Jenis dan operasi banyaknya matriks.pdf

Matakuliah

: K0034 - Aljabar Linear Terapan

Tahun

: 2007

Jenis dan Operasi Matriks
Pertemuan 01

1

Jenis dan Operasi Matriks
Pengertian
Matriks merupakan
Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk
menyelesaikan model-model linier.
Definisi Matriks adalah
Susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari
bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom

ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ]

2

Bentuk Umum:

a11
a
 21
 ..

a m1

a12 a13 .. a1n 

a 22 a 23 .. a 2n 
.. .. .. .. 

a m 2 a m3 .. a mn 

Elemen matriks : aij
Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks}
Ukuran matriks :
• Jumlah baris : m
• Jumlah kolom : n
• Ordo atau ukuran matriks : m x n
• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann
3

Contoh:

Matriks A3 x 4

 2 3 5  6
 0  1 4 7 
3 1 2 6 

Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)
Kesamaan matriks
Matriks A = (aij)

B = (bij)
A = B jika aij = bij untuk semua
i = 1, 2 .. m dan j = 1, 2,...n
4

Contoh:
1 2
1 2
1 2 0 
A 
B
C



3
4
3
4
3

4
1








A=B
A  C (ukurannya tidak sama)
Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila
• Ordo-ordonya sama
• Elemen-elemen yang seletak sama
5

Bentuk Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar
Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom

a11 a12 .. a1n 
a a .. a 
21
22
2n 
A 
 .. .. .. .. 


a n1 a n 2 .. a nn 

A : matriks bujur sangkar berukuran n x n
Diagonal utama A : a11, a22, ….., ann

 5 3 2
4 3

1 4 6
Contoh : A2 x 2 

A

2 1 3 x3 



7 2 5

6

2. Matriks Diagonal :
Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada
diagonal utamanya tidak semua elemennya nol,
sedangkan unsur-unsur yang lain adalah nol
Contoh :

5 0 0 2 0 0
0 2 0, 0 0 0

 


0 0 3 0 0 0
7

3. Matriks Satuan (Matriks Identitas) :
Matriks bujur sangkar di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya
masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah
nol.
Contoh:

1 0 0
1 0
0 1 0
I2  
I
,

3




0
1
 
0 0 1
8

4. Matriks Singular
Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers
(berarti : nilai determinannya = 0)

5. Matriks Non Singular
Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers
(berarti: nilai determinannya  0)
6. Matriks Transpose
Bila matriks A berordo mxn, maka At (Transpose
Derit) berordo nxm dengan
elemen baris ke I dan kolom ke j dari A1 adalah
elemen baris ke j dan kolom ke I dari A
9

7. Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya
berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At = A).
Contoh :
2 3
A 
4 8

5 1
A3 x3 : 1 7

6 4

 2 4
5
3 8 
1
ma
ka

A

,


7 
5 7 
6
4 
3
10

8. Matriks Idempotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A2 = A atau An = A untuk suatu n, bila
n = 2, 3, 4,….
Contoh:

 2  2  4

A   1 3

4


 1  2  3
 2 2
A2  A. A   1 3

 1  2

 4  2  2
4   1 3
 3  1  2

 4  2  2
4    1 3
 3  1  2

 4
4   A
 3

11

Program MAPLEnya:
# A = Matriks Idempotent, sehingga A2 = A
> Restart:
> A:=matriks([[2,-2,-4], [-1,3,4], [1,-2,-3]])

2  2  4


A :   1 3 4


1  2  3

> C: = evalm (A&*A);

2  2  4


C :   1 3 4


1  2  3

12

9. Matriks Nilpotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A3 = 0 atau An = 0
untuk suatu n, bila n = , , ,…..
Contoh:
Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3
1
3
1

A  5
2
6


 2  1  3
1
3  1
1
3  1
1
3  0 0 0 
1
  0 0 0   0
 5
 5
A3  A A A   5
2
6
2
6
2
6

 



 2  1  3  2  1  3  2  1  3 0 0 0
13

Program MAPLEnya:
# Matriks Nilpotent, sehingga
> Restart
> A:=matriks([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]);

1

A:   5

 2

3

1


6

 3

0

0

1
2

> evalm(A&*A*A);

0

A :  0

0

0
0


0

0

14

10. Matriks Nol: adalah matriks di mana semua unsur
nilainya nol
11. Matriks Identitas:

1 0
I 2 x2  

0 1 
1 0

I 3 x3  0 1

0 0

0

0
1
15

Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol
Jika A = matriks berukuran n x n
I.A=A.I=A
A+0=0+A=A
A.0=0.A=0
12. Matriks Segitiga (Triangular Matrix)
Matriks segitiga atas:
Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di
bawah diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:

A3 x 3

a11 a12 a13 
 0 a 22 a 23 
0
0 a 33 

16

Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsurnya yang
terletak diatas diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
B3 x 3

b11 0 0 
= b 21 b 22 0 
b 31 b 32 b 33 

17

Operasi Aljabar Matriks
Penjumlahan dua matriks
A + B = (aij + bij)
A – B = (aij – bij)
Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks
adalah mempunyai ordo yang sama
Contoh:

5 6 7 
6 7 4 
Diketahui A 2x3  
dan B 2x3  


8
3
4
1
9
2




Maka C2x3  A 2x3  B2x3
C2x3

5 6 7  6 7 4 11 13 11






8
3
4
1
9
2
9
12
6

 

 

18

Program MAPLEnya:
# Penjumlahan Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]);

5
A : 
8
5

8

6 7

3


4

6 7

> A:= matrikx(2,3,[5,6,7,8,3,4]);

3


4
19

> B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2]);

6
B : 
1

7 4

9


2

> C:=evalm(A+B);

11
C : 
9

13 11
12


6
20

Soal Latihan
Tentukan penjumlahan Dua Matriks dibawah ini!

21

22

23

24

Syarat:
Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada
matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama
dengan banyaknya baris pada matriks kedua
25

C2x 2

22 20


58
23



Program MAPLEnya:
# Perkalian Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]);
1 3 2


A : 
4 0 5
> B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]);
7

B : 1

6

2


4

3

26

27

28

29

30