Deret dan Transformasi Fourier

• ω = ω
• ω = ω

  2

       

  ω ω + ω ω

  1 2 / 2 / o

  2 / 2 / o 2 /

  2 / o 2 / 2 / o _o o

^o

^o

^{o o o o}

  ) cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( n

T

  T n

T

T

n T

  T T T dt t k t n b dt t k t n a dt t k a dt t k t f

  Dengan menggunakan kesamaan tigonometri

  ) sin(

  2

  1

) sin(

  1 sin cos ) cos(

  ∞ =

−

−

  2

  1

) cos(

  2

  1 cos cos

β + α + β − α = β α

β + α + β − α = β α

  maka persamaan di atas menjadi

  ( ) ( ) ∑ ∫

  ∫ ∫ ∫ ∞ =

  − − − −

       

       

  ω + + ω − + ω + + ω −

  1 ^{2 /} _{2 / o} ^{2 / 2 / o 2 / 2 / o 2 / 2 / o o} _o ^{o o o o o o} ) ) sin(( ) ) sin((

  2 ) ) cos(( ) ) cos(( 2 ) cos( ) cos( ) (

  − −      

  ∑

∫

∫ ∫ ∫

  

Deret dan Transformasi Fourier

Deret Fourier

  n

  Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponen-

  komponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan sebagai deret Fourier :

  [ ] ∑

  ∞ = ω + ω + =

  1 ) sin( ) cos( ) ( n

n n

t n b t n a a t f

  (1) yang dapat kita tuliskan sebagai

  ( ) ∑

  ∞ =  

    θ − ω + + =

  1

  

2

  2 ) cos( ) ( n n n n t n b a a t f

  (2) Koefisien Fourier a , a

  , dan b

  −

T

o /2 sampai T o /2 dan kita akan memperoleh

  n

  ditentukan dengan hubungan berikut:

  ∫ ∫ ∫

  − − −

  > ω = > ω = =

  2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 /

  

; ) sin( ) (

  2

; ) cos( ) (

2 ) (

  1 T T n T

  T n T T

n dt t n t f

T b

n dt t n t f

  T a dt t f T a

  (3) Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari a n ; kita kalikan (1) dengan cos(k

  ω o t) kemudian kita integrasikan antara

  ^T n ^T _T ^{n T T n T T T} dtdt t k n t k n b dt t k n t k n a dt t k a dt t k t f

1 T

  T n n A T

  Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), a

  T T/ T T

  T a T T T T n n

  T AT T At Adt

  T n A A dt t n T a b

  T n n A t n

  2 ) cos( 2 ; ;

  = 0; a

  

2

sin 2 sin

  2 o 2 / 2 / o o sin

  2 /

  2 /

o

o o

  2 / o o o 2 /

  − − ∫ ∫ o o 2 /

  = = = = − −

  n

  n hanya mempunyai nilai untuk n = 1, 3, 5, ….

    π π

     

  A T T _o

  − ∞ = − T/2 0 T/2 v(t)

  ∑ ∑ ∞ =

    π

π

     

     

  ω −

π

  (ganjil).

  T n n

A

T AT t f ganjil n n ganjil n

  

A

T AT t n T

  1 o o t n

n

  1 ) 2 / 1 ( o o ,

  2 ) cos( sin 2 ) ( o ,

  1

  ( ) ) cos(

  = ω ω = ω =

     

  Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu

  ) cos( ) (

  ω t) = cos(

  satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(

  − t). Salah

  Kesimetrisan Fungsi Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t) = f(

  Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fourier- nya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnya dalam urain berikut ini.

  2 T T n dt t n t f T a

  ω = 2 / 2 / o ^{o o}

  Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan

  ∫ −

  oleh karena itu

  2 2 / 2 / ^o _o

  2 ) ) cos((

  ∫ − jika terjadi yang

  T n = = ω −

  ( ) k n a dt t k n a n T

  −ω t).

  [ ] [ ] ∑ ∑

     

  CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentuk gelombang deretan pulsa berikut ini.

  

=

   

    π π

     

     

     

  Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda T o , lebar pulsa T.

