PROGRAM SIMULASI UNTUK SYSTEM IDENTIFICATION (SID) TUGAS AKHIR - Program simulasi untuk system identification (SID) - USD Repository

  

PROGRAM SIMULASI

UNTUK

SYSTEM IDENTIFICATION (SID)

  

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Teknik

Program Studi Teknik Elektro

  

Oleh:

Nama : Fransiskus Paskalistyo

NIM : 015114057

  

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

  A SIMULATION PROGRAM FOR SYSTEM IDENTIFICATION (SID) FINAL PROJECT Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Teknik Degree In Electrical Engineering Study Program By: Name : Fransiskus Paskalistyo Student Number : 015114057 ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING FACULTY OF ENGINEERING SANATA DHARMA UNIVERSITY

  HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN Ke hidupa n ini dipe nuhi de ng a n se ribu ma c a m ke ma nisa n te ta pi untuk me nc a pa inya pe rlu se ribu ma c a m pe ng o rba na n Tia da sia pa ya ng pa ling pa nda i da n pa ling bo do h di dunia ini ka re na se tia p ya ng pa nda i itu bo le h me nja di bo do h da n se tia p ya ng bo do h itu bo le h me nja di pa nda i

  (M. Ryan Saputra)

  Kupersembahkan karya tulis ini kepada : ♥ Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria terkasih ♥ Bapak dan Ibu Tercinta

  ♥ Kakakku Tersayang : Mbak Warti, Mbak Tati, Mbak Dani, Mbak Linda dan Mbak Ningsih

  ♥ Keponakanku : Nico, Emil, Mia, Adna, Andre,

Febri dan Retti

  ♥ Keluarga besarku tercinta ♥ Kekasihku Dita tersayang

  

INTISARI

System identification adalah proses yang menghasilkan model dari proses

  dinamis berdasarkan suatu sinyal input. Program simulasi untuk system ini menggunakan tiga model sinyal, yaitu Autoregressive (AR),

  identification Moving Average (MA) dan Autoregressive Moving-Average (ARMA).

  Setiap model sinyal menggunakan metode untuk menghasilkan nilai-nilai parameter. Model AR menggunakan covariance method. Model MA menggunakan Durbin’s method. Untuk model ARMA menggunakan tiga metode, yaitu Pade Approximation, Prony’s Method dan Shank’s Method. Proses identifikasi sistem adalah berdasarkan error terkecil dari setiap model. Metode pencarian error yang digunakan adalah least squares method.

  Program simulasi untuk system identification (SID) telah berhasil dibuat dan diuji untuk menentukan model sistem. Simulasi dilakukan dengan empat macam kasus. Pertama, dengan order model rendah dan data sedikit. Kedua, dengan order model rendah dan data banyak. Ketiga, dengan order model tinggi dan data sedikit. Terakhir, dengan order model tinggi dan data banyak. Model untuk suatu input sangat bergantung pada daerah tercuplik dan nilai order. Antara model AR, MA dan ARMA yang memiliki estimasi spektrum paling baik adalah model ARMA.

  Kata kunci : system identification, autoregressive (AR), moving average (MA), autoregressive moving-average (ARMA).

  

ABSTRACT

  System identification is the process of producing model in dynamic process based on an input signal. Simulation program identification uses three signal models, those are Autoregressive (AR), Moving Average (MA) and Autoregressive Moving-Average (ARMA).

  Each signal model uses a method to produce the parameters. AR model uses covariance method. MA model uses Durbin's method. There are three method for ARMA; Pade Approximation, Prony's Method, and Shank's Method. The process of system identification is based on the smallest error in each model. The method for finding the error that used is least squares method.

  Simulation program for system identification (SID) have been done and tested to determining system model. The simulation is done using four cases. First, it uses low model order and few data. Second, it uses low model order and many data. Third, it uses high model order and few data. The last, it uses high model order and many data. The model for an input depends on the area taken and the order. Between model of AR, MA and of ARMA owning best spectrum estimation is ARMA model.

  Keyword : system identification, autoregressive (AR), moving average (MA), autoregressive moving-average (ARMA).

KATA PENGANTAR

  Segala puji dan syukur kepada Allah Bapa melalui PutraNya Yesus Kristus, karena hanya atas berkat karuniaNya, skripsi dengan judul “Program

  

Simulasi Untuk System Identification (SID)” dapat penulis selesaikan. Skripsi

  ini disusun untuk memenuhi salah satu persyaratan pencapaian gelar Sarjana pada Program Studi Teknik Elektro di Universitas Sanata Dharma.

