BAB 2. RELASI - BAB 3 RELASI
BAB 2. RELASI
1 Relasi
1 Relasi
Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dari X × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x, y ) ∈ R yang artinya x dihubungkan dengan y oleh R.
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dari X × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x, y ) ∈ R yang artinya x dihubungkan dengan y oleh R.
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dari X × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x, y ) ∈ R yang artinya x dihubungkan dengan y oleh R.
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dari X × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3
x R y adalah notasi untuk (x, y ) ∈ R yang artinya x dihubungkan dengan y oleh R.
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dari X × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3
x R y adalah notasi untuk (x, y ) ∈ R yang artinya x dihubungkan dengan y oleh R.
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dari X × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3
x R y adalah notasi untuk (x, y ) ∈ R yang artinya x dihubungkan dengan y oleh R. Misalnya variabel x dan y adalah bilangan real dalam interval tertutup [x , x ]
1
2
dan [y
1 , y 2 ], sehingga : X = [x 1 , x 2 ] dan Y = [y 1 , y 2 ] maka: X , y , , y , , y , , y
× Y = {(x ) (x ) (x ) (x )}
1
1
1
2
2
1
2
2 Y , x , , x , , x , , x × X = {(y ) (y ) (y ) (y )}
1
1
1
2
2
1
2
2
1 Relasi
Pemetaan adalah paparan visual relasi dengan menghubungkan anggotas suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain, sebagai contoh :
Relasi dapat dipaparkan menggunakan koordinat sebagai contoh :
R = {(Microsoft, Windows), (IBM, Os/2), (Macintosh, MacOS)}
Relasi dapat dipaparkan melalui sebuah matriks yaitu dengan nilai 1 apabila ada relasi antara 2 elemen pasangan terurut, atau 0 apabila tidak ada relasi antara 2 elemen pasangan terurut, sebagai contoh :
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga
simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:
1 Relasi
a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) 6∈ R. contoh : Misalkan A , 2 ,
3 ,
4 = {1 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) 6∈ R. contoh : Misalkan A , 2 ,
3 ,
4 = {1 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) 6∈ R. contoh : Misalkan A , 2 ,
3 ,
4 = {1 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) 6∈ R. contoh : Misalkan A , 2 ,
3 ,
4 = {1 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) 6∈ R. contoh : Misalkan A , 2 ,
3 ,
4 = {1 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada
matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada
matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada
matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada
matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur X R = {(2 , 1 ) , (3 , 1 ) , (3 , 2 ) , (4 , 1 ) , (4 , 2 ) , (4 , 3 )} bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:
X R = {(2 , 1 ) , (3 , 1 ) , (3 , 2 ) , (4 , 1 ) , (4 , 2 ) , (4 , 3 )} bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:
X R = {(2 , 1 ) , (3 , 1 ) , (3 , 2 ) , (4 , 1 ) , (4 , 2 ) , (4 , 3 )} bersifat menghantar. Lihat tabel berikut: contoh 1 :
X R = {(1 ,
1 ) , (2 ,
3 ) , (2 ,
4 ) ,
(4
,2 )} tidak manghantar karena (2 ,
4 ) dan (4 ,
2 ) ∈ R, tetapi (2 ,
2 ) 6∈ R, begitu juga (4 ,
2 ) dan
1 (a, b) ∈ R, maka Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika
(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian
sehingga (b, a) 6∈ R
1 (a, b) ∈ R, maka
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian
sehingga (b, a) 6∈ R
1 (a, b) ∈ R, maka
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) 6∈ R
1 (a, b) ∈ R, maka
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) 6∈ R
1 (a, b) ∈ R, maka
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) 6∈ R Contoh
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifat
(a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2) setangkup karena jika (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R. dan Contoh
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifat (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2) setangkup karena jika
(2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R. dan Contoh
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifat (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2) setangkup karena jika
(2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R. dan Contoh
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifat (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2) setangkup karena jika
(2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R. dan Contoh
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifat (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2) setangkup karena jika
(2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R. dan Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a. Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a. Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a. Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
1 Relasi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi −1
R, dilambangkan dengan R , adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan
oleh
−1 R , b , b
= {(a )|(a ) ∈ R} Contoh: Misalkan P , 3 , 4 , 4 , 8 , 9 ,
15 = {2 } dan Q = {2 }. Jika
M = 1 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 maka matriks yang merepresentasikan relasi R −1
, misalkan N,
diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
Contoh
Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}
Relasi R , a , , b , , c = {(a ) (b ) (c )}
1 Relasi R , a , , b , , c , , d
= {(a ) (a ) (a ) (a )}
2 Contoh
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S ◦ R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh , ,
S ◦ R = {(a c )|a ∈ A c ∈ C, dan untuk beberapa b , , b , c ∈ B (a ) ∈ R dan (b ) ∈ S }
Contoh
Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah:
Contoh
Misalkan bahwa relasi R 1 dan R 2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
1 0 1 0 1 0 Contoh
maka matriks yang menyatakan R
2 ◦ R 1 adalah M
= M · M R1 R2
R2◦R1
1 Relasi
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah
himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener) Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah
himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener) Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener) Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener) Contoh: Misalkan NIM , 13598014 , 13598015 , 13598019 , = {13598011
13598021 , 13598025 }
Nama , Santi , Irwan , Ahmad , Cecep , Hamdan
= {Amir }MatKul , Algoritma , StrukturData ,
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap
kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yang
memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin
menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan