dr. Wono Setya Budhi dan Dr. Yudi Soeharyadi, yang telah berkenan menjadi penguji pada ujian tesis ini dan memberikan masukan yang
sangat berarti.
(3) Dr.
Irawati dan Dr.
Hilda Assiyatun sebagai wali akademik, yang
telah memberikan pengarahan kepada penulis selama menempuh program magister di Institut Teknologi Bandung.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
(4) Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika ITB, yang telah
membagikan ilmu dan pengalamannya yang sangat berharga. Khususnya
penulis mengucapkan terimakasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan,
Dr. Wono Setya Budhi, Dr. Jalina Widjaya, Dr. Irawati, Dr. M. Intan
Detiena, Dra. Muliana H. Arinardi, M.Si, Prof. Dr. Edy Soewono, Dr.
Oki Neswan, dan Dr. Achmad Muchlis.
(5) Yayasan Sanata Dharma dan Universitas Sanata Dharma, yang telah
memberikan beasiswa dan kemudahan, sehingga penulis dapat menempuh pendidikan di ITB dengan baik dan lancar.
(6) Rekan-rekan di ITB dan di USD, atas dukungan dan perhatiannya kepada penulis. Secara khusus penulis ingin berterimakasih kepada Ibu
Dra. Idha Sihwaningrum, M.Sc, rekan satu bimbingan, yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini melalui diskusi, ide, saran,
dan perhatiannya.
(7) Mama Yuniati, kakak-kakakku, dan seluruh keluargaku atas doa, perhatian, dan kasih sayangnya kepada penulis.
(8) Sahabatku dalam suka dan duka, Anton Wardaya, yang tidak pernah
bosan membagikan kasih Allah, dukungan, doa, dan bantuan kepada
penulis.
(9) Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini terselesaikan dengan baik, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca.
Bandung, Januari 2008
Penulis
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Daftar Isi
Abstrak
ii
Abstract
iii
Halaman Pengesahan
iv
Pedoman Penggunaan Tesis
v
Halaman Persembahan
vi
Kata Pengantar
vii
Daftar Isi
ix
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak Homogen
7
2.1
Keterbatasan Operator M n di Ruang Lp (µ) . . . . . . . . . . .
2.2
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Lebesgue Tak Homogen . . 15
ix
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.3
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Morrey Tak Homogen yang
Diperumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen
27
3.1
Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2
Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ (µ) . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Kesimpulan
32
Daftar Pustaka
33
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 1
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang Masalah
Salah satu objek kajian dalam Analisis Fourier adalah operator integral. Di
dalam tesis ini akan dipelajari salah satu operator integral yang dikenal sebagai
operator integral fraksional atau sering juga disebut potensial Riesz. Operator
ini pertama kali dipelajari oleh Hardy, Littlewood, dan Sobolev pada sekitar
tahun 1930. Operator ini dapat diperoleh melalui transformasi Fourier dari
operator Laplace (lihat Stein [13] hal. 117 atau Lieb and Loss [9] hal. 123).
Untuk fungsi f yang terdefinisi pada Rd dan α ∈ R dengan 0 < α < d, operator
integal fraksional (orde α) Iα didefinisikan sebagai
Z
1
f (y)
dy
Iα f (x) :=
γ(α) Rd |x − y|d−α
dengan
γ(α) =
Γ( d−α
)
2
d
2α π 2 Γ( α2 )
.
Notasi Lp menyatakan ruang Lebesgue, yaitu ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi
terukur f sehingga kf kLp < ∞ dengan
µZ
¶ p1
p
,
|f (y)| dy
kf kLp =
Rd
1
1≤p0 r
B(x,r)
di Lp,λ (lihat Chiarenza and Frasca [1]).
Dalam penelitian sepuluh tahun terakhir telah diperlihatkan bahwa kondisi
doubling di dalam analisis Fourier bukanlah hal yang esensial tapi dapat diganti
dengan kondisi growth. Hal inilah yang memotivasi munculnya pengertian
ruang tak homogen (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5], Garcia-Cuerva and
Gatto [4], dan Nazarov, et al. [10]). Ruang tak homogen adalah ruang Rd
yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif µ yang memenuhi kondisi
growth. Ini berbeda dengan ruang homogen yang dilengkapi dengan ukuran
yang memenuhi kondisi doubling. Diberikan kubus dengan panjang sisi l, Q(l)
di Rd , maka ukuran µ pada Rd dikatakan memenuhi kondisi doubling apabila
untuk terdapat C > 0 sehingga
µ(Q(2l)) ≤ C µ(Q(l)).
Sementara itu ukuran µ dikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila
terdapat C > 0 sehingga
µ(Q(l)) ≤ C ln
untuk suatu n ∈ R dengan 0 < n ≤ d.
Dengan menggunakan pengertian ukuran growth tersebut di atas dapat didefinisikan ruang Lebesgue tak homogen serta ruang Morrey tak homogen yang
3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
diperumum. Ruang Lebesgue tak homogen Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang
kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga kf kLp (µ) < ∞, dengan
kf kLp (µ) =
µZ
Rd
¶ p1
|f (y)| dµ(y) ,
p
dan
©
ª
kf kL∞ (µ) = ess sup |f (x)| : x ∈ Rd .
©
ª
Di sini ess sup |f (x)| : x ∈ Rd menyatakan batas atas terkecil esensial dari
|f |. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lploc (µ), adalah ruang kelas-kelas
ekuivalen f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd berlaku
Z
|f (y)|p dµ(y) < ∞
K
dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ (µ) didefinisikan sebagai
ruang dari semua fungsi f ∈ Lploc (µ) sehingga
kf kMp,φ (µ)
1
:= sup
r>0 φ(r)
µ
1
rn
Z
Q(x,r)
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
0 r
n
Z
|f (y)| dµ(y).
