OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG TAK HOMOGEN TESIS

  

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

DAN KETAKSAMAAN OLSEN

DI RUANG TAK HOMOGEN

TESIS

  Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung

  Oleh HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN

  NIM : 20106006 Program Studi Matematika

  INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008

  

ABSTRAK

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

DAN KETAKSAMAAN OLSEN

DI RUANG TAK HOMOGEN

  Oleh Herry Pribawanto Suryawan

  NIM : 20106006 Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperu- mum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut. Kata kunci

  : Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue tak homogen, Ruang Morrey tak homogen yang diperumum

  

ABSTRACT

FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS

AND OLSEN’S INEQUALITIES

ON NON-HOMOGENEOUS SPACES

  By Herry Pribawanto Suryawan

  NIM : 20106006 In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.

  Key words : Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous

  Lebesgue spaces, Generalized non-homogeneous Morrey spaces

  

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

DAN KETAKSAMAAN OLSEN

DI RUANG TAK HOMOGEN

  Oleh Herry Pribawanto Suryawan

  NIM : 20106006 Program Studi Matematika

  Institut Teknologi Bandung Bandung, Februari 2008

  Telah diperiksa dan disetujui oleh Pembimbing

  Prof. Dr. Hendra Gunawan

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

  Tesis Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di perpus- takaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan keten- tuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperke- nankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menye- butkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung.

  T uhan adalah gembalaku, takkan kekurangan aku. Ia membaringkan aku di padang yang berumput hijau, Ia membimbing aku ke air yang tenang;

  Ia menyegarkan jiwaku. Ia menuntun aku di jalan yang benar oleh karena namaNya. Sekalipun aku berjalan dalam lembah kekelaman aku tidak takut bahaya, sebab Engkau besertaku; gadaMu dan tongkatMu, itulah yang menghibur aku. Engkau menyediakan hidangan bagiku, di hadapan lawanku; Engkau mengurapi kepalaku dengan minyak; pialaku penuh melimpah. Kebajikan dan kemurahan belaka akan mengikuti aku, seumur hidupku; dan aku akan diam dalam rumah TUHAN sepanjang masa.

  (MAZMUR 23: 1-6)

  Untuk Mama dan seluruh keluargaku dan untuk mengenang Papa. Kata Pengantar

  Segala puji syukur, hormat, dan kemuliaan untuk Tuhan Yesus Kristus, atas kasih dan tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Banyak hal terjadi selama penulis menempuh studi dan menulis tesis ini, namun penulis menyadari semua itu merupakan bagian dari rencana Tuhan yang indah untuk hidup penulis. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa tesis ini tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan moral, material, dan doa dari berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis menyam- paikan terima kasih kepada:

  (1) Prof. Dr. Hendra Gunawan, yang telah berkenan dengan sabar mem- bimbing penulis, memberikan ilmu, ide, saran, teguran, dan perhatian yang sangat berharga bagi penulis. (2) Dr. Wono Setya Budhi dan Dr. Yudi Soeharyadi, yang telah berke- nan menjadi penguji pada ujian tesis ini dan memberikan masukan yang sangat berarti. (3) Dr. Irawati dan Dr. Hilda Assiyatun sebagai wali akademik, yang telah memberikan pengarahan kepada penulis selama menempuh pro- gram magister di Institut Teknologi Bandung.

  (4) Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika ITB, yang telah membagikan ilmu dan pengalamannya yang sangat berharga. Khususnya penulis mengucapkan terimakasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan, Dr. Wono Setya Budhi, Dr. Jalina Widjaya, Dr. Irawati, Dr. M. Intan Detiena, Dra. Muliana H. Arinardi, M.Si, Prof. Dr. Edy Soewono, Dr. Oki Neswan, dan Dr. Achmad Muchlis. (5) Yayasan Sanata Dharma dan Universitas Sanata Dharma, yang telah memberikan beasiswa dan kemudahan, sehingga penulis dapat menem- puh pendidikan di ITB dengan baik dan lancar. (6) Rekan-rekan di ITB dan di USD, atas dukungan dan perhatiannya ke- pada penulis. Secara khusus penulis ingin berterimakasih kepada Ibu

  Dra. Idha Sihwaningrum, M.Sc, rekan satu bimbingan, yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini melalui diskusi, ide, saran, dan perhatiannya. (7) Mama Yuniati, kakak-kakakku, dan seluruh keluargaku atas doa, perha- tian, dan kasih sayangnya kepada penulis.

  (8) Sahabatku dalam suka dan duka, Anton Wardaya, yang tidak pernah bosan membagikan kasih Allah, dukungan, doa, dan bantuan kepada penulis. (9) Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini tersele- saikan dengan baik, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

  Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca.

  Bandung, Januari 2008 Penulis Daftar Isi

  Abstrak ii

  Abstract iii

  Halaman Pengesahan iv

  Pedoman Penggunaan Tesis v

  Halaman Persembahan vi

  Kata Pengantar vii

  Daftar Isi ix

  1 Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.3 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5

  2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak Ho- mogen _{n p}

  7 2.1 Keterbatasan Operator M di Ruang L (µ) . . . . . . . . . . . _n

  7

  2.2 Keterbatasan Operator I di Ruang Lebesgue Tak Homogen . . 15 _α n

  2.3 Keterbatasan Operator I di Ruang Morrey Tak Homogen yang _α Diperumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen _p

  27

  3.1 Ketaksamaan Olsen di Ruang L (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . 27 _p,φ

  3.2 Ketaksamaan Olsen di Ruang M (µ) . . . . . . . . . . . . . . 28

  4 Kesimpulan

  32 Daftar Pustaka

  33

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

  Salah satu objek kajian dalam Analisis Fourier adalah operator integral. Di dalam tesis ini akan dipelajari salah satu operator integral yang dikenal sebagai operator integral fraksional atau sering juga disebut potensial Riesz. Operator ini pertama kali dipelajari oleh Hardy, Littlewood, dan Sobolev pada sekitar tahun 1930. Operator ini dapat diperoleh melalui transformasi Fourier dari operator Laplace (lihat Stein [13] hal. 117 atau Lieb and Loss [9] hal. 123). _d Untuk fungsi f yang terdefinisi pada R dan α ∈ R dengan 0 < α < d, operator integal fraksional (orde α) I α didefinisikan sebagai

  Z f 1 (y)

  I f dy _{α (x) := d d −α} γ

  (α) |x − y|

  

R

  dengan _{d −α} Γ( )

  2 γ .

  (α) = _{α 2 d α} 2 π Γ( ) _p

  2 Notasi L menyatakan ruang Lebesgue, yaitu ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi _p

  < terukur f sehingga kf k L ∞ dengan _{1 p} µZ ¶ _{p p} kf k L = |f (y)| dy , 1 ≤ p < ∞ _d

  R dan _∞ © ª _d . kf k L = ess sup

  |f (x)| : x ∈ R Hardy, Littlewood, dan Sobolev telah membuktikan bahwa operator I α terbatas _{p q} dari L ke L , yakni _{q p} f _{α d} kI α k L ≤ C kf k L (1.1)

  1

  1

  untuk = − dan 1 < p < . Ketaksamaan (1.1) ini dikenal sebagai _{q p d α} ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev (lihat Stein [14]). Dari ketaksamaan ini dapat dikatakan bahwa operator I α memetakan fungsi f menjadi fungsi f lain, yaitu I α , yang secara lokal bersifat lebih baik dalam hal keterintegralan. Selanjutnya pada tahun 1987 F. Chiarenza dan M. Frasca memperlihatkan keterbatasan operator I α di ruang Morrey, yang merupakan perumuman dari _p ruang Lebesgue. Apabila L menyatakan ruang Lebesgue lokal —ruang kelas- _loc kelas ekuivalen fungsi terukur f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak _d

  K berlaku dari R Z _{p p,λ K} |f (x)| dx < ∞, _p maka ruang Morrey L didefinisikan sebagai ruang semua fungsi f ∈ L _loc sehingga ₁

  ¶ Z _{p p,λ} µ 1 _p kf k := sup |f (y)| dy < ∞ (1.2) _{L λ B (x,r) B} r

  (x,r) _d dan berjari-jari r, dan 0 ≤ λ ≤ d.

  dan B(x, r) adalah bola dengan pusat x ∈ R _{p,λ p} Khususnya untuk λ = 0 diperoleh L = L . Perhatikan dari (1.2) diperoleh bahwa terdapat C > 0 sehingga untuk 0 ≤ λ ≤ d berlaku

  Z

  1 _{p λ} |f (y)| dy ≤ C r _{B (x,r)} atau Z _{p λ} dy . _B |f (y)| ≤ C r

  (x,r) Hasil Chiarenza dan Frasca adalah ketaksamaan berikut _{q,λ p,λ} f _{d α} kI α k L ≤ C kf k L

  

1

  1

  untuk 1 < p < , 0 < λ < d − αp, dan = − . Dalam pembuktian keter- _{α q p d −λ p,λ q,λ} batasan I α dari L ke L , Chiarenza dan Frasca memanfaatkan keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood (klasik)

  Z

  1 M f (x) = sup |f (y)| dy _{r> r d B p,λ} (x,r) di L (lihat Chiarenza and Frasca [1]).

  Dalam penelitian sepuluh tahun terakhir telah diperlihatkan bahwa kondisi doubling di dalam analisis Fourier bukanlah hal yang esensial tapi dapat diganti dengan kondisi growth. Hal inilah yang memotivasi munculnya pengertian ruang tak homogen (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5], Garcia-Cuerva and _d

  Gatto [4], dan Nazarov, et al. [10]). Ruang tak homogen adalah ruang R yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif µ yang memenuhi kondisi growth. Ini berbeda dengan ruang homogen yang dilengkapi dengan ukuran yang memenuhi kondisi doubling. Diberikan kubus dengan panjang sisi l, Q(l) _{d d} dikatakan memenuhi kondisi doubling apabila di R , maka ukuran µ pada R untuk terdapat C > 0 sehingga

  µ (Q(2l)) ≤ C µ(Q(l)). Sementara itu ukuran µ dikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila terdapat C > 0 sehingga _n

  µ (Q(l)) ≤ C l untuk suatu n ∈ R dengan 0 < n ≤ d.

