Bab 3 Limit dan Kontinuitas - Limit & Kontinuitas

Bab 3
Limit dan Kontinuitas

Definisi Limit Funssi
 Limit Kiri
f ( x ) dikatakan mempunyai limit kiri l untuk x mendekati c dari kiri yang
dinyatakan

lim f ( x)  l

dengan

x c 

bila

untuk

   0   0



 x, c    x  c berlaku
f ( x)  l  
 Limit Kanan
f ( x ) dikatakan mempunyai limit kanan g untuk x mendekati c dari kanan

yang


dinyatakan

 x,

dengan

c  x  c 

lim f ( x)  g

bila

x c 

untuk

  0

  0

berlaku f ( x )  g  

f ( x)  l  g
Bila l = s atau lim f ( x)  lim f ( x) maka dikatakan bahwa lim
x c
x c

x c

Sehingga didapat defniii :
Bilangan L diiebut limit fungii untuk mendekati iuatu harga c ditulii :

Jika untuk

Contoh Soal.

5 x  2  3
1. Buktikan xlim
 1



2



x 1  2
2. Buktikan lim
x 1

3.

Cari xlim
 2

4.

Cari

x 2
x 2

lim f ( x )
x 3

jika

 x 3

f ( x)   x  3 , x  3


 0, x  3

Bentuk Limit Khusus

f ( x)   diiebut limit tak tak iebenarnya
1. lim
x c
2.

lim f ( x)  L

x 

iehingga

Kalkului I

berarti

   0 terdapat

bilangan N poiitif iedemikian

f ( x )  L   maka x  N bagaimanapun beiarnya N.

15

Teorema
lim f ( x)  A dan lim g ( x)  B
x c
x c

k f ( x )  k A, k  konstan
1. lim
x c

f ( x).g ( x )  A.B
3. lim
x c

 f ( x)  g ( x )   A  B
2. lim
x c

4. lim

x c

f ( x)
A
 , B 0
g ( x)
B

Teorema

f ( x )  L maka lim f ( x )  L
1. Jika lim
x c
x c

f ( x)  0 maka lim f ( x )  0
2. Jika lim
x c
x c

3.

lim ln f ( x )  ln lim f ( x )
x c

x c

Contoh Soal. Hitung nilai limit berikut !

( 2 x  3)
1. xlim
 2
x 2
x 2

2. lim

x 3

8. lim

h 0

4  x2

6 x 2  3x  1
3x 2  4 x  3

f ( x  h)  f ( x )
h
jika

x 2 9

x 3

f ( x) 

x2 5

3

x 3  27

4. lim

h 0

x 

x 2  x 12

x 4

5. lim

7. lim

x 4

3. lim

6. xlim
 2

a.

f ( x)  x 2  3x ,

b.

5 x 1

( x  h) 2  x 2
h

x 1

x 
9. xlim
 0
x 1

Limit Funssi Trisonometri dan Limit-limit Khusus
1. lim

x 0

sin x
1
x
x

4. lim

x 0

e x 1
1
x

1

1

2. lim 1    e

5. lim 1  x  x  e


1  cos x
0
3. lim
x 0
x

6. lim

x 

x



x 0

x 1

x 1
1
ln x

Contoh Soal.
sin x
1. xlim
 0

2. lim

x 0

1  cos x
x2

Kalkului I

x

x  3 

5. lim 
x 

 x 1 
2x2

x 3  2 x  4 

6. lim 
3

x  
 x 3


16

3. lim

x 

1  cos x
sin x

x sin x
1  cos x

8. lim

tan 2 x  tan x
sin 2 x  sin x

x 0

1

4.

7. lim

 x 2  4 x  3 2

lim 
2

x  
 x 2


x

x 0

Kekontinuan Funssi
Defniii
Fungii f (x ) kontinu di x  c apabila :
1. f (c ) ada berhingga
2. lim f ( x) ada
x c

f ( x )  f (c )
3. lim
x c
Contoh. Apakah f (x ) kontinu
x2 9
di x  3
x 3

1. f ( x ) 

x 1,

2. f ( x )   0,


4.


 x2, 0  x  0
f ( x)  

 x  2, 1  x  2

x

5. f ( x)   x

0
x  x

6. f ( x)   x , x  0

 2, x  0

x 0
x 0

 x 3

3. f ( x )   x  3 , x  3

 4, x  3

Teorema
Jika

f dan g kontinu di c maka

kf , f  g , f  g , f .g ,

f
g

g (c)  0 ,

f

n

,

n

f

(

f (c )  0 jika n genap) juga kontinu

Teorema
g ( x)  L dan f kontinu di L maka lim f ( g ( x))  f 
lim g ( x ) 
 f ( L)
Jika lim
x c
x c
x  c

