PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE Repository - UNAIR REPOSITORY

PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM

  LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE SKRIPSI

SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM

  LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Oleh : SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI NIM. 080710447 Tanggal Lulus : September 2012 Disetujui Oleh : Pembimbing I Pembimbing II Toha Saifudin, S.Si, M.Si Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002 NIP. 19650907 199102 1 001

  ii

  LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul : Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan

Metode Weighted Least Square

Penyusun : Sofia Utami Dewi Saputri

  NIM : 080710447 Tanggal Ujian : September 2012 Disetujui oleh : Pembimbing I Pembimbing II Toha Saifudin, S.Si, M.Si Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002 NIP. 19650907 199102 1 001 Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Airlangga Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002

  iii

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

  Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga . iv

KATA PENGANTAR

  Alhamdulillah. Segala Puji Syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi dengan judul “Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner

  Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square

  ” dapat terselesaikan. Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi

  sebagian persyaratan guna memperoleh gelar sarjana pada pogram studi Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

  Penulis menyadari bahwa berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, maka skripsi ini dapat tersusun. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :

  1. Kepada Ibunda saya tercinta Anna Laila Ahmad dan Ayahanda saya tercinta Anwar Shodiq (Alm.) atas segala dukungan dan doanya.

  2. Kepada ketiga kakak saya, Evy Rosydiana dan mas Indun, Fuad Ahmadi dan mbak Ranty dan Ahmad Fauzi dan mbak Dian serta adik saya Bagus Pranoto Abdillah serta Saudara-saudara saya atas doa serta dukungannya.

  3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini dengan penuh keikhlasan dan kesabaran hingga selesainya skripsi ini. v

  4. Drs. Sediono, M. Si selaku dosen wali yang telah banyak membantu dalam kegiatan akademis selama Penulis belajar di Fakultas Sains dan Teknologi UNAIR.

  5. Dr.Miswanto selaku KAPRODI Matematika sekaligus KADEP Matematika yang telah memberikan arahan dalam penyusunan skripsi.

  6. Seluruh mahasiswa UNAIR angkatan 2007, khususnya mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2007 atas kerjasama, do’a dan dukungannya.

  7. Sahabat-sahabat saya Herlina, Trisfiyanti, Uum, Tia, Arista dan Galuh terimakasih atas dukungan serta doa kalian semua.

  8. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

  Semoga segala pengorbanan dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini mendapat imbalan dan amalan yang diridhoi Allah S.W.T. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.

  Surabaya, September 2012 Penyusun

  Sofia Utami Dewi Saputri vi Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi

  Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square

  . Skripsi ini di bawah bimbingan Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya

  ABSTRAK

  Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum

  likelihood dan metode Weighted least square. Proses estimasinya menggunakan

  algoritma Newton raphson dan Iteratively reweighted least square. Untuk penerapan pada data dibuat program menggunakan Software S-PLUS 2000 Perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square diterapkan pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti. Variabel respon yang digunakan adalah jumlah kematian larva Aedes aegypti (Y), sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba (X )

  1

  dan lama waktu pengamatan (X

  2 ). Dari hasil analisa data diperoleh bahwa metode

  yang baik adalah metode Maximum likelihood dengan nilai Mean Square Error (MSE) dan Apparent Rate Error (APPER) yang terkecil , yaitu sebesar 0,6566313 dan 4,44%.

  Kata Kunci : Regresi logistik biner, Maximum Likelihood, Algoritma Newton Raphson, Weighted Least Square, Iteratively Rweighted Least Square dan Kematian larva Aedes aegypti.

  vii Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Comparison of Results of Binary Logistic

  Regression Model Estimation Method Using Maximum Likelihood and Weighted Least Square

  Method. This thesis under the guidance of Toha Saifudin

  S. Si, M. Si and Drs. Suliyanto M. Si. Department of Mathematics, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya.

  ABSTRACT

  The purpose of this paper is to compare the results of binary logistic regression model was estimated using the method Maximum Likelihood and

  Weighted Least Square method. Estimation process using the Newton Raphson

  algorithm and Iteratively Reweighted Least Squares. For the application on the data use S-PLUS 2000 software.

  Comparison of the results of binary logistic regression model was estimated using the method of Maximum Likelihood and weighted least square method applied to the data of larvaside effectivity test of Neem leaf ethanol extract (Azadirachta indica) on Aedes aegypti larvae. The respon variable that is used is the mortality percentage of Aedes aegypti larvae (Y), while the predictor variables that are used are consentration of ethanol extract of Neem leaf (X ) and

  1

  time of observation (X

  2 ). From the analysis og the data obtained is that a good

  method Maximum likelihood method with a value of Mean Square Error (MSE) and the Apparent Rate Error (APPER) is the smallest, that is equal to 0,6566313 and 4,44%.

