PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF MELALUI DISTRIBUSI CAMPURAN POISSON-GAMMA DENGAN MENGGUNAKAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)
ABSTRAK
PENDUGAAN PARAMETER MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF
MELALUI DISTRIBUSI CAMPURAN POISSON-GAMMA DENGAN
MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION
(MLE)
Oleh
MADE INDRAWAN
Regresi poisson merupakan analisis regresi yang memerlukan asumsi mean dan
varians yang sama pada variabel respon. Data count merupakan data yang berupa
bilangan bulat negatif. Apabila data tersebut diaplikasikan pada regresi poisson,
maka asumsi dalam regresi poisson dilanggar yaitu nilai varians lebih besar dari
nilai mean yang disebut overdispersi dimana nilai standar error nilai parameter
regresi cenderung lebih rendah dari yang seharusnya mengakibatkan kesimpulan
yang tidak valid. Untuk mengatasi masalah tersebut diperlukan model lain, yaitu
model regresi binomial negatif. Melalui model ini, dengan menggunakan metode
maximum likelihood estimation diperoleh nilai penduga yang tidak exact sehingga
penyelesaiannya diperlukan metode iterasi newton raphson. Hasil pendugaan
parameter regresi yang diperoleh merupakan penduga yang bias.
Kata kunci: Model Regresi Poisson, Overdispersi, Model Regresi Binomial
Negatif, Metode Maximum Likelihood Estimation(MLE), Metode Iterasi Newton
Raphson.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Seputih Raman, pada tanggal 13 Juli 1988, sebagai anak bungsu
dari dua bersaudara pasangan Bapak Wayan Kasub dan Ibu Ni Nyoman Karsini.
Pendidikan Taman kanak-kanak (TK) diselesaikan di TK Bukoposo tahun 1996,
Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN 1 Bukoposo pada tahun 2002, Sekolah
Menengah Pertama Negeri di SMPN 1 Way Serdang pada tahun 2005, Sekolah
Menengah Atas di SMAN 13 Bandar Lampung pada tahun 2008, dan pada tahun
yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi di Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Seleksi
Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN).
Selama menjadi mahasiswi penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan
Matematika (HIMATIKA), UKM-H UNILA, dan Natural FMIPA. Penulis
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tematik di Desa Bantaran Bancong
Kecamatan Kasui, Kabupaten Way Kanan. Penulis menyelasaikan pendidikan di
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung pada tahun 2014.
PERSEMBAHAN
Puji Syukur Kehadiran Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan anugrah, kesehatan
jiwa-raga, serta ketenangan hati dalam menjalani kehidupan ini.
Dengan penuh rasa syukur dan bangga kupersembahkan karya kecilku ini Sebagai tanda
bakti dan cinta Kepada :
Ayah dan Bunda tercinta…
Terimakasih atas kesabaran dan keikhlasan hati dalam membesarkan serta mendidikku
dengan penuh cinta. Dengan do’a dan dukungan serta pengorbanan kalaian mengantarkanku
selangkah demi selangkah dalam menggapai cita-cita. Semoga Tuhan membalas dengan rasa
saying dan cinta-Nya melebihi dari apa yang telah engkau berikan kepadaku.
Kakakku tercinta Ni Wayan Sulastri.
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada meski tak selalu bersama yang tak pernah berhenti
untuk memberikan nasihat, keceriaan, serta motivasi dalam setiap kehidupan penulis
Dan almamaterku tercinta.
MOTO
“Sesali masa lalu karena ada kekecewaan dan kesalahan-kesalahan,
tetapi jadikan penyesalan itu sebagai senjata untuk masa depan agar
tidak terjadi kesalahan lagi”
Bermimpilah yang sebesar-besarnya, tapi bersegeralah untuk mengerjakan
sekecil-kecilnya kebaikan yng terdekat
Berhasil mengalahkan dirimu, menjadikanmu dewasa. Berhasil
mengalahkan orang lain, menjadikanmu pemenang. Tapi memberhasilkan
orang lainlah yang menjadikanmu pemimpin.
(Made Indrawan)
iv
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
senantiasa melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pendugaan Model Regresi Binomial
Negatif
Melalui
Distribusi
Campuran
Poisson-Gamma
Dengan
Menggunakan Metode Maximum Estimation Likelihood (MLE).
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik,
dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk
itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1.
Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang telah
meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan
memotivasi penulis selama melaksanakan penelitian dan penyelesaian skripsi.
2.
Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak
membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3.
Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen penguji yang telah memberikan
nasehat, motivasi, saran dan kritik yang membangun guna penyempurnaan
skripsi ini.
4.
Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku dosen pembimbing akademik yang telah
memberikan bimbingan, motivasi, dan nasehat selama penulis menjalankan
studi di jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.
v
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8.
Ayah dan Ibu yang telah memberikan motivasi dan bantuan baik moril
maupun materil dan memberikan segala perhatiannya disaat keadaan apapun
serta selalu mendoakan penulis serta senantiasa berkorban dan mengusahakan
yang terbaik bagi penulis tanpa mengenal lelah.
9.
Kakakku terima kasih atas segala dukungan moril dan materil serta
nasihatnya.
10. Semua teman seperjuangan dalam penelitian, terimakasih atas kerjasama dan
semangatnya yang tanpa henti, dan teman – teman Exoters lainnya, terima
kasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.
11. Keluarga Besar HIMATIKA, keluaga besar NATURAL dan UKM-HINDU
UNILA terima kasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Bandar Lampung, 22 September 2014
Penulis
Made Indrawan
vi
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .................................................................................
viii
DAFTAR TABEL .....................................................................................
ix
I.
PENDAHULUAN ..............................................................................
1.1 Latar BelakangdanMasalah ............................................................
1.2 BatasanMasalah .............................................................................
1.3 Tujuan Penelitian ...........................................................................
1.4 Manfaat Penelitian .........................................................................
1
1
3
3
4
II. LANDASAN TEORI .........................................................................
2.1 Model Regresi Poisson ..................................................................
2.2 Distribusi Gamma ..........................................................................
2.3 Distribusi Binomial Negatif ...........................................................
2.4 Model Regresi Binomial Negatif ...................................................
2.5 Fungsi Link ....................................................................................
2.6 MetodeMaximum Likelihood Estimation (MLE) ...........................
2.7 Metode Iterasi Newton Rhapson ....................................................
5
5
7
8
9
11
13
15
III. METODE PENELITIAN ..................................................................
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................
3.2 Data Penelitian ...............................................................................
3.3 MetodePenelitian ...........................................................................
17
17
17
17
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ..........................................................
4.1 Distribusi Binomial Negatif ...........................................................
4.2 Model Regresi Binomial Negatif ...................................................
4.3 Estimasi Parameter Model Regresi Binomial NegatifDengan
MetodeMaximum Likelihood Estimation (MLE) ...........................
