Pertemuan 2_Himpunan dan Sistem Bilangan

MATEMATIKA EKONOMI
Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem
Bilangan
Dosen Pengampu MK:
Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

Konsep Himpunan
 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang
berbeda.
 Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur,
atau anggota.
 Secara umum himpunan dilambangkan dgn huruf
besar, sedang anggota berhuruf kecil.

Penyajian Himpunan
Enumerasi
Contoh 1
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.
-

C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
C = {a, {a}, {{a}} }
K = { {} }
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Penyajian Himpunan
Simbol-simbol Baku
P=
N=
Z=
Q=
R=
C=

himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
himpunan bilangan rasional
himpunan bilangan riil
himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan
bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Penyajian Himpunan
Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 2
A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau

 A  {x | x  P, x   5 } 

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

Diagram Venn Dan Himpunan Semesta
Himpunan semesta: Himpunan yang memuat semua anggota
yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang
menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan
hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup)
benda/objek.
Contoh 3
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

A
1

3

B
2
5

7
8
6

4

HIMPUNAN KOSONG
Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan
himpunan kosong ;
Dilambangkan dengan  atau { }
Contoh: A= {}
Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap
himpunan.

Hubungan Antar Himpunan
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen
A merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A  B
U

Diagram Venn:

A

B

1. Operasi -Union
Definisi : A U B = { x | x  A atau x B }
Contoh-1

A = { 2, 3, 5, 7, 9}

B

A

B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, }
C = { 10, 11, 14, 15}
D = { Anto, 14, L}
E = {1, 2, 4 }
Maka :

A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
A U D = {2, 3, 5, 7, 9, Anto, 14, L}

BUC = ?

BUD =

?

CUD =?

2. Operasi - Irisan
Definisi :

A B = { x | x  A dan x B }

Contoh :

Maka :

A = { 2, 3, 5, 7, 9}

A  B = {2, 5}

B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, }

E  B = { 1,2 4}

C = { 10, 11, 14, 15}

AC={}

D = { Anto, 14, L}

D  C = {14}

E = {1, 2, 4 }

AD={}

A

A  E = {2}

B

3. Operasi Selisih - Minus
Definisi : A – B = { x | x  A dan x  B }
Contoh

A = {2,3,4,6,7,9}
B = {1,2,3,5,6,8,9,10}
C = {3,5,9}
Maka : A – B = {4,7}
B – A = {1,5,8,10}
A–C={
B–C={
C–B={

A

B

4. Operasi Beda Setangkup
Definisi: A  B = { x | (x  A atau x B) dan x (A B) }
A  B = (A U B) – (A  B)
A  B = (A - B) U (B - A)

A

Contoh:
A = {1,2,3,5,6,8,9,10}

;

B = {2,7,8,11} ;

C = {1,3,5,7,9,11}

;

D = {1,2,5,6,7,9,12}

Maka : A  B = {1, 2,3,5,6, 7, 8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11}
B  C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9}
AC={
AD={

B

5. Operasi - Komplemen
Definisi :

Ac

= { x | x  A dan x S }
A

Contoh :
A = { 2, 3, 5, 6, 8)

Ac

;

B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13}
S = { x | x bilangan asli  14}
Maka :
Ac = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14}
Bc = {3,5, 8,11,12,14}

A

S

B


4 
13
5
6

 7 10
8

2
9
3
 1




11

14

12

ATURAN DAN HUKUM OPERASI HIMPUNAN
(GABUNGAN, IRISAN DAN KOMPLEMENTASI)

1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi gabungan
A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi irisan
A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi gabungan
A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi irisan
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi
gabungan
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi irisan
Sc = 
(Ac) c = A
A  Ac = S
A  Ac = 
(A  B) c = Ac  Bc ; Hukum De Morgan
(A  B)c = Ac  Bc ; Hukum De Morgan

Hukum Aljabar Himpunan
1. Hukum idempoten
AA=A

AUA= A
2. Hukum Asosiatif
A U (B U C) = (AUB) U C

A  (B  C) = (A B)  C

3.Hukum komutatif
A B = B  A

AUB= BUA
4. Hukum Distributif
A U (B  C) = (AUB) (A U C)

A  (B U C) = (A B) U (A  C)

5. Hukum Identitas
AU= A

AUS = S

AU = A

A = 

(Ac ) c = A

6. Hukum Involusi

7.Hukum Komplpemen
A U Ac =

S

A  Ac = 

Sc = 

c = S

8. Hukum De Morgan
( A U B )c = Ac  Bc

( A  B )c = A c U B c

Jumlah Anggota Dalam Himpunan
Berhingga
n(A) = Jumlah anggota himpunan A
n(B) = Jumlah anggota himpunan B
n(C) = Jumlah anggota himpunan C



n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
n(A  B) = n(A) + n(B) ; n(A  B) = 0

Latihan soal: Operasi Himpunan
1. Jika A = {1,3,4,7,8,9,12}
B = {1,2,3,5,7,8}
C = {2,4,6,8,10}
S = {x| x adalah bilangan asli < 14}
a. Gambarkan Diagram Venn dari himpunan-himpunan di atas.
TENTUKANLAH
b. A  (B - C)
c. A  (A U B)
d. B  (B  C)
e. (B - C)c  (A - B)

(A –B)  C

h.
i.
j.
k.