  Key Word : Binary logistic regression, Maximum likelihood,Newton Raphson algorithm, Weighted Least Square, Iteratively Reweighted Least Square, Aedes aegypti larvae mortality.

  viii

  DAFTAR ISI

  Halaman LEMBAR JUDUL ...................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ....................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................ iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ..................................... iv KATA PENGANTAR ................................................................................ v ABSTRAK .................................................................................................... vii ABCTRACT ................................................................................................. viii DAFTAR ISI ............................................................................................... ix DAFTAR TABEL ......................................................................................... xi DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. xii BAB I PENDAHULUAN ........................................................................

  1 1.1 Latar Belakang Masalah ....................................................

  1 1.2 Rumusan Masalah .............................................................

  4 1.3 Tujuan ...............................................................................

  4 1.4 Manfaat .............................................................................

  5 1.5 Batasan Masalah ................................................................

  5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA ...............................................................

  6 2.1 Matriks ..............................................................................

  6 2.2 Distribusi Binomial .............................................................

  7 2.3 Regresi Logistik Biner .........................................................

  7 2.4 Turunan dalam Format Vektor .............................................

  9

  2.5 Metode Maximum Likelihood ............................................. 10

  2.6 Metode Weighted Least Square .......................................... 10

  2.7 Matriks Pembobot Keluarga Generalized Linier Model ..... 11

  2.8 Prosedur Klasifikasi ............................................................. 12

  2.9 Mean Square Error (MSE)……………………………….. 13

  2.10 Algoritma Newton Raphson ................................................. 13

  2.11 S-PLUS 2000.................................... ................................... 14

  2.12 Aedes aegypti ...................................................................... 17

  2.13 Daun Mimba (Azadirachta indica) ..................................... 19

  BAB III METODE PENELITIAN .............................................................. 21

  3.1. Estimasi model Regresi Logistik Biner .............................. 21

  3.1.1. Metode Maximum Likelihood ................................... 21

  3.1.2. Metode Weighted Least Square ............................... 23

  3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square .......... 24

  3.2. Membandingkan Metode MLE dengan Metode WLS ......... 25

  3.3. Penerapan Model pada Data ................................................ 26

  BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ...................................................... 27 ix

  BAB V PENUTUP ........................................................................................ 44

  5.1. Kesimpulan .......................................................................... 44

  5.2. Saran .................................................................................... 45 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 46 LAMPIRAN x

  xi

  DAFTAR TABEL

  No Judul Tabel Halaman

  2.1 Tabel Klasifikasi ................................................................................ 12

DAFTAR LAMPIRAN

  Nomor Judul

  1. Data Kematian Larva Aedes aegypti

  2. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER

  3. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER

  4. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE danAPPER

  5. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER

  6. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER

  7. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

  Dalam bidang ilmu statistika, untuk mengetahui hubungan antara variabel respon dengan beberapa variabel prediktor dapat menggunakan analisis regresi linier. Dalam analisis regresi linier, variabel respon harus bersifat kuantitatif dengan skala pengukuran minimal interval. Variabel respon juga diasumsikan berdistribusi normal dan mempunyai ragam yang homogen (Rokhman, 2008).

  Pada realita di lapangan menunjukkan bahwa banyak penelitian yang menghasilkan respon dengan nilai “sukses” atau “gagal”. Bila variabel respon merupakan data kategorik termasuk data biner maka model regresi linier biasa tidak dapat digunakan untuk analisis. Salah satu analisis regresi untuk menganalisis variabel respon berskala biner adalah analisis regresi logistik (Rokhman, 2008).

  Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi logistik diantaranya adalah metode Maximum Likelihood, Weighted

  Least Square (WLS) dan Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS) dalam

  penyelesaian. Metode-metode estimasi tersebut telah dibahas oleh Agresti. Jika diterapkan terhadap sebuah kasus yang sama, metode-metode tersebut dapat menghasilkan estimator yang berbeda. Hal inilah yang menarik perhatian penulis

  1 untuk membahas perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS dalam skripsi ini. Sebagai kriteria perbandingan, penulis menggunakan nilai Apparent Error Rate (APPER) dan Mean Square Error (MSE). APPER merupakan proporsi misklasifikasi (ketidaktepatan klasifikasi) estimasi terhadap kenyataan yang sebenarnya dari variabel respon. Nilai APPER berkisar dari hingga . Jika nilai APPER semakin mendekati maka estimasi yang dilakukan semakin baik. Adapun MSE merupakan ukuran rata-rata kuadrat kesalahan prediksi. Nilai MSE berupa bilangan riil non negatif. Jika nilai MSE semakin mendekati 0 maka estimasi yang dilakukan semakin baik.

