44 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
25
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
26
2-1 FUNGSI
2-1-1 KajianUlang tentang Fungsi atau Pemetaan
A. Fungsi atau Pemetaan
Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang
memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota
himpunan B.
Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambing
f :A B
(dibaca: f memetakan A ke B)
Apabila fungsi f memetakan setiap x € A dengan tepat ke satu anggota y € B,
maka
f :x y
(dibaca: y adalah peta dari x oleh f)
Peta dari x € A oleh fungsi f sering dituliskan sebagai f(x) dan bentuk f(x) disebut
rumus bagi fungsi f.
Sebagai contoh, fungsi
f : x x 2 2x 3
a) Rumus untuk fungsi f adalah
b) Peta dari 0 adalah
Peta dari 1 adalah
dapat dinyatakan:
f x x 2 2 x 3 dengan x R .
f 0 0 2 2(0) 3 3
f 1 12 2(1) 3 2 ,
. . . dan seterusnya.
Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f(x) untuk x = 0.
Jadi, secara umum f(a) = a2 – 2a +3 adalah nilai fungsi f untuk x = a.
c) Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan
y x 2 2x 3 .
B. Daerah Asal, DAerah Kawan, dan Daerah Hasil
Misalkan f sebuah fungsi yang memetakkan tiap anggota himpunan A ke
himpunan B ( f
:A B
), maka:
a) Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f
b) Himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f
c) Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota
himpunan A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.
C. Beberapa Macam Fungsi Khusus
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
27
Fungsi-fungsi yang termasuk dalam fungsi khusus diantaranya adalah fungsi
konstan, fungsi identitas, fungsi linier, fungsi kuadrat, dan fungsi modulus.
1. Fungsi Konstan
Fungsi konsta adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah
konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Artinya untuk
semua nilai x dalam daerah asal Df hanya berpasangan dengan sebuah nilai
dalam wilayah hasil Wf. Dalam bentuk pemetaan, fungsi konstan ditulis
sebagai
f : x f ( x) k , dengan x R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai
tetapan.
2. Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua niali x
dalam daerah asalnya. Ini berarti untuk sebuah nilai x dalam daerah asal Df
berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam wilayah hasil Wf. Fungsi
identitas f(x) = x seringkali dituliskan sebagai I(x) = x (I menyatakan identitas)
3. Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan
b R , a 0)
untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linier juga dikenal sebagai fungsi
polinom atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam variable x.
4. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah
y f ( x) ax 2 bx c ( a, b, c R, a 0) untuk
semua
nilai x dalam darah asalnya. Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi
polinom atau fungsi sukubanyak berderajat dua dalam variable x.
Grafik fungsi kuadrat
y f ( x ) ax 2 bx c dalam
bidang cartesius dikenal
sebagai parabola.
5. Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f(x) dengan
f ( x) x
untuk semua niali x dalam daerah asalnya. Bentuk
sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.
Defiisi:
x
dibaca
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
28
x, x 0
x
x, 0
Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negative, maka grafik
fungsi
y f ( x) x
tidak pernah terletak dibawah sumbu x.
D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
1. Fungsi Surjektif
Untuk
memahami
A 1,2,3, 4 dan
pengertian
himpunan
fungsi
B a, b, c .
surjektif,
perhatikan
himpunan
Dari himpunan A ke hipunan B
ditentukan fungsi-fungsi f dan g dalam bentuk pasangan terurut sebagai
berikut.
f :A B
dengan f (1, a), (2, b), (3, c), (4, c)
g : A B dengan
g (1, a ), (2, a ), (3, b), ( 4, b)
Definisi:
Fungsi
f :A B
disebut sebagai
Fungsi kepada B, jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B
atau Wf = B.
Fungsi ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan
bagian dari himpunan B atau
W f B.
2. Fungsi Injektif
Untuk memahami pengertian fungsi injektif, himpunan
B a, b, c .
A 1,2,3
dan
Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f dan fungsi
g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.
f :A B
dengan f (1, a ), ( 2, b), (3, c)
g : A B dengan
g (1, a ), ( 2, b), (3, c )
Definisi:
Fungsi
f :A B
disebut fungsi atu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya
jika untuk sembarang
3. Fungsi Bijektif
Definisi:
a1
dan
a 2 A dengan a1 a 2 berlaku
f (a1 ) f ( a 2 ) .
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Fungsi
f :A B
29
disebut fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah
fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.
2.1.2
Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi y f (x) dengan f ( x) ax b(a, b R, a 0) untuk
semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linier juga dikenal sebagai fungsi polinom
atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam variable x.
Grafik fungsi linier y f ( x) ax b dalam bidang cartesius berupa garis lurus
yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y. grafik fungsi linier ini
memotong sumbu Y di sebuah titik dengan ordinat y = b. Bilangan a disebut
gradient atau koefisien arah dari garis lurus tersebut, dan
a tan ,
adalah
sudut yang dibentuk oleh garis lurus terhadap sumbu X positif.