( Khuiuinya jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c) maka f  g kontinu di c)
Soal.

f ( x)  A dan lim g ( x)  B
1. Jika lim
x c
x c

 f ( x)  g ( x)  A  B dan xlim
 f ( x).g ( x)  A.B
Buktikan lim
x c
 c
2. Hitung lim

h 0

4h 2
h

3. Berapa nilai lim
x 0

sin x
x

1




x sin ,
4. Buktikan f ( x)  
x



5,

x0

x 0

tidak kontinu di x=0

Teorema Apit
Andaikan f , g , h adalah fungii yang memenuhi f ( x )  g ( x )  h( x ), x  c
kecuali mungkin di c. Jika lim f ( x)  lim h( x )  L maka lim g ( x)  L .
x c

x c

x c

Defniii

Kalkului I

17

kontinu pada ( a, b) jika f kontinu diietiap titik ( a, b) . f kontinu pada
[ a, b] jika f kontinu pada, kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b .

f

Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Jika f kontinu pada [ a, b] dan jika W adalah bilangan antara f (a ) dan f (b)
maka terdapat iuatu bilangan c diantara a dan b iedemkian iehingga
f (c )  W .
Akibat TNA
Jika f
kontinu pada [ a, b] dan f ( a ). f (b)  0 maka terdapat c, a  c  b
iehingga f (c)  0
Soal-Soal.
ax  b, x  0
2
x , x  2

1. Tentukan nilai a dan b agar f ( x)  

kontinu di x = 0 tetapi

f’(0) tidak ada !
2. Apakah TNR berlaku untuk fungii f ( x)  x 2  2 x pada ielang [0,2]. Jika Ya
f (b )  f ( a )
tentukan c yang membuat f ' (c) 
!
b a
ax 2  b

,x2
3. Tentukan nilai a dan b agar f ( x)   x  2
kontinu di R.

2  3 x, x  2
ax 2  1
4
x 3

4. Tentukan nilai a agar lim

x 

5. Apabila x  cos x kontinu pada 0  x 
2


2

maka tentukan ietidaknya iatu

bilangan yang memenuhi x 2  cos x .
6. Apakah f ( x) 

x 1
x2 9

4

kontinu ?

7. Kontinukah fungii dibawah ini, jika tidak di titik mana fungii tidak
kontinu ?
1. f ( x ) 

2x  3

3. h( x ) 

x2  x 6

2. g ( x) 

1
4x

4. f (u ) 

2

x
x 2  x 1
2u  7
u 5

8. Selidiki kekontinuan dari fungii dibawah ini :
1.

sin  x, 0  x  1
f ( x)  
 ln x, 1  x  2

2.

g ( x) 

3.

h( x ) 

4.

m( x )  x  x ,

1
,
x

x3 8
x2 4

; x 1

x=2
, x  2, f ( 2)  3,

x 2

x 0

Tentukan nilai limitnya!
1 lim

x 

x 3  3x 2  7
3

5x  9 x

x  x 2
2. lim
x 
5x  4

Kalkului I

12.

 1  x 1 

lim 


x



x 0

3x

1

13. lim 1  
x 



x

18

3. xlim
 



4. lim

4 3 x 1
x

x 0

5.

x 1 

x





sin x
x

1 




x 1 


15. lim 
x 1  2 x 1 



x 2  2 x  3 

lim  2
x 0 x
 3x  2 




6. xlim
 0 

x

1  e

14. xlim
 0  sin x 





x 3

16. xlim
 3

x2 9
4x

x 3  3x 2  5 


x3 5



cos x 


x2


17. lim 
x  

a x 1
,
x

ln(2 x 1)  ln( x  2) 
7. xlim
 

18. lim

 x 2  4 x 1  x 


8. xlim
  



19. lim 
x 1 4 x  4 

9.

lim cos x 

x 0

1



x2

20.
1

y

y 1

1 x 

1 x 


22.



x 
lim  
x 0  x 
 

 y 1y 2

21. lim

x 0

11

a 0

 1 x 

10. lim 1  sin x  x
1
lim  ln
x 0 x


x 0

2

3

 2y 3



 2 y 1

4 y  8 y
lim 
y 2 
 y 4

1/ 3






Bab 4
Derivative
Definisi
Bila

y  f (x )

f ' ( x)  lim

x  0

Kalkului I

adalah

fungii

x

dan

dy
y
 lim
x  0  x
dx

atau

f x  x   f ( x)
ada dan terbatai maka limit teriebut dinamakan
x

19

turunan (derivative) dari y terhadap x dan f(x) dikatakan fungii x yang dapat
diturunkan (diferentiable).
Turunan Kanan dan Kiri
Turunan kanan dari y  f (x ) pada x  x 0 didefniiikan :