  Penyelesaian :

  (4)

  ∞ = ∞ =

  1 o ) cos( ) ( n

n

t n a a t f

  ∞ = ω + =

  [ ] ∑

  Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah b n = 0, dan f(t) menjadi

  1 ) sin( ) cos( ) ( ) dan sin( ) cos( ) ( n

n n

n n n t n b t n a a t f t n b t n a a t f

  1

  ω − ω + = − ω + ω + =

• =
• = ω

  Pemahaman :

  Pada fungsi yang memiliki simetri genap, b = 0. Oleh karena itu sudut fasa

  n o harmonisa tan n = b n /a n = 0 yang berarti n = 0 .

  θ θ Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t) = f( t).

  − −

  Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin( t) = sin( t). Untuk

  ω − −ω

  fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan

  ∞

f ( t ) a a cos( n t ) b sin( n t )

  − − = − − ω ω

+ +

[ n n ]

  ∑ n =

1 Kalau fungsi ini harus sama dengan

  ∞ ω ω + + f ( t ) = a a cos( n t ) b sin( n t )

  [ ] n n ∑ n =

  1

  maka haruslah

  ∞ ⇒ a = dan a = f ( t ) = b sin( n ω t ) (5) n n

  ∑ [ ] n

  1 =

  CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombang ₎ v(t T

  A persegi di samping ini. _t Penyelesaian:

  A −

  Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudo

  A, perioda T o = T. a = ; a = ; _{o n} T /

2 T

  2  

  = ω − ω n o o

• b  A sin( n t ) dt A sin( n t ) dt 

  ∫ ∫ T /

  2  

  T

  2 A T /

  2 T

  = − ω ω o o

• cos( n t ) cos( n t )

  

T /

  2 ( )

  Tn ω o

  A

  = 1 cos ( n π ) − 2 cos( n π ) ( ) n π

• 2

  Untuk n ganjil cos(n ) = 1 sedangkan untuk n genap cos(n ) = 1. Dengan demikian

  π − π

  maka

  A

4 A

  1 2 = untuk n ganjil n ( )

  ∞

  1 + + b =

  4 A n π n π

  ⇒ v ( t ) sin( n t )

  = ω o

  ∑ A n

  π

  1 , ganjil = b =

  1 1 − 2 = untuk n genap ( ) n n π

• n

  Pemahaman:

  Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, a n = 0. Oleh karena itu sudut fasa

  o harmonisa tan n = b n /a n = atau n = 90 .

  θ ∞ θ Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah f(t T

  gelombang jika f(t) = o /2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya

  − − t) misalnya, jika kita kita

  jika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(

  ω

  inversikan kemudian kita geser sebesar akan kembali menjadi sinus( t). Demikain pula

  π ω halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.

  ∞ − f ( t − T / _{o n n} 2 ) = − a − a cos( n ω ( t − π )) − b sin( n ω ( t − π )) _{n 1}

• = ∞

  ∑ [ ]

  a ( 1 ) a cos( n t ) ( 1 ) b sin( n t ) = − − − ω − − ω ^{n n} _{n n}

• Kalau fungsi ini harus sama dengan

  ∑ _{n = 1} [ ]

  ∞

f ( t ) a a cos( n t ) b sin( n t )

  

= ω ω

+ + n n

  ∑ [ ] n

  1 =

  maka haruslah a o = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai harmonisa ganjil saja.

  Deret Fourier Bentuk Eksponensial Deret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus.

  Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akan kita ubah ke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan

  j j α − α

• e e

  cos α = .

  2 Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadi ∞

   ^{2 2 } f ( t ) a a b cos( n t )

  = n n ( ω − θ n ) + + ∑ _{n 1}  

  = _{j ( n t ) j ( n t )} ∞ ω − θ − ω − θ

_n

 

• ₂
₂ e e (6) ⁿ

 

  = + + a a b _{n n} ∑

  

 

2 _{n =}

_{1  }

_{2 2 2 2}     ∞ ∞

  a b a b ω − θ − ω − θ

     

  =     _{n 1 n}

• ^{n n j ( n t ) n n j ( n t ) n n}
• a e e

  ∑ ∑

  2 ₁

  2 = =

     

  Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n = . Jika penjumlahan ini kita

  ∞ , b

  ubah mulai dari n = 1 sampai n = , dengan penyesuaian a n menjadi a n n menjadi b n ,

