Solusi Umum Persamaan Laplace Dalam Koordinat Spherical Diekspansikan Ke Dalam Deret Fourier

SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE DALAM KOORDINAT
SPHERICAL DIEKSPANSIKAN KE DALAM
DERET FOURIER

SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

LAILA QADARSIH
040803059

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010

ii  
 

PERSETUJUAN

Judul

: SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE
DALAM
KOORDINAT
SPHERICAL
   DIEKSPANSIKAN
KE
DALAM
DERET
FOURIER

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: LAILA QADARSIH

Nomor Induk Mahasiswa : 040803059
Program Studi

: SARJANA(S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
Medan, 30 Maret 2010

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Elvina Herawati, M.Si

Drs. Marwan Harahap, M. Eng

NIP. 131 945 361

NIP. 130 422 443

Diketahui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua

Dr. Saib Suwilo. Msc.
NIP. 196401091988031004

iii  
 

PERNYATAAN

SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE DALAM KOORDINAT
SPHERICAL DIEKSPANSI KAN KE DALAM
DERET FOURIER

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali
beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 30 Maret 2010

LAILA QADARSIH
040803059

iiii  
 

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT yang telah
memberikan kekuatan, keridoaan dan keberkahaanNya sehingga skripsi ini
dapat diselesaikan dengan judul “Solusi Umum Persamaan Laplace dalam
Spherical Harmonic diekspansikan ke dalam Deret Fourier”. Skripsi ini adalah
salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaiakan oleh seluruh mahasiswa
Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Dalam kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih yang
sebesar-besarnya kepada :
1.Bapak Prof.Dr. Eddy Marlianto, Msc selaku dekan
Fakultas
matematika dan Ilmu pengetahuan Alan Iniversitas Sumatera Utara.
2.Bapak Dr. Marwan Harahap, M. Eng selaku dosen pembimbing I dan
ibu Dra. Elvina Herawati, M.Si selaku pembimbing II yang telah member
dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada bapak Dr.Tulus, M.Si dan Bapak
Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku penguji yang telah memberikan
saran dan kritik membangun dalam perbaikan skripsi penulis.
3.Seluruh Staf Pengajar Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara , atas bantuannya
kepada penulis selama masa perkuliahan samapai akhirnya penulis bisa

menyelesaikan skripsi ini.
4.Seluruh Staf Administrasi FMIPA USU khususnya Staf Administrasi
di Departemen Matematika yang telah memberikan pelayananannya
kepada penulis selama masa perkuliahan sampai akhirnya penulis bisa
menyelesaikan skripsi ini.
5.Ayahanda Saidi Akmal Dalimunthe dan ibunda (Almh) Zaitun Nasution
yang selalu memberikan dukungan moril dan material serta doa yang
tiada hentinya kepada penulis serta kepada kakanda Demita, Eliana,
Ibnu Said, Ruzena dan adinda tercinta farid wazdi dan Yuyun Soraya
yang mendoakan penulis.
Terima kasih yang sebanyak-banyaknya kepada keluarga tercinta
khusunya kepada Bu pipit, Om Dadang, Bang Syahrial, Bang Ucok, Bang Wito
atas motivasi dan doanya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.
Kepada sahabat-sahabat seperjuangan yakni Ratna, Sarah, Nana, Aisyah, Uci,
Masna, Diana, Sari atas motivasi dan doa yang diberi kepada penulis. Juga
teman-teman SANTIKA dan UKMI Al - Falak, Kak Rohani, Ika, Ewi’, Kak Sus,
Kak Wati, Tika, Muti, Irma, Arni serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat
disebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT memberi balasan atas doa, motivasi
dan bantuan yang saudara-saudari berikan kepada penulis.

ivi  
 

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam menyelesaikan
skripsi ini. Karenanya, kritik dan saran membangun sangat diharapkan demi
perbaikan tulisan ini.

vi  
 

ABSTRAK
Persamaan Laplace dalam Koordinat Bola (Spherical) mempunyai bentuk:
∂ ⎛
∂v ⎞
1
∂ 2v
1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞
1
r
solusi

θ
= 0 mempunyai
+
sin
+
⎜
⎟
⎜
⎟
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ 2
l
∞
b ⎞
⎛
umum berbentuk deret v(r , θ , φ ) = ∑ ∑ ⎜ a mn r n + nmn+1 ⎟ Plm (cos θ )e miφ , dapat
r ⎠
l = 0 m = −1 ⎝
dikspansikan
ke

dalam
deret
Fourier
dengan
bentuk 
f(x)= 
∞
a0
nπx
nπx ⎞
⎛
+ ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟   yang merupakan suatu fungsi periodik. Tulisan ini
2
L
L ⎠
n =1 ⎝
akan memberikan syarat-syarat persamaan Laplace agar dapat diekspansikan ke dalam
deret Fourier.

