MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN KETANGKASAN BOLA (JUGGLING) SEDERHANA

  

MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN

KETANGKASAN

BOLA ( JUGGLING) SEDERHANA

  

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Oleh :

  Prisca Devi Yudistasari NIM : 053114020

  PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2011

  

MATHEMATICAL MODELS OF SIMPLE JUGGLING

THESIS

  Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics by :

  Prisca Devi Yudistasari Student Number : 053114020

  MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2011

  

" Don't let anyone look down on you because you are young,

but set an example for the believers in speech, in life, in love,

in faith and in purity." (1 Timotius 4:12)

Try not to measure your success by the success of others.

  

Success should be defined by one person: "Yourself!"

• -Lupe Fiasco-

  Life is so much easier when you trust the process.

  

Trust God!

Never be afraid of hanging your dream high. The higher your

dream is, the harder your effort would be

  

"You must learn from your past mistakes, but not learn on your

past successes. "

• -Denis Waitley-

  

ABSTRAK

  Permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana adalah permainan juggling dimana susunannya periodik, beatnya konstan, dan paling banyak satu bola akan dilempar dan ditangkap untuk setiap beat. Pada skripsi ini yang akan dibahas adalah model matematika dari permainan juggling sederhana yaitu mencari tahu saat beat ke berapa bola akan dilempar dan ditangkap. Model matematika tersebut digambarkan dengan barisan juggling. Barisan juggling adalah lamanya suatu bola saat mulai dilempar untuk setiap beat pada satu periode. Pembahasan skripsi ini akan menunjukkan bagaimana mengetahui suatu barisan merupakan barisan juggling atau bukan dengan menggunakan diagram

  

juggling atau tes permutasi. Selain itu akan ditunjukkan bagaimana mengubah

  suatu barisan juggling menjadi barisan juggling yang baru dan mencari invers dari barisan juggling.

  

ABSTRACT

  Simple juggling is the game of juggling where the patterns are periodic, the beats are constant, and at most one ball gets caught and thrown on every beat. In this thesis, which will be discussed are mathematical models of simple juggling is to find out when the beats to how the ball will be thrown and caught. Mathematical model is illustrated with juggling sequence. Juggling sequence is the duration of a ball when thrown it begins for one period on every beat. Discussion of this thesis will show how to know a sequence is a juggling sequence or not using juggling diagram or permutation test Furthermore will be shown how _. to transform juggling sequence into new juggling sequence and find inverse of a juggling sequence.

KATA PENGANTAR

  Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis mendapat bantuan, bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada:

  a. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

  b. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

  c. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu dan membantu serta sabar membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

  d. Prof. Frans Susilo, S.J. selaku dosen pembimbing akademik.

  e. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna kepada penulis.

  f. Seluruh karyawan sekretariat FST yang telah memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa kuliah.

  g. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis. h. Ayahku (Alm) Edi Susanto yang ada di Surga, terima kasih atas pendampingan dan doa dimanapun aku berada. i. Ibuku Eni Lestari dan kakakku Maria Eva Riska Meditasari yang selalu memberikan doa, perhatian, dukungan dan cintanya kepada penulis. j. Temen-temen matematika angkatan 2005 terkhususnya sahabat- sahabatku : Yosephin Artiani, Wuri Johana Fransisca dan Agnes Tri

  Susilawati, terima kasih sudah memberikan kenangan indah selama kuliah baik senang, sedih, tangis dan tawa yang sudah kita lewati bersama. k. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat menyempurnakan skripsi ini.

  Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca demi perkembangan ilmu pengetahuan, khususnya matematika.

