MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI KELOMPOK 8.do
MAKALAH
MASALAH OPTIMISASI
Di susun untuk memenuhii tugas Mata Kuliah
Matematika Ekonomi
KELOMPOK VIII (Kelas A2):
Sahriani
Latifa
M. Panji Purnomo
Rifkah Chaerunnisa
Program Studi Pendidikan Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2017
PENDAHULUAN
Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya sumber
daya, telah menyebabkan individu dan masyarakat terpaksa untuk memilih
kebutuhan yang menjadi prioritas pertama. Sebagai manusia ekonomi, individu
dan masyarakat berusaha untuk memenuhi kebutuhannya secara optimal
berdasarkan sumber daya yang dimilikinya. Rumah tangga pengkonsumsi
mendorong kekuatan permintaan, dan perusahaan-perusahaan yang mendorong
kekuatan penawaran, masing-masing berusaha untuk menempati posisi yang
optimal dalam suatu kondisi tertentu.
Dalam ekonomi manajerial, pilihan yang optimal merupakan solusi yang
efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna). Efektif jika tingkat output
produksi mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan pada tingkat penggunaan
input yang telah ditetapkan. Efisien ketika tingkat output produksi telah mencapai
tingkat yang maksimal dan dengan penggunaan input yang minimal.
Terminologi optimalisasi ekonomi adalah maksimalisasi output dan
minimalisasi input. Pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil
guna) dan efektif (berdaya guna) merupakan hasil akhir dari pengambilan
keputusan. Sehingga dalam bagian ini, perhatian utama adalah terpusat pada
teknik untuk menentukan
posisi-posisi optimum
menggunakan Kalkulus Diferensial.
yaitu teknik-teknik yang
PEMBAHASAN
A. Nilai Optimum dan Nilai Ekstrim
Ilmu ekonomi adalah ilmu untuk memilih. Bila suatu proyek ekonomi harus
diselesaikan, maka biasanya ada sejumlah cara alternatif untuk mencapainya.
Akan tetapi, beberapa alternatif tersebut lebih baik daripada yang lain ditinjau
dari segi kriteria dan inti dari optimisasi adalah memilih alternatif terbaik
berdasarkan kriteria tertentu yang tersedia.
Kriteria untuk memilih alternatif-alternatif ekonomi adalah tujuan untuk
memaksimumkan sesuatu atau meminimumkan sesuatu. Secara ekonomi,
istilah maksimisasi dan minimisasi dapat dikategorikan dengan istilah umum
optimisasi yang berarti “mencari yang terbaik”. Tetapi dari sudut matematika
murni,istilah maksimum dan minimum tidak memiliki kaitan dengan
optimilitas. Oleh karena itu istilah kolektif untuk maksimum dan minimum
sebagai konsep matematik adalah ekstremum yang berarti nilai ekstrem.
Dalam memformulasikan persoalan optimisasi, tugas pertama bagi dunia
usaha adalah menggambarkan secara rinci fungsi tujuan dimana variabel takbebas mewakili objek maksimisasi atau minimisasi dan himpunan variabel
bebas mengindikasikan objek-objek yang besarnya dapat diambil serta dipilih
oleh unit ekonomi itu, dengan tujuan optimisasi. Variabel bebas biasa juga
disebut variabel-variabel pilihan atau variabel keputusan/kebijakan. Esensi dari
proses optimisasi adalah memperoleh himpunan nilai-nilai variabel pilihan
yang akan memberikan ekstrem yang diinginkan dari fungsi tujuan.
Sebagai contoh, sebuah perusahaan ingin memaksimumkan laba π , yaitu
memaksimumkan perbedaan antara pendapatan total R dan biaya total C.
Karena dalam kerangka kerja dari suatu teknologi tertentu dan permintaan
pasar tertentu untuk produk perusahaan tersebut, R dan C adalah dua fungsi
dari tingkat output Q, yang berarti bahwa π juga dapat dinyatakan sebagai
fungsi Q:
π ( Q ) =R ( Q ) −C (Q)
Persamaan ini merupakan fungsi tujuan yang relevan dengan π sebagai objek
maksimisasi dan Q sebagai (satu-satunya)variabel pilihan. Persoalan optimisasi
adalah pemilihan tingkat Q yang akan memaksimumkan π . Perhatikan bahwa
tingkat optimal dari π menurut definisi adalah tingkat maksimal, tetapi tingkat
optimal dari variabel Q sendiri tak perlu maksimum dan minimum.
B. Maksimum dan Minimum Relatif: Uji Derivatif-Pertama
1. Ekstrem Relatif vs Absolut
Jika fungsi tujuan merupakan fungsi konstan seperti pada gambar 9.1a,
maka semua nilai dari variabel pilihan x akan menghasilkan nilai y yang
sama dan tinggi pada setiap titik pada grafik tersebut dapat dipandang
sebagai maksimum, atau mungkin juga minimum – atau bisa tidak keduaduanya. Dalam kasus ini, tidak ada pengaruh yang signifikan dalam memilih
nilai x untuk memaksimumkan atau meminimumkan nilai y.
Dalam gambar 9.1b fungsi ini naik sempurna dan tidak ada maksimum
terhingga bila domainnya adalah himpunan bilangan real nonnegatif.
Namun titik akhir D disebelah kiri (yang berpotongan dengan y ) sebagai
suatu minimum; kenyataannya dalam kasus ini titik tersebut merupakan
minim absolut (minimum global) dalam rentang fungsi ini.
Di sisi lain, titik E dan F dalam gambar 9.1c merupakan contoh dari
ekstrem relatif (ekstrem lokal), dalam arti setiap titik menggambarkan
ekstrem hanya didaerah yang berdekatan dengan titik itu saja. Tentu saja,
kenyataan bahwa titik F merupakan minimum relatif tidak menjamin bahwa
titik tersebut merupakan minimum relatif dari fungsi, meskipun dalam kasus
ini hal tersebut bisa saja terjadi. Demikian juga, titik maksimum relatif
seperti E mungkin merupakan maksimum global, mungkin juga tidak. Suatu
fungsi dapat mempunyai beberapa ekstrem relatif yang sebagian mungkin
maksimum dan sebagian lainnya minimum.
Dalam memecahkan sebagian besar masalah ekonomi, yang perlu
diperhatikan adalah nilai ekstrem buka nilai titik-akhir (end-point), karena
untuk sebagian besar masalah tersebut, domain fungsi tujuan dibatasi pada
himpunan bilangan real nonnegatif, sedangkan titik akhir (yang terletak
disebelah kiri) menggambarkan nilai nol dari variabel pilihan yang biasanya
tidak penting dalam praktek. Untuk menentukan maksimum absolut jika
semua maksimum relatif diketahui, maka cukup dengan memilih nilai
maksimum relatif yang terbesar dan membandingkannya dengan titik akhir.
Minimum absolut dari suatu fungsi juga dapat ditentukan dengan cara yang
sama.
2. Uji Derivatif Pertama
Jika diketahui fungsi y=f ( x ), maka derivatif pertama (derivatif ordepertama) f ' (x) memegang peranan yang besar dalam mencari nilai
ekstremnya. Hal ini disebabkan oleh fakta bila ekstrem relatif dari fungsi
'
'
berada x=x 0 ,maka f ( x 0 ) tidak ada atau f ( x 0 ) =0. Kemungkinan yang
pertama ditunjukkan pada grafik 9.2a dimana baik titik A maupun B
menggambarkan nilai ekstrem relatif dari y, tetapi belum ada derivatif yang
didefinisikan pada titik-titik tajam ini. Akan tetapi, karena fungsi y=f ( x )
kontinu dan mempunyai derivatif yang kontinu, sebenarnya titik-titik tajam
tersebut telah dikesampingkan. Untuk fungsi halus, nilai-nilai ekstrem
relatif dapat terjadi hanya bila derivatif pertama nilainya nol. Hal ini
ditunjukkan oleh titik C dan D dalam gambar 9.2b dimana keduanya
menggambarkan nilai-nilai ekstrem dan keduanya dicirikan dengan
'
'
kemiringan (slope) nol- f ( x 1 ) =0 dan f ( x 2 )=0.Jika kemiringannya tidak nol,
maka fungsi halus tersebut tidak memiliki minimum relatif (di dasar
lembah) dan maksimum relatif
(di puncak bukit). Sehingga dapat
'
disimpulkan bahwa f ( x )=0sebagai syarat perlu untuk ektrem relatif.
Namun perlu ditambhakan bahwa kemiringan nol meskipun merupakan
syarat perlu, tetapi tidak mencukupi untuk menetapkan ekstrem relatif. Akan
tetapi dengan menambahkan kondisi tertentu untuk syarat kemiringan nol
maka dapat diperoleh suatu uji penentu untuk ekstrem relatif.
'
Jika derivatif pertama dari suatu fungsi f ( x ) pada x=x 0 adalah f ( x 0 ) =0,
'
maka nilai fungsi pada x 0 , f ( x 0 ) akan merupakan:
'
a. Maksimum relatif jika derivatif f ( x ) berubah tanda dari positif
menjadi negatif dari sebelah kiri titik x 0 ke sebelah kanannya.
'
b. Minimum relatif jika f ( x ) berubah tanda dari negatif ke positif dari
sebelah kiri x 0 ke sebelah kanannya.
c. Tidak maksimum relatif maupun minimum relatif jika
f '( x)
mempunyai tanda yang sama baik disebelah kiri maupun di sebelah
kanan titik x 0 .
'
Nilai x 0disebut sebagai nilai kritis dari x bila f ( x 0 ) =0, dan f ( x 0 )disebut
nilai stasioner dari y (atau dari fungsi f). Dengan demikian, titik dengan
koordinat x 0 dan f ( x 0 ) dapat disebut sebagai titik stasioner. Sehingga bila
'
syarat perlu f ( x )=0terpenuhi, maka perubahan tanda derivatif untuk
sementara dapat berperan sebagai syarat cukup bagi maksimum atau
minimum relatif, tergantung pada arah perubahan tandanya.
Suatu ekstrem relatif harus merupakan nilai stasioner, tetapi nilai
stasioner mungkin merupakan ekstrem relatif atau titik belok. Oleh karena
itu, untuk mendapatkan makimum atau minimu relatif dari fungsi tertentu,
maka langkah pertamanya adalah menentukan nilai stasioner dari fungsi
'
tersebut dimana syarat f ( x )=0terpenuhi dan kemudian mnggunakan uji
derivatif pertama untuk menentukan apakah setiap nilai stasioner tersebut
merupakan maksimum relatif, minimum relatif, atau bukan kedua-duanya.
Contoh 1
Tentukan ektrem relatif dari fungsi
y=f ( x ) =x 3−12 x 2+36 x +8
Jawab
Pertama, tentukan fungsi derivatifnya yaitu:
f ' ( x )=3 x 2−24 x+36
Untuk memperoleh nilai kritis, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi syarat
f ' ( x )=0,maka:
3 x 2−24 x +36=0
Dengan mencari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, maka
diperoleh:
x 1=6 → f ' ( 6 ) =0 dan f ( 6 ) =8
x 2=2 → f ' ( 2 ) =0 dan f ( 2 ) =40
Sehingga dapat disimpulkan bahwa 2 dan 6 merupakan nilai kritis dari
3
2
fungsi f ( x ) =x −12 x +36 x +8.
Contoh 2
Carilah ekstrem relatif dari fungsi biaya rata-rata
AC=f ( Q )=Q 2−5 Q+ 8
Jawab
'
f (Q)=2Q−5 merupakan suatu fungsi linear. Dengan menetapkan f ' ( Q ) =0,
5
sehingga diperoleh 2 Q−5=0 yang mempunyai satu akar yaitu Q= 2 .
Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai stasioner AC=f ( 2,5 ) =1,75 yang
menggambarkan minimum relatif
C. Derivatif Kedua dan Derivatif yang Lebih Tinggi
1. Derivatif dari suatu derivatif
'
'
Karena derivatif pertama f ( x) adalah suatu fungsi dari x, maka f ( x)
dapat diturunkan (didiferensiasikan) terhadap x, asalkan merupakan fungsi
yang kontinu dan halus. Hasil diferensiasi ini yang kemudian dikenal
''
sebagai derivatif kedua dari fungsi f yang biasa disimbolkan dengan f (x )
d2 y
''
atau
. Jika derivatif kedua f (x ) untuk semua nilai xdalam domain
d x2
tersebut bisa ditentukan, maka f (x) disebut sebagai dapat didiferensiasikan
''
dua kali; selanjutnya jika f (x ) kontinu maka fungsi f (x) disebut sebagai
dapat didiferensiasikan dua kali dengan kontinu. Seperti halnya notasi
f ∈ C( 1 ) atau f ∈C ' sering digunakan untuk menunjukkan bahwa fungsi f
dpat didiferensiasikan secara kontinu, notasi serupa f ∈ C( 2 ) atau f ∈C ' '
dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa f dapat didiferensiasikan dua
kali secara kontinu. Sebagai fungsi dari x, derivatif kedua kembali dapat
didiferensiasikan terhadap x untuk mendapatkan derivatif ketiga, dan
seterusnya sampai tak berhingga asalkan syarat-syarat diferensiabilitas
terpenuhi. Derivatif-derivatif orde yang lebih tinggi ini dilambangkan
''
(4 )
( n)
dengan cara yang sama seperti derivatif kedua yaitu f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x )
d3 y d4 y
dn y
,
,…
,
.
d x3 d x4
d xn
2. Interpretasi derivatif kedua
'
Fungsi derivatif f ( x) mengukur tingkat perubahan fungsi f. Begitu juga
''
fungsi derivatif kedua f ( x ) adalah ukuran tingkat perubahan derivatif
'
pertama f ( x) atau dengan kata lain derivatif kedua mengukur tingkat
perubahan dari tingkat perubahan fungsi f semula. Dengan kata lain, dengan
peningkatan yang kecil sekali (infinitesimal) pada variabel bebas x dari titik
x=x 0 , f ' ( x0 ) >0 berarti nilai fungsi cenderung untuk naik dan f ' ( x 0 ) < 0
berarti nilai fungsi cenderung untuk turun. Sedangkan dalam hal derivatif
''
''
keduaf ( x ) >0 artinya kemiringan kurva cenderung untuk naik dan f ( x ) 0. Sehingga
batasannya menjadi:
a , c , d> 0, b x0 (lihat Gambar 9.10). Akibatnya, ekspresi
'
( x−x 0 ) akan berubah dari negatif ke positif, dan f ( x ) −f ( x 0 )=f ( p ) ( x−x 0 )
jugaberubah tandanyadari sebelah kiri x 0ke sebelah kanan. Tetapi ini
menyalahi definisi kita yang baru mengenai ekstrem relatif; dengan
'
demikian, tidak akan ada ekstrem relatif di f (x 0) bila f ( x 0 ) ≠ 0 – hal ini
telah kita ketahui.
