9358 12420 1 PB
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
IDEAL FUZZY PADA NEAR-RING
Dwi Ayu Anggraini
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
e-mail : dwiayuanggraini55@gmail.com
Dr.Raden Sulaiman M.Si.
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
e-mail : sulaimanraden@yahoo.com
Abstrak
Diberikan near-ring < , +, . > dan � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring jika �: → 0,1 .
Kemudian � dikatakan ideal fuzzy pada near-ring jika � adalah subnear-ring fuzzy pada near-ring
dan untuk setiap , ,
berlaku : �
=� + − , � .
� , dan �( + . −
. ) �( ).
Dalam jurnal ini akan dibahas beberapa sifat ideal fuzzy pada near-ring , sehingga kita peroleh
hubungan ideal fuzzy pada nearing dan ideal pada near-ring . Kita juga mempelajari peta dan prapeta
homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy di near-ring .
Kata kunci : near-ring, homomorfisma, subhimpunan fuzzy, ideal fuzzy pada near-ring
.
Abstract
Let < , +, . > be near-ring and � is fuzzy subset of a near-ring if �: → 0,1 . Then � is said to be
fuzzy ideals of near-ring if � is fuzzy subnear-ring of near-ring and for any , ,
such that
�
=� + − , � .
� , and �( + . − . ) �( ).
In this paper will be studied character fuzzy ideals of near-ring , such that we get the relation between
fuzzy ideals of near-ring and ideals of near-ring . We also study the homomorphic image and
preimage of fuzzy ideals of near-ring .
Keyword : near-ring, homomorphic, fuzzy subset, fuzzy ideals of near-ring
.
Himpunan fuzzy merupakan salah satu ilmu dari
matematika. Himpunan fuzzy diperkenalkan pertama kali
oleh L.A.Zadeh (1965) sebagai perluasan dari himpunan
klasik. Jika himpunan klasik mempunyai derajat
keanggotaan 0 dan 1, lain halnya dengan himpunan
fuzzy. Himpunan fuzzy mempunyai derajat keanggotaan
yang terletak pada interval [0,1].
Berdasarkan penelitian Abou-Zaid (1991) yang
melakukan fuzzyfikasi pada struktur near-ring diperoleh
definisi fuzzy near-ring, fuzzy subnear-ring dan ideal
fuzzy near-ring (S.Abdurrahman,dkk.2012). Dari
definisi-definisi dan teorema-teorema yang ada
diharapkan dalam penelitian ini akan didapatkan
gambaran tentang hubungan ideal pada near-ring dan
ideal fuzzy pada near-ring melalui sifat-sifat yang ada
pada ideal fuzzy near-ring.
PENDAHULUAN
Matematika adalah suatu alat untuk berfikir secara
logika, sehingga didalamnya terdapat penalaranpenalaran yang nantinya akan berguna untuk
menyelesaikan masalah baik secara teori maupun secara
nyata. Matematika dapat dibagi dalam berbagai rumpun,
misalnya rumpun analisis, aljabar, dan statistik.
Selanjutnya setiap rumpun akan dibagi menjadi beberapa
bidang, misalnya rumpun aljabar terbagi dalam berbagai
bidang, seperti aljabar linier elementer, aljabar abstrak,
dan aljabar linier. Demikian pula dengan rumpun-rumpun
lainnya. Beberapa rumpun dalam matematika memiliki
keterkaitan konsep. Misal konsep near-ring pada bidang
aljabar abstrak yang akan penulis gabungkan dengan
konsep himpunan fuzzy.
Near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring,
dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus
berlaku pada near-ring. Operasi pertama pada sebarang
near-ring tidak harus komutatif, sedangkan terhadap
operasi pertama dan operasi kedua cukup dipenuhi salah
satu sifat distributif kiri atau kanan. Seiring dengan
perkembangan zaman, penelitian tentang near-ring tidak
hanya memuat pada strukturnya tetapi mulai dipadukan
dengan teori lain, diantaranya dengan himpunan fuzzy.
METODE PENULISAN
Metode yang digunakan dalam menyusun makalah ini
adalah metode kajian pustaka, yaitu demakalah teoritis
mengenai objek yang akan dibahas dengan cara mencari,
memahami, mendalami dan mengidentifikasi pengetahuan
yang ada dalam kepustakaan (sumber buku bacaan,
referensi, jurnal, atau hasil penelitian lain untuk
menunjang penelitian). Adapun jurnal utama yang
36
MATHunesa (Volume 3 No 3)
digunakan adalah On Fuzzy Ideals of Near-ring (Seung
Dong Kim dan Hee Sik Kim,1996).
Lemma 1
Diberikan sebarang �, � �(�),
[0,1].
1. Jika �( ) �( ) maka � � ,⩝
[0,1] .
2. Jika
maka � � ,⩝ ,
3. �
=�
jika dan hanya jika � = � ,
⩝
[0,1].
KAJIAN PUSTAKA
Definisi 1
Suatu himpunan tak kosong
dengan dua operasi
biner yaitu " + " dan " . " disebut near-ring, jika :
1. < , +> merupakan suatu grup (tidak harus
komutatif)
2. < , . > merupakan semigrup.
3. Untuk setiap , ,
berlaku salah satu sifat
distributif kanan atau kiri
i. Distributif kanan : + . = . + .
ii. Distributif kiri
: . + = . + .
Jika near-ring memenuhi sifat ( i ) maka kita sebut
near-ring kanan. Sebaliknya, jika near-ring memenuhi
sifat ( ii ) maka kita sebut near-ring kiri.
dengan operasi + dan . yang membentuk near-ring
dinotasikan dengan < , +, . >.
Definisi 7
Diberikan < , +, . > adalah suatu near-ring dan �
adalah subhimpunan fuzzy di near-ring . Maka �
disebut near-ring fuzzy di jika
1. �( + ) min{� , � } untuk setiap ,
.
2. � −
�
untuk setiap ,
.
3. �( . ) min � , �
untuk setiap ,
.
Definisi 8
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
subhimpunan fuzzy pada near-ring
. Subhimpunan
fuzzy � di near-ring disebut subnear-ring fuzzy pada
near-ring jika untuk setiap ,
berlaku :
1. � −
min � , �
2. � .
min{� , � }
Definisi 2
Diberikan near-ring . Suatu subgrup normal � dari
< , +> disebut ideal di jika
1. � �.
2.
+� −
� untuk setiap ,
dan untuk
setiap � �.
Subgrup normal � dari < , +> yang memenuhi (1)
disebut ideal kiri di , sedangkan subgrup normal � di
< , +> memenuhi (2) disebut ideal kanan di .
Definisi 3
Diberikan near-ring dan . Fungsi �: →
homomorfisma near-ring jika untuk setiap ,
1. � +
=� �
2. � . = �
∗ �( )
2014
PEMBAHASAN
Definisi 9
Diberikan � adalah subnear-ring fuzzy pada near-ring
, � disebut ideal fuzzy pada near-ring
jika untuk
setiap , ,
berlaku :
1. �
=� + −
2. � .
�
3. � ( + . ) − ( . )
�( )
suatu � disebut ideal kiri fuzzy pada near-ring jika
memenuhi syarat (1) dan (2). Sedangkan � disebut ideal
kanan fuzzy pada near-ring jika memenuhi syarat (1)
dan (3).
disebut
:
Definisi 4
Diberikan � adalah himpunan tidak kosong. Suatu
fungsi � disebut subhimpunan fuzzy di � jika �: � →
0,1 . Selanjutnya himpunan semua subhimpunan fuzzy
di � dinotasikan � � dan peta dari � dinotasikan dengan
� � = {�( )|
�}.
Lemma 2
Diberikan near-ring . Jika � adalah subnear-ring
fuzzy pada near-ring , maka untuk setiap
1. �(0 ) �( )
2. � − = �
Sifat-sifat Ideal Fuzzy Pada Near-ring
Definisi 5
Diberikan sebarang �, � �(�), maka
1. � = � jika �
= � ,⩝
�.
� ,⩝
�.
2. � � jika �
3. Irisan dari dua subhimpunan fuzzy � dan �
didefinisikan dengan
� �
= min {� , �( )},⩝
�.
Berikut dijelaskan sifat dari ideal fuzzy pada nearring yang berhubungan dengan subhimpunan level �
dari �.
Teorema 1
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
subhimpunan fuzzy pada near-ring
. Maka
subhimpunan level � adalah ideal pada near-ring
untuk setiap
0,1 ,
�(0 ) jika dan hanya jika �
adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Definisi 6
Diberikan � �(�) dan
[0,1]. Subhimpunan
level di � dinotasikan dengan � yang didefinisikan
dengan, � = {
�|�( )
}.
37
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
Berdasarkan analisis diatas, maka
� 0 dan
0
bukan
ideal
.
�
yang
mengakibatkan
�
0 0
0
0
pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada
near-ring
untuk setiap
[0,1] , sehingga
pengandaian salah, seharusnya �( . ) �( ) untuk
setiap ,
.
e) Akan ditunjukkan �( + . − . ) �( ) untuk
setiap , ,
. Andaikan ada 0 , 0 , 0
sedemikian
hingga � ( 0 + 0 ) . 0 − 0 . 0 <
�( 0 ).
1
Pilih
0 = (� ( 0 + 0 ) . 0 − 0 . 0 + � 0 ) ,
Bukti :
Diberikan near-ring
dan � adalah subhimpunan
fuzzy pada near-ring .
a) Akan ditunjukkan � −
min � , �
untuk setiap ,
. Andaikan ada 0 , 0
sedemikian hingga � 0 − 0 < min � 0 , � 0
1
Pilih 0 = � 0 − 0 + min � 0 , � 0 , maka
2
min � 0 , � 0 > 0 > � 0 − 0 ↔ � 0 >
� 0 > 0 � 0 − 0 < 0.
0
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 , 0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0 bukan ideal
0. 0
pada near-ring near-ring . Kontradiksi dengan
� ideal pada near-ring untuk setiap
[0,1]
sehingga pengandaian salah, seharusnya � −
min{� , � } untuk setiap ,
.
b) Akan ditunjukkan � .
min{� , � } untuk
setiap ,
. Andaikan ada 0 , 0
sedemikian
hingga � 0 . 0 < min{� 0 , � 0 } .
1
Pilih 0 = � 0 . 0 + min � 0 , � 0 , maka
2
min � 0 , � 0 > 0 > � 0 . 0 ↔ � 0 >
� 0 > 0 � 0 − 0 < 0.
0
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 , 0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0 bukan ideal
0. 0
pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada
near-ring untuk setiap
[0,1] sehingga
pengandaian salah, seharusnya
� .
min{� , � } untuk setiap ,
.
c) Akan ditunjukkan �( ) = �( + − ), untuk setiap
,
.
(∗) Andaikan ada 0 , 0
sedemikian hingga
� 0 > �( 0 + 0 − 0 ) .
1
Pilih 0 = (� 0 + � 0 + 0 − 0 ), maka
2
�( 0 ) > 0 > �( 0 + 0 − 0 ) ↔ �( 0 ) > 0
�( 0 + 0 − 0 ) < 0 .
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0 bukan
0 + 0 − 0
ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal
pada near-ring untuk setiap
[0,1], sehingga
pengandaian salah, seharusnya �( ) �( + − )
untuk setiap ,
.
(∗∗)Andaikan ada 0 , 0
sedemikian hingga
� 0 < �( 0 + 0 − 0 ) .
1
Pilih 0 = (� 0 + � 0 + 0 − 0 ), maka
2
� 0+ 0− 0 > 0>� 0 ↔� 0+ 0− 0 >
� 0 < 0.
0
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 + 0 − 0 � 0
dan 0 � 0 yang mengakibatkan � 0 bukan ideal
pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada
near-ring untuk setiap
[0,1], sehingga
pengandaian salah, seharusnya �( ) �( + − )
untuk setiap ,
.
d) Akan ditunjukkan �( . ) �( ) untuk setiap
,
.Andaikan ada
sedemikian
0, 0
hingga � 0 . 0 < �( 0 ) .
1
Pilih 0 = (� 0 . 0 + � 0 ), maka � 0 > 0 >
2
� 0 . 0 ↔ � 0 > 0 � 0 . 0 < 0.
2
maka
� �0 > 0 > � 0 + �0 . 0 − 0 . 0 ↔
� �0 > 0 � 0 + �0 . 0 − 0 . 0 < 0 .
Berdasarkan analisa di atas, maka �0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0
0 + �0 0 − 0 0
bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan �
ideal pada near-ring
untuk setiap
[0,1] ,
sehingga pengandaian salah, seharusnya � ( +
� . − . < �(�), untuk setiap , , �
.
Jadi terbukti bahwa jika � adalah ideal pada nearring maka � adalah ideal fuzzy pada near-ring .
(←) Akan dibuktikan jika � adalah ideal fuzzy pada nearring maka untuk setiap
0,1 dan
�(0 ),
� adalah ideal pada near-ring .
1) Karena � ≠ ∅ maka ada ,
� sedemikian hingga
�( )
dan �( )
.
� −
min{� , � } min{ , }
Sehingga untuk setiap ,
� berlaku �( − )
dan −
�.
2) Karena � ≠ ∅ maka ada ,
� sedemikian
hingga �( )
dan �( )
. Maka
� .
min{� , � } min{ , }
Sehingga untuk setiap ,
� berlaku �( . )
dan .
�
3) Karena � ≠ ∅ maka ada ,
� sedemikian hingga
�( )
dan �( )
. Maka � + −
=
�( )
Sehingga untuk setiap ,
� berlaku �( + −
)
dan + −
�.
4) Misalkan
� dan
sedemikian hingga
�( )
. Maka �( . ) �( )
Sehingga untuk setiap
� dan
berlaku
�( . )
dan .
�.
5) Misalkan
�
dan
,
sedemikian
hingga �( )
. Maka
�( + . − . ) �( )
Sehingga untuk setiap
� dan ,
berlaku
�( + . − . )
dan
+ . − .
�.
Jadi berdasarkan analisis di atas � adalah ideal pada
near-ring .
38
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
Karena � � = {0, } , maka kita peroleh � 0 +
sehingga
dan � 0 =
0 . 0 − 0 . 0 = 0
.
−
.
�
dan
�.
Akibatnya
�
+
0
0
0
0
0
0
bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan �
ideal pada near-ring , sehingga pengandaian salah.
Seharusnya �( + . − . ) �( ) untuk setiap
, ,
.
4) Akan dibuktikan � = �.
Berdasarkan definisi � maka
� =
�
={
|�
=
�
> }
=
�
= =�
Jadi ada � ideal fuzzy pada near-ring sedemikian
hingga � = �.
Teorema 2
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
subhimpunan fuzzy pada near-ring . Jika � adalah ideal
pada near-ring , maka untuk setiap
(0,1) , ada �
ideal fuzzy pada near-ring sedemikian hingga � = �.
Bukti :
Misalkan subhimpunan fuzzy � pada near-ring
didefinisikan dengan
,
�
,dengan
(0,1).
�
=
0,
�
Akan ditunjukkan ada � ideal fuzzy pada near-ring
sedemikian hingga � = �.
1) Ambil sebarang ,
.
a) Jika ,
� , maka �
= 0 dan �
=0
sehingga
� −
0 = min{� , � }
� .
0 = min
{� , � }
� .
0 = �( )
b) Jika ,
� , maka −
� dan .
�
sehingga
� −
0 = min � , �
� .
0 = min
{� , � }
� .
0 = �( )
c) Jika
� dan
� , maka �
= dan
�
= 0 sehingga
� −
0 = min � , �
� .
0 = min
{� , � }
� .
0 = �( )
Jadi berdasarkan (a), (b), dan (c) maka
�( − ) min
{� , � }
�( . ) min
{� , � }
�( . ) �
2) Akan dibuktikan �
= �( + − ) untuk setiap
,
.
Andaikan ada
sedemikian hingga
0, 0
� 0 < �( 0 + 0 − 0 ) . Karena � � = {0, } ,
maka kita peroleh � 0 = 0 dan � 0 + 0 − 0 =
sehingga 0 � dan 0 + 0 − 0 � . Karena �
adalah ideal pada near-ring
maka � subgrup
normal di
sehingga 0 − 0 + 0 + 0 − 0 −
[ 0 − 0 ] dan diperoleh 0 � . Kontradiksi dengan
� sehingga pengandaian salah, seharusnya
0
�
�( + − ) untuk setiap
,
.
Selanjutnya, andaikan ada 0 , 0
sedemikian
hingga � 0 > �( 0 + 0 − 0 ) .Karena � � =
{0, }, maka kita peroleh � 0 = dan � 0 + 0 −
� dan 0 + 0 − 0 � .
0
0 = 0 sehingga
Akibatnya � bukan subgrup normal di Kontradiksi
dengan � subgrup normal di sehingga pengandaian
salah. Seharusnya �
�( + − ) untuk setiap
,
.
Berdasarkan analisis di atas, maka �
= �( + −
) untuk setiap ,
.
3) Akan dibuktikan �( + . − . ) �( ) untuk
setiap , ,
.
Andaikan ada 0 , 0 , 0
sedemikian hingga
� 0 + 0 . 0 − 0 . 0 < �( 0 ).
Teorema 3
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
ideal fuzzy pada near-ring . Maka dua subhimpunan
level � 1 dan � 2 di � dengan 1 < 2 adalah sama jika
dan hanya jika tidak ada
sedemikian sehingga
�(
)
<
.
1
2
Bukti :
→ Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring dan
� 1 = � 2 dengan 1 < 2 . Akan dibuktikan tidak ada
sedemikian sehingga 1 �( ) < 2 .
Andaikan ada
sedemikian sehingga 1
�( ) < 2 , maka �( )
< 2 sehingga
1 dan �
� 2.
� 1 dan
Berdasarkan analisis di atas, maka � 1 ≠ � 2 .
Kontradiksi dengan � 1 = � 2 , sehingga pengandaian
salah. Seharusnya tidak ada
sedemikian
sehingga 1 �( ) < 2 .
(←) Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring dan
tidak ada
sedemikian sehingga 1 �( ) < 2 .
Akan dibuktikan � 1 = � 2 dengan 1 < 2 .
Ambil sebarang
� 2 , maka �
2 > 1 yang
mengakibatkan �
> 1 sehingga
� 1 dengan
kata lain � 2 � 1 .
Selanjutnya, ambil sebarang
� 1 , maka �( )
sedemikian
1 . Karena �( )
1 dan tidak ada
sehingga 1 �( ) < 2 , maka �( ) ≮ 2 yang
mengakibatkan �( )
� 2 dengan
2 sehingga
kata lain � 1 � 2 .
Berdasarkan analisis di atas, maka � 1 = � 2 dengan
1 < 2.
Selanjutnya dijelaskan sifat dari keluarga ideal pada
near-ring
yang sama dengan keluarga semua
subhimpunan level pada near-ring .
Teorema 4
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
ideal fuzzy pada near-ring
. Jika � � =
{ 1 , 2 , … , }, dimana 1 < 2 < ⋯ < , maka keluarga
ideal {� � |1 �
} pada near-ring adalah keluarga
semua subhimpunan level di �.
39
2014
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2) �
=� � .
= �(�
∗ � )
min{�(� , � �
= min � , �
Diperoleh � .
min � , �
,⩝ ,
.
3) � + − = �(� + − )
= �(� � −′ � )
=� �
= �( )
Diperoleh � + −
= � ,⩝ ,
.
4) � . = �(� . )
= �(�
∗ �
� �
= �( )
Diperoleh � .
� ,⩝ ,
.
5) �( + . − . )) = �(�( + . − . ))
= �( � �
∗
� −′ �
∗� )
� �
= �( )
Diperoleh �( + . − . )) �( ),⩝ , ,
.
Jadi berdasarkan analisis di atas � adalah ideal fuzzy
pada near-ring
.
Definisi 11
Diberikan < , +, . > dan < , +, . > adalah nearring. Jika � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring
dan didefinisikan �: → , maka subhimpuna fuzzy �
pada near-ring didefinisikan dengan
�
= sup {� }
Bukti :
Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring ,
� � = { 1 , 2 , … , } , dimana 1 < 2 < ⋯ <
dan
{� � |1 �
} adalah keluarga ideal pada near-ring .
Akan dibuktikan untuk setiap
[0,1] ada �
{1,2, … , } sedemikian hingga � = � � .
Karena 1 < 2 < ⋯ <
maka � < �+1 dengan
1 �
− 1 sehingga menurut Lemma 2.2.1
� 1 � 2 … � . Berdasarkan
� �+1 � � atau
|�( )
{� � |1 �
}
definisi � 1 = {
1} ,
adalah keluarga ideal pada near-ring near-ring , dan
� 1 � 2 … � maka � 1 = .
Misalkan
[0,1] dan
� (�).
1) Jika < 1 , maka menurut Lemma 2.2.1 � 1 � .
Karena � 1 = dan � 1 � , maka � = � 1 .
2) Jika � < < �+1 dengan 1 �
− 1 , maka
menurut Lemma 2.9.1 � �+1 � .
Selanjutnya, ambil sebarang
� maka �( )
.
Andaikan ada
sedemikian hingga
�
<
maka � <
�
< �+1 . Akibatnya,
�+1 ,
� � = { , 1 , 2 , … , } . Kontradiksi dengan
� = { 1 , 2 , … , }. Jadi, tidak ada
sedemikian
hingga
�
< �+1 .
Selanjutnya, �( )
dan tidak ada
sedemikian hingga
�
< �+1 , maka
�( ) ≮ �+1 yang mengakibatkan �( )
�+1 , yaitu
� �+1 sehingga � � �+1 .
Karena � �+1 � dan � � �+1 , maka � = � �+1 .
Jadi terbukti untuk setiap setiap
[0,1] ada
� {1,2, … , } sedemikian hingga � = � � .
.
{� −1
}
disebut peta dari � di bawah �.
Untuk semua
Definisi 12
Subhimpunan fuzzy � pada near-ring dikatakan
mempunyai sifat sup properti jika ⩝ , ada 0
sedemikian hingga
� 0 = sup {� }
Berikut dijelaskan mengenai sifat homomorfisma
near-ring pada ideal fuzzy di near-ring .
Definisi 10
Misalkan < , +, . > dan < , +, . > adalah nearring. Didefinisikan �: → , jika � adalah subhimpunan
fuzzy pda near-ring
maka subhimpunan fuzzy
yang didefinisikan dengan
� = � � pada near-ring
�
= �(� ) untuk setiap ,
disebut prapeta
dari � di bawah �.
Teorema 6
Diberikan < , +, . > , < , ,∗> adalah near-ring
dan �: →
adalah homomorfisma near-ring.
Peta
homomorfisma pada ideal fuzzy pada near-ring dengan
sifat sup properti adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa � adalah ideal fuzzy pada
near-ring
. Misalkan
′, ′, ′
. Karena �
mempunyai sifat sup properti maka ada 0 {� −1 ( ′)},
{� −1 ′ }, dan 0 {� −1 ( ′)} sedemikian hingga
0
� 0 = sup {� −1 ′ } {� },
� 0 = sup {� −1 ′ } { �( )},
� 0 = sup {� −1 ′ } {� }.
Maka kita peroleh
1. � ′ −′ ′ = sup {� −1 ( ′ −′ ′ )} {� }
�( 0 − 0 )
min � 0 , � 0
= min{ sup {� −1 ( ′ )} { �( )} , sup {� −1 ( ′)} { �( )}}
= min
{� ′ , � ′ }
Teorema 5
Diberikan < , +, . > dan < , ,∗> adalah
near-ring dan �: → adalah homomorfisma near-ring.
Prapeta homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy pada
near-ring adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa � adalah prapeta � di bawah �.
Ambil sebarang ,
, maka berlaku
1) � −
= �(� − )
= � � −′ �
min{�(� ), � � )
= min � , �
,⩝ ,
.
Diperoleh � −
min � , �
Sehingga diperoleh �
⩝ ′, ′
.
40
′
−′
′
min �
′
,�
′
,
MATHunesa (Volume 3 No 3)
′
2. �
′
∗
= sup
′∗
{� −1
′ }
{� −1
′
′ −′ ′ }
Sehingga diperoleh �
4. � ′ ∗ ′ = sup
′
′
{� −1 (
′
∗ ′ −′
sup
−′
{� −1 ( ′ ∗
�( 0 . 0 )
�( 0 )
= sup {� −1 (
= �( ′ )
Sehingga diperoleh � ′ ∗
5. �
=
′
′
∗
′ )}
′
′
′ ′ ∗ ′ −′ ′ ∗ ′ )}
′
′
,⩝
′
}
, ′
.
}
�( ′ ),⩝
′
, ′
Saran
Penulisan jurnal hanya membahas ideal fuzzy nearring, karena keterbatasan pengetahuan penulis, pembaca
yang berminat dapat melanjutkan penulisan tentang ideal
fuzzy pada near-ring dengan menambahkan teori lain
yang berkaitan dengan ideal fuzzy near-ring.
.
{ �( )}
� ( 0 + 0) . 0 − 0 . 0
�( 0 ) = sup {� −1 ′ } { �( )}
= �( ′ )
′
′ ∗ ′ −′
Sehingga diperoleh �
′
′
=�
}
′ )} {�
{�
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan �
adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring
.
Maka subhimpunan level � adalah ideal pada
untuk setiap
0,1 ,
�(0 ) jika dan hanya
jika � adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan �
adalah ideal fuzzy pada near-ring . Maka dua
subhimpunan level � 1 dan � 2 di � dengan
1 < 2 adalah sama jika dan hanya jika tidak ada
sedemikian sehingga 1 �( ) < 2 .
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan �
adalah ideal fuzzy pada near-ring . Jika � � =
{ 1 , 2 , … , } ,dimana 1 < 2 < ⋯ <
, maka
keluarga ideal {� � |1 �
} pada near-ring
adalah keluarga semua subhimpunan level di �.
Pada jurnal ini juga dibahas mengenai peta dan
prapeta ideal fuzzy pada near-ring, yaitu jika diberikan
< , +, . > dan < , ,∗> adalah near-ring dan
�: →
adalah homomorfisma near-ring. Prapeta
homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy pada near-ring
adalah ideal fuzzy pada near-ring
. Dan peta
homomorfisma pada ideal fuzzy pada near-ring dengan
sifat sup properti adalah ideal fuzzy pada near-ring .
{ �( )}
�( 0 . 0 )
min � 0 , � 0
= min{ sup {� −1 ′ } {� } , sup {� −1 ( ′ )} {�
= min
{� ′ , �( ′ )
Sehingga diperoleh � ′ ∗ ′
min � ′ , � ′ ,
′
⩝ , ′
3. � ′ ′ −′ ′ = sup {� −1 ′ ′−′ ′ } { �( )}
�( 0 + 0 − 0 )
= �( 0 )
= sup {� −1 ′ } { �( )}
=� ′
Dan
� ′ = sup {� −1 ′ } {� }
= �( 0 )
= �( 0 + 0 − 0 )
{ �( )} = � ′ ′ −′ ′
=
sup
′
∗
′
�
2014
′
1. DAFTAR PUSTAKA
Abdurrahman,S.dkk.2012. Ideal Fuzzy Near-ring. Jurnal
matematika dan Terapan:Univ. Lampung Mangkurat
Bartle,Robert G, dan Sherbert,Donal R.2000.Introduction
to Real Analysis Third edition.Amerika:John Wiley
and Sons,Inc.
Fraleigh,Jonh B.1982. A First Course in Abstract
Algebra. Publishing Company: Addison-Wesley
Gallian,Joseph.A.2008.Contemporary Abstract Algebra.
University Of Minnesota Duluth
Herstein.I.N.1995. Abstract Algebra. Library of
Cataloging in Publication Data
Kandasamy.W.B.V.2002. Smarandache near-rings.
American Research Press Rehoboth
Kandasamy.W.B.V.2003. Smarandache fuzzy algebra.
American Research Press Rehoboth
Kim, Seung Dong dan Hee Sik Kim.1996. On Fuzzy
Ideals Of Near-rings. Bull.KoreanMath
Masriyah. 2007. Pengantar Dasar Matematika.
Surabaya:Unesa University Press
Sukahar dan Kusrini.2001. Struktur Aljabar I.
Surabaya:Unesa University Press
Zimmermann. H.J. 1992. Fuzzy Set Theory and Its
Applications.
Second,
Revised
Edition.
Massachusetts: Kluwer Academic Publishers.
,
⩝ , , ′
.
Jadi berdasarkan analisis di atas, � adalah ideal fuzzy
pada near-ring .
PENUTUP
Simpulan
Berdasarkan hasil pembahasan pada BAB III dapat
disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
1. Dalam struktur aljabar fuzzy terdapat suatu kelas dari
ideal fuzzy near-ring. Diberikan < , +, . > adalah
near-ring dan � adalah subhimpunan fuzzy pada nearring . Maka � disebut ideal fuzzy pada near-ring
jika untuk setiap , ,
berlaku :
� −
min � , �
� .
min{� , � }
�
=� + −
� .
�
�( + . − . ) �( )
2. Ada beberapa sifat yang berlaku pada ideal fuzzy di
near-ring , yaitu :
41
2014
IDEAL FUZZY PADA NEAR-RING
Dwi Ayu Anggraini
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
e-mail : dwiayuanggraini55@gmail.com
Dr.Raden Sulaiman M.Si.
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
e-mail : sulaimanraden@yahoo.com
Abstrak
Diberikan near-ring < , +, . > dan � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring jika �: → 0,1 .
Kemudian � dikatakan ideal fuzzy pada near-ring jika � adalah subnear-ring fuzzy pada near-ring
dan untuk setiap , ,
berlaku : �
=� + − , � .
� , dan �( + . −
. ) �( ).
Dalam jurnal ini akan dibahas beberapa sifat ideal fuzzy pada near-ring , sehingga kita peroleh
hubungan ideal fuzzy pada nearing dan ideal pada near-ring . Kita juga mempelajari peta dan prapeta
homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy di near-ring .
Kata kunci : near-ring, homomorfisma, subhimpunan fuzzy, ideal fuzzy pada near-ring
.
Abstract
Let < , +, . > be near-ring and � is fuzzy subset of a near-ring if �: → 0,1 . Then � is said to be
fuzzy ideals of near-ring if � is fuzzy subnear-ring of near-ring and for any , ,
such that
�
=� + − , � .
� , and �( + . − . ) �( ).
In this paper will be studied character fuzzy ideals of near-ring , such that we get the relation between
fuzzy ideals of near-ring and ideals of near-ring . We also study the homomorphic image and
preimage of fuzzy ideals of near-ring .
Keyword : near-ring, homomorphic, fuzzy subset, fuzzy ideals of near-ring
.
Himpunan fuzzy merupakan salah satu ilmu dari
matematika. Himpunan fuzzy diperkenalkan pertama kali
oleh L.A.Zadeh (1965) sebagai perluasan dari himpunan
klasik. Jika himpunan klasik mempunyai derajat
keanggotaan 0 dan 1, lain halnya dengan himpunan
fuzzy. Himpunan fuzzy mempunyai derajat keanggotaan
yang terletak pada interval [0,1].
Berdasarkan penelitian Abou-Zaid (1991) yang
melakukan fuzzyfikasi pada struktur near-ring diperoleh
definisi fuzzy near-ring, fuzzy subnear-ring dan ideal
fuzzy near-ring (S.Abdurrahman,dkk.2012). Dari
definisi-definisi dan teorema-teorema yang ada
diharapkan dalam penelitian ini akan didapatkan
gambaran tentang hubungan ideal pada near-ring dan
ideal fuzzy pada near-ring melalui sifat-sifat yang ada
pada ideal fuzzy near-ring.
PENDAHULUAN
Matematika adalah suatu alat untuk berfikir secara
logika, sehingga didalamnya terdapat penalaranpenalaran yang nantinya akan berguna untuk
menyelesaikan masalah baik secara teori maupun secara
nyata. Matematika dapat dibagi dalam berbagai rumpun,
misalnya rumpun analisis, aljabar, dan statistik.
Selanjutnya setiap rumpun akan dibagi menjadi beberapa
bidang, misalnya rumpun aljabar terbagi dalam berbagai
bidang, seperti aljabar linier elementer, aljabar abstrak,
dan aljabar linier. Demikian pula dengan rumpun-rumpun
lainnya. Beberapa rumpun dalam matematika memiliki
keterkaitan konsep. Misal konsep near-ring pada bidang
aljabar abstrak yang akan penulis gabungkan dengan
konsep himpunan fuzzy.
Near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring,
dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus
berlaku pada near-ring. Operasi pertama pada sebarang
near-ring tidak harus komutatif, sedangkan terhadap
operasi pertama dan operasi kedua cukup dipenuhi salah
satu sifat distributif kiri atau kanan. Seiring dengan
perkembangan zaman, penelitian tentang near-ring tidak
hanya memuat pada strukturnya tetapi mulai dipadukan
dengan teori lain, diantaranya dengan himpunan fuzzy.
METODE PENULISAN
Metode yang digunakan dalam menyusun makalah ini
adalah metode kajian pustaka, yaitu demakalah teoritis
mengenai objek yang akan dibahas dengan cara mencari,
memahami, mendalami dan mengidentifikasi pengetahuan
yang ada dalam kepustakaan (sumber buku bacaan,
referensi, jurnal, atau hasil penelitian lain untuk
menunjang penelitian). Adapun jurnal utama yang
36
MATHunesa (Volume 3 No 3)
digunakan adalah On Fuzzy Ideals of Near-ring (Seung
Dong Kim dan Hee Sik Kim,1996).
Lemma 1
Diberikan sebarang �, � �(�),
[0,1].
1. Jika �( ) �( ) maka � � ,⩝
[0,1] .
2. Jika
maka � � ,⩝ ,
3. �
=�
jika dan hanya jika � = � ,
⩝
[0,1].
KAJIAN PUSTAKA
Definisi 1
Suatu himpunan tak kosong
dengan dua operasi
biner yaitu " + " dan " . " disebut near-ring, jika :
1. < , +> merupakan suatu grup (tidak harus
komutatif)
2. < , . > merupakan semigrup.
3. Untuk setiap , ,
berlaku salah satu sifat
distributif kanan atau kiri
i. Distributif kanan : + . = . + .
ii. Distributif kiri
: . + = . + .
Jika near-ring memenuhi sifat ( i ) maka kita sebut
near-ring kanan. Sebaliknya, jika near-ring memenuhi
sifat ( ii ) maka kita sebut near-ring kiri.
dengan operasi + dan . yang membentuk near-ring
dinotasikan dengan < , +, . >.
Definisi 7
Diberikan < , +, . > adalah suatu near-ring dan �
adalah subhimpunan fuzzy di near-ring . Maka �
disebut near-ring fuzzy di jika
1. �( + ) min{� , � } untuk setiap ,
.
2. � −
�
untuk setiap ,
.
3. �( . ) min � , �
untuk setiap ,
.
Definisi 8
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
subhimpunan fuzzy pada near-ring
. Subhimpunan
fuzzy � di near-ring disebut subnear-ring fuzzy pada
near-ring jika untuk setiap ,
berlaku :
1. � −
min � , �
2. � .
min{� , � }
Definisi 2
Diberikan near-ring . Suatu subgrup normal � dari
< , +> disebut ideal di jika
1. � �.
2.
+� −
� untuk setiap ,
dan untuk
setiap � �.
Subgrup normal � dari < , +> yang memenuhi (1)
disebut ideal kiri di , sedangkan subgrup normal � di
< , +> memenuhi (2) disebut ideal kanan di .
Definisi 3
Diberikan near-ring dan . Fungsi �: →
homomorfisma near-ring jika untuk setiap ,
1. � +
=� �
2. � . = �
∗ �( )
2014
PEMBAHASAN
Definisi 9
Diberikan � adalah subnear-ring fuzzy pada near-ring
, � disebut ideal fuzzy pada near-ring
jika untuk
setiap , ,
berlaku :
1. �
=� + −
2. � .
�
3. � ( + . ) − ( . )
�( )
suatu � disebut ideal kiri fuzzy pada near-ring jika
memenuhi syarat (1) dan (2). Sedangkan � disebut ideal
kanan fuzzy pada near-ring jika memenuhi syarat (1)
dan (3).
disebut
:
Definisi 4
Diberikan � adalah himpunan tidak kosong. Suatu
fungsi � disebut subhimpunan fuzzy di � jika �: � →
0,1 . Selanjutnya himpunan semua subhimpunan fuzzy
di � dinotasikan � � dan peta dari � dinotasikan dengan
� � = {�( )|
�}.
Lemma 2
Diberikan near-ring . Jika � adalah subnear-ring
fuzzy pada near-ring , maka untuk setiap
1. �(0 ) �( )
2. � − = �
Sifat-sifat Ideal Fuzzy Pada Near-ring
Definisi 5
Diberikan sebarang �, � �(�), maka
1. � = � jika �
= � ,⩝
�.
� ,⩝
�.
2. � � jika �
3. Irisan dari dua subhimpunan fuzzy � dan �
didefinisikan dengan
� �
= min {� , �( )},⩝
�.
Berikut dijelaskan sifat dari ideal fuzzy pada nearring yang berhubungan dengan subhimpunan level �
dari �.
Teorema 1
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
subhimpunan fuzzy pada near-ring
. Maka
subhimpunan level � adalah ideal pada near-ring
untuk setiap
0,1 ,
�(0 ) jika dan hanya jika �
adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Definisi 6
Diberikan � �(�) dan
[0,1]. Subhimpunan
level di � dinotasikan dengan � yang didefinisikan
dengan, � = {
�|�( )
}.
37
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
Berdasarkan analisis diatas, maka
� 0 dan
0
bukan
ideal
.
�
yang
mengakibatkan
�
0 0
0
0
pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada
near-ring
untuk setiap
[0,1] , sehingga
pengandaian salah, seharusnya �( . ) �( ) untuk
setiap ,
.
e) Akan ditunjukkan �( + . − . ) �( ) untuk
setiap , ,
. Andaikan ada 0 , 0 , 0
sedemikian
hingga � ( 0 + 0 ) . 0 − 0 . 0 <
�( 0 ).
1
Pilih
0 = (� ( 0 + 0 ) . 0 − 0 . 0 + � 0 ) ,
Bukti :
Diberikan near-ring
dan � adalah subhimpunan
fuzzy pada near-ring .
a) Akan ditunjukkan � −
min � , �
untuk setiap ,
. Andaikan ada 0 , 0
sedemikian hingga � 0 − 0 < min � 0 , � 0
1
Pilih 0 = � 0 − 0 + min � 0 , � 0 , maka
2
min � 0 , � 0 > 0 > � 0 − 0 ↔ � 0 >
� 0 > 0 � 0 − 0 < 0.
0
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 , 0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0 bukan ideal
0. 0
pada near-ring near-ring . Kontradiksi dengan
� ideal pada near-ring untuk setiap
[0,1]
sehingga pengandaian salah, seharusnya � −
min{� , � } untuk setiap ,
.
b) Akan ditunjukkan � .
min{� , � } untuk
setiap ,
. Andaikan ada 0 , 0
sedemikian
hingga � 0 . 0 < min{� 0 , � 0 } .
1
Pilih 0 = � 0 . 0 + min � 0 , � 0 , maka
2
min � 0 , � 0 > 0 > � 0 . 0 ↔ � 0 >
� 0 > 0 � 0 − 0 < 0.
0
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 , 0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0 bukan ideal
0. 0
pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada
near-ring untuk setiap
[0,1] sehingga
pengandaian salah, seharusnya
� .
min{� , � } untuk setiap ,
.
c) Akan ditunjukkan �( ) = �( + − ), untuk setiap
,
.
(∗) Andaikan ada 0 , 0
sedemikian hingga
� 0 > �( 0 + 0 − 0 ) .
1
Pilih 0 = (� 0 + � 0 + 0 − 0 ), maka
2
�( 0 ) > 0 > �( 0 + 0 − 0 ) ↔ �( 0 ) > 0
�( 0 + 0 − 0 ) < 0 .
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0 bukan
0 + 0 − 0
ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal
pada near-ring untuk setiap
[0,1], sehingga
pengandaian salah, seharusnya �( ) �( + − )
untuk setiap ,
.
(∗∗)Andaikan ada 0 , 0
sedemikian hingga
� 0 < �( 0 + 0 − 0 ) .
1
Pilih 0 = (� 0 + � 0 + 0 − 0 ), maka
2
� 0+ 0− 0 > 0>� 0 ↔� 0+ 0− 0 >
� 0 < 0.
0
Berdasarkan analisis di atas, maka 0 + 0 − 0 � 0
dan 0 � 0 yang mengakibatkan � 0 bukan ideal
pada near-ring . Kontradiksi dengan � ideal pada
near-ring untuk setiap
[0,1], sehingga
pengandaian salah, seharusnya �( ) �( + − )
untuk setiap ,
.
d) Akan ditunjukkan �( . ) �( ) untuk setiap
,
.Andaikan ada
sedemikian
0, 0
hingga � 0 . 0 < �( 0 ) .
1
Pilih 0 = (� 0 . 0 + � 0 ), maka � 0 > 0 >
2
� 0 . 0 ↔ � 0 > 0 � 0 . 0 < 0.
2
maka
� �0 > 0 > � 0 + �0 . 0 − 0 . 0 ↔
� �0 > 0 � 0 + �0 . 0 − 0 . 0 < 0 .
Berdasarkan analisa di atas, maka �0 � 0 dan
� 0 yang mengakibatkan � 0
0 + �0 0 − 0 0
bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan �
ideal pada near-ring
untuk setiap
[0,1] ,
sehingga pengandaian salah, seharusnya � ( +
� . − . < �(�), untuk setiap , , �
.
Jadi terbukti bahwa jika � adalah ideal pada nearring maka � adalah ideal fuzzy pada near-ring .
(←) Akan dibuktikan jika � adalah ideal fuzzy pada nearring maka untuk setiap
0,1 dan
�(0 ),
� adalah ideal pada near-ring .
1) Karena � ≠ ∅ maka ada ,
� sedemikian hingga
�( )
dan �( )
.
� −
min{� , � } min{ , }
Sehingga untuk setiap ,
� berlaku �( − )
dan −
�.
2) Karena � ≠ ∅ maka ada ,
� sedemikian
hingga �( )
dan �( )
. Maka
� .
min{� , � } min{ , }
Sehingga untuk setiap ,
� berlaku �( . )
dan .
�
3) Karena � ≠ ∅ maka ada ,
� sedemikian hingga
�( )
dan �( )
. Maka � + −
=
�( )
Sehingga untuk setiap ,
� berlaku �( + −
)
dan + −
�.
4) Misalkan
� dan
sedemikian hingga
�( )
. Maka �( . ) �( )
Sehingga untuk setiap
� dan
berlaku
�( . )
dan .
�.
5) Misalkan
�
dan
,
sedemikian
hingga �( )
. Maka
�( + . − . ) �( )
Sehingga untuk setiap
� dan ,
berlaku
�( + . − . )
dan
+ . − .
�.
Jadi berdasarkan analisis di atas � adalah ideal pada
near-ring .
38
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
Karena � � = {0, } , maka kita peroleh � 0 +
sehingga
dan � 0 =
0 . 0 − 0 . 0 = 0
.
−
.
�
dan
�.
Akibatnya
�
+
0
0
0
0
0
0
bukan ideal pada near-ring . Kontradiksi dengan �
ideal pada near-ring , sehingga pengandaian salah.
Seharusnya �( + . − . ) �( ) untuk setiap
, ,
.
4) Akan dibuktikan � = �.
Berdasarkan definisi � maka
� =
�
={
|�
=
�
> }
=
�
= =�
Jadi ada � ideal fuzzy pada near-ring sedemikian
hingga � = �.
Teorema 2
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
subhimpunan fuzzy pada near-ring . Jika � adalah ideal
pada near-ring , maka untuk setiap
(0,1) , ada �
ideal fuzzy pada near-ring sedemikian hingga � = �.
Bukti :
Misalkan subhimpunan fuzzy � pada near-ring
didefinisikan dengan
,
�
,dengan
(0,1).
�
=
0,
�
Akan ditunjukkan ada � ideal fuzzy pada near-ring
sedemikian hingga � = �.
1) Ambil sebarang ,
.
a) Jika ,
� , maka �
= 0 dan �
=0
sehingga
� −
0 = min{� , � }
� .
0 = min
{� , � }
� .
0 = �( )
b) Jika ,
� , maka −
� dan .
�
sehingga
� −
0 = min � , �
� .
0 = min
{� , � }
� .
0 = �( )
c) Jika
� dan
� , maka �
= dan
�
= 0 sehingga
� −
0 = min � , �
� .
0 = min
{� , � }
� .
0 = �( )
Jadi berdasarkan (a), (b), dan (c) maka
�( − ) min
{� , � }
�( . ) min
{� , � }
�( . ) �
2) Akan dibuktikan �
= �( + − ) untuk setiap
,
.
Andaikan ada
sedemikian hingga
0, 0
� 0 < �( 0 + 0 − 0 ) . Karena � � = {0, } ,
maka kita peroleh � 0 = 0 dan � 0 + 0 − 0 =
sehingga 0 � dan 0 + 0 − 0 � . Karena �
adalah ideal pada near-ring
maka � subgrup
normal di
sehingga 0 − 0 + 0 + 0 − 0 −
[ 0 − 0 ] dan diperoleh 0 � . Kontradiksi dengan
� sehingga pengandaian salah, seharusnya
0
�
�( + − ) untuk setiap
,
.
Selanjutnya, andaikan ada 0 , 0
sedemikian
hingga � 0 > �( 0 + 0 − 0 ) .Karena � � =
{0, }, maka kita peroleh � 0 = dan � 0 + 0 −
� dan 0 + 0 − 0 � .
0
0 = 0 sehingga
Akibatnya � bukan subgrup normal di Kontradiksi
dengan � subgrup normal di sehingga pengandaian
salah. Seharusnya �
�( + − ) untuk setiap
,
.
Berdasarkan analisis di atas, maka �
= �( + −
) untuk setiap ,
.
3) Akan dibuktikan �( + . − . ) �( ) untuk
setiap , ,
.
Andaikan ada 0 , 0 , 0
sedemikian hingga
� 0 + 0 . 0 − 0 . 0 < �( 0 ).
Teorema 3
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
ideal fuzzy pada near-ring . Maka dua subhimpunan
level � 1 dan � 2 di � dengan 1 < 2 adalah sama jika
dan hanya jika tidak ada
sedemikian sehingga
�(
)
<
.
1
2
Bukti :
→ Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring dan
� 1 = � 2 dengan 1 < 2 . Akan dibuktikan tidak ada
sedemikian sehingga 1 �( ) < 2 .
Andaikan ada
sedemikian sehingga 1
�( ) < 2 , maka �( )
< 2 sehingga
1 dan �
� 2.
� 1 dan
Berdasarkan analisis di atas, maka � 1 ≠ � 2 .
Kontradiksi dengan � 1 = � 2 , sehingga pengandaian
salah. Seharusnya tidak ada
sedemikian
sehingga 1 �( ) < 2 .
(←) Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring dan
tidak ada
sedemikian sehingga 1 �( ) < 2 .
Akan dibuktikan � 1 = � 2 dengan 1 < 2 .
Ambil sebarang
� 2 , maka �
2 > 1 yang
mengakibatkan �
> 1 sehingga
� 1 dengan
kata lain � 2 � 1 .
Selanjutnya, ambil sebarang
� 1 , maka �( )
sedemikian
1 . Karena �( )
1 dan tidak ada
sehingga 1 �( ) < 2 , maka �( ) ≮ 2 yang
mengakibatkan �( )
� 2 dengan
2 sehingga
kata lain � 1 � 2 .
Berdasarkan analisis di atas, maka � 1 = � 2 dengan
1 < 2.
Selanjutnya dijelaskan sifat dari keluarga ideal pada
near-ring
yang sama dengan keluarga semua
subhimpunan level pada near-ring .
Teorema 4
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan � adalah
ideal fuzzy pada near-ring
. Jika � � =
{ 1 , 2 , … , }, dimana 1 < 2 < ⋯ < , maka keluarga
ideal {� � |1 �
} pada near-ring adalah keluarga
semua subhimpunan level di �.
39
2014
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2) �
=� � .
= �(�
∗ � )
min{�(� , � �
= min � , �
Diperoleh � .
min � , �
,⩝ ,
.
3) � + − = �(� + − )
= �(� � −′ � )
=� �
= �( )
Diperoleh � + −
= � ,⩝ ,
.
4) � . = �(� . )
= �(�
∗ �
� �
= �( )
Diperoleh � .
� ,⩝ ,
.
5) �( + . − . )) = �(�( + . − . ))
= �( � �
∗
� −′ �
∗� )
� �
= �( )
Diperoleh �( + . − . )) �( ),⩝ , ,
.
Jadi berdasarkan analisis di atas � adalah ideal fuzzy
pada near-ring
.
Definisi 11
Diberikan < , +, . > dan < , +, . > adalah nearring. Jika � adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring
dan didefinisikan �: → , maka subhimpuna fuzzy �
pada near-ring didefinisikan dengan
�
= sup {� }
Bukti :
Misalkan � adalah ideal fuzzy pada near-ring ,
� � = { 1 , 2 , … , } , dimana 1 < 2 < ⋯ <
dan
{� � |1 �
} adalah keluarga ideal pada near-ring .
Akan dibuktikan untuk setiap
[0,1] ada �
{1,2, … , } sedemikian hingga � = � � .
Karena 1 < 2 < ⋯ <
maka � < �+1 dengan
1 �
− 1 sehingga menurut Lemma 2.2.1
� 1 � 2 … � . Berdasarkan
� �+1 � � atau
|�( )
{� � |1 �
}
definisi � 1 = {
1} ,
adalah keluarga ideal pada near-ring near-ring , dan
� 1 � 2 … � maka � 1 = .
Misalkan
[0,1] dan
� (�).
1) Jika < 1 , maka menurut Lemma 2.2.1 � 1 � .
Karena � 1 = dan � 1 � , maka � = � 1 .
2) Jika � < < �+1 dengan 1 �
− 1 , maka
menurut Lemma 2.9.1 � �+1 � .
Selanjutnya, ambil sebarang
� maka �( )
.
Andaikan ada
sedemikian hingga
�
<
maka � <
�
< �+1 . Akibatnya,
�+1 ,
� � = { , 1 , 2 , … , } . Kontradiksi dengan
� = { 1 , 2 , … , }. Jadi, tidak ada
sedemikian
hingga
�
< �+1 .
Selanjutnya, �( )
dan tidak ada
sedemikian hingga
�
< �+1 , maka
�( ) ≮ �+1 yang mengakibatkan �( )
�+1 , yaitu
� �+1 sehingga � � �+1 .
Karena � �+1 � dan � � �+1 , maka � = � �+1 .
Jadi terbukti untuk setiap setiap
[0,1] ada
� {1,2, … , } sedemikian hingga � = � � .
.
{� −1
}
disebut peta dari � di bawah �.
Untuk semua
Definisi 12
Subhimpunan fuzzy � pada near-ring dikatakan
mempunyai sifat sup properti jika ⩝ , ada 0
sedemikian hingga
� 0 = sup {� }
Berikut dijelaskan mengenai sifat homomorfisma
near-ring pada ideal fuzzy di near-ring .
Definisi 10
Misalkan < , +, . > dan < , +, . > adalah nearring. Didefinisikan �: → , jika � adalah subhimpunan
fuzzy pda near-ring
maka subhimpunan fuzzy
yang didefinisikan dengan
� = � � pada near-ring
�
= �(� ) untuk setiap ,
disebut prapeta
dari � di bawah �.
Teorema 6
Diberikan < , +, . > , < , ,∗> adalah near-ring
dan �: →
adalah homomorfisma near-ring.
Peta
homomorfisma pada ideal fuzzy pada near-ring dengan
sifat sup properti adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa � adalah ideal fuzzy pada
near-ring
. Misalkan
′, ′, ′
. Karena �
mempunyai sifat sup properti maka ada 0 {� −1 ( ′)},
{� −1 ′ }, dan 0 {� −1 ( ′)} sedemikian hingga
0
� 0 = sup {� −1 ′ } {� },
� 0 = sup {� −1 ′ } { �( )},
� 0 = sup {� −1 ′ } {� }.
Maka kita peroleh
1. � ′ −′ ′ = sup {� −1 ( ′ −′ ′ )} {� }
�( 0 − 0 )
min � 0 , � 0
= min{ sup {� −1 ( ′ )} { �( )} , sup {� −1 ( ′)} { �( )}}
= min
{� ′ , � ′ }
Teorema 5
Diberikan < , +, . > dan < , ,∗> adalah
near-ring dan �: → adalah homomorfisma near-ring.
Prapeta homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy pada
near-ring adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa � adalah prapeta � di bawah �.
Ambil sebarang ,
, maka berlaku
1) � −
= �(� − )
= � � −′ �
min{�(� ), � � )
= min � , �
,⩝ ,
.
Diperoleh � −
min � , �
Sehingga diperoleh �
⩝ ′, ′
.
40
′
−′
′
min �
′
,�
′
,
MATHunesa (Volume 3 No 3)
′
2. �
′
∗
= sup
′∗
{� −1
′ }
{� −1
′
′ −′ ′ }
Sehingga diperoleh �
4. � ′ ∗ ′ = sup
′
′
{� −1 (
′
∗ ′ −′
sup
−′
{� −1 ( ′ ∗
�( 0 . 0 )
�( 0 )
= sup {� −1 (
= �( ′ )
Sehingga diperoleh � ′ ∗
5. �
=
′
′
∗
′ )}
′
′
′ ′ ∗ ′ −′ ′ ∗ ′ )}
′
′
,⩝
′
}
, ′
.
}
�( ′ ),⩝
′
, ′
Saran
Penulisan jurnal hanya membahas ideal fuzzy nearring, karena keterbatasan pengetahuan penulis, pembaca
yang berminat dapat melanjutkan penulisan tentang ideal
fuzzy pada near-ring dengan menambahkan teori lain
yang berkaitan dengan ideal fuzzy near-ring.
.
{ �( )}
� ( 0 + 0) . 0 − 0 . 0
�( 0 ) = sup {� −1 ′ } { �( )}
= �( ′ )
′
′ ∗ ′ −′
Sehingga diperoleh �
′
′
=�
}
′ )} {�
{�
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan �
adalah subhimpunan fuzzy pada near-ring
.
Maka subhimpunan level � adalah ideal pada
untuk setiap
0,1 ,
�(0 ) jika dan hanya
jika � adalah ideal fuzzy pada near-ring .
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan �
adalah ideal fuzzy pada near-ring . Maka dua
subhimpunan level � 1 dan � 2 di � dengan
1 < 2 adalah sama jika dan hanya jika tidak ada
sedemikian sehingga 1 �( ) < 2 .
Diberikan < , +, . > adalah near-ring dan �
adalah ideal fuzzy pada near-ring . Jika � � =
{ 1 , 2 , … , } ,dimana 1 < 2 < ⋯ <
, maka
keluarga ideal {� � |1 �
} pada near-ring
adalah keluarga semua subhimpunan level di �.
Pada jurnal ini juga dibahas mengenai peta dan
prapeta ideal fuzzy pada near-ring, yaitu jika diberikan
< , +, . > dan < , ,∗> adalah near-ring dan
�: →
adalah homomorfisma near-ring. Prapeta
homomorfisma near-ring pada ideal fuzzy pada near-ring
adalah ideal fuzzy pada near-ring
. Dan peta
homomorfisma pada ideal fuzzy pada near-ring dengan
sifat sup properti adalah ideal fuzzy pada near-ring .
{ �( )}
�( 0 . 0 )
min � 0 , � 0
= min{ sup {� −1 ′ } {� } , sup {� −1 ( ′ )} {�
= min
{� ′ , �( ′ )
Sehingga diperoleh � ′ ∗ ′
min � ′ , � ′ ,
′
⩝ , ′
3. � ′ ′ −′ ′ = sup {� −1 ′ ′−′ ′ } { �( )}
�( 0 + 0 − 0 )
= �( 0 )
= sup {� −1 ′ } { �( )}
=� ′
Dan
� ′ = sup {� −1 ′ } {� }
= �( 0 )
= �( 0 + 0 − 0 )
{ �( )} = � ′ ′ −′ ′
=
sup
′
∗
′
�
2014
′
1. DAFTAR PUSTAKA
Abdurrahman,S.dkk.2012. Ideal Fuzzy Near-ring. Jurnal
matematika dan Terapan:Univ. Lampung Mangkurat
Bartle,Robert G, dan Sherbert,Donal R.2000.Introduction
to Real Analysis Third edition.Amerika:John Wiley
and Sons,Inc.
Fraleigh,Jonh B.1982. A First Course in Abstract
Algebra. Publishing Company: Addison-Wesley
Gallian,Joseph.A.2008.Contemporary Abstract Algebra.
University Of Minnesota Duluth
Herstein.I.N.1995. Abstract Algebra. Library of
Cataloging in Publication Data
Kandasamy.W.B.V.2002. Smarandache near-rings.
American Research Press Rehoboth
Kandasamy.W.B.V.2003. Smarandache fuzzy algebra.
American Research Press Rehoboth
Kim, Seung Dong dan Hee Sik Kim.1996. On Fuzzy
Ideals Of Near-rings. Bull.KoreanMath
Masriyah. 2007. Pengantar Dasar Matematika.
Surabaya:Unesa University Press
Sukahar dan Kusrini.2001. Struktur Aljabar I.
Surabaya:Unesa University Press
Zimmermann. H.J. 1992. Fuzzy Set Theory and Its
Applications.
Second,
Revised
Edition.
Massachusetts: Kluwer Academic Publishers.
,
⩝ , , ′
.
Jadi berdasarkan analisis di atas, � adalah ideal fuzzy
pada near-ring .
PENUTUP
Simpulan
Berdasarkan hasil pembahasan pada BAB III dapat
disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
1. Dalam struktur aljabar fuzzy terdapat suatu kelas dari
ideal fuzzy near-ring. Diberikan < , +, . > adalah
near-ring dan � adalah subhimpunan fuzzy pada nearring . Maka � disebut ideal fuzzy pada near-ring
jika untuk setiap , ,
berlaku :
� −
min � , �
� .
min{� , � }
�
=� + −
� .
�
�( + . − . ) �( )
2. Ada beberapa sifat yang berlaku pada ideal fuzzy di
near-ring , yaitu :
41