4.4 Pendugaan/Estimasi dengan Metode Iterasi Newton Raphson ......
4.5 Hasil Analisis Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif .........
4.5.1 Pendugaan Parameter dan β ............................................................
19
19
27
32
40
49
50
vii
V. KESIMPULAN DAN SARAN ..........................................................
5.1 Kesimpulan ....................................................................................
5.2 Saran ..............................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
54
54
55
DAFTAR GAMBAR
Gambar
4.1
Grafik scatterplot kanker bibir di Skotlandia.................................
Halaman
49
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
4.1 Hasil analisis pendugaan nilai awal parameter dan model regresi binomial
negatif dengan bantuan software SAS……………………………
50
4.2 Hasil analisis pendugaan parameter
,
dan
………………………………………………………
4.3 Hasil analisis pendugaan parameter
,
51
dan
…………………………………………………………….
52
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Analisis regresi merupakan suatu metode yang sering digunakan untuk
menganalisis hubungan antara variabel respon dengan beberapa variabel
prediktor. Pada umumnya analisis regresi digunakan untuk menganalisis data
variabel respon yang berupa data kontinu, namun sering juga ditemui variabel
yang berjenis diskrit. Variabel respon diskrit dapat berupa data count yaitu data
yang nilainya non negatif dan menyatakan banyak kejadian dalam interval waktu,
ruang, atau volume tertentu. Ketika variabel responnya berupa data count, analisis
regresi yang biasa digunakan adalah analisis regresi poisson.
Pada umumnyadistribusi poisson merupakan suatu model yang realistis untuk
berbagai macam fenomena acak selama nilai dari peubah acak poisson berupa
bilangan bulat non negatif. Misalkan banyaknya kecelakaan mobil setiap bulan,
banyaknya hujan badaisetiap tahun,banyaknya barang yang cacat dalam suatu
produksi tertentu, dan masih banyak kasus lainnya. Dalam data cacahan yang
dihasilkan dari suatu pengamatan model regresi poissonmerupakan salah satu
model yang tepat digunakan untuk menjelaskan hubungan antara peubah bebas
dengan peubah respon.Pada model regresi poisson terdapat asumsi yang harus
terpenuhi, yaitu variansi dari variabel responnya sama dengan means. Pada
2
kenyataannya kondisi seperti ini sangat jarang terjadi karena data count memiliki
variansi yang lebih besar dari meannya atau disebut kondisi overdispersi. Dalam
kondisi kasus seperti ini model regresi binomial negatif merupakan salah satu
alternatif yang tepat untuk mengatasinya.
Model regresi binomial negatif memiliki kegunaan yang sama dengan model
regresi poisson yaitu untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel respon
data count dengan satu atau lebih variabel penjelas, tetapi model regresi binomial
negatif lebih fleksibel dibandingkan dengan model poisson karena asumsi mean
dan variansi dari model binomial negatif tidak harus sama. Model ini juga
memiliki parameter dispersi yang berguna menggambarkan variasi dari data yang
biasa dinotasikan dengan . Model regresi binomial negatif yang akan digunakan
adalah model binomial negatif yang merupakan model campuran antara poisson
dan gamma, dimana distribusi gamma digunakan untuk mengatasi masalah
overdispersi dalam model poisson.
Dari dua model regresi yang biasa digunakan untuk data count yaitu poisson dan
binomial negatif, model binomial negatif memiliki bentuk yang lebih umum,
karena model poisson dapat dinyatakan dalam model binomial negatif ketika
parameter dispersinya mendekati nol atau dapat dikatakan data dalam kondisi
ekuidispersi. Jadi, model binomial negatif pada dasarnya dapat digunakan untuk
berbagai kasus data count namun dalam hal ini akan lebih dikhususkan untuk
masalah menduga parameter model regresi binomial negatif pada kasus
overdispersi.
3
Parameter didefinisikan sebagai hasil pengukuran yang menggambarkan
karakteristik dari suatu populasi. Nilai parameter dari populasi biasanya belum
diketahui, sehingga perlu diestimasi berdasarkan pengamatan dari data sampel.
Untuk menghasilkan penduga parameter yang baik dapat dilakukan dengan
beberapa cara yaitu, metode kuadrat terkecil, penduga bayes, metode maximum
likelihood estimation (MLE), metode momen dan lainnya. Pada penelitian ini
peneliti menggunakan metode maximum likelihood estimation (MLE), karena
metode MLE sering memberikan hasil pendugaan yang lebih baik dari yang lain
dalam beberapa contoh kasus.
1.2 Batasan Masalah
Penulis difokuskan penelitian ini pada distribusi binomial negatif dari sebaran
campuran Poisson-Gamma, dan menentukan nilai pendugaan dari parameter
dan dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Method Maximum
Likelihood).
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, penulis merumuskan
beberapa tujuan penelitian sebagai berikut:
1. Menunjukan bahwa model regresi binomial negatif diperoleh darifungsi
marginal distribusi campuran Poisson – Gamma.
2. Menunjukan nilai mean dan varians dari distribusi model Regresi
Binomial Negatif.
4
3. Menduga parameter-parameter model Regresi Binomial Negatif dengan
menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).
4. Menentukan solusi dari fungsi likelihood dalam menduga parameterparameter model regresi binomial negatif menggunakan pendekatan
numerik, yaitu metode newton rapshon.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memiliki manfaat sebagai berikut:
1. Memberikan wawasan bagaimana bentuk model regresi binomial negatif
dan nilai mean serta variansinya.
2. Memberikan wawasan bagaimana memperoleh nilai dugaan model regresi
binomial negatif dengan menggunakan metode Maximum Likelihood
Estimation (MLE).
5
II.
LANDASAN TEORI
2.1 Model Regresi Poisson
Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk
menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
prediktor X. Regresi poisson adalah salah satu regresi yang dapat menggambarkan
hubungan antara variabel respon Y dimana variabel respon berdistribusi poisson
dengan variabel prediktor X. Model regresi poisson merupakan model standar
untuk data diskrit dan termasuk dalam model linier. Regresi poisson adalah suatu
bentuk model linear umum dimana variabel respon dimodelkan sebagai distribusi
poisson. Regresi poisson merupakan suatu bentuk analisis menggunakan regresi
untuk menduga model data seperti jumlah, perubahan nilai atau mengelompokan
data ke tabel. Regresi poisson dapat dimodelkan mengunakan kombinasi nonlinier
β dari variabel-variabel yang diberikan:
β
Penggunaan fungsi eksponensial untuk memastikan bahwa bagian sebelah kanan
selalu positif, seperti yang kita harapankan dari nilai Y yang merupakan
penjumlahan tidak mugkin negatif. Pengunaan fungsi eksponensial atau bisa kita
sebut fungsi link, hanya untuk kemudahan. Pada prinsipnya dengan cara ini akan
6
selalu menghasilkan nilai positif, tetapi dengan adanya eksponensial ini tidak ada
hubungannya dengan model poisson. Dari model ini nilai β, yang merupakan
parameter yang tidak diketahui. Nilai dugaan dari parameter-parameter
dapatdiperoleh dengan metode maximum likelihood. Sebagai catatan bahwa
dengan mengestimasi β maka dapat diestimasi juga keseluruhan dari distibusi dari
Y terhadap x. Dengan ini regresi poisson memberikan suatu model yang realistis
untuk berbagai macam fenomena acak poisson berupa bilangan bulat non negatif.
Distribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi dalam
suatu interval waktu tertentu, ditemukan oleh S.D. Poisson (1781-1841), seorang
ahli
matematika
berkebangsaan
perancis.
Distribusi
poisson
termasuk
distribusiteoritis yang memakai variabel random diskrit.Misalkan Y peubah acak
yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu, (Hogg and Tanis,1997).
Maka fungsi peluang dari distribusi poisson diberikan sebagai berikut (Cameron
dan trevedi, 1998).
Dimana
adalah means distribusi poisson, means dan variansnya adalah:
Peluang banyaknya peubah acak Y dalam periode waktu t diberikan oleh:
Persamaan diatas digunakan untuk menghitung peluang peubah acak Y, means
jumlah kejadian
, berdasarkan asumsi bahwa mean jumlah
7
kejadian per periode waktu adalah konstan. Model regresi poisson dapat ditulis
sebagai berikut:
̂
Dimana:
β
jumlah kejadian ke ,
means jumlah kejadian dalam periode
galat error atau residual
2.2 Distribusi Gamma
Berdasarkan Hogg dan Craig (1995), suatu variabel acak kontinu
berdistribusi Gamma dengan parameter
fungsi peluang sebagai berikut:
{
β
Nilai mean dan variansnya adalah
dimana
β
dan
dikatakan
jika variabel tersebut mempunyai
8
Definisi fungsi gamma dari
dan
yaitu:
∫
Untuk
dan nilai dari integral tersebut adalah bilangan positif.
Beberapa nilai dari fungsi gamma adalah
(i). Jika
(ii). Jika
∫
, maka
adalah suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu, maka
diperoleh
(iii). Jika
(iv). Untuk
∫
maka
maka
2.3 Distribusi Binomial negatif
Distribusi binomial negatif merupakan distribusi yang memiliki banyak sekali
cara dalam hal pendekatannya. Pendekatan klasik dari distribusi binomial negatif
yang sering digunakan adalah distribusi binomial negatif sebagai barisan
percobaan Bernoulli, yaitu jumlah Bernoulli yang dibutuhkan sampai terjadi
buah sukses, dimana setiap pengulangan saling bebas, dan peluang sukses setiap
percobaan konstan yaitu
variabel acak
sedangkan
peluang gagal yaitu
. Misalkan
menyatakan jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai terjadi
9
buah sukses, maka
berdistribusi binomial negatif dengan fungsi peluang
sebagai berikut:
Mean, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial negatif
adalah sebagai berikut:
1.
2.
3.
[
]
2.4 Model regresi Binomial Negatif
Distribusi binomial negatif merupakan model untuk menghitung jumlah suatu
kejadian. Biasanya distribusi binomial negatif digunakan untuk menghitung
probabilitas dari jumlah kegagalan yang terjadi sebelum berhasil. Tetapi karena
merupakan kebalikan dari binomial maka dapat juga digunakan untuk menghitung
jumlah kejadian, karena percobaan akan dilakukan terus menerus sampai berhasil.
Dalam distribusi poisson kita ketahui bahwa nilai mean sama dengan nilai
variansnya. Namun dalam beberapa kasus, sering ditemukan bahwa nilai varians
dari data yang teramati lebih besar dari pada meannya yang biasanya disebut
overdispersi. Maka distribusi binomial negatif mempunyai peranan yang cukup
penting dalam analisis statistika parametrik untuk mengatasi data yang
10
mengandung overdispersi. Distribusi binomial negatif ini diperoleh dari proses
pengintegralan dari distribusi campuran poisson-gamma terhadap
. Misalkan
bahwa variabel acak
berdistribusi poisson dengan parameter
atau
poisson( ). Akan tetapi,
itu sendiri merupakan peubah acak dan diasumsikan
berdistribusi gamma yaitu:
Jika suatu distribusi poisson ( ) dimana
merupakan nilai variabel random yang
berdistribusi gamma, maka akan dihasilkan distribusi campuran yang dinamakan
distribusi binomial negatif. Model regresi binomial negatif mengasumsikan
terdapat peubah
⁄
yang menyebar gammadengan nilai tengah 1 dan ragam
Sehingga untuk memperoleh
tengah sebaran poisson. Misalkan
jika parameter
dalam nilai
adalah sumber keragaman yang tidak
teramati, sehingga nilai tengah sebaran campuran poisson-gamma adalah
̃
Dengan
Dengandiasumsikan
adalah nilai tengah model poisson dan
.
, maka model poisson dan binomial negatif
memiliki nilai tengah yang sama, yaitu
sebaran campuran poisson-gamma dapat ditulis sebagai berikut:
. Fungsi peluang
11
peubah
menyebar gamma dengan parameter
dan . Fungsi peluang gamma
adalah
dengan nilai harapan
parameter
, sehingga untuk memperoleh
ditentukan sebesar
maka
. Diasumsikan fungsi peluang gamma
menjadi,
g
Sehingga dapat ditulis bentuk fungsi marjinal dari distribusi campuran poissongamma adalah:
∫
Dari hasil integral untuk fungsi marjinal distribusi campuran poisson-gamma,
maka diperoleh bentuk umum dari model regresi binomial negatif sebagai berikut:
(
) (
)
2.5Fungsi Link
Fungsi link adalah suatu fungsi yang menghubungkan fungsi prediktor linear
dengan nilai tengah respon . Dalam model linear klasik, fungsi link bisa berupa
fungsi yang identik atau kanonik. Suatu fungsi link dikatakan fungsi link kanonik
12
bila parameter kanoniknya sama dengan fungsi linknyayaitu :
(2.4.1)
Dimana
adalah parameter kanonik.
Berikut fungsi link kanonik untuk beberapa distribusi :
Distribusi
Fungsi link kanonik
Normal
Poisson
Binomial
⁄
Gamma
Terdapat dua fungsi penghubung yang biasa digunakan dalam regresi binomial
negatif yaitu penghubung identitas (identity link) dan penghubung log (log link).
Fungsi penghubung identitas berbentuk :
(2.4.2)
Sedangkan fungsi penghubung log berbentuk :
(2.4.3)
Fungsi penghubung log adalah fungsi yang paling cocok digunakan, karena fungsi
13
log menjamin bahwa nilai variabel yang diharapkan dari variabel responnya akan
bernilai non negatif.
2.6Metode Kemungkinan Maksimum (Method of Maximum Likelihood)
Definisi 2.6.1: (Hogg and Craig, 1995)
Fungsi densitas bersama dari variabel random
adalah
Untuk
yang merupakan fungsi likelihood.
tetap, fungsi likelihood merupakan fungsi dari
dilambangkan dengan
dari
yang bernilai
. Jika
dan
mewakili sebuah sampel random
, maka
dapat dituliskan sebagai
berikut:
̃
∏
,
merupakan fungsi densitas probabilitas dari
. Untuk hasil pengamatan
dimana
, nilai ̂ berada dalam
̂
maksimum yang disebut sebagai maximum likelihood estimation
(MLE) dari . Jadi, ̂ merupakan nilai dugaan dari .