b. Kasus 2
f ' ( x 0 ) =0 ; f ' ' ( x 0 ) ≠ 0
Dalam kasus ini, kita pilih n = 1, sehingga sisa akan ada dalam derajat
kedua. Pada awalnya akan ada n + 1 = 2 sukudi sebelah kanan. Tetapi
'
salah satu suku akan hilang karena f ( x 0 )=0 , dan sekali lagi kita akan
mempunyai hanya satu suku untuk dinilai :
f''( p)
f ( x ) −f ( x 0 )=f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ) + 2 ! ( x −x0 )2
1
¿ f ' ' ( p ) ( x−x 0 )2 [karena f ' ( x 0 ) =0]
2
''
Seperti sebelumnya, f ( p ) akan mempunyai tanda yang sama seperti
f ' ' ( x 0 ) , yaitu tanda tertentu da tidak berubah; sedangkan bagian ( x−x 0 )2,
karena suatu kuadrat, akan tetap positif. Jadi ekspresi f ( x ) −f (x 0) akan
''
mempunyai tanda yanng sama seperti f ( x 0 ) dan. Sesuai dengan definisi
ekstrem relatif sebelumnya, akan menentukan
Suatu maksimum relatif dari f (x) bila f ' ' ( x 0)< 0
Suatu minimum relatif dari f ( x) bila f ' ' ( x 0)> 0
[dengan f’(x ) = 0]
Anda akan mengetahuibahwa hal ini merupakan uji derivatif kedua
yang diperkenalkan sebelumnya.
c. Kasus 3
0
f ' ( x 0 )=f ' ' ( x 0 ) =0,tetapi f ' ' ' (x 0 )≠ 0
Disini kita berhadapan dengan situasi dimana uji derivatif kedua tidak
berlaku, karena f ' ' ( x 0) sekarang sama dengan nol. Tetapi dengan bantua
deret Taylor, hasilnya dapat dipecahkan tanpa kesulitan.
Misalkan kira misalkan n = 2; jadi tiga suku pada mulanya akan ada di
sebelah kanan. Tetapi dia di antarana akan hilang karenaf ' (x 0) =f ' ' ( x 0)
= 0, sehingga kita sekali hanya mempunyai satu suku untuk dinilai:
1
1
f ( x ) −f '' ( x 0 )=f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ) + f '' ( x 0 ) ( x −x0 )2 + f '' ' ( p ) ( x−x 0 )3❑
2!
3!
1
¿ f '' ' ( p ) ( x−x 0 )3❑ [karena f ' ( x 0)= 0, f ' ' ( x 0 )=0]
3!
Seperti sebelumnya, tanda f ' ' ' ( p) identik dengan tanda f ' ' ' ( x 0)
karena adanya kontinuitas derivatif dan karenap sangat dekat dengan x 0.
3
Tetapi ( x−x 0 ) mempunyai tanda yang berubah-ubah. Secara khusus,
3
karena ( x−x 0 ) negatif di sebelah kiri x 0, maka ( x−x 0 ) juga negatif; bila
3
di sebelah kanan x 0, ( x−x 0 ) akan positif. Jadi ada perubahan tanda
f ( x ) −f ¿ ) bila kita melewati x 0, yang menyalahi definisi ekstrem relatif.
'
Akan tetapi, kitabtahu bahwa x 0 adalah nilai kritis [ f ( x 0 ) =1], dan dengan
demikian harus merupakan titik belok (inflection point) sepanjang hal ini
tidak menghasilkan ekstrem relatif.
d. Kasus 4
(N )
f ' ( x 0 )=f '' ( x 0 )=…=f (N−1) ¿) = 0, tetapi f ( x 0 ) ≠0
Ini merupakan kasus yang sangat umum, dan oleh karena itu kita
dapat memperoleh hasil umum darinya. Perhatikan bahwa di sini semua
nilai derivatif adalah nol sampai kita tiba pada derivatif ke-N.
Sesuai dengan tiga kasus sebelumnya, deret Taylor untuk Kasus 4
akan berkurang menjadi
1 (N )
f ( x ) −f ( x 0 )=
f ( p)( x−x 0) N
N!
(N )
(N )
Sekali lagi, f ( p ) mempunyai tanda yang sama seperti f ( x 0 ) , yang
N
tidak berubah. Di lain pihak, tanda ( x−x 0 ) akan berubah bila Nganjil
(seperti Kasus 1 dan 3) dan akan tetap (positif) bila Ngenap (seperti
Kasus 2). Bila N ganjil, maka f ( x ) −f (x 0) akan berubah tandanya begitu
kita lewati titik x 0 , sehingga menyalahi definisi ekstrem relatif (yang
berarti bahwa x 0harus merupakan titik belok kurva). Tetapi bila N adalah
genap, f ( x ) −f (x 0) tidak akan berubah tandanya dari sebelah kiri x 0 ke
sebelah kanannya, dan ini akan memberikan nilai stasioner f( x 0 ¿ sebagai
(N )
suatu maksimum atau minimum relatif, tergantung pada apakah f ( x 0 )
adalah negatif atau positif.
3. Uji derivatif ke-n
'
Jika derivatif pertama dari fungsi f (x) di x 0 adalah f ( x 0 ) =0 dan jika
nilai derivatif bukan nol pertama di x 0 yang dijumpai pada derivatif yang
(N )
berurutan adalah nilai derivatif ke-N , f ( x 0 ) ≠0 , maka nilai stasioner f (x 0)
akan menjadi
(N )
a.
Maksimum relatif bila N bilangan genap dan f ( x 0 ) < 0.
(N )
b.
Minimum relatif bila N bilangan genap tetapi f ( x 0 ) > 0.
c.
Titik belok bila N ganjil.
