Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

   _Ayundyah Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

  Ayundyah Kesumawati

  Prodi Statistika FMIPA-UII

  March 31, 2015

   Fungsi Gamma Fungsi Gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar berikut: _∞

  Z _{− x Ayundyah} α−1 Γ(α) := e x dx (1)

  Integral ini konvergen bila α > 0. Dengan menerapkan integral parsial. diperoleh _∞ Z ₋

  x α

  e x dx Γ(α + 1) : = _{∞ − − ∞} Z

  x x α α−1

  x e x dx = + α

  −e = αΓ(α)

   Berdasarkan (1), bila α = 1 maka berlaku:

  Z ∞ _{− − ∞ Ayundyah} x x e dx

  Γ(1) = = = 1 (3) −e

  Khususnya bila α bilangan bulat positif, maka dengan menggunakan formula rekursif (2) diperoleh Γ(α + 1) = αΓ(α)

  = α(α − 1)Γ(α) = α(α − 1)(α − 2)(α − 3)...Γ(1) = α!

   _Ayundyah

  Pada definisi (1) fungsi Gamma Γ(α) hanya berlaku untuk α > 0. Sedangkan untuk α < 0, fungsi gamma didefinisikan menggunakan rumus rekursif (2) yaitu:

  Γ(α) = Γ(α + 1)

  α (5)

  Dengan (5) maka diperoleh: Γ(0) =

  Γ(1) tidak terdefinisi karena membagi dengan nol Γ(−1) =

  Γ(0) −1 tidak terdefinisi karena Γ(0) tidak terdefinisi

  

  Jadi fungsi Gamma tidak terdefinisi pada nol dan bilangan bulat negatif. Nilai fungsi gamma untuk α bulat positif sangat mudah dihitung dengan menggunakan bentuk faktorial, misalnya:

  Γ(5) = 4! = 24, Γ(6) = 5! = 120

   Dilihat dari formulanya, kecuali pada bilangan bulat positif, _Ayundyah nilai fungsi gamma tidak mudah diperoleh seperti pada fungsi biasa karena kita dituntut untuk menyelesaikan suatu integral.

  Beberapa program komputer untuk komputasi telah menyediakan fasilitas untuk menghitung nilai fungsi gamma. Berikut grafik dari fungsi gamma untuk α < 0:

   Sifat Fungsi Gamma

  1 Khusus untuk α = berlaku

  2

  1 _Ayundyah √ Γ = π

  2

  2 Untuk 0 < α < 1 berlaku:

  π Γ(α) Γ(1 − α) = sin πx

  Sifat 1 diatas merupakan kasus khusus dari sifat 2 ini yaitu

  1

  dengan α =

  2

  3 Formula Stirling

  untuk n bilangan positif yang besar maka digunakan aproksimasi berikut:

  n

  √ n n 2πn

  ! ≈

   _Ayundyah Contoh 1.

  Hitunglah nilai dari Γ(5/2), Γ(−1/2), dan Γ(−5/2)

  

Penyelesaian

  _Ayundyah dengan menggunakan rumus rekursif akan diperoleh

  3 Γ(5/2) = Γ( + 1)

  2

  3 = Γ(3/2)

  2

  3

  1 = Γ( + 1)

  2

  2

  3

  1 = Γ(1/2)

  2

  2 3 √ = π

   _{Berikutnya, karena α bernilai negatif maka digunakan relasi ....}

  Diperhatikan α = −1/2 dan α + 1 = −1/2 + 1 = 1/2. Diperoleh

  1

  1 √ √

  π = Γ π −

  Γ(1/2) = Γ(−1/2 + 1) ⇔ = −2

  2

  2

  

  Dengan cara yang sama kita dapat menyelesaikan soal berikutnya:

  1

  3

  3

  3

  3

  5 Γ = Γ + 1 = Γ = Γ + 1

  − − − − − −

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  3

  5

  5

  5

  8 √

  √ π = Γ = π

  −2 − − − ⇒ Γ − −

  2

  2

  2

  2

  15

   _{Jika diperhatikan nilai fungsi gamma Γ(x) dapat}

  1 _Ayundyah

  disederhanakan jika fungsi tersebut direduksi menjadi Γ( ),

  2

  yaitu dengan menggunakan rumus rekursif. Tetapi jika tidak

  1

  dapat direduksi menjadi Γ( ) maka nilai Γ(x) harus dihitung

  2 dengan definisi fungsi Gamma.

  Latihan Hitunglah masing-masing bentuk fungsi gamma di bawah ini:

  5

  Γ(3)Γ( )

  2 a.

  10

  Γ( )

  2

  8

  6Γ( )

  3 b.