Q(x,r)
Khususnya akan dibuktikan bahwa M n terbatas di Lp (µ), yakni terdapat C > 0
sehingga
kM n f kLp (µ) ≤ C kf kLp (µ) ,
untuk p > 1.
Catat bahwa untuk n = d diperoleh M n = M yaitu operator maksimal HardyLittlewood klasik.
1.2
Tujuan Penulisan
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue
tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Selanjutnya
untuk suatu fungsi W yang terdefinisi pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan
operator W Iα di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Hasil penulisan tesis ini diharapkan
dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai keterbatasan operator Iαn
serta ketaksamaan Olsen di ruang tak homogen, khususnya Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
1.3
Sistematika Penulisan
Sistematika dari tesis ini adalah sebagai berikut.
Bab 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, tinjauan pustaka, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.
Pada bab 2 dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Subbab pertama
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
memberikan bukti keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood M n di
ruang Lp (µ). Subbab kedua membahas keterbatasan operator Iαn di ruang
Lebesgue tak homogen dengan memanfaatkan keterbatasan operator M n di
ruang tersebut. Sementara pada subbab ketiga akan dibuktikan keterbatasan
operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum.
Bab 3 menyajikan hasil yaitu ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
Pada subbab pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ). Selanjutnya pada subbab kedua dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ (µ).
Bab 4 merupakan kesimpulan yang memberikan penegasan tentang hasil temuan yang diperoleh dari fakta yang telah dibicarakan pada bab-bab sebelumnya.
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 2
Keterbatasan Operator Integral
Fraksional di Ruang Tak
Homogen
2.1
Keterbatasan Operator M n di Ruang Lp(µ)
Pada bagian ini akan dibahas operator maksimal M n , khususnya akan diperlihatkan bahwa M n bersifat terbatas di ruang Lp (µ). Hasil ini cukup penting
karena akan dipergunakan dalam pembuktian keterbatasan operator Iαn dari
Lp (µ) ke Lq (µ) untuk suatu q > p.
Dalam hal ukuran Lebesgue, sifat invarian terhadap translasi dan sifat dilasi
merupakan alat yang sangat baik dalam pengembangan Analisis Fourier. Suatu perluasan dari hal ini adalah konsep ruang tipe homogen, yaitu ruang
kuasi-metrik yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif yang memenuhi kondisi doubling, artinya untuk setiap kubus Q, ukuran dari kubus yang
didilasi dua kali, 2Q, didominasi oleh ukuran kubus semula (lihat Krantz [8]).
Penelitian dalam beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa kondisi dou-
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
bling bukanlah hal yang esensial yaitu banyak hasil dalam Analisis Fourier
yang tetap berlaku ketika kondisi doubling diganti dengan kondisi growth. Misalnya pada F. Nazarov, et al. [10] mengenalkan ruang tak homogen sebagai
ruang metrik—termasuk Rd —yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif
yang memenuhi kondisi growth.
Diberikan kubus Q ⊂ Rd dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Ukuran Borel tak negatif µ pada Rd dikatakan memenuhi kondisi growth
(orde n) apabila terdapat konstanta C > 0 sehingga
µ(Q) ≤ C ln
dengan l = l(Q) menyatakan panjang sisi kubus Q dan n bilangan real tertentu dengan 0 < n ≤ d. Karena ukuran suatu kubus didominasi oleh panjang
sisinya dipangkatkan n, maka ukuran growth (orde n) sering juga disebut sebagai ukuran berdimensi-n. Untuk suatu k > 0, kQ menyatakan kubus yang
sepusat (konsentris) dengan kubus Q tetapi panjang sisinya adalah k kali panjang sisi kubus Q, yaitu l(kQ) = k l(Q). Lebih lanjut, Q(x, r) menyatakan
kubus yang berpusat di x dan berjari-jari r. Dalam hal ini yang dimaksud
dengan jari-jari kubus adalah setengah panjang sisinya. Untuk selanjutnya di
dalam seluruh tesis ini, C merupakan konstanta positif yang tidak perlu sama
dari satu baris ke baris yang lainnya.
Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel tak negatif
pada Rd yang memenuhi kondisi growth
orde n dan 1 ≤ p < ∞. Ingat
kembali ruang Lebesgue tak homogen Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang kelaskelas ekuivalen f sehingga kf kLp (µ) < ∞, dengan
µZ
¶ p1
p
kf kLp (µ) =
|f (y)| dµ(y) ,
Rd
dan
©
ª
kf kL∞ (µ) = ess sup |f (x)| : x ∈ Rd .
8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ª
©
Di sini ess sup |f (x)| : x ∈ Rd menyatakan batas atas terkecil esensial dari
|f |, yakni
©
ª
ess sup |f (x)| : x ∈ Rd = inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M a.e. − µ pada Rd }.
Dua buah fungsi f dan g di Lp (µ) dikatakan ekuivalen jika f = g hampir di
mana-mana.
Selanjutnya, ingat fungsi maksimal Hardy-Littlewood
Z
1
n
M f (x) = sup n
|f (y)| dµ(y).
r>0 r
Q(x,r)
Dalam hal ini M n disebut sebagai operator maksimal. Terdapat pendefinisian
lain untuk fungsi maksimal yang dikenal sebagai fungsi maksimal tak terpusat
yaitu
Z
1
Muc f (x) = sup n
Q∋x l
|f (y)| dµ(y).
