1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 3
Januari Pekan Ke-4, 2007
Nomor Soal: 21-30
21. Diberikan
A = jumlah akar-akar persamaan: x5  8x3  6 x 2  7 x  2007  0
B = hasil kali akar-akar dari 2 x3  x 2  22 x  4014  0
C = nilai p sehingga x – 1 adalah faktor dari x3  px 2  6 x  6 p .
D = nilai k sehingga jumlah akar-akarnya 2 x 2  kx  2007  0 adalah 2007.
Jika N  A  B  2007C  D , maka jumlah angka-angka bilangan N adalah ....
Solusi:
b
A
0
a
  4014 
B
 2007
2
1  p  6  6 p  0  p  1 , sehingga C  1

k
 2007
2
k  4014 , sehingga D  4014
N  A  B  2007C  D  0  2007  2007 1  4014  4014
Jadi, jumlah angka-angka bilangan N adalah 4 + 0 + 1 + 4 = 9.


22. Diberikan polinom F ( x)  a0  a1x  ...  an x n dan untuk empat bilangan bulat yang berbeda a,
b, c, d polinom F mempunyai F (a)  F (b)  F (c)  F (d )  5 . Tunjukkan bahwa tidak terdapat
bilangan bulat k sehingga F (k )  8 .
Solusi:
Misalnya G ( x)  F ( x)  5 . Dari teorema faktor kita memperoleh bahwa x  a , x  b , x  c , dan
x  d adalah faktor dari G (x ) , akibatnya terdapat polinom H (x) , sehingga:

G ( x)  ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d ) H ( x)

Jika k adalah bilangan bulat sehingga F ( x)  8 , maka G (k )  8  5  3 atau
(k  a )(k  b)(k  c)(k  d ) H (k )  3

Tetapi yang bersifat seperti ini tidak ada, karena faktor dari 3 hanyalah 3, 1, 1, 3, dan a, b, c, d
empat bilangan bulat yang berbeda.









23. Carilah polinom F ( x) dan G ( x ) sehingga x8  1 F ( x)  x5  1 G ( x)  x  1 .
Solusi:

x  1F ( x)  x  1G( x)  x  1
x  1 F ( x)  x  1G( x)  1
8

5

8

5

x 1

x 1

x

7







 x  ...  1 F ( x)  x 4  x3  ...  1 G( x)  1
6

Dengan pembagian Euclid kita peroleh:
1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007



 



x7  x6  ...  1  x3 x 4  x3  ...  1  x 2  x  1





x 4  x3  ...  1  x 2 x 2  x  1  x  1
x 2  x  1  x( x  1)  1
Dengan bekerja terbalik diperoleh:



1  x  x  1  xx  x  ...  1  x x  x  1
1  1  x x  x  1  xx  x  ...  1
 x  x  ...  1  x x  x  ...  1 xx  x
1  1  x 
1  1  x x  x  ...  1  x 1  x   xx  x  ...  1
1  1  x x  x  ...  1   x  x  x x  x  ...  1
1  x 2  x  1  xx  1
2

4

3

3

2

3

2

4

7

3

7

3

7

2

3

6

3

6

4

3

6

3

4

3

6

4

3

x  x  ...  1F ( x)  x  x
 x  x  xx  x  ...  1
7

6

6

4

3

4

3





 ...  1

3

4

Kita dapat menuliskannya sebagai berikut.

3

3











 ...  1 G( x)  1  x3 x7  x6  ...  1 

3

Jadi, F ( x)  1  x3 dan G ( x)   x6  x3  x .

 



24. Buktikan bahwa 1  x  x 2  ...  x1023  1  x  1  x 2 1  x 4 ... 1  x 256 1  x512



Bukti:

Ambillah S  1  x  x 2  ...  x1023 , sehingga xS  x  x 2  x3  ...  x1024 . Ini memberikan



S  xS  1  x  x 2  ...  x1023  x  x 2  x3  ...  x1024



1  x  S  1  x1024
S

1  x1024
1 x

 1  x1024  1  x512   1  x 4  1  x 2 
...
S 

512 
256  
2 
 1  x  1  x   1  x  1  x 





 





S  1  x512 1  x 256 ... 1  x 4 1  x 2 1  x 





 





1  x  x 2  ...  x1023  1  x  1  x 2 1  x 4 ... 1  x 256 1  x512 (terbukti)

25. Tentukanlah bilangan real x sedemikian sehingga x3  3x2  3x  7  0 .
Solusi:
x 3  3x 2  3x  7  0

x  13  6  0
x  13  6
x 1  3  6
x  1 3 6

26. Jika x1 , x2 , x3 , dan x4 adalah akar-akar persamaan 4 x 4  3x3  x 2  2 x  6  0 . Berapakah nilai
1 1 1 1
   ?
x1 x2 x3 x4