(A  B) – (C  B)
(B  C)c - A
B  ( Ac – C)

PEMBAGIAN JENIS BILANGAN

Bilangan

 4  2

2; -2;  1,1; -1,1

+
-

Nyata

Khayal

0,1492525

0,14925253993999------

Irrasional

Rasional

Hasil bagi antara 2 bilangan 
pecahan desimal tak terbatas 
dan tak berulang (, e)
Hasil bagi antara 2 bilangan 
yang hasilnya bulat, 
termasuk 0 (nol)

Bulat

1; 8 ;4 

Hasil bagi antara 2 bilangan 
bulat, pecahan desimal 
terbatas, atau desimal 
berulang

Hasil bagi antara 2 
bilangan yang hasilnya 
pecahan dg desimal tak 
terbatas, berulang

Pecahan
½; 2/7

Hubungan perbandingan antar bilangan
Tanda Ketidaksamaan





Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
Tanda < melambangkan “lebih kecil dari atau sama dengan”
Tanda > melambangkan “lebih besar dari atau sama dengan”

Sifat Perbandingan
1. Jika a < b, maka –a > -b
2. Jika a < b dan x > 0, maka x.a < x.b
3. Jika a < b dan x < 0, maka x.a > x.b
4. Jika a < b dan c < d, maka a+c < b+d

Operasi Bilangan
1. Kaidah Komutatif 
a+b=b+a
axb=bxa
2. Kaidah Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
3. Kaidah Pembatalan
a+c=b+c

axc=bxc

Maka : a = b

Maka : a = b

Operasi Bilangan
4. Kaidah Distributif
a (b + c) = ab + ac
5. Unsur Penyama
a + 0 = a
a x 1 = 4
6. Kebalikan
a x 0 = a
a x 1/a = 1

a : 1 = 4

Operasi Tanda


Operasi Penjumlahan
a. (+ a) + (+b) = (+c)
b. (- a) + (- b) = (- c)
c. (+ a) + (- b) = (+ c) jika |a| > |b|
(+ a) + (- b) = (- d) jika |a| < |b|
d. (- a) + (+ b) = (+ c) jika |a| < |b|
(- a) + (+ b) = (- d) jika |a| > |b|

Operasi Tanda


Operasi Pengurangan
a. (+ a) - (+ b) = (+ c) jika |a| > |b|
(+ a) - (+ b) = (- d) jika |a| < |b|
b. (- a) - (- b) = (+ c) jika |a| < |b|
(- a) - (- b) = (- d) jika |a| > |b|
c. (+ a) - (- b) = (+ c)
d. (- a) - (+ b) = (- c)

Operasi Tanda




Operasi Perkalian
(+ a) x (+ b) = (+ c)
(+ a) x (- b) = (- c)
Operasi Pembagian
(+ a) : (+ b) = (+ c)
(+ a) : (- b) = (- c)

(- a) x (- b) = (+ c)
(- a) x (+ b) = (- c)

(- a) : (- b) = (+ c)
(- a) : (+ b) = (- c)

Operasi Bilangan Pecahan





Operasi Pemadanan
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi Perkalian
Operasi Pembagian

Operasi Pemadanan

a a  x   c
a a  :   c

              
   
b b  x   c
b b  :   c
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Dua buah pecahan atau lebih, hanya dapat ditambahkan
atau dikurangkan apabila mereka memiliki suku pembagi
yang sama atau sejenis. Jika suku pembaginya belum
sama, maka terlebih dahulu harus disamakan sebelum
pecahan-pecahan tersebut ditambahkan dan dikurangkan.

Operasi Perkalian

a b ab
 
x y xy
Operasi Pembagian

a b a y ay
:   
x y x b xb

Latihan
Selesaikan :
3 2 1
(a)  
4 7 6
3 2 1
(b)  
4 7 6
3 2 1
(c )  
4 7 6
3 2 1
(d ) : :
4 7 6

Latihan
Diketahui
A= {1,3,5,6,7,9,11}
B={2,4,6,8,10}
C= {1,2,3,5,7,9}
D = {3, 5, 7,8, 11}
S={bilangan bulat positif kurang dari 12}

Tugas 1:


Tentukan
1.
(A –D)  C
2.
(B  C)c - A
3.
B  (B  C)
4.
(A  B) – (A  D)

Tugas 2:


Tentukan
1.
(B –C)  D
2.
(A  C)c - B
3.
D (D  C)
4.
(B D) – (C  B)

Petunjuk Tugas



Kelompok Ganjil  kerjakan tugas 2
Kelompok Genap  kerjakan tugas 1