Catatan Teknik (Technical Notes) Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
Hutahaean
ISSN 0853-2982
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Catatan Teknik (Technical Notes)
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
Syawaluddin Hutahaean
Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung,
Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: [email protected]
Abstrak
Paper ini mempresentasikan penyelesaian pesamaan vibrasi secara numeris dengan menggunakan integrasi
numeris metoda Newton-Cote. Eksekusi model selama sepuluh kali period gelombang memberikan solusi yang
sangat stabil.
Kata-kata Kunci: Polinomial lagrange, integrasi numeris.
Abstract
This paper presents a numerical method for solving vibration equation using Newton-Cote’s numerical integration. Model execution during ten times of vibration period gives a very stabile solution.
Keywords: Lagrangian polynomial, numerical integration.
1. Pendahuluan
Li (x) =
Penyelesaian persamaan vibrasi dengan metoda
integrasi telah lama dikenal, yaitu antara lain metoda
Wilson-q dan Newmark-b, (Bathe, 1982). Penyelesaian diferensial waktu orde satu dengan metoda integrasi juga telah banyak digunakan, yaitu dikerjakan
pada penyelesaian persamaan gelombang nonlinier
dari Boussinesq, Liu (1999), (Meftah, 2004).
(Hutahaean, 2005, 2007a, 2007b, 2008) menyelesaikan persamaan gelombang panjang Airy dengan
metoda integrasi dengan menggunakan integrasi
numeris dari Newton-Cote.
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )............................(x − xn )
(xi − x1 )(xi − x2 )(xi − x3 )........................(xi − xn )
atau:
n
Li ( x) = ∏
j =1
Pendekatan fungsi f(x) dengan polinomial Lagrange
adalah, Arden (1970),
L1 ( x) =
n
∑ L (x) f
i =1
i
i
(1)
dimana
Li(x) = polinomial Lagrange pada titik i
fi
= harga fungsi pada titik i
n
= jumlah titik polinomial
Bentuk umum polinomial Lagrange adalah, Arden
(1970),
j
2
3
f ( x) = L1 ( x) f1 + L2 ( x) f 2 + L3 ( x) f 3
dimana:
i
Gambar 1. Pendekatan dengan 3 titik polinomial
2. Polinomial Lagrange
f (x) =
j
Apabila pada suatu domain 0 < x < L didekati dengan
3 titik polinomial Gambar 1, maka bentuk
pendekatannya adalah
1
Pada penelitian ini dikerjakan integrasi numeris dari
Newton-Cote pada persamaan vibrasi yang merupakan diferensial waktu orde 2.
(x − x ) ,
(x − x ) j ≠ i
(x - x2 )(x - x3 )
(x1 - x2 )(x1 - x3 )
(x - x1 )(x - x3 )
L2 ( x ) =
(x2 - x1 )(x2 - x3 )
(x - x1 )(x - x2 )
L3 ( x) =
(x3 - x1 )(x3 - x2 )
pada x = x1, L1 (x1) = 1, L2 (x1) = 0, L3 (x1) = 0, maka
f(x1) = L1 (x1) f1 + L2 (x1) f2 + L3 (x1) f3 = f1
Vol. 17 No. 1 April 2010
73
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
pada x = x2, L1 (x2) = 1, L2 (x2) = 0, L3 (x2) = 0, maka
L2(x) =
f(x2) = L1 (x2) f1 + L2 (x2) f2 + L3 (x2) f3 = f2
pada x = x3, L1 (x3) = 1, L2 (x3) = 0, L3 (x3) = 0, maka
L3(x) =
f(x3) = L1 (x3) f1 + L2 (x3) f2 + L3 (x3) f3 = f3
(x - x3 )(x - x5 )
(x4 - x3 )(x4 - x5 )
(x - x3 )(x - x4 )
(x5 - x3 )(x5 - x4 )
Jadi pendekatan fungsi dengan polinomial Lagrange
adalah exact pada titik-titik polinomial dimana
Pada sub-domain
f(x1) = f1, f(x2) = f2, f(x3) = f3
(x - x6 )(x - x7 )
(x5 - x6 )(x5 - x7 )
(x - x5 )(x - x7 )
L2 ( x) =
(x6 - x5 )(x6 - x7)
(x - x5 )(x - x6 )
L3 ( x) =
(x7 - x5 )(x7 - x6 )
Pendekatan fungsi f(x) dengan polinomial Lagrange
dapat saja dilakukan pendekatan langsung yaitu pada
seluruh domain langsung digunakan n titik polinomial.
Tetapi pendekatan seperti ini akan terbentuk polinomial dengan pangkat tinggi pada x yaitu xn-1, dimana
semakin besar n, akan semakin besar derajat polinomialnya dan sering terjadi malah mengurangi ketelitian.
Metoda pendekatan yang termudah adalah dengan
membagi-bagi daerah perhitungan dalam sejumlah sub
-domain, selanjutnya pendekatan polinomial dilakukan
pada masing-masing sub-domain.
3
f ( x) = L1 ( x) f 5 + L2 ( x) f 6 + L3 ( x) f 7
L1 ( x) =
Untuk selanjutnya, yang dimaksudkan dengan
pendekatan polinomial Lagrange adalah pendekatan
pada sub-domain.
3. Integrasi Numeris
Newton-Cote
a. domain perhitungan
dengan
Metoda
b. pembagian domain dalam sejumlah sub-domain
Untuk
Dengan menggunakan polinomial Lagrange dapat
dengan mudah dilakukan integrasi suatu fungsi, yaitu
domain
c. pendekatan dilakukan pada sub-domain
dengan sejumlah titikpolinomial
n
f (x) = ∑ Li (x) f i
i =1
Gambar 2. Pendekatan polinomial dengan subdomain
b
yang dibagi dalam 3 sub domain dan pada sub domain
digunakan 3 titik polinomial,
∫
n
f(x) dx = ∑
i =1
a
∫ L (x) f
i
i
dx
(2)
Untuk pendekatan 3 titik polinomial
2
1
3
b
1
2
Pada sub-domain
3
4
5
6
7
∫
a
b
b
b
a
a
a
f(x)dx = ∫ L1 (x) dx f 1 + ∫ L2 (x) dx f 2 + ∫ L3 (x) dx f 3
(3)
1
f(x) = L1(x) f1 + L2(x) f2 + L3(x) f3
mengingat Li (x) adalah suatu polinomial, maka
integrasi dapat dengan mudah dilakukan.
