Lingkaran – Persamaan Lingkaran Melalui 3 Titik
Lingkaran – Persamaan Lingkaran Melalui 3 Titik
Persamaan lingkaran melalui titik , , , , dan , adalah:
A x y B x y C x y
1
1
2
2
3
3
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
x y x y 1 x y x y
1
2
2
2
2
x y x y 1 x y x y
1
1
1
1
1
1
1
1
1
determinan matrik atau
2 =
2 2 =
1 x y x y
1
2
- 2
2
2
2
2
+
x y x y
2
2
2
2
2
2
1 x y x y
1
3
- 2
3
3
3
3
+
x y x y
3
3
3
Cek:
2
2 Misalkan persamaan lingkaran adalah x y A x By C , maka:
=
2
2
x y A x By C
- = ......... (
1 )
1
1
1
1
2
2
x y A x By C
- = ......... (
2 )
2
2
2
2
2
2
x y A x By C ......... ( 3 )
- =
3
3
3
3 Kita eliminasi:
22 2015
2
2
2
2
( 1 ) ( 2 ) : x x y y A x x B y y ......... ( 4 ) − − − − − = + + +
10
1
2
1 2 (
1 2 ) (
1 2 )
2
2
2
( 1 ) ( 3 ) : x x y y A x x B y y ......... ( 5 ) −
1 −
3 1 −
3
1 −
3 1 − 3 =
- 2
( ) ( )
− − − + − − − − − + −
3
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
3
1
2
1
2
1
2
2
2
3
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
3
1
2
1
2
3
1
2
1
1
1
2
1
3
2
1
1
3
3
− + − + − − + − + − + − + − + − =
2
1
2
2
3
2
2
1
2
y x x y x x y x x y y y x x y y y x x y y y x x y x y x y x y x y x y x y y y y y x y x y y y y x y x y y y y y x y x y y y y x y x A
− + + + − −
2
2
1
3
1
2
3
2
1
2
3
1
Subtitusi A ke persamaan (4) ( )
2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) [ ]
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
3
3
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
2
1
2
− − − + − − − − − + − + − − − − − − + − ⇒ = − + − − − − −
− − − + − + − − − + − − ⇒ = − + − − − − −
− − + − − − − + − = − + − − − − −
B y y y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x
B y y y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x
x x y y x x x x y y x x B y y y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x
1
2
2
1
3
2
2
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
3
1
2
3
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
2
1
2
3
2
3
2
3
3
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
2
1
y y x x y y x x y y y y x x y y y y x x A
− − − − − − − + − − − − + − = ⇒
, atau (
3
1
2
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
_ ( )
1
1
1
3
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
1
3
2
2
2
1
2
2
2
1
= − − − − − + − − + − − − − + − A y y x x y y x x A y y y y x x y y y y x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2
1
3
1
= − − + − − + − − + − − B y y y y y y x x A y y y y x x y y
2
1
2
1
3
1
2
1
3
( ) ( )( ) ( )( ) : ) 4 (
2
( ) ( )
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
2
1
3
1
1
2
2
1
2
1
2
3
1
2
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
3
1
2
1
1
1
3
( ) ( )( ) ( )( ) : ) 5 (
( ) ( )
= − − + − − + − − + − − B y y y y y y x x A y y y y x x y y
1
3
1
2
2
2
1
2
2
2
3
- − + − − + − − + − + − − + − = ⇒
) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
2
1
3
2
1
2
3
1
3
2
3
1
( ) ( ) ( )
2
3
1
2
2
3
1
1
2
3
3
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
3
- − + −
- − + − − + − − + − + − − + − = ⇒
C y y x x y x x y x x x y y x x x y y x x x y y x x x y x x y x x y x x y y y x x y y y x x y y y x x y x
- − + − + −
- ⇒
1
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
3
2
2
3
2
2
1
3
1
1
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
2
3
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
3
3
2
1
1
3
2
1
3
3
2
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
2
1
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
3
2
1
C y x x y x x y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x x y x x y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x
C y x x y x x y x x y x y x y y x x y x y x y y x x y x
− + − + − + − + − + −
= + − + − + − − + − + − + − + − + −
− + − + − + − + − + −
= + − + − + − − + − − − + − − − + − −
= + − + − + − − − + − + − − + −
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
1
2
3
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
3
2
1
3
3
2
1
1
3
2
2
1
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
1
3
1
2
2
3
1
2
3
1
3
1
2
3
1
2
1
3
1
3
2
1
2
3
1
3
2
1
2
2
2
2
2
3
1
2
1
2
3
3
2
1
3
2
2
2
1
3
( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
atau (
2
1
2
2
2
3
2
2
2
1
1
3
2
2
1
2
3
2
2
2
2
2
- − + − + −
1
1
2
1
2
2
1
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
3
2
1
3
2
1
1
3
2
1
1
3
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
3
2
2
3
3
3
y x x y x x y x x x y y x x x y y x x x y y x x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x y x y x x x x y x y x x x x x y x y x x x x B
3
3
2
1
1
3
2
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
− + − + − − + − + − + − + − + − =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Subtitusi A dan B ke persamaan (1) ( ) ( ) ( )
− + + + − −
- ⇒
y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x x y x x x y y x x x y y x x x y y x x x y x x y x x y x x y y y x x y y y x x y y y x x y x
2
3
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
3
3
1
3
2
2
1
− + − + − − − + − + − − + − − − − = ⇒