  − −∞ − −

  dan n menjadi n , maka menurut (3) perubahan ini berakibat

  θ θ − T /

  2 T /

  2

  2

  2 a f ( t ) cos( n t ) dt f ( t ) cos( n t ) dt a

  = − ω = ω = − n n

  ∫ ∫ T /

  2 T /

  2 − −

  T T T /

  2 T /

  2

  2

  2

  (7)

  b f ( t ) sin( n t ) dt f ( t ) sin( n t ) dt b = − ω = − ω = −

  − n ∫ ∫

  T /

  2 T /

  2 − −

  T T b b − n n

  − tan ⇒

  θ = = θ = − θ − n − n n a a n n

  −

  Dengan (7) ini maka (6) menjadi

     

  2

  2

  2

  2

∞ − ∞

  a b a b n n n n j ( n ω t − θ ) j ( n ω t − θ ) _{n n}

      f ( t ) = e e (8)

•    

  

∑ ∑

  2

  2

n = n = −

  1    

  Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n = 0 untuk memasukkan a sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8) dapat ditulis menjadi

  

  2  ∞ ∞ + + a b

• 2

   n n  j j ( n t ) j ( n t )

  − θ n ω ω f ( t ) e e c e (9)

  = = ∑ ∑ n

   2  n = −∞ n = −∞

   

  Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan c n adalah koefisien Fourier yang mungkin berupa besaran kompleks.

  2 a b a − jb n n

• 2

  − j θ n n

  (10)

  c = e = n

  2

  2

• a b _{n n}
^{2 2} c dan c dengan _{n = ∠ n = θ n}

  2

  (11)

  

   

_{1 − n}

b b

_{1 n} − −

tan jika a ; tan jika a

  

θ = < θ = >

_{n n n n}

   

a a

  

 n   n 

  Jika a dan b pada (3) kita masukkan ke (10) akan kita dapatkan

  n n T /

  2 a − jb

  

1 jn t

n n − ω _n c f ( t ) e dt (12)

  = = n

  ∫ − T /

  

2

2 T

  dan dengan (12) ini maka (9) menjadi

• ∞ +∞

   T / 2 

  

1

j ( n ω t ) − jn ω o t j ( n ω t ) f ( t ) c e f ( t ) e dt e (13)

  = = n

  ∑ ∑  ∫ 

  T /

  2 −

  

T

  n = −∞ n = −∞

  Persamaan (11) menunjukkan bahwa 2|c | adalah amplitudo dari harmonisa ke-n dan sudut

  n c

  fasa harmonisa ke-n ini adalah . Persamaan (10) ataupun (12) dapat kita pandang

  n ∠

  sebagai pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa. Persamaan (9) ataupun (13) memberikan f(t) apabila komposisi harmonisanya c diketahui. Persamaan (12) menjadi cikal bakal transformasi

  n Fourier, sedangkan persamaan (13) adalah transformasi baliknya.

  dari fungsi pada contoh-10.1.

  CONTOH-3: Carilah koefisien Fourier c n Penyelesaian : T /

  2 − jn ω t

   o  T /

  2

1 A e

  − jn ω t

_{o  }

c A e dt

  = = n

    ∫

  T /

  2 −

  T T − jn ω o o  o 

  − T /

  2 jn ω T / 2 − jn ω T /

  2  o o 

  A e − e

  2 A  

  

= = sin n ω T /

  2 ( ) o

    n ω T j n ω T o o o o

    Transformasi Fourier

  Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (12) hanya

  berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyal- sinyal demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga. Jika diingat bahwa = 2 /T , maka (13) menjadi

  ω π

  ∞  T / 2 

  1 − jn ω t jn ω t f ( t ) = f ( t ) e dt e

  ∑   ∫ T /

  2 −

  T   n = −∞

  (14)

  ∞ T /

  2

 

  1 − jn ω t jn ω t

  

 

= f ( t ) e dt ω e

  ∑ ∫ − T /

  2

 

  2 π n

  = −∞

  Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T diperbesar. Karena = 2 /T maka

  ω π

  jika T makin besar, akan makin kecil. Beda frekuensi antara dua harmonisa yang

  ω

  berturutan, yaitu

  2 π

  1 ) n ∆ ω = ω − ω = ω =

• ( n

  T

  juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T diperbesar menuju maka spektrum