Jadi jelas dari pernyataan di atas bahwa uji derivatif ke-N dapat bekerja
jika dan hanya jika fungsi f (x), cepat atau lambat, dapat menghasilkan nilai
derivatif bukan nol di nilai kritis x 0. Meskipun ada fungsi-fungsi dalam
pengecualian gagal memenuhi syarat ini, sebagian
MASALAH OPTIMISASI
Di susun untuk memenuhii tugas Mata Kuliah
Matematika Ekonomi
KELOMPOK VIII (Kelas A2):
Sahriani
Latifa
M. Panji Purnomo
Rifkah Chaerunnisa
Program Studi Pendidikan Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2017
PENDAHULUAN
Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya sumber
daya, telah menyebabkan individu dan masyarakat terpaksa untuk memilih
kebutuhan yang menjadi prioritas pertama. Sebagai manusia ekonomi, individu
dan masyarakat berusaha untuk memenuhi kebutuhannya secara optimal
berdasarkan sumber daya yang dimilikinya. Rumah tangga pengkonsumsi
mendorong kekuatan permintaan, dan perusahaan-perusahaan yang mendorong
kekuatan penawaran, masing-masing berusaha untuk menempati posisi yang
optimal dalam suatu kondisi tertentu.
Dalam ekonomi manajerial, pilihan yang optimal merupakan solusi yang
efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna). Efektif jika tingkat output
produksi mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan pada tingkat penggunaan
input yang telah ditetapkan. Efisien ketika tingkat output produksi telah mencapai
tingkat yang maksimal dan dengan penggunaan input yang minimal.
Terminologi optimalisasi ekonomi adalah maksimalisasi output dan
minimalisasi input. Pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil
guna) dan efektif (berdaya guna) merupakan hasil akhir dari pengambilan
keputusan. Sehingga dalam bagian ini, perhatian utama adalah terpusat pada
teknik untuk menentukan
posisi-posisi optimum
menggunakan Kalkulus Diferensial.
yaitu teknik-teknik yang
PEMBAHASAN
A. Nilai Optimum dan Nilai Ekstrim
Ilmu ekonomi adalah ilmu untuk memilih. Bila suatu proyek ekonomi harus
diselesaikan, maka biasanya ada sejumlah cara alternatif untuk mencapainya.
Akan tetapi, beberapa alternatif tersebut lebih baik daripada yang lain ditinjau
dari segi kriteria dan inti dari optimisasi adalah memilih alternatif terbaik
berdasarkan kriteria tertentu yang tersedia.
Kriteria untuk memilih alternatif-alternatif ekonomi adalah tujuan untuk
memaksimumkan sesuatu atau meminimumkan sesuatu. Secara ekonomi,
istilah maksimisasi dan minimisasi dapat dikategorikan dengan istilah umum
optimisasi yang berarti “mencari yang terbaik”. Tetapi dari sudut matematika
murni,istilah maksimum dan minimum tidak memiliki kaitan dengan
optimilitas. Oleh karena itu istilah kolektif untuk maksimum dan minimum
sebagai konsep matematik adalah ekstremum yang berarti nilai ekstrem.
Dalam memformulasikan persoalan optimisasi, tugas pertama bagi dunia
usaha adalah menggambarkan secara rinci fungsi tujuan dimana variabel takbebas mewakili objek maksimisasi atau minimisasi dan himpunan variabel
bebas mengindikasikan objek-objek yang besarnya dapat diambil serta dipilih
oleh unit ekonomi itu, dengan tujuan optimisasi. Variabel bebas biasa juga
disebut variabel-variabel pilihan atau variabel keputusan/kebijakan. Esensi dari
proses optimisasi adalah memperoleh himpunan nilai-nilai variabel pilihan
yang akan memberikan ekstrem yang diinginkan dari fungsi tujuan.
Sebagai contoh, sebuah perusahaan ingin memaksimumkan laba π , yaitu
memaksimumkan perbedaan antara pendapatan total R dan biaya total C.
Karena dalam kerangka kerja dari suatu teknologi tertentu dan permintaan
pasar tertentu untuk produk perusahaan tersebut, R dan C adalah dua fungsi
dari tingkat output Q, yang berarti bahwa π juga dapat dinyatakan sebagai
fungsi Q:
π ( Q ) =R ( Q ) −C (Q)
Persamaan ini merupakan fungsi tujuan yang relevan dengan π sebagai objek
maksimisasi dan Q sebagai (satu-satunya)variabel pilihan. Persoalan optimisasi
adalah pemilihan tingkat Q yang akan memaksimumkan π . Perhatikan bahwa
tingkat optimal dari π menurut definisi adalah tingkat maksimal, tetapi tingkat
optimal dari variabel Q sendiri tak perlu maksimum dan minimum.
B. Maksimum dan Minimum Relatif: Uji Derivatif-Pertama
1. Ekstrem Relatif vs Absolut
Jika fungsi tujuan merupakan fungsi konstan seperti pada gambar 9.1a,
maka semua nilai dari variabel pilihan x akan menghasilkan nilai y yang
sama dan tinggi pada setiap titik pada grafik tersebut dapat dipandang
sebagai maksimum, atau mungkin juga minimum – atau bisa tidak keduaduanya. Dalam kasus ini, tidak ada pengaruh yang signifikan dalam memilih
nilai x untuk memaksimumkan atau meminimumkan nilai y.
Dalam gambar 9.1b fungsi ini naik sempurna dan tidak ada maksimum
terhingga bila domainnya adalah himpunan bilangan real nonnegatif.