Q
Akan diperlihatkan bahwa fungsi maksimal setara titik demi titik (pointwise
equivalent) dengan fungsi maksimal tak terpusat. Untuk setiap x ∈ Rd ,
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) = 1 n
|f (y)| dµ(y)
rn Q(x,r)
( 2 l) Q(x,r)
Z
2n
= n
|f (y)| dµ(y)
l Q(x,r)
Z
1
n
|f (y)| dµ(y).
≤ 2 sup n
Q∋x l
Q
Jadi diperoleh
1
sup n
r>0 r
Z
1
|f (y)| dµ(y) ≤ 2 sup n
Q∋x l
Q(x,r)
n
Z
|f (y)| dµ(y).
Q
Dengan kata lain
M n f (x) ≤ 2n Muc f (x).
Di lain pihak,
1
ln
Z
1
|f (y)| dµ(y) ≤ n
r
Q
Z
9
Q(x,r)
|f (y)| dµ(y)
(2.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
≤ sup n
r>0 r
Z
|f (y)| dµ(y).
Q(x,r)
Hubungan ini berlaku untuk setiap kubus Q dengan panjang sisi l, sehingga
diperoleh
1
sup n
Q∋x l
Z
1
|f (y)| dµ(y) ≤ sup n
r>0 r
Q
Z
|f (y)| dµ(y).
Q(x,r)
Dengan kata lain,
Muc f (x) ≤ M n f (x).
(2.2)
Dengan demikian dari (2.1) dan (2.2) diperoleh
Muc f (x) ≤ M n f (x) ≤ 2n Muc f (x),
untuk setiap x ∈ Rd .
Untuk membuktikan keterbatasan operator M n di Lp (µ) terlebih dahulu diberikan pengertian operator tipe lemah dan tipe kuat serta teorema interpolasi
Marcinkiewicz. Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran dan T operator dari
Lp (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y . Operator T merupakan operator tipe
lemah (p, q), q < ∞ jika untuk setiap λ > 0 berlaku
¶
µ
Ckf kLp (X,µ) q
ν {y ∈ Y : |T f (y)| > λ} ≤
.
λ
dan T merupakan operator tipe lemah (p, ∞) jika T merupakan operator terbatas dari Lp (X, µ) ke L∞ (Y, ν). Operator T merupakan operator tipe kuat
(p, q) jika T terbatas dari Lp (X, µ) ke Lq (Y, ν), yakni terdapat C > 0 sehingga
kT f kLq (Y,ν) ≤ C kf kLp (X,µ) .
Catat bahwa jika T adalah operator tipe kuat (p, q), maka T tipe lemah (p, q).
Misalkan T suatu operator tipe kuat (p, q). Tulis Eλ = {y ∈ Y : |T f (y)| > λ}
maka
¯
¯
¶
µ
kT f kqLq (Y,ν)
¯ T f (x) ¯q
Ckf kLp (X,µ) q
¯
¯
ν(Eλ ) =
dν ≤
.
≤
¯ λ ¯ dν ≤
λq
λ
Eλ
Eλ
Z
Z
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi T operator tipe lemah (p, q).
Didefinisikan Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) sebagai ruang semua fungsi f sehingga
f = f1 +f2 dengan f1 ∈ Lp1 (X, µ) dan f2 ∈ Lp2 (X, µ). Misalkan p1 < p2 , maka
berlaku Lp (X, µ) ⊂ Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) untuk setiap p dengan p1 ≤ p ≤ p2 .
Untuk melihat hal ini, ambil sebarang f ∈ Lp (X, µ) dan k suatu konstanta
positif. Tulis
f (x)
f1 (x) =
0
dan
f (x)
f2 (x) =
0
jika |f (x)| > k
jika |f (x)| ≤ k
jika |f (x)| ≤ k
jika |f (x)| > k.
Maka diperoleh
Z
Z
Z
p1
p
p1 −p
p1 −p
|f (x)|p dµ
|f1 (x)| dµ =
|f1 (x)| |f1 (x)|
dµ ≤ k
X
dan juga
Z
X
X
p2
|f2 (x)|
dµ =
X
Z
p2 −p
p
|f2 (x)| |f2 (x)|
dµ ≤ k
p2 −p
Z
|f (x)|p dµ.
X
X
Jadi f1 ∈ Lp1 (X, µ) dan f2 ∈ Lp2 (X, µ) sehingga f ∈ Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ).
Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian keterbatasan
operator maksimal di ruang Lebesgue tak homogen. Bukti lengkap teorema
ini dapat dilihat pada Duoandikoetxea [2] hal. 29, atau Krantz [8] hal 319,
atau Stein [13] hal 21.
Teorema 2.1. (Teorema interpolasi Marcinkiewicz). Diketahui (X, µ)
dan (Y, ν) ruang ukuran, 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ dan T operator sublinear dari
Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y , yang merupakan tipe
lemah (p1 , p1 ) dan juga merupakan tipe lemah (p2 , p2 ). Maka operator T merupakan tipe kuat (p, p) untuk sebarang p dengan p1 < p < p2 .
11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema selanjutnya menyatakan keterbatasan operator M n di ruang Lp (µ).
Pembuktian teorema ini melibatkan lema cover Vitali yang buktinya dapat
dilihat pada Jones [7] hal. 448 atau Stein [13] hal. 9.