∇ 2v =

vii  
 

General Solution of Laplace Equation in Spherical Harmonic was
expanded to Fourier Series

ABSTRACT

Laplace Equation in Spherical coordinates has form :
1
∂ 2v
1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞
1
∂ ⎛
∂v ⎞
= 0   has general solution
⎜ sin θ
⎟+ 2

⎜r
⎟+ 2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r sin 2 θ ∂φ 2
∞
l
b ⎞
⎛
with series form , ca v(r , θ , φ ) = ∑ ∑ ⎜ a mn r n + nmn+1 ⎟ Plm (cos θ )e miφ n be expanded to
r ⎠
l = 0 m = −1 ⎝
∞
a
nπx
nπx ⎞
⎛
Fourier series with form f(x)=  0 + ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟   is periodic function.
2
L
L ⎠
n =1 ⎝
This research gives the conditions of Laplace Equation in order to be expanded to
Fourier series.
∇ 2v =

viii  
 

DAFTAR ISI

Halaman
JUDUL

............................................................................... i

PERSETUJUAN

............................................................................... ii

PERNYATAAN

.............................................................................. iii

PENGHARGAAN

.............................................................................. iv

ABSTRAK

............................................................................... v

ABSTRACT

.............................................................................. vi

DAFTAR ISI

.............................................................................. vii

BAB 1

PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang............................................................................ 1
1.2. Perumusan Masalah ................................................................... 4
1.3. Tujuan Penelitian........................................................................ 4
1.4. Manfaat Penelitian...................................................................... 4
1.5 Tinjauan Pustaka ........................................................................ 5
1.6. Metodologi Penelitian ................................................................. 5

BAB 2

LANDASAN TEORI ............................................................................ 7
2.1. Persamaan Diferensial Parsial................................................... 7
2.2. Persamaan Laplace ..................................................................... 8
2.3. Sifat-sifat Umum Fungsi Harmonik.......................................... 8
2.4. Harmonik Bola ........................................................................... 10

2.5. Fungsi Periodik dan Deret Trigonometri ................................ 11
2.6. Deret Fourier .............................................................................. 15

viiii  
 

2.7. Fungsi Genap dan ganjil............................................................ 26
BAB 3

PEMBAHASAN

.............................................................................. 30

3.1 Penyelesaian Persamaan Laplace Orde Dua ........................... 30
3.2 Persamaan Laplace di dalam SistemKoordinat Spherical .... 33
3.4 Contoh Masalah Nilai Batas dalam Koordinat Bola
(Spherical)

.............................................................................. 37

3.5 Solusi Persamaan Legendre ...................................................... 39
3.3 Ekspansi Deret Fourier ............................................................. 40
BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 42

4.1. kesimpulan

.............................................................................. 42

4.2. Saran

.............................................................................. 42

DAFTAR PUSTAKA

.............................................................................. 43

vi  
 

ABSTRAK
Persamaan Laplace dalam Koordinat Bola (Spherical) mempunyai bentuk:
∂ ⎛
∂v ⎞
1
∂ 2v
1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞
1
r
solusi
θ
= 0 mempunyai
+
sin
+
⎜
⎟
⎜
⎟
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ 2
l
∞
b ⎞
⎛
umum berbentuk deret v(r , θ , φ ) = ∑ ∑ ⎜ a mn r n + nmn+1 ⎟ Plm (cos θ )e miφ , dapat
r ⎠
l = 0 m = −1 ⎝
dikspansikan
ke
dalam
deret
Fourier
dengan
bentuk 
f(x)= 
∞
a0
nπx
nπx ⎞
⎛
+ ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟   yang merupakan suatu fungsi periodik. Tulisan ini
2
L
L ⎠
n =1 ⎝
akan memberikan syarat-syarat persamaan Laplace agar dapat diekspansikan ke dalam
deret Fourier.
∇ 2v =

vii  
 

General Solution of Laplace Equation in Spherical Harmonic was
expanded to Fourier Series

ABSTRACT

Laplace Equation in Spherical coordinates has form :
1
∂ 2v
1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞
1
∂ ⎛
∂v ⎞
= 0   has general solution
⎜ sin θ
⎟+ 2
⎜r
⎟+ 2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r sin 2 θ ∂φ 2
∞
l
b ⎞
⎛
with series form , ca v(r , θ , φ ) = ∑ ∑ ⎜ a mn r n + nmn+1 ⎟ Plm (cos θ )e miφ n be expanded to
r ⎠
l = 0 m = −1 ⎝
∞
a
nπx
nπx ⎞
⎛
Fourier series with form f(x)=  0 + ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟   is periodic function.
2
L
L ⎠
n =1 ⎝
This research gives the conditions of Laplace Equation in order to be expanded to
Fourier series.
∇ 2v =

