Pertemuan ke 27 Teori Antrian New

Teori Antrian
Riset Operasi
TIP – FTP – UB
Mas’ud Effendi

Bentuk Umum Teori Antrian
• Pelayanan Tunggal
• Pelayanan Multipel

Pendahuluan
Banyak waktu dihabiskan untuk menunggu oleh manusia, produk, dll
Penyediaan pelayanan cepat merupakan aspek penting dari pelayanan
pelanggan bermutu
Dasar analisis waktu tunggu adalah adanya trade-off antara biaya perbaikan
pelayanan dan biaya yang berasal dari waktu tunggu pelanggan
Analisis antrian merupakan bentuk analisis probabilistik
Hasil analisis disebut sebagai karakteristik operasi
Hasil analisis digunakan manajer untuk mengambil keputusan

3

Unsur-unsur Analisis Antrian
Antrian terbentuk karena orang atau barang datang lebih cepat
daripada tingkat pelayanan.
Sebagian besar operasi memiliki pelayan yang mencukupi untuk
menangani pelanggan dalam jangka panjang.
Pelanggan tidak datang dengan tingkat yang konstan atau minta
dilayani dalam waktu yang bersamaan.
Antrian dapat menongkat atau berkurang dan mendekati nilai rata-rata
pelayanan.
Keputusan yang digunakan berkaitan dengan rata-rata kedatangan
pelanggan dan waktu pelayanan.
Hal ini yang digunakan untuk menentukan karakteristik operasi
sistem sebagai dasar pengambilan keputusan.

4

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal (1 of 2)
Komponen antrian termasuk tingkat kedatangan (arrivals/customers), pelayan
(servers/cash register/operator), pelanggan (customers).
Faktor pertimbangan dalam analisis:

Disiplin antrian
Populasi pelanggan
Tingkat kedatangan
Tingkat pelayanan

5

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal (2 of 2)

6

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Definisi Komponen
Queue Discipline: urutan bagaimana pelanggan dalam antrian dilayani.
Calling Population: sumber pelanggan (infinite or finite).

Arrival Rate: frekuensi bagaimana pelanggan datang dalam antrian sesuai
probabilitas distribusi (umumnya digambarkan sebagai distribusi Poisson).
Service Rate: rata-rata tingkat konsumen yang dapat dilayani per satuan waktu
tertentu.

7

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Model Pelayanan Tunggal
Asumsi model pelayanan-tunggal dasar:
An infinite calling population

A first-come, first-served queue discipline
Poisson arrival rate
Exponential service times
Symbology:

 = tingkat kedatangan (average number of arrivals/time period)
 = tingkat pelayanan (average number served/time period)

Pelanggan harus dilayani lebih cepat daripada kedatangannya ( < ).

8

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Rumus Dasar Antrian Pelayanan Tunggal (1 of 2)
Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem antrian:


Po  1  







Probabilitas n pelanggan dalam sistem:



 





  
Pn     Po     1  


 







n

n

Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem:
baris tunggu:

2

Lq  
     

L 
 

dan

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Rumus Dasar Antrian Pelayanan Tunggal (2 of 2)
Waktu rata-rata pelanggan dihabiskan dalam keseluruhan
sistem antrian:
W 1 L
  
Waktu rata-rata pelanggan dihabiskan untuk menunggu dalam
antrian:
Wq    
     

Probabilitas pelayan sibuk (utilization factor): U  

Probabilitas pelayan menganggur: I 1U 1 


Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Karakteristik Fast Shop Market (1 of 2)
 = 24 pelanggan per jam datang

 = 30 pelanggan per jam dapat dilayani


Po  1    (1 - 24/30)







 0.2 probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

L    24/(30 - 24)  4 pelanggan rata - rata dalam sistem antrian
 

2

Lq  
     

 (24)2 /[30(30 - 24)]  3.2 pelanggan rata - rata dalam baris antrian

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Karakteristik Fast Shop Market (2 of 2)
W  1  L  1/[30 - 24]
  
 0.167 jam (10 min) waktu rata - rata tiap pelanggan dalam sistem

Wq 

  24/[30(30 - 24)]
     

 0.133 jam (8 min) waktu rata - rata tiap pelanggan dalam baris antrian

U 
  24/30

 .80 probabilitas pelayan sibuk, .20 probabilitas pelayan menganggur

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Karakteristik Operasi Steady-State
Karena keadaan steady-state karakteristik operasi:
Faktor utilisasi (utilization factor), U, harus lebih kecil
dari satu: U < 1,atau  /  < 1 dan  < .
Rasio tingkat kedatangan terhadap tingkat pelayanan
harus lebih kecil daripada satu, tingkat pelayanan
harus lebih besar dari tingkat kedatangan

Pelayan harus mampu melayani pelanggan lebih cepat

daripada tingkat kedatangan dalam jangka panjang
atau baris antrian akan memanjang menjadi tak
terbatas