Lema 2.2. (Lema cover Vitali). Diketahui {Q1 , Q2 , . . . , Qk , . . .} koleksi
kubus di Rd . Maka ada subkoleksi terhitung kubus {Q̃1 , Q̃2 , . . . , Q̃j , . . .} sehingga
1. Q̃j saling lepas sepasang-sepasang, dan
2. berlaku
[
Qk ⊆
Ã
[
j
k
3Q̃j
!
Teorema 2.3. Operator maksimal M n memenuhi
Z
ª C
©
d
n
|f (x)| dµ(x)
µ x ∈ R : M f (x) > λ ≤
λ Rd
dan
kM n f kL∞ (µ) ≤ Ckf kL∞ (µ) .
Bukti. Ambil f ∈ L1 (µ) dan didefinisikan
©
ª
Eλ = x ∈ Rd : M n f (x) > λ .
Jika x ∈ Eλ , yaitu x ∈ Rd dan M n f (x) > λ, maka terdapat rx > 0 sehingga
Z
1
|f (y)| dµ(y) > λ.
rxn Q(x,rx )
Lema cover Vitali memberikan koleksi kubus yang saling lepas sepasang- sepasang {Q(xj , rj )}j , dengan xj ∈ Eλ dan rj = rxj , sehingga
Eλ ⊂
[
Q(x, rx ) ⊂
[
j
x∈Eλ
12
Q(xj , 3rj ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi diperoleh
µ(Eλ ) ≤
X
µ(Q(xj , 3rj ))
j
≤ 3n
X
rjn
j
X1Z
≤C
|f (y)| dµ(y)
λ Q(xj ,rj )
j
Z
CX
≤
|f (y)| dµ(y)
λ j Q(xj ,rj )
Z
C
|f (y)| dµ(y).
≤
λ Rd
Di sini kita menggunakan fakta bahwa kubus-kubus Q(xj , rj ) saling lepas
sepasang-sepasang. Jadi terbukti
C
µ x ∈ R : M f (x) > λ ≤
λ
©
d
n
ª
Z
|f (x)| dµ(x).
Rd
Untuk bagian selanjutnya, apabila diambil sebarang x ∈ Rd dan kubus Q ⊂ Rd
yang berpusat di x dan berjari-jari r, maka
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) ≤ n
ess sup |f (y)| dµ(y)
rn Q(x,r)
r Q(x,r)
Z
1
kf kL∞ (µ) dµ(y)
≤ n
r Q(x,r)
Z
1
dµ(y)
= kf kL∞ (µ) n
r Q(x,r)
1
= kf kL∞ (µ) n µ(Q)
r
≤ Ckf kL∞ (µ) .
Akibatnya
1
sup n
r>0 r
atau berarti
Z
|f (y)| dµ(y) ≤ Ckf kL∞ (µ)
Q(x,r)
kM n f kL∞ (µ) ≤ Ckf kL∞ (µ) .
13
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Akibat 2.4. Operator maksimal M n terbatas di Lp (µ) untuk 1 < p < ∞ .
Bukti. Untuk mendapatkan keterbatasan operator maksimal M n dari Lp (µ)
ke Lp (µ) cukup dengan menerapkan teorema interpolasi Marcinkiewicz pada
dua hasil di dalam Teorema 2.3. Catat bahwa M n merupakan suatu operator
sublinear. Ambil sebarang f, g ∈ Lp (µ), 1 < p < ∞, maka
Z
1
n
M (f + g)(x) = sup n
|(f + g)(y)| dµ(y)
r>0 r
Q(x,r)
Z
1
≤ sup n
(|f (y)| + |g(y)|) dµ(y)
r>0 r
Q(x,r)
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) + sup n
|g(y)| dµ(y)
≤ sup n
r>0 r
r>0 r
Q(x,r)
Q(x,r)
= M n f (x) + M n g(x)
dan juga
Z
1
|(k.f )(y)| dµ(y)
M (k.f )(x) = sup n
r>0 r
Q(x,r)
Z
1
|k||f (y)| dµ(y)
= sup n
r>0 r
Q(x,r)
Z
1
= |k| sup n
|f (y)| dµ(y)
r>0 r
Q(x,r)
n
= |k|M n f (x).
Karena diketahui juga bahwa M n merupakan tipe lemah (1, 1) dan juga tipe
lemah (∞, ∞), maka menurut teorema interpolasi Marcinkiewicz, operator M n
bertipe kuat (p, p) untuk 1 < p < ∞, yaitu berlaku
kM n f kLp (µ) ≤ Ckf kLp (µ) .
Dengan kata lain terbukti bahwa operator maksimal M n terbatas di Lp (µ)
untuk 1 < p < ∞.
14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.2
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Lebesgue Tak Homogen
Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke
Lq (µ) untuk suatu q > p. Ingat kembali definisi operator integral fraksional
di ruang tak homogen sebagai berikut. Untuk 0 < α < n ≤ d dan α, n ∈ R,
operator integral fraksional (orde α) adalah
Z
f (y)
n
Iα f (x) =
dµ(y)
n−α
Rd |x − y|
dengan f ∈ L∞ (µ) fungsi dengan tumpuan kompak.
Pertama perlu dilihat bahwa operator Iαn ini terdefinisi dengan baik. Kernel dari operator integral ini bersifat singular pada diagonal x = y, namun
demikian berlaku
Z
∞ Z
X
f (y)
1
∞ (µ)
dµ(y)
≤
kf
k
dµ(y)
L
n−α
n−α
−k−1 ≤|x−y| p.
Teorema 2.6. Diberikan 0 < α < n.
1. Operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk 1 ≤ p <
2. Jika
1
q
n
α
dan
1
q
= p1 − αn .