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1

Latar belakang

Perkembangan suatu teknologi sangat dipengaruhi dengan perkembangan suatu ilmu
pengetahuan. Tanpa peranan ilmu pengetahuan, bisa dipastikan teknologi akan sulit
untuk berkembang dengan cepat.
Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal sangat erat
hubungannya dengan kehidupan nyata. Kenyataan membuktikan bahwa untuk
menyelesaikan masalah-masalah kehidupan nyata dibutuhkan metode-metode
matematika.
Di dalam dunia nyata kadang terdapat masalah-masalah yang sukar
diselesaikan dalam sistemnya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu disusun
suatu pemodelan matematika yang mirip dengan keadaan sistemnya.
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai
ciri berbeda dengan disiplin yang dimiliki oleh ilmu pengetahuan lain. Hal-hal yang
dipelajari dalam matematika terdiri atas beberapa kelompok ilmu, seperti: aljabar,
geometri, analisis, dan matematika terapan. Persamaan diferensial Parsial merupakan
salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis. Salah satu
persamaan yang termasuk dalam kelompok Persamaan Diferensial Parsial adalah
Persamaan Laplace.
Persamaan Laplace merupakan bagian dari persamaan diferensial parsial yang
sangat penting dalam matematika terapan, seperti: teori perpindahan massa dan panas,

2

mekanika fluida, elastisitas, elektrostatis, dan banyak lagi di bidang mekanika juga
fisika lainnya.
Adapun bentuk – bentuk persamaan Laplace dalam koordinat tiga dimensi
adalah sebagai berikut:
a.

Koordinat Cartesian:
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v
∇ v= 2 + 2 + 2 =0
∂z
∂y
∂x
2

b.

(1.1)

Koordinat tabung (Silinder): Dinyatakan dalam koordinat tabung maka
persamaan Laplace mempunyai bentuk:
∇ 2v =

c.

1 ∂ ⎛ ∂v ⎞ 1∂ 2 v
∂ 2v
⎜r ⎟ + 2 2 + 2 = 0
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ
∂z

(1.2)

Koordinat Bola (Spherical): Dinyatakan dalam koordinat bola maka
persamaan Laplace mempunyai bentuk:

∇ 2v =

1
∂ 2v
∂ ⎛
∂v ⎞
1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞
1
= 0 (1.3)
⎜r
⎟+ 2
⎜ sin θ
⎟+ 2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r sin 2 θ ∂φ 2

Ini adalah koordinat – kordinat yang paling umum yang biasa dijumpai dalam
praktek.

Gbr.1 Koord. Kartesius

3

Gbr.2 Koord. Tabung

Gbr. 3 Koord. Bola

Akan tetapi pada tulisan ini penulis hanya membatasi pembahasan masalah
hanya pada koordinat bola (spherical) dimana persamaan Laplace yang dibahas hanya
persamaan dalam bentuk koordinat bola.
Jika persamaan Laplace diselesaikan maka akan diperoleh suatu penyelesaian
yang disebut harmonik, akan tetapi, dalam arti yang lebih terbatas istilah harmonik
dimaksud hanya untuk suatu penyelesaian persamaan Laplace dalam sistem koordinat
tertentu. Jika syarat – syarat batas suatu soal yang menyangkut persamaan Laplace
lebih sederhana dituliskan dalam sistem koordinat spherical, maka akan sangat
berguna dimiliki suatu penyelesaian umum persamaan Laplace dalam system
koordinat ini.
Sementara itu deret Fourier adalah sebuah alat matematis yang digunakan
untuk menganalisis fungsi periodik menjadi sejumlah komponen yang jauh lebih
sederhana yakni fungsi sinusoidal. Dalam tulisan ini penulis menggunakan deret
fungsi periodik. Jenis fungsi ini menarik karena ia muncul dalam berbagai persoalan

4

fisika seperti getaran mekanik, arus elektrik bolak – balik (AC), hantaran panas,
gelombang bunyi, electromagnet, dan sebagainya. Hal inilah yang melatarbelakangi
penulis untuk memilih mengekspansikan solusi umum persamaan Laplace ke dalam
deret fourier yang merupakan deret fungsi periodik.

1.2

Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah
a) Menyelesaikan persamaan Laplace untuk menemukan solusi umumnya.
b) Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut adalah suatu
fungsi harmonik.
c) Mengidentifikasi apakah suatu fungsi harmonik dapat diekspansikan ke
dalam deret Fourier.

d) Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat
diekspansikan ke dalam deret Fourier.

1.3

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari syarat perlu dan cukup agar solusi
umum persamaan Laplace dapat diekspansikan ke dalam deret fourier.

1.4

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian adalah membantu penyelesaian fungsi – fungsi rumit dalam
hal ini solusi umum persamaan Laplace dalam bentuk deret dimana deret yang dipilih
adalah deret fourier yang dapat dimanfaatkan oleh para fisikawan serta menambah
pengetahuan bagi penulis dan pembaca khususnya dalam menyelesaikan masalah
mekanika dan fisika.