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + + + + C By x A y x
2
2
Subtitusi A, B, dan C ke persamaan lingkaran
− + − + − − + − + − + − =
3
− + − + − − − + − + − − + − −
− + − + −
− + − + −
− + − + −
− + − + − − + + − + + − + =
y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x x y x x y x y x y y x x y x y x y y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x y x x y x x y x x y x y x y y x x y x y x y y x x C y x
1
2
1
2
2
1
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
2
2
1
3
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
2
1
3
3
2
1
1
3
2
1
3
1
2
2
1
2
2
2
3
3
2
1
1
3
2
2
1
3
3
2
2
2
3
2
2
2
2
− + − + − + − + − + −
− + − + − + − + − + −
= − + + − + + − +
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
1
3
2
1
2
3
2
1
2
2
2
2
3
1
2
1
2
3
2
2
3
2
2
2
2
1
3
3
1
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
2
2
1
2
3
3
2
1
1
3
1
- − + + + − + + + − =
+ + + − + − + + + − + + + + + −
−
3
3
2
2
2
2
3
1
3
2
2
2
2
1
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
2
1
1
3
2
2
1
3
1
1
2
2
3
2
1
2
1
2
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
1
3
2
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2
2
3
2
1
3
1
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
3
3
1
3
2
3
3
3
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1
3
3
2
1
2
2
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3
1
2
2
1
3
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
2
1
2
2
2
2
1
3
2
2
2
1
2
2
1
1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
2
1
3
2
3
2
1
2
3
2
- − + + + − + + + − + =
- − + − + −
- − + − + −
- − + + + − + + + − + ⋅ +
- − + + + − + + + − + ⋅ + − + − + − +
M c
3
2
2
2
2
3
2
2
1
3
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
3
2
3
2
3
1
2
2
2
1
2
2
1
3
1
2
1
3
3
2
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
2
2
3
2
3
2
3
1
( )
Kemudian, perhatikan determinan matrik yang disebutkan di awal, ( ) ( ) ( ) ( )
= − + + − + + − + + − + + − + + − + ⋅ + − + + − + + − + ⋅ + − + − + − + y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x y x x x y x x x y x y y y y x y y y x y y y x x y x x y x x y x x y x
2
2
3
2
2
3
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
( ) ij j i ij
ij M adalah minor elemen ij a pada matrik A yang didefinisikan sebagai determinan sub matrik A dengan menghapus baris ke i dan kolom ke j. ij c adalah kofaktor elemen ij a pada matrik A didefinisikan dengan
− + − + − + − = ⇒
M a M a M a M a c a c a c a c a y x y x y x y x y x y x y x y x
1 y x y x y x y x y x y x x y x x y x x y x y y y x y y x y y x x y x y x y x y x
1
1
1
1 (dipilih pertama) baris dari
1
1
1
1
1
1
2
3
3
1
12
13
1
3
13
14
4
1
14
2
2
1
1
2
2
2
12
2
12
3
2
3
3
11
11
12
11
13
13
14
14
11
1
1
3
3
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
1
3
2
3
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
2
1
3
3
1
3
3
2
2
2
1
1
2
] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
3
3
1
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
2
2
3
2
2
2
2
1
3
1
3
1
2
2
1
1
2
1
2
3
2
2
2
2
2
3
1
3
3
3
3
3
2
2
3
2
1
1
2
y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x x y x y x x y x y x y y y x y x y y x y x y y x y x x y x x y x x y x x y x
2
1
3
2
2
2
2
= − + + − + + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
2
( ) ( )
3
2
2
1
1
2
[
]( ) ( )
( ) ( )
] ( ) ( )
( ) [
( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )
- − = 1 .
- = ⇒ =
- ⋅ − ⋅ + = ⇒
- ⋅ +
⋅ −
( ) ( )
2
2
1
2
1
3
1
2
2
3
1
1
2
3
2
3
1
2
2
1
2
3
2
3
3
1
1
3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
3
1
3
2
2
2
2
3
2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1
3
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
2
1
2
1
2
3
2
3
3
1
1
3
3
2
2
1
2
2
y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x y x x x y x x x y x y y y y x y y y x y y y x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x y x x x y x x x y x y y y y x y y y x y y y x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x y x x x y x x x y x y y y y x y y y x y y y x x y x y x y x y x y x y x y x
− + + − + + − + + − + + − + + − + ⋅ + − + + − + + − + ⋅ + − + − + − + =
− + + − + + − + − − + + − + + − + ⋅ + − + + − + + − + ⋅ − − + − + − + =
1
2
2
1
3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
3
3
2
2
2
2
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
( ) ( )
1
( ) ( )
[ ]
2
1
1
2
2
3
2
3
1
3
3
2
] ( ) ( )
2
2
2
3
2
2
3
2
1
2
1
2
1
( ) ( )
( ) [
3
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) [
] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( )
( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) [
] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( )
2
2
2
3
2
3
1
1
2
3
2
2
1
2
2
1
2
2
1
3
3
1
1
3
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
1
3
2
2
2
2
3
2
2
1
2
1
1
2
1
3
2
3
3
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
− + + − + + − + − − + + − + + − + ⋅ + − + + − + + − + ⋅ − − − − + + + = Diperoleh persamaan yang sama, jadi persamaan lingkaran adalah benar. Selesai.