Namun titik akhir D disebelah kiri (yang berpotongan dengan y ) sebagai
suatu minimum; kenyataannya dalam kasus ini titik tersebut merupakan
minim absolut (minimum global) dalam rentang fungsi ini.
Di sisi lain, titik E dan F dalam gambar 9.1c merupakan contoh dari
ekstrem relatif (ekstrem lokal), dalam arti setiap titik menggambarkan
ekstrem hanya didaerah yang berdekatan dengan titik itu saja. Tentu saja,
kenyataan bahwa titik F merupakan minimum relatif tidak menjamin bahwa
titik tersebut merupakan minimum relatif dari fungsi, meskipun dalam kasus
ini hal tersebut bisa saja terjadi. Demikian juga, titik maksimum relatif
seperti E mungkin merupakan maksimum global, mungkin juga tidak. Suatu
fungsi dapat mempunyai beberapa ekstrem relatif yang sebagian mungkin
maksimum dan sebagian lainnya minimum.
Dalam memecahkan sebagian besar masalah ekonomi, yang perlu
diperhatikan adalah nilai ekstrem buka nilai titik-akhir (end-point), karena
untuk sebagian besar masalah tersebut, domain fungsi tujuan dibatasi pada
himpunan bilangan real nonnegatif, sedangkan titik akhir (yang terletak
disebelah kiri) menggambarkan nilai nol dari variabel pilihan yang biasanya
tidak penting dalam praktek. Untuk menentukan maksimum absolut jika
semua maksimum relatif diketahui, maka cukup dengan memilih nilai
maksimum relatif yang terbesar dan membandingkannya dengan titik akhir.
Minimum absolut dari suatu fungsi juga dapat ditentukan dengan cara yang
sama.
2. Uji Derivatif Pertama
Jika diketahui fungsi y=f ( x ), maka derivatif pertama (derivatif ordepertama) f ' (x) memegang peranan yang besar dalam mencari nilai
ekstremnya. Hal ini disebabkan oleh fakta bila ekstrem relatif dari fungsi
'
'
berada x=x 0 ,maka f ( x 0 ) tidak ada atau f ( x 0 ) =0. Kemungkinan yang
pertama ditunjukkan pada grafik 9.2a dimana baik titik A maupun B
menggambarkan nilai ekstrem relatif dari y, tetapi belum ada derivatif yang
didefinisikan pada titik-titik tajam ini. Akan tetapi, karena fungsi y=f ( x )
kontinu dan mempunyai derivatif yang kontinu, sebenarnya titik-titik tajam
tersebut telah dikesampingkan. Untuk fungsi halus, nilai-nilai ekstrem
relatif dapat terjadi hanya bila derivatif pertama nilainya nol. Hal ini
ditunjukkan oleh titik C dan D dalam gambar 9.2b dimana keduanya
menggambarkan nilai-nilai ekstrem dan keduanya dicirikan dengan
'
'
kemiringan (slope) nol- f ( x 1 ) =0 dan f ( x 2 )=0.Jika kemiringannya tidak nol,
maka fungsi halus tersebut tidak memiliki minimum relatif (di dasar
lembah) dan maksimum relatif
(di puncak bukit). Sehingga dapat
'
disimpulkan bahwa f ( x )=0sebagai syarat perlu untuk ektrem relatif.
Namun perlu ditambhakan bahwa kemiringan nol meskipun merupakan
syarat perlu, tetapi tidak mencukupi untuk menetapkan ekstrem relatif. Akan
tetapi dengan menambahkan kondisi tertentu untuk syarat kemiringan nol
maka dapat diperoleh suatu uji penentu untuk ekstrem relatif.
'
Jika derivatif pertama dari suatu fungsi f ( x ) pada x=x 0 adalah f ( x 0 ) =0,
'
maka nilai fungsi pada x 0 , f ( x 0 ) akan merupakan:
'
a. Maksimum relatif jika derivatif f ( x ) berubah tanda dari positif
menjadi negatif dari sebelah kiri titik x 0 ke sebelah kanannya.
'
b. Minimum relatif jika f ( x ) berubah tanda dari negatif ke positif dari
sebelah kiri x 0 ke sebelah kanannya.
c. Tidak maksimum relatif maupun minimum relatif jika
f '( x)
mempunyai tanda yang sama baik disebelah kiri maupun di sebelah
kanan titik x 0 .
'
Nilai x 0disebut sebagai nilai kritis dari x bila f ( x 0 ) =0, dan f ( x 0 )disebut
nilai stasioner dari y (atau dari fungsi f). Dengan demikian, titik dengan
koordinat x 0 dan f ( x 0 ) dapat disebut sebagai titik stasioner. Sehingga bila
'
syarat perlu f ( x )=0terpenuhi, maka perubahan tanda derivatif untuk
sementara dapat berperan sebagai syarat cukup bagi maksimum atau
minimum relatif, tergantung pada arah perubahan tandanya.
Suatu ekstrem relatif harus merupakan nilai stasioner, tetapi nilai
stasioner mungkin merupakan ekstrem relatif atau titik belok. Oleh karena
itu, untuk mendapatkan makimum atau minimu relatif dari fungsi tertentu,
maka langkah pertamanya adalah menentukan nilai stasioner dari fungsi
'
tersebut dimana syarat f ( x )=0terpenuhi dan kemudian mnggunakan uji
derivatif pertama untuk menentukan apakah setiap nilai stasioner tersebut
merupakan maksimum relatif, minimum relatif, atau bukan kedua-duanya.