,
14
;
Jika
, maka untuk memperoleh
nilai ̂ tersebut yang memaksimumkan
harus diderivatifkan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Nilai ̂ diperoleh dari derivatif pertama jika:
̂
2. Nilai ̂ dikatakan memaksimumkan
jika:
̂
Selain dengan memaksimumkan fungsi likelihood, nilai ̂ juga dapat diperoleh
dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood, karena dengan memaksimumkan
fungsi log-likelihood, juga akan memaksimumkan fungsi likelihood, sebab log
merupakan fungsi yang menoton naik, maka untuk memperoleh ̂ dengan
memaksimumkan fungsi log-likelihood dapat dilakukan dengan langkah-langkah
yang sama yaitu:
1. Nilai ̂ diperoleh dari derivatif pertama jika:
̂
2. Nilai ̂ dikatakan memaksimumkan
̂
jika:
15
2.7Metode Iterasi Newton Rhapson
Apabila dalam proses estimasi parameter didapat persamaan akhir yang non linear
maka tidak mudah memperoleh estimasi parameter tersebut, sehingga diperlukan
suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan non linear tersebut. Salah
satu metode yang sangat populer digunakan untuk memecahkan sistem persamaan
non linear adalah metode Newton Rhapson. Metode Newton Rhapson adalah
metode untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif seperti
persamaaan likelihood yang mencari lokasi yang memaksimalkan suatu fungsi.
Dasar dari metode ini adalah pendekatan deret taylor linear :
∑
Perluasan dari bentuk orde 1 :
Diperoleh :
Jika
θ m
merupakan nilai awal (inisialisasi) dari θ atau
d
dms
dan θ
merupakan nilai ke-1 dari
dengan t awal = 0. Begitu
pula dengan G dan H. Maka diperoleh iterasi sebagai berikut:
16
Dengan indeks t menyatakan ukuran iterasi.
Adapun langkah-langkah metode iterasi Newton Rhapson adalah sebagai berikut:
1.
2.
3.
4.
Ambil estimasi awal dari θ, misal
̂
̂
̂ .
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
,
̂
.
merupakan derivative pertama dari
(̂ )
, misal
dan ( ̂ )
, maka :
Estimator ̂ diiteratif terus sampai diperoleh jarak antara ̂
nilainya sangat kecil atau ̂
pada
̂
dengan ̂
Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih
dari satu parameter. Misal
̂
maka iterasinya sebagai berikut :
̂
dimana ̂
dan ̂ dalam bentuk vektor yaitu :
̂
[
̂
̂
] dan ̂
[
̂
̂
]
dan
[
]
[
]
17
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2013/2014,
Bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data kanker
bibir di skotlandia yang diambil dari Stren dan Cressie (2000). Data ini berupa
banyaknya penderita kanker bibir yang tercatat selama 6 tahun dari tahun 1975
sampai 1980 pada 56 distrik di skotlandia. Dimana
adalah banyaknya jumlah
penderita kanker bibir masing-masing daerah di skotlandia dan
adalah
persentase penduduk yang berkerja dibidang pertanian, perikanan, dan kehutanan.
Data lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.
3.3 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara
sistematis yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan
18
informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini, kemudian
melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang telah didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini dalam mengkaji sifat
dan karakteristik distribusi binomial negatif adalah sebagai berikut: Membuktikan
regresi binomial negatif yang diperoleh dari distribusi campuran poisson-gamma
serta menunjukan sifat dan karakteristiknya.
1. Mendefinisikan model regresi binomial negatif serta menentukan nilai
mean, varians, dan nilai dugaan untuk masing-masing parameter.
2. Menentukan model regresi binomial negatif.
3. Mengestimasi
parameter
model
regresi
binomial
negatif
dengan
menggunakan metode maximum likelihood estimation (MLE), langkahlangkahnya sebagai berikut:
a. Menentukan fungsi maximum likelihood estimation (MLE) yang
berasal dari fungsi binomial negatif.
b. Menurunkan fungsi maximum likelihood estimation (MLE) distribusi
binomial negatif dengan fungsi ln.
c. Mencari turunan pertama dari ln fungsi maximum likelihood
estimation (MLE) terhadap parameter
dan
yang hendak di duga
dan menyamakannya dengan nol.
d. Apabila solusi dari persamaan yang dihasilkan dari langkah c tidak
memperoleh penyelesaian, maka prosedur pendugaan dilanjutkan
dengan menggunakan iterasi Newton-Raphson.
4. Menentukan penduga parameter bagi ̂ dan ̂ dari model regresi binomial
negatif.
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Distribusi yang digunakan dalam model regresi binomial negatif adalah
hasil proses dari distribusi poisson-gamma mixture yaitu:
(
)
(
)
2. Model regresi binomial negatif memiliki nilai mean yang sama dengan
model regresi poisson, tetapi nilai varian model regresi binomial negatif
berbeda dengan model regresi poisson yaitu:
dan
(
3. Pendugaan parameter
)
(
)
dan β pada model regresi binomial negatif dengan
metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) tidak memberikan
penyelesaian, maka digunakan penyelesaian lain yaitu dengan metode
iterasi Newton-Raphson untuk menduga kedua parameter tersebut secara
bersamaan secara iteratif dengan menggunakan turunan pertama dan
turunan kedua dari fungsi log-Likelihoodnya adalah
55
∑ {[ ∑
(
)]}
∑
∑
∑
4. Pada analisis pendugaan parameter
dan β model regresi binomial negatif
menggunakan metode newton raphson dengan bantuan software Matlab ,
bahwa hasil penduga yang dipeoleh bagi
bias.
dan β merupakan penduga
5.2 saran
Saran untuk pengembangan skripsi ini adalah membahas metode lain untuk
menangani overdispersi pada data poisson, seperti metode modifikasi standar
error pada poisson, metode Quasi-Poisson, atau dengan metode binomial negatif
umum (NB-P).
DAFTAR PUSTAKA
Freund’s, Jhon E. 1999. Mathematical Statistics, Sixth Edition. New Jersey.
Prentice Hall, Inc.
Gantini dan Harryanto. 2009. Pengantar Statistika Matematis. CV Yrama Widya.
Bandung.
Hogg, Robert V. & Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics,
Fifth Edition. New Jersey. Prentice Hall, Inc.
Hogg, V. A. and Tanis, A. E. 1999. Probability and Statistical Inference, Sixth
Edition. New Jersey. Prentice Hall, Inc.
Lawless, Jerald f. 1987. Negatif Binomial and Mixed Poisson Regression. The
Canadian Journal of Statistics. Hal 209-225.
