Fungsi Hiperbolik Materi Kuliah Matematika I | Blog Mas'ud Effendi

FUNGSI HIPERBOLIK
Matematika
FTP – UB

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan

hiperbolik
Matematika

Pendahuluan
• Diketahui cos  j sin  e j and cos  j sin  e j
• Maka
• Jika   jx

 j
j

e
e
cos 

2

jjx
 jjx
x  e x

e
e
e

cos jx 


2

2

• Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi
eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik
x  e x
e
cosh x 

2

Matematika

Pendahuluan
• Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut
sinus hiperbolik
x  e x
e
sinh x 

2

• Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus
hiperbolik disebut tangen hipebolik
sinh x e x  e x
 x x
tanh x 
cosh x e  e
Matematika

Pendahuluan
• Deret pangkat fungsi eksponensial

ex

2 x3 x4
2 x3 x4
x
x

x
1 x     ... and e 1 x    ...

2! 3! 3!

2! 3! 3!

• Sehingga diperoleh

2 x4 x6
3 x5 x7
x
x

cosh x 1    ... and sinh x  x     ...

2! 3! 6!

3! 5! 7!

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika

Grafik dari Fungsi Hiperbolik
• Grafik sinus hiperbolik dan kosinus
hiperbolik

Matematika

Grafik dari Fungsi Hiperbolik
• Grafik tangen hiperbolik

Matematika

Pokok Bahasan
•

•
•
•
•
•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika

Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik
• Nilai sinh x, cosh x dan tanh x dapat dicari
dengan menggunakan kalkulator atau

tombol eksponensial
• Sebagai contoh:
1.275  e 1.275 3.5790.279
e

1.65 to 2dp
sinh1.275 

2

2

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•

•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika

Fungsi Hiperbolik Invers
• Untuk mencari sebuah fungsi hiperbolik invers
mengunakan kalkulator tanpa fasilitas yang
dibutuhkan untuk menggunakan fungsi
eksponensial
• Sebagai contoh, untuk mencari nilai sinh-1 1.475
diperlukan terlebih dahulu mengetahui nilai x

sehingga sinh x = 1.475. Dengan cara:
ex



2 x  2.950e x 1  0

2.950
so
that
e
x

1
e

• Sehingga didapat: e x  3.257 or  0.307 so x 1.1808
Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika

Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers
• Jika y = sinh-1x maka x = sinh y. maka:

e e
y

y

 2x so that e  2xe 1 0

• Sehingga:

2y

y

e  x  x 1
y



2



• Oleh karena itu, y  sinh-1 x  ln x x2 1

Matematika

Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers





• Dengan cara yang sama
y  cosh-1 x   ln

x

x 1
2

1 1 x 
-1
y  tanh x  ln


2 1 x 

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika

Identitas Hiperbolik
• Seperti rasio trigonometrik lainnya,
terdapat fungsi-fungsi hiperbolik kebalikan
coth x 

1
tanh x

1
sechx 
cosh x
cosechx 

1
sinh x
Matematika

Identitas Hiperbolik
• Dari definisi cosh x dan sinh x

 e  e   e e 

  

2
2

 

 e 2 x  2 e 2 x   e 2 x  2 e 2 x 

  


4
4

 


cosh 2 x  sinh 2 x 

x

x 2

x

x 2

1

cosh2 x  sinh2 x 1

Matematika

Identitas Hiperbolik
• Dengan cara yang sama
sech 2 x 1 tanh 2 x

cosech 2 x  coth 2 x 1

sinh 2 x  2sinh x cosh x

cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x
1 2sinh 2 x
 2cosh 2 x 1
2 tanh x
tanh 2 x 
1 tanh 2 x
Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•

Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan
hiperbolik
Matematika

Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik

• Diketahui
 j
 j
j
j


e
e
e
e
cos 
and j sin 
2
2
• Maka untuk   jx

cos jx  cosh x

j sin x  sinh jx
Matematika

Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik
cosh jx  cos x

• Dengan cara yang sama

• Lebih lanjut

sin jx  j sinh x
tanh jx  j tan x
tan jx  j tanh x
Matematika

Hasil Pembelajaran
• Mendefinisikan fungsi hiperbolik dalam bentuk
fungsi eksponensial
• Menyatakan fungsi hiperbolik sebagai deret
pangkat
• Mengenal grafik fungsi hiperbolik
• Mencari nilai fungsi hiperbolik dan inversnya
• Menentukan bentuk logaritmik dari fungsi
hiperbolik invers
• Membuktikan identitas trigonometrik hiperbolik
• Memahami hubungan antara fungsi
trigonometrik melingkar dan hiperbolik
Matematika