5

1.5

Tinjauan Pustaka

Berikut ini diberikan kajian pustaka mengenai persamaan Laplace.
Dalam Matematika, persamaan Laplace adalah suatu persamaan differensial parsial.
Nama tersebut berasal dari nama penemunya yaitu, Pierre-Simon Laplace. Solusi solusi dari persamaan Laplace sangat penting dalan berbagai bidang dalan sains,
seperti dalam bidang elektromagnetik, astronomi, dan dinamik fluida, karena dapat
menggambarkan sifat-sifat listrik, gravitasi, dan potensial fluida. Teori umum
persamaan Laplace dikenal dengan teori potensial, dimana persamaannya dalam ruang
tiga dimensi berbentuk:
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v
=0
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(1.4)

Banyak pilihan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Teknik yang paling
sederhana yang dapat dipakai adalah persamaan beda hingga. Teknik yang lain adalah
metode elemen batas. Teknik ini telah dilakukan oleh Wono Setya Budhi (1997,
vol.2,hal:8-15), teknik ini khusus untuk bidang ( n = 2 ), dalam menggunakan metode
elemen batas tersebut akan berhadapan dengan operator.
v( x ) = ∫ G (x; ξ )g (ξ )ds(ξ ) x ∈ Ω
Dengan G ( x; ξ ) = −

(1.5)

1
ln x − ξ . Operator ini disebut operator potensial layer tunggal.
2π

Wono Setya Budhi memberikan bukti regulator dari operator dengan menggunakan
gagasan dari bukti regularitas operator Chauchy yang ada dalam syarat Dirichlet.

1.6

Metodologi Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian literatur. Sehingga, penulis akan melakukan studi
literatur, penelitian mandiri, pengumpulan bahan melalui buku – buku refrensi,
maupun bahan – bahan berbentuk jurnal yang diperoleh dari perpustakaan ataupun
internet (surfing) serta konsultasi dengan dosen pembimbing untuk memperoleh bahan

6

– bahan yang berhubungan dengan pokok – pokok permasalahan yang dibahas dan
juga mengikuti perkuliahan yang dengan tulisan ini dan melakukan penelitian dengan
langkah – langkah sebagai berikut:
1.

Menyelesaikan persamaan Laplace untuk mendapatkan solusi
umumnya.

2.

Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut
adalah suatu fungsi harmonik.

3.

Mengidentifikasi

apakah

suatu

fungsi

harmonik

dapat

diekspansikan ke dalam deret fourier.
4.

Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat
diekspansikan ke dalam deret Fourier.

7

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1

Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan yang mengandung fungsi
tidak diketahui dai dua atau lebih variabel dan turunan parsialnya terhadap variabelvariabel tersebut.
Orde dari sebuah persamaan diferensial adalah orde dari turunan tertinggi.
Contoh:

∂ 2u
= 2x − y
∂x∂y

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde dua. Pada persamaan
tersebut u adalah variabel tak bebas (dependent variable) sedangkan x dan y adalah
variabel bebasnya ( independent variable).
Penyelesaian dari suatu persaman diferensial adalah sebarang fungsi yang
memenuhi persamaan tersebut secara identik.
Penyelesaian umum adalah suatu penyelesaian yang terdiri dari sejumlah fungsi bebas
sebarang yang jumlahnya sesuai dengan orde dari persamaannya.
Penyelesaian khusus adalah suatu penyelesaian yang bisa didapatkan dari
penyelesaian umumnya dengan pilihan khusus dari fungsi-fungsi sebarang.

8

2.2

Persamaan Laplace

Persamaan Laplace yang bentuk umumnya Δv = 0 sering dijumpai pada teori
perpindahan massa dan panas, mekanika fluida, elastisitas, elektrostatis, dan masalah
mekanika dan fisika lainnya. Persamaan Laplace dapat dituliskan dalam beberapa
bentuk bergantung pada system koordinat yang digunakan, yaitu:
a) Persamaan Laplace dalam dua dimensi
∂ 2v ∂ 2v
+
=0
∂x 2 ∂y 2

... (2.1.1)

1 ∂ ⎛ ∂v ⎞ 1 ∂ 2 v
= 0 .... (2.1.2)
⎜r ⎟ +
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϕ 2

pada sistem koordinat kartesius
pada sistem koordinat polar

dimana , x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , dan r = x 2 + y 2

b) Persamaan Laplace dalam tiga dimensi
∇ 2v =

∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∇ 2v =

1 ∂ ⎛ ∂v ⎞ 1∂ 2 v
∂ 2v
⎜r ⎟ + 2 2 + 2 = 0
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ
∂z

∇ 2v =

1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞
1
∂ ⎛
∂v ⎞
1
∂ 2v
θ
+
sin
+
=0
r
⎜
⎟
⎜
⎟
∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ 2
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝

pada koordinat kartesius
pada koordinat tabung

pada koordinat bola (spherical)