= 1 − αn , maka berlaku
©
ª
d
µ x ∈ R : |Iα f (x)| > λ ≤
µ
C kf kL1 (µ)
λ
¶q
.
Bukti.
1. Dari Ketaksamaan Hedberg diperoleh
pα
pα
|Iαn f (x)| ≤ Ckf kLnp (µ) M n f (x)1− n
yang berakibat
µZ
Rd
|Iαn f (x)|q
µZ
¶ 1q
pα
n
≤ Ckf kLp (µ)
dµ(x)
n
q (1− pα
n )
n
p
n
p
|M f (x)|
Rd
pα
n
Lp (µ)
= Ckf k
pα
n
Lp (µ)
= Ckf k
pα
µZ
|M f (x)| dµ(x)
Rd
µZ
|M f (x)| dµ(x)
Rd
p
= Ckf kLnp (µ) kM n f kLq p (µ)
18
¶ 1q
dµ(x)
¶ 1q
¶ p1 pq
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
p
pα
≤ Ckf kLnp (µ) kf kLq p (µ)
pα
+p
= Ckf kLnp (µ)q
= Ckf kLp (µ) .
Jadi berlaku
kIαn f kLq (µ) ≤ Ckf kLp (µ) .
Dengan kata lain terbukti Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ).
2. Untuk p = 1, Ketaksamaan Hedberg memberikan
α
α
|Iαn f (x)| ≤ Ckf kLn1 (µ) M n f (x)1− n
α
1
= Ckf kLn1 (µ) M n f (x) q .
Menggunakan fakta bahwa M n merupakan operator tipe lemah (1, 1), diperoleh
q
ª
©
λ
µ x ∈ Rd : |Iα f (x)| > λ ≤ µ x ∈ Rd : M n f (x) >
α
Ckf kLn1 (µ)
q
α
Z
n
C kf kL1 (µ)
≤
|f (x)| dµ(x)
λ
Rd
q
α
C kf kLn1 (µ)
kf kL1 (µ)
=
λ
µ
¶
C kf kL1 (µ) q
=
.
λ
Ini merupakan ketaksamaan yang ingin dibuktikan.
2.3
Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Morrey Tak Homogen yang Diperumum
Pada bagian ini akan dibuktikan keterbatasan operator Iαn dari Mp,φ (µ) ke
Mq,ψ (µ) untuk suatu q ≥ p serta fungsi φ dan ψ yang memenuhi kondisi
19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tertentu. Terlebih dahulu akan diingat kembali mengenai ruang Morrey tak
homogen yang diperumum.
Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel pada Rd yang
memenuhi kondisi growth dan 1 ≤ p < ∞. Ruang Lebesgue tak homogen
lokal, Lploc (µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga
untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd berlaku
Z
|f (y)|p dµ(y) < ∞.
K
Khususnya jika f ∈ L1loc (µ) maka f disebut fungsi yang terintegral-µ secara
lokal di Rd . Jelas bahwa Lp (µ) ⊂ Lploc (µ) untuk 1 ≤ p < ∞ (lihat Jones [7]).
Pada Gunawan and Eridani [6], diperkenalkan pengertian ruang Morrey yang
diperumum. Terilhami oleh hal tersebut, selanjutnya akan didefinisikan pengertian ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Misalkan diketahui fungsi
φ : (0, ∞) → (0, ∞) merupakan fungsi yang memenuhi kondisi doubling, yaitu
terdapat C > 0 sehingga
1
φ(s)
≤
≤ C,
C
φ(t)
apabila
1
2
≤
s
t
≤ 2. Pertama perhatikan bahwa untuk setiap fungsi φ yang
memenuhi kondisi doubling berlaku
Z 2k+1 r
φ(t)
dt ∼ φ(2k r)
t
2k r
untuk setiap bilangan bulat k dan r > 0. Hal ini dapat dilihat sebagai berikut.
Karena φ memenuhi kondisi doubling maka terdapat C > 0 sehingga
φ(t)
1
≤
≤C
C
φ(2k r)
apabila t ∈ [2k r, 2k+1 r]. Jadi
1
φ(2k r) ≤ φ(t) ≤ Cφ(2k r),
C
yang berarti
1 φ(2k r)
φ(t)
φ(2k r)
≤
≤
C
.
C 2k r
t
2k r
20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan mengintegralkan ketaksamaan ini pada [2k r, 2k+1 r] yaitu
Z 2k+1 r
Z 2k+1 r
Z 2k+1 r
φ(t)
1 φ(2k r)
φ(2k r)
C
dt
≤
dt
≤
dt
C 2k r
t
2k r
2k r
2k r
2k r
maka diperoleh
k
K1 φ(2 r) ≤
Z
2k+1 r
2k r
φ(t)
dt ≤ K2 φ(2k r)
t
dengan K1 dan K2 konstanta positif. Dengan demikian, disimpulkan untuk
setiap bilangan bulat k dan r > 0 berlaku
Z 2k+1 r
φ(t)
dt ∼ φ(2k r).
t
2k r
Untuk 1 ≤ p < ∞ dan fungsi φ seperti tersebut di atas, ruang Morrey tak
homogen yang diperumum Mp,φ (µ) didefinisikan sebagai ruang dari semua
fungsi f ∈ Lploc (µ) sehingga
kf kMp,φ (µ)
µ
1
:= sup
r>0 φ(r)
1
rn
Z
Q(x,r)
¶ p1
0 suatu fungsi konstan maka didapat
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
M∞,φ (µ) = L∞ (µ). Jadi ruang Morrey tak homogen yang diperumum terkait
dengan suatu fungsi tak naik φ(t) sehingga φ(t) → ∞ untuk t → 0.