Stern, H.S. & Cressie, N. 2000. Posterior predictive model cheks for disease
mapping models. Statistics in medicine. 18: 2377-2399.
PENDUGAAN PARAMETER MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF
MELALUI DISTRIBUSI CAMPURAN POISSON-GAMMA DENGAN
MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION
(MLE)
Oleh
MADE INDRAWAN
Regresi poisson merupakan analisis regresi yang memerlukan asumsi mean dan
varians yang sama pada variabel respon. Data count merupakan data yang berupa
bilangan bulat negatif. Apabila data tersebut diaplikasikan pada regresi poisson,
maka asumsi dalam regresi poisson dilanggar yaitu nilai varians lebih besar dari
nilai mean yang disebut overdispersi dimana nilai standar error nilai parameter
regresi cenderung lebih rendah dari yang seharusnya mengakibatkan kesimpulan
yang tidak valid. Untuk mengatasi masalah tersebut diperlukan model lain, yaitu
model regresi binomial negatif. Melalui model ini, dengan menggunakan metode
maximum likelihood estimation diperoleh nilai penduga yang tidak exact sehingga
penyelesaiannya diperlukan metode iterasi newton raphson. Hasil pendugaan
parameter regresi yang diperoleh merupakan penduga yang bias.
Kata kunci: Model Regresi Poisson, Overdispersi, Model Regresi Binomial
Negatif, Metode Maximum Likelihood Estimation(MLE), Metode Iterasi Newton
Raphson.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Seputih Raman, pada tanggal 13 Juli 1988, sebagai anak bungsu
dari dua bersaudara pasangan Bapak Wayan Kasub dan Ibu Ni Nyoman Karsini.
Pendidikan Taman kanak-kanak (TK) diselesaikan di TK Bukoposo tahun 1996,
Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN 1 Bukoposo pada tahun 2002, Sekolah
Menengah Pertama Negeri di SMPN 1 Way Serdang pada tahun 2005, Sekolah
Menengah Atas di SMAN 13 Bandar Lampung pada tahun 2008, dan pada tahun
yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi di Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Seleksi
Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN).
Selama menjadi mahasiswi penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan
Matematika (HIMATIKA), UKM-H UNILA, dan Natural FMIPA. Penulis
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tematik di Desa Bantaran Bancong
Kecamatan Kasui, Kabupaten Way Kanan. Penulis menyelasaikan pendidikan di
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung pada tahun 2014.
PERSEMBAHAN
Puji Syukur Kehadiran Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan anugrah, kesehatan
jiwa-raga, serta ketenangan hati dalam menjalani kehidupan ini.
Dengan penuh rasa syukur dan bangga kupersembahkan karya kecilku ini Sebagai tanda
bakti dan cinta Kepada :
Ayah dan Bunda tercinta…
Terimakasih atas kesabaran dan keikhlasan hati dalam membesarkan serta mendidikku
dengan penuh cinta. Dengan do’a dan dukungan serta pengorbanan kalaian mengantarkanku
selangkah demi selangkah dalam menggapai cita-cita. Semoga Tuhan membalas dengan rasa
saying dan cinta-Nya melebihi dari apa yang telah engkau berikan kepadaku.
Kakakku tercinta Ni Wayan Sulastri.
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada meski tak selalu bersama yang tak pernah berhenti
untuk memberikan nasihat, keceriaan, serta motivasi dalam setiap kehidupan penulis
Dan almamaterku tercinta.
MOTO
“Sesali masa lalu karena ada kekecewaan dan kesalahan-kesalahan,
tetapi jadikan penyesalan itu sebagai senjata untuk masa depan agar
tidak terjadi kesalahan lagi”
Bermimpilah yang sebesar-besarnya, tapi bersegeralah untuk mengerjakan
sekecil-kecilnya kebaikan yng terdekat
Berhasil mengalahkan dirimu, menjadikanmu dewasa. Berhasil
mengalahkan orang lain, menjadikanmu pemenang. Tapi memberhasilkan
orang lainlah yang menjadikanmu pemimpin.
(Made Indrawan)
iv
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
senantiasa melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pendugaan Model Regresi Binomial
Negatif
Melalui
Distribusi
Campuran
Poisson-Gamma
Dengan
Menggunakan Metode Maximum Estimation Likelihood (MLE).
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik,
dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk
itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1.
Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang telah
meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan
memotivasi penulis selama melaksanakan penelitian dan penyelesaian skripsi.
2.
Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak
membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3.
Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen penguji yang telah memberikan
nasehat, motivasi, saran dan kritik yang membangun guna penyempurnaan
skripsi ini.
4.
Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku dosen pembimbing akademik yang telah
memberikan bimbingan, motivasi, dan nasehat selama penulis menjalankan
studi di jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.
v
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8.
Ayah dan Ibu yang telah memberikan motivasi dan bantuan baik moril
maupun materil dan memberikan segala perhatiannya disaat keadaan apapun
serta selalu mendoakan penulis serta senantiasa berkorban dan mengusahakan
yang terbaik bagi penulis tanpa mengenal lelah.
9.
Kakakku terima kasih atas segala dukungan moril dan materil serta
nasihatnya.
10. Semua teman seperjuangan dalam penelitian, terimakasih atas kerjasama dan
semangatnya yang tanpa henti, dan teman – teman Exoters lainnya, terima
kasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.
11. Keluarga Besar HIMATIKA, keluaga besar NATURAL dan UKM-HINDU
UNILA terima kasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Bandar Lampung, 22 September 2014
Penulis
Made Indrawan
vi
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .................................................................................
viii
DAFTAR TABEL .....................................................................................
ix
I.
PENDAHULUAN ..............................................................................
1.1 Latar BelakangdanMasalah ............................................................
1.2 BatasanMasalah .............................................................................
1.3 Tujuan Penelitian ...........................................................................
1.4 Manfaat Penelitian .........................................................................
1
1
3
3
4
II. LANDASAN TEORI .........................................................................
2.1 Model Regresi Poisson ..................................................................
2.2 Distribusi Gamma ..........................................................................
2.3 Distribusi Binomial Negatif ...........................................................
2.4 Model Regresi Binomial Negatif ...................................................
2.5 Fungsi Link ....................................................................................
2.6 MetodeMaximum Likelihood Estimation (MLE) ...........................
2.7 Metode Iterasi Newton Rhapson ....................................................
5
5
7
8
9
11
13
15
III. METODE PENELITIAN ..................................................................
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................
3.2 Data Penelitian ...............................................................................
3.3 MetodePenelitian ...........................................................................
17
17
17
17
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ..........................................................
4.1 Distribusi Binomial Negatif ...........................................................
4.2 Model Regresi Binomial Negatif ...................................................
4.3 Estimasi Parameter Model Regresi Binomial NegatifDengan
MetodeMaximum Likelihood Estimation (MLE) ...........................
