30 persamaan linear 2 variabel ok
Kompetensi Dasar Menggunakan sifat dan aturan tentang sistem persamaan linear dalam pemecahan masalah…. << >>
Pengertian Dua persamaan linear dua variabel atau lebih yang disajikan
bersamaan dan mempunyai satu jawaban …. << >> Contoh Kasus
Pada suatu hari Fitri membeli 10 buah roti keju dan 12 buah lemper ayam, ia membayar Rp. 20.900,00..… << >>
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah menggambar kedua persamaan….. << >>
Contoh Soal Bu Andi membeli 3 kg apel dan 2 kg anggur dengan harga
Rp. 60.000,00. Bu Ana membeli ….. << >> Latihan Soal Paket soal-soal latihan yang diambil dari kumpulan soal UAN dan SPMB …. << >> Ulangan
Kompetensi Dasar Menggunakan sifat dan aturan tentang sistem persamaan linear dalam pemecahan masalah…. << >>
Pengertian Dua persamaan linear dua variabel atau lebih yang disajikan bersamaan dan mempunyai satu jawaban …. << >>
Contoh Kasus Pada suatu hari Fitri membeli 10 buah roti keju dan 12 buah lemper ayam, ia membayar Rp. 20.900,00..… << >>
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah menggambar kedua persamaan….. << >>
Contoh Soal Bu Andi membeli 3 kg apel dan 2 kg anggur dengan harga Rp. 60.000,00. Bu Ana membeli ….. << >>
Latihan Soal Paket soal-soal latihan yang diambil dari kumpulan soal UAN dan SPMB …. << >>
Ulangan
√
o Kompetensi 1.6
MATERI POKOK : Sistem Persaamaan linear dan Kuadrat
o Kompetensi 1.7 o Kompetensi 1.8
ASPEK : Aljabar ALOKASI WAKTU : 12 jam pelajaran
Standar Kompetensi :
1. Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan Linear-kuadrat
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita temui persoalan- persoalan yang dapat diselesaikan dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem persamaan
√ linear. o Model Matematika
Misalnya : Anto membeli alat tulis untuk keperluan
o Sistem Persamaan Linear o Bentuk Umum
sekolah yaitu 3 buah pulpen dan 2 buah pensil dengan harga Rp. 10.500,00.
Pada toko yang sama Budi membeli 2 buah pulpen dan 3 buah pensil dengan harga Rp. 9.500,00.
Harga masing-masing 1 buah pulpen dan 1 buah pensil
dapat anda ketahui dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem persamaan Linear.
Pengertian dari Model Matematika, Sistem Persamaan linear dan Bentuk Umum Sistem Persamaan linear
secara lengkap, silahkan klik pada menu di samping !
Contoh Kasus yang dibahas meliputi kasus dalam kehidupan sehari-hari dan kasus dalam matematika sendiri.
Kasus dalam kehidupan sehari-hari biasanya terjadi apabila dua orang/ perusahaan/ kegiatan lain melakukan hal yang
√
sama tetapi secara terperinci itemnya berbeda. Kasus dalam kehidupan sehari-hari ini sering juga disebut SOAL
o Kasus Kehidupaan CERITA. sehari-hari o Kasus Matematika
Kasus dalam matematika biasa kasus-kasus yang melibatkan dua persamaan linear dan mempunyai
penyelesaian yang sama.
Untuk lebih lengkap silahkan pilih menu di samping !
√
- Sistem persamaan linear tidak akan memiliki penyelesaian jika dipenuhi syarat : (a/p) = (b/q) ≠(c/r).
Adapun cara-cara untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear secara lengkap,
r)
Penulisannya ditulis dalam bentuk Himpunan Penyelesaian (HP) : {(x,y)} Ada tiga kemungkinan untuk menentukan himpunan penyelesaian, yaitu :
Dari bentuk umum Sistem Persamaan linear Dua Variabel akan diperoleh penyelesaian tunggal dari nilai x dan y. Jadi penyelesian Sistem Persamaan linear adalah nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan linear yang dimaksud.
o Metode Grafik o Metode Eliminasi o Metode Substitusi o Metode Campuran
- Sistem persamaan linear akan memiliki penyelesaian jika dipenuhi syarat : (a/p) ≠ (b/q).
- Sistem persamaan linear akan memiliki penyelesaian yang terhingga banyaknya jika dipenuhi syarat : (a/p) = (b/q) = (c/
Contoh soal yang disajikan adalah 5 soal, yang dikerjakan dengan bervariasi antara metode grafik, eliminasi, substitusi dan campuran.
Hal ini bertujuan untuk memperjelas cara-cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.
Diantara contoh soal tersebut juga ada yang dikerjakan dengan metode yang berbeda untuk menunjukkan bahwa dengan cara yang berbeda tetapi soal yang sama memiliki jawaban yang sama pula.
√
o Contoh Soal 1
Untuk melihat contoh soal secara lengkap,
o Contoh Soal 2
silahkan pilih menu di samping !
o Contoh Soal 3 o Contoh Soal 4 o Contoh Soal 5
Latihan soal yang disajikan terbagi dalam dua paket yaitu Latihan Soal 1 dan Latihan Soal 2. Masing-masing paket terdiri dari 7 soal.
Dalam latihan soal ini telah disediakan jawaban secara
runtut, namun demikian anda dituntut juga untuk mengerjakan sendiri sebagai pembanding apakah anda sudah menguasai materi atau belum.
Kerjakan soal-soal latihan dengan cermat dan teliti untuk persiapan mengerjakan soal Ulangan !
√
Untuk melihat latihan soal secara lengkap, silahkan pilih menu di samping !
o Latihan Soal 1 o Latihan Soal 2
Kompetensi Dasar :
1.6. Menggunakan sifat dan aturan tentang sistem persamaan linear dan linear dalam pemecahan masalah
a. Menjelaskan arti penyelesaian suatu sistem persamaan Linear b. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel c. Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
o Kompetensi 1.6 o Kompetensi 1.7 o Kompetensi 1.8
Indikator :
√
1.7. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan sistem persamaan Linear
a. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel b. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear kuadrat dua variabel c. Menentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel
o Kompetensi 1.6 o Kompetensi 1.7 o Kompetensi 1.8
Kompetensi Dasar :
Indikator :
√
1.8.Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan Linear, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh
a. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya sistem persamaan Linear b. Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel sistem persamaan Linearnya c. Menentukan sistem persamaan linear yang merupakan model matematika dari masalah d. Menentukan penyelesaian dari model matematika
e. Memberikan tafsiran terhadap solusi masalah
o Kompetensi 1.6 o Kompetensi 1.7 o Kompetensi 1.8
Kompetensi Dasar :
Indikator :
√
Pengertian Model Matematika
Model matematika adalah cara mengubah bentuk penulisan dari bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika.
Misalnya, membeli alat tulis untuk keperluan sekolah
Anto o Model Matematika
√ yaitu 3 buah pulpen dan 2 buah pensil dengan harga Rp.
10.500,00. Pada toko yang sama Budi membeli 2 buah
o Sistem Persamaan Linear pulpen dan 3 buah pensil dengan harga Rp. 9.500,00. o Bentuk Umum
Model matematika dari kasus di atas adalah :
Misalkan x = pulpen
y = pensil
Anto : 3 pulpen + 2 pensil = Rp. 10.500,00
3 x + 2 y = 10500 ……………….. (1)
Budi : 2 pulpen + 3 pensil = Rp 9.500,00 2 x + 3 y = 9500 ……………….. (2)
Pengertian Sistem Persamaan Linear
√
Persamaan linear adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi satu. Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear
yang mengandung dua variabel
Pada media pembelajaran ini hanya akan dibahas Sistem Persamaan linear Dua Variabel. o Model Matematika o Sistem Persamaan Linear o Bentuk Umum
atau lebih yang disajikan bersamaan dan mempunyai satu jawaban persekutuan. Pasangan sistem persamaan yang dibentuk dapat berupa linear dan linear, linear dan kuadrat, atau kuadrat-kuadrat.
Sistem persamaan linear adalah dua persamaan linear
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi dua.
Pengertian Bentuk Umum
√
Bentuk umum Sistem Persamaan linear Dua Variabel dalam x dan y adalah :
ax + by = c px + qy = r Keterangan :
o Model Matematika o Sistem Persamaan Linear o Bentuk Umum
c, r = konstanta
a, b, p, q = koefisien variable a, b, p, dan q ≠ 0 bersamaan
x, y = variabel
Contoh Kasus Sehari-hari
Bu Yati membeli 3 kg apel dan 2 kg anggur dengan harga Rp. 60.000,00. Pada saat yang bersamaan dan pada toko yang sama Bu Dini membeli 5 kg apel dan 1 kg anggur
dengan membayar Rp. 65.000,00. Bagaimana menghitung harga tiap kg apel dan anggur ? Coba anda diskusikan !
o Kasus Kehidupaan
√
Model matematika dari kasus di atas adalah :
sehari-hari
Misalkan x = harga 1 kg apel
o Kasus Matematika y = harga 1 kg anggur
Bu Yati : 3 kg apel + 2 kg anggur = Rp. 60.000,00
3 x + 2 y = 60000 ……………….. (1) Bu Dini : 5 kg apel + 1 kg anggur = Rp 65.000,00
5 x + y = 65000 ……………….. (2)
Umur Dian dua kali umur Nita . Empat tahun yang lalu umur Dian empat kali umur Nita . Berapakah umur keduanya
sekarang ? Coba anda diskusikan ! Model matematika dari kasus di atas adalah : Misalkan x = umur Dian
x = 4 y- 16+4 x = 4 y -12 …………….. (2) o Kasus Kehidupaan sehari-hari o Kasus Matematika
16
x-4 = 4( y-4 ) x-4 = 4 y-
Empat tahun yang lalu : ( umur Dian – 4) = 4( umur Nita – 4)
umur Dian = 2 umur Nita x = 2 y ….………….. (1)
Sekarang :
y = umur
Nita√ Contoh Kasus Sehari-hari
√ Contoh Kasus Sehari-hari
Pada suatu hari Yoyok membeli 10 buah Indomie dan 12 buah Shampoo , ia membayar Rp. 20.900,00.
o Kasus Kehidupaan sehari-hari o Kasus Matematika
6 x + 5 y = 11000 ……………….. (2)
Erna : 6 Indomie + 5 buah Shampoo = Rp 11.000,00
= Rp. 20.900,00 10 x + 12 y = 20900 ……………….. (1)
Shampoo
Indomie
: 10
y = harga 1 buah Shampoo Yoyok
Berapakah harga masing-masing roti dan lemper ayam ? Coba anda diskusikan ! Model matematika dari kasus di atas adalah : Misalkan x = harga 1 I ndomie
Pada hari yang sama dan toko yang sama Erna membeli 6 buah Indomie dan 5 buah Shampoo seharga Rp. 11.000,00.
- 12 buah
Contoh Kasus Sehari-hari
Suatu perusahaan garmen memproduksi dua jenis pakaian, yaitu jenis A dan jenis B . Jumlah yang diproduksi dari kedua jenis tersebut sebanyak 2004 potong. Jika jenis A
memerlukan bahan 1,5 m per potong dan jenis B memerlukan bahan 2 m per potong sedangkan bahan yang
tersedia sebanyak 3.508 m. Berapa banyak produksi dari masing-masing jenis ? Coba anda diskusikan !