  Sebagai contoh penerapan, dalam skripsi ini penulis mengambil kasus kematian larva Aedes aegypti akibat pemberian ekstrak daun mimba. Data yang penulis gunakan, diadopsi dari Aradilla (2009). Berdasarkan data tersebut penulis melakukan pemodelan regresi logistik menggunakan metode estimasi Maximum

  Likelihood dan WLS, selanjutnya membandingkan hasilnya menggunakan kriteria APPER dan MSE.

  Aedes aegypti merupakan jenis nyamuk yang dapat membawa virus

  dengue penyebab penyakit demam berdarah. Selain dengue, Aedes aegypti juga merupakan pembawa virus demam kuning (yellow fever) dan chikungunya.

  Penyebaran jenis ini sangat luas, meliputi hampir semua daerah tropis di seluruh dunia. Sebagai pembawa vius dengue, Aedes aegypti merupakan pembawa utama (primary vector) dan bersama Aedes Albopictus menciptakan siklus persebaran dengue di desa dan kota. Aedes aegypti umumnya berkembang biak di rumah penduduk, sedangkan Aedes Albopictus lebih suka di cekungan dahan pohon yang menampung air (Judarwanto, 2007). Dalam Daniel (2008) dijelaskan bahwa tindakan pencegahan dengan memberantas sarang nyamuk dan membunuh larva serta nyamuk dewasa, merupakan tindakan yang terbaik.

  Dalam Aradilla (2009) disebutkan bahwa tanaman Mimba (Azadirachta

  indica) merupakan tanaman obat yang memiliki berbagai macam kegunaan. Salah

  satu kegunaannya adalah sebagai biopestisida (larvasida). Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Ndione, et all pada tahun 2007, dengan menggunakan biji daun mimba terhadap larva Aedes aegypti Linnaeus 1762, yang juga mengandung azadirachtin, salalinin, meliantriol, nimbin dan nimbidin, daun mimba mampu membunuh larva Aedes aegypti. Mimba tidak membunuh hama secara cepat namun memiliki mekanisme kerja menurunkan nafsu makan dan menghambat pertumbuhan dan reproduksi. Daya larvasida daun mimba berasal dari kandungan aktifnya yang disebut azadirachtin dan salanin. Senyawa-senyawa yang dikandung daun mimba itulah yang diduga dapat memberikan efek larvasida dari ekstrak ethanol daun mimba.

  Untuk mempermudah komputasi, penulis membuat pemrograman estimasi dan perbandingan hasil estimasi dengan menggunakan S-PLUS 2000 dan menerapkannya pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti.

  1.2 Rumusan Masalah

  1. Bagaimana hasil estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode

  Maximum Likelihood dan WLS ?

  2. Bagaimana membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai APPER dan MSE ?

  3. Bagaimana menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti?

  1.3 Tujuan

  1. Mendapatkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan metode Maximum Likelihood dan metode WLS.

  2. Membandingkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai APPER dan MSE.

  3. Mendapatkan metode yang baik diantara metode Maximum Likelihood dan WLS pada pemodelan regresi logistik untuk data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes

  aegypti.

  1.4 Manfaat

  1. Menambah referensi dan wawasan mengenai estimasi parameter model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum Likelihood,

  Weighted Least Square.

  2. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu statistika terutama tentang model regresi logistik.

  3. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai salah satu referensi untuk mengetahui metode-metode yang lebih baik diantara

  Maximum Likelihood dan WLS dalam mengestimasi parameter model regresi logistik biner.

  1.5 Batasan Masalah

  Perbandingan dilakukan secara empiris. Kriteria perbandingan hasil estimasi dari metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan nilai APPER (Apparent Error Rate) dan MSE (Mean Square Error).

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Matriks Definisi 2.1

  Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan yang disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau elemen matriks. Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari n baris dan k kolom adalah : Matriks tersebut dapat disajikan dalam notasi matriks yaitu , i = 1, 2, …, n dan j =1, 2, …, k (Anton, 2005).

  Jika M adalah matriks berukuran nxm maka transpose dari M dinotasikan yang didefinisikan sebagai matriks yang berukuran mxn yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom dari matriks M (Anton, 2005).

   Definisi 2.2

  Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya disebut adalah nol kecuali elemen pada diagonal utama. Jadi untuk (Anton, 2005). matriks diagonal jika ₆

  Definisi 2.3 Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I.

  . Matriks yang mempunyai Dalam hal ini invers matriks A dinotasikan invers disebut matriks non singular (Anton, 2005).

  2.2. Distribusi Binomial

  Distribusi Binomial merupakan suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan maka fungsi probabilitasnya adalah proses Bernoulli. Dimisalkan

  (Jeff Gill, 2001) : (2.1)

  Jika berdistribusi binomial maka mempunyai rata-rata dan variansi (Agresti, 2002) sebagai berikut : Rata-rata : Varian :

  2.3. Regresi Logistik Biner

  Regresi logistik biner adalah suatu analisis regresi yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara variabel respon (outcome or dependent) berskala biner dengan sekumpulan variabel prediktor (explanatory or

  independent) bertipe kategorik maupun numerik (Agresti, 1990). Variabel

  berskala biner adalah variabel yang memiliki dua kemungkinan (sukses atau gagal) (Ricki Indra P, 2009).

  Misalkan Y variabel respon dengan nilai sukses atau gagal dan merupakan nilai dari variabel prediktor, maka bentuk model regresi logistik adalah (Hosmer dan Lemeshow, 2000) :

  (2.2) Fungsi merupakan fungsi nonlinier sehingga perlu dilakukan transformasi dengan menggunakan transformasi logit untuk memperoleh fungsi yang linier agar dapat dilihat hubungan antara variabel respon y dengan variabel prediktor (Hosmer dan Lemeshow, 2000).

  Fungsi logit dari model pada persamaan (2.2) adalah

  (2.3)

2.4. Turunan dalam Format Vektor Definisi 2.4

   adalah

  Misalkan A matriks berukuran k x k dan vektor kolom berukuran k x 1 dari variabel real, maka disebut bentuk kuadratik dalam y dan A disebut matriks dari bentuk kuadratik (Suliyanto, 2010).

  Definisi 2.5

  Diasumsikan bahwa skalar z dapat ditulis sebagai fungsi dari k variabel dan dinyatakan sebagai berikut : dengan merupakan vektor kolom yang mempunyai elemen ke-i adalah

  , sehingga

  Aturan Differensial

  Beberapa aturan differensial untuk vektor (Suliyanto, 2010) :

  1. Misalkan z = a’y, dengan a adalah vektor scalar, maka 2. misalkan z = y’y, maka

  3. misalkan z = y’Ay, dengan A adalah matriks berukuran k x k, maka

  2.5. Metode Maximum Likelihood

  merupakan variabel random identik independen dari Misalkan suatu distribusi PDF , untuk dengan ruang parameter. PDF bersama antara adalah Jika PDF bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi Likelihood yang dinotasikan L atau ditulis : Jika statistik memaksimumkan fungsi likelihood

  , maka statistik adalah maximum likelihood estimator (MLE) dari (Hogg and Craig, 1995).

  2.6. Metode Weighted Least Square

  Menurut Suliyanto, dalam sebagian pengamatan yang digunakan dalam analisis regresi biasanya mengalami sebuah penyimpangan asumsi galat.

  , melainkan suatu Penyimpangan tersebut biasanya terlihat dari matriks diagonal dengan unsur-unsur pada diagonal utama tidak sama. Dimisalkan terdapat sebuah model regresi :

   (2.4) dengan (2.5) dan

  , hal Dari (2.5) dapat dilihat bentuk penyimpangannya, yaitu matriks ini mengakibatkan rumus pendugaan kuadrat terkecil tidak berlaku, sehingga perlu mengubah prosedur untuk memperoleh nilai dugaan tersebut yaitu menggunakan estimator WLS. Prinsip dari metode ini adalah mencari nilai parameter yang meminimumkan fungsi . Sehingga diperoleh

   (2.6)

2.7. Matriks Pembobot Keluarga Generalized Lnier Model (GLM)

  

  Residual tidak identik mengakibatkan var( i ) tidak sama untuk setiap i, ₂

  2

  (Pada OLS var(   

  dinotasikan var( i ) = i ) = ). Agar i memenuhi asumsi _i

  

  identik maka dilakukan transformasi, dengan cara mengalikan i , atau dengan

• 1

  

  vektor dengan matriks W dari sisi kiri. W adalah matrik diagonal dengan elemen (Agresti, 2002) (2.7) dengan dan komponen kolom W. Matrik diagonal yang elemennya terdiri dari komponen vektor W dinamai Matrik Pembobot (Wiwiek, S. W., 2009).

2.8. Prosedur Klasifikasi

  Evaluasi prosedur klasifikasi adalah suatu evaluasi yang melihat peluang kesalahan klasifikasi yang dilakukan oleh suatu fungsi klasifikasi. Ukuran yang dipakai adalah apparent error rate (APER). Nilai APER menyatakan nilai proporsi sampel yang salah diklasifikasikan oleh fungsi klasifikasi (Johnson dan Wichern, 1992; Alvin C. R., 2002). Penentuan kesalahan pengklasifikasian dapat diketahui melalui tabel klasifikasi berikut :

Table 2.1 Tabel Klasifikasi

  Predicted Group Actual Number of Group Observation

  1

  2

  1

  2 Keterangan : = Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 tepat diklasifikasikan pada = Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 salah diklasifikasikan pada = Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 salah diklasifikasikan pada = Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 tepat diklasifikasikan pada

  (merupakan jumlah pengamatan Actual Group 1) (merupakan jumlah pengamatan Actual Group 2)

  Predicted Group of 1 Predicted Group of 2

  Apparent Error Rate

  (2.8) (dalam %)

  2.9. Mean Square Error (MSE)

  Dalam statistika, Mean Square Error atau MSE dari suatu estimator adalah nilai ekspektasi dari kuadrat error.

  Definisi 2.4

  MSE dari estimator terhadap parameter didefinisikan sebagai berikut (Johnson, 2004)

  (2.9)

  2.10. Algoritma Newton Raphson

  Algoritma Newton Raphson adalah suatu metode iterasi numerik yang dapat digunakan untuk menghitung hampiran akar-akar sistem persamaan linier dan tidak linier. Misalkan adalah vektor berdimensi n dan merupakan fungsi berdimensi n sedemikian hingga

   dan (2.10) Prinsip dari metode Newton Raphson adalah mencari nilai yang memenuhi persamaan . Untuk memperoleh yang memenuhi persamaan dengan memperbaharui proses iterasi terhadap adalah (Lawless, 1982)

   (2.11) dan t adalah indeks dengan , H iterasi.

2.11. S-PLUS 2000

  Menurut Everit (1994), S-Plus adalah suatu paket program yang memungkinkan membuat program sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia banyak program internal yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini adalah baik program internal maupun yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai subprogram yang akan dibuat.

  Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-PLUS 2000 diantaranya:

  a. function ( ) Merupakan perintah untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan dalam program.

  Bentuknya : function(...)

  b. length ( ) Merupakan perintah length( )digunakan untuk menunjukkan banyaknya data.

  Bentuknya : length(...)

  c. for ( ) Merupakan perintah for ( ) digunakan untuk mengulang satu blok pernyataan berulang kali sesuai dengan kondisi yang telah ditentukan.

  Bentuknya: for(kondisi){pernyataan}

  d. sum ( ) Merupakan perintah untuk menjumlahkan semua anggota dari suatu vektor.

  Bentuknya : sum(...)

  e. cat ( ) Merupakan perintah untuk menuliskan argumentasi dalam bentuk karakter dan kemudian mencetak hasil atau file yang telah ditetapkan.

  Bentuknya : cat(”...”)

  f. rep (a,b) Merupakan perintah untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a sebanyak b.

  Bentuknya : rep(...,...)

  g. matrix(a,b,c) merupakan perintah untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c. Bentuknya : matrix(...,...,...)

  h. if else Merupakan perintah untuk menjalankan pernyataan pertama jika kondisi benar dan pernyataan kedua akan dieksekusi jika kondisi bernilai salah.

  Bentuknya : if(kondisi)pernyataan pertama else pernyataan kedua i. win.graph() merupakan perintah awal dalam membuat gambar

  Bentuknya : win.graph( ) j. plot() merupakan perintah untuk membuat plot atau grafik

  Bentuknya : plot(x, y, ...) k. while merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan terus menerus selama kondisi ungkapan logika pada while berlaku benar. Bentuknya : while(logika)

  { pernyataan } l. repeat merupakan perintah untuk mengulang eksekusi pernyataan secara terus menerus, sehingga diperlukan pernyataan lain untuk menghentikan perulangan eksekusi.