Solusi:
Teorema Vieta:
2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Jika x1 , x2 , x3 , dan x4 adalah akar-akar persamaan ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0 , maka

x1  x2  x3  x4  

b
a

x1x2  x1x3  x1x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4 
x1x2 x3  x1x2 x4  x1x3 x4  x2 x3 x4  

x1 x2 x3 x4 

c
a

d
a

e
a

d
2

1
1 1 1 1
xx x xx x xx x xx x
  
 1 2 3 1 3 4 1 2 4 1 2 3  a  4
e
6 3
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
4
a


27. Hasil kali dua akar (dari empat akar) persamaan x 4  18x3  kx2  200x  1984  0 adalah 32.
Tentukan nilai k.
Solusi:
Misalnya akar-akar persamaan x 4  18x 3  kx 2  200x  1984  0 adalah x1 , x2 , x3 , dan x4 ,
maka
x1 x2  32

e  1984

 1984
a
1
xx x x
 1984
x3 x 4  1 2 3 4 
 62
x1 x2
 32

x1 x 2 x3 x 4 

Sehingga untuk suatu bilangan p dan q:







x 4  18x 3  kx 2  200x  1984  x 2  px  32 x 2  qx  62

 x 4  qx 3  62x 2  px 3  pqx2  62 px  32x 2  32qx  1984

 x 4   p  q x3   pq  30x 2  62 p  32q x  1984
p  q  18  p  18  q
pq  30  k
62 p  32q  200

p  18  q  62 p  32q  200

6218  q   32q  200
1116  62q  32q  200

 94q  1316
q  14
q  14  p  18  q  18  14  4

p  4
  pq  30  k  k  4  14  30  86
q  14

28. Tentukanlah semua nilai p yang memenuhi persamaan pangkat empat x 4  (3 p  2) x 2  p 2  0
yang mempunyai empat akar real merupakan barisan aritmetika.
Solusi:

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Misalnya akar-akar persamaan x 4  3 p  2x 2  p 2  0 yang membentuk barisan aritmetika
adalah –3a, a, a, dan 3a.







x 4  3 p  2x 2  p 2  x  3a x  a x  a x  3a   x 2  a 2 x 2  9a 2  x 4  10a 2 x 2  9a 4
Dari kesamaan yang terakhir kita memperoleh sistem persamaan berikut ini.
3 p  2  10a 2 .... (1)

p 2  9a 4 …. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
 3p  2 
p 2  9

 10 

2



100 p 2  9 9 p 2  12 p  4



19 p 2  108 p  36  0

19 p  6 p  6  0
p

6
atau p  6
19

29. Jika a, b, dan c adalah penyelesaian dari persamaan x3  ax2  bx  c  0 dan a, b, c  0 ,
tentukanlah nilai dari a3  b3  c3 .
Solusi:

x  a  x3  ax2  bx  c  0
a3  a3  ab  c  0
ab  c  0
c  ab
x  b  x3  ax2  bx  c  0

b3  ab2  b2  c  0
b3  ab2  b2  ab  0
b2  ab  b  a  0
b(b  a)  (b  a )  0
(b  1)(b  a)  0
b  1 atau a  b
b  1 atau a  b  1

a  1
  c  ab  (1)(1)  1
b  1

 a3  b3  c3  (1)3  (1)3  13  1  1  1  1
30. Persamaan 4 x3  7 x2  5x  1  0 memiliki akar-akar ,  , dan . Susunlah persamaan kuadarat
baru yang akar-akarnya (  1) , (   1) , dan (  1) .
Solusi 1:
Persamaan kubik ax3  bx2  cx  d  0 atau x3 
dan  adalah
( x   )( x   )( x   )  0

x

2



 (   ) x   x     0

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

b 2 c
d
x  x   0 yang akar-akarnya , ,
a
a
a

x3  x 2  (   ) x 2  (   ) x  x    0
x3  (     ) x 2  (     ) x    0 , dengan

b
a

c
a

       ,       , dan   

d
a

4 x3  7 x 2  5 x  1  0
5
1
7
       ,        , dan  
4
4
4
Akar-akar persamaan yang diminta adalah (  1) , (   1) , dan (  1) , sehingga
7
5
4
4
(  1)(  1)  (  1)(  1)  (   1)(  1)        1        1        1

 1  1  1        3    3 

7
 7
4
 4
(  1)(  1)(  1)    (   )  1(  1)                1

5
4

       2(     )  3    2    3  

1 7 5
7
  1  
4
4 4 4
5
7
7
Jadi, persamaannya adalah x3  x 2  x   0 atau 4 x3  5x2  7 x  7  0
4
4
4
Solusi 2:
Karena akar-akar persamaannya (  1) , (   1) , dan (  1) adalah simetri (setangkup), maka


persamaannya adalah

  x  1  4 x3  7 x 2  5 x  1  0
4( x  1)3  7( x  1)2  5( x  1)  1  0
4( x3  3x 2  3x  1)  7( x 2  2 x  1)  5 x  5  1  0

4 x3  12x2  12x  4  7 x2  14x  7  5x  5  1  0
4 x3  5 x 2  7 x  7  0

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007