  Banyak hambatan dan rintangan penulis alami selama proses penyusunan skripsi ini. Akan tetapi dengan keterlibatan dan bantuan berbagai pihak penulis dapat melalui semua dengan baik. Oleh karena itu dalam kesempatan ini, dengan penuh rasa syukur penulis mengucapkan terima kasih atas segala bantuan, dorongan, perhatian, kasih dan dukungan baik secara moril, materiil maupun spirituil kepada semua pihak, antara lain :

  1. Allah Bapa di surga atas kasih, karunia, penyertaan dan bimbinganNya.

  2. Bapak Ir. Greg. Heliarko, SJ., B.ST., MA., M.Sc, selaku dekan fakultas teknik.

  3. Bapak Damar Wijaya, S.T., M.T., selaku pembimbing I. Terima kasih atas bimbingan, dukungan, saran dan kesabaran bagi penulis dari awal sampai tugas akhir ini bisa selesai.

  4. Ibu Ir. Th. Prima Ari Setiyani, M.T., selaku pembimbing II. Terima kasih atas koreksi, saran dan bantuannya.

  5. Seluruh dosen teknik elektro atas ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di Universitas Sanata Dharma.

  6. Kedua orang tua dan kakak-kakakku tersayang yang telah memberikan kesempatan, dukungan, semangat dan doa untuk menyelesaikan studi.

  7. Keponakan-keponakanku yang selalu membuat dunia ini ceria.

  8. Emirita Dita Septiyani yang tak pernah bosan selalu memberikan dukungan.

  9. Saudara-saudaraku di MAPASADHA terimakasih atas kebersamaan dan petualangan di alam bebas, khususnya Angkatan XXI Shio Kuda.

  10. Teman-teman teknik elektro : Jhon Kiegent, Jekson Sianipar, Nugroho Dipo, Lamro Mega, serta teman-teman seperjuangan angkatan 2001. Tidak lupa juga untuk teman-teman angkatan 2000 dan 2002 yang selalu berbagi ilmu.

  11. Pihak Staf Perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas bantuan dalam proses peminjaman buku.

  12. Dan semua pihak yang terlibat langsung maupun tidak langsung dalam proses penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

  Penulis percaya bahwa segala kebaikan, bantuan, kasih serta pengorbanan yang diberikan untuk menyelesaikan skripsi ini tidaklah sia-sia dan semoga akan mendapat penghargaan yang sepadan dari Tuhan.

  Dengan rendah hati penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu berbagai kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini sangat diharapkan. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Terima kasih.

  Yogyakarta, Juli 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ........................................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN............................................................................. iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................... v

HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN................................................ vi

  

INTISARI ............................................................................................................ vii

ABSTRACT.........................................................................................................viii

KATA PENGANTAR.........................................................................................ix

DAFTAR ISI........................................................................................................ xi

DAFTAR GAMBAR...........................................................................................xiii

DAFTAR TABEL...............................................................................................xvi

DAFTAR CONTOH .........................................................................................xvii

  

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1

  1.1 Latar Belakang Masalah................................................................... 1

  1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian ........................................................ 2

  1.3 Batasan Masalah .............................................................................. 2

  1.4 Metodologi Penelitian ..................................................................... 3

  1.5 Sistematika Penulisan ...................................................................... 3

  

BAB II DASAR TEORI...................................................................................... 5

  2.1 Linear Time-Invariant Systems ......................................................... 5

  2.1.1 Sistem LTI Waktu-Diskret ...................................................... 7

  2.1.2 Sifat-sifat Sistem Linear Time-Invariant ................................. 9

  2.1.2.1 Sifat Komutatif ............................................................ 10

  2.1.2.2 Sifat Distributif............................................................ 10

  2.1.2.3 Sifat Asosiatif .............................................................. 12

  2.1.3 Persamaan Beda Koefisien-Konstan Linier............................. 13

  2.3 Identifikasi Sistem............................................................................. 25

  2.3.1 Identifikasi Sistem Berdasarkan Model Moving Average ....... 25

  2.3.2 Identifikasi Sistem Berdasarkan Model Autoregressive .......... 26

  2.3.3 Identifikasi Sistem Berdasarkan Model Autoregressive

   Moving Average ....................................................................... 28

  2.3.3.2 Metode Prony....................................................................... 31

  2.3.3.3 Meode Shanks ...................................................................... 32

  BAB III PERANCANGAN PROGRAM SIMULASI UNTUK SYSTEM IDENTIFICATION (SID)................................................. 34