  Dengan menggunakan pengertian ukuran growth tersebut di atas dapat dide- finisikan ruang Lebesgue tak homogen serta ruang Morrey tak homogen yang p

  diperumum. Ruang Lebesgue tak homogen L (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang _p < kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga kf k L ∞, dengan ₁ (µ) _p µZ ¶ _{p p} dµ , kf k L = |f (y)| (y)

  (µ) _d R

  dan _∞ © ª _d . kf k L = ess sup

  (µ) |f (x)| : x ∈ R

  © ª _d Di sini ess sup menyatakan batas atas terkecil esensial dari

  |f (x)| : x ∈ R _p |f |. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, L (µ), adalah ruang kelas-kelas _{loc d} berlaku ekuivalen f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di R

  Z _p dµ _K |f (y)| (y) < ∞ _p,φ dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum M (µ) didefinisikan sebagai _p ruang dari semua fungsi f ∈ L (µ) sehingga _{loc 1} ¶

  Z _{p p,φ} 1 µ 1 _p kf k := sup |f (y)| dµ (y) < ∞

  M (µ) _{r> φ r n}

  (r) Q

  (x,r)

  dan untuk p = ∞ _{∞ ,φ}

  1 _∞ kf k := sup kf k L

  (Q) M (µ) _Q φ (Q)

(x,r)

  dengan φ adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa kondisi tertentu. Khu- _n

  

− p,φ p

_p

  susnya untuk φ(t) = t maka didapat M (µ) = L (µ) dan untuk φ(t) = c,

  ∞,φ ∞ suatu fungsi konstan positif maka didapat M (µ) = L (µ).

  Selanjutnya operator integral fraksional (orde α) dalam konteks ruang tak _p homogen L (µ) dengan µ ukuran growth orde n, didefinisikan sebagai Z _n f (y)

  I f dµ _α (x) := (y) _{d n −α} |x − y|

  R dengan α, n ∈ R dan 0 < α < n ≤ d (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5]).

  Pokok pembahasan di dalam tesis ini adalah masalah keterbatasan operator n p p,φ

  I di ruang tak homogen, khususnya L (µ) dan M (µ), dan untuk hal itu _{α n} akan dibahas juga operator maksimal Hardy-Littlewood M yang didefinisikan sebagai

  Z _n

  1 M f (x) := sup |f (y)| dµ(y). _{r> r n Q n p} (x,r) Khususnya akan dibuktikan bahwa M terbatas di L (µ), yakni terdapat C > 0 sehingga _{n p p} f , kM k L ≤ C kf k L

  (µ) (µ) untuk p > 1. _n

  Catat bahwa untuk n = d diperoleh M = M yaitu operator maksimal Hardy- Littlewood klasik.

  1.2 Tujuan Penulisan _n

  Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator I di ruang Lebesgue _α tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Selanjutnya _d akan ditunjukkan keterbatasan untuk suatu fungsi W yang terdefinisi pada R _{p p,φ} operator W I α di ruang L (µ) dan M (µ). Hasil penulisan tesis ini diharapkan _n dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai keterbatasan operator I _{p p,φ α} serta ketaksamaan Olsen di ruang tak homogen, khususnya L (µ) dan M (µ).

1.3 Sistematika Penulisan Sistematika dari tesis ini adalah sebagai berikut.

  Bab 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, tin- jauan pustaka, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. _n Pada bab 2 dibuktikan keterbatasan operator I di ruang Lebesgue tak ho- _α mogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Subbab pertama n

  memberikan bukti keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood M di _{p n} ruang L (µ). Subbab kedua membahas keterbatasan operator I di ruang _{α n} Lebesgue tak homogen dengan memanfaatkan keterbatasan operator M di ruang tersebut. Sementara pada subbab ketiga akan dibuktikan keterbatasan _n operator I di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. _{α p p,φ} Bab 3 menyajikan hasil yaitu ketaksamaan Olsen di ruang L (µ) dan M (µ). _p

  Pada subbab pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang L (µ). Selanjut- _p,φ nya pada subbab kedua dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang M (µ).

  Bab 4 merupakan kesimpulan yang memberikan penegasan tentang hasil te- muan yang diperoleh dari fakta yang telah dibicarakan pada bab-bab sebelum- nya.

Bab 2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak Homogen

  n p

  

2.1 Keterbatasan Operator M di Ruang L (µ)

_n

  Pada bagian ini akan dibahas operator maksimal M , khususnya akan diper- _{n p} lihatkan bahwa M bersifat terbatas di ruang L (µ). Hasil ini cukup penting _n karena akan dipergunakan dalam pembuktian keterbatasan operator I dari _{p q α} L (µ) ke L (µ) untuk suatu q > p.