  Yogyakarta, 14 Desember 2010 Penulis

  

DAFTAR ISI

  Halaman

  

HALAMAN JUDUL …………………………………….................. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ...................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………….. iii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………........ iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS ……. v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ….. vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………................................ vii

ABSTRAK .......................................................................................... viii

ABSTRACT ........................................................................................ ix

KATA PENGANTAR …………………………………………........ x

DAFTAR ISI ………………………………………………………... xii

DAFTAR TABEL ………………………………………………….. xiv

DAFTAR GAMBAR ………………………………………………. xv

  BAB I PENDAHULUAN A. _{Latar Belakang Masalah ………………………………………....}

  1 B. _{Rumusan Masalah ……………………………………………..... 3} C. _{Batasan Masalah ……………………………………………........ 3} D. _{Tujuan Penulisan ……………………………………………....... 4} E. _{Metode Penulisan .......................................................................... 4} F. _{Manfaat Penulisan …………………………………………….....}

  4 G. _{Sistematika Penulisan ………………………………………....... 5}

  BAB II LANDASAN TEORI A. _{Aritmetika Modulo …………………………….………………}

  6 B. _{Relasi dan Fungsi ……………………………………………… 7} C. _{Permutasi ……………………………………............................ 18}

  

BAB III MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN KETANGKASAN

BOLA ( JUGGLING) SEDERHANA A. _{Permainan Ketangkasan Bola (Juggling) Sederhana ……… 20} B. _{Diagram Juggling ………………………………....................... 24} C. _{Teorema Rata-Rata ……………………………......................... 25} D. _{Pertukaran Tempat (Site Swaps) dan Algoritma} Perataan (Flattening Algorithm) …………………..................... 38 E. _{Tes Permutasi ……………..…………………………………... 58} BAB IV PENUTUP A. _{Kesimpulan …………………………………………………….}

  78 B. _{Saran …………………………………………………………...}

  78 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………...... 80

  

DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 3.1 .................................................................................................. 70Tabel 3.2 .................................................................................................. 75

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman

Gambar 3.1 .............................................................................................. 20Gambar 3.2 .............................................................................................. 22Gambar 3.3 .............................................................................................. 23Gambar 3.4 .............................................................................................. 24Gambar 3.5 .............................................................................................. 24Gambar 3.6 .............................................................................................. 26Gambar 3.7 .............................................................................................. 33Gambar 3.8 .............................................................................................. 34Gambar 3.9 .............................................................................................. 39Gambar 3.10 ............................................................................................ 40Gambar 3.11 ............................................................................................ 58Gambar 3.12 ............................................................................................ 72Gambar 3.13 ............................................................................................ 76

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Ada berbagai macam permainan yang dapat dimainkan dalam

  kehidupan sehari-hari. Salah satunya yaitu permainan ketangkasan bola (juggling). Juggling dapat digambarkan sebagai suatu permainan dimana pemain melempar dan menangkap sejumlah bola agar tetap di udara dan tidak jatuh ke tanah. Bola akan dilempar satu-persatu dan jika lemparan bola tinggi maka bola akan lebih lama untuk ditangkap, sedangkan jika lemparan bola pendek maka bola akan cepat untuk ditangkap. Beat pada permainan juggling didefinisikan sebagai satuan waktu untuk melakukan suatu gerakan.

  Gerakan ini dapat berupa gerakan melempar, gerakan menangkap, atau tidak melakukan gerakan apapun (diam). Dalam permainan juggling, beat akan selalu konstan sehingga dapat diprediksi saat beat ke berapa bola akan dilempar, ditangkap, atau tidak dilempar dan ditangkap (diam). Agar bola tidak jatuh ke tanah harus ada suatu susunan dimana bola suatu saat harus dilempar lebih tinggi atau bola dilempar lebih rendah. Cara melempar dan menangkap bola bervariasi, misalkan tangan pemain ada didepan, tangan pemain ada di belakang, tangan pemain disilangkan, dan sebagainya.

  Juggling ada beberapa jenis diantaranya yaitu juggling sederhana, juggling multiplex dan juggling dengan banyak tangan. Juggling sederhana

  adalah permainan juggling dimana paling banyak satu bola akan ditangkap dan dilempar pada beat yang sama. Juggling multiplex adalah permainan

  

juggling dimana akan ada beberapa bola yang ditangkap dan dilempar pada

beat tertentu. Misalnya, jika seorang pemain melakukan permainan juggling

  7 bola, maka pemain itu tidak harus selalu melempar dan menangkap satu bola pada beat tertentu tetapi dapat juga melempar dan menangkap 3 bola pada beat tersebut. Dari definisi tersebut dapat dikatakan bahwa juggling sederhana juga merupakan juggling multiplex. Untuk juggling sederhana dan juggling mulitplex hanya akan dimainkan menggunakan satu tangan, sedangkan juggling dengan banyak tangan akan dimainkan menggunakan lebih dari satu tangan.