Sekarang akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang
Morrey tak homogen yang diperumum.
Teorema 2.8. Misalkan fungsi φ memenuhi kondisi doubling dan untuk setiap
r > 0 berlaku
Z
∞
tα−1 φ(t) dt ≤ Crα φ(r),
r
serta fungsi ψ memenuhi rα φ(r) ≤ C1 ψ(r) untuk setiap r, dengan C1 tidak
bergantung pada r. Maka, untuk 1 ≤ p <
n
α
dan
1
q
=
1
p
− αn , terdapat C > 0
sehingga berlaku
kIαn f kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) .
Bukti. Untuk a ∈ Rd dan r > 0, tulis Q = Q(a, r) dan Q̃ = Q(a, 2r) dan
f = f1 + f2 = f χQ̃ + f χQ̃c .
Karena
kf1 kLp (µ) =
µZ
¶ p1
|f1 (x)| dµ(x)
p
Rd
=
µZ
¶ p1
|f (x)| dµ(x)
p
Q̃
1
= (2r) φ(r)
φ(r)
n
p
n
p
µ
1
(2r)n
Z
Q̃
¶ p1
|f (x)| dµ(x)
≤ C(2r) φ(r)kf kMp,φ (µ)
< ∞,
maka f1 ∈ Lp (µ). Selanjutnya untuk x ∈ Q
µZ
Q
|Iαn f1 (x)|q
¶ 1q
≤ kIαn f1 kLq (µ)
dµ(x)
23
p
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
≤ C kf1 kLp (µ)
n
≤ C (2r) p φ(r) kf kMp,φ (µ) ,
sehingga diperoleh
µ
1
rn
Z
|Iαn f1 (x)|q
Q
dµ(x)
¶ 1q
n
n
≤ Cr p − q φ(r)kf kMp,φ (µ)
≤ Crα φ(r)kf kMp,φ (µ)
≤ CC1 ψ(r)kf kMp,φ (µ)
atau
1
ψ(r)
µ
1
rn
Akibatnya
Z
Q
¶ 1q
|Iαn f1 (x)|q dµ(x)
≤ Ckf kMp,φ (µ) .
kIαn f1 kMq,ψ (µ) ≤ Ckf kMp,φ (µ) .
(2.3)
Selanjutnya diperoleh estimasi untuk Iαn f2 sebagai berikut.
Z
|f (y)|
n
dµ(y)
|Iα f2 (x)| ≤
n−α
Q̃c |x − y|
Z
|f (y)|
dµ(y)
≤
n−α
|x−y|≥r |x − y|
∞ Z
X
|f (y)|
≤
dµ(y)
n−α
k
k+1 r |x − y|
k=0 2 r≤|x−y|≤2
Z
∞
X
1
≤
|f (y)| dµ(y)
(2k r)n−α Q(a,2k+1 r)
k=0
µ
¶
Z
∞
X
1
k α
=
|f (y)| dµ(y) .
(2 r)
k r)n
(2
k+1 r)
Q(a,2
k=0
Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder, diperoleh
µ
1
k
(2 r)n
Z
Q(a,2k+1 r)
¶ p1
Z
1
|f (y)| dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
Z
1
.
dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
¶ µ
|f (y)| dµ(y) ≤
24
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi berlaku
|Iαn f2 (x)|
≤C
∞
X
k
α
(2 r)
k=0
µ
Z
1
(2k+1 r)n
=C
∞
X
µ
1
(2k+1 r)n
Q(a,2k+1 r)
k
(2 r)
α
µ
Z
Q(a,2k+1 r)
¶1− p1
dµ(y)
Z
1
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
µ(Q(a, 2k+1 r))
(2k+1 r)n
µ
¶ p1
Z
∞
X
1
k α
≤C
(2 r)
|f (y)| dµ(y)
(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r)
k=0
k=0
≤C
∞
X
(2k r)α φ(2k+1 r)kf kMp,φ (µ)
k=0
≤ Ckf kMp,φ (µ)
∞
X
(2k r)α φ(2k r).
k=0
Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka
k
α
k
(2 r) φ(2 r) ∼
Z
2k+1 r
2k r
sehingga
∞ Z
X
k=0
Jadi berlaku
tα φ(t)
dt =
t
2k+1 r
α−1
t
φ(t) dt =
2k r
|Iαn f2 (x)|
Z
∞
Z
∞
Z
2k+1 r
tα−1 φ(t) dt
2k r
tα−1 φ(t) dt.
r
≤ Ckf kMp,φ (µ)
tα−1 φ(t) dt
r
≤ Crα φ(r)kf kMp,φ (µ) .
Maka diperoleh
µ
1
rn
Z
Q
|Iαn f2 (x)|q
µZ
¶ 1q
¶ 1q
α− n
dµ(x)
dµ(x)
≤ Cr q φ(r) kf kMp,φ (µ)
Q
= Cr
α− n
p
25
1
φ(r) kf kMp,φ (µ) (µ(Q)) q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
≤ Crα φ(r) kf kMp,φ (µ)
≤ Cψ(r) kf kMp,φ (µ)
atau
1
ψ(r)
µ
1
rn
Z
Q
¶ 1q
|Iαn f2 (x)|q dµ(x)
≤ C kf kMp,φ (µ) .
Akibatnya
kIαn f2 kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) .
(2.4)
Dengan demikian dari (2.4), (2.5), dan ketaksamaan Minkowski diperoleh
kIαn f kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) .