o Kasus Kehidupaan √ sehari-hari
Model matematika dari kasus di atas adalah :
o Kasus Matematika
Misalkan x = produksi jenis A
y = produksi jenis B
Kemampuan produksi pakaian : 1 jenis A + 1 jenis B = 2004 potong
x + y = 2004 ……………….. (1)
Keperluan bahan tiap potong :
1,5 jenis A + 2 jenis B = 3508 m 1,5 x + 2 y = 3508
3 x + 4 y = 7016 ……………….. (2)
Contoh Kasus Sehari-hari
Suatu latihan perang melibatkan 1000 personil tentara dan 100 ton perlengkapan perang. Untuk menuju lokasi latihan disediakan : Pesawat Hercules dengan kapasitas 50 orang dan
10 ton perlengkapan perang, Pesawat Helikopter dengan kapasitas 40 orang dan 3 ton perlengkapan. Berapa banyak
masing-masing pesawat yang dibutuhkan untuk mengangkut semua tentara dan semua perlengkapan dalam satu kali
o Kasus Kehidupaan √
pemberangkatan pasukan ! Coba anda diskusikan !
sehari-hari o Kasus Matematika
Model matematika dari kasus di atas adalah : Misalkan x = Hercules
y = Helikopter
Kemampuan angkut personil tentara :
50 orang dengan Hercules + 40 orang dengan Helikopter = 1000 orang 50 x + 40 y = 1000 ……………….. (1)
Kemampuan angkut perlengkapan perang : 10 ton dengan Hercules + 3 ton Helikopter = 100 ton
10 x + 3 y = 100 ……………….. (2) Jumlah dua bilangan adalah 2004 dan selisih kedua bilangan adalah 2002. Berapakah hasil kali kedua bilangan itu ? Coba anda diskusikan ! Misalkan : x = bilangan pertama
y = bilangan kedua
Jumlah dua bilangan adalah 2004
Bilangan pertama - Bilangan kedua = 2002 x - y = 2002 ……………. (2) o Kasus Kehidupaan sehari-hari o Kasus Matematika
Selisih dua bilangan adalah 2002
Bilangan pertama + Bilangan kedua = 2004 x + y = 2004 ……………. (1)
√
Umur Yovita dua kali umur Retno . Empat tahun yang lalu umur Yovita empat kali umur Retno . Berapakah umur
keduanya sekarang ? Coba anda diskusikan ! Model matematika dari kasus di atas adalah : Misalkan x = umur Yovita
x = 4 y- 16+4 x = 4 y -12 …………….. (2) o Kasus Kehidupaan sehari-hari o Kasus Matematika
16
x-4 = 4( y-4 ) x-4 = 4 y-
Empat tahun yang lalu : ( umur Yovita – 4) = 4( umur Retno – 4)
umur Yovita = 2 umur Retno x = 2 y ….………….. (1)
Sekarang :
y = umur Retno
√
Garis c melalui titik (-2,-1) dan (2,11). Tentukanlah nilai m dan n, kemudian tulislah persamaan garis yang dimaksud ! Coba anda diskusikan !
Persamaan garis : y = mx + n Melalui titik (-2,-1) → -2 = m(-2) + n
o Kasus Kehidupaan
- 2 = -2m + n ……………. (1)
sehari-hari
Melalui titik (2,11) → 11 = m(2) + n
o Kasus Matematika
11 = 2m + n ……………. (2)
√
Keliling sebuah segitiga sama kaki adalah 20 cm. Jika panjang
kedua kakinya masing-masing ditambah 3 cm dan panjang alasnya dilipatduakan, kelilingnya menjadi 34 cm. Tentukanlah ukuran panjang ketiga sisi sama kaki tersebut ! Coba anda
diskusikan !
