1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 12
Maret Pekan Ke-4, 2007
Nomor Soal: 111-120
111. Luas persegi panjang ABCD adalah 2007 cm2. Titik E dan F adalah titik tengah dari AB dan
CD, sedangkan G dan H adalah titik pada BC dan AD sedemikian sehingga CG = 2 GB dan AH
= 2 HD. Berapakah luas EGFH?
Solusi:
ABCD   AB  BC
c
c
C
D
F
2006  2c  3k
k
2k
2006
H
ck 
6

G
EGFH   ABCD   AEH   GCF   EBG   FDH  2k
k
 ABCD   2AEH   EBG 
c
c
A
E
B
1

1
 AB  BC  2 AE  AH  EB  BG 
2

2
 AB  BC   AE  AH  EB  BG 

 2c  3k  c  2k  c  k 
 6ck  3ck

 3ck
 3

2007
2
 1003,5 cm
6

112. Diberikan ABC di mana BC = 13 cm, AB = 14 cm, dan AC = 15 cm. Dengan menggunakan
setiap titik sudut sebagai titik pusat dibuat lingkaran-lingkaran yang bersinggungan pada tiap
sisinya. Hitunglah jari-jari ketiga lingkaran tersebut.
Solusi:
Dari gambar di sebelah diperoleh sistem persamaan:
r1  r2  14 …. (1)
B
r2  r2
r1  r3  15 …. (2)
r1
r3
r2  r3  13 …. (3)

Jumlah dari ketiga persamaan itu adalah
2r1  r2  r3   42

r1  r2  r3  21
r2  r3  13  r1  r2  r3  21
r1  13  21
r1  8
r1  r3  15  r1  r2  r3  21
r2  15  21
r2  6
r1  r2  14  r1  r2  r3  21

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

A

r1

r3

C

14  r3  21
r3  7
 jari-jari yang berpusat A, B, dan C masing-masing adalah 8 cm, 6 cm, dan 7 cm.
113. Dua lingkaran identik (sama) O1(r) dan O2(r) menyinggung dua sisi persegi ABCD yang
panjang sisinya a. Dua lingkaran identik dengan pusat O3 dan O4 dengan jar-jari t,
menyinggung dua sisi dari ABCD dan keduanya menyinggung secara luar kedua lingkaran O1
dan O2. Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, hitunglah nilai t.
 O4
 O1
 O2
 O3
Solusi:

BC  (t  r )2  (r  t )2  t 2  2tr  r 2  r 2  2rt  t 2  4tr  2 tr
AD  AB  BC  CD

a  t  2 rt  r

a

 t  r

2

 O1

a t r
Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, maka

O3


9 t 4

O4


 O2

3 t 2

C
A B
D
t 1
t = 1cm
Jadi, nilai t = 1 cm.
114. Buktikan bahwa luas daerah lingkaran yang diarsir sama dengan luas bagian dalam lingkaran.
r

r

Solusi:
Luas lingkaran besar  π(2r ) 2  4 π r 2
Luas bagian dalam lingkaran  2  π r 2  2 π r 2
Luas daerah lingkaran yang diarsir  4 π r 2  2 π r 2  2 π r 2
Jadi, luas daerah lingkaran yang diarsir = luas bagian dalam lingkaran.(qed)
115. ABCD adalah sebuah persegi dengan pusat O. Lingkaran-lingkaran digambarkan sekitar A, B,

C, dan D sebagai pusat, masing-masing dengan jari-jari AO, BO, CO, dan DO yang sama, yang
berpotongan di P, Q, R, dan S. Jika AB = 8 cm, hitunglah luas daerah yang diarsir.

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

R
C

D

Q

S
O
A

B
P

Solusi:

R

Panjang AB = 8 cm, sehingga OA  SA  4 2 cm

90 o
1
 π r 2  OA  SA
o
2
360
2
1
1
 π 4 2  4 24 2
2
4
1
  32 π  16
4

 8 π 16 cm2

C

D

Luas tembereng SO 

 

Q

S

O
8 cm

A

B

P

Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran – 8  luas tembereng

 π8  88 π  16  64 π  64 π  128  128 cm2
2

116.

AOB adadah diameter dari lingkaran besar. Dua lingkaran kecil berdiameter APO dan OQB
saling bersinggungan dan menyinggung lingkaran yang besar dari dalam. Dua lingkaran kecil
berpusat di R dan S menyinggung lingkaran yang besar dan lingkaran-lingkaran yang berpusat
di P dan Q. Jika a, b, dan c = 4 cm adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di O, P, dan R ,
carilah a: b : c dan nilai dari a dan b.