4.4 Pendugaan/Estimasi dengan Metode Iterasi Newton Raphson ......
4.5 Hasil Analisis Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif .........
4.5.1 Pendugaan Parameter dan β ............................................................
19
19
27
32
40
49
50
vii
V. KESIMPULAN DAN SARAN ..........................................................
5.1 Kesimpulan ....................................................................................
5.2 Saran ..............................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
54
54
55
DAFTAR GAMBAR
Gambar
4.1
Grafik scatterplot kanker bibir di Skotlandia.................................
Halaman
49
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
4.1 Hasil analisis pendugaan nilai awal parameter dan model regresi binomial
negatif dengan bantuan software SAS……………………………
50
4.2 Hasil analisis pendugaan parameter
,
dan
………………………………………………………
4.3 Hasil analisis pendugaan parameter
,
51
dan
…………………………………………………………….
52
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Analisis regresi merupakan suatu metode yang sering digunakan untuk
menganalisis hubungan antara variabel respon dengan beberapa variabel
prediktor. Pada umumnya analisis regresi digunakan untuk menganalisis data
variabel respon yang berupa data kontinu, namun sering juga ditemui variabel
yang berjenis diskrit. Variabel respon diskrit dapat berupa data count yaitu data
yang nilainya non negatif dan menyatakan banyak kejadian dalam interval waktu,
ruang, atau volume tertentu. Ketika variabel responnya berupa data count, analisis
regresi yang biasa digunakan adalah analisis regresi poisson.
Pada umumnyadistribusi poisson merupakan suatu model yang realistis untuk
berbagai macam fenomena acak selama nilai dari peubah acak poisson berupa
bilangan bulat non negatif. Misalkan banyaknya kecelakaan mobil setiap bulan,
banyaknya hujan badaisetiap tahun,banyaknya barang yang cacat dalam suatu
produksi tertentu, dan masih banyak kasus lainnya. Dalam data cacahan yang
dihasilkan dari suatu pengamatan model regresi poissonmerupakan salah satu
model yang tepat digunakan untuk menjelaskan hubungan antara peubah bebas
dengan peubah respon.Pada model regresi poisson terdapat asumsi yang harus
terpenuhi, yaitu variansi dari variabel responnya sama dengan means. Pada
2
kenyataannya kondisi seperti ini sangat jarang terjadi karena data count memiliki
variansi yang lebih besar dari meannya atau disebut kondisi overdispersi. Dalam
kondisi kasus seperti ini model regresi binomial negatif merupakan salah satu
alternatif yang tepat untuk mengatasinya.
Model regresi binomial negatif memiliki kegunaan yang sama dengan model
regresi poisson yaitu untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel respon
data count dengan satu atau lebih variabel penjelas, tetapi model regresi binomial
negatif lebih fleksibel dibandingkan dengan model poisson karena asumsi mean
dan variansi dari model binomial negatif tidak harus sama. Model ini juga
memiliki parameter dispersi yang berguna menggambarkan variasi dari data yang
biasa dinotasikan dengan . Model regresi binomial negatif yang akan digunakan
adalah model binomial negatif yang merupakan model campuran antara poisson
dan gamma, dimana distribusi gamma digunakan untuk mengatasi masalah
overdispersi dalam model poisson.
Dari dua model regresi yang biasa digunakan untuk data count yaitu poisson dan
binomial negatif, model binomial negatif memiliki bentuk yang lebih umum,
karena model poisson dapat dinyatakan dalam model binomial negatif ketika
parameter dispersinya mendekati nol atau dapat dikatakan data dalam kondisi
ekuidispersi. Jadi, model binomial negatif pada dasarnya dapat digunakan untuk
berbagai kasus data count namun dalam hal ini akan lebih dikhususkan untuk
masalah menduga parameter model regresi binomial negatif pada kasus
overdispersi.
3
Parameter didefinisikan sebagai hasil pengukuran yang menggambarkan
karakteristik dari suatu populasi. Nilai parameter dari populasi biasanya belum
diketahui, sehingga perlu diestimasi berdasarkan pengamatan dari data sampel.
Untuk menghasilkan penduga parameter yang baik dapat dilakukan dengan
beberapa cara yaitu, metode kuadrat terkecil, penduga bayes, metode maximum
likelihood estimation (MLE), metode momen dan lainnya. Pada penelitian ini
peneliti menggunakan metode maximum likelihood estimation (MLE), karena
metode MLE sering memberikan hasil pendugaan yang lebih baik dari yang lain
dalam beberapa contoh kasus.
1.2 Batasan Masalah
Penulis difokuskan penelitian ini pada distribusi binomial negatif dari sebaran
campuran Poisson-Gamma, dan menentukan nilai pendugaan dari parameter
dan dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Method Maximum
Likelihood).
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, penulis merumuskan
beberapa tujuan penelitian sebagai berikut:
1. Menunjukan bahwa model regresi binomial negatif diperoleh darifungsi
marginal distribusi campuran Poisson – Gamma.
2. Menunjukan nilai mean dan varians dari distribusi model Regresi
Binomial Negatif.
4
3. Menduga parameter-parameter model Regresi Binomial Negatif dengan
menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).
4. Menentukan solusi dari fungsi likelihood dalam menduga parameterparameter model regresi binomial negatif menggunakan pendekatan
numerik, yaitu metode newton rapshon.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memiliki manfaat sebagai berikut:
1. Memberikan wawasan bagaimana bentuk model regresi binomial negatif
dan nilai mean serta variansinya.
2. Memberikan wawasan bagaimana memperoleh nilai dugaan model regresi
binomial negatif dengan menggunakan metode Maximum Likelihood
Estimation (MLE).
5
II.
LANDASAN TEORI
2.1 Model Regresi Poisson
Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk
menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
prediktor X. Regresi poisson adalah salah satu regresi yang dapat menggambarkan
hubungan antara variabel respon Y dimana variabel respon berdistribusi poisson
dengan variabel prediktor X. Model regresi poisson merupakan model standar
untuk data diskrit dan termasuk dalam model linier. Regresi poisson adalah suatu
bentuk model linear umum dimana variabel respon dimodelkan sebagai distribusi
poisson. Regresi poisson merupakan suatu bentuk analisis menggunakan regresi
untuk menduga model data seperti jumlah, perubahan nilai atau mengelompokan
data ke tabel. Regresi poisson dapat dimodelkan mengunakan kombinasi nonlinier
β dari variabel-variabel yang diberikan:
β
Penggunaan fungsi eksponensial untuk memastikan bahwa bagian sebelah kanan
selalu positif, seperti yang kita harapankan dari nilai Y yang merupakan
penjumlahan tidak mugkin negatif. Pengunaan fungsi eksponensial atau bisa kita
sebut fungsi link, hanya untuk kemudahan. Pada prinsipnya dengan cara ini akan
6
selalu menghasilkan nilai positif, tetapi dengan adanya eksponensial ini tidak ada
hubungannya dengan model poisson. Dari model ini nilai β, yang merupakan
parameter yang tidak diketahui. Nilai dugaan dari parameter-parameter
dapatdiperoleh dengan metode maximum likelihood. Sebagai catatan bahwa
dengan mengestimasi β maka dapat diestimasi juga keseluruhan dari distibusi dari
Y terhadap x. Dengan ini regresi poisson memberikan suatu model yang realistis
untuk berbagai macam fenomena acak poisson berupa bilangan bulat non negatif.
Distribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi dalam
suatu interval waktu tertentu, ditemukan oleh S.D. Poisson (1781-1841), seorang
ahli
matematika
berkebangsaan
perancis.
Distribusi
poisson
termasuk
distribusiteoritis yang memakai variabel random diskrit.Misalkan Y peubah acak
yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu, (Hogg and Tanis,1997).
Maka fungsi peluang dari distribusi poisson diberikan sebagai berikut (Cameron
dan trevedi, 1998).
Dimana
adalah means distribusi poisson, means dan variansnya adalah:
Peluang banyaknya peubah acak Y dalam periode waktu t diberikan oleh:
Persamaan diatas digunakan untuk menghitung peluang peubah acak Y, means
jumlah kejadian
, berdasarkan asumsi bahwa mean jumlah
7
kejadian per periode waktu adalah konstan. Model regresi poisson dapat ditulis
sebagai berikut:
̂
Dimana:
β
jumlah kejadian ke ,
means jumlah kejadian dalam periode
galat error atau residual
2.2 Distribusi Gamma
Berdasarkan Hogg dan Craig (1995), suatu variabel acak kontinu
berdistribusi Gamma dengan parameter
fungsi peluang sebagai berikut:
{
β
Nilai mean dan variansnya adalah
dimana
β
dan
dikatakan
jika variabel tersebut mempunyai
8
Definisi fungsi gamma dari
dan
yaitu:
∫
Untuk
dan nilai dari integral tersebut adalah bilangan positif.
Beberapa nilai dari fungsi gamma adalah
(i). Jika
(ii). Jika
∫
, maka
adalah suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu, maka
diperoleh
(iii). Jika
(iv). Untuk
∫
maka
maka
2.3 Distribusi Binomial negatif
Distribusi binomial negatif merupakan distribusi yang memiliki banyak sekali
cara dalam hal pendekatannya. Pendekatan klasik dari distribusi binomial negatif
yang sering digunakan adalah distribusi binomial negatif sebagai barisan
percobaan Bernoulli, yaitu jumlah Bernoulli yang dibutuhkan sampai terjadi
buah sukses, dimana setiap pengulangan saling bebas, dan peluang sukses setiap
percobaan konstan yaitu
variabel acak
sedangkan
peluang gagal yaitu
. Misalkan
menyatakan jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai terjadi
9
buah sukses, maka
berdistribusi binomial negatif dengan fungsi peluang
sebagai berikut:
Mean, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial negatif
adalah sebagai berikut:
1.
2.
3.
[
]
2.4 Model regresi Binomial Negatif
Distribusi binomial negatif merupakan model untuk menghitung jumlah suatu
kejadian. Biasanya distribusi binomial negatif digunakan untuk menghitung
probabilitas dari jumlah kegagalan yang terjadi sebelum berhasil. Tetapi karena
merupakan kebalikan dari binomial maka dapat juga digunakan untuk menghitung
jumlah kejadian, karena percobaan akan dilakukan terus menerus sampai berhasil.
Dalam distribusi poisson kita ketahui bahwa nilai mean sama dengan nilai
variansnya. Namun dalam beberapa kasus, sering ditemukan bahwa nilai varians
dari data yang teramati lebih besar dari pada meannya yang biasanya disebut
overdispersi. Maka distribusi binomial negatif mempunyai peranan yang cukup
penting dalam analisis statistika parametrik untuk mengatasi data yang
10
mengandung overdispersi. Distribusi binomial negatif ini diperoleh dari proses
pengintegralan dari distribusi campuran poisson-gamma terhadap
. Misalkan
bahwa variabel acak
berdistribusi poisson dengan parameter
atau
poisson( ). Akan tetapi,
itu sendiri merupakan peubah acak dan diasumsikan
berdistribusi gamma yaitu:
Jika suatu distribusi poisson ( ) dimana
merupakan nilai variabel random yang
berdistribusi gamma, maka akan dihasilkan distribusi campuran yang dinamakan
distribusi binomial negatif. Model regresi binomial negatif mengasumsikan
terdapat peubah
⁄
yang menyebar gammadengan nilai tengah 1 dan ragam
Sehingga untuk memperoleh
tengah sebaran poisson. Misalkan
jika parameter
dalam nilai
adalah sumber keragaman yang tidak
teramati, sehingga nilai tengah sebaran campuran poisson-gamma adalah
̃
Dengan
Dengandiasumsikan
adalah nilai tengah model poisson dan
.
, maka model poisson dan binomial negatif
memiliki nilai tengah yang sama, yaitu
sebaran campuran poisson-gamma dapat ditulis sebagai berikut:
. Fungsi peluang
11
peubah
menyebar gamma dengan parameter
dan . Fungsi peluang gamma
adalah
dengan nilai harapan
parameter
, sehingga untuk memperoleh
ditentukan sebesar
maka
. Diasumsikan fungsi peluang gamma
menjadi,
g
Sehingga dapat ditulis bentuk fungsi marjinal dari distribusi campuran poissongamma adalah:
∫
Dari hasil integral untuk fungsi marjinal distribusi campuran poisson-gamma,
maka diperoleh bentuk umum dari model regresi binomial negatif sebagai berikut:
(
) (
)
2.5Fungsi Link
Fungsi link adalah suatu fungsi yang menghubungkan fungsi prediktor linear
dengan nilai tengah respon . Dalam model linear klasik, fungsi link bisa berupa
fungsi yang identik atau kanonik. Suatu fungsi link dikatakan fungsi link kanonik
12
bila parameter kanoniknya sama dengan fungsi linknyayaitu :
(2.4.1)
Dimana
adalah parameter kanonik.
Berikut fungsi link kanonik untuk beberapa distribusi :
Distribusi
Fungsi link kanonik
Normal
Poisson
Binomial
⁄
Gamma
Terdapat dua fungsi penghubung yang biasa digunakan dalam regresi binomial
negatif yaitu penghubung identitas (identity link) dan penghubung log (log link).
Fungsi penghubung identitas berbentuk :
(2.4.2)
Sedangkan fungsi penghubung log berbentuk :
(2.4.3)
Fungsi penghubung log adalah fungsi yang paling cocok digunakan, karena fungsi
13
log menjamin bahwa nilai variabel yang diharapkan dari variabel responnya akan
bernilai non negatif.
2.6Metode Kemungkinan Maksimum (Method of Maximum Likelihood)
Definisi 2.6.1: (Hogg and Craig, 1995)
Fungsi densitas bersama dari variabel random
adalah
Untuk
yang merupakan fungsi likelihood.
tetap, fungsi likelihood merupakan fungsi dari
dilambangkan dengan
dari
yang bernilai
. Jika
dan
mewakili sebuah sampel random
, maka
dapat dituliskan sebagai
berikut:
̃
∏
,
merupakan fungsi densitas probabilitas dari
. Untuk hasil pengamatan
dimana
, nilai ̂ berada dalam
̂
maksimum yang disebut sebagai maximum likelihood estimation
(MLE) dari . Jadi, ̂ merupakan nilai dugaan dari .