Ini berarti bahwa operator Iαn terbatas dari Mp,φ (µ) ke Mq,ψ (µ).
26
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 3
Ketaksamaan Olsen di Ruang
Tak Homogen
3.1
Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp(µ)
Pada bab ini akan dibahas ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
Untuk suatu untuk suatu fungsi W pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan
operator W Iα di ruang Lp (µ) dan di ruang Mp,φ (µ). Pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) yang buktinya cukup sederhana, yaitu dengan
memanfaatkan keterbatasan operator Iαn dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk q =
Teorema 3.1. (Ketaksamaan Olsen) Untuk 1 ≤ p <
n
α
np
.
n−αp
berlaku
kW Iαn f kLp (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kLp (µ)
n
yaitu W Iαn terbatas di Lp (µ), apabila W ∈ L α (µ).
Bukti. Ambil sebarang y ∈ Rd , dan selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan Hölder diperoleh
Z
Rd
|W Iαn f (y)|p
dµ(y) ≤
µZ
|W (y)|
pq
q−p
Rd
µZ
¶ q−p
q
dµ(y)
Rd
27
|Iαn f (y)|q
¶ pq
dµ(y)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan
1
q
=
1
p
− αn . Apabila diambil akar pangkat p pada kedua ruas ketak-
samaan dan dengan memperhatikan bahwa
µZ
Rd
|W Iαn f (y)|p
¶ p1 µZ
dµ(y)
≤
pq
q−p
= αn , maka didapatkan
¶ αn µZ
|W (y)| dµ(y)
n
α
Rd
Rd
|Iαn f (y)|q
¶ 1q
dµ(y)
atau
kW Iαn f kLp (µ) ≤ kW kL αn (µ) kIαn f kLq (µ) .
Karena operator integral fraksional Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk
q=
np
,
n−αp
maka didapatkan
kW Iαn f kLp (µ) ≤ kW kL αn (µ) kIαn f kLq (µ) ≤ C kW kL αn (µ) k f kLp (µ) .
3.2
Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ(µ)
Pada bagian ini akan dibuktikan perumuman Teorema 3.1 yaitu ketaksamaan
Olsen di ruang Mp,φ (µ). Bukti dari teorema ini serupa dengan bukti keterbatasan operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum (lihat
Teorema 2.8).
Teorema 3.2. (Ketaksamaan Olsen) Misalkan φ memenuhi kondisi doubling dan
Z
∞
tα−1 φ(t) dt ≤ Crα φ(r).
r
Maka, untuk 1 ≤ p <
n
α
dan
1
q
=
1
p
−
α
n
terdapat C > 0 sehingga berlaku
kW Iαn f kMp,φ (µ) ≤ CkW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ)
n
dengan W ∈ L α (µ).
Bukti. Untuk a ∈ Rd dan r > 0, tulis Q = Q(a, r), Q̃ = Q(a, 2r) dan
f = f1 + f2 = f χQ̃ + f χQ̃c .
28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi f1 ∈ Lp (µ) dan berlaku
kf1 kLp (µ) =
µZ
Rd
=
µZ
¶ p1
|f1 (y)| dµ(y)
p
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
p
Q̃
1
= (2r) φ(r)
φ(r)
n
p
n
p
µ
1
(2r)n
Z
Q̃
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
p
≤ C(2r) φ(r)kf kMp,φ (µ) .
Karena
µZ
|W Iαn f1 (y)|p
Q
¶ p1
dµ(y)
≤ kW Iαn f1 kLp (µ)
≤ kW kL αn (µ) kIαn f1 kLq (µ)
≤ C kW kL αn (µ) kf1 kLp (µ)
n
≤ C (2r) p φ(r)kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) ,
maka diperoleh
µ
¶ p1
Z
1
1
n
p
≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) ,
|W Iα f1 (y)| dµ(y)
φ(r) (2r)n Q
dan akibatnya
kW Iαn f1 kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .
Selanjutnya untuk x ∈ Q berlaku
Z
|f (y)|
n
dµ(y)
|Iα f2 (x)| ≤
n−α
Q̃c |x − y|
Z
|f (y)|
dµ(y)
≤
n−α
|x−y|≥r |x − y|
∞ Z
X
|f (y)|
≤
dµ(y)
n−α
k r≤|x−y|≤2k+1 r |x − y|
2
k=0
Z
∞
X
1
≤
|f (y)| dµ(y)
k r)n−α
(2
k+1 r)
Q(a,2
k=0
29
(3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
=
∞
X
k
α
(2 r)
k=0
µ
1
k
(2 r)n
Z
Q(a,2k+1 r)
¶
|f (y)| dµ(y) .
Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder diperoleh
µ
¶ µ
¶ p1
Z
Z
1
1
|f (y)| dµ(y) ≤
|f (y)| dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
Z
1
.
dµ(y)
(2k r)n Q(a,2k+1 r)
Jadi berlaku
|Iαn f2 (x)|
≤C
∞
X
k
(2 r)
α
k=0
µ
Z
1
(2k+1 r)n
=C
∞
X
µ
1
(2k+1 r)n
Q(a,2k+1 r)
k
α
(2 r)
µ
Z
Q(a,2k+1 r)
¶1− p1
dµ(y)
1
Z
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
¶ p1
|f (y)| dµ(y)
(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r)
µ
¶1− p1
µ(Q(a, 2k+1 r))
(2k+1 r)n
¶ p1
µ
Z
∞
X
1
k α
|f (y)| dµ(y)
(2 r)
≤C
k+1 r)n
(2
k+1 r)
Q(a,2
k=0
k=0
≤C
∞
X
(2k r)α φ(2k+1 r)kf kMp,φ (µ)
k=0
≤ C kf kMp,φ (µ)
∞
X
(2k r)α φ(2k r).
k=0
Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka
Z 2k+1 r
Z 2k+1 r α
t φ(t)
k α
k
dt =
tα−1 φ(t) dt
(2 r) φ(2 r) ∼
t
k
k
2 r
2 r
sehingga
∞ Z
X
k=0
Jadi berlaku
2k+1 r
α−1
t
φ(t) dt =
2k r
|Iαn f2 (x)|
Z
∞
Z
∞
tα−1 φ(t) dt.
r
≤ C kf kMp,φ (µ)
r
30
tα−1 φ(t) dt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
≤ C rα φ(r)kf kMp,φ (µ) .
Oleh karena itu diperoleh
1
φ(r)
µ
1
rn
Z
|W Iαn f2 (x)|p
Q
α− n
p
≤ C (r)
kf kMp,φ (µ)
µZ
Q
α− n
p
≤ C (r)
kf kMp,φ (µ)
µZ
Q
α− n
p
= C (r)
n
¶ p1
dµ(x)
¶ p1
|W (x)|p dµ(x)
¶ 1q
¶ αn µZ
dµ(x)
|W (x)| dµ(x)
n
α
Q
kf kMp,φ (µ) kW kL αn (µ(Q))
1
q
n
≤ C (r)α− p + q kf kMp,φ (µ) kW kL αn
≤ C kW kL αn kf kMp,φ (µ) ,
dan akibatnya
kW Iαn f2 kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .
(3.2)
Dengan demikian dari (3.1), (3.2), dan ketaksamaan Minkowski, diperoleh
kW Iαn f kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .
31
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab 4
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya diperoleh bahwa hasil
utama yang dibicarakan dalam tesis ini adalah keterbatasan operator Iαn di
ruang Morrey tak homogen yang diperumum, yang tertuang pada Teorema
2.8. Untuk membuktikan sifat ini dipergunakan hasil dari Garcia-Cuerva dan
Martell [5] yaitu operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk q =
np
,
n−αp
dan
dalam pembuktiannya keterbatasan operator maksimal M n di ruang Lp (µ)
memegang peranan yang penting. Terilhami oleh hasil Gunawan and Eridani
[6] tentang ketaksamaan Olsen di Lp dan Mp,φ , dapat dibuktikan ketaksamaan
Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Kedua hasil ini berturut-turut tertuang
di dalam Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Di sini tampak bahwa konsep kunci
dalam penurunan hasil-hasil tersebut adalah ukuran growth yang mendefinisikan ruang tak homogen Lp (µ) dan Mp,φ (µ).
Semua hasil ini mengukuhkan bahwa kondisi doubling di dalam Analisis Fourier
khususnya operator integral bukanlah hal yang esensial, yaitu dapat diganti
dengan kondisi growth. Hal ini sejalan dengan hasil dari Garcia-Cuerva and
Gatto [4], Garcia-Cuerva and Martell [5], dan Nazarov et al. [10] tentang
operator integral fraksional di ruang tak homogen.
32
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Daftar Pustaka
[1] F. Chiarenza and M. Frasca (1987), ”Morrey spaces and HardyLittlewood maximal function”, Rend. Mat. 7, 273-279.
[2] J. Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Graduate Studies in Math,
29, AMS, Providence, Rhode Island.
[3] G. B. Folland (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth
and Brooks/Cole Advanced Book and Software, Pasivic Grove, California.
[4] J. Garcia-Cuerva and A. E. Gatto (2004), ”Boundedness properties of
fractional integral operators associated to non-doubling measures”, Studia Math 162, no. 3, 245-261.
[5] J. Garcia-Cuerva and J. M. Martell (2001), ”Two weight norm inequalities for maximal operators and fractional integrals on non-homogeneous
spaces”, Indiana University Mathematics Journal 50, no. 3, 1241-1280.
[6] H. Gunawan and Eridani, ”Fractional integral and generalized Olsen inequalities”, to appear in Kyungpook Math. J.
[7] F. Jones (1993), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and
Bartlett Publishers Inc., Boston-London.
33
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[8] S. G. Krantz (1999), A Panorama of Harmonic Analysis, The Carus
Mathematical Monographs, no. 27, The Mathematical Association of
America, USA.
[9] E. H. Lieb and M. Loss (1997), Analysis, Graduate Studies in Math, 14,
AMS, Providence, Rhode Island.
[10] F. Nazarov, S. Treil, and A. Volberg (1998), ”Weak type estimates
and Cotlar inequalities for Calderon- Zygmund operators on nonhomogeneous spaces”, Internat. Math. Res. Notices, no. 9, 463-487.
[11] J. Peetre (1969), ”On the theory of Lp,λ spaces”, Journal of Functional
Analysis, no. 4, 71-87.
[12] I. Sihwaningrum dan H.P. Suryawan (2008), ”Operator integral fraksional dan ketaksamaan Olsen di ruang Lebesgue tak homogen”, Makalah
dipresentasikan pada Simposium Analisis dan Aplikasinya, Universitas
Gadjah Mada, Yogyakarta.
[13] E. M. Stein (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of
Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
[14] E. M. Stein (1993), Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscilatory Integrals, Princeton University Press, Princeton,
New Jersey.
[15] C. T. Zorko (1986), ”Morrey Space”, Proceeding of the American Mathematical Society, volume 98 no. 4, 586-592.
34