2.3

Sifat – Sifat Umum Fungsi Harmonik

Dalam bagian ini akan dibicarakan beberapa sifat umum tentang fungsi – fungsi
harmonik, yakni, fungsi – fungsi yang memenuhi persamaan diferensial Laplace.
Andaikan terdapat suatu medan vector A sedemikian hingga
A= ∇v

(2.2.1)

dengan v suatu fungsi titik bernilai skalar yang memenuhi persamaan Laplace

∇2 v = 0

(2.2.2)

9

Selanjutnya menurut teorema Gauss (Apendiks E, pasal 9), berlaku

∫ ∫ A ds = ∫ ∫∫ (∇ A)dv

(2.2.3)

jika v memenuhi persamaan Laplace di setiap titik di dalam daerah yang dibatasi oleh
luasan S, akan berlaku
∇ A = ∇ (∇v) = ∇ 2 v = 0

(2.2.4)

Karena itu (2.2.3) menjadi

∫ ∫ (∇v) ds = 0

(2.2.5)

S

Jika diambil curl untuk kedua ruas (2.2.1), diperoleh

∇ × A = ∇ × (∇v) = 0

(2.2.6)

sekarang diterapkan teorema Stokes (Apendiks E, pasal 10) pada medan vector A
diperoleh

∫ A d I = ∫∫ (∇ × A) ds = 0

(2.2.7)

S

sepanjang kurva C yang membatasi luasan terbuka S. Substitusi (2.2.6) ke dalam
(2.2.7), dihasilkan

∫

(∇ v) d I = 0

(2.2.8)

C

Dari persamaan (2.2.5) dan (2.2.8) dapat diturunkan beberapa sifat penting
untuk fungsi harmonik yang ternyata serupa untuk dalam bidang maupun dalam
ruang.
Dengan menerapkan teorema Green

∫∫∫ (U ∇
V

2

)

W − W ∇ 2 U dv = ∫∫ (U ∇ W − W ∇ U ) ds

(2.2.9)

S

dapat diperlihatkan bahwa jika ∇ 2 v = 0 dalam daerah yang dibatasi oleh luasan bola
yang berjari – jari r, nilai v di pusat bola, yakni v0, diberikan oleh
v0 =

1
4π r 2

∫∫ v ds
S

(2.2.10)

10

2.4

Harmonik Bola

Dalam arti yang paling umum istilah harmonik berlaku untuk setiap penyelesaian
persamaan Laplace. Jika diselesaikan dalam koordinat bola (spherical) maka
penyelesaiannya disebut harmonik bola.
Dalam hal ini harus dicari penyelesaian pers.(1.3). persamaan ini dapat ditulis dalam
bentuk
∂ ⎛ 2 ∂v ⎞
∂v ⎞
1 ∂ ⎛
1 ∂ 2v
+
r
θ
sin
+
=0
⎜
⎟
⎜
⎟
∂r ⎝ ∂r ⎠ sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ sin 2 θ ∂φ 2

(2.3.1)

diharapkan dapat mencari suatu penyelesaian yang berbentuk

v = RΘΦ = RS

(2.3.2)

dengan R merupakan fungsi r saja, Θ fungsi θ saja, dan Φ fungsi φ saja.
S (θ , φ ) = ΘΦ

(2.3.3)

dinamakan suatu harmonik luasan. Fungsi Θ , jika φ suatu tetapan, dinamakan suatu
harmonik luasan zonal.

Jika (2.3.2) disubstitusikan ke dalam dan hasilnya dibagi dengan RS , hasilnya
menjadi,
1 d ⎛ 2 dR ⎞
1
1
∂2S
∂ ⎛
∂S ⎞
sin
=0
θ
r
+
+
⎟
⎜
⎟
⎜
R dr ⎝ dr ⎠ S sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ S sin 2 θ ∂φ 2

(2.3.5)

suku pertama hanyalah fungsi r saja, dan suku – suku yang lain hanya bersangkutan
dengan sudut – sudut. Dengan demikian, untuk semua nilai koordinat, persamaan
tersebut dapat dipenuhi hanya jika,

11

1 d ⎛ 2 dR ⎞
⎜r
⎟=K
R dr ⎝ dr ⎠

(2.3.6)

∂ ⎛
∂S ⎞
∂2S
1
1
= −K
⎜ sin θ
⎟+
S sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ S sin 2 θ ∂φ 2

(2.3.7)

dan

Jika diambil K= n(n+1)
mudah dilihat bahwa penyelesaian pers. (2.3.6) adalah
R = Ar n + Br − n −1

(2.3.8)

Jika pers. (2.3.7) dikalikan dengan S, diperoleh
1 ∂ ⎛
∂S ⎞
1 ∂2S
sin
+
+ n(n + 1)S = 0
θ
⎜
⎟
sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ sin 2 θ ∂φ 2

(2.3.9)

Jadi persamaan (2.3.2)akan berbentuk

(

)

v = Ar n + Br − n −1 S n

(2.3.10)

Subskrip pada Sn menunjukkan bahwa nilai n yang sama harus digunakan
dalam kedua suku pada (2.3.10). setiap jumlah penyelesaian – penyelesaian tipe
(2.3.10) juga merupakan suatu penyelesaian.

