FPB KPK dan Teorema Dasar Aritmatika

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

Perhatikan dua bilangan a = 6 dan b = 8.
Jika A adalah himpunan semua kelipatan dari a, dan B adalah himpunan semua kelipatan dari
b, maka:
A = {6, 12, 18, 24, 30, 36,42,48,54,60,66,72, …}
B = {8, 16, 24, 32, 40, 48,56, 64,72,80,…}
Terlihat bahwa, kelipatan persekutuan terkecil dari a = 6 dan b = 8 adalah 24.

Definisi
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat positif a dan b, dinotasikan [a, b], adalah
bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi oleh a dan b.
Dengan kata lain,
[a, b] = c  (i). a c dan b c

(ii). Jika a y dan b y , maka c  y
Lemma. [a, b] = c  (i). a c dan b c

(ii). Jika a y dan b y , maka c y

Teorema Dasar Aritmatika

Teorema Dasar Aritmatika. Setiap bilangan bulat positif lebih dari satu dapat dituliskan secara
tunggal sebagai suatu perkalian bilangan-bilangan prima, dengan faktor-faktor prima dalam
perkalian itu dituliskan dalam urutan dari ukuran yang tidak menurun.
Contoh Bilangan 60 dengan faktor-faktor prima 2, 3 dan 5 dituliskan sebagai 60 = 22  3  5 .
Lemma Jika a , b, c  Z  sedemikian sehingga (a, b) = 1 dan a bc , maka a c .

Lemma Jika p a1  a2 ... a n di mana p adalah prima dan a1, a2 ,..., an  Z  , maka terdapat suatu
bilangan bulat i dengan 1  i  n sehingga p a i .

Misalkan a  p1 1  p2


2

(a , b)  p1

 ...  pn

min{ 1 ,  1}

Dimana i , i 

dan b  p1 1  p2

n

 p2



min{ 2 ,  2 }

with i , i  0 .

 ...  pn

2

 ...  pn n . Maka


min{ n ,  n }

,

Contoh Karena 12 = 22  31  22  31  50 dan 15 = 31  51  20  31  51 , maka

(12, 15) = 20  31  50 = 3
Misalkan a  p1 1  p2


2

[a , b]  p1

max{ 1 ,  1}

 p2

 ...  pn

dan b  p1 1  p2

n

max{ 2 ,  2 }



 ...  pn

2

 ...  pn n . Maka


max{ n ,  n }

Latihan Soal
1. Tentukan faktorisasi prima dari

a. 256

b.

8000

c. 4849845

2. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan berikut.
a. 27  35  53  72 and 22  33  55  77

b. 4711791111011001 and 4111831111011000

3. Tentukan bilangan bulat a dan b yang memiliki FPB 18 dan KPK 540.