f '  ( x 0 )  lim 
x  0

f x 0   x   f ( x 0 )
jika limitnya ada, dan
x

Turunan kiri dari y  f (x) pada x  x 0 didefniiikan :

f '  ( x 0 )  lim 
x  0

f x 0   x   f ( x 0 )
.
x

Suatu fungii y  f (x) mempunyai turunan pada x  x 0 jhj f '  ( x 0 )  f '  ( x 0 )
Differentiabelitas dalam suatu Interval
Jika iuatu fungii mempunyai derivative di ietiap titik dari iuatu interval maka
dikatakan fungii teriebut diferentiabel dalam interval. Jika y  f (x) tertentu
dalam interval tertutup a  x  b maka y  f (x ) diferentiabel dalam interval
teriebut jhj f ' ( x 0 ) ada untuk ietiap x 0 pada a  x0  b dan jika f '  ( x 0 ) dan
f '  ( x0 ) keduanya ada.
Contoh ioal.
1. Dapatkan f ' ( 2) dari f ( x)  x 2  3 x !
2. Dapatkan

y'

dari f ( x ) 

1
dan tunjukkan f ' ( 1) tidak ada !
x 1

f ( x)  x
3. Jika
maka dapatkan
mempunyai turunan di x  0 ?

f '  ( 0 )  f '  ( 0) .

Apakah

f ( x)

Teorema
Jika u ( x ) dan v ( x ) merupakan fungii kontinu dan mempunyai turunan
pertama pada domain D maka berlaku :
d
u ( x)  v( x)  du ( x)  dv( x)  u ' ( x)  v' ( x)
1.
dx
dx
dx
du ( x )
dv( x )
d
u ( x). v( x) 
v( x)  u ( x)
 u ' ( x) v ( x)  u ( x) v' ( x)
2.
dx
dx
dx
d
k u ( x)  k du ( x)  k u ' ( x) , k=konitan
3.
dx
dx
4.

d  u ( x )  u ' ( x ) v ( x )  u ( x )v ' ( x )


dx  v ( x ) 
v( x) 2

5. Bila y  f (u ) dan u  g (x ) maka y  f g (x)  iehingga

dy
dy du

.
(dalil
dx
du dx

Rantai)
6. . Bila y  f (x) mempunyai inveri f

Kalkului I

1

( x ) maka

dy
1

dx
dx dy

20

Beberapa rumus turunan
1. y  k  y '  0 , k = konitan
2. y  x n  y '  nx n 1
3. y  a log x  y ' 
1
x

4. y  ln x  y ' 
5.
6.

1
x ln a

y  ax 

y '  a x ln a

y  ex 

y'  e x

Funssi Trisonometri
1. y  sin x  y '  cos x
y  cos ec x 

6.

y '   cos ec x cot an x

2.

y  cos x 

3.

y  tan x 

4.

y  cotan x 

5.

y  sec x 

1

7. y  arc sin x  y ' 

y '   sin x

1 x 2
1
8. y  arc cos x  y '  
1 x 2

y '  sec 2 x
y '   cos ec 2 x

9. y  arc tan x  y ' 
10. y  arc cot an x  y '  

y '  sec x tan x

1
1 x 2
1

1 x 2

Funssi Parameter

x  x(t )
, dengan dalil rantai dapat ditentukan turunan fungii
y  y (t )

Bentuk : 

parameter yaitu :

dy
dy
dy
dy dt
 dt

atau
dx
dx
dt dx
dx

dengan

dx
0
dt

dt

Funssi Implisit
Pada bentuk f ( x, y )  0 dapat diiajikan dengan u  F ( x, y )  0 , iehingga u
merupakan fungii dari variabel x dan y dengan y fungii dari x. Diperoleh :

du F F dy


0
dx
x
y dx
F
dy
dx

F
dx
dy
dengan
 = derivatif pariial
F
= derivatif pariial ke x maka variabel y dianggap iuatu konitan
x
F
y

= derivatif pariial ke y maka variabel x dianggap iuatu konitan

Contoh Soal. Tentukan
1.



10



y  x 4  3x 2 1



2. y  sin x 2  4 x  2
3. y  e x ln x

Kalkului I

y'

!
8. x 



1
,
t 1

2

 t 
y 

t  1 

9. xy 1  0
10. y 3  4 xy  x 2

0

21

4. y  x sin x
5. y  ( x  4)( x  5)( x  6)( x  7)( x  8)





6. y  ln x 4  3 x 2  1
7.

x t

2

 2,

Kalkului I

y t

3

 2t  3

11.

e xy  4 xy 2  2  0

12.

x 2 y  2 xy  3 xy 2  4  0

13.

x sin y  y cos x  0

14.

e xy  y ln x  cos 3 x  0

22