PELABELAN L(d,2,1) PADA OPERASI KOMPLEMEN DAN KORONA GRAF LINTASAN DAN SIKLUS

  Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan Volume 15 Nomor 1 Juni 2018 (Halaman 11 - 19) _{ISSN : 2450}

• – 766X

  PELABELAN ( , , ) PADA OPERASI KOMPLEMEN DAN KORONA GRAF

LINTASAN DAN SIKLUS

  1

  2

  3 R. Natalia , I. W. Sudarsana , dan S. Musdalifah

  1 Program Studi Matematika Jurusan Matematika 2,3

  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako ₁ Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia

  

reginatalia27@gmail.com,

ABSTRACT Let be a graph with vertices and edges. An ( , 2,1) labeling of graph is a function of : → {1,2, ⋯ , } such that the following condition | ( ) − ( )| ≥ , for ( , ) = 1, | ( ) − ( )| ≥ 2, where ( , ) denoted the on distance of two vertices is called the span and ( , ) = 2, and | ( ) − ( )| ≥ 1, for ( , ) = 3. A number of is the largest label vertex of

( , 2,1) labeling, if ( , 2,1) labeling. Notation ( ) states that the smallest

  ′ span of all ( , 2,1) labeling on a graph . An injective labeling ( , 2,1) is called ( , 2,1) and a minimum span of

  ′ ′ ′ ′ all labeling ( , 2,1) denoted by ( ). A graph which has ( , 2,1) labeling is called the ( , 2,1) graph. In this

paper we study of such labeling by considering complement of path and cycle. The result showed that complement

  −1 −2 of path ̅ ) has ( ̅ ) = 1 + ( ( ̅ ) = 3 + (

  ( ) , for = 5,7,9, … and ) , for = 4,6,8, … and complement of

  2

  2

−1 −2

the cycle corona

( ( ) , for = 5,7,9, … and ( ) , for = 6,8,10, … and

  1 ̅̅̅) has ̅̅̅) = 1 + ( ̅̅̅) = 3 + (

  2

  2 of two paths ( ) = + 4 − 1. Therefor, the complement of paths ( ̅ ), the complement

  ( 1 ⊙ 2 ) has 1 ⊙ 2

′

of cycle corona of two path ( ̅̅̅), and

  1 (

1 ⊙ 2 ) are ( , 2,1) graph.

  Keywords : Complement of Cycle Graph ( ̅̅̅), Corona of Two Path Graph ̅̅̅), Complement of Path Graph (

  ′ ( ⊙ ), ( , , ) Labeling, ( , , ) Labeling ABSTRAK

  Misalkan adalah graf dengan titik dan sisi. Pelabelan ( , 2,1) pada graf adalah fungsi : → {1,2, ⋯ , } yang memenuhi kondisi | ( ) − ( )| ≥ , jika ( , ) = 1, | ( ) − ( )| ≥ 2, jika ( , ) = 2, dan | ( ) − ( )| ≥ disebut span dari pelabelan adalah label titik terbesar atas 1, jika ( , ) = 3. Suatu bilangan ( , 2,1), jika pelabelan ( , 2,1). Notasi ( ) menyatakan span terkecil atas semua pelabelan ( , 2,1) pada graf . Pelabelan

  ′ ′

( , 2,1) yang injektif disebut pelabelan ( , 2,1) dan minimal span atas semua pelabelan ( , 2,1) dinotasikan

  ′ ′ ′

( ). Sebuah graf yang mempunyai pelabelan ( , 2,1) dinamakan graf ( , 2,1). Hasil penelitian menunjukkan

  −1 −2 bahwa komplemen dari graf lintasan ̅ ) dengan ( ̅ ) = 1 + ( ( ̅ ) = 3 + (

  ( ) , untuk = 5,7,9, … dan ) ,

  2

  2 −1 untuk = 4,6,8, … dan komplemen pada graf siklus ( ̅̅̅) dengan ( ̅̅̅) = 1 + ( ) untuk, = 5,7,9, … dan

  2 −2 korona dua graf lintasan (

  ( ) = + ̅̅̅) = 3 + ( ) , untuk = 6,8,10, … dan 1 ( 1 ⊙ 2 ) dengan 1 ⊙ 2

  2 ̅ ), komplemen pada graf siklus ( korona dua 4 − 1. Dengan demikian, komplemen dari graf lintasan ( ̅̅̅), dan

  1 ′ graf lintasan (

  1 ⊙ 2 ) adalah graf ( , 2,1).

  Kata kunci : Komplemen dari Graf Siklus ̅̅̅), ( ̅̅̅), Komplemen dari Graf Lintasan ( Korona Dua Graf

  ′ Lintasan ( ⊙ ), Pelabelan ( , , ), Pelabelan ( , , ) I. PENDAHULUAN 1.1.

   Latar Belakang

  Pelabelan graf merupakan salah satu topik dari teori graf yang mendapat perhatian khusus karena model-model yang ada dalam teori graf berguna untuk aplikasi yang luas, misalnya pada jaringan komunikasi, transportasi, navigasi, geografis, penyimpanan data komputer, dan riset operasi. Pelabelan graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen tertentu dari graf tersebut dengan menggunakan bilangan positif. Jika yang diberi label hanya vertex) saja, maka pelabelannya disebut pelabelan titik.jika yang diberi label hanya sisi titik ( ( edge) saja, maka pelabelannya disebut pelabelan sisi. Sedangkan jika keduanya, titik (vertex) edge) diberi label, maka pelabelannya disebut pelabelan total. dan sisi (

  Komplemen suatu graf dinotasikan dengan ̅ dengan titik adalah suatu graf sederhana dengan titik-titik

  ̅ sama dengan titik-titik , jadi ( ) = ( ̅). Sisi-sisi pada ̅ adalah komplemen sisi-sisi terhadap graf lengkapnya. Berarti titik-titik yang dihubungkan dengan sisi tidak berhubungan dalam ̅ dan sebaliknya titik-titik yang berhubungan dalam menjadi tidak berhubungan dalam

  ̅ (dengan kata lain sisi yang ada pada tidak ada di ̅). Misalkan dan adalah dua buah graf, hasil operasi korona pada graf terhadap

  1

  2

  1

  2

  dinotasikan dengan adalah graf korona yang diperoleh dengan mengambil , ⊙ graf

  1

  2

  2

  1

  2

  sebut dimana . Kemudian menghubungkan titik , , … , adalah banyak titik graf

  2

  2

  2

  1 ( )

  ke- ke setiap titik di dimana dari = 1,2, … , (Anwar dkk, 2015).

  1

  2

  ̅̅̅ sama dengan Komplemen dari graf lintasan dinotasikan dengan

  ̅̅̅ dimana titik-titik titik-titik , jadi . Berarti titik-titik

  ( ) = ( ̅̅̅). Sisi-sisi pada ̅̅̅ adalah komplemen sisi-sisi ̅̅̅ dan sebaliknya titik-titik yang yang dihubungkan dengan sisi tidak berhubungan dalam

  ̅̅̅ (dengan kata lain sisi yang ada berhubungan dalam menjadi tidak berhubungan dalam pada

  ̅̅̅ tidak ada di ̅̅̅). Komplemen dari graf siklus dinotasikan dengan ̅̅̅ dimana titik-titik sama dengan titik-titik , jadi .

  ( ̅̅̅). Sisi-sisi pada ̅̅̅ adalah komplemen sisi-sisi ) = (

  ̅̅̅ dan sebaliknya Berarti titik-titik yang dihubungkan dengan sisi tidak berhubungan dalam titik-titik yang berhubungan dalam menjadi tidak berhubungan dalam ̅̅̅ (dengan kata lain sisi yang ada pada tidak ada di merupakan graf yang dibentuk dari graf

  ̅̅̅). Graf ⊙ 2

  1

  dikoronakan dengan dua graf lintasan ), dengan demikian graf mempunyai (2 ⊙ 2

  1 1 2 + 1 titik dan 2(2 − 1) sisi.

  Pelabelan ( , 2,1) didefinisikan sebagai pemberian label pada titik suatu graf dari himpunan titik

  ( ) ke himpunan bilangan bulat positif {1,2 ⋯ } sehingga jarak label dari dua titik yang saling bertetangga paling sedikit , jika dua titik dengan jarak dua maka memiliki selisih label paling sedikit dua, dan jika dua titik dengan jarak tiga maka memiliki selisih label paling sedikit satu. Bilangan pelabelan

  ( , 2,1) dinotasikan dengan ( ) yang merupakan bilangan asli terkecil dari sedemikian sehingga memiliki pelabelan ( , 2,1) dengan sebagai label maksimum (Indriati dkk, 2012). Pelabelan ( , 2,1) sudah dilakukan pada

  ≥ 3 (Clipperton, 2008). Pada tahun 2012, Indriati dkk, telah melakukan penelitian pada graf bintang, graf matahari dan graf roda. Pelabelan (2,1) pada graf kipas, graf roda, graf teratai, graf (Fatimah, 2016). Pelabelan

  ⨀ ( ∪ ) dan graf ⨀ (3,2,1) pada graf pohon,

  1

1 Cartesian product, Power, graf lintasan, graf siklus (Ma-Lian Chia dkk, 2011). Pelabelan

  L(3,2,1) pada Graf Kite, Graf Sun, dan Graf Wheel (Novita, 2012). Namun untuk hasil operasi komplemen dan korona graf lintasan dan silklus merupakan masalah terbuka. Oleh karena itu,

  ′

  pada artikel ini akan di bahas tentang pelabelan ( , 2,1) pada operasi komplemen dan korona graf lintasan dan siklus .

  1.2. Batasan Masalah Dari penelitian ini, observasi yang dapat dilakukan pada beberapa graf adalah pertama komplemen dari graf lintasan ( ̅ ) , dimana

  ≥ 4 dan ≥ 4, kedua komplemen dari graf siklus dimana korona dua graf lintasan

  ( ≥ 5 dan ≥ 4, ketiga graf ( ⊙ 2 ), dimana ≥ 2 ̅̅̅),

  

1

  1

  dan ≥ 3.

  II. METODE PENELITIAN 1. Memulai penelitian.

  2. Menotasikan titik pada graf .

  ̅̅̅, ̅̅̅, dan ⊙ 2

  1 3. Memberikan label pada titik dari graf .

  ̅̅̅, ̅̅̅, dan ⊙ 2

  1 4. Membuat formulasi dari pelabelan .

  ( , 2,1) pada graf ⊙ 2 ̅̅̅, ̅̅̅, dan

  1 ′

  5. Mencari nilai .

  ( )dengan adalah graf ̅̅̅, ̅̅̅, dan ⊙ 2

  1 ′

  ̅̅̅,

  6. Membuat bukti graf mempunyai formula ̅̅̅, ̅̅̅, dan ⊙ 2 ( ) dengan adalah graf

  1 .

  ⊙ 2 ̅̅̅, dan

  1 7. Kesimpulan.

  8. Selesai.

  III. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas pelabelan dan

  ( ̅ )

  ( , 2,1) pada komplemen dari graf lintasan komplemen dari graf siklus serta graf dikoronakan dengan dua graf lintasan

  ( ( ⨀ 2 ).

  ̅̅̅)

  1

  1 Sebelum itu, diberikan definisi korona M. isalkan dan adalah dua buah graf, hasil operasi korona

  

1

  2

  pada graf terhadap dinotasikan dengan adalah graf korona yang diperoleh dengan ⊙

  1

  2

  

1

  2

  1

  2

  mengambil , sebut dimana . Kemudian graf , , … , adalah banyak titik graf

  2

  2

  2

  2

  1 ( )

  1

  

2

Definisi 1: Pelabelan

  menghubungkan titik ke- ke setiap titik di dimana dari = 1,2, … , (Anwar dkk, 2015).

  ( , 2,1) pada graf adalah fungsi : → yang memenuhi kondisi (1). | ( ) − ( )| ≥ , jika ( , ) = 1, (2). | ( ) − ( )| ≥ 2, jika ( , ) = 2, (3). | ( ) −

  Bilangan pelabelan

  ( )| ≥ 1, jika ( , ) = 3. ( , 2,1) disimbolkan ( ), dari graf adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga memiliki pelabelan ( , 2,1) dengan

  Definisi 2: Pelabelan ( , 2,1) yang injektif disebut pelabelan ′( , 2,1). Span minimum atas semua

  ′

  pelabelan ′( , 2, 1) pada graf , dinotasikan dengan ( ). Pada bab ini akan dibahas pelabelan

  ( , 2,1) pada komplemen dari graf lintasan ( ̅ ) dan komplemen dari graf siklus serta graf dua graf lintasan

  ( ̅̅̅)

  2 ( ⨀ 2 ) dikoronakan dengan

  1

  1 Teorema 1. Jika merupakan spanning subgraf terhubung dari maka ( ) ≤ ( ).

  Bukti : Misal merupakan graf terhubung dengan order dan merupakan spanning subgraf terhubung dari dengan ( ) = ( ) dimana ( ) = { ∈ adalah titik

  |1 ≤ ≤ } dan ( ) = { |1 ≤ ≤ }, yang bersesuaian dengan ∈ . Misalkan

  ( ) = . Karena ( ) = maka memiliki pelabelan ( , 2,1) dengan span terkecil . Sebut : ( ) → {1,2, ⋯ , } ada. Karena merupakan spanning subgraf terhubung dari maka dapat diambil pelabelan = sedemikian sehingga span dari adalah . Dengan demikian, ( ). Jadi, ( ).

  ( ) ≤ = ( ) ≤

  ′ ′

  Teorema di atas berlaku juga untuk ( , 2,1) yang injektif, sehingga ( ) ≤ ( ).

3.1. Komplemen dari Graf Lintasan ( ̅̅̅̅̅)

  Sebelum itu akan diberikan notasi titik dari graf ̅̅̅ untuk ≥ 1 adalah sebagai berikut :

  v v v v v _{2 3 n}

  1 n

  1 ⋯ 

  ̅̅̅ Gambar 1 : Penotasian titik pada graf

  Berdasarkan di atas dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi pada graf ̅̅̅ untuk ≥ 4, yaitu :

  ( ̅̅̅ ) = { |1 ≤ ≤ } ( ̅̅̅ ) = { |1 ≤ ≤ − 2, 2 ≤ ≤ − }

• Teorema 2. Komplemen dari graf lintasan

  ( ̅̅̅ ), mempunyai

  −1

  1 + ( ) , = 5,7,9, … ≥ 4

  ′

  2

  ( ̅̅̅) = {

  −2

  3 + ( ) , = 4,6,8, … ≥ 4

2 Bukti :

  Kasus 1 : ganjil, ≥

  ′

  Pandang notasi titik untuk graf ̅̅̅ pada Gambar 1 akan ditunjukkan ( ̅̅̅ ) ≤ 1 +

  −1 ′

  ̅̅̅. Definisikan fungsi ( ) yaitu dengan mengkontruksi pelabelan ( , 2,1) dari graf

  2 −1

  : ( ̅̅̅ ) → {1,2, ⋯ ,1 + ( ) } sebagai berikut :

  2

  −1

  ganjil 1 + ( ) , 1 ≤ ≤ , ( ) = {

  −2

  genap 3 + ( ) , 2 ≤ ≤ ,

  2 ′

  Dapat diverifikasi bahwa fungsi memenuhi sifat pelabelan ( , 2,1) dalam Definisi 2

  −1 −1 ′

  1 ) = ( ). Jadi,

  dengan label terbesar adalah 1 + ( ) , pada saat ( ≤ 1 + ( ) .

  2

  2 −1 ′

  Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa adalah titik dengan label 1 ≥ 1 + ( ) . Misalkan

  2 akan menginduksi lintasan dengan paling sedikit 4 himpunan titik.

  ( ( ) = 1), titik { , , , } akan membentuk , , , } dengan ≥ 1.

  ̅ dengan 4 titik yaitu {

• 1 +2 +3 4 +1 +2 +3

  Jika, ( ) = 1 akibatnya ( ) ≥ 3, ( ) = + 1, ( ) ≥ + 3, sampai ( ) ≥

  1 +1 +2 +3 −1

  1 + ( ) . Dan jika, ( ) = 1 akibatnya ( −1 ) ≥ 3, ( −2 ) = + 1, ( −3 ) ≥ + 3,

  2 −1

  sampai ( ) . Sementara itu, untuk (

  ) ≥ 1 + ( ) = 1 akibatnya ( ) ≥ 3, ( ) =

  1

• 1 +2

  2

−1

• 1, ( ) ≥ + 3 sampai ( ) ≥ 3 + ( ) , dimana = 2,3, … , − 1 dan &ge
• 3 −1

  

2

Kasus 2 :

  genap ≥

  ′

  Pandang notasi titik untuk graf ̅̅̅ pada Gambar 1 akan ditunjukkan ( ̅̅̅ ) ≤ 3 +

  −2 ′

  ̅̅̅. Definisikan fungsi ( ) yaitu dengan mengkontruksi pelabelan ( , 2,1) dari graf