  Bentuknya : repeat { pernyataan if(pernyataan kedua) break }

2.12. Aedes aegypti 2.12.1.

   Morfologi Aedes aegypti

  Menurut Sudarto (1972) secara umum nyamuk Aedes aegypti sebagaimana serangga lainnya mempunyai bentuk morfologi sebagai berrikut: a. Terdiri dari tiga bagian, yaitu : kepala, dada, dan perut

  b. Pada kepala terdapat sepasang antena yang berbulu dan moncong yang panjang (proboscis) untuk menusuk kulit hewan atau manusia dan menghisap darahnya.

  c. Pada dada ada 3 pasang kaki yang beruas serta sepasang sayap depan dan sayap belakang yang mengecil yang berfungsi sebagai penyeimbang (halter).

2.12.2 Siklus Hidup Aedes aegypti

  Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti secara sempurna terdiri dari 4 (empat) stadium, yaitu telur, larva, pupa, dan dewasa (Sudarto, 1972; Cahyaningsih, 2011).

  1. Telur Pada waktu dikeluarkan, telur aedes berwarna putih, dan berubah menjadi hitam dalam waktu 30 menit. Telur dapat bertahan sampai berbulan- bulan dalam suhu – , namun akan menetas dalam waktu 1 – 2 hari pada kelembaban rendah. Telur yang diletakkan di dalam air kan menetas dalam waktu 1 – 3 hari pada suhu , tetapi membutuhkan waktu 7 hari pada suhu . Pada kondisi normal, telur Aedes aegypti yang direndam di dalam air akan menetas sebanyak 80% pada hari pertama dan 95% pada hari kedua.

  2. Larva Setelah menetas, telur akan berkembang menjadi larva (jentik-jentik).

  Pada stadium ini, kelangsungan hidup larva dipengaruhi suhu, pH air perindukan, ketersediaan makanan, cahaya, kepadatan larva, lingkungan hidup, serta adanya predator. Temperatur optimal untuk perkembangan larva ini

  . Larva berubah menjadi pupa memerlukan waktu 4 – 9 – adalah hari dan melewati 4 fase atau biasa disebut instar. Perubahan instar tersebut disebabkan larva mengalami pengelupasan pada kulit atau biasa disebut ecdisi/moulting.

  3. Pupa Larva instar IV akan berubah menjadi pupa yang berbentuk bulat gemuk menyerupai tanda koma. Untuk menjadi nyamuk dewasa diperlukan 21 waktu

  2 – 3 hari. Suhu untuk perkembangan pupa yang optimal adalah sekitar . Stadium pupa tidak memerlukan makanan. Bentuk nyamuk dewasa

• – timbul setelah sobeknya selongsong pupa oleh gelembung udara karena gerakan aktif pupa.

  4. Dewasa Setelah keluar dari selongsong pupa, nyamuk akan diam beberapa saat di selongsong pupa untuk mengeringkan sayapnya. Nyamuk betina dewasa menghisap darah sebagai makanannya, sedangkan nyamuk jantan hanya makan cairan buah-buahan dan bunga. Nyamuk dapat hidup dengan baik pada suhu

• – dan akan mati bila berada pada suhu dalam 24 jam.

  Nyamuk dapat hidup pada suhu Rata-rata lama hidup nyamuk – betina Aedes aegypti selama 10 hari.

2.13. Daun Mimba (Azadirachta indica)

  Tanaman mimba (Azadirachta indica) termasuk familia Meliaceae. Mimba, terutama dalam biji dan daunnya mengandung beberapa komponen dari produksi metabolit sekunder yang diduga sangat bermanfaat, baik dalam bidang pertanian (pestisida dan pupuk), maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan). Diantaranya adalah azadirachtin, salanin, meliantriol, nimbin dan nimbidin yang merupakan kandungan bermanfaat baik dalam bidang pertanian (pestisida dan pupuk) maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan) (Kardiman dkk, 2004, Cahyaningsih, 2011).

  Daun mimba dan biji mimba bisa digunakan sebagai antibiotik, antimikroba, antifungi, antihelmintik dan antivirus. Selain itu daun mimba dapat digunakan untuk menurunkan gula darah, menyembuhkan penyakit kulit (Csurhes, 2008), memiliki efek gastro protektif pada mukosa lambung terhadap ulkus peptikum, menurunkan total kolesterol dalam darah, LDL- and VLDL-cholesterol, triglyserid dan total lipid dalam serum (Chattopadhyay dkk, 2005, Cahyaningsih, 2011).

  Efek primer azadirachtin terhadap serangga berupa antifeedant dengan menghasilkan stimulan detteren spesifik berupa reseptor kimia (chemoreseptor) pada bagian mulut (mouth part) yang bekerja bersama-sama dengan reseptor kimia yang mengganggu persepsi rangsangan untuk makan (phagostimulant).

  Sedangkan efek sekunder Azadirachtin yang dikandung mimba berperan sebagai

  ecdyson blocker atau zat yang dapat menghambat kerja hormon ecdyson, yaitu

  hormon yang berfungsi dalam menghambat metamorfosa serangga sehingga dapat mengakibatkan kematian pada serangga (Samsudin, 2008; Cahyaningsih, 2011).

BAB III METODE PENULISAN Metode penulisan yang digunakan dalam penelitian ini melalui langkah-

  langkah sebagai berikut ini:

  3.1. Estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode :

  3.1.1. Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan langkah-langkah sebagai berikut :

  Langkah 1.

  Mengasumsikan data yang mempunyai struktur

i 1.

  2. N dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i ukuran sampel pengamatan ke- i nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari pengamatan ke- i

  21 dan memenuhi model logit

  ,

  dengan ,

   dan Langkah 2.

  Menentukan fungsi likelihood berdasarkan model logit.

  Langkah 3.

  Menentukan fungsi log likelihood.

  Langkah 4.

  Menentukan differensial parsial fungsi log likelihood terhadap parameter dan disamadengankan nol.

  Langkah 5.

  Mencari nilai yang memaksimumkan fungsi log likelihood dengan cara menyelesaikan persamaan-persamaan pada langkah 4. Jika masih dalam bentuk implisit, maka digunakan metode numerik. Dalam skripsi ini digunakan metode Newton Raphson.

  3.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS) dengan langkah-langkah sebagai berikut :

   Langkah 1. Mengasumsikan data yang mempunyai struktur i

  1.

  2. N banyaknya peluang sukses dalam sampel pengamatan ke- i dengan ukuran sampel pengamatan ke- i nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari pengamatan ke- i dan memenuhi fungsi logit dengan ,

   dan

  Langkah 2.

  Menyatakan model regresi logistik dalam bentuk matriks dengan , , dan . dan diasumsikan Langkah 3.

  Mendefinisikan fungsi jumlah kuadrat galat dengan dan

  Langkah 4.

  Mencari nilai yang meminimumkan fungsi Q dengan cara menurunkan fungsi Q terhadap dan disamadengankan nol.

  Langkah 5.

  Menyelesaikan persamaan yang diperoleh dari langkah 4 untuk mendapatkan estimasi parameter model regresi logistik dengan menggunakan metode WLS.

  3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square dengan langkah-langkah sebagai berikut :

  Langkah 1.

  . Menentukan nilai awal matriks pembobot

  Langkah 2.

  dengan menggunakan rumus yang telah Menentukan nilai estimator . didapat dari metode WLS berdasarkan Langkah 3. yang dihitung berdasarkan

  Menentukan kembali matriks pembobot . nilai Langkah 4. dengan menggunakan rumus yang

  Menentukan kembali nilai estimator . telah diperoleh dari metode WLS berdasarkan Langkah 5.

  Proses yang sama untuk mendapatkan dan seterusnya sampai konvergen.

  3.2. Membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode MLE dengan metode WLS berdasarkan kriteria nilai APPER dan MSE dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1.

  Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.

  Langkah 2.

  Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.

  Langkah 3.

  Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai APPER dan nilai MSE terkecil.

  3.3. Menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes

  aegypti dengan langlah-langkah sebagai berikut : Langkah 1.

  Input data.

  Langkah 2.

  Menaksir parameter regresi logistik biner pada data tersebut dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS.

  Langkah 3.

  Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.

  Langkah 4.

  Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.

  Langkah 5.

  Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai APPER dan nilai MSE terkecil.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter

  model regresi logistik, dilengkapi dengan algoritma untuk pemrograman komputasi estimator. Selanjutnya diuraikan prosedur untuk perhitungan APPER dan MSE. Pada akhir bab ini akan disajikan contoh penerapan pemodelan regresi logistik pada kasus uji efektifitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba terhadap larva Aedes aegypti. Pada contoh kasus tersebut dilakukan estimasi parameter model regresi logistik dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, WLS dan IRWLS. Selanjutnya dibandingkan hasil estimasi dari ketiga metode tersebut dengan kriteria APPER dan MSE untuk mendapatkan metode yang lebih baik.

4.1. Estimasi Parameter Model Regresi Logistik

  Misalkan Y adalah variabel respon yang menyatakan jumlah sukses dalam

  1 , x 2 , …, x k adalah variabel-

  sampel berukuran n dengan probabilitas sukses . x variabel prediktor yang berpengaruh terhadap probabilitas sukses . Misalkan dalam sebuah penelitian dicatat data pengamatan dengan struktur sebagai berikut :

i 1.

2. N

  27 dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i ukuran sampel pengamatan ke- i nilai-nilai prediktor ke- 1 sampai ke- k dari pengamatan ke- i dan memenuhi model logit

  , , dengan

   dan Berikut ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter .

4.1.1. Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)

  independen identik dari distribusi Binomial Jika diasumsikan maka fungsi likelihood untuk model regresi logistik biner adalah

   (4.1)

  Secara matematis akan lebih mudah jika persamaan (4.1) dibawa ke fungsi log

  

likelihood dan memaksimalkan log Likelihood yang dinotasikan , yaitu

dengan cara mendifferensialkan terhadap lalu menyamakan dengan nol.

  Untuk tujuan tersebut, berikut ini adalah fungsi log likelihood :

  Karena maka

  (4.2) Selanjutnya persamaan (4.2) diturunkan terhadap

  . Hasil penurunan tersebut disamadengankan nol sehingga diperoleh : Sehingga diperoleh persamaan umumnya (4.3) dengan

  Selanjutnya estimator diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan (4.3). Namun persamaan (4.3) masih dalam bentuk implisit dan tidak bisa diselesaikan, sehingga dibutuhkan metode numerik. Dalam skripsi ini digunakan metode

  Newton Raphson. Berdasarkan iterasi Newton Raphson dalam (2.11), maka

  berikut ini akan ditentukan turunan kedua dari fungsi log likelihood terhadap masing-masing parameter.

  Sehingga diperoleh persamaan umumnya (4.4)

  Dari (4.3) diperoleh vektor kolom berikut : Dari (4.4) diperoleh matriks persegi Hessian dengan Algoritma iterasi Newton Raphson untuk mendapatkan nilai melalui langkah- langkah sebagai berikut :

  1. Masukkan nilai dugaan awal yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil (OLS) pada persamaan (2.2). kemudian masukkan .

2. Menentukan dan

  3. Untuk m > 0 dengan menggunakan

  Nilai digunakan untuk mencari sehingga diperoleh nilai , dan seterusnya untuk setiap j dan . Kemudian diperoleh nilai sampai mencapai . dengan adalah tingkat ketelitian, misalkan

4.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS)

  Misalkan model logit . dengan asumsi Estimator parameter regresi logistik dapat diperoleh dengan menggunakan metode WLS, diperoleh dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat terboboti

  . Misalkan terdapat suatu matriks non singular P yang bersifat , maka dengan mengalikan kedua sisi pada model logit dengan diperoleh dengan dengan . Sehingga fungsi Q dapat diuraikan sebagai berikut : Syarat cukup agar fungsi Q mencapai nilai minimum adalah Maka diperoleh estimasi parameter model regresi logistik

  (4.5) Berdasarkan (2.7), maka elemen-elemen dari Matriks pembobot untuk model regresi logistik ini adalah

  (4.6)

4.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS)

  Metode ini dikembangkan dari metode WLS. Berdasarkan (4.6) dapat . Jika diambil dilihat bahwa elemen pembobot masih tergantung pada masih terdapat maka dalam persamaan (4.6) terlihat bahwa pembobot estimator . Oleh karena itu, jika estimator yang telah diperoleh dari (4.5) selanjutnya digunakan untuk menghitung pembobot yang baru dan menghitung ulang nilai estimator yang baru, demikian seterusnya maka metode seperti ini disebut Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS). Untuk lebih jelasnya, berikut akan diberikan langkah-langkah IRWLS dalam model regresi logistik : dengan menggunakan persamaan (4.6). i. Menentukan dengan menggunakan persamaan (4.5) ii. Menghitung iii. Menghitung iv. Melakukan perhitungan iterasi dengan dan seterusnya maka dan maka proses iterasi dihentikan. Jika tidak maka v. Jika hitung : dan kembali ke langkah iv.

4.2. Membandingkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode ML dan Metode WLS berdasarkan Kriteria Nilai APER dan MSE