3.1 Ukuran Pemusatan Untuk Data Tidak Berkelompok. - 3 STATISTIK DISKRIPTIF

STATISTIK DISKRIPTIF

  Seorang manajer bank ingin mengetahui nasabah dar banknya berkisar umur berapa, ketika mengambil atau menabung berapa jumlah uang yang ditarik atau ditabung? 3.1 Ukuran Pemusatan Untuk Data Tidak Berkelompok.

  Salah satu ukuran untuk menggambarkan sekelompok data adalah ukuran pemusatan (central of tendency).

  

Ukuran pemusatan (central of tendency) memberikan informasi mengenai

pusat atau nilai tengah dari sekelompok angka.

  Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP Contoh.

  28

  23

  27

  30

  24

  35

  29

  21

  25

  18

  21

  31

  19

  22

  44

  17

  24

  29

  42

  31

  Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP

  28

  23

  27

  30

  24

  35

  29

  21

  25

  18

  21

  31

  19

  22

  44

  17

  24

  29

  42

  31

  24

  41

  34

  24

  27

  32

  28

  25

  25

  35

  25

  17

  24

  29

  22 Ukuran pemusatan dapat menyediakan informasi umur rata-rata manajer UKM; umur manajer UKM yang terletak ditengah atau umur yang paling sering muncul.

  Ukuran pemusatan untuk data tidak berkelompok:

  a) The Mode (Modus)

  b) The Median (Nilai tengah)

  c) The Mean (Rata-rata)

  Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP

  28

  23

  27

  30

  24

  35

  29

  21

  25

  18

  21

  31

  19

  22

  44

  17

  24

  29

  42

  31

  24

  41

  34

  24

  27

  32

  28

  25

  25

  35

  25

  17

  24

  29

  22  Mengurutkan data

  28 23 27 30 24 35 29 21 25 18 32 28 25 25 35 25 17 24 29 22 24 41

  34 24 27 21 31 19 22 44 17 24 29 42 31 Setelah diurutkan menjadi: 17 17 18 19 21 21 22 22 23 24 24 24 24 24 25 25 25 25 27 27 28 28 29 29 29 30 31 31 32 34 35 35 41 42 44 17 17 18 19 21 21 22 22 23 24 24 24 24 24 25 25 25 25 27 27 28 28 29 29 29 30 31 31 32 34

   Steam and Leaf

  74

  72

  75

  83

  77

  68

  82

  97

  89

  81

  75

  39

  23

  67

  79

  83

  70

  78

  91

  68

  49

  56

  94

  81

  59

  67

  Stea m Leaf

  9

  2

  3

  3

  9

  4

  7

  9

  5

  5

  6

  6

  88

  7

  7

  8

  86

  77

  91

  60

  55

  76

  92

  47

8 Umur Manajer UKM

  Data Tidak Berkelompok: Umur LATIHAN: Manajer Perusahaan

  42

  26

  32

  34

  57

  30

  58

  37

  50

  30

  53

  40

  30

  47

  49

  50

  40

  32

  31

  40

  52

  28

  23

  35

  25

  30

  36

  58

  26

  50

  55

  30

  43

  64

  52

  49

  33

  43

  46

  32

  61

  31

  30

  40

  60

  74

  37

  29

  43

  54 Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP

  28

  23

  27

  30

  24

  35

  29

  21

  25

  18

  21

  31

  19

  22

  44

  17

  24

  29

  42

  31

  24

  41

  34

  24

  27

  The Median.

  The median adalah nilai tengah dari sejumlah angka yang telah diurutkan.  Jika jumlah angka dari sejumlah angka tersebut adalah ganjil, maka mediannya adalah angka yang dtengah  Jika jumlah angka dari sejumlah angka tersebut adalah genap, maka mediannya adalah dua angka yang dtengah dibagi 2 Contoh:  Angka berjumlah ganjil

  28 23 27 30 24 35 29 21 25 18 35 29 21 25 18. Urutkan menjadi: 18 18 21 21 23 24 25 25 27 28 29 29 30 35 35. Nilai median =25 Angka berjumlah genap

  28 23 27 30 24 35 29 21 27 18 35 29 21 25 18 12. urutkan menjadi 12 18 18 21 21 23 24 25 27 27 28 29 29 30 35 35. Nilai median = (25+27)/2 = 26 The Mean.

