relativitas newton dan transformasi gali
Relativitas Newton dan Transformasi
Galileo
Untuk membahas tentang relativitas, misalkan Anda berada di atas truk yang sedang
bergerak dengan kelajuan 50 km/jam terhadap orang yang diam di pinggir jalan.
Seseorang tersebut kemudian berjalan di truk dengan 5 km/jam searah dengan gerak
kereta. Orang yang diam dalam truk mengatakan bahwa kelajuan Anda adalah 5
km/jam, tetapi orang yang diam di pinggir jalan mengatakan bahwa kelajuan Anda
adalah 55 km/jam. Siapakah yang benar? Kedua-duanya benar sebab keduanya
memandang gerak Anda sesuai dengan kerangka acuannya. Dengan kata lain gerak
itu relatif.
Pada pembahasan relativitas ini akan ditinjau konsep kejadian, pengamat, dan
kerangka acuan. Kejadian adalah suatu peristiwa fisika yang terjadi dalam suatu ruang
pada suatu waktu sesaat yang tertentu. Contoh kejadian adalah: kilat di langit,
tumbukkan antara dua mobil, dan sebagainya. Seseorang yang mengamati suatu
kejadian dan melakukan pengukuran, misalnya pengukuran koordinat dan waktu
disebut pengamat. Untuk menentukan letak sebuah titik dalam ruang kita memerlukan
suatu system koordinat atau kerangka acuan. Misalnya, untuk menyatakan buah
sebelum jatuh dari pohonnya, seorang pengamat memerlukan suatu kerangka acuan
dengan koordinat (x, y, z). Jadi, kerangka acuan adalah suatu system koordinat.
Teori relativitas berhubungan dengan kejadian-kejadian yang diamati dari kerangka
acuan inersial (kerangka acuan di mana hukum I Newton berlaku). Galileo dan Newton
mengemukakan mengenai apa yang sekarang kita sebut prinsip relativitas
Newton bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama pada semua kerangka acuan
inersial.
Hukum gravitasi yang sama dan hukum-hukum gerak yang sama berlaku pada kedua
kerangka acuan inersial. Perbedaan antara Gambar 5.1.1a dengan 5.1.1b adalah pada
kerangka acuan tanah, koin memiliki kecepatan awal horizontal (sama dengan
kecepatan mobil). Hukum-hukum mekanika memprakirakan bahwa koin akan
menempuh lintasan parabola. Dalam kerangka acuan mobil, koin tidak memiliki
kecepatan awal horizontal, hukum-hukum mekanika memprakirakan bahwa koin akan
jatuh bebas menempuh lintasan lurus vertical. Jadi, hukum mekanika berlaku sama
pada kedua kerangka acuan inersial tersebut walaupun lintasan yang ditempuhnya
berbeda.
Gambar 5.1.1 (a) Dalam kerangka acuan mobil, (b) Dalam kerangka acuan tanah
1) Transformasi Galileo
Relativitas berhubungan dengan dua kerangka acuan yang saling bergerak dengan
kecepatan konstan. Pada Gambar 5.1.2a diilustrasikan kerangka acuan “diam”, yaitu
pengamat yang diam di tepi rel dan kerangka acuan “bergerak”, yaitu pengamat yang
berada dalam kereta.
Kita dapat menjelaskan situasi ini dengan menggunakan kerangka acuan inersial. Pada
Gambar 5.1.2 dilukiskan dua buah kerangka acuan inersial. Kerangka acuan S yang
berhubungan
dengan
pengamat
diam
di
tepi
rel,
memiliki
system
koordinasiXYZ dengan titik dasar O. Kerangka acuan S’ yang berhubungan dengan
pengamat dalam kereta, memiliki koordinat X’Y’Z’ relatif terhadap kerangka acuan S.
Mula-mula (saat t =t’= 0), titik asal kedua acuan adalah berimpit. Dalam transformasi
Galileo yang akan kita turunkan ini, selang waktu yang dicatat oleh pengamat di S di
anggap sama dengan yang dicatat oleh yang dicatat oleh pengamat di S’. Jadi, t’=t.
Gambar 5.1.1. (a) S, memiliki sistem kordinat XYZ dan S’, memiliki sistem
kordinat X’Y’Z’ (b) Setelah selang waktu t, titik asal koordinat S’ berada sejauh v.t dari
titik asal koordinat S .