Contoh 1
Tentukan ektrem relatif dari fungsi
y=f ( x ) =x 3−12 x 2+36 x +8
Jawab
Pertama, tentukan fungsi derivatifnya yaitu:
f ' ( x )=3 x 2−24 x+36
Untuk memperoleh nilai kritis, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi syarat
f ' ( x )=0,maka:
3 x 2−24 x +36=0
Dengan mencari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, maka
diperoleh:
x 1=6 → f ' ( 6 ) =0 dan f ( 6 ) =8
x 2=2 → f ' ( 2 ) =0 dan f ( 2 ) =40
Sehingga dapat disimpulkan bahwa 2 dan 6 merupakan nilai kritis dari
3
2
fungsi f ( x ) =x −12 x +36 x +8.
Contoh 2
Carilah ekstrem relatif dari fungsi biaya rata-rata
AC=f ( Q )=Q 2−5 Q+ 8
Jawab
'
f (Q)=2Q−5 merupakan suatu fungsi linear. Dengan menetapkan f ' ( Q ) =0,
5
sehingga diperoleh 2 Q−5=0 yang mempunyai satu akar yaitu Q= 2 .
Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai stasioner AC=f ( 2,5 ) =1,75 yang
menggambarkan minimum relatif
C. Derivatif Kedua dan Derivatif yang Lebih Tinggi
1. Derivatif dari suatu derivatif
'
'
Karena derivatif pertama f ( x) adalah suatu fungsi dari x, maka f ( x)
dapat diturunkan (didiferensiasikan) terhadap x, asalkan merupakan fungsi
yang kontinu dan halus. Hasil diferensiasi ini yang kemudian dikenal
''
sebagai derivatif kedua dari fungsi f yang biasa disimbolkan dengan f (x )
d2 y
''
atau
. Jika derivatif kedua f (x ) untuk semua nilai xdalam domain
d x2
tersebut bisa ditentukan, maka f (x) disebut sebagai dapat didiferensiasikan
''
dua kali; selanjutnya jika f (x ) kontinu maka fungsi f (x) disebut sebagai
dapat didiferensiasikan dua kali dengan kontinu. Seperti halnya notasi
f ∈ C( 1 ) atau f ∈C ' sering digunakan untuk menunjukkan bahwa fungsi f
dpat didiferensiasikan secara kontinu, notasi serupa f ∈ C( 2 ) atau f ∈C ' '
dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa f dapat didiferensiasikan dua
kali secara kontinu. Sebagai fungsi dari x, derivatif kedua kembali dapat
didiferensiasikan terhadap x untuk mendapatkan derivatif ketiga, dan
seterusnya sampai tak berhingga asalkan syarat-syarat diferensiabilitas
terpenuhi. Derivatif-derivatif orde yang lebih tinggi ini dilambangkan
''
(4 )
( n)
dengan cara yang sama seperti derivatif kedua yaitu f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x )
d3 y d4 y
dn y
,
,…
,
.
d x3 d x4
d xn
2. Interpretasi derivatif kedua
'
Fungsi derivatif f ( x) mengukur tingkat perubahan fungsi f. Begitu juga
''
fungsi derivatif kedua f ( x ) adalah ukuran tingkat perubahan derivatif
'
pertama f ( x) atau dengan kata lain derivatif kedua mengukur tingkat
perubahan dari tingkat perubahan fungsi f semula. Dengan kata lain, dengan
peningkatan yang kecil sekali (infinitesimal) pada variabel bebas x dari titik
x=x 0 , f ' ( x0 ) >0 berarti nilai fungsi cenderung untuk naik dan f ' ( x 0 ) < 0
berarti nilai fungsi cenderung untuk turun. Sedangkan dalam hal derivatif
''
''
keduaf ( x ) >0 artinya kemiringan kurva cenderung untuk naik dan f ( x ) 0. Sehingga
batasannya menjadi:
a , c , d> 0, b x0 (lihat Gambar 9.10). Akibatnya, ekspresi
'
( x−x 0 ) akan berubah dari negatif ke positif, dan f ( x ) −f ( x 0 )=f ( p ) ( x−x 0 )
jugaberubah tandanyadari sebelah kiri x 0ke sebelah kanan. Tetapi ini
menyalahi definisi kita yang baru mengenai ekstrem relatif; dengan
'
demikian, tidak akan ada ekstrem relatif di f (x 0) bila f ( x 0 ) ≠ 0 – hal ini
telah kita ketahui.
b. Kasus 2
f ' ( x 0 ) =0 ; f ' ' ( x 0 ) ≠ 0
Dalam kasus ini, kita pilih n = 1, sehingga sisa akan ada dalam derajat
kedua. Pada awalnya akan ada n + 1 = 2 sukudi sebelah kanan. Tetapi
'
salah satu suku akan hilang karena f ( x 0 )=0 , dan sekali lagi kita akan
mempunyai hanya satu suku untuk dinilai :
f''( p)
f ( x ) −f ( x 0 )=f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ) + 2 ! ( x −x0 )2
1
¿ f ' ' ( p ) ( x−x 0 )2 [karena f ' ( x 0 ) =0]
2
''
Seperti sebelumnya, f ( p ) akan mempunyai tanda yang sama seperti
f ' ' ( x 0 ) , yaitu tanda tertentu da tidak berubah; sedangkan bagian ( x−x 0 )2,
karena suatu kuadrat, akan tetap positif. Jadi ekspresi f ( x ) −f (x 0) akan
''
mempunyai tanda yanng sama seperti f ( x 0 ) dan. Sesuai dengan definisi
ekstrem relatif sebelumnya, akan menentukan
Suatu maksimum relatif dari f (x) bila f ' ' ( x 0)< 0
Suatu minimum relatif dari f ( x) bila f ' ' ( x 0)> 0
[dengan f’(x ) = 0]
Anda akan mengetahuibahwa hal ini merupakan uji derivatif kedua
yang diperkenalkan sebelumnya.