  Dalam permainan juggling biasanya akan diperhatikan beberapa hal dalam melakukan permainan ini yaitu cara melempar dan menangkap bola, banyaknya orang yang memainkan, banyaknya bola yang digunakan, dan panjang lemparan bola. Karena pembahasan hanya pada permainan

  

juggling sederhana, maka banyaknya tangan tidak akan diperhatikan. Cara

  melempar dan menangkap bola juga tidak akan diperhatikan pada pembahasan ini, sehingga hanya akan diperhatikan banyaknya bola yang dimainkan dan panjang lemparan bola. Panjang lemparan bola didefinisikan sebagai lamanya suatu bola saat mulai dilempar dan ditangkap kembali.

  Panjang lemparan bola juga akan menentukan pada beat ke berapa bola akan dilempar dan ditangkap. Panjang lemparan bola ini yang kemudian akan dimodelkan pada permainan juggling.

  Dalam skripsi ini, topik yang akan dibahas hanya pada permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana yaitu menentukan model matematika pada permainan juggling dan beberapa cara mengubah model juggling tersebut menjadi model juggling yang baru dengan syarat-syarat tertentu.

  B. Rumusan Masalah

  Berdasarkan atas uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Bagaimana mendeskripsikan suatu permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana?

  2. Bagaimana model matematika pada permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana?

  3. Bagaimana mengubah suatu model juggling yang sudah ada menjadi model juggling yang baru?

  C. Batasan Masalah

  Pembahasan masalah dalam skripsi ini hanya dibatasi pada susunan permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana dan menentukan model matematika pada permainan juggling tersebut. Pembuktian rumus penyusunan barisan juggling pada subbab 3.5.1 (halaman 69) juga tidak akan dijelaskan secara matematis.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk :

  1. Mengetahui deskripsi suatu permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana.

  2. Mengetahui model matematika pada permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana.

  3. Mengubah suatu model juggling yang sudah ada menjadi model juggling yang baru dengan syarat-syarat tertentu.

  E. Metode Penulisan

  Metode penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan makalah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah :

  1. Dapat mengetahui deskripsi suatu permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana.

  2. Dapat mengetahui model matematika pada permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana.

  3. Dapat mengetahui cara mengubah suatu model juggling yang sudah ada menjadi model juggling yang baru.

G. Sistematika Penulisan

  BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi ini yang

  meliputi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II LANDASAN TEORI Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan bab selanjutnya yaitu aritmetika modulo, fungsi, dan permutasi.

BAB III MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN

KETANGKASAN BOLA ( JUGGLING) SEDERHANA Bab ini membahas permainan ketangkasan bola (juggling)

  sederhana meliputi susunan juggling, diagram juggling, barisan

  juggling , metode-metode untuk mengubah barisan juggling, dan invers dari barisan juggling.

  BAB IV PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah dipaparkan dan saran.

BAB II LANDASAN TEORI A. ARITMETIKA MODULO Aritmetika modulo adalah salah satu metode abstrak untuk

  melakukan penghitungan. Sebagai contoh, jika sekarang bulan September, bulan apakah setelah 25 bulan dari sekarang? Jawabannya adalah Oktober, dan itu dapat dengan mudah dihitung mulai dari September dan menghitung 25 bulan ke depan. Tetapi terdapat cara yang lebih sederhana yaitu bahwa 25 didapat dari 25 = + 2 ⋅

  12 1 , maka tinggal menghitung 1 bulan setelah September. Berikutnya akan didefinisikan cara ini secara umum.

  Definisi 2.1.1

• Misal m suatu bilangan bulat positif dan a ∈ Ζ . Jika a = mq r dengan

  q adalah hasil bagi dan r adalah sisa pembagian a oleh m, maka dapat ditulis bahwa a mod m = r .

  Dari definisi diatas didapat bahwa r adalah sisa pembagian a oleh .

  m , sehingga nilai r dapat ditulis yaitu ≤ r < m Contoh 2.1.1

  3 mod 2 = 1 karena 3 = 1 ⋅

  2

• 1.

  1

  11 mod 3 = 2 karena 11 = 3 ⋅

  3

• 2.

  2 Teorema 2.1.1 Setiap bilangan bulat modulo m terletak tepat satu di antara

  , 1 , 2 , K , ( m − 1 ) .

  Bukti : Ambil sebarang bilangan bulat a dan misalkan a mod m = r .

  = + Dari Definisi 2.1.1 didapat bahwa ada q sedemikian hingga a mq r dengan r ∈ Ζ dan ≤ r < m .

  K Karena ≤ r < m , maka r terletak di antara , 1 , 2 , , ( m − 1 ) .

  ■ B.

   RELASI DAN FUNGSI Definisi 2.2.1

  Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

  Relasi dari dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

• Dengan diagram panah
• Dengan himpunan pasangan berurutan
• Dengan diagram Cartesius

  Contoh 2.2.1

  Diketahui A = {3,4,5} dan B = {2,4}. Bila relasi dari A ke B adalah lebih dari, nyatakan relasi tersebut dengan : a. Diagram panah

  b. Himpunan pasangan berurutan

  c. Diagram Cartesius Jawab :

  a. Diagram panah

  A B

  3

  4

  2 5 4 b. Himpunan pasangan berurutan

  {(3,2), (4,2), (5,2), (5,4)}

  c. Diagram Cartesius

  Definisi 2.2.2

  Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang menetapkan bahwa setiap elemen di A mempunyai tepat satu pasangan elemen di B. Untuk mendefinisikan bahwa f memetakan A ke B

  → akan disimbolkan dengan f : A B .

  Tidak semua relasi merupakan sebuah fungsi atau pemetaan, hanya relasi tertentu yang memenuhi persyaratan tersebut diatas.

  Ciri-ciri relasi yang merupakan pemetaan/fungsi :

1. Pada diagram panah : semua anggota A mempunyai pasangan dan tidak ada cabang relasi dari himpunan A.

  Contoh pemetaan/fungsi : B

  A

>

Contoh bukan pemetaan/fungsi : A B A B

• Terdapat cabang dari Terdapat satu anggota A yang himpunan A tidak mempunyai pasangan

2. Pada himpunan pasangan berurutan : tidak terdapat dua unsur himpunan A yang ditulis lebih dari satu kali.

  Contoh pemetaan/fungsi : {a,1), (b,1), (c,2), (d,3)} Contoh bukan pemetaan/fungsi : {(a,1), (b,2), (b,3), (c,3)} 3. Pada diagram Cartesius : tidak ada dua titik segaris vertikal.

  Contoh pemetaan/fungsi :

  Contoh bukan pemetaan/fungsi :

  Definisi 2.2.3

  Fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi surjektif (onto) jika setiap elemen di B mempunyai sekurang-kurangnya satu pasangan elemen di A.

  Contoh 2.2.2 Misal diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c}.

  →

  Fungsi f : A B dikatakan fungsi surjektif jika setiap elemen di B mempunyai sekurang-kurangnya satu elemen di A. Sebagai contoh dapat dilihat sebagai berikut :

  A B

  1 a 2 b 3 4 c

  Definisi 2.2.4

  Fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi injektif (satu-satu) jika setiap elemen di B mempunyai paling banyak satu pasangan elemen di

  A .

  Contoh 2.2.3 Misal diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d, e}.

  → dikatakan fungsi injektif jika setiap elemen di B

  Fungsi f : A B mempunyai paling banyak satu elemen di A. Sebagai contoh dapat dilihat sebagai berikut :

  A B

  1 a 2 b 3 c 4 d e

  Definisi 2.2.5

  Fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bijektif (onto dan satu-satu) jika dan hanya jika f merupakan fungsi surjektif dan fungsi _{1 1}

  − injektif, dan dinotasikan dengan f : A ⎯ ⎯→ B . _onto

  Contoh 2.2.4 Misal diketahui A = {1, 2, 3}dan B = {a, b, c}.

  → dikatakan memenuhi fungsi bijektif jika setiap elemen

  Fungsi f : A B di B mempunyai sekurang-kurangnya satu elemen di A dan setiap elemen di B mempunyai paling banyak satu elemen di A. Sebagai contoh dapat dilihat sebagai berikut :

  A B

  1 a 2 b 3 c

  Untuk membuktikan bahwa suatu fungsi merupakan fungsi surjektif, fungsi injektif atau fungsi bijektif, maka ada cara yang dapat digunakan untuk mengetahuinya yaitu :

  1. Untuk menunjukkan bahwa φ adalah fungsi surjektif, dapat

  = diperlihatkan bahwa untuk ∀ , ∃ sedemikian hingga φ ( a ) b . _{b B a A} ∈ ∈

  2. Untuk menunjukkan bahwa φ adalah fungsi injektif, dapat diperlihatkan bahwa φ ( a ) = φ ( a ) → a = a ) .

  1

  

2

  1

  2 Contoh 2.2.5

• Fungsi → didefinisikan dengan f n = n 2 .

  f : R R ( ) Jawab :

  ∈

  Ambil sebarang k ∈ R , akan ditunjukkan ada n R sedemikian hingga

  

f n = . k

( )

• Karena f n = n 2 , maka

  ( )

• + 2 =

  n k .

  = k −

  Didapat bahwa n 2 . Karena k ∈ R , maka ∈ .

  n R

  Untuk n = k − 2 , maka

  2 ) ( k 2 )

  2 − = −

• f ( k

  = k Jadi fungsi f merupakan fungsi surjektif.

  Contoh 2.2.6

  f R R ( )

  3 + Fungsi : → didefinisikan dengan f n = n 2 .

  Apakah fungsi f merupakan fungsi injektif ? Jawab : Harus dibuktikan bahwa :

  ∀ ∈ ( R ) ( f ( n ) = f ( n ) → n = n ) . _{n , n 1 2 1 2 1}

₂

Maka, dimisalkan f n = f n dengan n , n ∈ R , maka ( ) ^{1 ( ) 2 1 2}

f n = f n

  

( ) ( )

_{1 2}

  3 n ₁ 2 = 3 n ₂ + +

  2 kurangkan kedua ruas dengan bilangan 2 :

• ∈ R
• ∈ R x sedemikian hingga

  k x

  Didapat bahwa

  k x

  2

  3 =

  . Karena , maka

  k

  Untuk

  2

  2

  3 = , maka k k k f

  = ⋅ =

  3

  2

  2

  3 )

  2

  3 .

  k x

=

  3 ( b. Ditunjukkan fungsi f merupakan fungsi injektif.

  3 =

  kemudian bagi kedua ruas dengan bilangan 3, sehingga didapat _{2 1}

  

= n n

Jadi fungsi f merupakan fungsi injektif.

  Contoh 2.2.7

  Fungsi didefinisikan dengan

  → R R f :

  ( ) x x f

  2

  . Apakah fungsi f merupakan fungsi bijektif ? Jawab : a. Akan ditunjukkan fungsi f merupakan fungsi surjektif.

  , maka

  Ambil sebarang , akan ditunjukkan ada

  k

  ( ) = . k x f

  Karena

  ( ) x x f

  2

  3 =

• ∈ R
• ∈ R x .

  Harus dibuktikan bahwa :

• ( R ) ( f ( x ) = f ( x ) → x = x ) .

  ∀ ∈ _{x , x 1 2 1 2 1 2}

• Maka, dimisalkan f x = f x dengan x , x , maka
_{1 2 1 2}

  

( ) ( ) ∈ R

f x = f x

  

( ) ( )

_{1 2}

  3

  3

=

2 x ₁ 2 x ₂

  2 x = ₁ 2 x ₂ kemudian bagi kedua ruas dengan bilangan 2, sehingga didapat

  

x x

₁ = ₂ Jadi fungsi f merupakan fungsi injektif.

  Karena fungsi f merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif, maka fungsi f merupakan fungsi bijektif.

  Definisi 2.2.6

  Permutasi dari himpunan A adalah fungsi dari A ke A yang merupakan _{1 1}

  − fungsi satu-satu dan onto. Permutasi ini dinotasikan dengan f : A ⎯ ⎯→ A . _onto Contoh 2.2.8 Misal diketahui A = {1, 2, 3}.

  →

  Fungsi f : A A dikatakan permutasi jika setiap elemen dalam domain A berpasangan dengan elemen dalam kodomain A dan setiap elemen dalam kodomain A berpasangan dengan tepat satu elemen dalam domain A. Sebagai contoh dapat dilihat sebagai berikut :

  A

  A

  1

  1

  2

  2

  3

  3 Definisi 2.2.7 Misal f adalah fungsi satu-satu dengan domain A dan range B. Maka fungsi ₁

  −

  invers f mempunyai domain B dan range A dan didefinisikan dengan

  −1

f y = x ⇔ f ( ) x = y

  ( ) untuk setiap y di B.

  Dari definisi diatas dapat dikatakan bahwa jika f memetakan x ke y, ₁

  −

  maka memetakan y kembali ke x. Jika f bukan fungsi satu-satu, maka ₁ f

  − f tidak dapat didefinisikan.

  Contoh 2.2.9 = x +

  Pandang fungsi f yang didefinisikan oleh y

  5 2 .

  Dengan mempertukarkan variabel-variabel dalam persamaan itu didapat

  x

  2 − x = + 5 y

2 ⇔ y =

  5

  2 − ^{1 x −}

• = x

  Jadi bila f ( x )

  5 2 , maka f ( x ) = .

  5 Contoh 2.2.10 ₂ Misalkan diketahui fungsi y = x − 6 .

  Maka dengan mempertukarkan x dan y didapat ² +

  x = y − 6 ⇔ y = ± x 6 .

  Fungsi diatas bukan merupakan fungsi satu-satu, karena untuk setiap

  6 x > − dalam daerah asal ada dua elemen dalam daerah hasil. ₂ Jadi fungsi y 6 tidak mempunyai invers.

  = x −

C. PERMUTASI Definisi 2.3.1 Permutasi adalah suatu susunan terurut dari objek-objek yang berbeda.

  Objek tersebut terdiri dari objek 1, objek 2, objek 3 dan seterusnya. Setiap objek berbeda satu dengan yang lainnya.

  Contoh 2.3.1

  Misal terdapat 3 huruf yaitu A, B, C. Berapa banyak permutasi yang dapat dibentuk dari 3 huruf tersebut ? Jawab : Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari huruf A, B, C adalah 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).

  Jumlah permutasi yang dapat dibentuk dihitung menggunakan suatu rumus umum. Suatu permutasi dari n objek yang berbeda di mana pada setiap pemilihan diambil sebanyak r objek adalah suatu cara penyusunan r objek dari n objek tersebut dengan memperhatikan urutan susunannya. Didefinisikan : _{n n ! n r n , r r} P = P ( n , r ) = P = P =

  ( )!

  n − r

  dimana ) n ! = n ( n − 1 )( n − 2 )...( 2 )( 1 .

  r = , rumusnya menjadi n

  Pada kasus khusus dimana

  n ! n ! _{n n}

P = = = n !

  ( )! !

  n − n Contoh 2.3.2

  Menggunakan Contoh 2.3.1, hitung berapa banyak permutasi yang dapat dibentuk dari 3 huruf tersebut dengan menggunakan rumus permutasi? Jawab : Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari 3 huruf yaitu 3 !

  3 !

  3

  2

  1 6 . ₃ P = = = ⋅ ⋅ = ₃ ( 3 − 3 )!

BAB III MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN KETANGKASAN BOLA ( JUGGLING) SEDERHANA A. PERMAINAN KETANGKASAN BOLA (JUGGLING) SEDERHANA Kata juggling berasal dari bahasa Latin joculare yang berarti

  lelucon. Permainan juggling lebih sering dikenal sebagai suatu permainan dimana penonton akan terhibur bahkan tertawa saat melihatnya. Sejarah awal dari permainan juggling yaitu dengan ditemukannya salah satu bagian dari lukisan dinding pada sebuah makam di Mesir yang dapat dilihat pada Gambar 3.1.

  Gambar 3.1

  Dari lukisan tersebut dapat dilihat bahwa terdapat tiga orang yang melakukan permainan juggling dengan cara yang berbeda-beda. Orang yang pertama memainkan juggling dengan menggunakan dua bola, orang yang kedua memainkan juggling dengan menggunakan tiga bola, dan orang yang ketiga memainkan juggling dengan menggunakan dua bola serta tangan menyilang. Bagian dari lukisan tersebut merupakan bukti sejarah bahwa sudah ada berbagai bentuk juggling yang telah dimainkan sejak jaman dahulu di beberapa belahan dunia. Artikel-artikel dari Arthur Lewbel juga mendata sejarah dari permainan juggling seperti buku China dari Lie Zi yang menceritakan kemampuan Lan Zi memainkan juggling dengan 7 pedang, ada juga cerita dari Cuchulainn orang Irlandia yang memainkan

  jugling dengan sembilan apel.

  Telah dijelaskan bahwa juggling digambarkan sebagai suatu permainan dimana pemain melempar dan menangkap sejumlah bola agar tetap di udara dan tidak jatuh ke tanah dengan beat yang konstan serta susunan yang periodik. Misalkan permainan 3 bola dengan susunan 333.

  Pertama-tama lemparkan bola satu-persatu, bola pertama dilempar pada beat ke 1 dan akan ditangkap 3 beat kemudian atau pada beat ke 4. Bola kedua dilempar pada beat ke 2 dan juga akan ditangkap 3 beat kemudian atau pada

  

beat ke 5 sedangkan bola ketiga dilempar pada beat ke 3 dan akan ditangkap

  3 beat kemudian atau pada beat ke 6 dan seterusnya. Dari pengertian

  

juggling yang ada, dapat ditambahkan syarat untuk juggling sederhana yaitu

bola akan dilempar dan ditangkap paling banyak satu untuk setiap beat.

  Pada pembahasan juggling sederhana kali ini akan diasumsikan juga bahwa permainan ini tidak akan berhenti.

  Permainan juggling biasa dimainkan dengan b bola pada beat yang konstan. Nilai b menyatakan banyaknya bola yang dimainkan sedangkan

  x ∈ Ζ

beat didefinisikan dengan bilangan bulat yaitu = {..., -2, -1, 0, 1,

2,...}.

3.1.1 Jenis-jenis susunan permainan juggling

  Ada beberapa jenis susunan permainan juggling diantaranya sebagai berikut :

1. Susunan Cascade

  Cara memainkan juggling bola yang paling dasar adalah dengan menggunakan susunan cascade. Susunan ini biasa disebut dengan b bola cascade. Pada susunan ini, bola dilempar secara bergantian pada setiap tangan dan melalui susunan yang menyerupai bentuk angka delapan. Susunan ini biasa digunakan pada permainan juggling dengan jumlah bola ganjil.

  Gambar 3.2

  2. Susunan Fountain Cara memainkan juggling bola yang lain adalah dengan menggunakan susunan fountain. Pada susunan ini, saat bola dilemparkan akan terbentuk dua lintasan bola yang berbeda berupa lingkaran. Susunan ini biasa digunakan pada permainan juggling dengan jumlah bola genap.

  Gambar 3.3

  3. Susunan Shower Susunan yang lain disebut susunan shower. Pada susunan ini, saat bola dilemparkan akan melalui lintasan berupa setengah lingkaran dan lintasan horisontal. Susunan ini dapat digunakan pada permainan juggling dengan berapapun jumlah bolanya.

  Gambar 3.4

  Untuk selanjutnya, tidak akan dibahas lebih lanjut mengenai susunan

juggling tetapi lebih akan membahas mengenai barisan juggling.

B. DIAGRAM JUGGLING

  Permainan juggling kadang sulit untuk dipahami jika dijelaskan dengan kata-kata sehingga untuk lebih memudahkan akan digunakan diagram juggling. Diagram juggling digunakan untuk menggambarkan lemparan bola pada setiap beat. Pada diagram juggling, arah perpindahan bola disesuaikan dengan panjang lemparannya. Dapat dilihat contoh diagram

  juggling sebagai berikut :

Gambar 3.5

  Gambar di atas adalah diagram juggling dengan susunan 441 dimana jika bola pertama dilempar pada beat ke-1 dengan panjang 4, maka bola akan ditangkap pada beat ke-5. Jika bola kedua dilempar pada beat ke-2 dengan panjang 4, maka bola akan ditangkap pada beat ke-6. Kemudian jika bola ketiga dilempar pada beat ke-3 dengan panjang 1, maka bola akan ditangkap pada beat ke-4 dan begitu seterusnya. Jadi dapat diartikan bahwa nilai 4, 4, 1 merupakan panjang lemparan bolanya.

C. TEOREMA RATA-RATA

  Misalkan pada suatu permainan juggling sudah diketahui susunan dan diagram jugglingnya, maka kemudian akan ditentukan berapa banyak bola yang harus digunakan untuk memainkannya. Ada dua cara untuk mengetahuinya yaitu menghitung jumlah orbit pada diagram juggling dan menggunakan Teorema rata-rata. Orbit didefinisikan sebagai lintasan yang dilalui oleh suatu bola pada diagram juggling. Jumlah orbit pada diagram

  juggling sama dengan jumlah bola yang digunakan pada permainan juggling .

  Contoh 3.3.1

  Diketahui suatu permainan juggling mempunyai susunan 333 dan diagram

  juggling dibawah ini :

  

Gambar 3.6

  Berapa banyak bola yang harus digunakan untuk memainkan permainan di atas?

  juggling

  Jawab : Pertama-tama hitung jumlah orbit pada diagram juggling dan kemudian didapat bahwa jumlah orbitnya sama dengan 3.

  Sehingga banyaknya bola yang harus digunakan untuk memainkan permainan juggling tersebut adalah 3 bola.

  Misalkan permainan juggling dinyatakan dengan suatu fungsi

  

f : Ζ → N , N didefinisikan sebagai bilangan bulat non-negatif. Jika

f ( x ) adalah panjang lemparan juggling pada beat ke-x untuk x ∈ Ζ , maka

  akan didapat suatu barisan yaitu

  − − − ... f ( 3 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 )...

  Definisi 3.3.1

• f ( x ) = x f ( x ) Jika fungsi adalah permutasi dari bilangan bulat, maka
• fungsi f merupakan fungsi juggling.

   Contoh

3.3.2 Perlihatkan bahwa fungsi

  4 jika x mod 3 dan x mod

  3

• x

  1 = = ⎧ f ( x ) =

  ⎨ +

  1 jika x mod

  3

• x

  2 = ⎩

  adalah permutasi dari bilangan bulat dan tentukan fungsi jugglingnya? Jawab :

  Untuk membuktikan bahwa fungsi f adalah permutasi, harus memenuhi

• syarat-syarat berikut :

  ∈ Ζ x .

  a. Ambil sembarang Masukkan nilai x ke fungsi f maka didapat nilai fungsi f ∈ Ζ .

  b. Fungsi surjektif Ambil m ∈ Ζ , akan ditunjukkan ada x ∈ Ζ sedemikian _{kod φ dom φ s s} hingga

  ( )

  f x m = .

• +

  +

  ( )

  4

  1. Karena f x = x , maka

• x + 4 = m

  Didapat bahwa x = m − 4 .

  

∈ Ζ ∈ Ζ

  Karena m dan

4 , maka x .

Untuk x = m − 4 , maka 4 = m −

  4

  ( )

  4 + f m −

• = m
• f ( x ) = x

  1

  2. Karena , maka

• x +1 = m

  1

  1 − 1 + − =

  Didapat bahwa = m 1 − x . Karena m dan Ζ ∈

  1

  , maka Ζ ∈

  

x

.

  Untuk = m 1 − x , maka

  ( )

• m m f = m Jadi fungsi merupakan fungsi surjektif.
• f

c. Fungsi injektif

• .
• + +

• f Terbukti bahwa fungsi adalah permutasi dari bilangan bulat.
• f

  = x x

  Menurut Definisi 3.3.1, karena fungsi di atas adalah permutasi, maka terdapat fungsi f sebagai fungsi juggling. Fungsi juggling tersebut adalah

  = x x Jadi fungsi merupakan fungsi injektif.

  1 _{2 1} + = + x x _{2 1}

  1

  =

  ( ) ( ) _{2 1}

x f x f

  dan

  4

  4 _{2 1} + = + x x _{2 1}

  Harus dibuktikan bahwa :

  =

  ( ) ( ) _{2 1}

x f x f