Setelah selang waktu t, koordinat setiap benda (missal titik P) pada kerangka
acuan S’ kita nyatakan dengan koordinat pada kerangka acuan S. dari gambar 5.1.2b
tampak bahwa
O’P = OP – OO’
O’P adalah koordinat x’, OP adalah koordinat x, dan OO’ = v t, sehingga persamaan di
atas menjadi
x' = x – v t
Koordinat y dan z dari benda tidak berubah karena kerangka acuan S’ dibatasi hanya
bergerak sepanjang sumbu X, dan tidak pada sumbu Y dan Z. oleh karena itu
y' = y, z' = z
Jadi, transformasi Galileo untuk koordinat dan waktu adalah
.....................................................(5.1-1)
Transformasi kebalikannya adalah
.....................................................(5.1-2)
2) Transformasi Galileo untuk kecepatan dan percepatan
Untuk memperoleh transformasi Galileo untuk kecepatan, persamaan (5.1-1) kita
diferensialkan terhadap waktu.
x' = x – v t
dx'/dt =
, dx/dt = ux, dan
untuk kecepatan adalah:
, sehingga kita peroleh transformasi Galileo
.....................................................(5.1-3)
Transformasi kebalikannya adalah:
ux = ux' + v
uy = uy' (5.1-4)
uz = uz'
Di sini, ux' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu X',
uy' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Y',
uz' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Z'.
transformasi Galileo untuk percepatan kita
Persamaan (5.1-3) terhadap waktu.
peroleh
dengan mendeferensialkan
ux' = ux – v
dux'/dt = ax', dux/dt = ax, dan dv/dt = 0 sebab v konstan, sehingga kita peroleh:
ax' = ax
dengan cara yang sama, kita peroleh:
ax' = ay, az' = az
Jadi, transformasi Galileo untuk percepatan adalah:
ax' = ax
ay' = ay .....................................................(5.1-5)
az' = az
dari persamaan (5.1-5) dapat kita simpulkan bahwa F' = ma' sama dengan F = ma,
sebab a' = a. sekali lagi tampak bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama, baik
pada kerangka acuan S' ataupun kerangka acuan S. ini adalah sesuai dengan prinsip
relativitas Newton yang telah ditanyakan sebelumnya.
Galileo
Untuk membahas tentang relativitas, misalkan Anda berada di atas truk yang sedang
bergerak dengan kelajuan 50 km/jam terhadap orang yang diam di pinggir jalan.
Seseorang tersebut kemudian berjalan di truk dengan 5 km/jam searah dengan gerak
kereta. Orang yang diam dalam truk mengatakan bahwa kelajuan Anda adalah 5
km/jam, tetapi orang yang diam di pinggir jalan mengatakan bahwa kelajuan Anda
adalah 55 km/jam. Siapakah yang benar? Kedua-duanya benar sebab keduanya
memandang gerak Anda sesuai dengan kerangka acuannya. Dengan kata lain gerak
itu relatif.
Pada pembahasan relativitas ini akan ditinjau konsep kejadian, pengamat, dan
kerangka acuan. Kejadian adalah suatu peristiwa fisika yang terjadi dalam suatu ruang
pada suatu waktu sesaat yang tertentu. Contoh kejadian adalah: kilat di langit,
tumbukkan antara dua mobil, dan sebagainya. Seseorang yang mengamati suatu
kejadian dan melakukan pengukuran, misalnya pengukuran koordinat dan waktu
disebut pengamat. Untuk menentukan letak sebuah titik dalam ruang kita memerlukan
suatu system koordinat atau kerangka acuan. Misalnya, untuk menyatakan buah
sebelum jatuh dari pohonnya, seorang pengamat memerlukan suatu kerangka acuan
dengan koordinat (x, y, z). Jadi, kerangka acuan adalah suatu system koordinat.
Teori relativitas berhubungan dengan kejadian-kejadian yang diamati dari kerangka
acuan inersial (kerangka acuan di mana hukum I Newton berlaku). Galileo dan Newton
mengemukakan mengenai apa yang sekarang kita sebut prinsip relativitas
Newton bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama pada semua kerangka acuan
inersial.
