BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang - Fungsi Invers dan Turunan Fungsi Invers

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang
seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan
mahasiswa fakultas ekonomi dalam menentukan biaya optimum produksi dan
penentuan keuntungan maksimum. Atau menentukan panjang maksimum suatu balok
oleh mahasiswa fakultas teknik, dan sebagainya.

Suatu fungsi juga sangat banyak macamnya. Salah satu cara untuk memperbanyak
fungsi yaitu dengan membalikkan (invers) fungsi tersebut. Invers yaitu balikan suatu
fungsi. Bagaimana mahasiswa bisa mencari turunan suatu fungsi yang semakin
banyak itu? Apakah harus dicari dengan cara menghitung yang cukup panjang?
Apakah tidak ada cara yang lebih mudah dan cepat untuk menghitungnya?

Semakin banyak fungsi akan menyulitkan kita dan membuat kita menjadi lebih lama
untuk mencari differensial atau turunannya. Karena hal ini, orang berusaha mencari

cara cepat mencari turunan pada fungsi balikan. Sehingga pada kesempatan kali ini
akan kami coba mengemukakan tentang mencari turunan invers suatu fungsi dengan
cara lebih cepat. Yaitu menggunakan teorema turunan fungsi invers. Hal ini akan
memudahkan kita untuk menemukan diferensiasi fungsi invers tanpa membalikkan
fungsinya terlebih dahulu dan kemudian mencari inversnya. Sehingga mahasiswa
akan lebih mudah dalam menentukan turunan suatu invers.

Di samping itu, selain mempermudah juga akan mempercepat dalam menentukan
turunannya. Berangkat dari sini maka kami menyusun makalah ini untuk mengetahui
bagaimana cara mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara yang lebih cepat dan
efisien.

1

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

1.2 Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan fungsi balikan?
2. Bagaimana cara menentukan suatu fungsi balikan?

3. Apakah setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai
balikan?
4. Bagaiman cara mencari turunan fungsi balikan?
5. Mengapa jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak berlaku teorema fungsi
balikan?

1.3 Tujuan
1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan.
2. Mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan.
3. Mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti
mempunyai balikan atau tidak.
4. Mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan.
5. Mengetahui jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak berlaku teorema
fungsi balikan.

1.4 Manfaat
1. Agar mahasiswa mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan.
2. Agar mahasiswa mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan.
3. Agar mahasiswa mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah
asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak.

4. Agar mahasiswa mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan.
5. Agar mahasiswa mengetahui jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak
berlaku teorema fungsi balikan.

2

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

BAB II
PEMBAHASAN

2.1 Fungsi Balikan
Jika 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵, maka invers fungsi 𝑓 adalah

fungsi dari himpunan 𝐵 ke himpunan 𝐴.
A

B

B

A

Gambar 1. Sebuah fungsi 𝑓 dan inversnya 𝑓 −1 .
Jika sebuah input 𝑥 dimasukkan ke dalam fungsi 𝑓 menghasilkan sebuah output 𝑦, 𝑦
kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers 𝑓 −1 menghasilkan output 𝑥.

𝑓 adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan 𝑋, dan kodomainnya adalah

himpunan 𝑌. Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi 𝑓 adalah 𝑓 −1 dengan domain

𝑌 dan kodomain 𝑋, dengan aturan.

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑦, maka 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥

Tidak semua fungsi mempunyai invers. Tetapi, fungsi yang tidak mempunyai invers
itu akan mempunyai invers jika kita membatasi himpunan nilai-nilai 𝑋-nya. Fungsi
yang mempunyai invers adalah fungsi bijektif, yaitu:

Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut
fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1
adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. Sehingga sering dinyatakan sebagai "sebuah
fungsi bijective jika dan hanya jika memiliki fungsi invers".

3

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

2.2 Cara Menentukan Fungsi Balikan
Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk 𝑓 −1 (𝑥) untuk melakukan itu, kita
tentukan terlebih dahulu 𝑓 −1 (𝑦), kemudian kita menukarkan 𝑥 dan 𝑦 dalam rumus
yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk
pencarian 𝑓 −1 (𝑥)
2.

Langkah 1 : Selesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦.