  Dalam hal ukuran Lebesgue, sifat invarian terhadap translasi dan sifat dilasi merupakan alat yang sangat baik dalam pengembangan Analisis Fourier. Su- atu perluasan dari hal ini adalah konsep ruang tipe homogen, yaitu ruang kuasi-metrik yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif yang meme- nuhi kondisi doubling, artinya untuk setiap kubus Q, ukuran dari kubus yang didilasi dua kali, 2Q, didominasi oleh ukuran kubus semula (lihat Krantz [8]). Penelitian dalam beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa kondisi dou- bling bukanlah hal yang esensial yaitu banyak hasil dalam Analisis Fourier yang tetap berlaku ketika kondisi doubling diganti dengan kondisi growth. Mi- salnya pada F. Nazarov, et al. [10] mengenalkan ruang tak homogen sebagai _d

  —yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif ruang metrik—termasuk R yang memenuhi kondisi growth. _d dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordi- Diberikan kubus Q ⊂ R _d dikatakan memenuhi kondisi growth nat. Ukuran Borel tak negatif µ pada R (orde n) apabila terdapat konstanta C > 0 sehingga _n

  µ (Q) ≤ C l dengan l = l(Q) menyatakan panjang sisi kubus Q dan n bilangan real ter- tentu dengan 0 < n ≤ d. Karena ukuran suatu kubus didominasi oleh panjang sisinya dipangkatkan n, maka ukuran growth (orde n) sering juga disebut se- bagai ukuran berdimensi-n. Untuk suatu k > 0, kQ menyatakan kubus yang sepusat (konsentris) dengan kubus Q tetapi panjang sisinya adalah k kali pan- jang sisi kubus Q, yaitu l(kQ) = k l(Q). Lebih lanjut, Q(x, r) menyatakan kubus yang berpusat di x dan berjari-jari r. Dalam hal ini yang dimaksud dengan jari-jari kubus adalah setengah panjang sisinya. Untuk selanjutnya di dalam seluruh tesis ini, C merupakan konstanta positif yang tidak perlu sama dari satu baris ke baris yang lainnya.

  Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel tak negatif _d yang memenuhi kondisi growth orde n dan 1 ≤ p < ∞. Ingat pada R _p kembali ruang Lebesgue tak homogen L (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang kelas- _p

  < kelas ekuivalen f sehingga kf k L ∞, dengan

  (µ) _{1 p} µZ ¶ _{p p} dµ ,

  kf k L = |f (y)| (y)

  (µ) _d R

  dan _∞ © ª _d . kf k L (µ) = ess sup

  |f (x)| : x ∈ R

  © ª _d Di sini ess sup menyatakan batas atas terkecil esensial dari

  |f (x)| : x ∈ R |f |, yakni

  © ª _{d d} ess sup }.

  |f (x)| : x ∈ R = inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M a.e. − µ pada R _p Dua buah fungsi f dan g di L (µ) dikatakan ekuivalen jika f = g hampir di mana-mana.

  Selanjutnya, ingat fungsi maksimal Hardy-Littlewood Z _n

  1 M f (x) = sup |f (y)| dµ(y). _{r> r n Q n} (x,r) Dalam hal ini M disebut sebagai operator maksimal. Terdapat pendefinisian lain untuk fungsi maksimal yang dikenal sebagai fungsi maksimal tak terpusat yaitu

  Z

  1 M uc f (x) = sup |f (y)| dµ(y). _{Q l n}

  

∋x Q

  Akan diperlihatkan bahwa fungsi maksimal setara titik demi titik (pointwise _d , equivalent) dengan fungsi maksimal tak terpusat. Untuk setiap x ∈ R

  Z Z

  1

  1 |f (y)| dµ(y) = |f (y)| dµ(y) _{n n}

  1

  r _{Q (x,r) Q (x,r)} ( l ) _{n Z}

  2

  2 = |f (y)| dµ(y) _n l _{Q (x,r)}

  Z _n

  1 ≤ 2 sup |f (y)| dµ(y). _{n Q ∋x} l _Q Jadi diperoleh

  Z Z

  1 _n

  1 sup |f (y)| dµ(y) ≤ 2 sup |f (y)| dµ(y). _{r> r Q l n n Q ∋x Q}

  (x,r)

  Dengan kata lain _{n n} M f (x) ≤ 2 M f (x). (2.1) _uc

  Di lain pihak, Z Z

  1

  1 _{n n} |f (y)| dµ(y) ≤ |f (y)| dµ(y) l r _{Q Q}

  (x,r)

  Z

  1 ≤ sup |f (y)| dµ(y). _{r> r n Q (x,r)} Hubungan ini berlaku untuk setiap kubus Q dengan panjang sisi l, sehingga diperoleh

  Z Z

  1

  1 sup |f (y)| dµ(y) ≤ sup |f (y)| dµ(y). _{Q l r> r n n}

  ∋x Q Q (x,r)