  ∞

  sinyal menjadi spektrum kontinyu, menjadi d (pertambahan frekuensi infinitisimal),

  ∆ω ω

  dan n menjadi peubah kontinyu . Penjumlahan pada (14) menjadi integral. Jadi dengan

  ω ω

  membuat T maka (14) menjadi

  → ∞ ∞ ∞ ∞

   

  1

  1 − j ω t j ω t j ω t

   

  (15)

  f ( t ) = f ( t ) e dt e d ω = F ( ω ) e d ω ∫ ∫ ∫

  − ∞ − ∞ − ∞  

  2 π 2 π

  dengan F( ) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga

  ω ∞ − j ω t

  (16)

  F ( ω ) = f ( t ) e dt ∫

  − ∞

  dan F( ) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasi

  ω F

f ( t ) = F ( ω )

  [ ] Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (15).

  1 −

  

F

f ( t ) ( )

  = ω CONTOH-4: Carilah transformasi Fourier dari bentuk v(t) gelombang pulsa di samping ini.

  A

  Penyelesaian : T/2 0 T/2

  −

  Bentuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyai

  T/2 dan +T/2, sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena itu

  nilai antara

  − T/2 dan +T/2 saja.

  integrasi yang diminta oleh (16) cukup dilakukan antara

  − T /

  2 j ω T / 2 − j ω T /

  2  

  T /

2 A A e e

  − − j ω t − j ω t

  F ( ) A e dt e  

  ω = = − = ∫

  T /

  2 − j / 2 j

  2 ω ω  

    − T /

  2 sin( T / 2 )

  ω AT

  = T /

  2 ω

  Kita bandingkan transformasi Fourier (16)

  ∞ − j ω t

F ( ω ) = f ( t ) e dt

  ∫ − ∞

  dengan koefisien Fourier

  

T /

  2 a − jb

  1 jn t n n

  − ω n c f ( t ) e dt

  = =

  (17)

  n

∫

  T /

  2

−

2 T

  Koefisien Fourier c n merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T yang

  c

  terdiri dari spektrum amplitudo |c | dan spektrum sudut fasa , dan keduanya

  n ∠ n

  merupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentu yang diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F( ) diperoleh dengan mengembangkan

  ω

  perioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagai sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T pada c n dikeluarkan untuk memperoleh F( ) yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(j )|

  ω ω maupun spektrum sudut fasa F( ).

  ∠ ω CONTOH-5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-4.

  Penyelesaian : Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu |F(j )|.

  ω sin( T / 2 )

  ω F ( ω ) = AT

  T /

  2 ω

  |F( )| ω

• 5

  ω Pemahaman:

  Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehingga spektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan pula bahwa |F( )| mempunyai

  ω

  spektrum di dua sisi, positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin( T/2)=0

  ω ω

  yaitu pada = 2k /T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada = 0, yaitu pada

  ω ± π ω T/2)/( T/2) = 1.

  waktu nilai sin(

  ω ω −α t

  CONTOH-6: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e ] u(t) dan gambarkan spektrum amplitudo dan fasanya.

  Penyelesaian :

∞ ∞

  − α − ω − α ω

F ( ω ) = Ae u ( t ) e dt = Ae dt

• t j t ( j ) t

  ∫ ∫ − ∞

∞

  − + ( α j ω ) t e A

  = − A = untuk α >

j j

  α + + ω α ω | A |

  ⇒ F ( )

  ω =

  2 α ω ω

• 2

  −

  1 ⇒

  

θ ( ω ) = ∠ F ( j ω ) = − tan α o θ ( ω )

• 90 |F( )
₂₅ ω

  90 A/ α | _o

  90 − ω

  Pemahaman:

  Untuk < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi menjadi tidak

  α konvergen.