2.5

Fungsi Periodik dan Deret Trigonometri

Defenisi:
Sebuah fungsi f(x) adalah periodik dengan periode L > 0, jika berlaku:
f ( x ± L ) = f(x)

untuk semua x.

(2.4.1)

12

catatan:
a)

Jika L adalah periode terkecil, maka L disebut periode dasar, dan selang
a ≤ x ≤ a + L , dengan a sebuah tetapan, disebut selang dasar fungsi periodik

f(x). Sebutan periode selanjutnya dimaksudkan bagi periode dasar.

b)

Tetapan a pada selang dasar dapat dipilih sekehendak kita, nol ataupun negatif.
Pilihan a =

−L
sering digunakan karena
2

terhadap titik x = 0, yakni

− L ≤ x ≤ L yang disebut selang simetris.
2
2
Contoh-contoh fungsi periodik, yaitu:
Contoh 1. Fungsi sin x mempunyai periode 2 π , 4 π , 6 π , …karena sin (x + 2 π ),sin
(x+4 π ), sin (x+6 π ), …sama dengan sin x. tetapi 2 π

adalah

periode terkecil atau periode sin x.
Contoh 2. Periode fungsi sin nx atau cos nx, dimana n bilangan bulat positif,
adalah 2 π /n.

Contoh 3. Periode tan x adalah π .
Contoh 4. Suatu konstanta mempunyai periode suatu bilangan positif.
contoh fungsi periodik paling sederhana adalah fungsi sin x dan cos x.
Keduanya memiliki periode 2 π , artinya berlaku hubungan
sin ( x ± 2π ), dan cos( x ± 2π ) = cos x

13

Di sini, x adalah variabel sudut dengan “satuan” radian atau derajat. Dalam
hal x bukanlah variabel sudut, ia dikalikan dengan sebuah faktor alih p, sehingga
px = α berdimensi sudut. Jadi satuan p adalah:

[ p ] = [radian]
[satuanx ]

(2.4.2)

Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m), maka [p] = rad/m. dalam
hal ini, pernyataan fungsi sin dan cos yang bersangkutan adalah:

sinx

sin px;

cos x

(2.4.3)

cos px

jadi, translasi argument sudut α = px sebesar satu periode 2 π dapat dialihkan ke
translasi variabel x sejauh ± L , dengan syarat:
px ± 2π = p ( x ± L)

(2.4.4)

yang mana menetapkan p berkaitan dengan L melalui hubungan:

p=

2π
L

(2.4.5)

Dengan pernyataan faktor alih p ini, sifat periodik fungsi sin px dan cos px diberikan
oleh hubungan :
sin px = sin p( x ± L );

cos px = cos p ( x ± L )

(2.4.6)

Yang memperlihatkan bahwa fungsi sin px dan cos px adalah periodik dengan
periode L. Khusus, dalam hal periode L=2 π , maka p = 1, dan akan diperoleh kembali
hubungan sin ( x ± 2π ), dan cos(x ± 2π ) = cos x .
Salah satu contoh sederhana fungsi periodik dalam masalah fisika adalah gerak
sebuah benda bermassa m yang digantungkan pada ujung sebuah pegas dengan
tetapan pegas k. Jika benda tersebut ditarik sejauh A dari kedudukan setimbangnya
(dengan beban) y = 0, kemudian dilepaskan, ia akan bergetar secara harmonik

14

sederhana. Dengan simpangan vertikalnya y(t) setiap saat dari kedudukan setimbang,
adalah :
y (t ) = A cos(ωt + φ 0 )

(2.4.7)

Besaran A dan ω ω berturut – turut adalah amplitude dan frekuensi sudut
getaran , sedangkan Φ = (ωt + φ 0 ) adalah fase getaran, dengan φ 0 sebagai fase
awalnya, yang adalah berdimensi sudut.
Dari kedua fungsi periodik dasar cos px dan sin px ini, dapat dibentuk suatu
deret fungsi istimewa dengan suku ke-n:
a0 2
n=0
⎧
a n ( x) = ⎨
⎩a n cos npx + bn sin npx, n ≠ 0

(2.4.8)

yakni,

∑

∞
n =0

a0
∞
+ ∑n =1 (a n cos npx + bn sin npx )
2
a
= 0 + a1 cos px + a 2 cos 2 px + a3 cos 3 px + ...
2
+ b1 sin px + b2 sin 2 px + b3 sin 3 px + ...

an (x ) =

(2.4.9)

Deret (2.4.9) disebut deret trigonometri, yang menurut hubungan (2.4.6)
adalah periodik dengan periode L. Jika deret trigonometri (2.4.8) konvergen, maka ia
konvergen ke suatu fungsi jumlah f(x), yakni:

a0 ∞
+ ∑ (a n cos npx + bn sin npx ) = f ( x)
2 n =1

(2.4.10)

Fungsi jumlah f(x) dengan demikian juga periodik dengan fungsi periode L.