  Dengan kata lain, _n M f f _{uc (x) ≤ M (x). (2.2)}

  Dengan demikian dari (2.1) dan (2.2) diperoleh _{n n d} M f f M f _{uc (x) ≤ M (x) ≤ 2 uc (x),} . untuk setiap x ∈ R _{n p} Untuk membuktikan keterbatasan operator M di L (µ) terlebih dahulu dibe- rikan pengertian operator tipe lemah dan tipe kuat serta teorema interpolasi Marcinkiewicz. Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran dan T operator dari _p L (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y . Operator T merupakan operator tipe lemah (p, q), q < ∞ jika untuk setiap λ > 0 berlaku _{q p} ¶

  µ Ckfk _{L (X,µ)} ν {y ∈ Y : |T f (y)| > λ} ≤ .

  λ dan T merupakan operator tipe lemah (p, ∞) jika T merupakan operator ter- _p

  ∞

  batas dari L (X, µ) ke L (Y, ν). Operator T merupakan operator tipe kuat _{p q} (p, q) jika T terbatas dari L (X, µ) ke L (Y, ν), yakni terdapat C > 0 sehingga _{q p} . kT f k L ≤ C kf k L

  (Y,ν) (X,µ) Catat bahwa jika T adalah operator tipe kuat (p, q), maka T tipe lemah (p, q).

  Misalkan T suatu operator tipe kuat (p, q). Tulis E λ = {y ∈ Y : |T f (y)| > λ} maka _{q q} ¯ ¯ q

  Z Z _{q p} ¶ kT f k ¯ T f (x) ¯ L µ Ckfk L

  (Y,ν) (X,µ)

  ¯ ¯ ν (E λ ) = dν ≤ dν ≤ ≤ . _q ¯ ¯ _{E E λ λ} λ λ λ Jadi T operator tipe lemah (p, q). _{p p 1 2} Didefinisikan L (X, µ) + L (X, µ) sebagai ruang semua fungsi f sehingga _{p p 1 2} f < p

  = f +f dengan f ∈ L (X, µ) dan f ∈ L (X, µ). Misalkan p , maka

  1

  2 _{p p}

  1 _{1 p 2}

  2

  1

  2

  berlaku L (X, µ) ⊂ L (X, µ) + L (X, µ) untuk setiap p dengan p _p 1 ≤ p ≤ p 2 .

  Untuk melihat hal ini, ambil sebarang f ∈ L (X, µ) dan k suatu konstanta positif. Tulis   f (x) jika |f (x)| > k f

  (x) =

  1

   jika |f (x)| ≤ k dan

    f

  (x) jika |f (x)| ≤ k f (x) =

  2

   jika |f (x)| > k. Maka diperoleh

  Z Z Z _{p p p p p 1 1 −p 1 −p} |f (x)| dµ = |f (x)| |f (x)| dµ ≤ k |f (x)| dµ _X

1 X

  1

  1 _X

  dan juga Z Z Z _{p p p −p p −p p 2 2 2} |f (x)| dµ = |f (x)| |f (x)| dµ ≤ k |f (x)| dµ. _X

_{p p p p}

  2 _{1 X}

  2 ₂

  2 _{1 X 2} Jadi f ∈ L (X, µ) dan f ∈ L (X, µ) sehingga f ∈ L (X, µ) + L (X, µ).

  1

2 Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian keterbatasan

  operator maksimal di ruang Lebesgue tak homogen. Bukti lengkap teorema ini dapat dilihat pada Duoandikoetxea [2] hal. 29, atau Krantz [8] hal 319, atau Stein [13] hal 21. Teorema 2.1.

  (Teorema interpolasi Marcinkiewicz). Diketahui (X, µ) < p dan (Y, ν) ruang ukuran, 1 ≤ p _{p p 1 2}

  1 2 ≤ ∞ dan T operator sublinear dari

  L (X, µ) + L (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y , yang merupakan tipe , p , p lemah (p ) dan juga merupakan tipe lemah (p ). Maka operator T meru-

  1

  1

  2

  2

  1 2 .

  < p < p pakan tipe kuat (p, p) untuk sebarang p dengan p n p Teorema selanjutnya menyatakan keterbatasan operator M di ruang L (µ).

  Pembuktian teorema ini melibatkan lema cover Vitali yang buktinya dapat dilihat pada Jones [7] hal. 448 atau Stein [13] hal. 9.

  Lema 2.2. (Lema cover Vitali). Diketahui {Q , Q , . . . , Q k , . . . } koleksi _d

  1

  2 Q , ˜ Q , . . . , ˜ Q , . . .

  . Maka ada subkoleksi terhitung kubus { ˜ j } se- kubus di R

  1

  2

  hingga 1. ˜ Q j saling lepas sepasang-sepasang, dan 2. berlaku

  Ã ! [ [ _k Q k ⊆ 3 ˜ Q j _{n j}

  Teorema 2.3. Operator maksimal M memenuhi Z C

  © ª _{d n} µ x f

  : M (x) > λ ≤ |f (x)| dµ(x) ∈ R _d

  λ

  R

  dan _{n ∞ ∞} f . kM k L ≤ Ckf k L

  (µ) (µ)

1 Bukti

  . Ambil f ∈ L (µ) dan didefinisikan © ª _{d n} E λ = x : M f (x) > λ . _{d n} ∈ R f >

  Jika x ∈ E λ dan M (x) > λ, maka terdapat r x 0 sehingga , yaitu x ∈ R

  Z

  1 _n |f (y)| dµ(y) > λ. r _{x Q (x,r x )}

  Lema cover Vitali memberikan koleksi kubus yang saling lepas sepasang- se- , r pasang {Q(x j j )} j , dengan x j ∈ E λ dan r j = r x , sehingga _j

  [ [ E λ ⊂ Q (x, r x ) ⊂ Q (x j , 3r j ). _{x ∈E j λ} Jadi diperoleh

  X µ µ ,

  (E λ ) ≤ (Q(x j 3r j )) _{j n n}

  X ≤ 3 r _{j j}

  Z

  X

  1 ≤ C |f (y)| dµ(y)

  λ _{Q ,r j} (x j j ) Z C

  X ≤ |f (y)| dµ(y)

  λ _{Q ,r j} (x j j ) Z C ≤ |f (y)| dµ(y). _d

  λ

  R

  Di sini kita menggunakan fakta bahwa kubus-kubus Q(x j , r j ) saling lepas sepasang-sepasang. Jadi terbukti Z C

  © ª _{d n} µ x : M f (x) > λ ≤ |f (x)| dµ(x).

  ∈ R _d λ

  R _{d d}

  Untuk bagian selanjutnya, apabila diambil sebarang x ∈ R dan kubus Q ⊂ R yang berpusat di x dan berjari-jari r, maka Z Z

  1

  1 ess _{n n} |f (y)| dµ(y) ≤ sup |f (y)| dµ(y) r r _{Q (x,r) Q (x,r)} Z

  1 _∞ dµ ≤ kf k L (y)

_n

(µ) r _{Q (x,r)}

  Z _∞

  1 dµ = kf k L (y)

  (µ) _n

  r _Q

  (x,r) _∞

  1 = kf k L µ (Q)

  (µ) _{n ∞} r .

  ≤ Ckf k L (µ) Akibatnya

  Z

  1 _∞ sup |f (y)| dµ(y) ≤ Ckf k L _{r> r n Q (x,r)} (µ) atau berarti _{n ∞ ∞} kM f k ≤ Ckf k . _{L (µ) L (µ)} n p Akibat 2.4. Operator maksimal M terbatas di L (µ) untuk 1 < p < ∞ . _{n p}

  Bukti _p . Untuk mendapatkan keterbatasan operator maksimal M dari L (µ) ke L (µ) cukup dengan menerapkan teorema interpolasi Marcinkiewicz pada _n dua hasil di dalam Teorema 2.3. Catat bahwa M merupakan suatu operator _p sublinear. Ambil sebarang f, g ∈ L (µ), 1 < p < ∞, maka Z _n

  1 M (f + g)(x) = sup |(f + g)(y)| dµ(y) _{r> r n Q}

  (x,r)

  Z

  1 ≤ sup (|f (y)| + |g(y)|) dµ(y) _{r> r n Q (x,r)}

  Z Z

  1

  1 ≤ sup |f (y)| dµ(y) + sup |g(y)| dµ(y) _{r> r r> r n n n n Q (x,r) Q (x,r)} = M f (x) + M g (x) dan juga

  Z _n

  1 M (k.f )(x) = sup |(k.f )(y)| dµ(y) _{r> r n Q (x,r)}

  Z

  1 = sup |k||f (y)| dµ(y) _{r> r n Q}

  (x,r)

  Z

  1 = |k| sup |f (y)| dµ(y) _{n r>} r _{Q n} (x,r) f = |k|M (x). _n

  Karena diketahui juga bahwa M merupakan tipe lemah (1, 1) dan juga tipe _n lemah (∞, ∞), maka menurut teorema interpolasi Marcinkiewicz, operator M bertipe kuat (p, p) untuk 1 < p < ∞, yaitu berlaku _{n p p} kM f k L ≤ Ckf k L .

  (µ) (µ) _{n p}

  Dengan kata lain terbukti bahwa operator maksimal M terbatas di L (µ) untuk 1 < p < ∞. n

  2.2 Keterbatasan Operator I di Ruang Le-

  α

  besgue Tak Homogen _{n p}

  Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa operator I terbatas dari L (µ) ke _{q α} L (µ) untuk suatu q > p. Ingat kembali definisi operator integral fraksional di ruang tak homogen sebagai berikut. Untuk 0 < α < n ≤ d dan α, n ∈ R, operator integral fraksional (orde α) adalah

  Z f _n (y) I f dµ _α (x) = (y) _{n d} −α

  |x − y|

  R ∞

  dengan f ∈ L (µ) fungsi dengan tumpuan kompak. _n Pertama perlu dilihat bahwa operator I ini terdefinisi dengan baik. Ker- _α nel dari operator integral ini bersifat singular pada diagonal x = y, namun demikian berlaku

  ∞

  Z Z f

  X (y) _∞

  1 dµ dµ

  (y) ≤ kf k L (y) _n (µ) _n −α _{− − k−1 k} −α |x − y|

  |x − y|

  |x−y|<1

_k

2 ≤|x−y|<2 =0 ∞

  Z

  1 dµ ≤ kf k L

  X _∞

  (y)

  (µ) _{− − k−1 k} (−k−1)(n−α)

  2

_k

2 ≤|x−y|<2 =0 ¡ ¢

  ∞ −k

  X µ Q _∞ (x, 2 ) ≤ kf k L

  (µ) (−k−1)(n−α) _k

  2

  =0 ∞ (−k)n

  2 ≤ kf k L (µ)

  X _∞ C

  (−k−1)(n−α) _k

  2

  =0 ∞ _{n −α −kα ∞}

  X = C 2 kf k _{L (µ) k =0}

  2 < ∞. _n

  Jadi integral yang mendefinisikan I konvergen mutlak. Pada akhirnya ope- _{n p α} rator I ini terdefinisi untuk f ∈ L (µ), 1 ≤ p ≤ ∞ sebab koleksi fungsi _{α p}

  ∞ f ∈ L (µ) dengan tumpuan kompak bersifat padat di L (µ).

  Berikutnya akan dibuktikan ketaksamaan Hedberg yang mempunyai peranan n

  penting dalam pembuktian keterbatasan operator integral fraksional I di ru- _α ang Lebesgue tak homogen.

  Teorema 2.5. (Ketaksamaan Hedberg). Diberikan 0 < α < n dan f _n fungsi terbatas dengan tumpuan kompak. Maka untuk 1 ≤ p < berlaku _{n n n pα pα α}

  1− _n f p M f .

  |I (x)| ≤ Ckf k (x) _{α L (µ)} Bukti . Ambil sebarang t > 0, maka

  Z Z _n |f (y)| |f (y)| f dµ dµ . |I (x)| ≤ (y) + (y) _{α n n}

  −α −α

  |x − y| |x − y|

  |x−y|<t |x−y|≥t

  | {z } | {z } _{A B} Akan dicari batas untuk masing-masing suku di atas yaitu A dan B. Untuk suku pertama, A, berlaku

  Z |f (y)|

  A = dµ (y) _n

  −α

  |x − y|

  |x−y|<t ∞

  Z

  X |f (y)| dµ

  = (y) _{− − k−1 k n −α} |x − y| _k 2 t ≤|x−y|≤2 t =0

  ∞

  Z

  −kα

  2

  X _{n α}

  −α

  t ≤ 2 |f (y)| dµ(y)

  −k n _{− k}

  t (2 ) _{Q x,}

  2 t _k ( ) =0 ∞ _{n −α α −kα n}

  X ≤ 2 t _k

  2 M f (x) _{α n} =0 M f = Ct (x).

  Selanjutnya untuk suku kedua yaitu B pertama kita perhatikan untuk kasus p = 1 sebagai berikut Z

  |f (y)| B dµ

  = (y) _n

  −α

  |x − y|

  |x−y|≥t

  Z

  1 ≤ |f (y)| dµ(y) _n

  −α

  t

  

|x−y|≥t

−(n−α) ₁ .

  ≤ t kf k L

  (µ)

• 1 _{p ′}
• β

• +1

• +β

  ( ^{n p}

  ( ^{n p}

  −

  ³ t ^α M ⁿ f (x) + t

  (x)| ≤ A + B ≤ C

  Jika dipilih p = 1 dan C = 1, maka diperoleh ketaksamaan yang sama dengan kasus p = 1 di atas. Dengan demikian kita memperoleh untuk 1 ≤ p < _α ⁿ berlaku |I ⁿ _α f

  (µ) .

  )kfk L ^p

  −α

  −

  )kfk L ^p

  = Ct

  − ^β _p ^′

  t

  (µ)

  ! ¹ _p ^′ = Ckf k L ^p

  −kβ

  2

  =0

  −α

  (µ)

  ∞

  ! ^α M ⁿ f

  ) kf k L ^p

  −α

  ! − ( ^{n p}

  − ^p _n

  ¶

  (µ)

  M ⁿ f (x) kf k L ^p

  (x) + C õ

  − ^p _n

  ´ untuk setiap t > 0. Selanjutnya dengan memilih t =

  ¶

  (µ)

  M ⁿ f (x) kf k L ^p

  (x)| ≤ C õ

  > dan mensubstitusikannya ke dalam ketaksamaan terakhir, diperoleh |I ⁿ _α f

  − ^p _n

  ¶

  

(µ)

  µ M ⁿ f (x) kf k L ^p

  X _k

  Ã

  Untuk kasus 1 < p < ⁿ _α , pilih β = p

  −α

  ¶ ¹ _p ^′ = kf k L ^p

  (n−α)

  dµ (y) |x − y| ^{p ′}

  |x−y|≥t

  |f (y)| ^p dµ (y) ¶ ¹ _p µZ

  |x−y|≥t

  µZ

  dµ (y) ≤

  |f (y)| |x − y| ⁿ

  µZ

  |x−y|≥t

  Z

  = 1. Maka β > 0, dan dengan menggunakan ketaksamaan H¨older diperoleh B =

  1 _p

  adalah pangkat sekawan dari p yaitu

  ′

  (n − α) − n, dimana p

  ′

  (µ)

  |x−y|≥t

  − ^β _p ^′

  Ã

  2 ^{n p ′} t

  (µ)

  ! ¹ _p ^′ ≤ C kf k _L ^p

  (2 ^k t ) ⁿ

  t ) ¢

  Q (x, 2 ^k

  X _{k =0} µ ¡

  ∞

  (µ)

  dµ (y) |x − y| ^{p ′}

  ! ¹ _p ^′ ≤ kf k L ^p

  dµ (y) |x − y| ⁿ

  2 ^{k t} ≤|x−y|≤2 ^{k+1 t}

  X _{k =0} Z

  ∞

  Ã

  (µ)

  ¶ ¹ _p ^′ = kf k L ^p

  (n−α)

  (µ)

   _{n − n n − +1 pα pα n n}  M f M f M f

  (x) (x) (x) ^p

  = C kf k L

•  pα pα 

  (µ) − − +1 _{p p n n}

  kf k kf k _{L L}

  

(µ) (µ)

    _{n 1− pα n} M f

  (x)  pα 

  = C

  − _{p n}

  kf k _{L pα n n 1−} (µ) _{pα n} = C kf k p M f (x) . _L

  (µ) _{n p}

  f Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal M terbatas di L (µ), maka bukti selesai. _n

  Sekarang akan diperlihatkan bahwa operator integral fraksional I bersifat _{p q α} terbatas dari L (µ) ke L (µ) untuk suatu q > p.

  Teorema 2.6. Diberikan 0 < α < n. _{n p q n α}

  1

  1 1. Operator I terbatas dari L (µ) ke L (µ) untuk 1 ≤ p < dan = − . _{α α α q p n}

  1

  2. Jika = 1 − , maka berlaku _{q n q 1} ¶ µ C kfk L

  © ª (µ) _d µ x f .

  : |I α (x)| > λ ≤ ∈ R

  λ Bukti .

  1. Dari Ketaksamaan Hedberg diperoleh _{n n n 1− pα p pα n} |I f (x)| ≤ Ckf k M f (x) _{α L}

  (µ)

  yang berakibat _{1 1} µZ ¶ µZ ¶ _{n q n n 1− q p α q q pα}

  ( n |I f (x)| dµ (x) ≤ Ckf k p |M f (x)| ) dµ(x) _{α L d d} (µ) R R _{1 p α q n p f dµ} µZ ¶ _{n p}

  = Ckf k |M (x)| (x) _L

  (µ) _d R _{1 p p α p q n n p p f dµ} µZ ¶

  = Ckf k |M (x)| (x) _{L (µ) d}

_{p α}

_n

_{p p} R _{n q p} = Ckf k kM f k _{L L}

  (µ) (µ)

  

_{p α}

_n

_q p

  ≤ Ckf k p kf k p _{L L}

_{p α p}

(µ) (µ)

_{n q}

_p

+ = Ckf k _L

_p

(µ) .

  = Ckf k L

  (µ)

  Jadi berlaku _{n q p} f . kI k L (µ) ≤ Ckf k L (µ) _{n p q α} Dengan kata lain terbukti I terbatas dari L (µ) ke L (µ). _α

  2. Untuk p = 1, Ketaksamaan Hedberg memberikan _{n n n 1− α α n} |I f (x)| ≤ Ckf k _{α L} ^{1 M f (x)}

_α

_{n n 1 M f .} (µ) _{1 q}

  = Ckf k (x) _{L n} (µ) Menggunakan fakta bahwa M merupakan operator tipe lemah (1, 1), diper- oleh

   q   

    λ

  © ª _{d d n} µ x f x f  α 

  : |I α (x)| > λ ≤ µ : M (x) > ∈ R ∈ R _n

    C ¹ kf k _{L α q} (µ)

    _n Z C ¹ kf k _L

  (µ)

  ≤   |f (x)| dµ(x) _d λ _{α q} R

    _n C kf k _L ¹

  (µ) ₁

    = kf k L

  (µ)

  λ _{q 1} ¶ µ C kfk _{L (µ)} . =

  λ Ini merupakan ketaksamaan yang ingin dibuktikan. n

  2.3 Keterbatasan Operator I di Ruang Mor-

  α

  

rey Tak Homogen yang Diperumum

_{n p,φ}