  3.1 Proses Identifikasi Sistem ............................................................. 34

  3.2 Proses Autoregressive .................................................................... 36

  3.3 Proses Moving Average ................................................................. 37

  3.4 Proses Autoregressive Moving Average ........................................ 39

  3.5 Perancangan Desain Visual ........................................................... 46

  BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................... 50

  4.1 Tampilan Program......................................................................... 50

  4.2 Uji Program ................................................................................... 54

  4.3 System Identification..................................................................... 58

  4.4 Fungsi-Fungsi Matlab Yang Digunakan Dalam Program............. 59

  4.5 Perbandingan Kinerja Antar Model .............................................. 62

  4.5.1 Simulasi Dengan Order Rendah Data Sedikit ..................... 63

  4.5.2 Simulasi Dengan Order Rendah Data Banyak .................... 66

  4.5.3 Simulasi Dengan Order Tinggi Data Sedikit....................... 70

  4.5.4 Simulasi Dengan Order Tinggi Data Banyak...................... 73

  4.6 Pengaruh Order Terhadap Hasil Estimasi Spektrum Model ......... 77

  BAB V PENUTUP .............................................................................................. 81 A. Kesimpulan ......................................................................................... 81 B. Saran.................................................................................................... 81 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 82

  

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Sistem dengan sinyal input dan sinyal output ............................... 5Gambar 2.2 Sifat aditivitas (additivity) pada sistem linier................................ 5Gambar 2.3 Sifat homogenitas (homogenity) pada sistem linier ...................... 6Gambar 2.4 Sistem time-invariance dengan sinyal input dan sinyal output..... 6Gambar 2.5 Sinyal waktu diskrit terhadap impuls-impuls tergeser .................. 8Gambar 2.6 Penafsiran sifat distributif dari konvolusi untuk interkoneksi

  paralel dari sistem-sistem LTI....................................................... 11

Gambar 2.7 Penafsiran sifat asosiatif dari konvolusi dan sifat komutatif untuk

  deret interkoneksi sistem-sistem LTI ............................................ 13

Gambar 2.8 Elemen-elemen dasar untuk representasi diagram blok................ 16Gambar 2.9 Representasi diagram blok untuk sistem waktu diskrit................. 16Gambar 2.10 Filter finite impulse response (FIR) .............................................. 17Gambar 2.13 Identifikasi sistem berdasarkan model Moving Average .............. 25Gambar 2.14 Identifikasi sistem berdasarkan model Autoregressive ................. 27Gambar 2.15 Metode untuk menentukan parameter pole pada model all-pole

  (ARMA) ........................................................................................ 31

Gambar 2.16 Metode Shanks untuk menentukan parameter zero melalui least

  square ............................................................................................ 33

Gambar 3.1 Prosedur identifikasi sistem .......................................................... 35Gambar 3.2 Diagram alir program simulasi SID secara umum........................ 37Gambar 3.3 Diagram alir untuk proses Autoregressive .................................... 38Gambar 3.4 Diagram alir untuk proses Moving Average.................................. 39Gambar 3.5 Diagram alir untuk proses Autoregressive Moving Average,

  berdasarkan metode Pade’s Approximation ................................. 40

Gambar 3.6 Diagram alir untuk proses Autoregressive Moving Average,

  berdasarkan metode Prony............................................................ 42

Gambar 3.9 Tampilan program simulasi SID ................................................... 46Gambar 4.1 Tampilan halaman pembuka program........................................... 50Gambar 4.2 Tampilan program utama .............................................................. 51Gambar 4.3 Tampilan submenu File................................................................. 52Gambar 4.4 Tampilan submenu Help ............................................................... 52Gambar 4.5 Tampilan data tercuplik yang akan dievaluasi .............................. 53Gambar 4.6 Simulasi program dari contoh 4.1 ................................................. 57Gambar 4.7 Pesan Dialog system identification yang menyatakan model dari

  file recycle.wav ............................................................................. 58

Gambar 4.8 Contoh kotak error model untuk membandingkan nilai error

  model............................................................................................. 59

Gambar 4.9 Estimasi spektrum dari input dan model, untuk simulasi dengan

  order rendah data sedikit............................................................... 64

Gambar 4.10 Estimasi spektrum dari input dan model dalam grafik yang sama,

  untuk simulasi dengan order rendah data sedikit.......................... 64

Gambar 4.11 Kotak error model dan pesan dialog system identification, untuk

  simulasi dengan order rendah data sedikit.................................... 64

Gambar 4.12 Estimasi spektrum dari input dan model, untuk simulasi dengan

  order rendah data banyak.............................................................. 68

Gambar 4.13 Estimasi spektrum dari input dan model dalam grafik yang sama,

  untuk simulasi dengan order rendah data banyak......................... 68

Gambar 4.14 Kotak error model dan pesan dialog system identification, untuk

  simulasi dengan order rendah data banyak................................... 69

Gambar 4.15 Estimasi spektrum dari input dan model, untuk simulasi dengan

  order tinggi data sedikit ................................................................ 71

Gambar 4.16 Estimasi spektrum dari input dan model dalam grafik yang sama,

  untuk simulasi dengan order tinggi data sedikit ........................... 72

Gambar 4.17 Kotak error model dan pesan dialog system identification, untuk

  simulasi dengan order tinggi data sedikit ..................................... 73