  a) The arithmetic mean (average) (μ) untuk populasi dan ( ) untuk sampel adalah penjumlahan seluruh angka dibagi dengan jumlah angka. _�

  σ _{�=� �} �

  o Populaton mean = μ = _� � Contoh. Ada 5 kecelakaan pada hari rabu di beberapa kota. Korbannya 24,13,19,26, dan 11 pasien. The population mean = (24 + 13 + 19 + 26 + 11)/5 = 18,6 Ada angka 57,86,42,38,90 dan 66, maka jika angka ini merupakan sampel, maka sample mean= Sample mean = (57+86+42+38+90+66)/6 = 63,167 3.2 Penghitungan The Mean untuk Data Berkelompok.

  Kelompok data tidak memberikan informasi mengenai nilai individu. The mean untuk data berkelompok =

  σ �� Umur Frekuensi = o μ data berkelompok

  σ � 10-15

  6 15-20

  22 Contoh. 20-25

  35 25-30

  29 30-35

  16

  Umur Frekuensi Nilai Tengah fM 10-15 6 12,5

  300

  σ �� σ �

  o μ data berkelompok =

  3,130

  122

  95

  45-50 2 47,5

  170

  40-45 4 42,5

  35-40 8 37,5

  75

  520

  30-35 16 32,5

  797.5

  25-30 29 27,5

  787.5

  20-25 35 22,5

  385

  15-20 22 17,5

  = 3,130/122 = 25,66

  b) The Weighted mean (μ) � �

  � �+����+����+⋯+���� μ =

  � +� +� +⋯+�

  � � � �

  � σ �

  � � μ =

  �

  � Contoh.

  Sorang mahasiswa memperoleh nilai dar 3 matakuliah yang memiliki bobot 3 sks, 2sks,dan 3 sksk dengan nilai A, B, B. Nilai rata-rata mahasiswa tersebut:

  �∗�+�∗�+�∗� μ = = 3,375

  �+�+�

  c) The Geometric mean (μ) Geometric mean menghitung rata-rata dengan memperhatikan tingkat pertumbuhan kumulatif dari waktu ke waktu

0.5 RG = [(1+R ) (1+R ) … (1+R )] -1

  

Contoh.

  Periode Harga Saham 500 1 600

  2 550

  R = (600-500)/500 = 0,2 ₁ R = (550-600)/600 = -0,083 ₁ Arithmetic mean = (0,2-0,083)/2 = 0,05833 _0.5 RG = [(1+0,2)(1-0,083)] -1 = 0,04883 3.3 Ukuran Variabilitas Untuk Data Tidak Berkelompok.

  Ukuran pemusatan menggambarkan pusat atau dari sejumlah data atau porsi inti (data terpusat) dari sekelompok data.

  Peneliiti menggunakan ukuran lain yakni variabilitas yang menggambarkan sebaran/dispersi dari sejumlah data.

  Contoh.

  Variabilitas untuk data: a) Tidak Berkelompok diukur dengan range, mean absolute deviation, variance, dan standard deviation

  b) Berkelompok diukur dengan variance dan standard deviation Range (jangkauan).

  Range adalah selisih antara nilai terbesar dengan terkecil dari suatu jumlah data tertentu. Contoh. Jangkauan = 3.240.000 – 540.000 = 2.700.000

  Harga Tanah/meter Kota 2012

  A Rp 540.000 B 600.000 C 750.000 D 1.300.000 E 1.400.000 F 2.200.000

  Mean Absolute Deviation (MAD).

  MAD adalah rata-rata nilai deviasi/penyimpangan absolut dari the mean.

  σ ǀ�−�ǀ MAD =

  � Contoh.

  Umur Mean Deviatio ǀX-μǀ Manaje n from r (Xi) the mean

  (Xi – μ)

  5 -8

  8

  3

  4

  5

  9 -4

  4 μ =

  μ ^Series1

  16

  3

  3 65/5 =

• -4

  13

  17

  4

  4

• -8

  18

  5

  5

  Variance dan Standard Deviation.

  Populasi.

  Variance adalah rata-rata nilai deviasi/penyimpangan dari the arithmetic mean yang dikuadratkan. Standard Deviation adalah akar dati variance. _{2 σ ሺ � −�ሻ �}

  σ = _{σ ሺ � −�ሻ � �} σ = √ _� Contoh.