R
A




P O


Q

B


S
Solusi:
Perhatikan OQR siku-siku di O.
QR  b  c , OQ  b , dan OR  a  c
R

Menurut Teorema Pythagoras:

QR  OQ  OR
2

2

2

 c

ac

b  c 2  b 2  a  c 2
b 2  2bc  c 2  b 2  a 2  2ac  c 2

A


P

b
O



2bc  a 2  2ac
S 

2bc  2ac  a 2
Diketahui bahwa b 

1
a , sehingga
2

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007


b Q

B

b

1
a  2bc  2ac  a 2
2

1 
2 a c  2ac  a 2
2 

ac  2ac  a 2
3ac  a 2
1
c a
3
1 1
Jadi, a : b : c  a : a : a  6 : 3 : 2
2 3
a:c  6:2
a:4  6:2

a  4  6 : 2  12 cm

b :c  3: 2
b : 4  3: 2

b  4  3 : 2  6
Jadi, nilai a = 12 dan b = 6.
117. Diketahui empat titik P, Q, R, S masing-masing pada sutu sisi segiempat ABCD sedemikian
AP BQ CR DS



 k . Carilah nilai k jika luas PQRS = 52 % luas ABCD.
sehingga
PB QC RD SA
D
R
C
S
Q
A

P

B

Solusi:
Lambang ABC  menyatakan “luas ABC”

SAP  AP  k …. (1)
SAB AB k  1
SAB  SA  1 …. (2)
Pandanglah SAB dan DAB:
DAB  DA k  1
SAP  k
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
DAB  k  12
PBQ   QRC   RSD  k
Dengan cara yang sama diperoleh
ABC  BDC  CAD  k  12
PQRS   ABCD   SAP  PBQ   QCR   RDS 
Pandanglah SAP dan SAB:

 ABCD  

k
DAP   ABC   BDC   CAD 
k  12

 ABCD  

k
2ABCD 
k  12



k 2 1
ABCD 
k  12

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

PQRS   52%ABCD 
PQRS   52
ABCD  100
k 2 1

k  1

2



13
25

25k 2  25  13k 2  26k  13
12k 2  26k  12  0
6k 2  13k  6  0
(3k  2)(2k – 3) = 0
2
3
k  atau k 
3
2
118. Sebuah panji berbentuk segitiga sama sisi dipancangkan vertikal pada dua pojoknya yang
tingginya a dan b. Pojok ketiga tertanam di tanah. Tentukan luas panji tersebut.
Solusi:
Menurut Teorema Pythagoras:
B
r 2  a 2  r 2  b2  AC 2  AD 2  BC 2  BE 2
r
F
A
r 2  a 2  r 2  b2  DC  CE
r 2  a 2  r 2  b2  DE

r

r

a

r 2  a 2  r 2  b2  AF

b

r 2  a 2  r 2  b2  AB 2  BF 2

r 2  a2  r 2  b2  r 2  (b  a)2 (kedua ruas dikuadratkan)


r


r


b  r

D

C

E

r 2  a 2  2 r 2  a 2 r 2  b2  r 2  b2  r 2  (b  a) 2

r 2  a2  2





2

 a2



2

2

2

 b 2  r 2  b 2  2ab  a 2

2 r 2  a 2 r 2  b2  2ab  r 2



3r  4a  b r  4abr
3r  4a  ab  b 
4
r  a  ab  b 
3

4r 4  4 a 2  b 2 r 2  4a 2b 2  4a 2b 2  4abr 2  r 4

2

4

2

2

2

2

2

2

2

, dengan r2.

2

2









3 4 2
3 2
3 2
 a  ab  b 2 
r 
a  ab  b 2 satuan luas.
4
4 3
3
119. Diameter AB dari sebuah lingkaran panjangnya 2-angka bilangan bulat. Kebalikan dari angka
itu menyatakan panjang tali busur CD yang tegak lurus pada diameter itu. Jarak dari titik
potongnya H ke pusat O adalah bilangan rasional positif. Carilah panjang AB.
Solusi:
Misalnya AB  10t  u , dengan t dan u adalah angka, sehingga CD  10u  t .
CD  AB , t  u .
Menurut Teorema Pythagoras:

 luas panji tersebut 

OH  OC 2  CH 2

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

2

1
 1

  10t  u    10u  t 
2
 2





2

C

 

1
1
100t 2  20ut  u 2  100u 2  20ut  t 2
4
4



1
100t 2  20ut  u 2  100u 2  20ut  t 2
2
1
99t 2  99u 2

2
3
11 t 2  u 2

2






O

B
H

A

D



OH adalah rasional, t 2  u 2  11k 2 , dengan k adalah bilangan bulat.

t  u t  u   11k 2 , t  u  11 , maka

t  u  11 dan t  u  k 2 , yaitu t  u  1 (diterima) atau

t  u  4 (ditolak), sehingga memberikan t  6 dan u  5 .
Jadi, panjang AB adalah 65.
120. Luas segitiga siku-siku adalah 60 cm2 dan jumlah ketiga sisinya adalah 40 m. Carilah panjang
hipotenusanya.
Solusi:
1
Luas segitiga adalah L  ab  60 …. (1)
2
a  b  c  40 …. (2)

a 2  b2  c 2 …. (3)
Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh

a

c

a 2  b 2  40  a  b 

2

a 2  b 2  1600  80a  b   a  b 

2

a 2  b2  1600  80a  80b  a 2  2ab  b2
0  800  40a  40b  ab …. (4)
Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh
120
0  800  40a  40 
 120
a
120
0  20  a 
3
a
a 2  23a  120  0
a  8a  15  0
a  8 atau a  15
1
a  8  ab  60
2
1
(8)b  60
2
b  15
1
a  15  ab  60
2
1
15b  60
2

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

b

b8

a 8
  a  b  c  40
b  15
8  15  c  40
c  17
Jadi, panjang hipotenusanya adalah 17 m.

7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007