  2 −1

  : ( ̅̅̅ ) → {1,2, ⋯ ,1 + ( ) } sebagai berikut :

  2 −1

  ganjil ) , 1 ≤ ≤ , 1 + (

  2

  ( ) =

  −2

  genap 3 + ( ) , 2 ≤ ≤ , {

  2 ′

  Dapat diverifikasi bahwa fungsi memenuhi sifat pelabelan ( , 2,1) dalam Definisi 2

  −2 −2 ′

  dengan label terbesar adalah 3 + ( ) pada saat = . Jadi, ≤ 3 + ( ) . Selanjutnya,

  2

  2 −2 ′

  akan ditunjukkan bahwa adalah titik dengan label 1 ≥ 3 + ( ) . Misalkan ( ( ) = 1),

  2 titik akan menginduksi lintasan dengan paling sedikit 4 titik.

  { , , , } akan

• 1 +2 +3

  4 +1 +2 +3

  membentuk ̅ dengan 4 titik yaitu { , , , } dengan ≥ 1.

  Jika, (

  ) = 1 akibatnya ( +1 ) ≥ 3, ( +2 ) = + 1, ( +3 ) ≥ + 3 sampai ( ) ≥

  −2

  3 + ( ) . Dan jika, ( ) = 1 akibatnya ( ) ≥ 3, ( ) = + 1, ( ) ≥ + 3,

  −1 −2 −3

  2 −1

  sampai ( ) . Sementara itu, untuk (

  1 ) ≥ 1 + ( ) = 1 akibatnya ( +1 ) ≥ 3, ( +2 ) =

  2 + 1, ( ) dimana = 2,3, … , − 1 dan ≥ 4.

  ) ≥ + 3 sampai ( ) ≥ (

• 3 −1

  2 ′ −1

  Dari beberapa kasus diatas, maka dapat disimpulkan bahwa ̅̅̅ ) ≥ 1 + ( )

  (

  2 ′ −2

  ( ̅̅̅ ) ≥ 3 + (

  untuk ganjil dan ) untuk genap.

  2

  3.2. Komplemen dari Graf Siklus ̅̅̅̅̅)

  ( ̅̅̅ untuk ≥ 1 adalah sebagai berikut :

  v

  1 v v _n

  2 v v _{n 1 3}

   ⋯

  ̅̅̅ Gambar 2 : Penotasian titik pada graf

  Berdasarkan di atas dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi pada graf ̅̅̅ untuk ≥ 1, yaitu:

  ( ̅̅̅ ) = { |1 ≤ ≤ } (

  ̅̅̅ ) = { | 2 ≤ ≤ − 2} ∪ { |2 ≤ ≤ − 2, 2 ≤ ≤ − }

  1 1+ +

  Teorema 3. Komplemen dari graf siklus ̅̅̅ ), dengan ≥ 5 mempunyai

  (

  −1

  1 + ( ) , = 5,7, … ≥ 4

  2 ′

  ̅̅̅̅) = { (

  −2

  3 + ( ) , = 6,8, … ≥ 4

2 Bukti :

  Kasus 1 : ganjil, ≥

  ′

  Pandang notasi titik untuk graf ̅̅̅ pada Gambar 2 akan ditunjukkan ̅̅̅) ≤ 1 +

  (

  −1 ′

  ̅̅̅. Definisikan fungsi ( ) yaitu dengan mengkontruksi pelabelan ( , 2,1) dari graf

  2 −1

  : ( ̅̅̅) → {1,2,⋯ ,1 + ( ) } sebagai berikut.

  2 −1

  ganjil ) , 1 + (

  2

  ( ) =

  −2

  genap 3 + ( ) , {

  2 ′

  Dapat diverifikasi bahwa fungsi memenuhi sifat pelabelan ( , 2,1) dalam Definisi 2

  

−1 −1

′

  dengan label terbesar adalah 1 + ( ) . Jadi, ≤ 1 + ( ) . Selanjutnya, akan ditunjukkan

  2

  2 ′ −1

  bahwa adalah titik dengan label 1 ≥ 1 + ( ) . Misalkan ( ( ) = 1), titik akan

  2 menginduksi lintasan dengan paling sedikit 5 himpunan titik.

  { , , , , } akan

• 1 +2 +3 +4

  membentuk hanya khusus untuk , dengan 5 titik yaitu {

  } ̅̅̅ ∪ { 5 +4 = 5 , , , , }

• 1 +2 +3 +4

  dengan ≥ 1.

  Jika, (

  ) = 1 akibatnya ( ) ≥ 3, ( ) = + 1, ( ) ≥ + 3, ( ) ≥ 2 +

• 1 +2 +3 +4 −1

  1, sampai ( ) dimana = 2,3, … , . Sementara itu, untuk ( (

  −1 ) ≥ 1 + ( 1 ) = 1)

  2

  akibatnya ( ) ≥ 3, ( ) = + 1, ( ) ≥ + 3, ( ) ≥ 2 + 1, sampai ( ) ≥ 1 +

• 1 +2 +3 +4 −1 ( ) dengan ≥ 4.

2 Kasus 1 :

  genap ≥

  ′

  Pandang notasi titik untuk graf ̅̅̅ pada Gambar 2 akan ditunjukkan ( ̅̅̅) ≥ 3 +

  −2 ′

  ̅̅̅. Definisikan fungsi ( ) yaitu dengan mengkontruksi pelabelan ( , 2,1) dari graf

  2 −2

  : ( ) } sebagai berikut.

  ̅̅̅) → {1,2,⋯ ,3 + (

  2 −1

  ganjil ) , 1 + (

  2

  ( ) =

  −2

  genap 3 + ( ) , {

  2 ′

  Dapat diverifikasi bahwa fungsi memenuhi sifat pelabelan ( , 2,1) dalam Definisi 2

  

−1 −2

′

  dengan label terbesar adalah 1 + ( ) . Jadi, ≤ 3 + ( ) . Selanjutnya, akan ditunjukkan

  2

  2 −2 ′

  bahwa adalah titik dengan label 1 ≥ 3 + ( ) . Misalkan ( ( ) = 1), titik akan

  2 menginduksi lintasan dengan paling sedikit 5 himpunan titik.

  { , , , , } akan

• 1 +2 +3 +4

  ,

  membentuk } hanya khusus untuk dengan 5 titik yaitu {

  ̅̅̅ ∪ { 5 +4 = 5 , , , , }

• 1 +2 +3 +4

  dengan ≥ 1.

  Jika, (

  ) = 1 akibatnya ( ) ≥ 3, ( ) = + 1, ( ) ≥ + 3, ( ) ≥ 2 +

• 1 +2 +3 +4 −1

  1, sampai ( ) dimana = 2,3, … , . Sementara itu, untuk ( (

  −1 ) ≥ 1 + ( 1 ) = 1)

  2

  akibatnya ( ) ≥ 3, ( ) = + 1, ( ) ≥ + 3, ( ) ≥ 2 + 1, sampai ( ) ≥ 3 +

• 1 +2 +3 +4 −2 ( ) dan ≥ 4.

  2 ′

  Dengan demikian, dari beberapa kasus diatas, dapat disimpulkan bahwa ≥ 1 +

  −1 ′ −2 ( ) untuk ganjil dan ) untuk genap.

  ( ̅̅̅) ≥ 3 + (

  2

  2

  3.3. ) Korona Dua Graf Lintasan ( ⊙

  Sebelum itu akan diberikan notasi titik secara umum pada korona dua graf lintasan

  1

  ( ⊙ 2 ) untuk ≥ 5 dan ≥ 3 dapat dilihat pada gambar :

  1

v v v

v ₂

_n

  1 n

  1



u

  ' ' ' '

v v

v

v

_n

_{1 n}

  2 ⋯ 1 

  Gambar 3 : Penotasian titik pada graf ⨀2

  1 Berdasarkan di atas dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi pada graf untuk ⊙ 2 ≥ 2,

  1

  yaitu:

  ′

  ( ⊙ 2 ) = { } ∪ { |1 ≤ ≤ } ∪ { |1 ≤ ≤ }

  1 ′

  ( ⊙ 2 , |1 ≤ ≤ } ∪ { , |1 ≤ ≤ } ∪

  1 ) = { ′ ′

  { |1 ≤ ≤ − 1} ∪ { , |1 ≤ ≤ − 1}

• 1 +1 ′

  Teorema 4. , mempunyai korona dua graf lintasan, ⊙ 2 ( ⊙ 2 ) = + 4 − 1,

  1

  1

  1

  dimana ≥ 5, dan ≥ 3

  Bukti : Pandang notasi titik untuk graf

  ⊙ 2 pada Gambar 3 akan ditunjukkan

  1 ′

  ( ⊙ 2 ) ≤ + 4 − 1 yaitu dengan mengkonstruksi pelabelan ′( , 2,1) dari graf ⊙

  1

  1

1 Untuk

  . Definisikan fungsi injektif 2 : ( ⊙ 2 ) → {1, ⋯ , + 4 − 1} sebagai berikut :