  2 Umur Manajer Mean Deviation from the (Xi-μ)

  (Xi) mean (Xi – μ)

  5

• 8

  64

  9

• 4

  16 μ = 65/5 = 13

  16

  3

  9

  17

  4

  16

  18

  5

  25 ₂ ∑Xi = 65 ∑(X – μ)=0 ∑(Xi-μ)

  Sample. ₂ Sample varance (S ) dan sample SD (S). Penggunaan sample variance

  

dan standard deviation merupkan estimasi dari population

variance dan standard deviation .

  Perbedaan population dan sample varance dan standard deviation terletak pada simbol variance dan standard deviation dan pembaginya. Untuk populasi, pembaginya adalah n dan untuk sample, pembaginya adalah n-1. _� Pembagi n-1 untuk sample varance dan standard deviation akan memberikan

  σ (�− �)

  2

  2 Variance (S )= Deviation Standard (S)=√s

  hasil estimasi bagi nilai populasi. �−� Contoh. ₂ IQ (X - Ẋ )

  Mahasisw

  Dekan mengambil 8 orang mahasiswa sebagai sample untuk diukur tingkat

  a

  IQ dengan hasil sbb:

  ��� A 106 138,06

  �= = ��� ,�� � B 109 76,56 _�

  σ(�− �) ��� ,��

  2 C 114 14,06 = �� ,��

  Variance (S )= = �−� �−�

  D 116 3,06

  2 E 121 10,56 Deviation Standard (S)=√s = √62,78 = 7,92 F 122 18,06

  Makna Standard Deviation.

  19

  17 MEAN

  20

  16

  20

  13

  16

  18

  16

  8

  11

  19

  Apa itu standard deviation? Apa yang standard deviation lakukan dan apa artinya?.

  17

  22

  17

  8

  99,7% DATA UMUR ARTIS REMAJA

  68% μ ± 2σ 95% μ ± 3σ

  

Jarak dari Rata-Rata Persentase Nilai yang berada dalam jarak

μ ± 1σ

  c). 3σ Contoh.

  Aturan ini menyatakan bahwa sebagian besar (hampir semua) nilai-nilai dari sejumlah data berada pada batasan standard deviation dengan syarat sejumlah data tersebut berdistrbusi normal. Aturan empirisnya menggunakan 3 standard deviation: a). 1σ; b). 2σ; dan

  (a)Aturan Empiris

  Ada 2 cara untuk mengaplkasikan SD: (a) Aturan empiris; dan (b) Teorema Chebyshev

  14.4

b) Teorema Chebyshev

  Teorema ini berlaku untuk semua distribusi tanpa melihat bentuk. Oleh karena dapat dberlakukan ke semua distribusi, maka teorema ini lebh konservatif daripada aturan empiris. Teorema inii menyatakan bahwa dalam k standard deviation dari mean,

  2

  maka minimal proporsi data adalah sebesar

  (1-1/k )

TEOREMA CHEBYSHEV

  Jumlah Jarak dari Minimum Proporsi Data dalam Jarak ₂ SD Rata-Rata (1-1/k )

  μ ± 2σ ²

  k=2 1-1/2 =75%

  μ ± 3σ ²

  k=3 1-1/3 =89%

  μ ± 4σ ²

  k=4 1-1/4 =94%

  Oleh karena rumus tersebut digunakan untuk menghitung proporsi dalam teorema chebyshev, maka setiap nilai k > 1 dapat digunakan.

  Z Score.

  Z Score adalah luas dari nilai x datas atau dibawah

  standard deviation

  .

  Mean �− �

  Z = �

  95

  2.5%

  %

  2.5% -2σ +2σ Jika Z score negatif berarti data nilai x berada dibawah mean dan jika Z score positf berarti nilai x berada diatas mean.

  Contoh. Mean = 50 dan standard deviation = 10, maka ahli statistik ingin menentukan Z score untuk nilai 70. Nilai X=70 adalah 20 unit diatas mean.

  Z = (70-50)/10 = 2. Nilai 70 terletak pada 2σ diatas mean, maka 95% dari data nilai berada antara 30 sampai 70, tapi 5% data nilai berada diluar jangkauan tersebut (dibawah 30 dan atau datas 70)