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Efek Karakteristik Operasi (1 of 6)
Manajer ingin menguji beberapa alternatif untuk
mengurangi waktu tunggu pelanggan:
Penambahan pegawai untuk mengemas barang
Penambahan kasir baru
Alternatif 1: Penambahan pegawai pengemas (tingkat
pelayanan naik dari  = 30 ke  = 40 pelanggan per jam).
Biaya $150 per minggu, menghindari kerugian $75 per
minggu untuk tiap menit waktu tunggu pelanggan yang
terkurangi

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Efek Karakteristik Operasi (2 of 6)
Karakteristik sistem operasi dengan parameter baru:
Po = .40 probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

L = 1.5 pelanggan secara rata-rata dalam sistem antrian
Lq = 0.90 pelanggan secara rata-rata dalam baris tunggu
W = 0.063 jam rata-rata per pelanggan dalam sistem
Wq = 0.038 jam rata-rata per pelanggan dalam baris tunggu
U = .60 probabilitas pelayan sibuk, pelanggan menunggu
I = .40 probabilitas pelayan menganggur

Rata-rata waktu tunggu pelanggan terkurangi dari 8 ke 2.25
menit senilai $431.25 per minggu

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Efek Karakteristik Operasi (3 of 6)
Alternatif 2: Penambahan kasir baru ($6,000 plus $200 per
minggu untuk kasir tambahan).
 = 24/2 = 12 pelanggan per jam

 = 30 pelanggan per jam di tiap konter kasir
Karakteristik sistem operasi dengan parameter baru:
Po = .60 probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
L = 0.67 pelanggan secara rata-rata dalam sistem antrian
Lq = 0.27 pelanggan secara rata-rata dalam baris tunggu
W = 0.055 jam rata-rata per pelanggan dalam sistem
Wq = 0.022 jam rata-rata per pelanggan dalam baris tunggu
U = .40 probabilitas pelayan sibuk, pelanggan menunggu
I = .60 probabilitas pelayan menganggur

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Efek Karakteristik Operasi (4 of 6)
Penghematan dari pengurangan waktu tunggu pelanggan
senilai $500 per minggu - $200 = $300 penghematan
bersih per minggu
Setelah $6,000 balik modal, alternatif 2 akan memberikan
$300 -281.25 = $18.75 tambahan penghematan per
minggu

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Efek Karakteristik Operasi (5 of 6)

Operating Characteristics for Each Alternative System

Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Efek Karakteristik Operasi (6 of 6)

Cost Trade-Offs for Service Levels

Antrian Pelayanan Multipel
Rumus Antrian (1 of 3)
Asumsi:
First-come first-served queue discipline
Poisson arrivals, exponential service times
Infinite calling population.

Parameter definitions:

 = arrival rate (average number of arrivals per time
period)
 = the service rate (average number served per time
period) per server (channel)
c = number of servers
c  = mean effective service rate for the system (must
exceed arrival rate)

Antrian Pelayanan Multipel
Rumus Antrian (2 of 3)
Po  







nc1 1   

1
    c



 n!    c!    c   

n0      

n
 

1

c
 

 probabilitas tidak ada pelanggan

n


1
 
Pn  nc    Po untuk n  c
c!c



n


1

Pn  n    Po untuk n  c  probabilitas n pelanggan dalam sistem


c



(
/
)
L
Po  
 rata - rata pelanggan dalam sistem

(c 1)!(c   )2

W  L  rata - rata waktu pelanggan dalam sistem



Antrian Pelayanan Multipel
Rumus Antrian (3 of 3)

  rata - rata jumlah pelanggan menunggu
Lq  L  

1  Lq  rata - rata waktu pelanggan menunggu
Wq W  



c


1
 
Pw     c Po  probabilitas pelanggan harus menunggu
c!  c  

Antrian Pelayanan Multipel
Contoh Biggs Department Store (1 of 2)

 = 10,  = 4, c = 3
1
Po  
0  1  2   3



3(4)
 1 10 
110   1 10    1 10 

  

 4 
 4  
 4  3(4) 10
0! 4 
1
2
3
!
!
!












 .045 probabilit y of no customers

3
10
4
10
4
(
)(
)(
/
)
L
(.045)  10
4
(3 1)![3(4) 10]2

 6 customers on average in service department

W 6
10

 0.60 hour average customer time in the service department

Antrian Pelayanan Multipel
Contoh Biggs Department Store (2 of 2)
Lq  6 10
4

 3.5 customers on the average waiting to be served

Wq  3.5
10

 0.35 hour average waiting time in line per customer

3(4) (.045)
Pw  1 10
3! 4 3(4) 10






3







 .703 probabilit y customer must wait for service

Tipe Sistem Antrian Tambahan (1 of 2)

Single Queues with
Single and Multiple
Servers in Sequence

Tipe Sistem Antrian Tambahan (2 of 2)
Hal-hal yang menimbulkan variasi antrian:
Systems in which customers balk from entering
system, or leave the line (renege).
Servers who provide service in other than first-come,
first-served manner
Service times that are not exponentially distributed or
are undefined or constant
Arrival rates that are not Poisson distributed
Jockeying (i.e., moving between queues)

Terima kasih