Misalkan : x = panjang alas segitiga y = panjang kaki segitiga
o Kasus Kehidupaan
Keliling segitiga = panjang alas + 2.panjang kaki
sehari-hari
K = x + 2y
o Kasus Matematika 20 = x + 2y ……………… (1) √
Perubahan :
Jika kedua kaki ditambah 3 dan alas dilipatduakan, maka : panjang alas = 2x
panjang kaki segitiga = y + 3 dan keliling segitiga menjadi :
K = 2x + 2(y+3) 34 = 2x + 2y + 6
34 – 6 = 2x + 2y 28 = 2x + 2y
14 = x + y ……………. (2) Dua buah garis dengan persamaan y = ax – 4b dan y = -2ax + 14b berpotongan di titik (-3,2). Carilah nilai dari a dan b, kemudian tentukanlah persamaan garis yang dimaksud ! Jika ada teman anda yang berbeda pendapat coba anda diskusikan ! Dua garis melalui titik (-3,2) : Garis y = ax – 4b → 2 = a.(-3) – 4b 2 = -3a -4b …………… (1) Garis y = -2ax + 14b → 2 = -2a.(-3) – 4b 2 = (-2)(-3)a -4b
2 = 6a – 4b …………… (2)
o Kasus Kehidupaan sehari-hari o Kasus Matematika
√
Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah menggambar kedua persamaan garis pada satu koordinat Cartesius. Adapun langkah-langkah secara lengkap adalah
sebagai berikut :
Buatlah tabel pasangan terurut (x,y) dengan mencari titik potong dengan masing-masing sumbu X dan Sumbu Y dari setiap persamaan garis.
Perpotongan sumbu X diperoleh pada saat nilai y = 0 dan
o Metode Grafik √ perpotongan dengan sumbu Y diperoleh pada saat nilai x = 0. o Metode Eliminasi
Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah :
o Metode Substitusi
Perpotongan dengan Sumbu X : (a,0) dan
o Metode Campuran
Perpotongan dengan Sumbu Y : ( 0,b) Karena ada dua persamaan garis maka anda harus membuat
dua tabel dan akan diperoleh empat titik (a,0), (0,b) dan (c,0), (0,d).
Ingat :
A Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat
sebuah garis.
Lukislah masing-masing persamaan pada satu koordinat Cartesius !
Y (0,a)
o Metode Grafik √ (0,c) o Metode Eliminasi o Metode Substitusi
X o Metode Campuran O
(b,0) (d,0)
Dari pasangan titik masing-masing persaman garis maka akan diperoleh dua garis pada satu sumbu
koordinat Cartesius.
Jika hasil lukisan berpotongan di satu titik maka koordinat titik potong itu sebagai penyelesaian sistem persamaan
Linear.
Perpotongan kedua garis Y adalah titik (x,y) yang (0,a) merupakan penyelesaian dari
sistem persamaan Linear o Metode Grafik
√ (0,c) o Metode Eliminasi
(x,y) o Metode Substitusi
X o Metode Campuran O
(b,0) (d,0)
Contoh Soal dengan metode grafik !
Metode Eliminasi adalah cara penyelesaian sistem
persaman linear dengan menghilangkan/menghapus salah satu variabel untuk mencari nilai variabel yang lain.
Adapun langkah-langkah secara lengkap adalah sebagai
berikut :
Untuk mengeliminasi suatu variabel samakan nilai kedua
o Metode Grafik
koefisien variabel yang akan dihilangkan. Pada langkah ini
o Metode Eliminasi
anda mengalikan kedua koefisien dengan bilangan tertentu
√
sedemikian sehingga nilai koefisiennya menjadi sama
o Metode Substitusi o Metode Campuran
Misalkan pada bentuk umum, anda akan menghilangkan variabel x, maka anda harus mengalikan koefisien variabel x pada kedua persamaan dengan p untuk persaman pertama dan mengalikan dengan a untuk persamaan kedua ax +by = c X p → apx + bpy = cp px + qy = r X a → apx + aqy = ar –
(bp-aq) y = cp – ar y = (cp-ar)/(bp-aq) Pada langkah di atas anda akan mendapatkan sebuah persamaan Linear, dan anda akan dapat menghitung nilai variabel pertama yaitu y dengan mudah.
o Metode Grafik o Metode Eliminasi o Metode Substitusi o Metode Campuran
√
Setelah anda menemukan nilai variabel y sekarang akan menghitung nilai variabel x, maka anda harus menghilangkan variabel y, dengan mengalikan koefisien variabel y pada kedua persamaan dengan q untuk persaman pertama dan mengalikan dengan b untuk persamaan kedua ax +by = c X q → aqx + bqy = cq px + qy = r X b
→
o Metode Grafik o Metode Eliminasi o Metode Substitusi o Metode Campuran
Pada langkah di atas anda akan mendapatkan sebuah persamaan Linear, dan anda akan dapat menghitung nilai variabel kedua yaitu x dengan mudah.
bpx + bqy = br – (aq-bp) x = cq – br x = (cq-br)/(aq-bp)
√
Jadi hasil akhir perhitungan nilai variabel adalah : x = (cq-br)/(aq-bp) y = (cp-ar)/(bp-aq)
Nilai x dan y yang anda temukan adalah merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan linear : ax +by = c px + qy = r
o Metode Grafik o Metode Eliminasi √ o Metode Substitusi o Metode Campuran
Lanjut
Metode substitusi adalah cara untuk menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggantikan suatu variabel dengan variabel yang lainnya.
Metode substitusi sering dikenal dengan metode penggantian.
Dalam metode substitusi suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya variabel ini digunakan untuk mengganti variabel yang sama dalam
o Metode Grafik
persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu
o Metode Eliminasi
variabel dan anda dapat dengan mudah mencari nilai variabel yang tersisa.
o Metode Substitusi √ o Metode Campuran
Adapun untuk melihat langkah-langkah secara lengkap
silahkan tekan tombol LANJUT !
Carilah persamaan yang paling sederhana dari kedua persamaan itu Kemudian nyatakan persamaan y dalam x atau sebaliknya.
Misalkan dari bentuk umum : ax +by = c ………… (1)
px + qy = r ………… (2) Pada persamaan (1) :
ax +by = c ax = c – by
o Metode Grafik
x = (c-by)/a ………… (3)
o Metode Eliminasi
Dari persamaan (2), gantikan variabel x dengan persamaan
o Metode Substitusi √ (3), sehingga :
px + qy = r
o Metode Campuran
p{(c-by)/a} + qy = r
Pada langkah di atas anda akan mendapatkan sebuah persamaan Linear, dan anda akan dapat menghitung nilai
variabel y dengan mudah
Setelah anda menemukan nilai variabel y, maka untuk menentukan nilai variabel x anda tinggal menggantikan nilai variabel y tersebut pada persamaan (3). Dari keterangan di atas maka anda dapat menemukan pasangan (x,y) yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut.
o Metode Grafik o Metode Eliminasi o Metode Substitusi o Metode Campuran
√
Penyelesaian dengan metode campuran adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan metode substitusi. Adapun langkah-langkah secara lengkap adalah sebagai berikut :
Pertama kali anda kerjakan dengan metode eliminasi : ax +by = c X p → apx + bpy = cp px + qy = r X a → apx + aqy = ar –
o Metode Grafik o Metode Eliminasi o Metode Substitusi o Metode Campuran
Disini anda akan memperoleh nilai variabel x.
(bp-aq) y = cp – ar y = (cp-ar)/(bp-aq) Kemudian nilai variabel y ini disubsitusikan ke dalam salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang lain. px + qy = r px + q{(cp-ar)/(bp-aq)} = r
√
Jadi anda akan mendapatkan pasangan (x,y) dengan dua metode yaitu eliminasi dan substitusi. Metode yang digunakan terlebih dahulu sangat tergantung
pada soal yang disajikan, akan tetapi biasanya digunakan terlebih dahulu metode eliminasi baru kemudian metode
substitusi
Dari keempat metode di atas anda harus cermat o Metode Grafik memilih metode mana yang cocok untuk soal tertentu, o Metode Eliminasi karena setiap soal tidak mempunyai tipe yang sama. o Metode Substitusi
Anda menggunakan metode grafik khusus untuk soal yang sederhana. o Metode Campuran
√
Bu Andi membeli 3 kg apel dan 2 kg anggur dengan harga Rp. 60.000,00. Pada saat yang bersamaan dan pada toko yang sama Bu Ana membeli 5 kg apel dan 1 kg anggur
dengan membayar Rp. 65.000,00. Bagaimana menghitung harga tiap kg apel dan anggur ? Coba anda diskusikan !
Model matematika dari kasus di atas adalah :
Misalkan x = harga 1 kg apel
y = harga 1 kg anggur
Bu Andi : 3 kg apel + 2 kg anggur = Rp. 60.000,00 3 x + 2 y = 60000 ……………….. (1)
o Contoh Soal 1 √
Bu Ana : 5 kg apel + 1 kg anggur = Rp 65.000,00
o Contoh Soal 2
5 x y = 65000 ……………….. (2) +
o Contoh Soal 3 o Contoh Soal 4 o Contoh Soal 5
Gunakan Metode Grafik !!
Y
Sistem persamaan linear yang diperoleh adalah : 3x + 2y = 60000 …………….. (1) 5x + y = 65000 …………….. (2)
Jawab :
(0,30000) Persamaan (1) :
3x + 2y = 60000
3x+2y=60000
Perpotongan dengan Sumbu X (y = 0)
3x + 2y = 60000
(20000,0)
3x = 60000
X O
x = 20000
Diperoleh titik (20000,0)
3x + 2 y = 60000 o Contoh Soal 1
√
Perpotongan dengan Sumbu Y (x = 0)
o Contoh Soal 2 X 20000
3x + 2y = 60000
o Contoh Soal 3 Y 30000
2y = 30000
o Contoh Soal 4
Diperoleh titik ( 0,30000)
(0,30000) (20000,0) o Contoh Soal 5
Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (20000,0), ( 0,30000),
Y
Persamaan (2) :
(0,65000)
5x + y = 65000
5x + y = 65000
Perpotongan dengan Sumbu X (y = 0)
(0,30000)
5x + y = 65000
5x + y = 65000 5x = 65000
3x+2y=60000
x = 13000
(20000,0)
Diperoleh titik (13000,0) dan
X O (13000,0)
Perpotongan dengan Sumbu Y (x = 0)
o Contoh Soal 1 5x + y = 65000
5x + y = 65000
√ o Contoh Soal 2
5.0 + y = 65000
X 13000
y = 65000
o Contoh Soal 3 Y 65000
Diperoleh titik ( 0,65000)
o Contoh Soal 4 (0,65000) (13000,0) o Contoh Soal 5
Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (13000,0), ( 0,65000)
harga tiap kg apel Rp. 10000 dan anggur Rp.
15000 Dari pasangan titik (20000,0), ( 0,30000), dan (13000,0), ( 0,65000) maka akan diperoleh dua garis pada satu sumbu koordinat.
Dari kedua garis tersebut nampak bahwa ada perpotongan antara keduanya sehingga terdapat satu penyelesaian sistem persamaan linear yaitu titik (10000,15000)
(10000,15000)
(20000,0) (0,30000) OX Y (0,65000) (13000,0) 3x+2y=60000 5x + y = 65000 o Contoh Soal 1 o Contoh Soal 2 o Contoh Soal 3 o Contoh Soal 4 o Contoh Soal 5
√
Anda membeli alat tulis untuk keperluan sekolah yaitu
buah pulpen buah pulpen buah pensil buah pensil 3 buah pulpen dan 2 buah pensil dengan harga Rp. 10.500,00.
Pada toko yang sama teman anda membeli 2 buah pulpen dan
buah pulpen buah pulpen
3 buah pensil buah pensil buah pensil dengan harga Rp. 9.500,00. Bagaimana menghitung harga tiap 1 buah pulpen dan pensil ? Coba anda
diskusikan ! Jawab :
Gunakan Metode Substitusi !!
Misalkan x =
1 y =
1
Anda membeli 3 buah pulpen dan 2 buah pensil dengan
o Contoh Soal 1
harga Rp. 10.500,00
o Contoh Soal 2
3 buah pulpen + 2 buah pensil = Rp. 10.500,00
√
3 x + 2 y = 10500 ………………. (1)
o Contoh Soal 3
Teman anda membeli 2 buah pulpen dan 3 buah pensil
o Contoh Soal 4
dengan harga Rp. 9.500,00
o Contoh Soal 5
2 buah pulpen + 3 buah pensil = Rp. 9.500,00
2 x + 3 y = 9500 …………………. (2)
Untuk mengganti (subsitusi) variabel x dengan variabel y, ubahlah salah satu persamaan menjadi persamaan x dalam y. Kemudian gantikan hasil tersebut pada persamaan yang
lain.
Pada langkah ini anda mengubah persamaan pertama (1)
menjadi persamaan x dalam y, yaitu : 3x + 2y = 10500
3x = -2y + 10500 x = -(2/3)y + 10500/3 x = -(2/3)y + 3500 ……………… (3)
Dari persamaan (2) dan (3)
o Contoh Soal 1
2x + 3y = 9500
o Contoh Soal 2
2{-(2/3)y + 3500} + 3y = 9500
√
- (4/3)y + 7000 + 3y = 9500
o Contoh Soal 3
- (4/3)y + 3y = 9500 – 7000
o Contoh Soal 4
5/3y = 250
o Contoh Soal 5
y = 2500 : (5/3) y = 1500
Untuk mencari nilai variabel x dengan y = 1500, gunakan persamaan ketiga (3), dengan cara menggantikan variabel y dengan 1500 :
x = -(2/3)y + 3500
x = -(2/3).1500 + 3500
x = -1000 + 3500 x = 2500
Dari perhitungan di atas maka diperoleh hasil nilai variabel x adalah 2500 dan variabel y adalah 1500.
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah : {(2500,1500)}
o Contoh Soal 1
Hasil ini juga menggambarkan bahwa harga setiap satu buah
o Contoh Soal 2 √
pulpen adalah Rp. 2500,00 dan harga setiap satu buah
o Contoh Soal 3 pencil adalah Rp. 1500,00. o Contoh Soal 4 o Contoh Soal 5
Suatu latihan perang melibatkan 1000 personil tentara dan 100 ton perlengkapan perang. Untuk menuju lokasi latihan disediakan : Pesawat Hercules dengan kapasitas 50 orang
dan 10 ton perlengkapan perang, Pesawat Helikopter dengan kapasitas 40 orang dan 3 ton perlengkapan. Berapa banyak
masing-masing pesawat yang dibutuhkan untuk mengangkut semua tentara dan semua perlengkapan dalam satu kali pemberangkatan pasukan ! Coba anda diskusikan !
Model matematika dari kasus di atas adalah : Misalkan x = Hercules
y = Helikopter
o Contoh Soal 1
Kemampuan angkut personil tentara :
o Contoh Soal 2 50 orang dengan Hercules + 40 orang dengan Helikopter = 1000 orang50 x + 40 y = 1000 ……………….. (1) o Contoh Soal 3
√ Kemampuan angkut perlengkapan perang : o Contoh Soal 4
10 ton dengan Hercules + 3 ton Helikopter = 100 ton o Contoh Soal 5
10 x + 3 y = 100 ……………….. (2)
Gunakan Metode Eliminasi !!
50x + 40y = 1000 | X 1 | 50x + 40y = 1000 10x + 3y = 100 | X 5 | 50x + 15y = 500 -
25y = 500 y = 500/25 y = 20
Untuk mengeliminasi variable x samakan nilai kedua koefisien variable x. Pada langkah ini anda mengalikan kedua koefisien dengan bilangan tertentu sedemikian sehingga nilai koefisiennya menjadi sama.
Karena variabel yang akan dieliminasi mempunyai koefisien tanda sama maka untuk menghilangkan variabel x, kedua persamaan harus dikurangkan.
o Contoh Soal 1 o Contoh Soal 2 o Contoh Soal 3 o Contoh Soal 4 o Contoh Soal 5
√
50x + 40y = 1000 X 3 >> 150x + 120y = 3000 10x + 3y = 100 X 40 >> 400x + 120y = 20000 -