Gambar 4.19 Estimasi spektrum dari input dan model dalam grafik yang sama,

  untuk simulasi dengan order tinggi data banyak .......................... 75

Gambar 4.20 Kotak error model dan pesan dialog system identification, untuk

  simulasi dengan order tinggi data banyak .................................... 76

Gambar 4.21 Estimasi spektrum untuk recycle.wav dengan order p=8 dan

  order q =4....................................................................................... 78

Gambar 4.22 Estimasi spektrum untuk recycle.wav dengan order p=14 dan

  order q =4....................................................................................... 78

Gambar 4.23 Grafik hubungan antara error model dengan nilai order p dan order q...........................................................................................

  80

  

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 untuk pemodelan sinyal .............................. 30

  Pade’s Approximation

Tabel 4.1 Estimasi dari parameter model AR, MA dan ARMA untuk simulasi

  dengan order rendah data sedikit ..................................................... 63

Tabel 4.2 Estimasi dari parameter model AR, MA dan ARMA untuk simulasi

  dengan order rendah data banyak .................................................... 67

Tabel 4.3 Estimasi dari parameter model AR, MA dan ARMA untuk simulasi

  dengan order tinggi data sedikit....................................................... 70

Tabel 4.4 Estimasi dari parameter model AR, MA dan ARMA untuk simulasi

  dengan order tinggi data banyak...................................................... 74

Tabel 4.5 Pengaruh order terhadap hasil estimasi spektrum model, untuk file

  ....................................................................................... 79

  recycle.wav

  

DAFTAR CONTOH

Contoh 2.1 The least squares methods............................................................. 21

Contoh 4.1 Uji Program (ARMA-Pade approximation) ................................. 54

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sinyal direpresentasikan secara matematis sebagai fungsi dari satu variabel

  bebas atau lebih (Oppenheim, 2000). Sinyal dapat menggambarkan beraneka ragam fenomena fisik.

  Data time series dapat diartikan sebagai data yang secara kronologis disusun untuk melihat pengaruh perubahan frekuensi, amplitudo dan sudut fase dalam rentang waktu tertentu (Sanjaya, 2005). Data time series seringkali menyimpan informasi yang tidak bisa dilihat secara eksplisit. Dengan menemukan informasi-informasi tersebut maka dapat dilakukan suatu peramalan data ke depan yang sangat bermanfaat.

  Tahap identifikasi model menghasilkan suatu model yang sesuai untuk data. Identifikasi sistem antara lain menggunakan model all-pole filter yang disebut dengan Autoregresif (AR), all-zero filter yang disebut dengan Moving

  

Average (MA), atau sistem yang mengandung poles dan zeros yang disebut

dengan Autoregresif dan Moving Average (ARMA) (Proakis, 1992).

  Tugas akhir ini akan membuat program simulasi untuk melakukan identifikasi sistem. Simulasi digunakan untuk membandingkan ketiga model sinyal tersebut (AR, MA dan ARMA), dan selanjutnya dipilih model yang terbaik. berdasarkan sampel informasi yang dimiliki oleh sistem atau objek tersebut, dan lain sebagainya.

  1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian

  1 Tujuan dari tugas akhir ini adalah menghasilkan program simulasi yang dapat digunakan untuk mengindentifikasi suatu sistem.

  Beberapa manfaat yang diharapkan diperoleh dari pembuatan program simulasi untuk tugas akhir ini adalah :

  1. Membantu para dosen pengampu mata kuliah pengolahan sinyal digital dalam menjelaskan identifikasi sistem.

  2. Tersedianya program simulasi bagi mahasiswa untuk membantu memahami/membandingkan model-model dari identifikasi sistem.

  1.3. Batasan Masalah

  Beberapa batasan masalah dalam pembuatan program simulasi untuk identifikasi sistem adalah sebagai berikut :

  1. Simulasi menggunakan program MATLAB.

  2. Program simulasi dibuat dengan menggunakan tiga metode, yaitu : Pade’s approximation method, Prony’s method dan Shanks’ method.

  3. Model yang akan disimulasikan adalah model Autoregresif (AR), Moving Average (MA), Autoregresif dan Moving Average (ARMA).

  1.4. Metodologi Penelitian

  Metode penyusunan laporan tugas akhir ini menggunakan metode-metode sebagai berikut :

  1. Studi Literatur Pencarian informasi, data-data, dan dasar teori melalui buku-buku referensi, internet, laporan ilmiah, dan makalah hasil presentasi.

  2. Pengujian Program Simulasi Membahas dan menganalisa hasil rancangan yang diperoleh dari program simulasi untuk system identification (SID).

