Syarat Kesebangunan Bangun Datar
A. Syarat Kesebangunan Bangun Datar
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita temukan bangun-bangun yang memiliki bentuk
dan ukuran yang sama, misalnya permukaan meja di kelas, bentuk keramik lantai,
permukaan CD, kaca pada jendela rumah, tampak depan rumah-rumah di perumahan,
bentuk bangun pada sarang lebah, dan lain sebagainya.
1. Syarat Dua Bangun yang Sama dan Sebangun (Kongruen)
Dua buah bangun datar yang tepat saling menutupi atau tepat saling berimpit disebut
dua bangun yang sama dan sebangun atau kongruen. Perhatikan gambar 1.1
C
R
A
B
P
Q
(i)
G
F
K
D
E
J
H
I
(ii)
W
F
T
U
P
(iii)
O
N
L
M
Q
(iv)
Gambar 1.1
2. Foto dan Model Berskala
1
Sebuah foto atau model berskala mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk
aslinya atau bentuk sebenarnya. Pada foto atau model berskala, semua ukuran aslinya
diperkecil atau diperbesar dengan perbandingan yang sama. Jadi, bagian-bagian yang
bersesuaian dari foto atau model berskala dengan bangun aslinya memiliki
perbandingan yang sama.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 1.2 berikut ini!
1,5 m
12 cm
36 cm
xm
(i)
(ii)
Gambar 1.2
Gambar 1.2 (ii) merupakan model dari gambar 1.2 (i), sehingga bagian-bagian yang
bersesuaian sebanding. Bagian-bagian yang bersesuaian adalah panjang pada model
dengan panjang sebenarnya, lebar pada model dengan lebar sebenarnya, dan tinggi
pada model dengan tinggi sebenarnya. Karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding,
maka dapat perbandingan berikut ini.
panjang pada model lebar pada model tinggi pada model
=
=
panjang sebenarnya lebar sebenarnya tinggi sebenarnya
Dengan menggunakan perbandingan di atas, maka dapat dihitung panjang model
sebenarnya pada Gambar 1.2 (i), yaitu:
Lebar pada model
= 12 cm
Pajang pada model
= 36 cm
Lebar sebenarnya
= 1,5 m = 150 cm
Misalkan panjang sebenarnya = x cm, maka dengan memilih sepasang perbandingan
di atas diperoleh:
lebar pada model panjang pada model
=
lebar sebenarnya panjang sebenarnya
12 36
=
150 x
12 x=5.400
x=
12 x=150× 36
2
5.400
12
x=450
Jadi, panjang papan sebenarnya = 450 cm = 4,5 m
3. Syarat Dua Bangun Yang Sebangun
Dalam bahasan foto dan model berskala, telah diketahui bahwa antara bangun asli
dengan foto atau modelnya mempunyai bentuk yang sama, tetapi ukuran atau
besarnya berlainan. Bangun-bangun seperti itu disebut bangun yang sebangun.
Gambar 1.3 (i) dan (ii) berikut menunjukkan bangun persegi panjang dengan bentuk
yang sama, tetapi ukurannya berlainan. Ukuran-ukuran gambar tersebut adalah
sebagai berikut.
panjang EF =3 × panjang AB, atau EF : AB=3:1
panjang EH =3 × panjang AD , atau EH : AD=3 :1
H
D
A
G
C
(i)
B
E
(ii)
F
Gambar 1.3
Jadi, perbandingan bagian-bagian yang bersesuaian adalah sama, yaitu:
EF : AB=EH : AD=3 : 1
Ukuran sudut-sudut yang bersesuaian juga sama, yaitu:
∠ A=∠ E=90 °
∠ B=∠ F=90 °
∠ C=∠ G=90°
∠ D=∠ H =90 °
Jadi, persegi panjang ABCD dan EFGH sebangun dan keduanya memiliki sifat-sifat
berikut:
a. Pasangan sisi yang bersesuaian sebanding.
b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Untuk memahami yang dimaksud dengan sepasang sudut yang bersesuaian pada dua
buah bangun atau lebih, perhatikan uraian berikut ini!
3
(i)
(ii)
(iii)
Gambar 1.4
Gambar 1.4 menunjukkan bangun-bangun yang memiliki pasangan-pasangan sudut
yang sama, tetapi ada yang tidak bersesuaian. Sepasang sudut yang bersesuaian dan
sepasang sisi yang bersesuaian harus seletak.
Perhatikan Gambar 1.4 (i) dan (ii). Ternyata sudut-sudut yang sama besar
kedudukannya seletak, sehingga bangun pada Gambar 1.7 (i) dan (ii) memiliki sudutsudut bersesuaian yang sama besar.
Bangun pada Gambar 1.4 (iii) juga memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama
dengan bagun pada Gambar 1.4 (i), tetapi sudut-sudut yang sama itu urutannya tidak
bersesuaian.
Gambar 1.5
Perhatikan urutan sudut-sudut pada Gambar 1.5 dengan mengikuti arah panah mulai
dari sudut-sudut bernomor (1)
a. Kedua sudut bernomor (1) sama besar.
b. Kedua sudut bernomor (2) juga sama besar.
c. Kedua sudut bernomor (3) maupun (4) tidak sama besarnya.
Hal ini berarti bahwa sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar dan kedua
bangun tersebut tidak mungkin sebangun. Jika diperhatikan, kedua bangun tersebut
memang memiliki bentuk yang berbeda. Bangun pada Gambar 1.4 (i) berbentuk
jajargenjang dan bangun pada Gambar 1.4 (iii) berbentuk trapesium.