3.

dalam 𝑦.

1.

Langkah 2 : Gunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan
Langkah 3 : Gantilah 𝑦 dengan 𝑥.

Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan 𝑥 dan 𝑦. Sedikit pemikiran meyakinkan

kita bahwa menukar peranan 𝑥 dan 𝑦 pada grafik adalah mencerminkan grafik

terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Jadi, grafik 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) adalah gambar cermin grafik 𝑦 =

𝑓(𝑥) terhadap garis 𝑦 = 𝑥.

Contoh soal
Carilah invers dari 𝑦 = −

1

𝑥−3

4

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Jawab :
Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦.
𝑦=−

1

𝑥−3

𝑥−3=−
1

1
𝑦

𝑥 =− +3
𝑦

Langkah 2 : menggunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam
𝑦

1

𝑓 −1 𝑦 = − + 3
𝑦

Langkah 3 : mengganti 𝑦 dengan 𝑥.
1

𝑓 −1 𝑥 = − + 3
𝑥

2.3 Keberadaan Fungsi Balikan
Teorema

Jika 𝑓 monoton murni pada daerah asalnya, maka 𝑓 memiliki balikan.
Fungsi monoton
Misalkan 𝑓(𝑥) terdefinisi pada suatu himpunan 𝑅. Untuk semua 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅, fungsi

𝑓 𝑥 dikatakan:







monoton naik, jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 )

monoton turun, jika untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2 )

monoton tak naik, jika untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2 )

monoton tak turun, jika untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓(𝑥2 )
monoton datar, jika untuk 𝑥1 ≠ 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2 )

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton
naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah
monoton naik.
5

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau
fungsi monoton turun.
Monoton naik jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 .

Monoton turun jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 .

Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni
memiliki invers.
Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka berlaku 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 ) untuk
setiap 𝑥1 , 𝑥2 pada daerah asalnya.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika 𝑥1 ≠ 𝑥2 maka berlaku
𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2 ) untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 pada daerah asalnya.

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

Bukti teorema
Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan
Kita ambil 𝑓: 𝐴 → 𝐵

Jika 𝑓 monoton murni maka 𝑓 satu-satu dan onto

Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton
naik.
Bukti untuk 𝒇 satu-satu.

Diketahui 𝑓 monoton naik ⟷ 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 )
Dengan kata lain : 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2 )

Terbukti 𝑓 satu-satu.
Bukti untuk onto

Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku
kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya.
6

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Onto artinya 𝑓 𝐴 = 𝐵, yang ekuivalen dengan 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝑓(𝐴)
Untuk 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵 sudah sangat jelas.

Sekarang akan dibuktikan untuk 𝐵 ⊆ 𝑓(𝐴)
Andaikan

∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∉ 𝑓 𝐴

Maka ∃ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴, ∋ 𝑓 𝑥1 < 𝑏 < 𝑓 𝑥2

Untuk
Maka

lim𝑥→ 𝑥 1 𝑥 = 𝑐 = lim𝑥→ 𝑥 2 𝑥 ,

𝑥1 ≠ 𝑐 ≠ 𝑥2

lim𝑥→ 𝑥 1 𝑓 𝑥 = lim𝑥→ 𝑥 2 𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑐)

Menurut teorema apit 𝑓 𝑐 < 𝑏 < 𝑓 𝑐 maka haruslah 𝑓 𝑐 = 𝑏

∴ ∃ 𝑐∈𝐴 ∋ 𝑓 𝑐 =𝑏

∴ 𝑏 ∈ 𝑓(𝐴)

Kontradiksi bahwa 𝑏 ∉ 𝑓 𝐴

Jadi, 𝑓 adalah Onto.
Contoh soal

Perlihatkan bahwa 𝑓 memiliki balikan. Untuk 𝑓(𝑥) = 2𝑥 7 − 𝑥 5 + 12𝑥.

Jawab :

Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita
dapatkan turunan pertamanya yaitu
𝑓′(𝑥) = 14𝑥 6 − 5𝑥 4 + 12

Dimana nilai 𝑓 ′ 𝑥 selalu lebih besar nol untuk setiap 𝑥.
𝑓 ′ 𝑥 = 14𝑥 6 − 5𝑥 4 + 12 > 0 untuk semua 𝑥

Jadi 𝑓 naik pada seluruh garis real.

sehingga 𝑓 memiliki balikan di sana.

Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk 𝑓 −1

7

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

2.4 Turunan Fungsi Balikan
Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan
suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai
invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang
monoton murni.

Teorema
Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼.

Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik

yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan
(𝑓 −1 )′ 𝑦 =

1
𝑓 ′ (𝑥)

Untuk lebih mudah memahami
teorema. Perhatikan gambar
disamping!
Kita anggap, 𝑓 −1 𝑥 = 𝑔(𝑥).

Garis singgung fungsi 𝑓 𝑥 di 𝑎
adalah turunan pertama 𝑓 𝑥 di 𝑎
yaitu 𝑓′(𝑎)

Gambar 2. Turunan 𝑓 invers

Garis singgung fungsi 𝑔(𝑥) di 𝑏
adalah turunan pertama 𝑔(𝑥) di 𝑏
yaitu 𝑔′ (𝑏)

Menurut definisi invers. Yaitu, jika 𝑓 𝑥 = 𝑦, maka 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥.

Dengan melakukan substitusi kita dapatkan 𝑓 −1 𝑓 𝑥

= 𝑥.

8

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Kita perhatikan untuk 𝑓 −1 𝑓 𝑥

=𝑥

Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :
𝑑

𝑓 −1 𝑓 𝑥

=

(𝑓 −1 )′ 𝑓 𝑥

=

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥

𝑥

(𝑓 −1 )′ 𝑓 𝑥 . (𝑓 ′ (𝑥)) = 1
1

𝑓 ′ (𝑥)

1

Yang ekuivalen dengan (𝑓 −1 )′ 𝑦 =

𝑓 ′ (𝑥)

Bukti resmi teorema
Interval [𝑝, 𝑞] ⊆ 𝑅, dan 𝑓: [𝑝, 𝑞] → 𝑅 , fungsi monoton murni dan kontinu pada

[𝑝, 𝑞].

[𝑟, 𝑠] = 𝑓([𝑝, 𝑞]) dan 𝑔: 𝑟, 𝑠 → 𝑅

invers fungsi 𝑓 yang monoton murni dan

kontinu.

Fungsi 𝑓 terdiferensial di titik 𝑎 ∈ [𝑝, 𝑞] dan 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0.

Fungsi 𝑔 terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎
lebih lanjut,

𝑔′ 𝑏 =

1
𝑓 ′ (𝑎)

=

1
𝑓′

𝑔 𝑏

Ambil sembarang 𝑦 ∈ [𝑟, 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏, selanjutnya didefinisikan fungsi 𝐻 ∶

[𝑟, 𝑠] → 𝑅 dengan

𝐻 𝑦 =

𝑓 𝑔 𝑦 − 𝑓 𝑔 𝑏
𝑔 𝑦 − 𝑔 𝑏

Diketahui 𝑔 monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap

𝑦 ∈ [𝑟, 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏, maka 𝑔(𝑦) ≠ 𝑔 𝑏 . dengan kata lain 𝐻 ∶ [𝑟, 𝑠] → 𝑅,
well define. Demikian halnya jika 𝑦 = 𝑓(𝑔 𝑦 ) dan 𝑏 = 𝑓(𝑔 𝑏 ) maka
berdasarkan definisi fungsi 𝐻 diperoleh
𝐻 𝑦 =

𝑦−𝑏
𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏)
9

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Mudah dipahami bahwa untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟, 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏, maka 𝐻(𝑦) ≠ 0.

Selanjutnya dibuktikan bahwa

lim 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎)

𝑦 →𝑏

Diberikan bilangan 𝜀 > 0 dan jika 𝑓 terdiferensial di 𝑎 = 𝑔(𝑏), maka terdapat

bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan sifat 0 < | 𝑥 – 𝑎| < 𝛿
berlaku

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
− 𝑓 ′ (𝑎) < 𝜀
𝑥−𝑎

Diketahui 𝑔 kontinu di titik 𝑏 = 𝑓 ′ (𝑎), artinya untuk setiap bilangan 𝛿 > 0 terdapat
bilangan 𝜂 > 0 sehingga untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟, 𝑠] dengan 0 < | 𝑦 – 𝑏| < 𝜂 , maka

berlaku

𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) < 𝛿
Karena 𝑔 fungsi invers dari 𝑓, maka 𝑔 bijektif, dengan kata lain 𝑔 injektif dan

surjektif. 𝑔 injektif dan 𝑎 = 𝑔(𝑏), maka diperoleh; jika 0 < | 𝑦 – 𝑏| < 𝜂
maka 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) = 𝑔 𝑦 − 𝑎 < 𝛿 untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟, 𝑠]

Oleh karena itu untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟, 𝑠] dengan 0 < | 𝑦 – 𝑏| < 𝜂 berakibat
𝐻 𝑦 − 𝑓 ′ (𝑎) =

𝑓 𝑔 𝑦 − 𝑓 𝑔 𝑏
𝑔 𝑦 − 𝑔 𝑏

− 𝑓 ′ (𝑎) < 𝜀

Untuk sebarang 𝜀 > 0. Jadi lim𝑦 →𝑏 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎)
Perhatikan bahwa karena 𝑦 ≠ 𝑏 maka 𝐻 𝑦 =

𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏)
𝑦−𝑏

=

1

𝑦 −𝑏

𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏)

𝐻(𝑦 )

≠ 0 , sehingga diperoleh

Dapat disimpulkan, untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟, 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏, berlaku

1
1
1
𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏)
= lim
=
= ′
𝑦 →𝑏 𝐻(𝑦)
𝑦→𝑏
lim 𝐻(𝑦) 𝑓 (𝑎)
𝑦−𝑏

𝑔′ 𝑏 = lim

𝑦 →𝑏

10

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Terbukti
𝑔′ 𝑏 =

1
1
=
𝑓 ′ (𝑎)
𝑓′ 𝑔 𝑏

Ketika kita membuktikan seperti itu. Mungkin kita akan kebingungan dengan
langkah-langkah yang ada tersebut.
Sehingga kelompok kami menyajikan bukti menurut kelompok kami sendiri. Yang
mungkin akan lebih mudah kita pahami.

Bukti mudahnya menurut kelompok kami
Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼.

Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik

yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan
(𝑓 −1 )′ 𝑦 =

1
𝑓 ′ (𝑥)

Menurut definisi limit
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
𝑥−𝑎

𝑓 ′ 𝑎 = lim

Akan dibuktikan

(𝑓 −1 )′ 𝑦 =

1

𝑓 ′ (𝑥)

Dengan definisi limit, kita peroleh

Karena 𝑓 −1 𝑓 𝑥

𝑓 −1

′

𝑓 −1 𝑓 𝑥 − 𝑓 −1 𝑓 𝑎
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑓 𝑎

= lim

= 𝑥 dan 𝑓 −1 𝑓 𝑎

Maka kita bisa menuliskan

𝑓 −1

′

𝑓 𝑎

=𝑎

𝑥−𝑎
𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

= lim

11

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎 ,

sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) ≠ 0. Sehingga kita boleh melanjutkan proses.

maka kita bisa menuliskan

𝑓 −1

Dengan ini kita mendapatkan

Dimana 𝑓 𝑥 = 𝑦 , diperoleh
Terbukti.

′

𝑓 𝑎

=

1
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
lim
𝑥−𝑎
𝑥→𝑎

𝑓 −1

′

𝑓 𝑎

=

𝑓 −1

′

𝑓 𝑥

=

𝑓 −1

′

𝑦 =

𝑓′

1
𝑎

1
𝑓′ 𝑥

𝑓′

1
𝑥

Contoh soal
Carilah 𝑓 −1 ′ (2) jika diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
Jawab :

Kita akan mencari nilai 𝑥 yang berpadanan dengan 𝑦 = 2

𝑓 𝑥 = 𝑥+1

𝑦 = 𝑥+1

2 = 𝑥+1

4=𝑥+1

𝑥=3

Kemudian kita cari 𝑓 ′ (𝑥)

𝑓 𝑥 = 𝑥+1

𝑓′ 𝑥 =
𝑓′ 3 =

𝑓′ 3 =

1

2 𝑥+1
1

2 3+1
1
4

12

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Kita selesaikan dengan menggunakan teorema
(𝑓 −1 )′ 2 =

(𝑓 −1 )′ 2 =

1
𝑓 ′ (3)

(𝑓 −1 )′ 𝑦 =

1
𝑓 ′ (𝑥)

1
1
4

(𝑓 −1 )′ 2 = 4
Bagaimana jika kita menyelesaikannya dengan cara mencari inversnya kemudian kita
turunkan?
𝑓 𝑥 = 𝑥+1

𝐷𝑓 = −1, ∞

𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 2 + 1

𝐷𝑓 = 0, ∞

𝑓 −1 ′ 𝑥 = 2𝑥

𝑅𝑓 = [0, ∞)

𝑅𝑓 = [−1, ∞)

(𝑓 −1 )′ 2 = 4

Hasilnya sama.
2.5 Mengapa 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 ?

Syarat 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 sangatlah penting . Apabila 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 maka fungsi invers 𝑔 tidak
terdiferensial di 𝑏 = 𝑓 𝑎 . Artinya, jika 𝑔 terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎 dan jika 𝑓

invers fungsi 𝑔, maka dapat diterapkan teorema tersebut pada fungsi 𝑔 untuk dapat

menyimpulkan bahwa fungsi 𝑓 terdiferensial di titik 𝑎 = 𝑔(𝑏) dan diperoleh
𝑔′ 𝑏 =

1
𝑓′ 𝑎

↔

1 = 𝑔′ 𝑏 . 𝑓 ′ 𝑎 = 0

Terjadi kontradiksi, oleh karena itu 𝑔 tak terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎 .
Lebih jelas terlihat jika kita masukkan 𝑓 ′ 𝑎 = 0 ke dalam 𝑔′ 𝑏 =

Diperoleh 𝑔′ 𝑏 =

1

1
𝑓′ 𝑎

0

13

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

Contoh
Diberikan fungsi bernilai real 𝑓 yang didefinisikan dengan
Diperoleh 𝑓

−1

1
3

𝑓 𝑥 = 𝑥3 ,

∀𝑥 ∈ 𝑅

𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 , 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 , dan 𝑓
2

Ambil titik = 0 , diperoleh 𝑏 = 𝑓(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′ (𝑎) = 0.
Dengan demikian 1 = 𝑔′ 𝑏 . 𝑓 ′ 𝑎 = 0

−1 ′

′

𝑥 =𝑔 𝑥 =

−2

𝑥3
3

1

Terjadi kontradiksi, sehinggga dapat disimpulkan bahwa 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 3 , ∀𝑥 ∈ 𝑅

tidak terdiferensial di 0

14

asimtot.wordpress.com
muhammadsihabudin@yahoo.co.id

BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Suatu fungsi dapat diperbanyak. Salah satunya dengan cra membalikkannya
(inversnya). Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu :

2.

Langkah 1 : Selesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦.

3.

dalam 𝑦.

1.

Langkah 2 : Gunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan
Langkah 3 : Gantilah 𝑦 dengan 𝑥.

Sehingga fungsi tersebut akan semakin banyak. Dengan banyaknya fungsi-fungsi
yang kita punya. Dan untuk mencari turunan suatu invers. Kita mempunyai teorema.
Dengan adanya teorema turunan fungsi balikan. Yaitu :
Teorema
Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼.

Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik

yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓 −1 )′ 𝑦 =

1

𝑓 ′ (𝑥)

itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan lebih cepat.
Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu fungsi. Tetapi kita
juga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Yaitu fungsi tersebut harus
kontinu dan fungsi tersebut monoton murni.

3.2 Saran
Perlu diperhatikan dalam menentukan turunan dari invers suatu fungsi. Karena disitu
terdapat syarat fungsi yaitu harus kontinu dan monoton murni. Terkadang kita tetap
melakukan itu padahal fungsi tersebut tidak kontinu. Sehinga perlu adanya ketelitian.
Dan disarankan melihat syaratnya dalam menggunakan suatu teorema. Karena
kebanyakan dari kita adalah tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal dengan suatu
teorema. Padahal soal itu tidak memenuhi syarat di teorema tersebut.

15