  1.5. Sistematika Penulisan

  Sistematika penulisan yang digunakan untuk proposal TA ini adalah :

  BAB I : Pendahuluan Bab ini berisi latar belakang, tujuan dan manfaat penelitian, batasan

  masalah, metodologi penelitian dan sistematika penulisan dalam pembuatan laporan tugas akhir.

  BAB II : Teori Pendukung Bab ini berisi teori-teori pendukung yang digunakan dalam pembahasan. BAB III : Perancangan Program Simulasi Bab ini berisi penjelasan tentang konsep dan langkah-langkah

BAB IV : Hasil dan Pembahasan Bab ini berisi hasil simulasi dan pembahasan dari program simulasi untuk system identification (SID). BAB V : Penutup Bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran yang mungkin berguna untuk pengembangan program lebih lanjut.

BAB II DASAR TEORI 2.1. Linear Time-Invariant Systems Sifat dasar sistem, yaitu dua diantaranya linearitas (linearity) dan

  invariansi waktu (time invariance) berperan dalam analisis sinyal dan sistem (Oppenheim, 2000). Sistem linier merupakan sistem yang memiliki sifat superposisi, yaitu jumlah tanggapan sistem dari masukan beberapa sinyal. Gambar 2.1 adalah suatu sistem dengan input x ( n ) dan x ( n ) , output y ( n ) dan y ( n ) . _{1 2 1 2}

  x ( n ) ₁ y ( n ) ₁ SISTEM x ( n )

_{2 y ( n )}

₂ SISTEM

Gambar 2.1. Sistem dengan dan sebagai sinyal input, dan

  x ( n ) x ( n ) y ( n ) ₁

₂

₁ ( ) sebagai sinyal output (Oppenheim, 2000). y n ₂ Sistem di atas dikatakan linier jika :

• x ( n ) x ( n ) y ( n ) y ( n ) →

  1. Tanggapan pada adalah sifat aditivitas _{1 2 1 2} (additivity).

  x ( n ) x ( n ) y ( n ) y ( n )

  1

  2

  1

  2 SISTEM

Gambar 2.2. Sifat aditivitas (additivity) pada sistem linier (Oppenheim, 2000).

  2. Dua input x ( n ) dan x ( n ) memiliki nilai konstan a dan b, sehingga _{1 2}

• ax ( n ) bx ( n ) = a x ( n ) b x ( n ) → sifat homogenitas
_{1 2} [ ] [ ] _{1 2} (homogeneity).

  ax ( n ) bx ( n ) ay ( n ) by ( n )

  1

  2

  1

  2 SISTEM Gambar 2.3. Sifat homogenitas (homogeneity) pada sistem linier (Oppenheim, 2000).

  Suatu sistem dikatakan time-invariance jika pergeseran pada input oleh n menghasilkan pergeseran pada output oleh n . Jadi, jika y(n) adalah tanggapan sistem time-invariant pada suatu input x(n), maka untuk pergeseran pada input

  

x ( n − n ) mempunyai tanggapan sistem y ( n − n ) . Pada hakekatnya,

berarti bagian dari sistem yang tidak bisa diubah dengan waktu. time-invariance

  Jika suatu sistem dengan input x (n ) dan output y (n ) seperti pada

gambar 2.1 adalah sistem time-invariance, maka sistem dengan input x ( n − ) n mempunyai output y ( n − n ) seperti pada gambar 2.4,

  x ( n − n ) y ( n − n ) SISTEM

Gambar 2.4. Sistem

  time-invariance dengan x ( n − n ) sebagai sinyal input, y ( n − n ) sebagai sinyal output (Oppenheim, 2000).

  Suatu sistem yang mengandung linearity dan time-invariant disebut sistem

2.1.1. Sistem LTI Waktu-Diskrit

  ) 2 ( ) 3 (

  δ δ

  δ maka jumlah dari lima deret unit impuls dari gambar 2.5(a) adalah : K K

  ) ) 3 (

  ) 3 ( ) 2 (

  ) 2 ( ) 1 ( 1 (

  ) ( ) ( ) ) 1 (

  ) 1 ( ) 2 (

  ) 3 ( (

  ) 1 ( 1 (

  n x n x n x n x n x n x n x n x

  δ δ δ δ δ δ δ

  (2-2) Untuk setiap harga n pada persamaan (2-2), hanya satu dari sekian banyak rumus pada sisi sebelah kanan yang bukan nol. Penulisan penjumlahan dalam bentuk yang lebih ringkas (Oppenheim, 2000) adalah :

  (2-3)

  ∑ ∞ ∞ − =

  − = _k

  ( k n k x n x ) ) ( ) ( δ

  n n x n x n n x n x n n x n x

  1 ), 1 ( )

  Analisis sistem waktu diskret didasarkan pada tanggapan unit impuls, yang didefinisikan sebagai keluaran bagi masukan sistem yang berbentuk unit impuls ) ( _k

  Dari gambar 2.5 (a) dapat diubah menjadi bentuk matematisnya sebagai berikut : ⎩ ⎨ ⎧

  δ (Gabel, 1988) yaitu : ⎩ ⎨ ⎧

  = ≠

  = ,

  1 ,

  ) (

  

n

n

n

  δ (2-1)

  ≠ =

  ) ( ) ( , 1 ,

  = − ⎩ ⎨ ⎧

  ≠ =

  = ⎩ ⎨ ⎧

  − ≠ − = −

  = + − .

