bb8b7 bab ii relasi
9
BAB II
RELASI
1.
Produk Cartesian
Definisi 1
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua
pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A
dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi:
|
Contoh:
Jika C = {1,2,3} dan D = {a,b}, maka
C x D = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
D x C = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
Catatan:
| | || |
a) Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka |
b) Pasangan berurutan a b berbeda dengan b a denga kata lain a b ≠ b a
c) Perkalian kartesian tidak komutatif yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B bukan
himpunan kosong
d) Jika
dan
, maka
2.
Relasi
Definisi 2
Relasi antara A dan B disebut relasi biner. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan
bagian dari A x B
Notasi:
Jika (a,b) R, maka a R b artinya a dihubungkan dengan b oleh R dan jika (a,b) R maka a R
b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh R. Himpunan A disebut daerah asal
(domain) dari R dan himpunan B disebut daerah hasil (range / codomain) dari R.
Contoh:
Jika P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,15} dan difenisikan relasi R dari P ke Q dengan
p habis membagi q, maka diperoleh:
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}
jika
Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan adalah relasi khusus.
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
10
Definisi 3
Relasi pada himpunan A adalah A x A
Dengan kata lain, relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A.
Contoh:
Jika R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh
prima dari y. Maka diperoleh
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
3.
jika x adalah faktor
Bentuk Penyajian Relasi
Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, antara lain:
a. Pendaftaran
Contoh:
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}
b. Pencirian
Contoh:
R = {(x,y) | x adalah faktor prima dari y dan x,y A}
c. Diagram
2
3
4
2
4
8
9
d. Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1,a2,a3 … am} dan B = {b1,b2,b3 … bn}, relasi R dapat
disajikan dalam Matriks M = [Mij].
…
…
…
[
]
Di mana:
{
(
(
)
)
…
Contoh:
Jika R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh
faktor prima dari y. Maka diperoleh
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
Matematika Diskrit
jika x adalah
Liduina Asih Primandari
11
Apabila disajikan dalam bentuk matriks:
4.
[
]
Invers dari Relasi
Definisi 4
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi dari relasi R dilambangkan
dengan R-1 adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh:
|
Jika R adalah relasi pada himpunan orang – orang di mana (a,b) R. Jika a adalah ayah dari b,
maka dapat dibuat kebalikannya yaitu (b,a) yang menyatakan bahwa b adalah anak dari a.
Contoh:
Misalkan P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan
(p,q) R jika p habis membagi q
Maka diperoleh
R = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8)}
-1
R adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P, maka
R-1 ={(2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4)}
Dengan hubungan
(q,p) R-1 jika q adalah kelipatan dari p
5.
Kombinasi Relasi
Relasi biner adalah himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan,
gabungan, selisih dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
Contoh:
Misalkan A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}. Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2 =
{(a,a),(a,b),(a.c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B. Maka kombinasi kedua buah relasi tersebut:
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
6.
12
Komposisi Relasi
Definisi 5
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S adalah relasi dari himpunan
B ke C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan
adalah relasi dari A ke C yang
didefinisikan oleh:
|
Contoh:
Misalkan R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke
himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8}
ke {s,t,u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah
1
2
3
7.
2
4
6
8
s
t
u
Simbol Rn digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan dirinya sendiri
sebanyak n kali
…
(sebanyak n kali)
Relasi n – ary
Definisi 6
Misalkan
…
adalah himpunan. Relasi n – ary pada himpunan tersebut adalah
himpunan bagian dari
…
atau dinotasikan dengan notasi
…
.
…
adalah daerah asal (domain) relasi dan n disebut derajat.
Contoh:
NIM = {1551001, 1551002, 1551003,1551004,1551005}
Nama = {Adi, Budi, Candra, Doni, Ega}
Mata Kuliah = {Matematika, Bahasa Indonesia, Agama, Fisika}
Nilai = {A,B,C,D}
Relasi MHS dinotasikan dengan
Relasi MHS yang disajikan dalam bentuk pendaftaran:
MHS = {(1551001,Adi,Matematika,A),(1551001,Adi,Bahasa Indonesia,B),
(1551002,Budi,Matematika,C),(1551002,Budi,Agama,B),(1551003,Candra,Bahasa
Indonesia,C),(1551003,Candra,Agama,D),(1551003,Candra,Fisika,A),(1551004,Doni,Matema
tika,B),(1551004,Doni,Agama,B),(1551005,Ega,Agama,C)}
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
Relasi MHS dapat disajikan dalam bentuk tabel:
NIM
Nama
Mata Kuliah
1551001
Adi
Matematika
1551001
Adi
Bahasa Indonesia
1551002
Budi
Matematika
1551002
Budi
Agama
1551003
Candra
Bahasa Indonesia
1551003
Candra
Agama
1551003
Candra
Fisika
1551004
Doni
Matematika
1551004
Doni
Agama
1551005
Ega
Agama
13
Nilai
A
B
C
B
C
D
A
B
B
C
Ada beberapa operasi yang dapat digunakan:
Seleksi
Operasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu.