  2

  5Γ( )

  

Penggunaan Fungsi Gamma

  _Ayundyah Fungsi gamma sering digunakan untuk menyelesaikan bentuk integral yang cukup rumit. Untuk menyelesaikan soal-soal integral dengan menggunakan fungsi gamma kita harus membandingkan kembali dengan definisi fungsi gamma. Dua hal yang ahrus diperhatikan adalah batas integrasinya dan integrannya. Integral-integral ini harus diolah sedemikian rupa sehingga menjadi bentuk definisi fungsi gamma. Contoh Hitunglah integral berikut dengan menggunakan definisi fungsi gamma _∞

  Z ₋

  x

  4

  

  Penyelesaian _∞ R ₋

  4 x

  x e dx dengan melihat bentuk , kemudian bandingkan R ∞ ₋

  x α−1

  e x dx dengan definisi Γ(α) := maka tidak ada yang perlu diubah lagi pada soal karena fungsi tersebut sudah berbentuk fungsi Gamma dengan α − 1 = 4 atau α = 5. Jadi

  Z ∞ ₋

  

x

  4

  x e dx = Γ(5) = 4! = 24

   Bila integral ini diselesaikan dengan cara biasa tanpa _Ayundyah menggunakan fungsi gamma maka harus dilakukan integral parsial beberapa kali seperti berikut ini

  Z Z _{− −}

  x x

  4

  4

  x e dx = x e dx |{z} |{z}

  u v _{− −} Z x x

  4

  3

  x e x e dx − 4

  = − _{− −} Z

  x x

  4

  3

  e + 4 x e dx = −x

  |{z} |{z}

  u v = ...

   _{Ayundyah Contoh}

  Hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi gamma _∞ Z ₃

  √ − _{3 x} x e dx Penyelesaian _{∞ 3} R √ _{3 − x} x e dx

  Integral belum berbentuk fungsi gamma dalam hal integrannya, namun batas integrasi sudah sama. Subtitusi

  3

  variabel baru x = y maka batas-batasnya tidak berubah dan diperoleh:

  

  Subtitusi hasil ini ke dalam integral pada soal dan diperoleh: _{∞ ∞} Z Z _{3 1 2}

  √ − − 1 − ₃ x y _{6 3} x e dx = y e y dy _∞

  3 Z ₁ 1 − − ₂ y = y e dy

  3

  1 = Γ(1/2)

  3 √

  π =

  3

   Latihan _Ayundyah 1. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi

  gamma Z

  3

  1

  1 ln dx x

  2. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi

  gamma Z

  1

  2

  3

  x (lnx) dx

  fungsi kepadatan peluang dari X adalah

   Fungsi Beta _Ayundyah Fungsi beta adalah fungsi Gamma dengan komposisi dua parameter yang didefinisikan sebagai:

  Z

  1 m− n−

  1

  1 B (m, n) := x dx (6)

  (1 − x) integral ini hanya konvergen bila m, n > 0. Tidak ada definisi fungsi beta untuk m, n < 0 Bentuk trigonometri dari fungsi beta adalah: _π

  Z ₂

  2m−1 2n−1

  B (m, n) = 2 sin θcos θdx (7)

  

Hubungan Fungsi Gamma dan FUngsi Beta

Fungsi beta dapat dinyatakan melalui fungsi gamma dengan

  2

  2 _Ayundyah

  cara berikut ini: Dengan memisalkan z = x , maka kita memperoleh Z ∞ Z ∞ _{− − 2}

  u− 1 z 2u−1 x

  z e dx x e dx Γ(u) = = 2 (8)

  Dengan cara yang sama, _∞ Z _{− 2}

  y 2v −1

  Γ(v ) = 2 y e dx (9) Maka _{∞ ∞}

  Z Z _{− − 2 2}

  x y 2u−1 2v −1

   Dengan mentransformasikannya ke koordinat polar,x = ρ cos φ, _Ayundyah maka y = ρ sin φ. Sehingga _{π ∞}

  Z Z _{2 − 2}

  2(u+v )−1 ρ 2u−1

  Γ(u)Γ(v ) = 4 ρ e cos φ sin(2v − 1) φ dρ d

  φ=0 ρ=0 _{∞ π}

  Z Z _{− 2 2}

  

2(u+v )−1 ρ

  e d = 4 ρ ρ cos(2u − 1)φ sin(2v

  ρ=0 φ=0

  Z

  π/2 2u−1 2v −1

  = 2Γ(u + v ) cos φsin φdφ = Γ(u + v )B(u, v )

  

  Sifat lain dari fungsi gamma yang diturunkan dari fungsi beta adalah: _∞ Z

  p−

  1

  x π dx , 0 < p < 1 (11)

  = Γ(p)Γ(1 − p) = sinp 1 + x π

  Contoh Hitunglah nilai fungsi beta berikut

  B (5, 2), B(1/2, 3), B(1/3, 2/3)

   Penggunaan Fungsi Beta

  Ayundyah

  Sama seperti pada fungsi gamma, fungsi beta juga banyak digunakan untuk menyelesaikan bentuk integral yang cukup rumit. Contoh Hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi beta

  Z

  1

  2

  5

  x dx (1 − x)

  

  Penyelesaian Integral ini sudah berupa fungsi beta. Jadi cukup ditentukan nilai m dan n yang bersesuaian lalu bandingkan dengan

  Z

  1 m− n−

  1

  1 B (m, n) := x dx

  (1 − x) maka m = 3 dan n = 6 sehingga Z

  1

  Γ(3)Γ(6)

  1

  2

  5

  x dx = B(3, 6) = =

  (1 − x) Γ(9) 168

   Latihan _Ayundyah

  1. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi

  beta Z

  3

  p

  4

  2

  x dx 9 − x

  2. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi

  beta Z

  π/2

  3

  4

  sin θcos θ dθ

  3. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi

  

  4. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi

  beta Z

  3

  dx p

  

1

  (x − 1)(3 − x)

  5. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi

  beta Z π/2

  √ tan θ dθ

  

  Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu, minta tolonglah pada Allah, dan jangan malas (patah semangat). (HR. Muslim no. 2664).