,
14
;
Jika
, maka untuk memperoleh
nilai ̂ tersebut yang memaksimumkan
harus diderivatifkan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Nilai ̂ diperoleh dari derivatif pertama jika:
̂
2. Nilai ̂ dikatakan memaksimumkan
jika:
̂
Selain dengan memaksimumkan fungsi likelihood, nilai ̂ juga dapat diperoleh
dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood, karena dengan memaksimumkan
fungsi log-likelihood, juga akan memaksimumkan fungsi likelihood, sebab log
merupakan fungsi yang menoton naik, maka untuk memperoleh ̂ dengan
memaksimumkan fungsi log-likelihood dapat dilakukan dengan langkah-langkah
yang sama yaitu:
1. Nilai ̂ diperoleh dari derivatif pertama jika:
̂
2. Nilai ̂ dikatakan memaksimumkan
̂
jika:
15
2.7Metode Iterasi Newton Rhapson
Apabila dalam proses estimasi parameter didapat persamaan akhir yang non linear
maka tidak mudah memperoleh estimasi parameter tersebut, sehingga diperlukan
suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan non linear tersebut. Salah
satu metode yang sangat populer digunakan untuk memecahkan sistem persamaan
non linear adalah metode Newton Rhapson. Metode Newton Rhapson adalah
metode untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif seperti
persamaaan likelihood yang mencari lokasi yang memaksimalkan suatu fungsi.
Dasar dari metode ini adalah pendekatan deret taylor linear :
∑
Perluasan dari bentuk orde 1 :
Diperoleh :
Jika
θ m
merupakan nilai awal (inisialisasi) dari θ atau
d
dms
dan θ
merupakan nilai ke-1 dari
dengan t awal = 0. Begitu
pula dengan G dan H. Maka diperoleh iterasi sebagai berikut:
16
Dengan indeks t menyatakan ukuran iterasi.
Adapun langkah-langkah metode iterasi Newton Rhapson adalah sebagai berikut:
1.
2.
3.
4.
Ambil estimasi awal dari θ, misal
̂
̂
̂ .
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
,
̂
.
merupakan derivative pertama dari
(̂ )
, misal
dan ( ̂ )
, maka :
Estimator ̂ diiteratif terus sampai diperoleh jarak antara ̂
nilainya sangat kecil atau ̂
pada
̂
dengan ̂
Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih
dari satu parameter. Misal
̂
maka iterasinya sebagai berikut :
̂
dimana ̂
dan ̂ dalam bentuk vektor yaitu :
̂
[
̂
̂
] dan ̂
[
̂
̂
]
dan
[
]
[
]
17
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2013/2014,
Bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data kanker
bibir di skotlandia yang diambil dari Stren dan Cressie (2000). Data ini berupa
banyaknya penderita kanker bibir yang tercatat selama 6 tahun dari tahun 1975
sampai 1980 pada 56 distrik di skotlandia. Dimana
adalah banyaknya jumlah
penderita kanker bibir masing-masing daerah di skotlandia dan
adalah
persentase penduduk yang berkerja dibidang pertanian, perikanan, dan kehutanan.
Data lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.
3.3 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara
sistematis yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan
18
informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini, kemudian
melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang telah didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini dalam mengkaji sifat
dan karakteristik distribusi binomial negatif adalah sebagai berikut: Membuktikan
regresi binomial negatif yang diperoleh dari distribusi campuran poisson-gamma
serta menunjukan sifat dan karakteristiknya.
1. Mendefinisikan model regresi binomial negatif serta menentukan nilai
mean, varians, dan nilai dugaan untuk masing-masing parameter.
2. Menentukan model regresi binomial negatif.
3. Mengestimasi
parameter
model
regresi
binomial
negatif
dengan
menggunakan metode maximum likelihood estimation (MLE), langkahlangkahnya sebagai berikut:
a. Menentukan fungsi maximum likelihood estimation (MLE) yang
berasal dari fungsi binomial negatif.
b. Menurunkan fungsi maximum likelihood estimation (MLE) distribusi
binomial negatif dengan fungsi ln.
c. Mencari turunan pertama dari ln fungsi maximum likelihood
estimation (MLE) terhadap parameter
dan
yang hendak di duga
dan menyamakannya dengan nol.
d. Apabila solusi dari persamaan yang dihasilkan dari langkah c tidak
memperoleh penyelesaian, maka prosedur pendugaan dilanjutkan
dengan menggunakan iterasi Newton-Raphson.
4. Menentukan penduga parameter bagi ̂ dan ̂ dari model regresi binomial
negatif.
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Distribusi yang digunakan dalam model regresi binomial negatif adalah
hasil proses dari distribusi poisson-gamma mixture yaitu:
(
)
(
)
2. Model regresi binomial negatif memiliki nilai mean yang sama dengan
model regresi poisson, tetapi nilai varian model regresi binomial negatif
berbeda dengan model regresi poisson yaitu:
dan
(
3. Pendugaan parameter
)
(
)
dan β pada model regresi binomial negatif dengan
metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) tidak memberikan
penyelesaian, maka digunakan penyelesaian lain yaitu dengan metode
iterasi Newton-Raphson untuk menduga kedua parameter tersebut secara
bersamaan secara iteratif dengan menggunakan turunan pertama dan
turunan kedua dari fungsi log-Likelihoodnya adalah
55
∑ {[ ∑
(
)]}
∑
∑
∑
4. Pada analisis pendugaan parameter
dan β model regresi binomial negatif
menggunakan metode newton raphson dengan bantuan software Matlab ,
bahwa hasil penduga yang dipeoleh bagi
bias.
dan β merupakan penduga
5.2 saran
Saran untuk pengembangan skripsi ini adalah membahas metode lain untuk
menangani overdispersi pada data poisson, seperti metode modifikasi standar
error pada poisson, metode Quasi-Poisson, atau dengan metode binomial negatif
umum (NB-P).
DAFTAR PUSTAKA
Freund’s, Jhon E. 1999. Mathematical Statistics, Sixth Edition. New Jersey.
Prentice Hall, Inc.
Gantini dan Harryanto. 2009. Pengantar Statistika Matematis. CV Yrama Widya.
Bandung.
Hogg, Robert V. & Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics,
Fifth Edition. New Jersey. Prentice Hall, Inc.
Hogg, V. A. and Tanis, A. E. 1999. Probability and Statistical Inference, Sixth
Edition. New Jersey. Prentice Hall, Inc.
Lawless, Jerald f. 1987. Negatif Binomial and Mixed Poisson Regression. The
Canadian Journal of Statistics. Hal 209-225.
Stern, H.S. & Cressie, N. 2000. Posterior predictive model cheks for disease
mapping models. Statistics in medicine. 18: 2377-2399.