  Transformasi Balik

  Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikan relasi formalnya yaitu persamaan (15). Hal ini dapat dimengerti karena aplikasi formula tersebut relatif mudah dilakukan

  CONTOH-7: Carilah f(t) dari F ( ω ) = 2 πδ ( ω )

  Penyelesaian : ∞ ⁺

  1

  1 j t j t

  ω ω f ( t ) 2 ( ) e d 2 ( ) e d

  = πδ ω ω = πδ ω ω ₋

∫ ∫

  − ∞ 2 π 2 π ⁺

  α ( )( 1 ) d

  1 = δ ω ω = ₋

  ∫ α

  Pemahaman :

  Fungsi 2 ( ) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai di

  πδ ω j t

  ω juga hanya mempunyai nilai di

  =0 sebesar 2 . Oleh karena itu e =0 sebesar e

  ω π ω j0t

  =1. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di =0 maka integral dari sampai

  ω −∞ − + + cukup dilakukan dari 0 sampai 0 , yaitu sedikit di bawah dan di atas =0.

  ∞ ω

  Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal searah beramplitudo 1 adalah 2 ( ).

  πδ ω CONTOH-8: Carilah f(t) dari

  F ( j ω ) = 2 πδ ( ω − α ) ₊ Penyelesaian :

  

∞ α

  1

  1 j t j t

  ω ω f ( t ) 2 ( ) e d 2 ( ) e d

  = πδ ω − α ω = πδ ω − α ω ₋

∫ ∫

  

− ∞ α

₊ 2 π 2 π

  α j t j t

  α α e ( ) d e

  = δ ω − α ω = ₋ ∫

  α Pemahaman :

  Fungsi 2 ( ) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai

  πδ ω−α

j t

  

ω

  di = sebesar 2 . Oleh karena itu e juga hanya mempunyai nilai di = sebesar

  ω α π ω α

  j α t e . Karena fungsi hanya mempunyai nilai di = maka integral dari sampai +

  ω α −∞ ∞ −

• cukup dilakukan dari sampai , yaitu sedikit di bawah dan di atas = .

  α α ω α CONTOH-9: Carilah f(t) dari

  A π ω = ω α − ω − α

• F ( ) u ( ) u ( )

  [ ]

  α Penyelesaian :

  ∞

1 A

  π j ω t f ( t ) = u ( ω α ) − u ( ω − α ) e d ω

• − ∞

  [ ] ∫

  2 π α

  α j ω t

  ∞ 1 π A A e j ω t

  = 1 e d ω = [ ]

  ∫ − ∞

  2 2 jt π α α

  − α

j α t − j α t j α t − j α t

  A e − e A e − e sin( α t )

= = = A

  2 α jt α t j 2 α t Pemahaman: j t

  ω

  Dalam soal ini F( ) mempunyai nilai pada selang oleh karena itu e

  ω −α<ω<+α

  juga mempunyai nilai pada selang frekuensi ini juga; dengan demikian integrasi cukup dilakukan antara dan .

  −α +α

  Hasil transformasi balik f(t) dinyatakan dalam bentuk sin(x)/x yang bernilai 1 jika x 0 dan bernilai 0 jika x . Jadi f(t) mencapai nilai maksimum pada t = 0 dan

  → →∞

  menuju nol jika t menuju baik ke arah positif maupun negatif. Kurva F( ) dan

  ∞ ω f(t) digambarkan di bawah ini. f(t) A

  F( ω ) β ω −β

• t

  Dari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier

  Untuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasi Fourier dan transformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui, transformasi Laplace didefinisikan melalui (8.1) sebagai

  ∞

st

  − F ( s ) = f ( t ) e dt (18)

  ∫

  dengan s = + j adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawah integrasi adalah nol,

  σ ω

  artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t) memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasi tersebut di atas akan tetap konvergen jika = 0, dan formulasi transformasi Laplace ini

  

σ

  menjadi

  ∞

− j ω t

F ( s ) = f ( t ) e dt (19)

  ∫

• berlaku integrasi di dapat dan kausal ) ( sinyal untuk

  konvergen. Ini berarti bahwa pole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kiri sumbu imajiner. Jika persyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencarian transformasi balik dari F(

  2

  3

  ) ( ) ( a).

  c) ) ( ) ( b).

  [ ] ) ( sin ) (

  β > 0).

  ,

  α

  Fourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap

  CONTOH-10: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilah transformasi

  ω ) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik Laplace.

  ∞

  

β =

δ = =

  (21) Persyaratan “dapat di-integrasi” pada hubungan (21) dapat dipenuhi jika f(t) mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nol sehingga integrasi |f(t)| dari t=0 ke t=

  F F

  

= σ

= ω s t f

  ) ( ) (

  (20) Bentuk (20) sama benar dengan (19), sehingga kita dapat simpulkan bahwa

  F

  = ω ) ( ) ( dt e t f t j

  ∫ ∞

ω −

  Sementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukup dilakukan dari nol, sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausal menjadi

1 A t u t e t f

  

α −

α −

Penyelesaian:

  t t f A t u e t f t t

• integrasi di dapat dan kausal fungsi ) ( ) ( a).

1 F

• integrasi di dapat dan kausal fungsi ) ( ) ( b).

  F s F t t f

• integrasi di dapat kausal, fungsi ) ( sin ) ( c).

  s s F s

  

j j

F

  Penyelesaian :

  Jika kita ganti j

  ω

  dengan s kita dapatkan

  ) 4 )( 3 (

  10 ) (

  1

  Pole dari fungsi ini adalah p

  ) 4 )( 3 (

  =

  −

  3 dan p

  2

  =

  −

  4, keduanya di sebelah kiri sumbu imajiner.

  10 ) (

  A s A t u t e t f t

  F F CONTOH-11: Carilah f(t) dari

  = → → β = α −

  = → → = α − j p s A

  F s Ae t u t f t

  1 ) ( (di imag) sumbu kiri pole ) (

  1

  ( 1 ) ( 1 )

  2 = ω → = → → δ =

  [ ] αω + ω − β + α =

  β + α + ω = ω → β ± α − = → β + α +

  ( 2 ) ) ( (di im) sumbu kiri pole ) (

  α + ω = ω → α − = → α +

  ) (

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  3 j a j A

j p

s
• ω + ω = ω

• =

• =
• =
• = →
• = =
• =
• −

  F Jadi

  Persamaan (15) menyatakan

  F (23)

    F j dt t df

     

  ) ( ) ( ω ω =

  F Diferensiasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut

  β + ω πδ + β − ω πδ = β t cos

  [ ] ) ( ) (

  ω t j

e

  ) (

   





  2 β − ω πδ =

  1

  2

  1

  2

  F F F F t cos

     

     

  ( ) ) ( ) (

  2

  [ ] [ ] [ ] t j t j

t j t j

e e e e

    ω ω π

  F

  F d e dt d dt t df F d e t f t j t j t j t j

  F d e j F d e dt d

  F j dt t df

  ω ∞ ∞ − ω

  ∞ − ω ∞ ∞ −

  ∞ ∞ − ω ∞

  ∫ ∫ ∫ ∫

  = → ω ω π =

  =    

  1 ) (

    ω ω π

  π =    

    → ω ω ω

     

  1 ) ( ω ω =

  2

  ) (

  1 ) ( 2 ( 1 )

  2

  β − β

β − β

  Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasi Laplace tidak dapat di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.

  ω

  4

  F F

  − = − = s s s s k s k s k s k s s s s s

  ⇒ − =

  1

  2

  1

  3

  2

  10 ) (

  Penyelesaian:

  4 3 ) 4 )( 3 (

  10

  4

  10

  10 ;

  3

  10

  10 ) (

  3

  Transformasi balik dari F(

  ) adalah :

  4

  1

  CONTOH-12: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cos β t.

  (22)

  1

  2

  F F F

  F F F F

B A t Bf t Af

t f t f

  1 ω + ω = + ω = ω =

  2

  2

  [ ] ) (

  

) ( ) ( dan ) ( ) ( : Jika

  2 ) ( 1 : maka

  [ ] ) ( ) ( ) (

  [ ] [ ]

  Sifat-Sifat Transformasi Fourier Kelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasi Fourier adalah kelinieran.

  − t t − − =

  

3

t u e e t f

  4

  10 ( 10 )

  10

• +

  = β
• =

2 Dari contoh-8 kita ketahui bahwa ) (

  Integrasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut: t

    F ( ω )

  f ( x ) dx = π F ( ) δ ( ω ) (24) ∫

• F

   − ∞  j ω

  Suku kedua ruas kanan (24) merupakan komponen searah jika sekiranya ada. Faktor F(0) terkait dengan f(t); jika diganti dengan nol akan kita dapatkan

  ω

∞

  

F ( ) f ( t ) dt

=

  

∫

− ∞

CONTOH-13: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = Au(t).