Operator:
Contoh:
Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Agama.
Operasi seleksinya adalah:
Yang
menghasilkan
(1551002,Budi,Agama,B),
(1551004,Doni,Agama,B) dan (1551005,Ega,Agama,C)
(1551003,Candra,Agama,D),
Proyeksi
Operasi proyeksi memilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama
nilainya, diambil salah satu.
Operator:
Contoh:
Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan kolom Nama, Mata Kuliah dan Nilai.
Operasi proyeksinya adalah:
Yang menghasilkan:
Nama
Mata Kuliah
Adi
Matematika
Adi
Bahasa Indonesia
Budi
Matematika
Budi
Agama
Candra
Bahasa Indonesia
Candra
Agama
Candra
Fisika
Doni
Matematika
Doni
Agama
Ega
Agama
Matematika Diskrit
Nilai
A
B
C
B
C
D
A
B
B
C
Liduina Asih Primandari
14
Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan kolom NIM dan Nama
Operasi proyeksinya adalah:
Yang menghasilkan:
NIM
Nama
1551001
Adi
1551002
Budi
1551003
Candra
Doni
1551004
Ega
1551005
Join
Operasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu jika kedua tabel memiliki atribut
yang sama.
Operator:
Contoh:
Misalkan Relasi MHS1 dinyatakan pada Tabel 1 dan relasi MHS2 dinyatakan dalam tabel 2.
Maka, operasi Join:
Akan menghasilkan Tabel 3.
Tabel 1
NIM
1531001
1531002
1531003
1531004
Nama
Hadi
Arina
Bayu
Karin
Tabel 2
NIM
1531001
1531001
1531001
1531003
1531004
Nama
Hadi
Hadi
Hadi
Bayu
Karin
Mata Kuliah
Kalkulus
Agama
Fisika
Kalkulus
Fisika
Nilai
A
C
B
D
D
Tabel 3
NIM
1531001
1531001
1531001
1531003
1531004
Nama
Hadi
Hadi
Hadi
Bayu
Karin
JK
L
L
L
L
P
Mata Kuliah
Kalkulus
Agama
Fisika
Kalkulus
Fisika
Matematika Diskrit
JK
L
P
L
P
Nilai
A
C
B
D
D
Liduina Asih Primandari
BAB II
RELASI
1.
Produk Cartesian
Definisi 1
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua
pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A
dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi:
|
Contoh:
Jika C = {1,2,3} dan D = {a,b}, maka
C x D = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
D x C = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
Catatan:
| | || |
a) Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka |
b) Pasangan berurutan a b berbeda dengan b a denga kata lain a b ≠ b a
c) Perkalian kartesian tidak komutatif yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B bukan
himpunan kosong
d) Jika
dan
, maka
2.
Relasi
Definisi 2
Relasi antara A dan B disebut relasi biner. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan
bagian dari A x B
Notasi:
Jika (a,b) R, maka a R b artinya a dihubungkan dengan b oleh R dan jika (a,b) R maka a R
b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh R. Himpunan A disebut daerah asal
(domain) dari R dan himpunan B disebut daerah hasil (range / codomain) dari R.
Contoh:
Jika P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,15} dan difenisikan relasi R dari P ke Q dengan
p habis membagi q, maka diperoleh:
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}
jika
Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan adalah relasi khusus.
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
10
Definisi 3
Relasi pada himpunan A adalah A x A
Dengan kata lain, relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A.
Contoh:
Jika R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh
prima dari y. Maka diperoleh
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
3.
jika x adalah faktor
Bentuk Penyajian Relasi
Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, antara lain:
a. Pendaftaran
Contoh:
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}
b. Pencirian
Contoh:
R = {(x,y) | x adalah faktor prima dari y dan x,y A}
c. Diagram
2
3
4
2
4
8
9
d. Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1,a2,a3 … am} dan B = {b1,b2,b3 … bn}, relasi R dapat
disajikan dalam Matriks M = [Mij].
…
…
…
[
]
Di mana:
{
(
(
)
)
…
Contoh:
Jika R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh
faktor prima dari y. Maka diperoleh
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
Matematika Diskrit
jika x adalah
Liduina Asih Primandari
11
Apabila disajikan dalam bentuk matriks:
4.
[
]
Invers dari Relasi
Definisi 4
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi dari relasi R dilambangkan
dengan R-1 adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh:
|
Jika R adalah relasi pada himpunan orang – orang di mana (a,b) R. Jika a adalah ayah dari b,
maka dapat dibuat kebalikannya yaitu (b,a) yang menyatakan bahwa b adalah anak dari a.
Contoh:
Misalkan P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan
(p,q) R jika p habis membagi q
Maka diperoleh
R = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8)}
-1
R adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P, maka
R-1 ={(2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4)}
Dengan hubungan
(q,p) R-1 jika q adalah kelipatan dari p
5.
Kombinasi Relasi
Relasi biner adalah himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan,
gabungan, selisih dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
Contoh:
Misalkan A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}. Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2 =
{(a,a),(a,b),(a.c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B. Maka kombinasi kedua buah relasi tersebut:
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
6.
12
Komposisi Relasi
Definisi 5
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S adalah relasi dari himpunan
B ke C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan
adalah relasi dari A ke C yang
didefinisikan oleh:
|
Contoh:
Misalkan R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke
himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8}
ke {s,t,u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah
1
2
3
7.
2
4
6
8
s
t
u
Simbol Rn digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan dirinya sendiri
sebanyak n kali
…
(sebanyak n kali)
Relasi n – ary
Definisi 6
Misalkan
…
adalah himpunan. Relasi n – ary pada himpunan tersebut adalah
himpunan bagian dari
…
atau dinotasikan dengan notasi
…
.
…
adalah daerah asal (domain) relasi dan n disebut derajat.
Contoh:
NIM = {1551001, 1551002, 1551003,1551004,1551005}
Nama = {Adi, Budi, Candra, Doni, Ega}
Mata Kuliah = {Matematika, Bahasa Indonesia, Agama, Fisika}
Nilai = {A,B,C,D}
Relasi MHS dinotasikan dengan
Relasi MHS yang disajikan dalam bentuk pendaftaran:
MHS = {(1551001,Adi,Matematika,A),(1551001,Adi,Bahasa Indonesia,B),
(1551002,Budi,Matematika,C),(1551002,Budi,Agama,B),(1551003,Candra,Bahasa
Indonesia,C),(1551003,Candra,Agama,D),(1551003,Candra,Fisika,A),(1551004,Doni,Matema
tika,B),(1551004,Doni,Agama,B),(1551005,Ega,Agama,C)}
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
Relasi MHS dapat disajikan dalam bentuk tabel:
NIM
Nama
Mata Kuliah
1551001
Adi
Matematika
1551001
Adi
Bahasa Indonesia
1551002
Budi
Matematika
1551002
Budi
Agama
1551003
Candra
Bahasa Indonesia
1551003
Candra
Agama
1551003
Candra
Fisika
1551004
Doni
Matematika
1551004
Doni
Agama
1551005
Ega
Agama
13
Nilai
A
B
C
B
C
D
A
B
B
C
Ada beberapa operasi yang dapat digunakan:
Seleksi
Operasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu.
Operator:
Contoh:
Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Agama.
Operasi seleksinya adalah:
Yang
menghasilkan
(1551002,Budi,Agama,B),
(1551004,Doni,Agama,B) dan (1551005,Ega,Agama,C)
(1551003,Candra,Agama,D),
Proyeksi
Operasi proyeksi memilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama
nilainya, diambil salah satu.
Operator:
Contoh:
Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan kolom Nama, Mata Kuliah dan Nilai.
Operasi proyeksinya adalah:
Yang menghasilkan:
Nama
Mata Kuliah
Adi
Matematika
Adi
Bahasa Indonesia
Budi
Matematika
Budi
Agama
Candra
Bahasa Indonesia
Candra
Agama
Candra
Fisika
Doni
Matematika
Doni
Agama
Ega
Agama
Matematika Diskrit
Nilai
A
B
C
B
C
D
A
B
B
C
Liduina Asih Primandari
14
Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan kolom NIM dan Nama
Operasi proyeksinya adalah:
Yang menghasilkan:
NIM
Nama
1551001
Adi
1551002
Budi
1551003
Candra
Doni
1551004
Ega
1551005
Join
Operasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu jika kedua tabel memiliki atribut
yang sama.
Operator:
Contoh:
Misalkan Relasi MHS1 dinyatakan pada Tabel 1 dan relasi MHS2 dinyatakan dalam tabel 2.
Maka, operasi Join:
Akan menghasilkan Tabel 3.
Tabel 1
NIM
1531001
1531002
1531003
1531004
Nama
Hadi
Arina
Bayu
Karin
Tabel 2
NIM
1531001
1531001
1531001
1531003
1531004
Nama
Hadi
Hadi
Hadi
Bayu
Karin
Mata Kuliah
Kalkulus
Agama
Fisika
Kalkulus
Fisika
Nilai
A
C
B
D
D
Tabel 3
NIM
1531001
1531001
1531001
1531003
1531004
Nama
Hadi
Hadi
Hadi
Bayu
Karin
JK
L
L
L
L
P
Mata Kuliah
Kalkulus
Agama
Fisika
Kalkulus
Fisika
Matematika Diskrit
JK
L
P
L
P
Nilai
A
C
B
D
D
Liduina Asih Primandari