Ukuran Data Statistik.pdf (599Kb)
UKURAN DATA STATISTIK 1. Konsep dasar statistika.
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan data, menyajikan data, mengolah data, menganalisis data, dan menarik kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan. Data adalah catatan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu penelitian. Cara menyajikan data antara lain dengan tabel, grafik: diagram batang, diagram lingkaran, histogram, poligon frekuensi, atau poligon frekuensi kumulatif (ogive).
2. Ukuran pemusatan data.
2.1. Mean ( ) n
x i i 1 x x x ... x 1 2
3 n
Untuk data tunggal :
x n n n
dimana: x = jumlah seluruh data dari i = 1 sampai i = n i
i 1 n = banyaknya data n f x i i
i 1 f x f x f x ... f x 1 1 2 2 3 3 n n
Untuk data berkelompok : x n
f f f ... f 1 2 3 n f i
i 1
dimana: x i = titik tengah kelas interval ke-i n = jumlah seluruh hasil kali frekuensi dan titik tengah
f x i i i n 1
= jumlah seluruh frekuensi
f i i 1 n = banyaknya data
2.2. o ) Modus (M
Modus adalah nilai data yang sering muncul, atau nilai data yang mempunyai frekuensi terbanyak.
1
data berkelompok M L c
Untuk : o
1 2 dimana: L = tepi bawah kelas modus
1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
δ
2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
δ c = panjang kelas modus3. Ukuran letak data.
3.1. Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro Q 1 : kuartil bawah Q
Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.
i
= kuartil ke-i
L i
= tepi bawah kelas kuartil ke-i i Q
F = jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas kuartil ke-i i f = frekuensi kelas kuartil ke-i n = banyaknya data c = panjang kelas i
= 1, 2, atau 3 3.2. Desil
Untuk data tunggal , letak desil dapat ditentukan dengan rumus:
( 1) Letak 10 i i n D
dimana: D i = desil ke-i
n = banyaknya data i = 1, 2, 3, ..., 8, atau 9
Jika letak urutan desil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung desil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika desil terletak pada nilai urutan antara k dan , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai desilnya adalah: 1 k 1
( ) k k k x D x d x x
dimana: Q
2
: kuartil tengah atau median
Q 3 : kuartil atas
Untuk
data tunggal
, letak kuartil dapat ditentukan dengan rumus:
( 1) Letak 4 i i n Q
dimana: Q i = kuartil ke-i
i n F Q L c f
n = banyaknya data i = 1, 2, atau 3
Jika letak urutan kuartil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung kuartil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika kuartil terletak pada nilai urutan antara k dan , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai kuartilnya adalah: 1 k 1
( ) k k k x Q x d x x
Untuk data berkelompok :
4 i Q i i i
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro
i n F P L c f
Jika letak urutan persentil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung persentil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika persentil terletak pada nilai urutan antara k dan , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai persentilnya 1 k adalah: 1
( ) k k k x P x d x x
Untuk
data berkelompok
: 100 i P i i i
dimana: P i = persentil ke-i
dimana: P
i
= persentil ke-i
L i = tepi bawah kelas persentil ke-i i D
F = jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas persentil ke-i
i f = frekuensi kelas persentil ke-i n = banyaknya data c = panjang kelas i = 1, 2, 3, ..., 98, atau 99 4.Ukuran dispersi (penyebaran) data.
n = banyaknya data i = 1, 2, 3, ..., 98, atau 99
Untuk data berkelompok :
= jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas desil ke-i i
10 i D i i i
i n F D L c f
dimana: D i = desil ke-i
L i = tepi bawah kelas desil ke-i i D F
f = frekuensi kelas desil ke-i n
( 1) Letak 100 i i n P
= banyaknya data
c = panjang kelas i
= 1, 2, 3, ..., 8, atau 9 3.3. Persentil
Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar. Untuk
data tunggal
, letak persentil dapat ditentukan dengan rumus:
Ukuran penyebaran data menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu kumpulan data memiliki nilai yang berbeda. Ukuran penyebaran data terdiri dari: range (jangkauan), deviasi mean (simpangan rata-rata), hamparan (jangkauan antarkuartil), deviasi kuartil (simpangan kuartil), variansi (ragam), dan deviasi standar (simpangan baku), kemencengan (skewness), dan keruncingan (kurtosis).
4.1. Range (jangkauan) Range suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data terkecil.
R x x
max min
4.2.Deviasi mean (simpangan rata-rata) Deviasi mean mengukur jumlat rata-rata dari nilai-nilai populasi (atau sampel) yang berbeda- beda dari rata-ratanya.
Deviasi mean didefinisikan sebagai rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi dengan rata-rata hitungnya. n
1 Untuk data tunggal : MD x x i n i 1 r
1 data berkelompok
Untuk : MD f x x i i
n i 1 Keterangan: MD = deviasi mean x i (untuk data tunggal) = nilai data ke-i x i (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
= nilai rataan (mean) sampel
f i = frekuensi kelas ke-i r = banyaknya kelas n = banyaknya data (ukuran data) 4.3.