  ≥ 5 dan ≥ 3, dimana ganjil : ( ) = 1 ganjil ganjil

• 1, 1 ≤ ≤ ,
• , 1 ≤ ≤ ,

  ′

  ( ( ) = { ) = { genap genap

• 2 + + 1, 2 ≤ ≤ , + 3 + , 2 ≤ ≤ , Untuk ≥ 5 dan ≥ 3, dimana genap :

  ( ) = 1 ganjil ganjil

• , 1 ≤ ≤ , + + , 1 ≤ ≤ ,

  ′

  ( ( ) = { ) = { genap genap

• 2 + − 1, 2 ≤ ≤ , + 3 + − 1, 2 ≤ ≤ ,

  ′

  Dapat diverifikasi bahwa fungsi memenuhi pelabelan ( , 2,1) dalam Definisi 1 dan Definisi

  ′

  2 dengan label terbesar adalah

• 4 − 1 pada saat ( ) dengan = 3 − 1 untuk ganjil dan pada

  ′ ′

  titik ( ) dengan = untuk genap. Oleh karena itu, ( ⊙ 2 ) ≤ + 4 − 1. Selanjutnya akan

  1 ′

  spanning subgraf terhubung dari ditunjukkan adalah ( ⊙ 2 ) ≥ + 4 − 1. Pandang graf

  1 1,2 ′ ′

  dan menurut Teorema 1, memberikan ⊙ 2 ⊙ 2 ( ) = + 4 − 1 sehingga

  1

  (

  1 ) ≥ 1,2 ′ ′

  ⊙ 2 ⊙ 2 (

  1 ) ≥ + 4 − 1 dimana ≥ 5. Jadi, ( 1 ) = + 4 − 1.

  IV. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat diambil dari teorema tersebut adalah pertama komplemen dari graf

  −1 ′ ′

  lintasan ( ̅̅̅) adalah ( , 2,1) dengan ≥ 4 dan ≥ 4, ( ̅̅̅) = 1 + ( ) dengan ganjl atau

  2 −2 ′

  ′

  ) dengan genap, kedua komplemen dari graf siklus ( ̅̅̅) adalah ( , 2,1) dengan ( ̅̅̅) = 3 + (

  2

′ −1 ′ −2

  ≥ 5 dan ≥ 4, ̅̅̅ ) = 1 + ( ) untuk ganjil, atau ̅̅̅ ) = 3 + ( ) untuk genap, ( (

  2

  2

  ′

  ketiga , mempunyai korona dua graf lintasan, ⊙ 2 ⊙ 2 ( ) = + 4 − 1, dimana ≥ 5,

  1

  1

  1

  dan ≥ 3. DAFTAR PUSTAKA

  Penentuan Nilai Tes Graf Korona Dengan Syarat [1] Anwar, N., Haryanto, L., dan Nurdin,

  ⊙ Sisi-Sisi Memiliki Bobot Terkecil, Makassar, 2015, FMIPA Universitas Hasanuddin. [2] Chia, M, L., Kuo, D., Liao, H, Y., Yang, C, H., Yeh, R, K.,

  (3,2,1)-Labeling Of Graphs, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol. 15, 2011, No.6. [3] Clipperton, J., ( , 2,1) Labeling of Simple Graphs, Simpson College, 2008, IA. [4] Fatimah, S., Sudarsana, I, W,. Musdalifah, S., Pelabelan

  (2,1) pada Operasi Beberapa Kelas Graf, Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan, Vol.13, 2016 No.2. [5] Herlinawati, N., Pelabelan

  (3,2,1) pada Graf Kite, Graf Sun, dan Graf Wheel. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, 2012, Universitas Sebelas Maret. [6] Indriati, D., Martini, T, S., Hernilawati, N.,

  ( , 2,1)-Labeling of Star and Sun Graphs, Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Science. Sebelas Maret University, Vol.2, 2012, No.11.