  1 , 1 ), 1 (

  ) ) 1 ( 1 (

  , , ), (

• − + − + − +
• − + + − + + − + =
• 1
<
• 3
• 4
• 1,5 -1,5 -1,5 ...
• 2,5 1,5
• 4 -3 -2
• 1 0 1 2 3 4
• 4 -3 -2
• 1 0 1 2 3 4
• 1,5 ...
>4 <
• 2 -1 0 1 2 3 4

• -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

  ) ) 2 ( 2 ( − n x

  2 3 4 n

  ...

  1,5 ...

  δ (e)

  n x

  −

  ) ) 1 ( 1 (

  n

  2,5 ... ...

  ) ( ) ( n x δ (d)

  n

  ...

  − 1 ( + n x δ (c)

  n

  ) ) 1 (

  ...

  2 ...

  − 2 ( + n x δ (b)

  ) ) 2 (

  n

  ...

  2

  2

  1 2,5

  ) (n x (a)

  4

  n 0 1 2 3

Gambar 2.5 (b-f) menjelaskan deretan unit impuls yang tergeser, ... ...

  δ (f)

• 4 -3 -2 -1 0 1

  Karena adalah keluaran sistem LTI pada saat masukannya δ maka

  h (n ) (n )

  keluaran untuk masukan pada sistem linier yang dinyatakan persamaan

  y (n ) x (n )

  (2-3) dinyatakan sebagai,

  ∞ y ( n ) = x ( k ) h ( n − k )

  ∑ = − ∞ k

  (2-4) Hasil ini dirujuk sebagai jumlah konvolusi atau jumlah superposisi, dan operasi pada sisi sebelah kanan dari persamaan (2-4) dikenal sebagai konvolusi dari deretan x (n ) dan h (n ) . Secara simbolis operasi konvolusi direpresentasikan sebagai,

  (2-5)

  y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) Karakteristik dari sistem LTI ditentukan sepenuhnya oleh tanggapan impulsnya.

  Persamaan (2-4) menyatakan tanggapan unit impuls dari sebuah sistem LTI terhadap masukan sembarang.

2.1.2. Sifat-sifat Sistem Linear Time-Invariant

  Dalam kondisi waktu diskrit representasi menggunakan bentuk jumlah konvolusi, seperti persamaan (2-6),

  ∞ y ( n ) = x ( k ) h ( n − k ) = x ( n ) ∗ h ( n )

  (2-6) _{k = − ∞} ∑ Sistem LTI memiliki beberapa sifat dasar konvolusi, yaitu sifat komutatif, sifat distributif dan sifat asosiatif yang akan dijelaskan pada sub bab berikut.

  2.1.2.1. Sifat Komutatif

  Sifat dasar konvolusi adalah operasi komutatif, artinya dalam waktu diskrit

  ∞ x ( n ) ∗ h ( n ) = h ( n ) ∗ x ( n ) = h ( k ) x ( n − k )

  (2-7) _k ∑

  = − ∞ Pada persamaan (2-7) dapat dilihat bahwa x (n ) dan h (n ) saling bertukar peran.

  Keluaran sistem LTI dengan masukan x (n ) dan tanggapan unit impuls h (n ) adalah identik terhadap keluaran dari sistem LTI dengan masukan h (n ) dan tanggapan unit impuls x (n ) .

  2.1.2.2. Sifat Distributif

  Sifat dasar lainnya dari konvolusi adalah sifat distributif. Khususnya, konvolusi mengatur penambahan. Persamaan (2-8) menjelaskan sifat distributif dalam waktu diskrit,

• x ( n ) ∗ h ( n ) h ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) x ( n ) ∗ h ( n )

  [ ^{1 2 ] 1 2 (2-8)}

  Sifat distributif mempunyai penafsiran yang bermanfaat dalam lingkup interkoneksi sistem, seperti ditunjukkan pada gambar (2.6).

  y ( n ) ₁ h ( n ) ₁ x (n ) x (n ) (n ) y y (n )

  h ( n ) h ( n ) _{1 2} h ( n ) ₂

  (b)

  y ( n ) ₂

  (a)