Hukum gravitasi yang sama dan hukum-hukum gerak yang sama berlaku pada kedua
kerangka acuan inersial. Perbedaan antara Gambar 5.1.1a dengan 5.1.1b adalah pada
kerangka acuan tanah, koin memiliki kecepatan awal horizontal (sama dengan
kecepatan mobil). Hukum-hukum mekanika memprakirakan bahwa koin akan
menempuh lintasan parabola. Dalam kerangka acuan mobil, koin tidak memiliki
kecepatan awal horizontal, hukum-hukum mekanika memprakirakan bahwa koin akan
jatuh bebas menempuh lintasan lurus vertical. Jadi, hukum mekanika berlaku sama
pada kedua kerangka acuan inersial tersebut walaupun lintasan yang ditempuhnya
berbeda.
Gambar 5.1.1 (a) Dalam kerangka acuan mobil, (b) Dalam kerangka acuan tanah
1) Transformasi Galileo
Relativitas berhubungan dengan dua kerangka acuan yang saling bergerak dengan
kecepatan konstan. Pada Gambar 5.1.2a diilustrasikan kerangka acuan “diam”, yaitu
pengamat yang diam di tepi rel dan kerangka acuan “bergerak”, yaitu pengamat yang
berada dalam kereta.
Kita dapat menjelaskan situasi ini dengan menggunakan kerangka acuan inersial. Pada
Gambar 5.1.2 dilukiskan dua buah kerangka acuan inersial. Kerangka acuan S yang
berhubungan
dengan
pengamat
diam
di
tepi
rel,
memiliki
system
koordinasiXYZ dengan titik dasar O. Kerangka acuan S’ yang berhubungan dengan
pengamat dalam kereta, memiliki koordinat X’Y’Z’ relatif terhadap kerangka acuan S.
Mula-mula (saat t =t’= 0), titik asal kedua acuan adalah berimpit. Dalam transformasi
Galileo yang akan kita turunkan ini, selang waktu yang dicatat oleh pengamat di S di
anggap sama dengan yang dicatat oleh yang dicatat oleh pengamat di S’. Jadi, t’=t.
Gambar 5.1.1. (a) S, memiliki sistem kordinat XYZ dan S’, memiliki sistem
kordinat X’Y’Z’ (b) Setelah selang waktu t, titik asal koordinat S’ berada sejauh v.t dari
titik asal koordinat S .
Setelah selang waktu t, koordinat setiap benda (missal titik P) pada kerangka
acuan S’ kita nyatakan dengan koordinat pada kerangka acuan S. dari gambar 5.1.2b
tampak bahwa
O’P = OP – OO’
O’P adalah koordinat x’, OP adalah koordinat x, dan OO’ = v t, sehingga persamaan di
atas menjadi
x' = x – v t
Koordinat y dan z dari benda tidak berubah karena kerangka acuan S’ dibatasi hanya
bergerak sepanjang sumbu X, dan tidak pada sumbu Y dan Z. oleh karena itu
y' = y, z' = z
Jadi, transformasi Galileo untuk koordinat dan waktu adalah
.....................................................(5.1-1)
Transformasi kebalikannya adalah
.....................................................(5.1-2)
2) Transformasi Galileo untuk kecepatan dan percepatan
Untuk memperoleh transformasi Galileo untuk kecepatan, persamaan (5.1-1) kita
diferensialkan terhadap waktu.
x' = x – v t
dx'/dt =
, dx/dt = ux, dan
untuk kecepatan adalah:
, sehingga kita peroleh transformasi Galileo
.....................................................(5.1-3)
Transformasi kebalikannya adalah:
ux = ux' + v
uy = uy' (5.1-4)
uz = uz'
Di sini, ux' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu X',
uy' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Y',
uz' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Z'.
transformasi Galileo untuk percepatan kita
Persamaan (5.1-3) terhadap waktu.
peroleh
dengan mendeferensialkan
ux' = ux – v
dux'/dt = ax', dux/dt = ax, dan dv/dt = 0 sebab v konstan, sehingga kita peroleh:
ax' = ax
dengan cara yang sama, kita peroleh:
ax' = ay, az' = az
Jadi, transformasi Galileo untuk percepatan adalah:
ax' = ax
ay' = ay .....................................................(5.1-5)
az' = az
dari persamaan (5.1-5) dapat kita simpulkan bahwa F' = ma' sama dengan F = ma,
sebab a' = a. sekali lagi tampak bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama, baik
pada kerangka acuan S' ataupun kerangka acuan S. ini adalah sesuai dengan prinsip
relativitas Newton yang telah ditanyakan sebelumnya.