Hamparan (jangkauan antarkuartil) Hamparan didefinisikan sebagai selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah.
H Q Q 3 1 4.4.
Deviasi kuartil (simpangan kuartil) Deviasi kuartil suatu data didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan. 1 1 Q H ( Q Q ) d 2
2
3 1 4.5.Variansi (ragam) dan deviasi standar (simpangan baku) untuk populasi Variansi adalah rata-rata kuadrat jarak suatu data terhadap rataannya, sedangkan deviasi standar adalah akar dari variansi. N N 2
1
1 2 2 2 Untuk data tunggal : ( x ) ; ( x ) i i
N N i 1 i 1 r r
1 2
1 2 2 2 Untuk data berkelompok : f x ( ) ; f x ( ) i i i i
N i 1 N i 1
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro
f i = frekuensi kelas ke-i r
S S f x x n
Keterangan: S
2
= variansi sampel
S = deviasi standar sampel x i (untuk data tunggal) = nilai data ke-i x i (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
= nilai rataan (mean) sampel
= banyaknya kelas
1 ( )
n = banyaknya data (ukuran data) sampel 4.7.
Kemencengan (skewness) Untuk menghitung kemencengan suatu data, salah satu caranya adalah dengan menggunakan
koefisien kemencengan Pearson
: ( modus) x
sk S
atau
3 ( median) x
sk S
1 r i i i
2 2 1
Keterangan:
2 2 1
2
= variansi populasi = deviasi standar populasi
x i (untuk data tunggal) = nilai data ke-i x i (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
= nilai rataan (mean) populasi
f i = frekuensi kelas ke-i r = banyaknya kelas N = banyaknya data (ukuran data) pada populasi 4.6.
Variansi (ragam) dan deviasi standar (simpangan baku) untuk sampel Untuk data tunggal : 2 2 1
1 ( ) 1 n i i
S x x n
1 ( )
S f x x n
1 n i i
S S x x n
Untuk
data berkelompok
: 2 2 1
1
( )
1 r i i i
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro
1 ( ) r
i i
if x x
N S= frekuensi kelas ke-i
f i
(untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i = nilai rataan (mean) sampel
x i
(untuk data tunggal) = nilai data ke-i
S = deviasi standar sampel x i
= nilai keruncingan
4
Keterangan:
Untuk data berkelompok : 4 4 4 1
Keterangan: sk = koefisien kemencengan = nilai rataan (mean) sampel
1 ( ) N i i x x N S
Untuk menghitung keruncingan suatu distribusi data, digunakanlah koefisien kurtosis: Untuk data tunggal : 4 4 4 1
MESOKURTIK, distribusi yang memiliki puncak sedang dan tidak mendatar (nilai keruncingan = 3)
(nilai keruncingan < 3) 3)
2) PLATIKURTIK, distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
LEPTOKURTIK, distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi (nilai keruncingan > 3)
Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi normal dapat dibagi menjadi 3 macam: 1)
Keruncingan (kurtosis) Keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari suatu distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal.
S = deviasi standar sampel 4.8.
r = banyaknya kelas N = banyaknya data (ukuran data)
L A T I H A N S O A L
1. Program Apollo berlangsung dari 1967 sampai 1972 dan terdiri dari 13 misi. Misinya berlangsung sedikitnya 7 jam hingga selama 301 jam. Lama setiap penerbangan adalah sebagai berikut.
9 195 241 301 216 260
7 244 192 147 10 295 142 a.
Jelaskan mengapa data di atas merupakan suatu populasi.
b.
Tentukan rata-rata dan median dari waktu penerbangannya.
c.
Tentukan simpangan rata-rata, simpangan kuartil, dan simpangan baku dari waktu penerbangan tersebut.
d. Q , D , dan P .
Hitunglah 1 6 40 e.
Tentukan nilai skewness dari waktu penerbangan tersebut. Termasuk apakah jenis kemencengannya? f.
Tentukan nilai kurtosis dari waktu penerbangan tersebut. Termasuk apakah jenis kurva distribusi normalnya?
2. PT Komputer Jaya, penyedia layanan internet pada suatu daerah di Semarang, membuat distribusi frekuensi berikut mengenai usia dari pengguna internet yang diambil secara acak.
Usia (dalam tahun) Frekuensi
11
7
- – 20
21
18
- – 30
31
20
- – 40
41
12
- – 50
51
3
- – 60 Hitunglah: a.
rata-rata, median, dan modus b. kuartil bawah dan kuartil atas c. desil ke-3 dan desil ke-8 d. persentil ke-33 dan persentil ke-88 e. variansi dan simpangan baku f. simpangan rata-rata dan simpangan kuartil g. koefisien kemencengan Pearson h. koefisien kurtosis
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro