TAP.COM - PENGGUNAAN STATISTIK TATAAN UNTUK MENENTUKAN MEDIAN CONTOH ...
Jurnal Penelitian Sains
Volume 13 Nomer 2(A) 13202
Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak
dari Distribusi Eksponensial
Herlina Hanum, Yuli Andriani, dan Retno
Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Intisari: Statistik Tataan merupakan statistik dengan prinsip pengurutan suatu sampel acak dari sebaran bertipe
diskrit atau kontinu yang positif. Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn suatu sampel acak maka Yi adalah statistik tataan ke-i dari
sampel acak tersebut dengan i = 1, 2, . . . , n di mana Y1 < Y2 < · · · < Yn . Pada penelitian ini prinsip Statistik Tataan
digunakan pada penentuan nilai median dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter β yang memiliki bentuk
fungsi kepadatan peluang f (x) = β1 e−x/β untuk 0 < x < ∞ dan sama dengan 0 untuk lainnya. Median merupakan nilai
tengah dari sekelompok objek. Median dari peubah acak berdistribusi Eksponensial yang diperoleh adalah
2/(n+1) !−1
n−1 n−1
( 2 )!( 2 )!(n + 1)
m = β ln 1 −
4n!β (x−3)/2
untuk n ganjil, dan
untuk n genap.
m = β ln 1 −
(n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)!
16n!
!2/(n+1) −1
,
Abstract: Order statistics is statistics with principle is ordering a random sample of the positive discrete or continous
distribution . Let X1 , X2 , . . . , Xn denote a random sample, so Yi is called the ith order statistics of that random sample
with i = 1, 2, . . . , n and Y1 < Y2 < · · · < Yn . In the research, principle of order statistics is used in determining the
median of a random samples of an Exponential distribution with parameter β which has probability density function
f (x) = β1 e−x/β for 0 < x < ∞ and = 0, for otherwise Median is central value of the random sample of An Exponential
Distribution is found as:
2/(n+1) !−1
n−1 n−1
( 2 )!( 2 )!(n + 1)
m = β ln 1 −
4n!β (x−3)/2
for odd n, and
for even n.
m = β ln 1 −
(n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)!
16n!
!2/(n+1) −1
,
Mei 2010
1
1.1
PENDAHULUAN
latar Belakang
enyelidikan segugus data kuantitatif akan sangat
P
membantu bila didefinisikan ukuran-ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data. Ukuran yang
penting adalah ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat penyebaran nilai-nilai data. Salah satu ukuran pemusatan
yang banyak digunakan adalah median. Median merupakan nilai tengah dari segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya.
c 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya
Nilai median dalam suatu pengamatan yang berupa
segugus data dalam bilangan riil dapat dengan mudah ditentukan, karena nilai-nilai tersebut mudah untuk diurutkan. Sebaliknya jika diberikan suatu sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn yang non numerik, pengurutan nilai tidak dapat dilakukan. Akibatnya penentuan
letak median dari sampel acak tersebut tidak dapat
langsung ditentukan.
Dalam teori statistika dikenal statistik tataan (order
statistics) yaitu urutan nilai peubah acak dari yang
terkecil ke terbesar. Dengan statistik tataan tersebut
sebaran dari median dapat ditentukan. Selanjutnya
nilai median dapat dicari dengan menggunakan defi13202-5
Herlina dkk./Penggunaan Statistik . . .
Jurnal Penelitian Sains 13 2(A) 13202
nisi bahwa nilai peluang peubah acak dengan batas
atas median adalah 1/2. Oleh karena itu dalam penelitian ini diangkat permasalahan bagaimana menentukan median dari sampel acak yang non numerik, jika
diketahui fungsi kepekatan peluang peubah acak asal
sampel acak tersebut. Penelitian ini diterapkan pada
peubah acak Eksponensial, karena memiliki terapan
yang sangat luas. Pada contoh soal digunakan nilai
parameter β = 2
1.2
Tujuan dan Manfaat
Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan nilai median dari contoh acak dari distribusi Eksponensial. Manfaat yang bisa didapat dari penelitian ini antara lain dapat memahami kaitan penggunaan statistik tataan dalam menentukan nilai median serta dapat
mengetahui nilai median dari suatu peubah acak yang
memiliki distribusi Eksponensial.
2
2.1
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi Eksponensial
Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter skala β > 0 memiliki bentuk
fungsi kepadatan peluang:
(
1 −x/β
e
untuk 0 < x < ∞
.
f (x) = β
0 untuk lainnya
Y1 < Y2 < · · · < Yn mewakili X1 , X2 , . . . , Xn jika
diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Secara
spesifik dinyatakan bahwa Yi , i = 1, 2, . . . , n adalah
statistik tataan ke-i dari sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn
.
Sebagai sampel acak dari peubah acak yang memiliki fungsi kepadatan peluang f (x) = X1 , X2 , . . . , Xn ,
masing-masing adalah peubah acak yang memiliki sebaran seperti X dan bersifat bebas stokastik identik. Dari sifat tersebut dan banyaknya kemungkinan urutan X1 , X2 , . . . , Xn , fungsi kepadatan peluang
bersama Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah
n!f (y1 )f (y2 ) · · · f (yn )
g(y1 , y2 , · · · , yn ) =
dengan a < y1 · · · < yn < b
0 untuk selainnya
Dengan melakukan pengintegralan terhadap peubah
acak Yi yang lain, fungsi kepadatan marginal Yj , 1 ≤
j ≤ n didapat
n!
j−1
n−j
f (yj )
(j−1)!(n−j)! [f (yj )] [1 − F (yj )]
gj (yj ) =
untuk a < yj < b
0 untuk selainnya
dengan f (yj ) adalah fungsi kepadatan peluang X pada
X = yj , sementara F (yj ) adalah fungsi sebaran X
pada X = yj . Sementara fungsi kepadatan peluang
bersama dari statistik tataan Yi dan Yj ,1 ≤ i < j ≤ n,
adalah
Untuk peubah acak kontinu X yang menyebar menurut distribusi Eksponensial dengan parameter β jika
dan hanya jika P |X > a + t|X.a| = P [X > t] untuk
semua a > 0 dan t > 0[1] .
2.2
Median
n!
(i − 1)!(j − i − 1)!(n − j)!
×[F (yi )]i−1 [F (yj )]j−i−1
×[1 − F (yj )]n−j f (yi )f (yj )
untuk a < yi < yj < b[4]
Bila X1 , X2 , . . ., Xn menyatakan sampel acak berukuran n, diurutkan membesar menurut besar nilainya,
maka median sampel ditentukan sebagai statistik,
X
+X
X = X n+1 bila n ganjil X = n/2 2 (n/2)+1 bila n
2
genap[2] .
Menurut Waxmann[3] median adalah rerata posisi, karena median adalah nilai bilangan ditengah
dari sekolompok objek. Nilainya ditemukan dengan
menyusun bilangan dalam suatu urutan, baik menaik
maupun menurun, lalu menentukan subjek mana yang
ada ditengah.
2.3
gij (yi , yj ) =
Statistik Tataan
Misalkan X1 , X2 , . . ., Xn sampel acak dari sebaran
bertipe kontinu dengan f (x) positif pada a < x < b
. Misalkan Y1 adalah sampel acak terkecil dari X i,
Y2 sampel acak terkecil kedua dari Xi dan seterusnya sampai Yn sampel acak terbesar dari Xi . Jadi
3
METODOLOGI
Pada penentuan nilai median langkah-langkah yang
harus dilakukan adalah sebagai berikut :
1. Diberikan sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn , dari
peubah acak X dalam bentuk fungsi kepadatan
peluang suatu distribusi Eksponensial.
2. Untuk median dengan n ganjil diketahui rumus
yaitu Xk = X n+1 maka langkah selanjutnya
2
adalah menentukan fungsi kepadatan peluang me, sedian tersebut yaitu gk (yk ) dengan k = n+1
2
dangkan untuk median dengan n genap diketahui
X
+X
rumus yaitu X = n/2 2 (n/2)+1 sehingga perlu
dilakukan transformasi peubah acak Yn/2 dan
Y(n/2)+1 ke peubah acak Z didapat h(Z1 , Z2 ) dan
selanjutnya ditentukan fungsi kepadatan peluang
median untuk n genap.
13202-6
Herlina dkk./Penggunaan Statistik . . .
Jurnal Penelitian Sains 13 2(A) 13202
3. Menentukan nilai median dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median baik untuk n ganjil maupun n genap dengan batas
atas m dan batas bawah 0 (berdasarkan batas
bawah distribusi Eksponensial) dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P (X < m) = 21
.
4
sehingga
n−1
n!
1
= n−1 n−1
β 2
2
( 2 )!( 2 )!β
m = β ln 1 −
4.2
1 − βx
e , 0
Volume 13 Nomer 2(A) 13202
Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak
dari Distribusi Eksponensial
Herlina Hanum, Yuli Andriani, dan Retno
Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Intisari: Statistik Tataan merupakan statistik dengan prinsip pengurutan suatu sampel acak dari sebaran bertipe
diskrit atau kontinu yang positif. Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn suatu sampel acak maka Yi adalah statistik tataan ke-i dari
sampel acak tersebut dengan i = 1, 2, . . . , n di mana Y1 < Y2 < · · · < Yn . Pada penelitian ini prinsip Statistik Tataan
digunakan pada penentuan nilai median dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter β yang memiliki bentuk
fungsi kepadatan peluang f (x) = β1 e−x/β untuk 0 < x < ∞ dan sama dengan 0 untuk lainnya. Median merupakan nilai
tengah dari sekelompok objek. Median dari peubah acak berdistribusi Eksponensial yang diperoleh adalah
2/(n+1) !−1
n−1 n−1
( 2 )!( 2 )!(n + 1)
m = β ln 1 −
4n!β (x−3)/2
untuk n ganjil, dan
untuk n genap.
m = β ln 1 −
(n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)!
16n!
!2/(n+1) −1
,
Abstract: Order statistics is statistics with principle is ordering a random sample of the positive discrete or continous
distribution . Let X1 , X2 , . . . , Xn denote a random sample, so Yi is called the ith order statistics of that random sample
with i = 1, 2, . . . , n and Y1 < Y2 < · · · < Yn . In the research, principle of order statistics is used in determining the
median of a random samples of an Exponential distribution with parameter β which has probability density function
f (x) = β1 e−x/β for 0 < x < ∞ and = 0, for otherwise Median is central value of the random sample of An Exponential
Distribution is found as:
2/(n+1) !−1
n−1 n−1
( 2 )!( 2 )!(n + 1)
m = β ln 1 −
4n!β (x−3)/2
for odd n, and
for even n.
m = β ln 1 −
(n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)!
16n!
!2/(n+1) −1
,
Mei 2010
1
1.1
PENDAHULUAN
latar Belakang
enyelidikan segugus data kuantitatif akan sangat
P
membantu bila didefinisikan ukuran-ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data. Ukuran yang
penting adalah ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat penyebaran nilai-nilai data. Salah satu ukuran pemusatan
yang banyak digunakan adalah median. Median merupakan nilai tengah dari segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya.
c 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya
Nilai median dalam suatu pengamatan yang berupa
segugus data dalam bilangan riil dapat dengan mudah ditentukan, karena nilai-nilai tersebut mudah untuk diurutkan. Sebaliknya jika diberikan suatu sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn yang non numerik, pengurutan nilai tidak dapat dilakukan. Akibatnya penentuan
letak median dari sampel acak tersebut tidak dapat
langsung ditentukan.
Dalam teori statistika dikenal statistik tataan (order
statistics) yaitu urutan nilai peubah acak dari yang
terkecil ke terbesar. Dengan statistik tataan tersebut
sebaran dari median dapat ditentukan. Selanjutnya
nilai median dapat dicari dengan menggunakan defi13202-5
Herlina dkk./Penggunaan Statistik . . .
Jurnal Penelitian Sains 13 2(A) 13202
nisi bahwa nilai peluang peubah acak dengan batas
atas median adalah 1/2. Oleh karena itu dalam penelitian ini diangkat permasalahan bagaimana menentukan median dari sampel acak yang non numerik, jika
diketahui fungsi kepekatan peluang peubah acak asal
sampel acak tersebut. Penelitian ini diterapkan pada
peubah acak Eksponensial, karena memiliki terapan
yang sangat luas. Pada contoh soal digunakan nilai
parameter β = 2
1.2
Tujuan dan Manfaat
Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan nilai median dari contoh acak dari distribusi Eksponensial. Manfaat yang bisa didapat dari penelitian ini antara lain dapat memahami kaitan penggunaan statistik tataan dalam menentukan nilai median serta dapat
mengetahui nilai median dari suatu peubah acak yang
memiliki distribusi Eksponensial.
2
2.1
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi Eksponensial
Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter skala β > 0 memiliki bentuk
fungsi kepadatan peluang:
(
1 −x/β
e
untuk 0 < x < ∞
.
f (x) = β
0 untuk lainnya
Y1 < Y2 < · · · < Yn mewakili X1 , X2 , . . . , Xn jika
diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Secara
spesifik dinyatakan bahwa Yi , i = 1, 2, . . . , n adalah
statistik tataan ke-i dari sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn
.
Sebagai sampel acak dari peubah acak yang memiliki fungsi kepadatan peluang f (x) = X1 , X2 , . . . , Xn ,
masing-masing adalah peubah acak yang memiliki sebaran seperti X dan bersifat bebas stokastik identik. Dari sifat tersebut dan banyaknya kemungkinan urutan X1 , X2 , . . . , Xn , fungsi kepadatan peluang
bersama Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah
n!f (y1 )f (y2 ) · · · f (yn )
g(y1 , y2 , · · · , yn ) =
dengan a < y1 · · · < yn < b
0 untuk selainnya
Dengan melakukan pengintegralan terhadap peubah
acak Yi yang lain, fungsi kepadatan marginal Yj , 1 ≤
j ≤ n didapat
n!
j−1
n−j
f (yj )
(j−1)!(n−j)! [f (yj )] [1 − F (yj )]
gj (yj ) =
untuk a < yj < b
0 untuk selainnya
dengan f (yj ) adalah fungsi kepadatan peluang X pada
X = yj , sementara F (yj ) adalah fungsi sebaran X
pada X = yj . Sementara fungsi kepadatan peluang
bersama dari statistik tataan Yi dan Yj ,1 ≤ i < j ≤ n,
adalah
Untuk peubah acak kontinu X yang menyebar menurut distribusi Eksponensial dengan parameter β jika
dan hanya jika P |X > a + t|X.a| = P [X > t] untuk
semua a > 0 dan t > 0[1] .
2.2
Median
n!
(i − 1)!(j − i − 1)!(n − j)!
×[F (yi )]i−1 [F (yj )]j−i−1
×[1 − F (yj )]n−j f (yi )f (yj )
untuk a < yi < yj < b[4]
Bila X1 , X2 , . . ., Xn menyatakan sampel acak berukuran n, diurutkan membesar menurut besar nilainya,
maka median sampel ditentukan sebagai statistik,
X
+X
X = X n+1 bila n ganjil X = n/2 2 (n/2)+1 bila n
2
genap[2] .
Menurut Waxmann[3] median adalah rerata posisi, karena median adalah nilai bilangan ditengah
dari sekolompok objek. Nilainya ditemukan dengan
menyusun bilangan dalam suatu urutan, baik menaik
maupun menurun, lalu menentukan subjek mana yang
ada ditengah.
2.3
gij (yi , yj ) =
Statistik Tataan
Misalkan X1 , X2 , . . ., Xn sampel acak dari sebaran
bertipe kontinu dengan f (x) positif pada a < x < b
. Misalkan Y1 adalah sampel acak terkecil dari X i,
Y2 sampel acak terkecil kedua dari Xi dan seterusnya sampai Yn sampel acak terbesar dari Xi . Jadi
3
METODOLOGI
Pada penentuan nilai median langkah-langkah yang
harus dilakukan adalah sebagai berikut :
1. Diberikan sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn , dari
peubah acak X dalam bentuk fungsi kepadatan
peluang suatu distribusi Eksponensial.
2. Untuk median dengan n ganjil diketahui rumus
yaitu Xk = X n+1 maka langkah selanjutnya
2
adalah menentukan fungsi kepadatan peluang me, sedian tersebut yaitu gk (yk ) dengan k = n+1
2
dangkan untuk median dengan n genap diketahui
X
+X
rumus yaitu X = n/2 2 (n/2)+1 sehingga perlu
dilakukan transformasi peubah acak Yn/2 dan
Y(n/2)+1 ke peubah acak Z didapat h(Z1 , Z2 ) dan
selanjutnya ditentukan fungsi kepadatan peluang
median untuk n genap.
13202-6
Herlina dkk./Penggunaan Statistik . . .
Jurnal Penelitian Sains 13 2(A) 13202
3. Menentukan nilai median dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median baik untuk n ganjil maupun n genap dengan batas
atas m dan batas bawah 0 (berdasarkan batas
bawah distribusi Eksponensial) dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P (X < m) = 21
.
4
sehingga
n−1
n!
1
= n−1 n−1
β 2
2
( 2 )!( 2 )!β
m = β ln 1 −
4.2
1 − βx
e , 0