4
Jika sudut-sudut yang bersesuaian dapat ditentukan maka sisi-sisi yang bersesuaian
juga dapat ditentukan dengan mudah, meskipun kedudukan (posisi) kedua bangun
berbeda.
4. Menetukan Panjang Sisi
a. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Sama dan Sebangun
Untuk menentukan panjang sisi pada dua bangun yang sama dan sebangun,
gunakan ketentuan sebagai berikut:
Jika dua bangun sama dan sebangun maka:
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Contoh:
Gambar 1.6
Pada gambar di atas ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun. Jika diketahui panjang
AB=8 cm , AC =6 cm , dan DF =7 cm , tentukan panjang DE , EF ,dan BC !
Penyelesaian:
Karena ∆ ABC dan ∆≝¿ kongruen, maka:
AB=DE , jadi DE=8 cm
AC=EF , jadi EF=6 cm
BC=DF , jadi BC=7 cm
b. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Sebangun
Untuk menghitung panjang sisi pada dua bangun yang sebangun, gunakan
ketentuan yang telah dibahas pada Subbab 3, yaitu:
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Contoh:
5
Gambar 1.7
Pada gambar 1.7 menunjukkan dua bangun yang sebangun. Tentukan panjang
AB danQR !
Penyelesian:
Karena bangun ABCD dan PQRS sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian
sebanding.
AB DC
=
PQ SR
AB 6
=
12 9
9 AB=12 ×6
9 AB=72
AB=8
AD DC
=
QR SR
4
6
=
QR 9
Jadi, panjang AB=8 cm
6QR = 4 × 9
AB=
72
9
6QR = 36
36
QR = 6
QR = 6
Jadi, panjang QR = 6 cm
B. Segitiga – segitiga sama dan sebangun.
1. Syarat dua segitiga sama dan sebangun.
Pada cermin datar, bangun asli dengan bayangannya merupakan bangun – bangun
yang sama sebangun, demikian juga segitiga dan bayangannya adalah bangun –
bangun yang sama dan sebangun atau kongruen.
Perhatikan gambar 1.8
6
y
x
Gambar 1.8
Jika ∆ ABC direflesikan (dicerminkan) terhadap garis XY , maka bayangannya adalah
∆ A ’ B ’ C ’ . Jadi ∆ ABC dan ∆ A ’ B ’ C ’ sama dan sebangun.
Selanjutnya ∆ A ’ B ’ C ’ ditranslasikan (digeser) ke kanan, maka akan berhimpit atau
tepat menutupi ∆≝¿. Maka ∆ A ’ B ’ C ’ dan ∆≝¿ sama dan sebangun.
Karena ∆ ABC sama dan sebangun dengan ∆ A ’ B ’ C ’ dan ∆ A ’ B ’ C ’ sama dan
sebangun
dengan ∆≝¿, maka ∆ ABC sama dan sebangun dengan ∆≝.
Karena ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun, maka:
∠ A=∠ E
AB=ED
∠ B=∠ D
BC=DF
∠ C=∠ F
Berdasarkan dari uraian diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Jika dua buah segitiga sama dan sebangun, maka :
a. Sisi yang bersesuaian sama panjang
b. Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar.
2. Sifat – sifat dua segitiga sama dan sebangun.
Dua buah bangun yang sama bentuk maupun ukurannya dikatakan dua bangun yang
sama dan sebangun. Jadi, jika dua buah bangun yang sama dan sebangun diimpitkan
maka kedua bangun tersebuat akan tepat saling menutupi atau bagian – bangian yang
bersesuaian akan saling menempati dengan tepat.
Demikian halnya dengan segitiga. Dua buah segitiga dikatakan sama dan sebangun,
apabila kedua segitiga itu diimpitkan maka keduanya akan tepat saling menutupi atau
bagian – bagian yang bersesuaian saling menempati dengan tepat.
7
Perhatikan gambar 1.9
Gambar 1.9
Jika ∆ ABC dihimpitkan pada ∆≝¿, maka :
∠ A ↔∠ D , Sebab∠ A=∠ D
∠ A ↔∠ D , dibaca ∠ A saling
∠ B↔ ∠ E , Sebab∠ B=∠ E
menempati dengan ∠ D
∠ C ↔ ∠ F , Sebab∠ C=∠ F
AB ↔ DE , Sebab AB=DE
AC ↔ DF ,Sebab AC=DF
BC ↔ EF , Sebab BC=EF
Jadi, ∆ ABC ↔ ∆≝, berarti ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun(kongruen).
a. Ketiga sisi yang bersesuain sama panjang (sisi, sisi, sisi).
Gambar 1.10
Dari gambar jika ∆ ABC diimpitkan pada ∆ PQR maka:
AB ↔ PQ , Sebab AB=PQ
AC ↔ PR , Sebab AC=PR
BC ↔QR , Sebab BC=QR
8
Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR saling menempati dengan tepat, sehingga ∆ ABC dan
∆ PQR sama dan sebangun.
b. Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar (sd,sd,sd)
Pada gambar 1.13 ∠ K=∠ R Sehingga kaki ∠ K dan kaki∠ R dapat berimpit,
tetapi belum tentu tepat salling menutupi, sebab tidak diketahui apakalah
KL=RS atau KM =RT .
Gambar 1.11
Demikian juga untuk ∠ L=∠ S dan ∠ M =∠ T . Belum tentu LM =ST . Oleh
karena ∆ KLM dan ∆ RST belum tentu tepat saling menutupi, maka ∆ KLM dan
∆ RST belum tentu sama dan sebangun.
c. Dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi, sudut, sisi)
Gambar 1.12
1) Perhatikan ∆ PQR dan ∆ XYZ !
PQ=YX
(diketahui)
∠ P=∠Y (diketahui)
PR=YZ
(diketahui)
9
∆ PQR dan ∆ XYZ mempunyai dua sisi bersesuaian yang sama panjang dan
satu sudut apit yang sama besar.
Jadi, ∆ PQR dan ∆ XYZ sama dan sebangun (sisi, sudut, sisi)
2) Pasangan Sudut yang sama besar adalah:
∠ P=∠Y , ∠Q=∠ X , dan ∠ R=∠ Z
d. Satu sisi dan dua sudut (sd,sd,sisi), (sd,sisi,sd), atau (sudut,sisi,sudut).
Gambar 1.13
1) Perhatikan ∆ AEC dan ∆ DEB !
∠ A=∠ D
(diketahui)
AE=DE
(diketahui)
∠ AEC=∠ DEB
(bertolak belakang)
Jadi, ∆ AEC dan ∆ DEB sama dan sebangun (sudut, sisi, sudut)
2) Pasangan sisi yang sama panjang adalah:
AE=DE , AC =DB , dan CE=BE
C. Segitiga-segitiga yang sebangun
1. Syarat-syarat segitiga sebangun
a. Segitiga sebangun berdasarkan sudut-sudut bersesuaian
10
Gambar 1.14
Perhatikan ∆ ABC dan ∆≝¿
∠ A=∠ D (karena sehadap)
∠ B=∠ E (karena sehadap)
∠ C=∠ F (karena kedua sudut yang lain sama)
Jadi, ∠ ABC dan ∠≝¿ sama sudut (sudut-sudut bersesuaian sama besar).
Perbandingan sisi-sisi-yang bersesuaian
AB : DE=3 : 4
AC : DF=3 : 4
BC : EF=3 : 4
Jadi sisi-sisi yang besesuaian pada ∆ ABC dan∆≝¿ sebanding.
Jadi dapat disimpulkan bahwa:
Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga sama besar maka sisisisi yang bersesuaian adalah sebanding. Jadi, kedua segitiga itu pasti sebangun.
Perhatikan ∆ ABC dan ∆ PQR
11
Gambar 1.15
Pada gambar diatas diperoleh hubungan besar sudut sebagai berikut
∠ A=∠P
∠ B=∠ Q
∠ C=∠ R
Jadi ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena sudut-sudut yang bersesuian sama
besar, sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, yaitu
AB
AC BC
PQ = PR = QR
Contoh:
Dalam ∆ ABC dan ∆ PQR diketahui besar ∠ BAC = 60° , ∠ ABC = 40° , ∠ QPR
= 60° , ∠ PRQ = 80° . Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Penyelesaian :
Gambar 1.16
Pada ∆ ABC
Pada ∆ PQR
∠ BAC=60 °
∠ QPR=60
∠ ABC=40°
∠ PRQ=80 °
∠ ACB=180° −100°
∠ PQR=180° −(60 ° + 40° )
¿ 80 °
¿ 80 °
∠ BAC=∠QPR=60 °
∠ ABC=∠ PQR=40 °
∠ ACB=∠ PRQ=80°
12
Jadi ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena sudut-sudut yang besesuaian sama
besar.
b. Segitiga sebangun pada sisi yang bersesuaian
Gambar 1.17
Pada gambar diatas ∆ ABC dan ∆≝¿ memiliki sudut-sudut yang bersesuaian
yang sama besar yaitu ∠ A=∠ D, ∠ B=∠ E , ∠C=∠ F . Panjang sisi pada
∆≝¿ adalah 2 kali panjang sisi-sisi pada ∆ ABC yang bersesuaian sebanding.
Jadi ∆ ABC dan ∆≝¿ merupakan dua segitiga yang sebangun Panjang sisi-sisi
∆≝¿ adalah 2 kali panjang sisi-sisi pada ∆ ABC yang bersesuaian .
Jadi dapat disimpulkan bahwa:
Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada sebuah segitiga sebanding atau memiliki
perbandingan yang sama maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi,
kedua segitiga itu pasti sebangun.
c. Segitiga sebangun berdasarkan satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut
13
Perhatikan gambar 1.18
Gambar 1.18
Pada ∆ ABC :
Pada ∆ PQR :
AC=8 cm
PR=12 cm
BC=6 cm
QR=9 cm
∠ C=110 °
∠ R=110 °
AC :PR =8 cm :12cm=2: 3
BC :QR=6 cm: 9 cm=2 :3
Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena besar ∠ C=∠C dan dua sisi yang
bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding.
2. Menghitung panjang sisi pada segitiga sebangun
Jika dua buah segitiga memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama, maka kedua
segitiga itu sebangun, sehingga kedua segitiga itu memiliki pasangan sisi yang
bersesuaian sebanding. Dengan demikian, jika diketahui dua segitiga memiliki
pasangan sudut yang sama maka dapat ditentukan panjang sisi-sisinya dengan
menggunakan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
Contoh:
14
Diketahui panjang AB=8 cm , BC=6 cm , XY =12 cm, dan XZ=10 cm . Tentukan
panjang AC dan YZ !
Gambar 1.19
Penyelesaian:
AB AC
=
XY XZ
AB BC
=
XY YZ
8 AC
=
12 10
8
6
=
12 YZ
8 YZ=6 X 12
12 AC =8 x 10
12 AC =80
8 YZ=72
80
12
AC=6,67
YZ=
72
8
YZ=9
AC=
Jadi panjang AC dan YZ adalah 6,67 cm dan 9 cm.
