Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta Bahan ajar 4 kaldif

BAHAN AJAR 4 KALKULUS DIFERENSIAL
Oleh: ENDANG LISTYANI
TURUNAN
Perhatikan gambar grafik fungsi y = f(x) di
samping
Titik P dan Q pada kurva
Misalkan kemiringan tali busur PQ adalah m1
m1 = .............................
Jika h
0 , maka diperoleh garis singgung
kurva di titik P.
MisalkankKemiringan garis singgung di titik P
adalah m
m = ...............................................

Kita katakan kemiringan garis singgung kurva y = f(x) di titik
dengan absis
x = x0 adalah
Jika limit itu ada, kita katakan limit tersebut adalah turunan fungsi f di x =
x0
Definisi

Turunan fungsi f adalah fungsi f ‘, yang nilainya pada sebarang
bilangan x adalah
f ’ ( x )=lim
h →0

f ( x+ h )−f ( x )
f ( t )−f ( x )
atau f ’ ( x ) =lim
h
t−x
t→x

jika nilai limit itu ada.

Teorema
Jika f ‘(c) ada maka f kontinu di c
(tidak berlaku sebaliknya, jika f kontinu di c belum tentu f ‘(c) ada)
Bukti

lim f ( x )= f ( c )

x →c
Jika f ‘(c) ada, akan ditunjukkan
f ( x )−f (c )
( x−c )
x−c
f(x) = f(c) +
,x ¿ c
f ( x )−f (c )
f ( x )=
f (c )+
( x−c )
x−c
x →c
x→ c

lim

lim [

]

)−f (c )
lim f (c )+ lim f (xx−c
lim ( x−c )

x→c
x→ c
= x →c
= f(c) + f ‘(c) . 0
= f(c)
Jadi f kontinu di c
Kebalikan teorema ini tidak benar , jika f kontinu di c belum tentu f
‘(c) ada
Contoh

f(x) = |x| kontinu di x = 0 , akan ditunjukkan f ‘(0) tidak ada
|0+h|−0
|h|
f (0+ h)−f (0 )

h
h
=
= h
|h|
f ( 0+ h)−f ( 0 )
−h
h
h
h
h→0−
= h→0−
= h→0
= -1

lim

lim

(0 )

lim f (0+ h)−f
h
h→0

lim
h→0+

f ( 0+ h)−f ( 0 )
h

=f

=

lim

‘(0)

lim |h|h
h→ 0+

=

lim hh
h→0

=1

Jika y = f(x), turunan f di x dapat ditulis sebagai:
Dxy, atau

y ‘, atau

dy
dx

tidak ada
(terbukti)