Gambar 2.6. Penafsiran sifat distributif dari konvolusi untuk interkoneksi paralel

  dari sistem-sistem LTI (Oppenheim, 2000)

  Sistem yang diperlihatkan dalam diagram blok adalah sistem-sistem LTI dengan tanggapan unit impulsnya. Kedua sistem tersebut, dengan tanggapan impuls h ( n ) ₁ dan h ( n ) mempunyai masukan identik, dan keluarannya ditambahkan. Karena, ₂

  y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) _{1 1}

  (2-9) (2-10)

  ( ) ( ) ( ) y n = x n ∗ h n _{2 2}

  maka sistem dari gambar 2.6 (a) mempunyai keluaran, ₁ + y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) x ( n ) ∗ h ( n ) ₂ (2-11) dan sistem dari gambar 2.6 (b) mempunyai keluaran, ₁ + y ( n ) = x ( n ) ∗ [ h ( n ) h ( n ) ] (2-12) ₂

2.1.2.3. Sifat Asosiatif Sifat yang penting dan bermanfaat lainnya dari konvolusi adalah asosiatif.

  Artinya, dalam waktu diskrit : (2-13)

  x ( n ) ∗ h ( n ) ∗ h ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) ∗ h ( n ) [ ] [ ] _{1 2 1 2} Penafsiran sifat asosiatif untuk sistem-sistem waktu diskrit diilustrasikan dalam gambar 2.7 (a) dan 2.7 (b).

  Dalam gambar 2.7 (a)

  y ( n ) = w ( n ) ∗ h ( n )

₂

  (2-14)

  x ( n ) h ( n ) h ( n )

  = [ ∗ ] ∗ _{1 2} Dalam gambar 2.7 (b)

  y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n )

  (2-15) = x ( n ) ∗ [ h ( n ) ∗ h ( n ) ] _{1 2} Sesuai dengan sifat asosiatif, interkoneksi seri dari kedua sistem dalam gambar

  2.7 (a) adalah ekivalen terhadap sistem tunggal dalam gambar 2.7 (b). Tanggapan impuls dari kedua sistem LTI serial adalah konvolusi dari tanggapan-tanggapan impuls tunggalnya.

  w (n ) x (n ) y (n )

  (a) h ( n ) ₁ h ( n ) ₂

  x (n ) y (n ) h ( n ) h ( n ) h ( n )

  (b) = ∗ _{1 2}

  x (n ) y (n ) h ( n ) h ( n ) h ( n )

  = ∗ _{2 1}

  (c)

  x (n ) y (n )

  (d)

  h ( n ) h ( n ) _{2 1} Gambar 2.7. Penafsiran sifat asosiatif dari konvolusi dan sifat komutatif untuk deret interkoneksi sistem-sistem LTI (Oppenheim, 2000).

Gambar 2.7 (b) ekivalen dengan gambar 2.7 (c), karena bersifat komutatif.Gambar 2.7 (d) merupakan kombinasi serial dari kedua sistem seperti padagambar 2.7 (a), tetapi dengan urutan serial terbalik. Urutan serial tidak menjadi masalah sejauh yang diperhatikan adalah tanggapan impuls secara keseluruhan.

2.1.3. Persamaan Beda Koefisien-Konstan Linier

  Dalam menganalisa dan merancang sistem, sistem-sistem dari berbagai aplikasi yang berbeda mempunyai persamaan matematis yang hampir mirip (Oppenheim, 2000). Persamaan (2-16) merupakan persamaan beda koefisien konstan-linier orde ke-N. _{N M}

  a y ( n − k ) = b x ( n − k ) _{k k}

  (2-16)

  ∑ ∑ Dari persamaan (2-16), dapat dinyatakan sebagai jumlah dari solusi khusus

  y (n )

  untuk persamaan (2-16) dan penyelesaian persamaan homogen

  N a y ( n − k ) = _k

  (2-17) ∑ _{k =} Persamaan (2-16) dapat juga ditulis dalam bentuk

  M N

  1 ⎧ ⎫

  y ( n ) = b x ( n − k ) − a y ( n − k ) _{k k}

  ⎨ ⎬ (2-18)

  ∑ ∑ a _{k = k =} ¹

  ⎩ ⎭ Persamaan (2-18) secara langsung menyatakan keluaran pada waktu sebagai n akibat dari harga masukan dan keluaran sebelumnya. Untuk menghitung y (n ) ,

  − K −

  kita perlu mengetahui y ( n

  1 ), , y ( n N ) . Oleh karena itu, jika kita diberikan

  masukan untuk semua dan sekumpulan kondisi tambahan seperti n

  − + − − y ( N ), y ( N 1 ), K , y ( 1 ) , maka persamaan (2-18) dapat dipecahkan untuk harga y (n ) yang berurutan.