D. Segitiga Sebangun pada Segitiga Siku-Siku dan Segitiga Sebangun dengan
Garis-garis Sejajar
1. Segitiga sebangun pada segitiga siku-siku dengan garis tinggi ke sisi miring
Perhatikan Gambar dibawah.
Gambar 1.20
Segitiga ABC pada gambar diatas siku-siku di A dan AD adalah garis tinggi ke sisi
miring BC.
15
Gambar 1.21
Dengan memperhatikan sudut-sudutnya, maka terdapat tiga segitiga sebangun,
yaitu ∆ ABC , ∆ ABD , ∆ ADC .
Berdasarkan pasangan segitiga yang sebangun, maka dapat dituliskan sebagai
berikut:
a. ∆ ABD dan ∆ ADC sebangun, maka:
Gambar 1.22
AD BD
=
CD AD
AD × AD=BD × CD
( AD )
2
=BD × CD
b. ∆ ABD dan ∆ ABC sebangun, maka:
Gambar 1.23
BC AB
=
AB BD
AB × AB=BD × BC
2
( AB )
=BD × BC
c. ∆ ADC dan ∆ ABC sebangun, maka:
16
Gambar 1.24
BC AC
=
AC CD
AC × AC=CD × BC
2
( AC )
=CD × BC
Untuk lebih mudah mengingat, perhatikan arah garis berpanah pada masingmasing gambar berikut:
Gambar 1.25
Contoh:
Segitiga PQR siku-siku di P Panjang QR=20 cm dan QS=8 cm. Tentukan panjang
PS!
Jawab:
QR=20 cm
QS=8 cm
RS=20 – 8=12cm
( PS )
2
=QS× RS
( PS )
2
=8 ×12
( PS )
2
=96
PS=√ 96=4 √ 6
Jadi, panjang PS adalah 4 √ 6 cm.
2. Segitiga sebangun pada segitiga dengan garis-garis sejajar
17
Dalam ∆ ADE , DE /¿ BC .
Perhatikan ∆ ADE dan ∆ ABC .
Gambar 1.26
∠ ABC=∠ ADE
(sehadap)
∠ ACB=∠ AED
(sehadap)
∠ BAC=∠ DAE
(berhimpit)
Jadi, ∆ ADE dan ∆ ABC sebangun, karena sudut yang bersesuaian sama besar,
sehingga diperoleh:
AB AC BC
=
=
AD AE DE
Contoh:
Pada ∆ ABC dibawah, BC /¿ DE .
Gambar 1.27
Tentukan:
a. Panjang DE dan AB
b. Besar ∠ ACB , ∠ ADE , dan ∠ DAE .
Jawab:
a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian:
18
AB AC BC
=
=
AD AE DE
DE=5 ×3
DE=15 cm
Diketahui:
Panjang BD = 6 cm, maka:
AB AC
=
AD AE
Panjang AC=4 cm ,
AE= AC+CE
AB
AB+6
AE=12 cm, maka
AC 4 1
= =
AE 12 2
=
1
3
3 AB=1( AB+ 6)
Panjang BC=5 cm , maka:
BC AC
=
DE AE
5
1
=
DE 3
3 AB – AB=6
2 AB=6
AB=3 cm
Jadi, panjang DE=15 cm, dan AB=3 cm.
b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besarnya
∠ ABC=∠ ADE
(sehadap)
∠ ACB=∠ AED
(sehadap)
∠ BAC=∠ DAE
(berhimpit)
Sehingga:
∠ ACB=∠ AED=37 °
∠ ADE=∠ ABC =53°
∠ DAE=180 °−(∠ ADE+ ∠ AED)
¿ 180 °−(53° +37 ° )
¿ 180 °−90 °
¿ 90 °
Jadi, besar ∠ ACB 37 ° ,∠ ADE=53° , dan ∠ DAE=90 ° .
E. Penerapan Kesebangunan pada Soal Cerita
1. Untuk menentukan lebar sungai yang arusnya deras, satu regu
pramuka telah menyelesaikan sketsa seperti gambar di bawah ini.
Tentukan lebar sungai!
19
Gambar 1.28
Penyelesaian:
Misalnya lebar sungai h meter.
Perhatikan bahwa ∆ ABE ≈ ∆ CDE dan sisi bersesuaian sebanding,
sudut-sudutnya sama besar sehingga
EC CD
=
EA AB
h
4
=
h+3 6
6 h=4 ( h+3 )
6 h=4 h+12
6 h−4 h=12
2 h=12
h=6 m
Jadi, lebar sungai 6 m.
2. Seorang pemuda yang tingginya 170 cm berdiri di samping pohon
yang mempunyai bayangan 5 m. jika panjang bayangan pemuda
itu 2 m, berapa tinggi pohon yang sebenarnya ?
20
Gambar 1.29
Penyelesaian:
tinggi pemuda ( t 1) = 170 cm = 1,7 m
bayangan pemuda ( b1 ) = 2 m
bayangan pohon ( b2 ) = 5 m
Ditanya : tinggi pohon ( t 2 )?
Jawab:
t 2 b2
t 1 = b1
t2 5
1,7 = 2
2 t 2=1,7× 5
1,7 × 5
2
t 2=4,25 m
t 2=
Jadi, tinggi pohon sebenarnya 4,25 m
DAFTAR PUSTAKA
M. Cholik Adinawan. 2007. MATEMATIKA untuk SMP Kelas IX. Jakarta: Erlangga.
21
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita temukan bangun-bangun yang memiliki bentuk
dan ukuran yang sama, misalnya permukaan meja di kelas, bentuk keramik lantai,
permukaan CD, kaca pada jendela rumah, tampak depan rumah-rumah di perumahan,
bentuk bangun pada sarang lebah, dan lain sebagainya.
1. Syarat Dua Bangun yang Sama dan Sebangun (Kongruen)
Dua buah bangun datar yang tepat saling menutupi atau tepat saling berimpit disebut
dua bangun yang sama dan sebangun atau kongruen. Perhatikan gambar 1.1
C
R
A
B
P
Q
(i)
G
F
K
D
E
J
H
I
(ii)
W
F
T
U
P
(iii)
O
N
L
M
Q
(iv)
Gambar 1.1
2. Foto dan Model Berskala
1
Sebuah foto atau model berskala mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk
aslinya atau bentuk sebenarnya. Pada foto atau model berskala, semua ukuran aslinya
diperkecil atau diperbesar dengan perbandingan yang sama. Jadi, bagian-bagian yang
bersesuaian dari foto atau model berskala dengan bangun aslinya memiliki
perbandingan yang sama.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 1.2 berikut ini!
1,5 m
12 cm
36 cm
xm
(i)
(ii)
Gambar 1.2
Gambar 1.2 (ii) merupakan model dari gambar 1.2 (i), sehingga bagian-bagian yang
bersesuaian sebanding. Bagian-bagian yang bersesuaian adalah panjang pada model
dengan panjang sebenarnya, lebar pada model dengan lebar sebenarnya, dan tinggi
pada model dengan tinggi sebenarnya. Karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding,
maka dapat perbandingan berikut ini.
panjang pada model lebar pada model tinggi pada model
=
=
panjang sebenarnya lebar sebenarnya tinggi sebenarnya
Dengan menggunakan perbandingan di atas, maka dapat dihitung panjang model
sebenarnya pada Gambar 1.2 (i), yaitu:
Lebar pada model
= 12 cm
Pajang pada model
= 36 cm
Lebar sebenarnya
= 1,5 m = 150 cm
Misalkan panjang sebenarnya = x cm, maka dengan memilih sepasang perbandingan
di atas diperoleh:
lebar pada model panjang pada model
=
lebar sebenarnya panjang sebenarnya
12 36
=
150 x
12 x=5.400
x=
12 x=150× 36
2
5.400
12
x=450
Jadi, panjang papan sebenarnya = 450 cm = 4,5 m
3. Syarat Dua Bangun Yang Sebangun
Dalam bahasan foto dan model berskala, telah diketahui bahwa antara bangun asli
dengan foto atau modelnya mempunyai bentuk yang sama, tetapi ukuran atau
besarnya berlainan. Bangun-bangun seperti itu disebut bangun yang sebangun.
Gambar 1.3 (i) dan (ii) berikut menunjukkan bangun persegi panjang dengan bentuk
yang sama, tetapi ukurannya berlainan. Ukuran-ukuran gambar tersebut adalah
sebagai berikut.
panjang EF =3 × panjang AB, atau EF : AB=3:1
panjang EH =3 × panjang AD , atau EH : AD=3 :1
H
D
A
G
C
(i)
B
E
(ii)
F
Gambar 1.3
Jadi, perbandingan bagian-bagian yang bersesuaian adalah sama, yaitu:
EF : AB=EH : AD=3 : 1
Ukuran sudut-sudut yang bersesuaian juga sama, yaitu:
∠ A=∠ E=90 °
∠ B=∠ F=90 °
∠ C=∠ G=90°
∠ D=∠ H =90 °
Jadi, persegi panjang ABCD dan EFGH sebangun dan keduanya memiliki sifat-sifat
berikut:
a. Pasangan sisi yang bersesuaian sebanding.
b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Untuk memahami yang dimaksud dengan sepasang sudut yang bersesuaian pada dua
buah bangun atau lebih, perhatikan uraian berikut ini!
3
(i)
(ii)
(iii)
Gambar 1.4
Gambar 1.4 menunjukkan bangun-bangun yang memiliki pasangan-pasangan sudut
yang sama, tetapi ada yang tidak bersesuaian. Sepasang sudut yang bersesuaian dan
sepasang sisi yang bersesuaian harus seletak.
Perhatikan Gambar 1.4 (i) dan (ii). Ternyata sudut-sudut yang sama besar
kedudukannya seletak, sehingga bangun pada Gambar 1.7 (i) dan (ii) memiliki sudutsudut bersesuaian yang sama besar.
Bangun pada Gambar 1.4 (iii) juga memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama
dengan bagun pada Gambar 1.4 (i), tetapi sudut-sudut yang sama itu urutannya tidak
bersesuaian.
Gambar 1.5
Perhatikan urutan sudut-sudut pada Gambar 1.5 dengan mengikuti arah panah mulai
dari sudut-sudut bernomor (1)
a. Kedua sudut bernomor (1) sama besar.
b. Kedua sudut bernomor (2) juga sama besar.
c. Kedua sudut bernomor (3) maupun (4) tidak sama besarnya.
Hal ini berarti bahwa sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar dan kedua
bangun tersebut tidak mungkin sebangun. Jika diperhatikan, kedua bangun tersebut
memang memiliki bentuk yang berbeda. Bangun pada Gambar 1.4 (i) berbentuk
jajargenjang dan bangun pada Gambar 1.4 (iii) berbentuk trapesium.
4
Jika sudut-sudut yang bersesuaian dapat ditentukan maka sisi-sisi yang bersesuaian
juga dapat ditentukan dengan mudah, meskipun kedudukan (posisi) kedua bangun
berbeda.
4. Menetukan Panjang Sisi
a. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Sama dan Sebangun
Untuk menentukan panjang sisi pada dua bangun yang sama dan sebangun,
gunakan ketentuan sebagai berikut:
Jika dua bangun sama dan sebangun maka:
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Contoh:
Gambar 1.6
Pada gambar di atas ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun. Jika diketahui panjang
AB=8 cm , AC =6 cm , dan DF =7 cm , tentukan panjang DE , EF ,dan BC !
Penyelesaian:
Karena ∆ ABC dan ∆≝¿ kongruen, maka:
AB=DE , jadi DE=8 cm
AC=EF , jadi EF=6 cm
BC=DF , jadi BC=7 cm
b. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Sebangun
Untuk menghitung panjang sisi pada dua bangun yang sebangun, gunakan
ketentuan yang telah dibahas pada Subbab 3, yaitu:
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Contoh:
5
Gambar 1.7
Pada gambar 1.7 menunjukkan dua bangun yang sebangun. Tentukan panjang
AB danQR !
Penyelesian:
Karena bangun ABCD dan PQRS sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian
sebanding.
AB DC
=
PQ SR
AB 6
=
12 9
9 AB=12 ×6
9 AB=72
AB=8
AD DC
=
QR SR
4
6
=
QR 9
Jadi, panjang AB=8 cm
6QR = 4 × 9
AB=
72
9
6QR = 36
36
QR = 6
QR = 6
Jadi, panjang QR = 6 cm
B. Segitiga – segitiga sama dan sebangun.
1. Syarat dua segitiga sama dan sebangun.
Pada cermin datar, bangun asli dengan bayangannya merupakan bangun – bangun
yang sama sebangun, demikian juga segitiga dan bayangannya adalah bangun –
bangun yang sama dan sebangun atau kongruen.
Perhatikan gambar 1.8
6
y
x
Gambar 1.8
Jika ∆ ABC direflesikan (dicerminkan) terhadap garis XY , maka bayangannya adalah
∆ A ’ B ’ C ’ . Jadi ∆ ABC dan ∆ A ’ B ’ C ’ sama dan sebangun.
Selanjutnya ∆ A ’ B ’ C ’ ditranslasikan (digeser) ke kanan, maka akan berhimpit atau
tepat menutupi ∆≝¿. Maka ∆ A ’ B ’ C ’ dan ∆≝¿ sama dan sebangun.
Karena ∆ ABC sama dan sebangun dengan ∆ A ’ B ’ C ’ dan ∆ A ’ B ’ C ’ sama dan
sebangun
dengan ∆≝¿, maka ∆ ABC sama dan sebangun dengan ∆≝.
Karena ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun, maka:
∠ A=∠ E
AB=ED
∠ B=∠ D
BC=DF
∠ C=∠ F
Berdasarkan dari uraian diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Jika dua buah segitiga sama dan sebangun, maka :
a. Sisi yang bersesuaian sama panjang
b. Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar.
2. Sifat – sifat dua segitiga sama dan sebangun.
Dua buah bangun yang sama bentuk maupun ukurannya dikatakan dua bangun yang
sama dan sebangun. Jadi, jika dua buah bangun yang sama dan sebangun diimpitkan
maka kedua bangun tersebuat akan tepat saling menutupi atau bagian – bangian yang
bersesuaian akan saling menempati dengan tepat.
Demikian halnya dengan segitiga. Dua buah segitiga dikatakan sama dan sebangun,
apabila kedua segitiga itu diimpitkan maka keduanya akan tepat saling menutupi atau
bagian – bagian yang bersesuaian saling menempati dengan tepat.
7
Perhatikan gambar 1.9
Gambar 1.9
Jika ∆ ABC dihimpitkan pada ∆≝¿, maka :
∠ A ↔∠ D , Sebab∠ A=∠ D
∠ A ↔∠ D , dibaca ∠ A saling
∠ B↔ ∠ E , Sebab∠ B=∠ E
menempati dengan ∠ D
∠ C ↔ ∠ F , Sebab∠ C=∠ F
AB ↔ DE , Sebab AB=DE
AC ↔ DF ,Sebab AC=DF
BC ↔ EF , Sebab BC=EF
Jadi, ∆ ABC ↔ ∆≝, berarti ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun(kongruen).
a. Ketiga sisi yang bersesuain sama panjang (sisi, sisi, sisi).
Gambar 1.10
Dari gambar jika ∆ ABC diimpitkan pada ∆ PQR maka:
AB ↔ PQ , Sebab AB=PQ
AC ↔ PR , Sebab AC=PR
BC ↔QR , Sebab BC=QR
8
Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR saling menempati dengan tepat, sehingga ∆ ABC dan
∆ PQR sama dan sebangun.
b. Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar (sd,sd,sd)
Pada gambar 1.13 ∠ K=∠ R Sehingga kaki ∠ K dan kaki∠ R dapat berimpit,
tetapi belum tentu tepat salling menutupi, sebab tidak diketahui apakalah
KL=RS atau KM =RT .
Gambar 1.11
Demikian juga untuk ∠ L=∠ S dan ∠ M =∠ T . Belum tentu LM =ST . Oleh
karena ∆ KLM dan ∆ RST belum tentu tepat saling menutupi, maka ∆ KLM dan
∆ RST belum tentu sama dan sebangun.
c. Dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi, sudut, sisi)
Gambar 1.12
1) Perhatikan ∆ PQR dan ∆ XYZ !
PQ=YX
(diketahui)
∠ P=∠Y (diketahui)
PR=YZ
(diketahui)
9
∆ PQR dan ∆ XYZ mempunyai dua sisi bersesuaian yang sama panjang dan
satu sudut apit yang sama besar.
Jadi, ∆ PQR dan ∆ XYZ sama dan sebangun (sisi, sudut, sisi)
2) Pasangan Sudut yang sama besar adalah:
∠ P=∠Y , ∠Q=∠ X , dan ∠ R=∠ Z
d. Satu sisi dan dua sudut (sd,sd,sisi), (sd,sisi,sd), atau (sudut,sisi,sudut).
Gambar 1.13
1) Perhatikan ∆ AEC dan ∆ DEB !
∠ A=∠ D
(diketahui)
AE=DE
(diketahui)
∠ AEC=∠ DEB
(bertolak belakang)
Jadi, ∆ AEC dan ∆ DEB sama dan sebangun (sudut, sisi, sudut)
2) Pasangan sisi yang sama panjang adalah:
AE=DE , AC =DB , dan CE=BE
C. Segitiga-segitiga yang sebangun
1. Syarat-syarat segitiga sebangun
a. Segitiga sebangun berdasarkan sudut-sudut bersesuaian
10
Gambar 1.14
Perhatikan ∆ ABC dan ∆≝¿
∠ A=∠ D (karena sehadap)
∠ B=∠ E (karena sehadap)
∠ C=∠ F (karena kedua sudut yang lain sama)
Jadi, ∠ ABC dan ∠≝¿ sama sudut (sudut-sudut bersesuaian sama besar).
Perbandingan sisi-sisi-yang bersesuaian
AB : DE=3 : 4
AC : DF=3 : 4
BC : EF=3 : 4
Jadi sisi-sisi yang besesuaian pada ∆ ABC dan∆≝¿ sebanding.
Jadi dapat disimpulkan bahwa:
Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga sama besar maka sisisisi yang bersesuaian adalah sebanding. Jadi, kedua segitiga itu pasti sebangun.
Perhatikan ∆ ABC dan ∆ PQR
11
Gambar 1.15
Pada gambar diatas diperoleh hubungan besar sudut sebagai berikut
∠ A=∠P
∠ B=∠ Q
∠ C=∠ R
Jadi ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena sudut-sudut yang bersesuian sama
besar, sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, yaitu
AB
AC BC
PQ = PR = QR
Contoh:
Dalam ∆ ABC dan ∆ PQR diketahui besar ∠ BAC = 60° , ∠ ABC = 40° , ∠ QPR
= 60° , ∠ PRQ = 80° . Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Penyelesaian :
Gambar 1.16
Pada ∆ ABC
Pada ∆ PQR
∠ BAC=60 °
∠ QPR=60
∠ ABC=40°
∠ PRQ=80 °
∠ ACB=180° −100°
∠ PQR=180° −(60 ° + 40° )
¿ 80 °
¿ 80 °
∠ BAC=∠QPR=60 °
∠ ABC=∠ PQR=40 °
∠ ACB=∠ PRQ=80°
12
Jadi ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena sudut-sudut yang besesuaian sama
besar.
b. Segitiga sebangun pada sisi yang bersesuaian
Gambar 1.17
Pada gambar diatas ∆ ABC dan ∆≝¿ memiliki sudut-sudut yang bersesuaian
yang sama besar yaitu ∠ A=∠ D, ∠ B=∠ E , ∠C=∠ F . Panjang sisi pada
∆≝¿ adalah 2 kali panjang sisi-sisi pada ∆ ABC yang bersesuaian sebanding.
Jadi ∆ ABC dan ∆≝¿ merupakan dua segitiga yang sebangun Panjang sisi-sisi
∆≝¿ adalah 2 kali panjang sisi-sisi pada ∆ ABC yang bersesuaian .
Jadi dapat disimpulkan bahwa:
Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada sebuah segitiga sebanding atau memiliki
perbandingan yang sama maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi,
kedua segitiga itu pasti sebangun.
c. Segitiga sebangun berdasarkan satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut
13
Perhatikan gambar 1.18
Gambar 1.18
Pada ∆ ABC :
Pada ∆ PQR :
AC=8 cm
PR=12 cm
BC=6 cm
QR=9 cm
∠ C=110 °
∠ R=110 °
AC :PR =8 cm :12cm=2: 3
BC :QR=6 cm: 9 cm=2 :3
Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena besar ∠ C=∠C dan dua sisi yang
bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding.
2. Menghitung panjang sisi pada segitiga sebangun
Jika dua buah segitiga memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama, maka kedua
segitiga itu sebangun, sehingga kedua segitiga itu memiliki pasangan sisi yang
bersesuaian sebanding. Dengan demikian, jika diketahui dua segitiga memiliki
pasangan sudut yang sama maka dapat ditentukan panjang sisi-sisinya dengan
menggunakan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
Contoh:
14
Diketahui panjang AB=8 cm , BC=6 cm , XY =12 cm, dan XZ=10 cm . Tentukan
panjang AC dan YZ !
Gambar 1.19
Penyelesaian:
AB AC
=
XY XZ
AB BC
=
XY YZ
8 AC
=
12 10
8
6
=
12 YZ
8 YZ=6 X 12
12 AC =8 x 10
12 AC =80
8 YZ=72
80
12
AC=6,67
YZ=
72
8
YZ=9
AC=
Jadi panjang AC dan YZ adalah 6,67 cm dan 9 cm.
D. Segitiga Sebangun pada Segitiga Siku-Siku dan Segitiga Sebangun dengan
Garis-garis Sejajar
1. Segitiga sebangun pada segitiga siku-siku dengan garis tinggi ke sisi miring
Perhatikan Gambar dibawah.
Gambar 1.20
Segitiga ABC pada gambar diatas siku-siku di A dan AD adalah garis tinggi ke sisi
miring BC.
15
Gambar 1.21
Dengan memperhatikan sudut-sudutnya, maka terdapat tiga segitiga sebangun,
yaitu ∆ ABC , ∆ ABD , ∆ ADC .
Berdasarkan pasangan segitiga yang sebangun, maka dapat dituliskan sebagai
berikut:
a. ∆ ABD dan ∆ ADC sebangun, maka:
Gambar 1.22
AD BD
=
CD AD
AD × AD=BD × CD
( AD )
2
=BD × CD
b. ∆ ABD dan ∆ ABC sebangun, maka:
Gambar 1.23
BC AB
=
AB BD
AB × AB=BD × BC
2
( AB )
=BD × BC
c. ∆ ADC dan ∆ ABC sebangun, maka:
16
Gambar 1.24
BC AC
=
AC CD
AC × AC=CD × BC
2
( AC )
=CD × BC
Untuk lebih mudah mengingat, perhatikan arah garis berpanah pada masingmasing gambar berikut:
Gambar 1.25
Contoh:
Segitiga PQR siku-siku di P Panjang QR=20 cm dan QS=8 cm. Tentukan panjang
PS!
Jawab:
QR=20 cm
QS=8 cm
RS=20 – 8=12cm
( PS )
2
=QS× RS
( PS )
2
=8 ×12
( PS )
2
=96
PS=√ 96=4 √ 6
Jadi, panjang PS adalah 4 √ 6 cm.
2. Segitiga sebangun pada segitiga dengan garis-garis sejajar
17
Dalam ∆ ADE , DE /¿ BC .
Perhatikan ∆ ADE dan ∆ ABC .
Gambar 1.26
∠ ABC=∠ ADE
(sehadap)
∠ ACB=∠ AED
(sehadap)
∠ BAC=∠ DAE
(berhimpit)
Jadi, ∆ ADE dan ∆ ABC sebangun, karena sudut yang bersesuaian sama besar,
sehingga diperoleh:
AB AC BC
=
=
AD AE DE
Contoh:
Pada ∆ ABC dibawah, BC /¿ DE .
Gambar 1.27
Tentukan:
a. Panjang DE dan AB
b. Besar ∠ ACB , ∠ ADE , dan ∠ DAE .
Jawab:
a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian:
18
AB AC BC
=
=
AD AE DE
DE=5 ×3
DE=15 cm
Diketahui:
Panjang BD = 6 cm, maka:
AB AC
=
AD AE
Panjang AC=4 cm ,
AE= AC+CE
AB
AB+6
AE=12 cm, maka
AC 4 1
= =
AE 12 2
=
1
3
3 AB=1( AB+ 6)
Panjang BC=5 cm , maka:
BC AC
=
DE AE
5
1
=
DE 3
3 AB – AB=6
2 AB=6
AB=3 cm
Jadi, panjang DE=15 cm, dan AB=3 cm.
b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besarnya
∠ ABC=∠ ADE
(sehadap)
∠ ACB=∠ AED
(sehadap)
∠ BAC=∠ DAE
(berhimpit)
Sehingga:
∠ ACB=∠ AED=37 °
∠ ADE=∠ ABC =53°
∠ DAE=180 °−(∠ ADE+ ∠ AED)
¿ 180 °−(53° +37 ° )
¿ 180 °−90 °
¿ 90 °
Jadi, besar ∠ ACB 37 ° ,∠ ADE=53° , dan ∠ DAE=90 ° .
E. Penerapan Kesebangunan pada Soal Cerita
1. Untuk menentukan lebar sungai yang arusnya deras, satu regu
pramuka telah menyelesaikan sketsa seperti gambar di bawah ini.
Tentukan lebar sungai!
19
Gambar 1.28
Penyelesaian:
Misalnya lebar sungai h meter.
Perhatikan bahwa ∆ ABE ≈ ∆ CDE dan sisi bersesuaian sebanding,
sudut-sudutnya sama besar sehingga
EC CD
=
EA AB
h
4
=
h+3 6
6 h=4 ( h+3 )
6 h=4 h+12
6 h−4 h=12
2 h=12
h=6 m
Jadi, lebar sungai 6 m.
2. Seorang pemuda yang tingginya 170 cm berdiri di samping pohon
yang mempunyai bayangan 5 m. jika panjang bayangan pemuda
itu 2 m, berapa tinggi pohon yang sebenarnya ?
20
Gambar 1.29
Penyelesaian:
tinggi pemuda ( t 1) = 170 cm = 1,7 m
bayangan pemuda ( b1 ) = 2 m
bayangan pohon ( b2 ) = 5 m
Ditanya : tinggi pohon ( t 2 )?
Jawab:
t 2 b2
t 1 = b1
t2 5
1,7 = 2
2 t 2=1,7× 5
1,7 × 5
2
t 2=4,25 m
t 2=
Jadi, tinggi pohon sebenarnya 4,25 m
DAFTAR PUSTAKA
M. Cholik Adinawan. 2007. MATEMATIKA untuk SMP Kelas IX. Jakarta: Erlangga.
21