(x1 - x 2 )(x1 - x3 )
( x - x1 )( x - x3 )
L2(x) =
(x2 - x1 )(x2 - x3 )
(x - x1 )( x - x 2 )
L3(x) =
(x3 - x1 )(x3 - x 2 )
3.1 Koefisien integrasi
L1(x) =
( x - x 2 )(x - x3 )
Pada sub-domain
2
f(x) = L1(x) f3 + L2(x) f4 + L3(x) f5
L1(x) =
74
(x - x4 )(x - x5 )
(x3 - x4 )(x3 - x5 )
Jurnal Teknik Sipil
Pada Persamaan (3) terlihat bahwa dengan interval
integrasi yang konstan, maka didapat hasil integrasi Li
(x) yang konstan juga. Jadi untuk harga a dan b yang
tetap, maka bila
b
∫
L1(x)dx = c1 ,
a
b
b
a
a
∫ L2 (x) dx = c2 dan ∫ L3(x)dx= c3
maka
b
∫ L (x) dx = c
1
a
1
f 1 + c 2 f 2 + c3 f 3
Hutahaean
c1, c2 dan c3 disebut dengan koefisien integrasi.
Telah diketahui bahwa suatu fungsi f(x) pada domain
a ≤ x ≤ b untuk setiap harga a dan b, dapat
ditransformasikan menjadi suatu fungsi g(ξ) pada
domain -1 ≤ ξ ≤ 1. Jadi bila didapatkan harga-harga
koefisien integrasi pada domain ξ, maka integrasi
akan dapat dilakukan dengan menggunakan koefisien
integrasi tersebut tanpa harus melakukan integrasi
polinomial Lagrange lagi, dimana metoda integrasi ini
disebut dengan.metoda Newton-Cote.
Untuk x yang konstan, fungsi transformasi dari x ke
ξ dapat digunakan persamaan transformasi yang
sederhana, yaitu
x=p +q
Pada = -1, x = a ; dan pada = 1, x = b, sehingga diperoleh dua persamaan yaitu
a=-p+q
b=p+q
a+b
Dari ke 2 persamaan tersebut diperoleh q =
2
b−a
sehingga persamaan transformasi menjadi
dan p=
2
x=
b − a
dx
dξ
dx =
2
=
a + b
+
∫
a
a
1
dimana ci =
Pada bagian berikut akan dihitung koefisien integrasi
untuk sejumlah konfigurasi titik integrasi dengan mengintegrasikan polynomial Lagrange.
Integrasi dengan 3 titik polinomial
Pada skema ini interval garis a-b dibagi dalam 2 interval, yaitu seperti terlihat pada Gambar (3). Untuk
pendekatan dengan 3 titik polinomial, maka
f(x) dx =
a
d
2
b-a
f(x) dx = ∫ g( ξ )
dξ
2
-1
n
∑
i =1
Integrasi menjadi,
a−b
2
b
‐1
0
1
ξ1
ξ2
ξ3
a
ξ
Li ( ξ ) g i , dimana g i = f i
b
∫
Gambar 3. Integrasi dengan 3 titik polinomial
f(x) dx =
a
b - a
2
1
n
∫ ∑ L (ξ )g dξ =
i
-1 i =1
i
⎞
b−a ⎛
⎜ ∫ Li (ξ ) f i dξ ⎟
∑
⎜
⎟
2 i =1 ⎝ −1
⎠
n
1
b
∫ f(x) dx
1
⎛1
⎜ ∫ L1 ( ξ ) dξ f 1 + ∫ L2 ( ξ ) dξ f 2
⎜
-1
⎝ -1
1
⎞
+ ∫ L3 ( ξ ) dξ f 3 ⎟⎟
-1
⎠
b-a
2
x
1
i
yang berharga konstan mengingat integrasi selalu
dilakukan pada domain -1 ≤ ξ ≤ 1. Jadi bila diperoleh
harga-harga ci, integrasi akan dapat dilakukan setiap
saat dengan menggunakan Persamaan (4) tanpa harus
mengintegrasikan polynomial Lagrange lagi.
∫
2
∫ L (ξ )dξ
−1
2
b − a
b- a
b−a n
(c1 f1 +c2 f2..........
.....+cn fn ) =
∑ci fi
2
2 i=1
(4)
b − a
dengan g( ξ ) =
=
a
∫ f(x)dx=
b
Dengan persamaan transformasi tersebut, maka
b
b
1
⎞ ⎞
⎛1
⎞
⎞ ⎛1
b- a ⎛⎜⎛
⎜∫Ln(ξ)dξ⎟ fn ⎟
⎜∫L1(ξ)dξ⎟ f1 +⎜∫L2(ξ)dξ⎟ f2..........
+
..
⎟ ⎟
⎜
⎟
⎟ ⎜
2 ⎜⎝⎜⎝−1
⎠ ⎠
⎝−1
⎠
⎠ ⎝−1
Dengan 3 titik polinomial atau titik integrasi tersebut
dimana ξ1 = -1, ξ2 = 0, ξ3 = 1, polinomial Lagrange
akan berbentuk
(ξ − ξ 2 )(ξ − ξ 3 )
1
= − ξ (ξ − 1)
(ξ1 − ξ 2 )(ξ1 − ξ 3 ) 2
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ 3 )
L2 (ξ ) =
= (1 − ξ 2 )
(ξ 2 − ξ1 )(ξ 2 − ξ 3 )
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ 2 ) 1 ( )
= ξ ξ +1
L3 (ξ ) =
(ξ 3 − ξ1 )(ξ 3 − ξ 2 ) 2
L1 (ξ ) =
Vol. 17 No. 1 April 2010
75
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
Dengan demikian diperoleh koefisien integrasi yaitu
Tabel 1. Koefisien integrasi ci pada persamaan
1
1
1
c1 = ∫ L1 ( ξ ) dξ = ∫ − ξ (ξ − 1)dξ =
3
2
−1
-1
1
1
1
(
b
∫
a
)
1
c3 = ∫ L3 ( ξ ) dξ =
-1
1
∫ 2 ξ (ξ + 1)dξ = 3
1
1
c1
1.000000
1/3
0.250000
0.155556
0.131944
0.097619
n
2
3
4
5
6
7
4
c 2 = ∫ L 2 ( ξ ) dξ = ∫ 1 − ξ dξ =
3
−1
-1
2
b-a n
∑ ci f i
2 i =1
f(x) dx =
c2
c3
1.000000
4/3
1/3
0.750000 0.750000
0.711111 0.266667
0.520833 0.347222
0.514286 0.064286
c4
π
−1
Integrasi dengan 4 titik polinomial
ξ
−
1
2
1
1
2
x2 =
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
(ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )(ξ 1 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
L2 (ξ ) =
(ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )(ξ 2 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 4 )
L3 (ξ ) =
(ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )(ξ 3 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )
L4 (ξ ) =
(ξ 4 - ξ 1 )(ξ 4 - ξ 2 )(ξ 4 - ξ 3 )
L1 (ξ ) =
x3 =
π
1
4
π
2
-1
-1
Koefisien integrasi, untuk berbagai titik integrasi
dengan persamaan integrasi
∫
a
2
∑ ci f i , adalah seperti pada tabel
berikut.
76
n
Jurnal Teknik Sipil
i =1
−0
π
2
2
1 ⎞
4 1
⎛1
2 + x1⎟ = 1.00228
⎜ x0 + x
3 ⎠
3 2
⎝3
π
Dimana hasil eksak
2
∫ sin xdx = 1
0
b. dengan 4 titik integrasi
x1 = 0 ;
x2 =
x3 =
x4 =
1
c3 = ∫ L3 ( ξ ) dξ = 0.75 ; c4 = ∫ L4 ( ξ ) dξ = 0.25
f3 = 1
0
-1
1
;
2
∫ sin xdx =
1
-1
f2 =
2
c1 = ∫ L1( ξ ) dξ = 0.25 ; c 2 = ∫ L2 ( ξ ) dξ = 0.75
b - a
b=
1
2
2
;
π
π
Dengan memasukkan harga-harga ξ1 s/d ξ4 seperti
pada Gambar (4) dan dengan mengintegrasikan dari
–1 dan ke 1, maka diperoleh
f(x) dx =
x1 = 0 ; f 1 = 0
b
∫ sin xdx
dalam hal ini f ( x ) = sin x , a = 0 dan
Dengan 4 titik polinomial ini, maka polinomial
Lagrange berbentuk
2
a. dengan 3 titik integrasi
Gambar 4. Integrasi dengan 4 titik polinomial
c7
0
Pada skema ini interval garis a - b dibagi dalam 3
interval, yaitu
‐1
c6
0.250000
0.711111 0.155556
0.347222 0.520833 0.131944
0.647619 0.064286 0.514286 0.097619
Contoh : akan dihitung
c5
π
π
3
π
2
f 2 = 0. 5
;
6
π
f1 = 0
;
f 3 = 0.866025
; f 4 = 1 .0
π
2
2
∫ sin xdx =
0
−0
2
(0.25 x0 + 0.75 x0.5
+ 0.75 x0.866025 + 0.25 x1) = 1.001005
Dari kedua hasil perhitungan tersebut terlihat bahwa
semakin banyak titik integrasi, semakin baik ketelitian. Hal ini dikarenakan semakin banyak titik integrasi semakin kecil dx.
Hutahaean
)
4. Penyelesaian Persamaan Vibrasi
+ 0.25 u t +δt = k
Persamaan vibrasi untuk satu derajad kebebasan,
Bathe (1982), adalah,
d 2u
m
dt
2
+c
du
+ k u = f(t)
dt
(5)
dimana
u
m
c
k
f(t)
=
=
=
=
=
simpangan (Gambar 5)
masa
koefisien redaman (damping)
koefisien kekakuan
gaya luar yang bekerja pada system
∫
f(t) dt
(6)
t − 2δt
⎛ du ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
t +δt
⎛ du ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
t +δt
diselesaikan dengan metoda selisih hingga
dengan skema diferensial ke belakang,
yaitu
u t −δt - 4 u t + 3 u t +δt
2 δt
=
Substitusi persamaan untuk
du t +δt
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
du ⎞
ke Persamaan (6) dan ⎛⎜
⎟
u
f(t)
t +δt
t − 2δt
⎝ dt ⎠
dipindahkan ke ruas kanan
⎛ u t −δt - 4ut + 3 u t +δt
m⎜⎜
2 δt
⎝
(0.25 u
t −2δt
+ 0.25 u
Gambar 5. Sistem SDOF
Persamaan tersebut akan diselesaikan dengan metoda
integrasi dari Newton-Cote, dengan 4 titik integrasi.
Persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu
Persamaan terakhir, dikalikan
diintegrasikan dari t-2 t ke t+ t,
dengan
dt
dan
t +δt
2
Dalam hal ini a = t − 2δt , b = t + δt ,
b − a
2
=
(t + δt ) − (t − 2δt ) = 3δt
2
t +δt
t − 2δt
⎛
⎞
⎛ du ⎞
⎟
⎜ ⎛ du ⎞
m ⎜ ⎟
⎜ ⎝ dt ⎠
⎝
(
-⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
2
⎟
⎠
(
)
+ c u t +δt - u t −2δt +
0.25u t −2δt + 0.75u t −δt + 0.75u t
)
+ 0.75 u t −δt + 0.75 u t
)
⎛ du ⎞
=m⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
t − 2δt
t +δt
+
∫
f(t) dt
t − 2δt
⎛3m
0.75δt 2 k ⎞ t +δt
⎜⎜
⎟⎟ u
+ δt c +
2
2
⎝
⎠
⎛
2.25δt 2 k ⎞ t
⎜
⎟⎟ u
+ ⎜ - 2m+
2
⎝
⎠
⎛ m 2.25δt 2 k ⎞ t −δt
⎟⎟ u
+ ⎜⎜ +
2
2
⎠
⎝
t
⎛
0.75δt 2 k ⎞ t −2δt
= tm
⎟⎟ u
+ ⎜⎜ - δt c +
2
⎠
⎝
⎛ du ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
2
(
Persamaan dikalikan dengan t dan dikelompokkan
suku-suku yang mengandung u dengan referens waktu
yang sama.
Suku ke 1 dan ke 2 ruas kiri persamaan diselesaikan
secara analitik, sedangkan suku ke 3 diselesaikan
secara numeris.
2
⎞
3 δt k
⎟⎟ + c u t +δt - u t −2δt +
2
⎠
t −2δt
+ δt
t +δt
∫δ f(t) dt
t −2 t
Persamaan terakhir dapat ditulis ringkas
kef ut+ t = fef
0.75δt 2 k
3m
+ δt c +
2
2
2
kef =
3 δt k
2
f ef = −a1u − a2u
t
t −δt
⎛ du ⎞
+ δtm⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
(7)
t −2δt
+ δt
t +δt
∫ f (t )dt
t −2δt
(8)
Vol. 17 No. 1 April 2010
77
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
2.25δt 2 k
2
m 2.25δt 2 k
a2 =
+
2
2
⎛
0.75δt 2 k ⎞
⎟⎟
a3 = ⎜⎜ - δt c +
2
⎠
⎝
a1 = − 2m +
du t − 2δt
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
=
5. Kesimpulan
(9)
1. Seperti terlihat pada Gambar 6, eksekusi model
pada jangka waktu 10x perioda eksitasi solusi
model adalah stabil.
(10)
2. Adapun ketelitian dari metoda ini adalah ditentukan oleh ketelitian dari metoda integrasi dari
Newton-Cote, dimana pada contoh integrasi fungsi
sinusoidal metoda memberikan hasil yang baik.
Hutahaean, (2005, 2007a, 2007b, 2008), menggunakan metoda integrasi dari Newton-Cote pada
pemodelan transformasi gelombang, yang juga
memberikan hasil yang baik.
(11)
u t −δt - u t −3δt
2 δt
t +δt
∫
f(t) dt
t − 2δt
3. Ketelitian berikutnya adalah ditentukan oleh
metoda selisih hingga yang digunakan, dimana
pada penelitian ini digunakan ketelitian metoda
selisih hingga dengan tingkat ketelitian O(d)2 baik
pada skema central-difference maupun pada backward-difference.
tergantung dari bentuknya. Dalam hal f(t) merupakan
fungsi yang diketahui bentuknya, maka misal f(t) =
Asin ωt, maka dapat diselesaikan secara analitik.
Sedangkan bila f(t) berupa data series, maka integrasi
dilakukan secara numerik.
4. Secara umum metoda yang dikembangkan cukup
mempunyai prospek yang baik, baik untuk diteliti
lebih lanjut maupun untuk diaplikasikan pada
suatu analisis vibrasi.
Contoh :
Model dieksekusi dengan data :
m = 2.0, c = 11.5, k = 30.0, f (t )
⎛ 2π ⎞
= 2.0 sin⎜
t⎟
⎝ 2.1 ⎠
Daftar Pustaka
Arden, B.W. and Astill, K.N., 1970, Numerical Algorithm: Origins and Applications. AddisonWesley Publishing Company, Inc.
Perhitungan dilakukan dengan δt = 0.07 dt. Hasil
eksekusi adalah disajikan pada gambar grafik
simpangan u terhadap waktu t, seperti pada Gambar
(4.2).
Li, Y. S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z., 1999,
Numerical modeling of Boussinesq equations
by finite element method Journal Coastal
Engineering, Elsevier.
0.1
0.08
simpangan u (m)
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
13.00
15.00
17.00
19.00
waktu t (detik)
Gambar 6. Grafik simpangan (u) terhadap waktu (t), hasil model
78
Jurnal Teknik Sipil
21.00
Hutahaean
Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, Linear analysis of a new type of extended Boussinesq
model. Coastal Engineering.
Hutahaean, S., 2005, Model Difraksi dengan
Persamaan Gelombang Airy yang Disempurnakan, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Hutahaean, S., 2007a, Pemodelan Dinamika Gelombang
dengan
Mengerjakan
Persamaan
Kekekalan Energi, Jurnal Teknik Sipil, Volume
14, No. 1, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Hutahaean, S., 2007b, Model Refraksi Gelombang
dengan Menggunakan Persamaan Gelombang
Nonlinier,
Jurnal
Infrastruktur
dan
Lingkungan Binaan, Volume III, No. 2,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Hutahaean, S., 2008, Momentum Equilibrium Application in Airy’s Long Wave Equation, Jurnal
Infratsruktur dan Lingkungan Binaan, Volume
IV, No.1, Fakultas Teknik Sipil dan
Lingkungan, ITB, Volume 15 No.1, 2008..
Vol. 17 No. 1 April 2010
79
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
80
Jurnal Teknik Sipil
ISSN 0853-2982
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Catatan Teknik (Technical Notes)
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
Syawaluddin Hutahaean
Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung,
Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: [email protected]
Abstrak
Paper ini mempresentasikan penyelesaian pesamaan vibrasi secara numeris dengan menggunakan integrasi
numeris metoda Newton-Cote. Eksekusi model selama sepuluh kali period gelombang memberikan solusi yang
sangat stabil.
Kata-kata Kunci: Polinomial lagrange, integrasi numeris.
Abstract
This paper presents a numerical method for solving vibration equation using Newton-Cote’s numerical integration. Model execution during ten times of vibration period gives a very stabile solution.
Keywords: Lagrangian polynomial, numerical integration.
1. Pendahuluan
Li (x) =
Penyelesaian persamaan vibrasi dengan metoda
integrasi telah lama dikenal, yaitu antara lain metoda
Wilson-q dan Newmark-b, (Bathe, 1982). Penyelesaian diferensial waktu orde satu dengan metoda integrasi juga telah banyak digunakan, yaitu dikerjakan
pada penyelesaian persamaan gelombang nonlinier
dari Boussinesq, Liu (1999), (Meftah, 2004).
(Hutahaean, 2005, 2007a, 2007b, 2008) menyelesaikan persamaan gelombang panjang Airy dengan
metoda integrasi dengan menggunakan integrasi
numeris dari Newton-Cote.
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )............................(x − xn )
(xi − x1 )(xi − x2 )(xi − x3 )........................(xi − xn )
atau:
n
Li ( x) = ∏
j =1
Pendekatan fungsi f(x) dengan polinomial Lagrange
adalah, Arden (1970),
L1 ( x) =
n
∑ L (x) f
i =1
i
i
(1)
dimana
Li(x) = polinomial Lagrange pada titik i
fi
= harga fungsi pada titik i
n
= jumlah titik polinomial
Bentuk umum polinomial Lagrange adalah, Arden
(1970),
j
2
3
f ( x) = L1 ( x) f1 + L2 ( x) f 2 + L3 ( x) f 3
dimana:
i
Gambar 1. Pendekatan dengan 3 titik polinomial
2. Polinomial Lagrange
f (x) =
j
Apabila pada suatu domain 0 < x < L didekati dengan
3 titik polinomial Gambar 1, maka bentuk
pendekatannya adalah
1
Pada penelitian ini dikerjakan integrasi numeris dari
Newton-Cote pada persamaan vibrasi yang merupakan diferensial waktu orde 2.
(x − x ) ,
(x − x ) j ≠ i
(x - x2 )(x - x3 )
(x1 - x2 )(x1 - x3 )
(x - x1 )(x - x3 )
L2 ( x ) =
(x2 - x1 )(x2 - x3 )
(x - x1 )(x - x2 )
L3 ( x) =
(x3 - x1 )(x3 - x2 )
pada x = x1, L1 (x1) = 1, L2 (x1) = 0, L3 (x1) = 0, maka
f(x1) = L1 (x1) f1 + L2 (x1) f2 + L3 (x1) f3 = f1
Vol. 17 No. 1 April 2010
73
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
pada x = x2, L1 (x2) = 1, L2 (x2) = 0, L3 (x2) = 0, maka
L2(x) =
f(x2) = L1 (x2) f1 + L2 (x2) f2 + L3 (x2) f3 = f2
pada x = x3, L1 (x3) = 1, L2 (x3) = 0, L3 (x3) = 0, maka
L3(x) =
f(x3) = L1 (x3) f1 + L2 (x3) f2 + L3 (x3) f3 = f3
(x - x3 )(x - x5 )
(x4 - x3 )(x4 - x5 )
(x - x3 )(x - x4 )
(x5 - x3 )(x5 - x4 )
Jadi pendekatan fungsi dengan polinomial Lagrange
adalah exact pada titik-titik polinomial dimana
Pada sub-domain
f(x1) = f1, f(x2) = f2, f(x3) = f3
(x - x6 )(x - x7 )
(x5 - x6 )(x5 - x7 )
(x - x5 )(x - x7 )
L2 ( x) =
(x6 - x5 )(x6 - x7)
(x - x5 )(x - x6 )
L3 ( x) =
(x7 - x5 )(x7 - x6 )
Pendekatan fungsi f(x) dengan polinomial Lagrange
dapat saja dilakukan pendekatan langsung yaitu pada
seluruh domain langsung digunakan n titik polinomial.
Tetapi pendekatan seperti ini akan terbentuk polinomial dengan pangkat tinggi pada x yaitu xn-1, dimana
semakin besar n, akan semakin besar derajat polinomialnya dan sering terjadi malah mengurangi ketelitian.
Metoda pendekatan yang termudah adalah dengan
membagi-bagi daerah perhitungan dalam sejumlah sub
-domain, selanjutnya pendekatan polinomial dilakukan
pada masing-masing sub-domain.
3
f ( x) = L1 ( x) f 5 + L2 ( x) f 6 + L3 ( x) f 7
L1 ( x) =
Untuk selanjutnya, yang dimaksudkan dengan
pendekatan polinomial Lagrange adalah pendekatan
pada sub-domain.
3. Integrasi Numeris
Newton-Cote
a. domain perhitungan
dengan
Metoda
b. pembagian domain dalam sejumlah sub-domain
Untuk
Dengan menggunakan polinomial Lagrange dapat
dengan mudah dilakukan integrasi suatu fungsi, yaitu
domain
c. pendekatan dilakukan pada sub-domain
dengan sejumlah titikpolinomial
n
f (x) = ∑ Li (x) f i
i =1
Gambar 2. Pendekatan polinomial dengan subdomain
b
yang dibagi dalam 3 sub domain dan pada sub domain
digunakan 3 titik polinomial,
∫
n
f(x) dx = ∑
i =1
a
∫ L (x) f
i
i
dx
(2)
Untuk pendekatan 3 titik polinomial
2
1
3
b
1
2
Pada sub-domain
3
4
5
6
7
∫
a
b
b
b
a
a
a
f(x)dx = ∫ L1 (x) dx f 1 + ∫ L2 (x) dx f 2 + ∫ L3 (x) dx f 3
(3)
1
f(x) = L1(x) f1 + L2(x) f2 + L3(x) f3
mengingat Li (x) adalah suatu polinomial, maka
integrasi dapat dengan mudah dilakukan.
(x1 - x 2 )(x1 - x3 )
( x - x1 )( x - x3 )
L2(x) =
(x2 - x1 )(x2 - x3 )
(x - x1 )( x - x 2 )
L3(x) =
(x3 - x1 )(x3 - x 2 )
3.1 Koefisien integrasi
L1(x) =
( x - x 2 )(x - x3 )
Pada sub-domain
2
f(x) = L1(x) f3 + L2(x) f4 + L3(x) f5
L1(x) =
74
(x - x4 )(x - x5 )
(x3 - x4 )(x3 - x5 )
Jurnal Teknik Sipil
Pada Persamaan (3) terlihat bahwa dengan interval
integrasi yang konstan, maka didapat hasil integrasi Li
(x) yang konstan juga. Jadi untuk harga a dan b yang
tetap, maka bila
b
∫
L1(x)dx = c1 ,
a
b
b
a
a
∫ L2 (x) dx = c2 dan ∫ L3(x)dx= c3
maka
b
∫ L (x) dx = c
1
a
1
f 1 + c 2 f 2 + c3 f 3
Hutahaean
c1, c2 dan c3 disebut dengan koefisien integrasi.
Telah diketahui bahwa suatu fungsi f(x) pada domain
a ≤ x ≤ b untuk setiap harga a dan b, dapat
ditransformasikan menjadi suatu fungsi g(ξ) pada
domain -1 ≤ ξ ≤ 1. Jadi bila didapatkan harga-harga
koefisien integrasi pada domain ξ, maka integrasi
akan dapat dilakukan dengan menggunakan koefisien
integrasi tersebut tanpa harus melakukan integrasi
polinomial Lagrange lagi, dimana metoda integrasi ini
disebut dengan.metoda Newton-Cote.
Untuk x yang konstan, fungsi transformasi dari x ke
ξ dapat digunakan persamaan transformasi yang
sederhana, yaitu
x=p +q
Pada = -1, x = a ; dan pada = 1, x = b, sehingga diperoleh dua persamaan yaitu
a=-p+q
b=p+q
a+b
Dari ke 2 persamaan tersebut diperoleh q =
2
b−a
sehingga persamaan transformasi menjadi
dan p=
2
x=
b − a
dx
dξ
dx =
2
=
a + b
+
∫
a
a
1
dimana ci =
Pada bagian berikut akan dihitung koefisien integrasi
untuk sejumlah konfigurasi titik integrasi dengan mengintegrasikan polynomial Lagrange.
Integrasi dengan 3 titik polinomial
Pada skema ini interval garis a-b dibagi dalam 2 interval, yaitu seperti terlihat pada Gambar (3). Untuk
pendekatan dengan 3 titik polinomial, maka
f(x) dx =
a
d
2
b-a
f(x) dx = ∫ g( ξ )
dξ
2
-1
n
∑
i =1
Integrasi menjadi,
a−b
2
b
‐1
0
1
ξ1
ξ2
ξ3
a
ξ
Li ( ξ ) g i , dimana g i = f i
b
∫
Gambar 3. Integrasi dengan 3 titik polinomial
f(x) dx =
a
b - a
2
1
n
∫ ∑ L (ξ )g dξ =
i
-1 i =1
i
⎞
b−a ⎛
⎜ ∫ Li (ξ ) f i dξ ⎟
∑
⎜
⎟
2 i =1 ⎝ −1
⎠
n
1
b
∫ f(x) dx
1
⎛1
⎜ ∫ L1 ( ξ ) dξ f 1 + ∫ L2 ( ξ ) dξ f 2
⎜
-1
⎝ -1
1
⎞
+ ∫ L3 ( ξ ) dξ f 3 ⎟⎟
-1
⎠
b-a
2
x
1
i
yang berharga konstan mengingat integrasi selalu
dilakukan pada domain -1 ≤ ξ ≤ 1. Jadi bila diperoleh
harga-harga ci, integrasi akan dapat dilakukan setiap
saat dengan menggunakan Persamaan (4) tanpa harus
mengintegrasikan polynomial Lagrange lagi.
∫
2
∫ L (ξ )dξ
−1
2
b − a
b- a
b−a n
(c1 f1 +c2 f2..........
.....+cn fn ) =
∑ci fi
2
2 i=1
(4)
b − a
dengan g( ξ ) =
=
a
∫ f(x)dx=
b
Dengan persamaan transformasi tersebut, maka
b
b
1
⎞ ⎞
⎛1
⎞
⎞ ⎛1
b- a ⎛⎜⎛
⎜∫Ln(ξ)dξ⎟ fn ⎟
⎜∫L1(ξ)dξ⎟ f1 +⎜∫L2(ξ)dξ⎟ f2..........
+
..
⎟ ⎟
⎜
⎟
⎟ ⎜
2 ⎜⎝⎜⎝−1
⎠ ⎠
⎝−1
⎠
⎠ ⎝−1
Dengan 3 titik polinomial atau titik integrasi tersebut
dimana ξ1 = -1, ξ2 = 0, ξ3 = 1, polinomial Lagrange
akan berbentuk
(ξ − ξ 2 )(ξ − ξ 3 )
1
= − ξ (ξ − 1)
(ξ1 − ξ 2 )(ξ1 − ξ 3 ) 2
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ 3 )
L2 (ξ ) =
= (1 − ξ 2 )
(ξ 2 − ξ1 )(ξ 2 − ξ 3 )
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ 2 ) 1 ( )
= ξ ξ +1
L3 (ξ ) =
(ξ 3 − ξ1 )(ξ 3 − ξ 2 ) 2
L1 (ξ ) =
Vol. 17 No. 1 April 2010
75
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
Dengan demikian diperoleh koefisien integrasi yaitu
Tabel 1. Koefisien integrasi ci pada persamaan
1
1
1
c1 = ∫ L1 ( ξ ) dξ = ∫ − ξ (ξ − 1)dξ =
3
2
−1
-1
1
1
1
(
b
∫
a
)
1
c3 = ∫ L3 ( ξ ) dξ =
-1
1
∫ 2 ξ (ξ + 1)dξ = 3
1
1
c1
1.000000
1/3
0.250000
0.155556
0.131944
0.097619
n
2
3
4
5
6
7
4
c 2 = ∫ L 2 ( ξ ) dξ = ∫ 1 − ξ dξ =
3
−1
-1
2
b-a n
∑ ci f i
2 i =1
f(x) dx =
c2
c3
1.000000
4/3
1/3
0.750000 0.750000
0.711111 0.266667
0.520833 0.347222
0.514286 0.064286
c4
π
−1
Integrasi dengan 4 titik polinomial
ξ
−
1
2
1
1
2
x2 =
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
(ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )(ξ 1 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
L2 (ξ ) =
(ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )(ξ 2 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 4 )
L3 (ξ ) =
(ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )(ξ 3 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )
L4 (ξ ) =
(ξ 4 - ξ 1 )(ξ 4 - ξ 2 )(ξ 4 - ξ 3 )
L1 (ξ ) =
x3 =
π
1
4
π
2
-1
-1
Koefisien integrasi, untuk berbagai titik integrasi
dengan persamaan integrasi
∫
a
2
∑ ci f i , adalah seperti pada tabel
berikut.
76
n
Jurnal Teknik Sipil
i =1
−0
π
2
2
1 ⎞
4 1
⎛1
2 + x1⎟ = 1.00228
⎜ x0 + x
3 ⎠
3 2
⎝3
π
Dimana hasil eksak
2
∫ sin xdx = 1
0
b. dengan 4 titik integrasi
x1 = 0 ;
x2 =
x3 =
x4 =
1
c3 = ∫ L3 ( ξ ) dξ = 0.75 ; c4 = ∫ L4 ( ξ ) dξ = 0.25
f3 = 1
0
-1
1
;
2
∫ sin xdx =
1
-1
f2 =
2
c1 = ∫ L1( ξ ) dξ = 0.25 ; c 2 = ∫ L2 ( ξ ) dξ = 0.75
b - a
b=
1
2
2
;
π
π
Dengan memasukkan harga-harga ξ1 s/d ξ4 seperti
pada Gambar (4) dan dengan mengintegrasikan dari
–1 dan ke 1, maka diperoleh
f(x) dx =
x1 = 0 ; f 1 = 0
b
∫ sin xdx
dalam hal ini f ( x ) = sin x , a = 0 dan
Dengan 4 titik polinomial ini, maka polinomial
Lagrange berbentuk
2
a. dengan 3 titik integrasi
Gambar 4. Integrasi dengan 4 titik polinomial
c7
0
Pada skema ini interval garis a - b dibagi dalam 3
interval, yaitu
‐1
c6
0.250000
0.711111 0.155556
0.347222 0.520833 0.131944
0.647619 0.064286 0.514286 0.097619
Contoh : akan dihitung
c5
π
π
3
π
2
f 2 = 0. 5
;
6
π
f1 = 0
;
f 3 = 0.866025
; f 4 = 1 .0
π
2
2
∫ sin xdx =
0
−0
2
(0.25 x0 + 0.75 x0.5
+ 0.75 x0.866025 + 0.25 x1) = 1.001005
Dari kedua hasil perhitungan tersebut terlihat bahwa
semakin banyak titik integrasi, semakin baik ketelitian. Hal ini dikarenakan semakin banyak titik integrasi semakin kecil dx.
Hutahaean
)
4. Penyelesaian Persamaan Vibrasi
+ 0.25 u t +δt = k
Persamaan vibrasi untuk satu derajad kebebasan,
Bathe (1982), adalah,
d 2u
m
dt
2
+c
du
+ k u = f(t)
dt
(5)
dimana
u
m
c
k
f(t)
=
=
=
=
=
simpangan (Gambar 5)
masa
koefisien redaman (damping)
koefisien kekakuan
gaya luar yang bekerja pada system
∫
f(t) dt
(6)
t − 2δt
⎛ du ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
t +δt
⎛ du ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
t +δt
diselesaikan dengan metoda selisih hingga
dengan skema diferensial ke belakang,
yaitu
u t −δt - 4 u t + 3 u t +δt
2 δt
=
Substitusi persamaan untuk
du t +δt
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
du ⎞
ke Persamaan (6) dan ⎛⎜
⎟
u
f(t)
t +δt
t − 2δt
⎝ dt ⎠
dipindahkan ke ruas kanan
⎛ u t −δt - 4ut + 3 u t +δt
m⎜⎜
2 δt
⎝
(0.25 u
t −2δt
+ 0.25 u
Gambar 5. Sistem SDOF
Persamaan tersebut akan diselesaikan dengan metoda
integrasi dari Newton-Cote, dengan 4 titik integrasi.
Persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu
Persamaan terakhir, dikalikan
diintegrasikan dari t-2 t ke t+ t,
dengan
dt
dan
t +δt
2
Dalam hal ini a = t − 2δt , b = t + δt ,
b − a
2
=
(t + δt ) − (t − 2δt ) = 3δt
2
t +δt
t − 2δt
⎛
⎞
⎛ du ⎞
⎟
⎜ ⎛ du ⎞
m ⎜ ⎟
⎜ ⎝ dt ⎠
⎝
(
-⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
2
⎟
⎠
(
)
+ c u t +δt - u t −2δt +
0.25u t −2δt + 0.75u t −δt + 0.75u t
)
+ 0.75 u t −δt + 0.75 u t
)
⎛ du ⎞
=m⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
t − 2δt
t +δt
+
∫
f(t) dt
t − 2δt
⎛3m
0.75δt 2 k ⎞ t +δt
⎜⎜
⎟⎟ u
+ δt c +
2
2
⎝
⎠
⎛
2.25δt 2 k ⎞ t
⎜
⎟⎟ u
+ ⎜ - 2m+
2
⎝
⎠
⎛ m 2.25δt 2 k ⎞ t −δt
⎟⎟ u
+ ⎜⎜ +
2
2
⎠
⎝
t
⎛
0.75δt 2 k ⎞ t −2δt
= tm
⎟⎟ u
+ ⎜⎜ - δt c +
2
⎠
⎝
⎛ du ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
2
(
Persamaan dikalikan dengan t dan dikelompokkan
suku-suku yang mengandung u dengan referens waktu
yang sama.
Suku ke 1 dan ke 2 ruas kiri persamaan diselesaikan
secara analitik, sedangkan suku ke 3 diselesaikan
secara numeris.
2
⎞
3 δt k
⎟⎟ + c u t +δt - u t −2δt +
2
⎠
t −2δt
+ δt
t +δt
∫δ f(t) dt
t −2 t
Persamaan terakhir dapat ditulis ringkas
kef ut+ t = fef
0.75δt 2 k
3m
+ δt c +
2
2
2
kef =
3 δt k
2
f ef = −a1u − a2u
t
t −δt
⎛ du ⎞
+ δtm⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
(7)
t −2δt
+ δt
t +δt
∫ f (t )dt
t −2δt
(8)
Vol. 17 No. 1 April 2010
77
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
2.25δt 2 k
2
m 2.25δt 2 k
a2 =
+
2
2
⎛
0.75δt 2 k ⎞
⎟⎟
a3 = ⎜⎜ - δt c +
2
⎠
⎝
a1 = − 2m +
du t − 2δt
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
=
5. Kesimpulan
(9)
1. Seperti terlihat pada Gambar 6, eksekusi model
pada jangka waktu 10x perioda eksitasi solusi
model adalah stabil.
(10)
2. Adapun ketelitian dari metoda ini adalah ditentukan oleh ketelitian dari metoda integrasi dari
Newton-Cote, dimana pada contoh integrasi fungsi
sinusoidal metoda memberikan hasil yang baik.
Hutahaean, (2005, 2007a, 2007b, 2008), menggunakan metoda integrasi dari Newton-Cote pada
pemodelan transformasi gelombang, yang juga
memberikan hasil yang baik.
(11)
u t −δt - u t −3δt
2 δt
t +δt
∫
f(t) dt
t − 2δt
3. Ketelitian berikutnya adalah ditentukan oleh
metoda selisih hingga yang digunakan, dimana
pada penelitian ini digunakan ketelitian metoda
selisih hingga dengan tingkat ketelitian O(d)2 baik
pada skema central-difference maupun pada backward-difference.
tergantung dari bentuknya. Dalam hal f(t) merupakan
fungsi yang diketahui bentuknya, maka misal f(t) =
Asin ωt, maka dapat diselesaikan secara analitik.
Sedangkan bila f(t) berupa data series, maka integrasi
dilakukan secara numerik.
4. Secara umum metoda yang dikembangkan cukup
mempunyai prospek yang baik, baik untuk diteliti
lebih lanjut maupun untuk diaplikasikan pada
suatu analisis vibrasi.
Contoh :
Model dieksekusi dengan data :
m = 2.0, c = 11.5, k = 30.0, f (t )
⎛ 2π ⎞
= 2.0 sin⎜
t⎟
⎝ 2.1 ⎠
Daftar Pustaka
Arden, B.W. and Astill, K.N., 1970, Numerical Algorithm: Origins and Applications. AddisonWesley Publishing Company, Inc.
Perhitungan dilakukan dengan δt = 0.07 dt. Hasil
eksekusi adalah disajikan pada gambar grafik
simpangan u terhadap waktu t, seperti pada Gambar
(4.2).
Li, Y. S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z., 1999,
Numerical modeling of Boussinesq equations
by finite element method Journal Coastal
Engineering, Elsevier.
0.1
0.08
simpangan u (m)
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
13.00
15.00
17.00
19.00
waktu t (detik)
Gambar 6. Grafik simpangan (u) terhadap waktu (t), hasil model
78
Jurnal Teknik Sipil
21.00
Hutahaean
Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, Linear analysis of a new type of extended Boussinesq
model. Coastal Engineering.
Hutahaean, S., 2005, Model Difraksi dengan
Persamaan Gelombang Airy yang Disempurnakan, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Hutahaean, S., 2007a, Pemodelan Dinamika Gelombang
dengan
Mengerjakan
Persamaan
Kekekalan Energi, Jurnal Teknik Sipil, Volume
14, No. 1, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Hutahaean, S., 2007b, Model Refraksi Gelombang
dengan Menggunakan Persamaan Gelombang
Nonlinier,
Jurnal
Infrastruktur
dan
Lingkungan Binaan, Volume III, No. 2,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.
Hutahaean, S., 2008, Momentum Equilibrium Application in Airy’s Long Wave Equation, Jurnal
Infratsruktur dan Lingkungan Binaan, Volume
IV, No.1, Fakultas Teknik Sipil dan
Lingkungan, ITB, Volume 15 No.1, 2008..
Vol. 17 No. 1 April 2010
79
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
80
Jurnal Teknik Sipil