2.1.3
Fungsi Kuadrat
Perhatikan beberapa fungsi berikut ini.
f ( x) x 2 1
f ( x) 2 x 2 6 x
f ( x ) x 2 4 x 3
f ( x) 3 x 2 4 x 3
Pangkat tertinggi bagi peubah x pada tiap fungsi diatas sama dengan dua. Fungsi
yang mempunyai cirri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam peubah x. dengan
demikian bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi: Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan real dan
f ( x ) ax 2 bx c dinamakan
a 0,
maka fungsi yang dirumuskan oleh
fungsi kuadrat dalam peubah x.
Grafik fungsi kuadrat ditulis dalam notasi
y f ( x ) ax 2 bx c dan
kuadrat disebut parabola.
2.1.4
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum
grafik fungsi
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Misalkan
suatu
fungsi
kuadrat
y f ( x) ax 2 bx c ( a, b, c R, a 0) .
parabola dengan persamaan
ditentukan
dengan
30
rumus
Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah
y ax 2 bx c .
Sketsa grafik fungsi kuadrat itu secara umum dapat digambar dengan cara
menentukan terlebih dahulu:
a) Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
b) Titik puncak atau titik balik parabola.
c) Persamaan sumbu simetri.
1. Titik Potong dengan sumbu X dan sumb Y
a. Titik potong dengan sumbu X
Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika ordinat Y = 0, sehingga
ax 2 bx c 0 , yang merupakan persamaan kuadrat dalam x. Akar-akar
persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu
X.
Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 , yaitu D b 2 4ac ,
menentukan banyak titik potong dengan sumbu X.
1. Jika b 2 4ac 0 , maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua
titik yang berlainan.
2. Jika b 2 4ac 0 , maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua
titik berimpit. Dalam hal demikian, grafik fungsi f dikatakan
menyinggung sumbu X.
3. Jika b 2 4ac 0 , maka grafik fungsi f tidak memotong maupun
menyinggung sumbu X.
b. Titik potong dengan sumbu Y
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika absis x = 0, sehingga
y a (0) 2 b(0) c c.
Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,c).
1. Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik
asal O.
2. Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik
asal O.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
31
3. Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di bawah titik
asal O.
2. Titik Puncak atau Titik Balik dan Persamaan Sumbu Simetri
Titik puncak atau ttik balik sebuah parabola dapat dicari dengan mengubah bentuk
kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Dari bentuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula ditentukan persamaan sumbu
simetrinya.
Mari kita tinjau persamaan parabola berikut.
y ax 2 bx c
b
y ax 2 x c
a
2 b
b2
y a
x a x 4a 2
b2
4a c
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
Untuk a > 0:
Bentuk
2
b
ax
2
a
selalu positif atau sama dengan nol untuk semua
2
b
ax
2a
demikian
x R,
maka
2
b
ax
2a
= 0 merupakan nlai terkecil (minimum) dari
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
mempunyai nilai minimum
2
nilai itu tercapai jika
b
ax
2
a
balik minimum parabola
= 0 atau
x
b
2a
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
b
2
. Dengan
4ac
4a
, dan
. Jadi, titik puncak atau titik
adalah
b
b 2 4ac
2a ,
4a
2
Persamaan sumbu simetri parabola
Untuk a < 0:
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
adalah
x
b
2a
.
.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk
2
b
ax
2a
selalu negatif atau sama dengan nol untuk semua
2
b
ax
2a
demikian
x R,
32
maka
2
= 0 merupakan nlai terbesar (maksimum) dari
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
mempunyai nilai maksimum
2
nilai itu tercapai jika
b
ax
2a
b
ax
2a
= 0 atau
b
2
x
balik maksimum parabola y a
2a
x
b
2a
b 2 4ac
4a
b
. Dengan
2
4ac
4a
, dan
. Jadi, titik puncak atau titik
b
b
adalah
2a ,
2
4ac
4a
2
Persamaan sumbu simetri parabola
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
adalah
x
b
2a
.
.
Dari keterangan di atas, kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Parabola
y f ( x) ax 2 bx c ( a, b, c R, a 0) ,
atau titik balik
b
b 2 4ac
,
2a
4a
mempunyai titik puncak
.
2. Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke
atas. Jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola
terbuka ke bawah.
3. Persamaan sumbu simetri parabola
y ax 2 bx c adalah x
b
2a
.
Setelah kita memahami pengertian titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y,
titik puncak atau titik balik parabola, serta persamaan sumbu simetri, kini tiba
gilirannya untuk mempelajari cara menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat
secara umum. Langkah-langkah untuk menggambarkan sketsa grafik fungsi
kuadrat secara umum adalah sebagai berikut.
Langkah 1
Tentukan titik-titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
Langkah 2
Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
33
Langkah 3
Gambakan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang
koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus,
dengan memperlihatkan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.
2.1.5
Membentuk fungsi Kuadrat
Dalam pasal 2-1-4 telah dibahas cara-cara membuat sketsa grafik fungsi kuadrat
apabila persamaan atau rumus fungsi kuadrat tersebut sudah diketahui. Sebaliknya
apabila sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui kia dapat menentukan rumus
fungsi kuadrat tersebut. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun
fungsi kuadrat.
Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat
seringkali mempunyai cirri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya sebagai berikut.
a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di Ax1 ,0 dan Bx 2 ,0 , serta
melalui sebuah titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
y f ( x ) ax x1 x x 2
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di Ax1 ,0 dan melalui sebuah
titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
2
y f ( x) ax x1
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik
P( x p , y p )
, dan
melalui sebuah titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
y f ( x ) a x x p y p
2
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik Ax1 , y1 , Bx 2 , y 2 , dan
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
y f ( x ) ax 2 bx c
C x 3 , y 3 .
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
34
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
2.1.6
Merancang Model Matematika yang Berbentuk Fungsi Kuadrat
Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari,
seringkali diperoleh model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.
Nilai ekstrim (maksimum atau minimum) mempunyai peran penting dalam
memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Dalam kehidupan
sehari-hari, nilai
maksimum atau nilai minimum
diungkapkan dengan
menggunakan kata yang berbeda-beda misalnya:
a. Kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, . . . atau yang searti
dengan kata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai maksimum
fungsi kuadrat.
b. Kata-kata terekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, . . . atau yang searti
dengan kata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai minimum fungsi
kuadrat.
Jika dalam sebuah masalah memuat kata-kata seperti di atas, maka hal ini
merupakan indicator bahwa masalah tersebut dapat dipecahkan dengan
menggunakan model matematika berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui
bahwa karakteristiik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang
berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah penecahan masalah selanjutnya adalah
sebagai berikut:
1. Nyatakan besaran yang adadalam masalah sebagai variable (dilambangkan
dengan
huruf-huruf)
untuk
mendapatkan
hubungan
atau
ekspresi
matematikanya.
2. Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.
3. Tentukan penyelesaian sari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh
pada langkah 2.
4. Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula.
2.2
PERSAMAAN KUADRAT
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
35
2-2-1 Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Sebelum membahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari sebuah persamaan
kuadrat, akan dibahas terlebih dahulu bentuk umum dari suatu peramaan kuadrat.
Untuk tujuan itu, simaklah beberapa persamaan berikut ini:
x 2 3 0,
x 2 12 x 0,
x 2 6 x 10 0, dan
3 x 2 2 x 5 0.
Perhatikan bahwa, setiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi bagi
peubah x sama dengan dua. Persamaan yang mempunyai bentuk seperti itu
disebut persamaan kuadrat dalam peubah x atau persamaan berderajat dua dalam
peubah x. berdasarkan fakta ini, bentuk umum dari persamaan kuadrat dapat
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi: Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Misalkan
a , b, c R dan
a 0,
maka persamaan berbentuk ax 2 bx c 0
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
Dalam persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah
koefisien dari x, dan c adalah suku tetapan.
Sebagai contoh, nilai-nilai a, b, c pada persamaan-persamaan kuadrat di atas
adalah sebagai berikut:
x 2 3 0 , nilai-nilai a = 1, b = 0, dan c = -3
x 2 12 x 0, nilai-nilai
x 2 6 x 10 0, nilai-nilai
3 x 2 2 x 5 0. nilai-nilai a = 3, b = -2, dan c = 5
a = 1, b = -12, dan c = 0
a = 1, b = -6, dan c = 10
Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, dan c, dikenal beberapa nama persamaan
kuadrat, diantaranya adalah:
1. Jika a = 1, maka persamaan menjadi ax 2 bx c 0 dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat biasa.
2. Jika b = 0, maka persamaan menjadi ax 2 c 0 dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat sempurna.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
36
3. Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax 2 bx 0 dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat tidak lengkap.
4. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan real, maka ax 2 bx c 0 disebut
persamaan kuadrat real.
5. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka ax 2 bx c 0 disebut
persamaan kuadrat rasional.
Selain itu, ada beberapa persamaan kuadrat yang dinyatakan tidak dalam bentuk
baku, misalnya:
2 x 2 3x 8
x 2 2( x 2 3 x 1)
5
2 x 3
x
2
1
2
x 1 x 2
Persamaan kuadrat semacam ini dapat diubah menjadi bentuk baku dengan
melakukan
manipulasi
aljabar.
Manipulasi
aljabar
dilakukan
dengan
menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan pada umumnya. Sifat-sifat
yang dimaksudkan adalah:
1. Kedua ruas suatu persamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan suatu
bilangan atau variable yang sama. Persamaan baru yang diperoleh tetap
ekuivalen dengan persamaan semula.
2. Kedua ruas suatu persamaan dapat dikali atau dibagi dengan suatu bilangan
atau variable yang sama, asalkan bilangan atau variable itu tidak sama dengan
nol. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan
semula.
2.2.2
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan ax 2 bx c 0 dapat disesuaikan dengan cara menentukan nilai
pengganti x yang memenuhi persamaan itu. Nilai pengganti x yang memenuhi
persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 disebut penyelesaian atau akar dari persamaan
kuadrat yang bersangkutan.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
37
Kita masih ingat bahwa untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan
kuadrat ada beberapa cara, di antaranya adalah dengan cara:
a. memfaktorkan
b. melengkapkan kuadrat sempurna
c. menggunakan rumus kuadrat, dan
d. menggambarkan sketsa grafik fungsi
f ( x ) ax 2 bx c
Kita akan pelajari kembali 3 cara yang pertama untuk menentukan akar-akar suatu
persamaan kuadrat.
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Menentukan
akar-akar
persamaan
kuadrat
dengan
cara
memfaktorkan
menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada system bilangan real. Sifat itu dapat
dinyatakan sebagai berikut.
Jika
a, b R dan a b 0 ,
maka a = 0 atau b = 0
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Sempurna
Bentuk-bentuk seperti
9 3 2 ,4 x 2 (2 x ) 2 , ( x 1) 2 , ( 2 x 3) 2
merupakan beberapa
contoh bentuk kuadrat sempurna. Pada hakikatnya, tiap bentuk kuadrat dapat
dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar
yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah atau
mengurangi bagian suku tetapan, seperti diperlihatkan pada ilustrasi berikut ini.
Bentuk x 2 2 x 4 dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut.
x 2 2x 4
( x 2 2 x 1) ( 1) 4, mengapa
( x 1) 2 3, bentuk
ditambah dengan (-1)?
ini memuat bentuk kuadrat sempurna
( x 1) 2
.
Proses pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrta sempurna semacam ini
dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.
Sekarang, proses melengkapkan kuadrat akan digunakan untuk menentukan akarakar persamaan kuadrat x 2 10 x 21 0 sebagai berikut.
Langkah 1: Melengkapkan Kuadrat Sempurna
x 2 10 x 21 0
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
38
x 2 10 x 21
Kita ubah bagian ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna:
x 2 10 x 21
( x 2 10 x 25) (25) 21
( x 5) 2 25 21
( x 5) 2 4
Langkah 2: Menentukan akar-akar
Dari persamaan yang terakhir ini, akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
dengan memakai sifat sebagai berikut.
Jika
p 0 dan
berlaku x 2
p,
maka
x
p
dengan
p 0
Dengan menggunakan sifat di atas, maka diperoleh:
( x 5) 2 4
( x 5) 2 4
( x 5) 2 2
x 5 2ataux 5 2
x 7 atau
x =3
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x 2 10 x 21 0 adalah x1
7
atau
x2 3 .
dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan HP = 3,7 .
Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa akar-akar persamaan kuadrat
dapat ditentukan dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna melalui langkahlangkah sebagai berikut:
1. Ubahlah persamaan kuadrat semula ke dalam bentuk
( x p ) 2 q, dengan
q 0
melalui proses melengkapkan kuadrat
sempurna.
2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk
persamaan yang terakhir.
( x p) q
atau
x p
q
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus Kuadrat
Metode paling umum untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat
ax 2 bx c 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
39
y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)
Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk
menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan
c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila
dinyatakan bahwa
.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan
semula dalam bentuk
dapat dituliskan menjadi
.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum
dikenal, yaitu
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
40
dan
.
2-3 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan
sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut
perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah
real.
Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu
perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (, ,
).Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan
real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan
tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua
bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R
sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.
CONTOH 1:
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² - 5x + 6 > 0!
Jawab :
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X
- 3) > 0.Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke
dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu
(i). Jika ke dua faktor positif maka:x -2>0 dan x-3>0
↔x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:x -2 4, f(x) bernilai positif f(x) > 0(pada grafik, nilai f(x)
terletak diatas sumbu x)untuk 0 < x > 4, f(x)bernilai negative f(x) 0
Penyelesaian :
x2 – 5x + 6 ≤ 0
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 1) (x - 2) = 0
X1 = 1 atau X2 = 2
-->
-->
-->
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3 (nilai-nilai pembuat nol)
Sekarang perhatikan (x-1) bernilai positif untuk x >1 dan bernilai negatif untuk x
2 dan bernilai negatif
untuk x < 2. untuk menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dapat
dilihat tabel dibawah ini :
Tabel 1. Garis bilangan x2 – 3x + 2 > 0
Dari tabel tersebut dapat dijelaskan :
Untuk x < 1
(x-1) dan (x-2) keduanya bernilai negatif, maka hasil kalinya positif, contoh x =
0; (0-1) (0-2); (-1) (-2) = 2, berarti (x-1) (x-2) > 0
Untuk 1 < x < 2
(x-1) bernilai positif dan (x-2) bernilai negatif, maka hasil kalinya negatif yaitu
(x-1) (x-2) < 0
Untuk x > 2
Nilai kedua factor adalah positif sehingga hasil kalinya positif yaitu (x-1) (x-2) >
0
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
43
Jadi dapat disimpulkan bahwa : x2 -3x + 2 > 0 akan terpenuhi oleh x < 1 dan x > 2
aatu himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 1 atau x > 2, x € R }, garis
bilangannya adalah :
Gambar 2. Garis bilangan x2 – 3x + 2 > 0
Latihan Soal Bab 2
1 Penyelesaian pertidaksamaan x 2 – x – 6 < 0 adalah ....
a
25
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
26
2-1 FUNGSI
2-1-1 KajianUlang tentang Fungsi atau Pemetaan
A. Fungsi atau Pemetaan
Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang
memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota
himpunan B.
Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambing
f :A B
(dibaca: f memetakan A ke B)
Apabila fungsi f memetakan setiap x € A dengan tepat ke satu anggota y € B,
maka
f :x y
(dibaca: y adalah peta dari x oleh f)
Peta dari x € A oleh fungsi f sering dituliskan sebagai f(x) dan bentuk f(x) disebut
rumus bagi fungsi f.
Sebagai contoh, fungsi
f : x x 2 2x 3
a) Rumus untuk fungsi f adalah
b) Peta dari 0 adalah
Peta dari 1 adalah
dapat dinyatakan:
f x x 2 2 x 3 dengan x R .
f 0 0 2 2(0) 3 3
f 1 12 2(1) 3 2 ,
. . . dan seterusnya.
Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f(x) untuk x = 0.
Jadi, secara umum f(a) = a2 – 2a +3 adalah nilai fungsi f untuk x = a.
c) Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan
y x 2 2x 3 .
B. Daerah Asal, DAerah Kawan, dan Daerah Hasil
Misalkan f sebuah fungsi yang memetakkan tiap anggota himpunan A ke
himpunan B ( f
:A B
), maka:
a) Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f
b) Himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f
c) Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota
himpunan A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.
C. Beberapa Macam Fungsi Khusus
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
27
Fungsi-fungsi yang termasuk dalam fungsi khusus diantaranya adalah fungsi
konstan, fungsi identitas, fungsi linier, fungsi kuadrat, dan fungsi modulus.
1. Fungsi Konstan
Fungsi konsta adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah
konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Artinya untuk
semua nilai x dalam daerah asal Df hanya berpasangan dengan sebuah nilai
dalam wilayah hasil Wf. Dalam bentuk pemetaan, fungsi konstan ditulis
sebagai
f : x f ( x) k , dengan x R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai
tetapan.
2. Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua niali x
dalam daerah asalnya. Ini berarti untuk sebuah nilai x dalam daerah asal Df
berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam wilayah hasil Wf. Fungsi
identitas f(x) = x seringkali dituliskan sebagai I(x) = x (I menyatakan identitas)
3. Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan
b R , a 0)
untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linier juga dikenal sebagai fungsi
polinom atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam variable x.
4. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah
y f ( x) ax 2 bx c ( a, b, c R, a 0) untuk
semua
nilai x dalam darah asalnya. Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi
polinom atau fungsi sukubanyak berderajat dua dalam variable x.
Grafik fungsi kuadrat
y f ( x ) ax 2 bx c dalam
bidang cartesius dikenal
sebagai parabola.
5. Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f(x) dengan
f ( x) x
untuk semua niali x dalam daerah asalnya. Bentuk
sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.
Defiisi:
x
dibaca
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
28
x, x 0
x
x, 0
Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negative, maka grafik
fungsi
y f ( x) x
tidak pernah terletak dibawah sumbu x.
D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
1. Fungsi Surjektif
Untuk
memahami
A 1,2,3, 4 dan
pengertian
himpunan
fungsi
B a, b, c .
surjektif,
perhatikan
himpunan
Dari himpunan A ke hipunan B
ditentukan fungsi-fungsi f dan g dalam bentuk pasangan terurut sebagai
berikut.
f :A B
dengan f (1, a), (2, b), (3, c), (4, c)
g : A B dengan
g (1, a ), (2, a ), (3, b), ( 4, b)
Definisi:
Fungsi
f :A B
disebut sebagai
Fungsi kepada B, jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B
atau Wf = B.
Fungsi ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan
bagian dari himpunan B atau
W f B.
2. Fungsi Injektif
Untuk memahami pengertian fungsi injektif, himpunan
B a, b, c .
A 1,2,3
dan
Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f dan fungsi
g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.
f :A B
dengan f (1, a ), ( 2, b), (3, c)
g : A B dengan
g (1, a ), ( 2, b), (3, c )
Definisi:
Fungsi
f :A B
disebut fungsi atu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya
jika untuk sembarang
3. Fungsi Bijektif
Definisi:
a1
dan
a 2 A dengan a1 a 2 berlaku
f (a1 ) f ( a 2 ) .
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Fungsi
f :A B
29
disebut fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah
fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.
2.1.2
Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi y f (x) dengan f ( x) ax b(a, b R, a 0) untuk
semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linier juga dikenal sebagai fungsi polinom
atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam variable x.
Grafik fungsi linier y f ( x) ax b dalam bidang cartesius berupa garis lurus
yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y. grafik fungsi linier ini
memotong sumbu Y di sebuah titik dengan ordinat y = b. Bilangan a disebut
gradient atau koefisien arah dari garis lurus tersebut, dan
a tan ,
adalah
sudut yang dibentuk oleh garis lurus terhadap sumbu X positif.
2.1.3
Fungsi Kuadrat
Perhatikan beberapa fungsi berikut ini.
f ( x) x 2 1
f ( x) 2 x 2 6 x
f ( x ) x 2 4 x 3
f ( x) 3 x 2 4 x 3
Pangkat tertinggi bagi peubah x pada tiap fungsi diatas sama dengan dua. Fungsi
yang mempunyai cirri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam peubah x. dengan
demikian bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi: Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan real dan
f ( x ) ax 2 bx c dinamakan
a 0,
maka fungsi yang dirumuskan oleh
fungsi kuadrat dalam peubah x.
Grafik fungsi kuadrat ditulis dalam notasi
y f ( x ) ax 2 bx c dan
kuadrat disebut parabola.
2.1.4
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum
grafik fungsi
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Misalkan
suatu
fungsi
kuadrat
y f ( x) ax 2 bx c ( a, b, c R, a 0) .
parabola dengan persamaan
ditentukan
dengan
30
rumus
Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah
y ax 2 bx c .
Sketsa grafik fungsi kuadrat itu secara umum dapat digambar dengan cara
menentukan terlebih dahulu:
a) Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
b) Titik puncak atau titik balik parabola.
c) Persamaan sumbu simetri.
1. Titik Potong dengan sumbu X dan sumb Y
a. Titik potong dengan sumbu X
Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika ordinat Y = 0, sehingga
ax 2 bx c 0 , yang merupakan persamaan kuadrat dalam x. Akar-akar
persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu
X.
Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 , yaitu D b 2 4ac ,
menentukan banyak titik potong dengan sumbu X.
1. Jika b 2 4ac 0 , maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua
titik yang berlainan.
2. Jika b 2 4ac 0 , maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua
titik berimpit. Dalam hal demikian, grafik fungsi f dikatakan
menyinggung sumbu X.
3. Jika b 2 4ac 0 , maka grafik fungsi f tidak memotong maupun
menyinggung sumbu X.
b. Titik potong dengan sumbu Y
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika absis x = 0, sehingga
y a (0) 2 b(0) c c.
Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,c).
1. Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik
asal O.
2. Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik
asal O.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
31
3. Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di bawah titik
asal O.
2. Titik Puncak atau Titik Balik dan Persamaan Sumbu Simetri
Titik puncak atau ttik balik sebuah parabola dapat dicari dengan mengubah bentuk
kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Dari bentuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula ditentukan persamaan sumbu
simetrinya.
Mari kita tinjau persamaan parabola berikut.
y ax 2 bx c
b
y ax 2 x c
a
2 b
b2
y a
x a x 4a 2
b2
4a c
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
Untuk a > 0:
Bentuk
2
b
ax
2
a
selalu positif atau sama dengan nol untuk semua
2
b
ax
2a
demikian
x R,
maka
2
b
ax
2a
= 0 merupakan nlai terkecil (minimum) dari
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
mempunyai nilai minimum
2
nilai itu tercapai jika
b
ax
2
a
balik minimum parabola
= 0 atau
x
b
2a
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
b
2
. Dengan
4ac
4a
, dan
. Jadi, titik puncak atau titik
adalah
b
b 2 4ac
2a ,
4a
2
Persamaan sumbu simetri parabola
Untuk a < 0:
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
adalah
x
b
2a
.
.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk
2
b
ax
2a
selalu negatif atau sama dengan nol untuk semua
2
b
ax
2a
demikian
x R,
32
maka
2
= 0 merupakan nlai terbesar (maksimum) dari
2
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
mempunyai nilai maksimum
2
nilai itu tercapai jika
b
ax
2a
b
ax
2a
= 0 atau
b
2
x
balik maksimum parabola y a
2a
x
b
2a
b 2 4ac
4a
b
. Dengan
2
4ac
4a
, dan
. Jadi, titik puncak atau titik
b
b
adalah
2a ,
2
4ac
4a
2
Persamaan sumbu simetri parabola
b
b 2 4ac
y ax
2a
4a
adalah
x
b
2a
.
.
Dari keterangan di atas, kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Parabola
y f ( x) ax 2 bx c ( a, b, c R, a 0) ,
atau titik balik
b
b 2 4ac
,
2a
4a
mempunyai titik puncak
.
2. Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke
atas. Jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola
terbuka ke bawah.
3. Persamaan sumbu simetri parabola
y ax 2 bx c adalah x
b
2a
.
Setelah kita memahami pengertian titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y,
titik puncak atau titik balik parabola, serta persamaan sumbu simetri, kini tiba
gilirannya untuk mempelajari cara menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat
secara umum. Langkah-langkah untuk menggambarkan sketsa grafik fungsi
kuadrat secara umum adalah sebagai berikut.
Langkah 1
Tentukan titik-titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
Langkah 2
Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
33
Langkah 3
Gambakan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang
koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus,
dengan memperlihatkan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.
2.1.5
Membentuk fungsi Kuadrat
Dalam pasal 2-1-4 telah dibahas cara-cara membuat sketsa grafik fungsi kuadrat
apabila persamaan atau rumus fungsi kuadrat tersebut sudah diketahui. Sebaliknya
apabila sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui kia dapat menentukan rumus
fungsi kuadrat tersebut. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun
fungsi kuadrat.
Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat
seringkali mempunyai cirri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya sebagai berikut.
a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di Ax1 ,0 dan Bx 2 ,0 , serta
melalui sebuah titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
y f ( x ) ax x1 x x 2
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di Ax1 ,0 dan melalui sebuah
titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
2
y f ( x) ax x1
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik
P( x p , y p )
, dan
melalui sebuah titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
y f ( x ) a x x p y p
2
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik Ax1 , y1 , Bx 2 , y 2 , dan
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
y f ( x ) ax 2 bx c
C x 3 , y 3 .
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
34
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
2.1.6
Merancang Model Matematika yang Berbentuk Fungsi Kuadrat
Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari,
seringkali diperoleh model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.
Nilai ekstrim (maksimum atau minimum) mempunyai peran penting dalam
memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Dalam kehidupan
sehari-hari, nilai
maksimum atau nilai minimum
diungkapkan dengan
menggunakan kata yang berbeda-beda misalnya:
a. Kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, . . . atau yang searti
dengan kata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai maksimum
fungsi kuadrat.
b. Kata-kata terekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, . . . atau yang searti
dengan kata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai minimum fungsi
kuadrat.
Jika dalam sebuah masalah memuat kata-kata seperti di atas, maka hal ini
merupakan indicator bahwa masalah tersebut dapat dipecahkan dengan
menggunakan model matematika berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui
bahwa karakteristiik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang
berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah penecahan masalah selanjutnya adalah
sebagai berikut:
1. Nyatakan besaran yang adadalam masalah sebagai variable (dilambangkan
dengan
huruf-huruf)
untuk
mendapatkan
hubungan
atau
ekspresi
matematikanya.
2. Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.
3. Tentukan penyelesaian sari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh
pada langkah 2.
4. Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula.
2.2
PERSAMAAN KUADRAT
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
35
2-2-1 Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Sebelum membahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari sebuah persamaan
kuadrat, akan dibahas terlebih dahulu bentuk umum dari suatu peramaan kuadrat.
Untuk tujuan itu, simaklah beberapa persamaan berikut ini:
x 2 3 0,
x 2 12 x 0,
x 2 6 x 10 0, dan
3 x 2 2 x 5 0.
Perhatikan bahwa, setiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi bagi
peubah x sama dengan dua. Persamaan yang mempunyai bentuk seperti itu
disebut persamaan kuadrat dalam peubah x atau persamaan berderajat dua dalam
peubah x. berdasarkan fakta ini, bentuk umum dari persamaan kuadrat dapat
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi: Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Misalkan
a , b, c R dan
a 0,
maka persamaan berbentuk ax 2 bx c 0
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
Dalam persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah
koefisien dari x, dan c adalah suku tetapan.
Sebagai contoh, nilai-nilai a, b, c pada persamaan-persamaan kuadrat di atas
adalah sebagai berikut:
x 2 3 0 , nilai-nilai a = 1, b = 0, dan c = -3
x 2 12 x 0, nilai-nilai
x 2 6 x 10 0, nilai-nilai
3 x 2 2 x 5 0. nilai-nilai a = 3, b = -2, dan c = 5
a = 1, b = -12, dan c = 0
a = 1, b = -6, dan c = 10
Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, dan c, dikenal beberapa nama persamaan
kuadrat, diantaranya adalah:
1. Jika a = 1, maka persamaan menjadi ax 2 bx c 0 dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat biasa.
2. Jika b = 0, maka persamaan menjadi ax 2 c 0 dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat sempurna.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
36
3. Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax 2 bx 0 dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat tidak lengkap.
4. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan real, maka ax 2 bx c 0 disebut
persamaan kuadrat real.
5. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka ax 2 bx c 0 disebut
persamaan kuadrat rasional.
Selain itu, ada beberapa persamaan kuadrat yang dinyatakan tidak dalam bentuk
baku, misalnya:
2 x 2 3x 8
x 2 2( x 2 3 x 1)
5
2 x 3
x
2
1
2
x 1 x 2
Persamaan kuadrat semacam ini dapat diubah menjadi bentuk baku dengan
melakukan
manipulasi
aljabar.
Manipulasi
aljabar
dilakukan
dengan
menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan pada umumnya. Sifat-sifat
yang dimaksudkan adalah:
1. Kedua ruas suatu persamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan suatu
bilangan atau variable yang sama. Persamaan baru yang diperoleh tetap
ekuivalen dengan persamaan semula.
2. Kedua ruas suatu persamaan dapat dikali atau dibagi dengan suatu bilangan
atau variable yang sama, asalkan bilangan atau variable itu tidak sama dengan
nol. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan
semula.
2.2.2
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan ax 2 bx c 0 dapat disesuaikan dengan cara menentukan nilai
pengganti x yang memenuhi persamaan itu. Nilai pengganti x yang memenuhi
persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 disebut penyelesaian atau akar dari persamaan
kuadrat yang bersangkutan.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
37
Kita masih ingat bahwa untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan
kuadrat ada beberapa cara, di antaranya adalah dengan cara:
a. memfaktorkan
b. melengkapkan kuadrat sempurna
c. menggunakan rumus kuadrat, dan
d. menggambarkan sketsa grafik fungsi
f ( x ) ax 2 bx c
Kita akan pelajari kembali 3 cara yang pertama untuk menentukan akar-akar suatu
persamaan kuadrat.
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Menentukan
akar-akar
persamaan
kuadrat
dengan
cara
memfaktorkan
menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada system bilangan real. Sifat itu dapat
dinyatakan sebagai berikut.
Jika
a, b R dan a b 0 ,
maka a = 0 atau b = 0
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Sempurna
Bentuk-bentuk seperti
9 3 2 ,4 x 2 (2 x ) 2 , ( x 1) 2 , ( 2 x 3) 2
merupakan beberapa
contoh bentuk kuadrat sempurna. Pada hakikatnya, tiap bentuk kuadrat dapat
dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar
yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah atau
mengurangi bagian suku tetapan, seperti diperlihatkan pada ilustrasi berikut ini.
Bentuk x 2 2 x 4 dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut.
x 2 2x 4
( x 2 2 x 1) ( 1) 4, mengapa
( x 1) 2 3, bentuk
ditambah dengan (-1)?
ini memuat bentuk kuadrat sempurna
( x 1) 2
.
Proses pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrta sempurna semacam ini
dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.
Sekarang, proses melengkapkan kuadrat akan digunakan untuk menentukan akarakar persamaan kuadrat x 2 10 x 21 0 sebagai berikut.
Langkah 1: Melengkapkan Kuadrat Sempurna
x 2 10 x 21 0
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
38
x 2 10 x 21
Kita ubah bagian ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna:
x 2 10 x 21
( x 2 10 x 25) (25) 21
( x 5) 2 25 21
( x 5) 2 4
Langkah 2: Menentukan akar-akar
Dari persamaan yang terakhir ini, akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
dengan memakai sifat sebagai berikut.
Jika
p 0 dan
berlaku x 2
p,
maka
x
p
dengan
p 0
Dengan menggunakan sifat di atas, maka diperoleh:
( x 5) 2 4
( x 5) 2 4
( x 5) 2 2
x 5 2ataux 5 2
x 7 atau
x =3
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x 2 10 x 21 0 adalah x1
7
atau
x2 3 .
dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan HP = 3,7 .
Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa akar-akar persamaan kuadrat
dapat ditentukan dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna melalui langkahlangkah sebagai berikut:
1. Ubahlah persamaan kuadrat semula ke dalam bentuk
( x p ) 2 q, dengan
q 0
melalui proses melengkapkan kuadrat
sempurna.
2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk
persamaan yang terakhir.
( x p) q
atau
x p
q
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus Kuadrat
Metode paling umum untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat
ax 2 bx c 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
39
y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)
Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk
menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan
c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila
dinyatakan bahwa
.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan
semula dalam bentuk
dapat dituliskan menjadi
.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum
dikenal, yaitu
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
40
dan
.
2-3 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan
sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut
perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah
real.
Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu
perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (, ,
).Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan
real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan
tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua
bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R
sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.
CONTOH 1:
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² - 5x + 6 > 0!
Jawab :
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X
- 3) > 0.Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke
dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu
(i). Jika ke dua faktor positif maka:x -2>0 dan x-3>0
↔x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:x -2 4, f(x) bernilai positif f(x) > 0(pada grafik, nilai f(x)
terletak diatas sumbu x)untuk 0 < x > 4, f(x)bernilai negative f(x) 0
Penyelesaian :
x2 – 5x + 6 ≤ 0
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 1) (x - 2) = 0
X1 = 1 atau X2 = 2
-->
-->
-->
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3 (nilai-nilai pembuat nol)
Sekarang perhatikan (x-1) bernilai positif untuk x >1 dan bernilai negatif untuk x
2 dan bernilai negatif
untuk x < 2. untuk menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dapat
dilihat tabel dibawah ini :
Tabel 1. Garis bilangan x2 – 3x + 2 > 0
Dari tabel tersebut dapat dijelaskan :
Untuk x < 1
(x-1) dan (x-2) keduanya bernilai negatif, maka hasil kalinya positif, contoh x =
0; (0-1) (0-2); (-1) (-2) = 2, berarti (x-1) (x-2) > 0
Untuk 1 < x < 2
(x-1) bernilai positif dan (x-2) bernilai negatif, maka hasil kalinya negatif yaitu
(x-1) (x-2) < 0
Untuk x > 2
Nilai kedua factor adalah positif sehingga hasil kalinya positif yaitu (x-1) (x-2) >
0
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
43
Jadi dapat disimpulkan bahwa : x2 -3x + 2 > 0 akan terpenuhi oleh x < 1 dan x > 2
aatu himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 1 atau x > 2, x € R }, garis
bilangannya adalah :
Gambar 2. Garis bilangan x2 – 3x + 2 > 0
Latihan Soal Bab 2
1 Penyelesaian pertidaksamaan x 2 – x – 6 < 0 adalah ....
a