  Persamaan yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2-16) atau persamaan (2-18) disebut persamaan rekursif, karena persamaan ini menspesifikasikan prosedur rekursif untuk menentukan keluaran sebagai akibat

  M ⎛ ⎞ b _k y ( n ) = x ( n − k )

  (2-19)

  ∑ _{k a} ⎜⎜ ⎟⎟ =

  ⎝ ⎠ y (n ) merupakan fungsi eksplisit dari harga masukan sekarang dan sebelumnya.

  Karena alasan ini, persamaan (2-19) disebut persamaan nonrekuesif, karena tidak secara rekursif menggunakan harga keluaran yang dihitung sebelumnya untuk menghitung harga keluaran sekarang. Persamaan (2-19) menggambarkan sistem LTI dan dengan perhitungan langsung, tanggapan impuls dari sistem adalah

  b

  ⎧ n , ≤ n ≤ M

  ⎪

  h ( n ) a

  = ⎨

  (2-20) , lainnya

  ⎪⎩ Tanggapan impuls persamaan (2-19) mempunyai selang waktu tertentu, tanggapan ini bukan nol hanya pada interval waktu tertentu. Oleh sebab itu, persamaan (2-19) disebut sistem tanggapan impuls tertentu (Finite Impulse Response = FIR System).

2.1.4. Operasi Diagram Blok

  Operasi diagram blok membantu untuk simulasi atau implementasi sistem-sistem. Gambar 2.8 menggambarkan tiga elemen dasar, yaitu penambahan,

  x ( n ) ₂

• (a) x ( n ) ^{1 x ( n ) x ( n )}
¹ 2<
• a

  ( ) b x (n ) ax (n ) (c) x (n ) D

  x ( n −

  1 )

Gambar 2.8. Elemen-elemen dasar untuk operasi diagram blok

  (Oppenheim, 2000) (a) Penambahan (adder) (b) Perkalian dengan koefisien (c) Unit penundaan

Gambar 2.9 merupakan contoh dari sistem umpan balik, keluaran sistem diumpan balikkan melalui penundaan dan perkalian oleh koefisien dan kemudian ditambah

  dengan bx (n ) . Keluaran dari representasi diagram blok pada gambar 2.9 adalah, 1 ) bx ( n )

• y ( n ) = − ay ( n −

  (2-21)

  b x (n ) y (n )

• D

  − a y ( n −

  1 )

2.2. The Least Squares Methods

  The least squares methods digunakan untuk memperkirakan parameter

  model, selain itu juga digunakan pada banyak aplikasi dalam pemrosesan sinyal (Dwight, 1995). The orthogonality principle merupakan salah satu metode yang digunakan dalam The least squares methods, yang diterapkan pada berbagai macam masalah-masalah persamaan linier. Gambar 2.10 merupakan sebuah filter

  

finite impulse response (FIR) dengan koefisien h , h , K , h . x (n ) merupakan

_{o 1 p}

input dan y (n ) adalah output yang diinginkan, maka keluaran untuk x (n ) adalah

output yang diinginkan ditambah dengan noise, seperti pada persamaan (2-22)
• x ( n ) = s ( n ) w ( n )

  (2-22) dengan = .

  y ( n ) s ( n ) Data yang diberikan adalah, K dan K . x ( ), x ( 1 ), , x ( N ) y ( ), y ( 1 ), , y ( N )

Gambar 2.10 memiliki input dan output

  _p x (n ) ˆ y ( n ) = h ( k ) x ( n − k )

  (2-23)

  ∑ _k = x (n ) _{1 1 1}

  − − − z z … z h h h h ₁ ^{2 p}

  ˆ n

  y ( )

• =

  ) ( ) ) 1 ( (

  h h p x x x h p x h x h x p y _{p p p p}

  ) 1 ( ˆ 1 (

  ) 1 ( ) 2 (

  ) 2 ( 1 ( )

  ) ) 1 (

  − − ₁ ¹

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

  Output berikutnya adalah : [ ]

  M K K (2-26)

  

h

h

h

p x x x h p x h x h x p y

_p

_{p p p}

  ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ˆ

  − − ₁ ¹

  =

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  [ ]

  (2-25) Jika data dimasukkan, maka output saat adalah : p ) (n x

  = ε

  =

  ^N n e _n ∑

  ) ( ²

  square error ) ditunjukkan pada persamaan (2-25) berikut :

  (2-24) Pendekatan least squares untuk meminimalkan jumlah error (minimize sum of

  = − − = − = ^p _k ( k n x k h n y n y n y n e ) ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) (

  error dari filter FIR pada gambar 2.10 adalah : ∑

  K K

• =
• = +
• =