c. Kasus 3
0
f ' ( x 0 )=f ' ' ( x 0 ) =0,tetapi f ' ' ' (x 0 )≠ 0
Disini kita berhadapan dengan situasi dimana uji derivatif kedua tidak
berlaku, karena f ' ' ( x 0) sekarang sama dengan nol. Tetapi dengan bantua
deret Taylor, hasilnya dapat dipecahkan tanpa kesulitan.
Misalkan kira misalkan n = 2; jadi tiga suku pada mulanya akan ada di
sebelah kanan. Tetapi dia di antarana akan hilang karenaf ' (x 0) =f ' ' ( x 0)
= 0, sehingga kita sekali hanya mempunyai satu suku untuk dinilai:
1
1
f ( x ) −f '' ( x 0 )=f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ) + f '' ( x 0 ) ( x −x0 )2 + f '' ' ( p ) ( x−x 0 )3❑
2!
3!
1
¿ f '' ' ( p ) ( x−x 0 )3❑ [karena f ' ( x 0)= 0, f ' ' ( x 0 )=0]
3!
Seperti sebelumnya, tanda f ' ' ' ( p) identik dengan tanda f ' ' ' ( x 0)
karena adanya kontinuitas derivatif dan karenap sangat dekat dengan x 0.
3
Tetapi ( x−x 0 ) mempunyai tanda yang berubah-ubah. Secara khusus,
3
karena ( x−x 0 ) negatif di sebelah kiri x 0, maka ( x−x 0 ) juga negatif; bila
3
di sebelah kanan x 0, ( x−x 0 ) akan positif. Jadi ada perubahan tanda
f ( x ) −f ¿ ) bila kita melewati x 0, yang menyalahi definisi ekstrem relatif.
'
Akan tetapi, kitabtahu bahwa x 0 adalah nilai kritis [ f ( x 0 ) =1], dan dengan
demikian harus merupakan titik belok (inflection point) sepanjang hal ini
tidak menghasilkan ekstrem relatif.
d. Kasus 4
(N )
f ' ( x 0 )=f '' ( x 0 )=…=f (N−1) ¿) = 0, tetapi f ( x 0 ) ≠0
Ini merupakan kasus yang sangat umum, dan oleh karena itu kita
dapat memperoleh hasil umum darinya. Perhatikan bahwa di sini semua
nilai derivatif adalah nol sampai kita tiba pada derivatif ke-N.
Sesuai dengan tiga kasus sebelumnya, deret Taylor untuk Kasus 4
akan berkurang menjadi
1 (N )
f ( x ) −f ( x 0 )=
f ( p)( x−x 0) N
N!
(N )
(N )
Sekali lagi, f ( p ) mempunyai tanda yang sama seperti f ( x 0 ) , yang
N
tidak berubah. Di lain pihak, tanda ( x−x 0 ) akan berubah bila Nganjil
(seperti Kasus 1 dan 3) dan akan tetap (positif) bila Ngenap (seperti
Kasus 2). Bila N ganjil, maka f ( x ) −f (x 0) akan berubah tandanya begitu
kita lewati titik x 0 , sehingga menyalahi definisi ekstrem relatif (yang
berarti bahwa x 0harus merupakan titik belok kurva). Tetapi bila N adalah
genap, f ( x ) −f (x 0) tidak akan berubah tandanya dari sebelah kiri x 0 ke
sebelah kanannya, dan ini akan memberikan nilai stasioner f( x 0 ¿ sebagai
(N )
suatu maksimum atau minimum relatif, tergantung pada apakah f ( x 0 )
adalah negatif atau positif.
3. Uji derivatif ke-n
'
Jika derivatif pertama dari fungsi f (x) di x 0 adalah f ( x 0 ) =0 dan jika
nilai derivatif bukan nol pertama di x 0 yang dijumpai pada derivatif yang
(N )
berurutan adalah nilai derivatif ke-N , f ( x 0 ) ≠0 , maka nilai stasioner f (x 0)
akan menjadi
(N )
a.
Maksimum relatif bila N bilangan genap dan f ( x 0 ) < 0.
(N )
b.
Minimum relatif bila N bilangan genap tetapi f ( x 0 ) > 0.
c.
Titik belok bila N ganjil.
Jadi jelas dari pernyataan di atas bahwa uji derivatif ke-N dapat bekerja
jika dan hanya jika fungsi f (x), cepat atau lambat, dapat menghasilkan nilai
derivatif bukan nol di nilai kritis x 0. Meskipun ada fungsi-fungsi dalam
pengecualian gagal memenuhi syarat ini, sebagian