15

2.6

Deret Fourier

Bila an dan bn yang merupakan konstanta sebarang dari f(x) yang berbentuk deret
trigonometri tak hingga f(x )=

a0
+
2

∞

⎛

∑ ⎜⎝ a
n =1

n

cos

nπx
nπx ⎞
+ bn sin
⎟ yang periodik
L
L ⎠

dengan periode 2L memenuhi syarat-syarat dirichlet berikut maka deret dari f(x) ini
dinamakan Deret Fourier.
Syarat dirichlet tersebut adalah,
1. f(x) tertentu,bernilai tunggal
2. f(x) kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu.
3. f(x) merupakan fungsi periodik di luar (-L,L) dengan periode 2L.
4. f(x) terbatas (bounded).
5. f(x) mempunyai nilai maksimun dan minimum yang banyaknya berhingga.
Syarat (1), (2), dan (3) yang dinyatakan dalam f(x) adalah syarat cukup tetapi
bukan syarat perlu, dan secara umum dalam prakteknya dipenuhi.
Bila f(x) mempunyai diskontinuitas berhingga pada x=x0 maka nilai f(x) harus
diambil nilai rata-ratanya yaitu,

1⎛
⎞
F(x)= ⎜ lim f ( x0 + h ) + lim f (x0 − h )⎟
2 ⎝ h →0
h →0
⎠
Bila kedua limit ini ada dan berbeda.
1⎛
⎞
F(x)= ⎜ lim f ( x0 + h ) + lim f ( x0 − h )⎟
2 ⎝ h →0
h →0
⎠
Bila kedua limit ini ada dan berbeda.

16

y

y = f(x)

x

x0-h

x0

x0+ h

Mencari an dan bn.
Dari persamaan deret fourier untuk

f(x )=

a0
+
2

∞

⎛

∑ ⎜⎝ a
n =1

n

cos

nπx
nπx ⎞
mπx
+ bn sin
, kemudian
⎟ diganda dengan cos
L
L ⎠
L

diintegralkan dengan batas dari –L ke L, ke x hingga diperoleh :

f(x )=

a0
+
2

∞

⎛

∑ ⎜⎝ a
n =1

n

cos

nπx
nπx ⎞
+ bn sin
⎟.
L
L ⎠
cos

mπx
L

(Dalam interval konvergensi deret dapat diintegrasikan suku demi suku) hingga,
a0
mπx
∫− L f ( x) cos L dx = 2
L

L

∫ cos

−L

mπx
dx +
L

17

L
⎛ L
nπx
mπx
nπx
mπx ⎞
⎜
a
cos
cos
dx
b
cos
dx ⎟⎟
+
∑
n ∫
n ∫ sin
⎜
L
L
L
L
n =1 ⎝
−L
−L
⎠
∞

Perhatikan penyelesaiannya.

L

∫ cos

−L

mπx
dx = 0
L

Pandang rumus trigonometri

cos A cos B =

1
(cos( A − B ) + cos( A + B ))
2

Sehingga untuk m,n bilangan alam positip dan m ≠ n , maka

L

∫ cos

−L

(n + m)πx
(n − m)πx ⎞
1 ⎛
nπx
mπx
cos
+ cos
dx = ∫ ⎜ cos
⎟dx
2 − L⎝
L
L
L
L
⎠
L

(n + m )πx sin (n − m )πx ⎞
⎛
sin
⎟
1⎜
L
L
⎟
= ⎜
+
(n − m )π ⎟
2 ⎜ (n + m )π
⎜
⎟
L
L
⎝
⎠ −L
L

⎛
1 ⎜ sin( n + m)π − sin − (n + m)π sin(n − m)π − sin − (n − m)π
+
= ⎜
(m + n)π
(n − m)π
2⎜
⎜
L
L
⎝
1
0−0
0−0
= L(
+
) = 0.(m ≠ n).
2 (n + m)π (n − m)π

L

Jadi, untuk m ≠ n maka

∫ cos

−L

nπx
mπx
cos
dx = 0
L
L

Untuk m=n ≠ 0 maka didapat :

L

∫ cos

−L

nπx
mπx
cos
dx =
L
L

∫ cos

−L

2

mπx
dx
L

1 ⎛
2mπx ⎞
1⎛
2mπx ⎞
L
sin
⎟
⎜1 + cos
⎟dx = ⎜ x +
∫
2 − L⎝
2⎝
2mπ
L ⎠
L ⎠ −L
L

=

L

L

⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

18

=

1⎛
L
(sin 2mπ + sin 2mπ )⎞⎟
⎜ 2L +
2⎝
2mπ
⎠

=

1⎛
L
(0 + 0)⎞⎟ = L
⎜ 2L +
2⎝
2mπ
⎠

Hingga diperoleh
nπx
mπx
cos
dx =
L
L

L

∫ cos

−L

⎧ 0, m ≠ n
⎨
⎩ L, m = n ≠ 0

.
Pandang rumus trigonometri :

sin A cos B =

1
(sin ( A − B ) + sin ( A + B ))
2

untuk m ≠ n maka didapat :

L

∫ sin

−L

nπx
mπx
cos
dx
L
L

=

(m + n )πx dx
1 ⎛ (m − n )πx ⎞
⎟ + sin
⎜ sin
∫
2 − L⎝
L
L
⎠

=

(m − n )πx dx + sin (m + n )πx dx
1
sin
∫
∫
2 −L
L
L
−L

=

1
(0 + 0)
2

L

L

=0
untuk m=n, maka didapat :

L

∫ sin

−L

nπx
mπx
cos
dx
L
L

L

19

1
2mπx
= ∫ sin
dx
2 −L
L
L

1 L
2mπx L
.
cos
/ −L
L
2 2mπ

=

1
(cos 2mπ − cos 2mπ )
4mπ
L
=−
(0)
4mπ
=0
=−

untuk m ≠ n maka didapat :

L

∫ sin

−L

nπx
mπx
cos
dx
L
L

=

(m + n )πx dx
1 ⎛ (m − n )πx ⎞
⎜ sin
⎟ + sin
∫
2 − L⎝
L
L
⎠

=

(m − n )πx dx + sin (m + n )πx dx
1
sin
∫
∫
2 −L
L
L
−L

=

1
(0 + 0)
2

L

L

L

=0

L

Sehingga

∫ sin

−L

mπx
nπx
cos
dx = 0
L
L

Dengan demikian diperoleh persamaan:

L

∫

f ( x) cos

−L
L

∫ f ( x) cos

−L

mπx
dx = 0 + an
L
mπx
dx = a n L.
L

L

∫ cos

−L

nπx
mπx
cos
dx + 0
L
L

(m = n) ; n ≠ 0

20

Sehingga diperoleh:
an= 1 ∫ f ( x) cos nπx dx, n = 1,2,3,4,....
L −L
L
L

L

a0=

L

1
1
f ( x) cos dx = ∫ f ( xdx)
∫
L −L
L −L

untuk an= 0 tidak berarti a0 = 0. untuk ini a0 harus dihitung tersendiri.
Dengan jalan sama bn dapat ditunjukkan,
f(x)=

a0 ∞ ⎛
nπx
nπx ⎞
+ ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟
2 n =1 ⎝
L
L ⎠
. sin

mπx
L

Hingga diperoleh,
L

∫

f ( x) sin

−L

∞

⎛

L

a
mπx
dx = 0
L
2

∑ ⎜⎜ a ∫ cos
⎝
n

n =1

−L

L

∫ f ( x) sin

−L

L

∫ sin

−L

mπx
dx +
L

L
nπx
mπx
nπx
mπx ⎞
sin
dx + bn ∫ sin
sin
dx ⎟⎟
L
L
L
L
−L
⎠

mπx
dx = bn . L.
L

1
nπx
f ( x) sin
dx, n = 1,2,3,……
∫
L −L
L
L

bn=

b0= selalu nol
Dalam bidang teknik banyak kita jumpai penggunaan deret fourier dalam
bentuk khusus yaitu dengan periode 2 π dimana L diganti dengan π . Dalam periode
2 π yaitu - π < x < π maka deret fourier dari f(x ) adalah :
f(x) =

a0 ∞
+ ∑ (a n cos nx + bn sin nx )dengan
2 n =1

21

an=

bn=

1

π
1

π

π

∫ f ( x) cos nxdx.(n = 0,1,2,3,.......)

−π

π

∫ f ( x) sin nxdx.(n = 1,2,3,........)

−π

Selain tersebut diatas dalam periode 2L yaitu dalam bentuk umum (c, c + 2L)
maka deret fourier dari f(x) adalah:

f(x) =

an=

bn=

a0 ∞ ⎛
nπx
nπx ⎞
+ ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟ dengan
L
L ⎠
2 n =1 ⎝

1
L

c+2 L

1
L

c+2 L

∫

f ( x) cos

nπx
dx. (n = 0,1,2,3,….)
L

f ( x) sin

nπx
dx. (n = 0,1,2,3,….)
L

c

∫
c

bila c =-L maka bentuk umum itu menjadi bentuk khusus ( - π , π )

Contoh: 1
Ekspansi dalam 0